Mauro Schulz
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS
DE
PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL
DORIO DE JA
NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇÃO
DOGRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc. ).
Aprovada por:
Prof. Benjamin Erna,iiaz (Presidente)
e
Prof. Fernando Luiz Lobo B. Carneiro
dos Santos
(2,.vG:,~
d~ct"° [u,.a.,U,)
/t,,0cc
·e
Prof. Antonio Cliudio F. Maia
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
NOVEMBRO DE 1981
SCHULZ, MAURO
Anilise de Peças Lineares de Concreto Armado Base~da na Meci nica das Estruturas JRio de Janeiro J 1981.
XV , 260 p. 29.7 cm (COPPE-UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 1981 )
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro. COPPE
1. Dimensionamento de concreto armado. I. COPPE/UFRJ. II. Titu-lo {Serie).
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Benjamin Ernani Diaz pelo apoio e incentivo na orientação deste trabalho.
Aos Professores Michel Pre e Eduardo Christo da Silveira Thomaz pela bibliografia indicada.
A Sonia Hilf Schulz pela elaboração grãfica deste trabalho.
SUM~RIO
Uma teoria geral e consistente para a anãlise de tensões em peças lineares de concreto armado, submetidas a soli-citações combinadas de momento fletor, esforços cortante e nor-mal, ê apresentada neste trabalho. O modelo mecãnico adotado su-poe que o concreto seja formado por um conjunto de pequenas bie-las curvas, delimitadas pebie-las fissuras, cujas direções sao variã veis ao longo da altura e da extensão da peça.
A partir das equaçoes que representam o comporta-mento do modelo, três processos de resolução são im~lementados.
No primeiro, denominado mêtodo da seção empenada, o problema e analisado de forma completa. O mêtodo da seção equivalente ê a principal simplificação apresentada pelo segundo. No terceiro processo, critêrios baseados em normas são introduzidos.
Os processos podem ser aplicados em qualquer seçao transversal, com um eixo de simetria, desde que seja admitida a hipótese de que as tensões tangenciais se desenvolvam segundo uma unica direção.
Analisam-se comparativamente os mêtodos apresenta-dos e diversas conclusões são obtidas.
ABSTRACT
A general and consistent theory for stress analy-sis of linear reinforced concrete members, subjected to bending moment, axial and shear forces, is presented. The mechanical m~ del adopted assumes that the concrete is formed by small curved struts, whose directions vary along the height and the longitu-dinal axis of the member.
Based on the equations which represent the model, three analysis procedures are developed. ln the first,
warping section method, the entire set of equations is
named consi-dered. ln the second procedure the equivalent section method is the main simplification done in the analysis. ln the third pr~ cedure design criteria based on the design cedes are intro-duced.
These procedures can be performed for any cross section, with a single symmetry axis, if it is assumed that the tangential stresses are oriented along the sarne direction.
The presented methods are compared and different conclusions are drawn.
TNDICE
INTRODUÇIIO... 1
CAPITULO I - MECANISMOS DE RESISTtNCIA DE PEÇAS LINEARES DE CONCRETO ARMADO... 5
l .l - Dimensionamento a flexio composta... 5
1.2 - Distribuiçio de tensões em vigas submetidas i fle~ xio composta com esforço cortante... l O 1.3 - Distribuiçio efetiva das tensões de cisalhamento... 17
1.4 - Analogia da treliça de Ritter-Morsch.... .... .. .. .. . 20
1.5 - Extensio da analogia da treliça baseada no princi-pio da energia complementar minima.... ... . . ... .. . . . 26
1.6 - Efeito de a r c o . . . 31
l. 7 - Influência da forma da seçio transversal... 35
1.8 - Analogia da treliça generalizada... 38
1.9 - Anãlise plãstica do modelo da treliça... 39
1.10 - Efeitos secundãrios.... .... .. .. .. .... .. .... .... .. . 44
1.11 - Comportamento do concreto na biela de compressio.. 48
CAPITULO II - FORMULAÇIIO DA TEORIA DO CAMPO DE COMPRESSIIO DIAGONAL . . . ·... 52
2.1 - Hipõteses simplificadoras... 53
2.3 - Definição das tensões e deformações... 55
2.4 - Equações diferenciais de equilTbrio. ... ... 59
2. 5 - Equações de compatibilidade... 61
2.5.1 - 1~ equaçao de compatibilidade... 61
2.5.2 - 2~ equaçao de compatibilidade... 61
2.5.3 - O princTpio das forças virtuais e o da energia l t ~ . comp emen ar m1n1ma ... . a a -2.5.4 - 3. e 4. equaçoes de compatibilidade ... . 2.5.5 - Interpretação da equação (2.33) atravês da geom~ 63 65 tria das deformações... 69
2.5.6 - Comportamento linear dos materiais... 70
2.5.7 - Equivalência com a formulação de placas com arma-dura em malha ortogonal... 73
2.6.- Equações constitutivas... 75
2.7 - Incõgnitas, equações e condições de bordo... 78
2.8 - Equações globais de equilTbrio... 84
2.9 - A teoria do campo de compressão diagonal e o dimen sionamento usual de concreto armado... 86
CAPlTULO III - SOLUÇAO NUMERICA GERAL CONSIDERANDO O EM-PENAMENTO DA SEÇAO 90 3.1 - Interpolação na direção x.... .. . . 90
3.2 - Determinação do ângulo
q,... ..
933.3 - Os mêtodos de resTduos ponderados... 98
3.5 - Comentários sobre o processo iterativo principal... 112
CAPITULO IV - METODO SIMPLIFICADO... 116
4.1 - Hipõteses simplificadoras - 19 estágio... 116
4.2 - Hipõteses simplificadoras - 29 estágio... 120
4.3 - Incõgnitas e equações... 122
4.4 - O método da seção equivalente... 128
4.5 - Processo iterativo... 133
CAPITULO V - METODO PR~TICO BASEADO EM RECOMENDAÇÕES DE NORMAS... 139
5.1 - Dimensionamento da armadura transversal segundo cri terios de norma... 140
5.2 - Determinação do ángulo de inclinação das bielas.... 144
5. 3 - I ncõ gn i tas e e qua ç oe s . . . ; . . . l 4 6 5.4 - Processo iterativo... 150
CAPITULO VI - RESULTADOS . . . ,, .... , , . . . 156
6. l - Programa de computador... 156
6.2 - Definição do erro medio... 158
6.3 - Análise comparativa dos processos propostos... 160
6.4 - O ángulo de inclinação das bielas... 187
CAPiTULO VII - CONCLUSÕES... 199
BIBLIOGRAFIA... 204
APtNDICE A - PROGRAMA DE COMPUTADOR... 212
A.1 - Descrição geral do programa... 212
A.1.1 - Subrotina LERCTE... 213
A.1.2 - Subrotina LERSRT... .... . ... . . .. .. .... .. .. .. 213
A.1.3 - Subrotina LERSCC... 214
A. 1.4 - Subrotina DIFER... 214
A.1.5 - Subrotina ECOM... 214
A.1. 6 - Subrotina EACO... 214
A.1.7 - Subrotina SIMSON... 215
A.1.8 - Subrotina FLUXTH... ... .. 215
A.l.9 - Subrotina XXSDT... 216
A . l . l O - S ú b ro ti na X X F. . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 A.l.11 - Subrotina XTANOl... 217
A.1.12 - Subrotina XTAN02.... ... .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . 218
A.1.13 - Subrotina XTAN04... 218
A.1.14 - Subrotina RESOLV... 219
A.l.15 - Subrotina DEFORl... 219
A.l.16 - Subrotinas DEFOR2 e DEFOR3... 219
A.1.17 - Subrotina DEFOR4... .... .. . .. .. .. .. .. 220
A.1.18 - Subrotinas
xxi11rn
e DEFOR5... 220 A. l. 1 9 - Sub r o t i na IJ1 PR 1 .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. .. 2 21A. l. 20 - Subrotina IMPR2... 221
A.l.21 - Subrotinas XXGXZ e IMPR3. . . . .. . . 221
