Produção exclusiva de bósons Z em colisões pp no experimento CMS/LHC

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MIGUEL MEDINA JAIME

PRODU ¸

C ˜

AO EXCLUSIVA DE B ´

OSONS Z EM COLIS ˜

OES PP

NO EXPERIMENTO CMS/LHC

CAMPINAS

2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca do Instituto de Física Gleb Wataghin

Valkíria Succi Vicente - CRB 8/5398 Medina Jaime, Miguel,

M468p MedProdução exclusiva de bósons Z em colisões pp no experimento CMS/LHC / Miguel Medina Jaime. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

MedOrientador: José Augusto Chinellato.

MedTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin.

Med1. Bósons Z. 2. Pomerons. 3. Experimento CMS. 4. Grande Colisor de Hádrons (França e Suiça). I. Chinellato, José Augusto,1950-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Exclusive Z boson production in collisions pp at experiment

CMS/LHC

Palavras-chave em inglês:

Z bosons Pomerons

CMS Experiments

Large Hadron Collider (France and Switzerland)

Área de concentração: Física Titulação: Doutor em Ciências Banca examinadora:

José Augusto Chinellato [Orientador] Magno Valério Trinidade Machado Luiz Martins Mundim Filho

Márcio José Menon

Edmilson José Tonelli Magnatone

Data de defesa: 05-11-2015

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Dedico esta tese a toda minha fam´ılia, em especial a minha mãe Leonor, pai Cristobal, esposa Eugenia Mar´ıa e à fonte de toda minha inspira¸cão, minha ”filhotinha”Ma´ıara. Amo vocês.

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Muitas pessoas tiveram um papel marcante e decisivo para que esta tese fosse conclu´ıda. Um homem nunca trabalha só, pois carrega consigo múltiplas fontes de contato e inspira¸cão, pelas quais deve sempre ser grato. Por isso, este espa¸co é dedicado àquelas pessoas que tiveram um papel marcante e decisivo para que esta Tese fosse conclu´ıda. Não sendo viável nomeá-los a todos, e mesmo correndo o risco da minha memória ocultar uma ou outra, há no entanto alguns a quem não posso deixar de manifestar o meu apre¸co e agradecimento sincero.

Agrade¸co a meu orientador, José Augusto Chinellato pela orienta¸cão, dedica¸cão, paciência, apoio incondicional, mas sobre tudo pela confian¸ca depositada em mim.

Ao Professor Alberto Santoro, por brindar-me a oportunidade de fazer parte do grupo CMS-UERJ e pela sua hospitalidade e generosidade.

Ao professor Victor Gon¸calves pelos comentários, sugestões, explica¸cões e dis-posi¸cão para me ajudar.

Aos professores Edmilson José Tonelli Manganote, Arlene Cristina Aguilar e Marcio José Menon pelos seus comentários e sugestões. À professora Carola Dobrigkeit pelas incr´ıveis e sensacionais aulas de f´ısica de part´ıculas, ao professor Orlando L. G. Peres pelas suas excelentes aulas de teoria de campos.

Aos professores da UERJ, Antônio Vilela Pereira, Wagner Carvalho, Luiz Mundim, Sandro Fonseca e Hélio Nogima pelos seus comentários, hospitalidade, paci-ência para me explicar, e ajuda para resolver problemas tanto de análise como burocráticos.

Agrade¸co pela amizade, apoio, paciˆencia extrema!, sinceridade na cr´ıtica e por toda forma de ajuda. Em qualquer momento, deixavam de fazer tarefas para me ajudar Diego Matos Figueiredo e Vanessa Menezes Theodoro, tenham a certeza que compartilharei o que pude aprender com vocˆes.

Agrade¸co ao Gustavo Gil da Silveira, pela ajuda, generosidade, hospitalidade e paciˆencia extrema para me explicar.

Aos pesquisadores do CERN, Jonathan Hollar, Laurent Forthomme, Benoit Roland, Marta Ruspa, Mike Albrow e Robert Ciesielki pelos inúmeros comentários e sugestões nesta análise.