A.2 - Dados de entrada... 222
b fc k fcd fyk fyd k p V X , y, Z z. l SIMBOLOGIA
- largura variãvel da seçao - constante de diferenciação
- resistência caracter1stica do concreto - resistência de cãlculo do concreto
- resistência caracter1stica da armadura longitudinal - resistência de cãlculo da armadura longitudinal - lndice associado a seçao transversal {k = l ,2,3,4)
- coeficientes que definem a derivada das deformações longitudinais na direção x
indice associado a seçao transversal
(l
= l ,2,3,4)- numero de termos da expansao polinomial que define a deformada
- componente vertical do fluxo de cisalhamento - coordenadas retangulares
- valor dez no bordo inferior da seçao - braço de alavanca
valor dez no bordo superior da seçao
E .c I M M N
s
V- inclinação da tangente a curva tensão-deformação do concreto
- inclinação da tangente a curva tensão-deformação do aço
- força na armadura longitúdinal a cada nível
momento de inércia da seçao equivalente em relação ao centro de gravidade
- momento fletor de cãlculo - momento fletor incremental - momento fletor igual
ã
(M + H) - esforço normal de calculo - esforço normal incremental - esforço normal igual a (N + N)··momento estãtico da seçao equivalente em relação ao centro de gravidade
superfície na qual as condições de contorno definidas em termos de deslocamentos
superfitie na qual as condições de contorno definidas em termos de forças
- esforço cortante
estão
estão
y E~
e
~a 0 sw ªsublongitudinais, aqui denominado deformada, 1 inear. - coeficientes que definem uma deformada
numa seçao k. - distorção angular
- deformação longitudinal - deformação vertical
- deformação da armadura transversal - deformação na direção da biela
ângulo dos estribos em relação ao eixo z
empenada,
ângulo de inclinação das bielas em relação ao eixo x direção das tensões principais de compressao no es-tãdio II
- tensão longitudinal no concreto
- tensão longitudinal fictlcia no concreto - tensão na armadura longitudinal
- tensão na armadura transversal - tensão tangencial subtrativa - tensão tangencial no concreto
'Rd
f'
fº
- tensão nas bielas de concreto
- tensoes num elemento infinitesimal nao fissurado ou tensoes impostas num elemento infinitesimal fissura do
- tensão definida no Cõdigo Modelo CEB/FIP47
- taxa de armadura transversal.
- taxa de armadura longitudinal
- derivada parcial da função f em relação a x
INTRODUÇAO
O comportamento de peças lineares de concreto ar-mado, submetidas somente a flexão e esforço normal, estã conve-nientemente explicado por uma teoria consistente,
ãs normas de diversos pa,ses.
incorporada
A vasta maioria dos elementos estruturais nao es-tã, porem, submetida a este caso particular de solicitação, de-vendo resistir também a esforços cortantes. Estes, raramente ocorrem isoladamente, mas sim associados
ã
flexão e ao esforço normal. Deve-se, portanto, examinar o efeito destes esforços so licitantes atuando concomitantemente.A hipõtese de Bernoulli (a seçao transversal per-manece plana apos a deformação) permite um desacoplamento do
problema do cãlculo de tensões em peças lineares de material ho mogêneo e elãstico. As tensões normais independem do esforço cortante e as tensões tangenciais, por sua vez, do momento fle-tor.
As teorias adotadas para vigas e pilares, de con-crito armado ou protendido, pressupõem este desacoplamento do problema. Demonstra-se que esta simplificação necessita de cor-reções. A regra da decalagem ê uma correção emp,rica que intro-duz indiretamente o efeito do esforço cortante na determinação das tensões horizontais. Ensaios antigos, realizados por
Morsch15, jã mostravam a influência do momento fletor na distri
buição das tensões tangenciais. E, experimentalmente, constata-se um empenamento da constata-seção transversal apõs a deformação.
A extensão do método dos elementos finitos ãs pe-ças de concreto armado, permite considerar diversas caracter,s-ticas reais de seu comportamento resistente, e assim determi-nar, com boa precisão, as tensões e as deformações ao longo de todo o elemento estrutural. Um resumo dos métodos atuais de aplicação de elementos finitos em concreto armado pode ser en-contrado no trabalho de Gergely e White39
• Todavia, estes cãlcu
los necessitam de grande esforço computacional e portanto nao sao adequados para a prãtica de projeto.
Devido a este incoveniente de ordem econômica,uma formulação mais simples ê aqui desenvolvida. Analisa-se o pro-blema numa Ünica seção, obedecendo porem a princ,pios lÕgicos da mecânica estrutural. Os critérios podem ser aplicados a qual quer tipo de seção transversal, com um eixo de simetria, subme-tidas a um carregamento combinado de esforço normal, momento fletor e esforço cortante. Admite-se que os esforços normal e cortante permanecem constantes no intervalo estudado, e que a armadura de cisalhamento ê constitu1da por estribos contidos em planos perpendiculares ao eixo da peça. Considera-se que o con-creto não resiste
ã
tração e que os esforços de compressão es-tão orientados segundo as direções das fissuras. Estas direções sao variãveis ao longo da altura e do comprimento da peça. A ar madura longitudinal não varia no intervalo estudado. Estares-trição, feita ao longo de todo o trabalho, pode porem ser facil mente introduzida nos mêtodos propostos.
Esta formulação pode ser considerada uma exten-sao, ao nivel de um element9 infinitesimal, da teoria da trel i-ça de Ritter-MÜrsc~.Collins•,•, 1
• , 11 denominou-a de teoria do
"Campo de Compressão Diagonal'', em analogia ao trabalho de Wagner14
, onde este analisa o comportamento resistente ao esfor
ço cortante de vigas metilicas de alma esbelta. Ele assume que, apõs a flambagem, as almas esbeltas não são capazes de resistir a esforços de compressão, e que o esforço cortante ê absorvido por um "Campo de Tração Diagonal".
Os primeiros trabalhos sobre o assunto, realiza-dos por Collins 8
, 9 , 10, 11 e tambêm por Guedes, Prê e Maia7,
ado-tam a hipótese das seções planas. Serão aqui desenvolvidas as equaçoes que completam a teoria e um mêtodo numerico de solução que permitem considerar o empenamento -da seção transversal apõs a deformação.
A partir desta teoria consistente, desenvolveu-se um processo simplificado para a pritica e implementação de pro-gramas de determinação de tensões e deformações. As hipõteses adotadas permitem a aplicação do mêtodo da seção equivalente, preconizado por Diaz1
, 2 ,_3 , 4 •
Finalmente, analisa-se comparativamente os proce~ sos rigoroso e simplificado e uma outra formulação, desenvolvi
da por Diaz1
• 2 • 3•4 ,. baseada no mesmo modelo mecãnico e em
cri-térios de dimensionamento defintdos em normas.
Cumpre notar que as equaçoes aqui desenvolvidas e os metadas propostos se aplicam a uma peça de espessura redu zida, ainda que variãvel. Não obstante, seções circulares fo-ram analisadas. Nestas, a hipÕtese, adotada neste trabalho, de que as tensões tangenciais se desenvolvem numa unica dire-çao, representa uma simplificação do problema espacial real. Nada impede, porem, que uma anãlise em tres dimensões seja também formulada.