Aos meus amigos da UERJ, Walter Ald´a, Lina Huertas, Dilson de Jesus Dami˜ao, Eliza Melo, pela amizade, hospitalidade e estar sempre dispostos a me ajuda!.

Aos membros examinadores da banca de doutorado: Prof. Dr. Magno Machado, Prof. Dr. Luiz Mundim , Prof. Dr. M´arcio Menon e Prof. Dr. Edmilson Manganote, os quais colaboraram para melhorar na escrita e tamb´em no aprendizado e sobre temas ainda desconhecidos por mim.

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dia. Alex, Miguel Angel, Duber, Tapia, Elkin, Jonathan, Julio’s, Juan Andres, Andres, Sandra, Laura, German, Javier, Johana, Diana, Yovany, Mary, Pedro, Paulo, Gabriela, Luiz, Carlos, Victor’s, Bruno’s, Fernanda, etc.

Ao Instituto de F´ısica “Gleb Wataghin”, pela infraestrutura e suporte oferecidos. Também quero agradecer a todo o pessoal da secretária, Armando, Luciana, Miguel e Alessandra por resolver todos os problemas burocráticos que surgiram nestes quatro anos.

A minha fam´ılia (sogros e cunhadas), pelo carinho e apoio incondicional em todos os momentos. Vocês são o esteio da minha vida e a base de todos os meus ideais, nunca vou deixar de estar com vocês.

E por ´ultimo, agrade¸co ao CMS/CERN pelos dados e infraestrutura para o processamento dos dados, e a CNPq pelo apoio financeiro.

Agrade¸co mesmo! a todos que de alguma forma tiveram participa-¸

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A produ¸cão exclusiva de bósons Z é um processo difrativo, teoricamente repre-sentado pela troca de um objeto com os números quânticos do vácuo (pomeron- IP ), o qual pode ser tratado no modelo padrão no enfoque do mecanismo de dipolo, via fotoprodu¸cão. A carater´ıstica principal deste tipo de processo é que os dois prótons emergem intactos após a colisão com momentum transverso pequeno. Assim, os prótons são espalhados muito frontais e escapam à deteçcão. Portanto, o critério usado para a identifica¸cão de eventos exclusivos de bósons Z decaindo em par múons é o número de tra¸cos adicionais no vértice, mas ainda resta a possibilidade de haver uma dissocia¸cão de pelo menos um dos prótons. Neste caso, a medida da se¸cão de choque respectiva será contaminada.

São expostos três diferentes métodos para a pré-sele¸cão de eventos exclusivos. A estratégia de análise proposta para selecionar eventos exclusivos é baseada no decaimento de bósons Z em pares µ+_µ− _{caraterizados por grande momento transverso, para o qual}

exploramos múons em uma região cinemática de momento transverso pT(µ±) > 20 GeV,

massa invariante Mµ+_µ− > 40 GeV/c2 e pseudo-rapidez |η| < 2, 5. Adicionalmente a estes

cortes, exigimos “zero tra¸cos” extras no vértice e, por último que o par de múons sejam back-to-back com balan¸co no pT.

Nesta Tese se apresenta um estudo da produ¸cão exclusiva de bósons Z em colisões próton-próton para energias de centro de massa igual a 7 TeV no experimento CMS/LHC. Esta análise foi feita usando simula¸cões para processos de Drell-Yan, fotoprodu¸cão de múons e dados coletados pelo detector CMS de colisões próton-próton com √s = 7 TeV durante o ano de 2011, correspondendo a uma luminosidade integrada de 5,09 fb−1. Nenhum candidato a bóson Z exclusivo foi poss´ıvel de observar, isto devido ao fato da baixa estat´ıstica e o enorme background proveniente de processos de Drell-Yan. Entretanto, a se¸cão de choque para processos de produ¸cão exclusiva de bósons Z é encontrada a ser σexcl(Z → µ+µ−) < 13, 3 fb para um n´ıvel de confian¸ca de 95%. Este é o primeiro resultado

preliminar para este tipo de processo na escala de energia de 7 TeV, onde cabe destacar que este limite foi melhorado com respeito a resultados publicados pela colabora¸c˜ao CDF para√s = 1, 9 TeV.