O presente trabalho pretende ·dar uma contribui-çao teõrica
ã
verificação de tensões em peças lineares de con-creto armado e pretendido, submetidas a solicitações combina-das de,esforço normal, momento fletor e esforço cortante e for necer bases necessãrias para a implementação de processos num~ ricos de dimensionamento. Integra uma linha de pesquisa que p~ derã determinar, no futuro, os critérios de verificação a rup-tura de peças lineares de concreto armado.CAP1TIJLO I
MECANISMOS DE RESISTtNCIA DE PEÇAS
LINEARES DE CONCRETO ARMADO
Os mecanismos de resistência de peças lineares de concreto armado, submetidas a solicitações combinadas, são bas-tante complexos, o que dificulta atê hoje o estabelecimento de um mêtodo geral e consistente para o dimensionamento. O numero de variãveis envolvidas dificulta a interpretação dos resulta-dos resulta-dos ensaios e o estabelecimento de um modelo fisico simpli-ficado que permita uma anãlise global do problema.
Serão apresentados algumas teorias e conceitos que ilustram a concepção atual do comportamento de vigas e pilares de concreto armado sob momento fletor, esforço cortante e nor-mal, e que facilitarão a compreensão dos mêtodos propostos.
1.1 -
DIMENSIONAMENTO A FLEX~O COMPOSTA
O estudo intensivo do comportamento de peças li-neares de concreto armado submetidas apenas a flexão e esforço normal, alcançou conclusões importantes, universalmente acei-tas, incorporadas ãs normas de diversos paises.
As hipõteses bãsicas do dimensionamento a flexão composta de el•ementos estruturais lineares são:
a) Supõe-se perfeita a aderência entre o aço e o concreto. Ou seja, a armadura sofre a mesma deformação longitudinal mêdia que o concreto que a involve.
b) As seçoes transversais permanecem planas apos a deformação (hi põtese de Bernoulli). Assim, as deformações Eh das fibras de uma seção na direção horizontal são proporcionais ãs suas distâncias z a linha neutra, ou seja, o diagrama de deforma-ções ê linear:
( 1 . 1 )
c) Admite-se que as tensões horizontais no concreto (ahn) e na armadura (os) são funções destas deformações longitudinais. Ou seja:
d} A resistência a tração do concreto ê desprezada. Assim, de acordo com a hipõtese anterior, as componentes horizontais das tensões são consideradas nulas na região de deformações longitudinais positivas. Todas as forças de tração necessa-rias para manter o equilibrio interno serão
pela armadura.
A verificação ã ruptura
ê
definida pelas deforma-çoes especificas limites fixadas pela norma em uso. Diversos ãbacos e tabelas de dimensionamento têm sido apresentados para os casos das seções mais comuns e disposições usuais de armadu-ra.Santathadaporn e Chen 1 8
, Gal goul ! '!, e outros
im-plementaram programas de computador que permitem a determinação das tensões e deformações longitudinais numa seçao transversal submetida a um conjunto de esforço normal N e momento fletor M. Este processo iterativo, baseado no método de Newton - Raphson, sera aqui apresentado resumidamente.
b SEC ÃO TRANSVERSAL
....
~-e
DEFORMAÇÕES LONGITUDINAIS -, I / ~ -"7 Ohn Os.
. TENSOES. HORIZONTAISFig. 1.1 - Tensões e deformações numa seçao submetida a flexão composta
Jzi z.
,
Fl = b.ahn.dz +I
ªs·As-
N =o
( l . 4 ) zs zsJz
i z.,
F2 = b.ahn.z.dz +l
ªs·As.z-
M =o
( l. 5) zs ZSonde b
e
a largura da peça, variãvel a cada nivel z da seçao e Ase
a ãrea de armadura longitudinal, .considerada discreta ao longo da altura.Deseja-se encontrar os parâmetros a
1 e a2 que de-terminam a deformada Eh que satisfaz as equações (1.4) e ( l . 5 ) . A parti r d e um a estima tiva d estas v ar i ã v e i s , num a i ter a -ção !, determina-se os valores de F
1 e F2 segundo as expressões (1.4) e (1.5). Caso o equilibrio esteja satisfeito, interrompe-se o processo. Em caso contrârio, inicia-interrompe-se uma nova iteração (I + l) com uma nova aproximação de a1 e a2. Esta nova estimati va e calculada resolvendo o sistema de equaçoes:
( l. 6)
onde 6Fn e a diferença entre o valor exato da expressao Fn e o valor obtido na aproximação !. Os valores exatos das expressões Fn são nulos, tais como definidos nas expressoes (1.4) e (1.5).
Assim, os acréscimos
nF
sao iguais a: n( 1. 7)
( l . 8 )
ou seja, os valores encontrados na iteração I, com sinais troca dos.
Os valores das derivadas parciais no sistema de equaçoes (1.6) são calculados através das expressões (ver Santathadaporn e Chen'ª): Jzi z.
aN
l=
E . b. dz +l
Es.Asa
a1
zs c zs ( 1. 9) z.aN
aM
Jz
i l=
=
E .b.z.dz +l
Es.As.zªª2
ªª1 zs c zs (1.10)aM
Jz
i z i=
E . b. z 2. dz +l
Es.As.22ªª2
zs c z s (1.11)onde Ec e Es sao as derivadas aa/clE nos pontos das curvas ten-sao deformação do concreto e do aço. Segundo a hipõtese (c), es tes valores dependem da deformação longitudinal Eh na altura da seçao definida por z, podendo inclusive se anular, caso os mate riais se encontrem no patamar de escoamento.
Apôs resolvido o sistema de equaçoes (1.6), as no vas estimativas dos coeficientes a
1 e a2, correspondentes a ite ração ( I + 1), serão:
a
1 ( I + 1) = a1 ( I) + lial (1.12)
(1.13)
Este processo iterativo converge rapidamente, fo~ necendo a deformada de uma seção solicitada por esforço normal e momento fletor.
1.2 - DISTRIBUIÇAO DE TENSOES EM SEÇOES SUBMETIDAS A COMPOSTA COM ESFORÇO CORTANTE
FL'EXAO
Deve-se observar que as hipóteses adotadas no di-mensionamento a flexão composta não se adaptam quando a seção ê
submetida tambêm a esforço cortante. A experiência mostra que, neste caso, bielas diagonais de compressão atravessam a região de deformações longitudinais positivas. Consequentemente, deve-se levar em consideração as componentes horizontais das tensões nestas bielas.
Collins8
, 9 , 10, 11 , Diaz1 , 2 , 3 , 4 eGuedes, Prê e
Maia7
mostraram, admitindo que o concreto funciona como um con-junto de pequenas bielas, intercaladas entre fissuras, que o diagrama de tensões horizontais tem a forma apresentada na Fig~
\
Fig. l .2 - Tensões nas bielas diagonais de compressao
8
Fig. 1.3 - Tensões horizon·tals numa seção submetida a flexão com posta e esforço cortante.
Na Figura 1.3, <j, ê o ãngulo de inclinação das bie las, variâvel ao longo da altura, º<Pê a tensão na biela de con ereto e ºs
e
a tensão na armadura longitudinal. A tensão hori-zonta.l no cóncreto ,_denominada ºh, ê a tensão normal a uma face ta vertical.No estâdio !, a tensão de cisalhamento T, junta-mente com as componentes horizontal ºx e a vertical o
2 ,
defi-nem o estado de tensões existente num ponto do elemento estrutu ral. Com estes valores, ê poss1vel determinar as tensões princ~ pai s o I e o II.
X
r
'
Fig. 1.4 - Trajetõria das tensões principais em uma viga homogi nea e elãstica.