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The exclusive Z boson production is a diffractive process theoretically repre-sented by the exchange of an object with the quantum numbers of vacuum (pomeron-IP), which is predicted by the Standard Model in the dipole mechanism approach, via pho-toproduction. The main feature of this type of process is two forward outgoing protons intact after the collision with small transverse momentum, the protons are scattering very front and escape detection. Then, the approach taken to detect exclusive Z bosons events decaying in to muon pair is the number of additional tracks on the vertex, but there is still the possibility of dissociation of at least one proton, then the measurement of cross section will be contaminated.

It’s exposed three different methods for the pre-selection events containing exclusive Z bosons. The strategy proposed to exclusive selection events, is based on the decay of Z bosons on pairs µ+_µ− _{featured by large transverse momentum, for which we}

explored muons in a kinematic region with transverse momentum pT (µ+µ−) > 20 GeV,

Invariant mass M (µ+µ−) > 40 GeV/c2 and pseudorapidity |η| < 2.5. The additional cuts, require zero extra tracks on vertex and finally the pair of muons are back-to-back with momentum transverse conservation .

This thesis presents a search for exclusive Z boson production in proton proton collisions at √s = 7 TeV center of mass energy in the experiment CMS/LHC. This analysis was made using simulations to Drell-Yan processes, photoproduction of muon and data collected by the CMS detector on proton proton collisions with √s = 7 TeV in 2011, for 5.09fb−1 integrated luminosity record. No exclusive Z → µ+_µ− _candidates

are observed, because low statistical and huge background contribution from Drell-Yan processes. But even so, the cross section for the exclusive Z bosons production is found to be σexcl(Z → µ+µ−) < 13.3 fb at 95% C.L. This is the first very preliminary results for 7

TeV, where we highlight that it limit has been improved respect to the results published by the CDF collaboration to √s = 1.9 TeV.

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Lista de Figuras

1.1 Fotoprodu¸cão exclusiva de bóson Z. . . 22 1.2 Diagrama de Feynman para o processo de Drell–Yan. A colisão de dois

hádrons gera um par de lépton e anti-lepton a partir da cria¸cão de um fóton virtual ou um bóson Z . . . 24 1.3 Fotoprodu¸cão exclusiva (esquerda) e semi-exclusiva (meio e direita) de

diléptons . . . 25 1.4 “Acolinearity” dos múons de raios cósmicos podem parecer como dois tra¸cos

que surgem do ponto de intera¸cão do detector, onde os múons são exatamente back-to-back, com ∆φ = ∆θ = π radianos. . . 26 1.5 Ilustra¸cão dos partons de valência de um próton e suas intera¸cões e flutua¸cões.

a), pr´oton a baixa energia, b) pr´oton a alta energia. Retirado de [26] . . . 36 1.6 Diagramas de Feynman em ordem Next-to-Leading-Order (NLO) que

contri-buem para a produ¸cão de par de múons através de o processo de Drell-Yan, nos quais está impl´ıcito o decaimento do γ ∗ /Z num dimúon. (a) Diagramas de corre¸cões virtuais. (b) Diagramas de aniquila¸cão. (c) Diagramas de espalhamento Compton. . . 37

2.1 Sistema de coordenadas dos referenciais K e K’ para a part´ıcula de carga q e com velocidade ~v. O vetor unitário ˆn aponta na dire¸cão da linha de distância r que liga a origem do referencial K’ com o ponto onde o observador se localiza no referencial K. O ângulo entre o vetor unitário ˆn e o vetor velocidade instantânea ~v é dado por θ, e a origem do referencial K’ se localiza no ponto vt em rela¸cão a x1 em K. . . 39