Em um material homogêneo e elãstico, desde que ,as hipõteses usuais da Resistência dos Materiais sejam considera-das (ver Timoshenko e Goodier16
) , a tensão de cisalhamento ou
a tensão tangencial T pode ser obtida através da expressão:
v.s
T = (1.14)
b . I
onde Vê o esforço cortante, Sê o momento estãtico da ãrea da seçao acima do nivel em anâl ise, b ê a largura (variãvel ao lon goda altura) e I ê o momento de inercia. Tais parâmetros sao calculados em relação ao baricentro da seção.
A resultante destas tensões, ao longo da altura e largura da seção ê igual, naturalmente, ao esforço cortante.
O conceito de tensão de cisalhamento pode seres-tendido ao concreto armado fissurado. Neste caso, define-se a tensão de cisalhamento ªt como a componente cisalhante, numa fa ceta vertical, 'de um elemento fissur.a.do de concrefo armado_(ver Figura 1.3).
Através de considerações de equilibrio em duas s~ çoes adjacentes, pode-se determinar as tensões tangenciais ªt' a partir das tensões horizontais no concreto e na armadura.
1 '
r
..
' ' ' ' I I / / / oh \ \'
z -\ b.oh+d(b oh) Zj As. Os 1 dxFig. 1.5 - Tensões horizontais em du~s seçoes adjacentes
Por conveniência de notação serao feitas aqui,com referência ãs derivadas parciais de uma função f, as seguintes convençoes:
af/ax = f' ôf/3z = f'
O equilibrio de um elemento infinitesimal exige que as tensões de cisalhamento nas direções horizontal e_1vertical
sejam iguais.
o
equilibrio na direção X fornece a seguinte ex-pressao, para uma determinada altura z:z
f
z z b.crt.dx + d{b.crh).dz +I
d(As·ªs) =o
(1.15) z s sonde b
e
a largura da seçao, variãvel ao longo da altura, zs e o nivel da face superior e z.,1 da inferior.
Da expressao (1.15}, tem-se:
(1.16)
Uma expressao equivalente pode ser obtida, par-tindo-se a integração da face inferior da viga:
=
fz
z.l
(1.17)
As expressoes (1.16) e (1.17) sao vãlidas conside rando a peça fissurada ou não.
Alguns conceitos tradicionais serao apresentados investigando-se uma viga de concreto armado e seção retangular.
Esta viga
e
apresentada na Figura 1.6. No trecho analisado, a viga estã sujeita a momento fletor variãvel e es-forço cortante constante. Neste caso não foram considerados,porsimplicidade, esforços normais. F RECHO ANALISADO F
*
M V Xe
l
r
M+dM))t
V h d ,...
dxFig. l. 6 - Viga de concreto armado 'em anãl i se
X
L
Fig. 1.7e
e;h©
DEFORMAÇOES LONGITUDINAIS .. Fc ah Fs TENSÕES HORIZONTAISz,
~' '
'
a,
o APROXIMAÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAISTensões horizontais e tangenciais no concreto
Na Figura l. 7, F c e a resultante das forças de compressao no concreto, Fs = As·ºs
e
a força de tração na arma-dura e zle
o braço de alavanca, tem-se:Da Resistência dos Materiais, obtêm-se a relação entre o momento fletor Me o esforço cortante V:
M' = V (1.19)
Pode-se admitir que, abaixo da linha neutra, as tensões horizontais no concreto dependem basicamente do esforço cortante. Como este permanece constante no intervalo analisado, pode-se concluir que, na zona tracionada da seção, a variação na direção longitudinal das componentes horizontais das tensões no concreto ê pequena (b
0• ºh - O). Assim, de acordo com a ex-pressão (1.15), admite-se que o diagrama de tensões tangenciais seja aproximadamente vertical, como apresentado na Figura 1.7. A validade desta simplificação sera estudada no decorrer deste
trabalho.
•
A tensão ºto ê denominada tensão convencional de cisalhamento. A expressão (1.17), juntamente com a aproximação (b
0
.oh) ;
O abaixo da linha neutra, fornece:b .o = F'
o to s (1.20)
Admitindo que o braço de alavanca zl permaneça aproximadamente constante ao longo do eixo x, tem-se, a partir de (1.18), (1.19) e (1.20):
Este valor convencional
e
normalmente utilizado pelas normas de concreto armado. Observa-se que ºto depende do valor do esforço cortante, da largura da viga e do braço de ala vanca. Tem sido admitido, na teoria usual do concreto armado, que z.e. seja o ,braço de alavanca das forças internas, quando a peça estã submetida a flexão simples, sem esforço cortante. Se-rã visto mais tarde, neste trabalho, que esta suposição não e mecanicamente correta.A definição do braço de alavanca z.e. torna-se ain-da mais dificil quando a armadura longitudinal
e
distribuida ao longo da altura da peça ou quando,devidoã
introdução de esfor-ços normais, a linha neutra situa-se fora da seção. Assim, em muitos casos da prãtica, a avaliação das tensões decisalhamen-to não
e
tão simples quanto sugere a expressão (1 .21).1.3 - DISTRIBUIÇAO EFET1VA DAS TENSOES DE C!SALHAMENTO
A distribuição efetiva das tensões de cisalhamen-to pode ser determinada caso se obtenham experimentalmente medi-das de deformações que permitam definir a distribuição de ten-sões horizontais no concreto e na armadura em duas seções adja-centes. Morsch 15 ensaiou neste sentido vigas de seção
X
r
7 5i 1j
llX yr
Fig. l .8 - Esquema para anãlise das ténsões efetivas ºt
Pode-se obter, através da equaçao (1.15), uma ex-pressao que fornece o valor aproximado da tensão tangencial ºt no intervalo llx, a partir da diferença entre os valores experi-mentais das tensões horizontais, no concreto e na armadura, nas duas seçoes adjacentes I e li. A cada n1vel z da altura da se-çao, tem-se:
0
t-efetiva b.(llohefetiva/llx).dz
-(1.22)
A expressao (1.22) é vãlida para peças fissuradas ou nao. No seu exame do problema, M~rsch15
constatou experi-mentalmente que, em peças de concreto armado nao fissuradas, a
distribuição efetiva do diagrama das tensões de cisalhamento não depende somente da forma da seção transversal, mas também
da natureza da armadura e do momento fletor. X
r
1.00±
1.00±
1.00 1 1 1 1 1 1 1 17.80kN 17.80kN~
!
'1780 kN~ l
____
~ / 1 7 . 8 0 kN~
' ' ',, ' ''~
º10=249kPal, +-~----+' , \ 1 1 1 1 1 1 1 1',
,.
' 1 ESTADIO I --\ESTÁDIO 'M= 8.8 a 11.8 kN. m 1 ~ \ ESTÁDIO lI ---- \ M= 14.8 o 17.8 kN.m M='ll.8 o 14.8kN.mFig. 1.9 - Diagramas efetivo e teórico das tensões de cisalha-mento em uma viga retangular
A Figura 1.9 apresenta os resultados de ensaios realizados por Morsch numa viga retangular simplesmente apoiada e carregada por 2 forças concentradas.
Os diagramas da tensão T apresentados acima em li
nha cheia foram obtidos por um esforço cortante constante V= 17.80 kN e por momentos fletores variãveis de M = 8.80 kNm a
M = 17.80 kNm. As linhas descontinuas apresentam os diagramas das tensões de cisalhamento teõricas admitindo-se a relação en-tre os mõdulos de elasticidade do aço e do concreto (n = Es/Ec)
iguais a 6.45 e 15, respectivamente no estãdio I e no II.
Observa-se que para valores pequenos do
estãdio
momento fletor, os valores experimentais concordam bastante com o dia-grama teõrico da tensão de cisalhamento com n = 6.45, no estã-d i o I.
Apesar de nao haver nenhum impedimento teõrico, nestes ensaios não foram calculadas as tensões tangenciais efe tivas no estado fissurado.
..
1.4 - ANALOGIA DA TRELIÇA DE RITTER-MORSCH
O mecanismo clãssico para a consideração dos pro-blemas de cisalhamento em vigas de concreto armado é baseado na analogia da treliça de Ritter-Morsch.
Os banzos comprimido e tracionado sao paralelos e constituidos respectivamente pela zona comprimida do concreto e pela armadura longitudinal. As diagonais de tração podem ser formadas por barras longitudinais dobradas oú por estribos,
in-clinados ou nao. Por razoes prãticas, entretanto, sao adotados principalmente estribos verticais. As diagonais comprimidas sao compostas pelas bielas de compressão no concreto, situadas en-tre as fissuras.
A treliça ê considerada internamente estaticamen-te deestaticamen-terminada (isostãtica). A formulação tradicional admite que o ângulo• entre a biela de compressão e o eixo da viga se-ja igual a 45°. As forças internas das diagonais podem assim ser calculadas apenas através de condições de equil1brio, nao se levando em conta as condiç~es de compatibilidade.
7<\/2
FcJ
X --+L
/F~-
Fs 1z,
Fig. l. 10 - Analogia clãssica da treliça (estribos verticais)
O esforço no banzo comprimido ê denominado Fc' no ba1zo tracionado Fs, na diagonal comprimida F• e na
tracionada Fw.
diagonal
Se forem dispostos estribos muito afastados entre si, a grande distância entre os montantes tracionados pode
pro-vocar uma ruptura prematura por esforço cortante. As diagonais tracionadas, constitu1das pelos estribos inclinados ou barras dobradas, devem estar, portanto, convenientemente prõximas, ob-tendo-se assim treliças de elementos multiplos ou treliças em malha.
X
r
Fig. 1.11 - Treliça em malha (estribos verticais)
-A treliça em malha e internamente de alta hi-perestaticidade. De acordo com a analogia da treliça de Ritter--Morsch, ela ê considerada como uma superposição de vãrias tre-liças isostãticas com elementos simples, cada uma recebendo o seu quinhão de carga.
Através de considerações de equil1brio obtêm-se as expressoes que fornecem os esforços nos elementos da treliça em ~alha com diagonais tracionadas (estribos) verticais, conside-rando o ângulo de inclinação <jJ da biela igual a 45°:
F =
c l!_
+ V
2
Fs
=
M + -V (1.24) Z,e_ 2F <P
=
-
12.
V (1.25)F
=V
w (1.26)
O esforço de tração na alma refere-se a um compri mento z,e_. Assim, a tensão na armadura transversal (osw) serã:
(1.27)
onde pw e taxa de armadura transversal referida a largura b 0•
Da mesma forma, o esforço F<P estã relacionado ao comprimento z,e_/12. A tensão media no concreto numa diagonal comprimida serã:
(1.28)
Se a peça estivesse submetida apenas a flexão, .s~ riam encontrados os seguintes esforços nos banzos comprimido e tracionado: F = M (1.29) c zl Fs = M (1.30) Z,e_
Observa-se então, nas peças submetidas a flexão e esforço cortante, que a força de tração Fs na armadura longitu-dinal
e
maior que naquelas submetidas apenas a flexão. Em con-trapartida, o esforço de compressão Fc no concreto do banzo su-perior e menor, em mõdulo. ·DIAGRAMA -M/z1 llFc = IIF5 : V/2
e
--DIAGRAMA M/z1---ESFORÇOS INO BANZO COMPRIMIDO - Fc
ESFORÇOS NO BANZO TRACIONA DO ..:.. F6
Fig. 1 .12 - VariaCão dos esforços nos banzos da treliça (• =
45º) com diagonais de tração verticais
O aumento do esforço no banzo tracionado pode ser apresentado como um deslocamento horizontal do diagrama M/zl em direção ao apoio.
t
fâcil mostrar, no caso de diagonais de tra-ção verticais, que este deslocamento ªl assume o valor:(1.31)
Este procedimento, denominado regra da decalagem, pode ser apresentado como uma correção do dimensionamento usual
ã flexão de modo a considerar o esforço cortante na determina-ção das tensões horizontais.
Desde que as zonas de tração e de compressao se-jam bem delineadas, a hipõtese da treliça com inclinação das bielas igual ã 45° e estribos verticais conduz, no caso de fle-xão composta, ãs seguintes expressões para os esforços nos ban-zas:
F c = -M + N + V (1.32)
Z,e_ 2 2
Fs = M + N + -V (1.33)
Z,e_ 2 2
onde N e o esforço normal.
Observa-se, então, que a regra da decalagem deve ser aplicada com ·bastante cuidado no caso de flexão composta.Os esforços obtidos considerando o comportamento da peça submetida apenas a flexão e esforço normal sao representados pelos dois primeiros termos do lado direito das equaçoes (1.32) e (1.33). No caso da seçao estar totalmente tracionada, os esforços forn! cidos pela teoria de flexão composta (vide seção 1.1) serao, em ambos os banzas, majorados em mõdulo No caso da seçao to-talmente comprimida, os esforços em ambos os banzas serao, em mõdulo, reduzidos. Finalmente, e poss1vel a inversão dos senti-dos das deformações. Uma seçao que, segundo os metadas de anã l i se de flexão composta, estã totalmente comprimida, pode na
rea-lidade estar, devido ao esforço cortante, parcialmente traciona da.
l .5 - EXTENSAO DA ANALOGIA DA TRELIÇA BASEADA NO PRINC1PIO ENERGIA COMPLEMENTAR M1NIMA
DA
A experiência, contudo, mostrou claramente que a alma das vigas pode apresentar bielas de compressão menos in-clinadas que a hipõtese usual de 45°. Isto ê um dos motivos Pº! que, mesmo utilizando menos cerca de 50% da porcentagem de es-tribos necessãrios pelo cãlculo clãssico segundo a analogia da treliça de Ritter,MÜrsch, a ruptura por flexão ocorre antes da ruptura por esforço cortante.
A menor inclinação das bielas diagonais comprimi-das pode ser aplicada por 3 fatos:
a) A inclinação mêdia das fissuras e inferior a 45°, como mos-tram os ensaios.
b) Entre duas fissuras inclinadas vizinhas, o concreto pode su-portar um esforço obl1quo. Logo, a inclinação da bie-la comprimida ê inferior, em alguns graus, ãquebie-la das fissu-ras.
c) Na fase final de ruptura, a rugosidade entre dois bordos divididos por uma fissura (efeito de engrenamento) pode su-portar tensões de cisalhamento na direção destas fissuras.
Os ensaios mostraram que este terceiro fenômeno (c) pode conduzir a formação de fissuras obl1quas pouco inclina das, entre as fissuras iniciais.
As expressoes (1.23) a (1.28) podem ser ampliadas para o caso de estribos verticais e um ângulo de inclinação $ das bielas, em relação ao eixo .da peça, qualquer:
F = -M + V
.
cot $ (1.34) c zl 2 Fs = -M + -V cot $ (1.35) zl 2 F$ = V/sin $ (1.36) F = V (1.37) ~J l V <\o (1.38) (J $ = =sin $.CDS $ b o·z.e. sin $.cos $
(1.39)
A redução do ângulo$ conduzirã, portanto, a um aumento da tensão na armadura de tração e uma redução da tensão na armadura de cisalhamento.