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2.2 Linhas de for¸ca do campo elétrico para (a) γ = 1, descrito para uma part´ıcula em repouso, e (b) γ = 3 para uma part´ıcula com velocidade com vetor velocidade instantânea na dire¸cão x1[30]. . . 42

2.3 Representa¸cão de uma UPC pela a¸cão dos campos eletromagnéticos das part´ıculas em colisão. No caso da colisão entre núcleos o campo de fótons é proporcional ao número de prótons Z [30]. . . 44 2.4 (a) Produ¸cão de mésons vetoriais em V DM e (b) no modelo de troca de

2-glúons [3]. . . 46 2.5 Ilustra¸cão das variáveis que podem fornecer a escala dura para pQCD. . . 47 2.6 (a) Diagrama de Feynman representando o mecanismo de fotoprodu¸cão

exclusiva de mésons vetoriais ou bóson Z no processo γ∗p em intera¸cões hádron -hádron. (b) No formalismo de dipolo, γ∗ flutua num par qq antes de interagir com o alvo A. (c) A área acinzentada representa o campo gluônico do dipolo. . . 47 2.7 Diagrama de Feynman representando Espalhamento Compton

Profunda-mente Virtual. . . 48 2.8 A se¸c˜ao de choque total (integrada sobre |t| ≤ 1 GeV) para fotoprodu¸c˜ao

de bósons Z como uma fun¸cão da energia W, para várias virtualidades Q dos fótons. Figura retirada de Referência [9]. . . 49 2.9 Modelo de Glauber [41] para se¸cão de choque diferencial em fun¸cão da

multiplicidade. O parâmetros de impacto determina o tipo de colisão que acontece. . . 51 2.10 Distribui¸cões de Pt para a produ¸cão exclusiva de bósons Z a n´ıvel de gera¸cão

através do MC STARlight para diferentes valores de “slope” . . . 52 2.11 Distribui¸cões de ∆φ para a produ¸cão exclusiva de bósons Z . . . 53 2.12 Distribui¸cão ∆pT para a produ¸cão exclusiva de bósons Z no STARlight. . . 53

3.1 O complexo de aceleradores do CERN . . . 56 3.2 Angulo de cruzamento θˆ c ' 300 µrad e área de sobreposi¸cão na colisão de

dois pacotes de pr´otons. . . 59 3.3 Cobertura aproximado em PT− η dos diferentes detectores atuais (e futuros)

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3.4 O detector CMS fig. retirada de https://cms-docdb.cern.ch/cgi-bin/ PublicDocDB/RetrieveFile?docid=11514&version=1&filename=cms_120918_ 03.png . . . 61 3.5 O detector CMS: Fig. retirada de Ref. [49]. . . 62 3.6 Resolu¸cão do vértice primário em x (superior esquerdo), y (superior direito)

e z (parte inferior) em fun¸cão do número de tra¸cos utilizadas na reconstru¸cão do vértice[50]. . . 64 3.7 Aceptância do Calor´ımetro Eletromagnético. . . 66 3.8 Esquema em corte longitudinal do calor´ımetro hadrônico do CMS[44]. . . 68 3.9 Resolu¸cão do momento transverso dos múons como fun¸cão do momento

transverso usando o sistema de identifica¸cão de múons apenas (linha preta pontilhada), o sistema de trajetográfia apenas (linha azul tracejada), e ambos (linha vermelha continua). (a) |η| < 0, 8 e (b) 1, 2 < |η| < 2, 4 [44]. . 69 3.10 Arranjo de um quarto do sistema de múons do CMS, caracterizando-se as

regiões em termos da terminologia da Ref. [44]. . . 70 3.11 Trajetória e sinal das diferentes part´ıculas no detector CMS . . . 71 3.12 Detectores frontais e aceita¸cão em η dos diferentes sub-detectores no CMS. 72 3.13 Reconstru¸cão de um evento real de colisão próton-próton para √s = 7 TeV

ocorrida em 2011, escala em unidades de [cm]. . . 74

4.1 Defini¸cão das regiões de controle para o modo de decaimento µ+µ−. . . 80 4.2 Distribui¸cão de pileup usada como input para gerar o MC Drell Yan