Torna-se importante no câlculo ã ruptura, quando se pretende que as tensões nas armaduras longitudinal e
trans-versai atendam a um limite mãximo concomitantemente, uma avali! ção correta do ângulo~- Uma estimativa menor ou maior deste P! râmetro conduzirã a valores acima destes limites da tensão da armadura de cisalhamento ou da de flexão.
Kupfer31 desenvolveu uma extensio da analogia da
treliça em malha na qual a determinação do ângulo ~
e
feita a partir do princ1pio da energia complementar m1nima. Em sua anãl i se, considera uma viga T onde a espessura da alma b0 e pequena em relação a mesa de compressão bm, e a espessura da mesa h
0 e
pequena em relação ao_b!aç9 de alavança zl.
!
J
:,,- -,,, -.... - - -...- - - , . - - - 7 - - , ,. --,,----7n- +--/ ,; , ,,,"' ,"'/ I , , , , , , , , , , , , , .. ,,.. / f , , , .,. .. "' // I '-7 , , , , , , , ' , , ' / ' 1/ ' ' , ' ' ' 1 . ' , , , , , ' / ' --+T
,_ ,-ZONA SEM PERTURBAÇÃOFig. 1.13 - Esquema da treliça segundo Kupfer
Nas vizinhanças dos apoios e das regiões de intro dução de cargas concentradas, as diagonais comprimidas têm uma disposição radial. Admite-se que na zona sem perturbação, a in-clinação destas diagonais permanece aproximadamente constante.
Tal como na formulação de Morsch,
e
analisada uma treliça simples equivalente a uma treliça múltipla. Supõe-se ta.':!_to para o.aço como para o concreto um comportamento elãstico e que o concreto não resiste
ã
tração.Aplicando-se o principio da energia complementar minima, por unidade de comprimento da viga, obtém-se uma equa-ção não linear cuja soluequa-ção fornece o ângulo <j,:
ºs + n.oc tan3
<j, - tan <J, - n.oto • (l-tan4<J,) = O
0
sw
(1.40)
onde ºs e a tensão na armadura longitudinal, ºc é a tensão do concreto na mesa de compressão e n é a relação entre o m6dulo de elasticidade do aço e do concreto. Deve-se adotar na .,equa-çao os sinais algebricamente corretos (as tensões de compressao sao negativas).
Utilizando a equaçao (1.40) Kupfer obteve os dia gramas representados na Figura l. 14. A disposição destas curvas indicam que tan <j, tende assintoticamente ao valor da teoria de Méirsch (tan <j, = 1)
ã
medida que crescem os valores dos parame-tros n.ot0/osw e (os+ n.oc)/osw· Observando-se que (os+ n.oc) é maior para seções mais tracionadas conclui-se que o valor detan <j, serã tanto menor quanto maior for a tensão na armadura
transversal ºsw' quanto menor for a tensão convencional de cisa lhamente ºto e quanto mais comprimida estiver a seção.
A tensão na armadura transversal tende a crescer no caso de redução de sua porcentagem. Assim a diminuição do
grau de armaçao ao cisalhamento implica que as diagonais compr! midas sejam menos inclinadas, o que foi efetivamente estabeleci do através de ensaios. tan <I> 1.0 2.00 -\.75 0.9
'"'º
i . .-~
---
l>' ~o__,...,--
--
i-------
1----
....--....-- i---~-V
o~
1.---L--
L---. /--
i----V
~
'1,~~
v
...-//
('.fr'
/í
/ 06 +n.oc Osw 0.8 0.7 0.6 0.5 o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Fig. 1.14 - Ângulo de inclinação das bielas segundo Kupfer
Segundo Kupfer, na maioria dos casos da pratica, a equaçao (1 .40) fornece valores de <P em torno de 35º e 40º. Es
ta inclinação representa uma redução nos estribos de 75% a 85% em relação ao que exige o cãlculo segundo Morsch.
1.6 - EFEITO DE ARCO
Aplicando a relação entre o esforço cortante e o momento fletor (1.19) numa seçao de uma viga sujeita ã flexão simples, onde o esforço cortante não varia no intervalo estuda-do, .tem-se:
Na expressao acima o braço de alavanca zl repre-senta a distãncia entre a armadura e a resultante das tensões no concreto F c.
Admitindo-se que o braço de alavanca zl mantêm-se constante no trecho analisado, obtêm-se, observando-se a Figura 1. l 5:
Este resultado ê coerente com o da equaçao (1.20), pois confirma o equil1brio de um elemento infinitesimal situa-do imediatamente acima da armadura, onde o fluxo de cisalhamen-to horizontal, igual a força de aderência por unidade de comprl mento q, ê igual ao fluxo de cisalhamento vertical v
X
l
,, ELEMENTO DA VIGA ~ ' 'Vo• bo. Oto
'.
/FLUXO DE CISALHAMENTO
Fig. 1. 15 - Fluxo de cisalhamento e aderência
EQUILÍBRIO
!BARRA - ELEMENTO
f evidente então que esta distribuição de tensões so se verificarã caso os esforços possam ser
transferidos entre o concreto e a armadura.
convenientemente
Caso a aderência entre o aço e o concreto nao se realize (um caso extremo seria uma viga protendida com cabos não injetados), a força de tração Fs não pode se modificar ao longo do comprimento da peça. O esforço cortante serã absorvido pelo que se denomina efeito de arco.
A resistência a esforço cortante poderã então ser expressa pelo segundo termo do lado direito da equaçao (1.41 ):
1 1 1 1 1 1 1 ~ 1 Z 1 w 1 p
!
~~v-:J\
1 ' 1•
Fig. l. 16 - Deslizamento associado ao efeito de arco numa viga ideal, sem aderência
Apõs substituir-se a tração interna Fs pela com-pressao interna Fc na equação acima, compreende-se que o esfor-ço cortante serã absorvido pela componente vertical das tensões de compressao no concreto.
Observa-se, como esquematizado na Figura 1.16,uma forte inclinação do banzo comprimido. Este comportamento, deno-. minado efeito de arco, exige uma reação horizontal da armadura
no apoio e consequentemente uma boa ancoragem. Quando isto ocor re, uma força de tração constante pode desenvolver-se na armadu ra inferior.
O alongamento total da armadura entre as ancora-gens deve ser igual ao alongamento da fibra de concreto situada no mesmo n1vel. Porem, devido
ã
distribuição heterogênea das fissuras, poss1vel graçasã
ausência de aderência, hipÕtese que estã sendo analisada, a deformação da armadura nao sera igual a deformação media do concreto que a envolve, ao longo de toda a extensão da peça. Ocorre portanto um deslizamento relativo en-tre a armadura e o concreto, esquematizado na Figura l. 16.Nas vigas reais, apesar de praticamente nenhum e~ corregamento entre aço e concreto ser possivel, observa-se tam-bém uma forte inclinação do banzo comprimido em direção ao apoio. Ocorrem mecanismos, que analogamente
ã
ausência da ade-rência, diminuem a transferência de tensões entre a armadura e o concreto, diminuindo a taxa de variação do esforço de tração Fh e, por conseguinte, aumentando a participação da parcela Fh.zl na expressão (1.41). Tais fenômenos são basicamente, se-gundo Park e Paulay26, a rotação ou a ruptura dos balanços de
concreto formados entre as fissuras diagonais e a flexão na zo-na comprimida acima destas fissuras.
O efeito de arco nas vigas aparece gradualmente ao se analisar seções cada vez mais prõximas do apoio. Isto e constatado quando se determina experimentalmente valores da ten são na armadura longitudinal, em uma serie de seções ao longo do eixo da peça. Sendo conhecidos os valores dos momentos fleto res atuantes, pode-se calcular o desenvolvimento do braço de alavanca através da expressão (1.18).
1.7 - INFLUtNCIA DA FORMA DA SEÇAO TRANSVERSAL
Ao contrãrio do previsto pela teoria clãssica de MÕrsch, a forma da seção transversal tem forte influência sobre o comportamento resistente de vigas de concreto armado.
A seçao transversal retangular pode se adaptar mais facilmente do que uma seção em T
ã
forte inclinação doba~ zo comprimido exigida pelo efeito de arco. No caso de uma v~ga T, a força no banzo comprimido sõ pode ter uma inclinação quase horizontal, pois permanece na largura comprimida da laje quase atê o apoio. Assim, o banzo comprimido poderã absorver apenas uma pequena parte do esforço cortante, cabendo o restante a um comportamento passivei de ser associado ao mecanismo de treli-ça.----~~~-~~
---p
'
•
Leonhardt20 define um conceito de rigidez K. a
de-formação axial das barras da treliça anãloga:
K=F=E.A
E
(1.44)
Na expressao ( 1. 44), referida a uma barra genêrj_ ca, F e a força, E e a deformação, E ê o módulo de elasticidade
do material e A ê ãrea da seção transversal.
As barras de aço (armadura longitudinal e trans-versal) sao assim muito menos rigidas que as barras de concreto (banzo comprimido e diagonais comprimidas). Por exemplo, para uma relação entre as ãreas de uma barra de aço e outra de con-creto As/Ac = 0.01 e uma relação entre os módulos de elasticida de n = Es/Ec = 7, obtêm-se:
K =E.A = 0.07.Ec.Ac s s s (1.45)
onde Ks e Kc sao as rigidezas das barras de aço e de concreto.
A influência da relação entre as rigidezas dos elementos nao foi considerada na analogia clãssica segundo Morsch.
Nos ensaios de cisalhamento de Stuttgart,Leonhardt e Walther22
• 23 • 24 • 25 analisaram diversas vigas de seção
da mesa de compressao e a alma (b /b ). Permaneceram constantes m o o comprimento das peças, a largura da mesa, a forma de carrega-mento e as armaduras longitudinal e transversal.
Osw(MPal 350 fyk 300 250 200
T
- = 6 bm 0----0 bo 150T
- = 3 bm D---0 bo'ºº
50.,,
bm - = 2 + - + bo o~
bm - = I --bo -50 o 30 60 90 12.ô 150 ,eo P(kN)( 1) VALOR DE Osw SEGUNDO' O CÁLCULO CLÁSSICO DE MORSCH
Fig. l .18 - Tensões mêdi·as ·nos estfibos para diversas relações b /b
m o
Quanto menor e a relação bm/b
0 , mais rigidas sao as diagonais comprimidas em relação aos demais elementos da treliça.
Os ensaios mostraram que as inclinações das diag~ nais comprimidas variam com a relação b /b . Esta inclinação si
m o
-tua-se em torno de 30° para bm/b = l e cresce para 45° para
' o
b /b = 8 a 12, confirmando a influência da relação entre as ri
m • o
Este comportamento pode ser verificado atravês da equaçao (1.40) ou dos diagramas da Figura 1.14, onde se observa que uma menor tensão de cisalhamento ºto fornece valores infe-riores de tan q,.
A diminuição do ãngulo de inclinação das bielas q,
provoca uma redução nas tensões na armadura transversal. Este fenômeno, associado a maior inclinação da força no banzo compri mido devido ao efeito de arco, esclarecem porque, conforme os
resulta dos dos ensaios apresentados na Figura 1 .18, a tensão nos estribos ê cada vez menor ao reduzir-se a relação bm/b
0 •
1.8 - ANALOGIA DA TRELIÇA GENERALIZADA
Atravês das pesquisas sobre cisalhamento realiza-das em Stuttgart, anteriormente citarealiza-das, Leonhardt e Walther constataram que ê dificil estabelecer uma analogia perfeita en-tre uma viga fissurada de concreto armado e uma en-treliça isostã-tica. Na opinião destes autores, a analogia clássica da treliça deve ser ampliada de tal forma a se considerar uma treliça hip~ restãt i ca, onde os banzos comprimi dos não são paralelos e as d i~ gonais comprimidas estão menos inclinadas que 45°. Esta concep-çao pretende observar o efeito de arco e a influência da rela-çao entre as rigidezas dos diversos elementos que compõem a;tre l i ç a .
A analogia da treliça generalizada nao se presta para o dimensionamento, pois as treliças hiperestãticas so pod~
riam ser calculadas através de análises com custos relativamen-te altos. Estas são urelativamen-teis, porem, para a compreensão do compor-tamento estrutural.
p p
J
~
bm I...___ _ _
______,I T
6 6 ~
<I> ( FUNÇÃO DA RELAÇÃO bm/ bo)
Fig. 1.19 - Analogia da treliça generalizada
A adoção de ângulos de inclinação da biela infe-riores a 45° implica em menores tensões na armadura de cisalha-mento. Todavia, o esforço no banzo tracionado crescerã, exigin-do um deslocamento maior exigin-do diagrama M/zl.
1.9 - ANALISE PLASTICA DO MODELO DE TRELIÇA
ThÜrlimann32
• 33 desenvolveu um mêtodo de dimensio
namento de seções de concreto armado submetidas a solicitações combinadas de momento fletor e esforço cortante, baseado na teo ria da plasticidade e num modelo de treliça com o ângulo de in-clinação das bielas <P variãvel.
O processo;foi verificado e calibrado através de resultados de ensaios e serviu de base para o ''método refinado'' de dimensionamento preconizado pelo Cõdigo Modelo CEB-FIP 1978.
No método adotam-se valores arbitrãrios, porem dentro de certos limites, do ângulo~- Isto permite a redução da armadura transversal, exigindo, porém, um aumento da armadu-ra longitudinal.
Somente seçoes subarmadas sao consideradas, a fim de garantir que a ruptura ocorrerã devido ao escoamento da arma dura, antes do esmagamento do concreto.
O processo estã associado a um comportamento da viga em treliça. No intervalo estudado, admite-se que não se ve rifique o efeito de arco.
E analisado, por simplicidade, apenas o caso de estribos verticais. A Figura 1.20 ilustra as deformações plãstl cas de um elemento de concreto da alma de uma viga, apõs a fis-suraçao.
A variãvel Er define a deformação na direção per-pendicular a das fissuras. Eh e Ev são respectivamente as defor mações horizontal e vertical. Através de considerações geométrl cas, supondo que as deformações predominantes são aquelas prov~ nientes das aberturas de fissuras, obtém-se:
/ ; / ; cos <!> FISSURA e ot ct>
Fig. 1.20 - Deformações plãsticas em um elemento de alma
(1.46)
(1.47)
As deformações totais no estado limite ~~1timo de-pendem da redistribuição de tensões e fissuras que ocorrem du-rante o processo de carregamento. As relações acima podem ser, todavia, utilizadas para uma estimativa das deformações.
Para que a tensão na armadura transversal seja me nor ou igual a tensão de escoamento, a deformação vertical Ev deve no mãximo atingir uma deformação E . Neste caso, a
defor-wy mação Er serã obtida atraves de (1.46):
Er = E .(l + tan2cj))
A condição necessãria para que a tensão na armadu ra longitudinal atinja a tensão de escoamento e que a deform~-ção Eh seja igual a Ehy· Isto resulta que:
E r = E hy. ( l + c o t 2 cp ) ( l . 4 9 )
As relações (1.48) e (1.49) sao discutidas atra-ves da Figura l. 21, supondo que Ehy = Ewy = E
y e:, E:y 5 10
•
6 4 2 o O" ( 1 ) (2) 15º..,.
45º 60 0,5 ,,; ton<)),:;; 2,0( 1 ) ESCOAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL
(2) ESCOAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
75° 90°
Fig. 1.21 - Abertura das fissuras (Er) e as deformações de es-coamento nas armaduras
Para cj, igual a 45°, Er e por consequência a aber-tura das fissuras sera m1nima, ja que ambas as armaduras longi-tudinal e transversal atingem simultaneamente a tensão de escoa menta.
Se <j, for menor do que 45° ,não se pode atender a tensão de escoamento da armadura longitudinal a não ser atravês de um aumento assintõtico da abertura das fissuras e das defor-mações nos estribos. A fim de atender ã tensão de escoamento da armadura transversal para ângulos <j, maiores que 45° são necessã rias cada vez maiores deformações na direção normal ãs fissuras e na armadura longitudinal.
r
Õbvio, portanto, que o ângulo <j, deve variar den tro de certos limites. Baseando-se em ensaios, ThÜrlimann prQ_ pos:1/2 < tan <j, < 2 ( l . 50)
No CÕdigo Modelo CEB-FIP47 , de 1978, valores
mais prudentes foram utilizados a fim de limitar a abertura de fissuras não somente no estado limite último, mas tambêm para as condições de serviço:
3/5 < tan <j, < 5/3 (1.51)
Na maioria dos casos, o limite m1nimo de tan <j, co~ .duzirã a soluções mais econômicas. A redução da armadura
trans-versal, poss1vel atravês do mêtodo, estã obviamente associada a um acrêscimo da armadura longitudinal.
Nielsen et alii:4
investigaram tambêm a possibili dade de utilização da teoria da plasticidade associada ã
analo-gia da treliça. Admitiram, porem, que as membruras comprimida e tracionada são suficientemente seguras e que a melhor solução limite minima estã associada ao maior carregamento que conduz a tensão do concreto na biela de compressão e a tensão na armadu-ra tarmadu-ransversal, respectivamente, aos seus valores de escoamen-to.
1.10 - EFEITOS SECUND~RIOS
O funcionamento real do concreto armado ê natural mente bastante mais complexo que o admitido pela teoria de tre-liça, mesmo considerando as contribuições a teoria, feitas apos Morsch, anteriormente apresentadas.
Dois fenõmenos sao considerados particularmente i~ portantes: o encavilhamento das armaduras horizontal e vertical e o engrenamento entre as fissuras.
Kavyrchine35
, analisando teoricamente e experime~
talmente um painel fissurado, submetido a esforço cortante, le-vando em consideração os efeitos secundãrios, admitiu a seguin-te relação para o esforço H por unidade de comprimento do bordo da fissura, criado pelo engrenamento:
(1.52)
c
1 e um coeficiente constante, da ordem de 2 a 4 MPa, a partir de resultados de ensaios, º..L e a abertura das fis suras,º;;
ê o deslocamento relativo entre os bordos da fissu-ra e b0 e a largura da peça. O esforço de entrenamento H dimi-nui com a abertura de fissuras e aumenta com deslocamento rela-tivo dos bordos, ao longo do plano das fissuras.
O efeito de encavilhamento da armadura, entre duas fissuras pr6ximas, ê desenvolvido por 3 mecanismos] ilus-trados na Figura l. 23 ,
'FLEXÃO CISALHAMENTO DOBRAMENTO
Testes rea'l izados por Paulay et al ii~ 8 indicaram
que o dobramento e o mecanismo de maior peso nos esforços de e~ cavilhamento, notadamente quando barras de pequeno diãmetro são utilizadas.
X
l
Fig. 1. 24 - Determinação do efeito de encavil hamento
A reaçao transversal de uma barra
ã
sua introdução no concreto (Vcx ou Vez) pode ser calculada fazendo-se a hip6t! se de uma reaçao proporcional ao afundamento transversal da ar-madura no concreto (esquema da viga sobre base elãstica). Pode-se adotar, a partir de Baumann29, um m6dulo de reaçao elãstica
igual a Ks = 4.10" N/m3•
Atraves de cãlculos realizados por Foucault37 , en
contram-se:
( l . 54 )
onde ºsx e ºsz sao os deslocamentos transversais das armaduras nas fissuras, como mostra a Figura 1.24. Dx e Dz sao os diâme-tros das barras horizontais e verticais.As expressões (l .53) e (1.54) são adimensionais e portanto podem ser adotadas em qual-quer sistema de unidades.
Relativamente ao engrenamento, o encavilhamento das armaduras
e
considerado um mecanismo resistente menos impo~ tante. O desenvolvimento destes efeitos estã basicamente asso-ciado ao deslocamento relativo entre as fissuras. Para que es-forços importantes se verifiquem, sao necessãrios deslocamentos muitas vezes incompat1veis com um bom comportamento estrutural. Por este motivo, são normalmente considerados mecanismos secun-dãrios e seus efeitos, desprezados nos métodos de dimensionamen to.Outro aspecto importante
e
que a direção das ten soes nas bielas não e paralelaã
direção das fissuras. Kupfer e Moosecker38 mostraram que o engastamento das bielas nobanzo comprimi~o. o deslizamento dos estribos nas suas ancoragens, nos bordos superior e inferior, e a deformabilidade dos mesmos sao fatores que produzem este efeito.
/ / / / / / 7
,,
Fig. 1.25 - Influência do engastamento da biela e da deformabi-lidade do estribo na direção da resultante das ten-sões no concreto
,
Na Figura 1.25, observa-se que o ângulo de incl i-naçao da resultante das tensões no concreto ~Rê inferior ao an gul o de inclinação das fissuras ~F.
Os efeitos tratados nesta seçao nao serao considera dos nos mêtodos propostos neste trabalho.
1.11 - COMPORTAMENTO DO CONCRETO NA BIELA DE COMPRESSAO
Robinson e Demorieux'1
, ' 2 , estudando uma serie de
15 vigas em duplo Te alma delgada, solicitadas por esforço co~ tante, constataram que as deformações medidas sobre o concreto fissurado e traduzidas em termos de tensões com referência aos ensaios de compressão simples sobre um cilindro acusavam
ten-soes de compressao muito altas nas bielas de concreto.
Realizaram, então, ensaios sobre modelos de alma de vigas, submetidos a esforços de compressão e esforços de tr~ ção aplicados, simultaneamente, segundo duas direções obl1quas, fazendo um ãngulo de 45° entre si. Pretenderam, assim, simular o caso de vigas com armadura de alma vertical e diagonais com-primícias a 4
sº,
de acordo com a analogia clãssica da treliça.. -- -·-·---
·--CYA
CYB
CYC
(
ARMADURA
i
P,
ARMADURA
i~
Fig. 1.26 - Modelo de alma analisado por Robinson e Demorieux
Analisaram as deformações do concreto submetido a tensões de compressão iguais, em otto siries de tris corpos de prova.
O primeiro corpo de prova, referência CYA, ê um prisma reto de seção retangular, em concreto armado, e estã sub metido a tensões de compressao e de tração de tal forma que a primeira seja igual ao dobro da segunda. Esta condição se tra-duz pela relação:
= (1.55)
O segundo corpo de prova, classificado como CYB, tem a mesma geometria e armadura do primeiro, mas estã submeti-do unicamente
ã
compressão centrada.O terceiro, referência CYC, ê um prisma em concre to, sem armadura, com a mesma geometria do primeiro, e estã su-jeito tambêm somente
ã
compressão centrada.Foram ensaiadas oito sêries acima descritas.
Atravês de um estudo comparativo, os autores con-cluíram que o concreto,quando tracionado transversalmente, tor-na-se bastante mais deformãvel e atinge a ruptura sob tensões mais baixas. Os corpos de prova CYB