consi-derada nesta análise para 7 TeV. . . 83 4.3 Distribui¸cão de pileup para os dados. Esta é a forma desejada para nosso MC. 84 4.4 Distribui¸cão data/MC bin a bin, ou seja weight Vs número de vértices para

o MC de DY. . . 84 4.5 Distribui¸cão de pesos e sua frequência. . . 85 4.6 Distribui¸cão do número de vértices, onde os pontos representam os dados e

as linhas continuas os diferentes Monte Carlo. χ é a razão entre dados e Monte Carlo (χ = data/M C), caso se indique o contrario, . . . 86 4.7 Distribui¸cão do número de vértices depois da sele¸cão inclusiva e com “pileup

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5.1 Distribui¸cão de massa invariante depois de aplicar o corte “preselection” para o RunB (ver Tab. 4.1) no canal de múons, usando as três estratégias para a pré-sele¸cão. . . 93 5.2 Distribui¸cão de massa invariante depois de aplicar o corte “inclusive” para

o RunB no canal de múons, usando as três estratégias para a pré-sele¸cão. . 94 5.3 Distribui¸cão de massa invariante depois de aplicar o corte “exclusive” para

o RunB no canal de múons, usando as três estratégias para a pré-sele¸cão. . 94 5.4 Distribui¸cão de massa invariante do par de múons depois de aplicar a sele¸cão

inclusiva, onde χ = data/MC. . . 96 5.5 Distribui¸cão de pseudo-rapidez depois de aplicar a sele¸cão inclusiva. . . . 97 5.6 (Esq.) Distribui¸cão de pT para o múon leading, (Dir..) Distribui¸cão de pT

para o múon sub-leading depois de aplicar a sele¸cão inclusiva. . . 97 5.7 (Esq.) Distribui¸cão de ∆PT para o sistema de múons, (Dir..) distribui¸cão

de 1 − |∆φ| /π para os múons depois de fazer a sele¸cão inclusiva. . . 98 5.8 (Top esquerda) Distribui¸cão de número extra de tra¸cos para baixa

multi-plicidade (nExtratracks<8), (top direita) e (nExtratracks<15), e para alta multiplicidade, neste casso sem fazer corte no número de tra¸cos extras no vértice que contem o par de múons (Fig. embaixo) a Z depois de fazer a sele¸cão inclusiva. . . 98 5.9 Ajuste para a Distribui¸cão Binomial Negativa do número extra de tra¸cos

na região de massa de [80, 100] GeV ver explica¸cão no texto. . . 99 5.10 Distribui¸cão da massa Invariante do par de múons após aplicar os cortes

exclusivos, a esquerda sem aplicar o fator de reescalamento obtido com NBD, a direita depois de aplicar o fator NBD sobre a distribui¸cão de DY. 100 5.11 Ajuste do pico da massa do bóson Z depois da sele¸cão exclusiva com

pt(µ±) > 30 GeV. O fit foi feito , na janela de massa [76, 116]GeV usando

uma convolu¸cão da distribui¸cão relativ´ıstica Breit-Wigner com uma fun¸cão de Gauss adicionada a um fundo descrito por uma fun¸cão exponencial. Em preto para os dados e em vermelho para os MC’s. . . 101

(14)

5.12 (a) Eficiência do trigger como fun¸cão do pt dos múons após de aplicar os

cortes pt > 25 GeV e |η| < 2, 1 nos m´uons (b) eficiˆencia do trigger em

fun¸cão da pseudo-rapidez dos múons após os cortes no pt e η sobre os múons.

Retirado de Ref.[75]. . . 102 5.13 (Esq.) Distribui¸c˜ao de massa invariante depois de aplicar todos os cortes

exclusivos.. . . 105 5.14 Diferentes distribui¸c˜oes para √s = 8 TeV e uma luminosidade integrada de

∼ 20 fb−1, depois de aplicar os cortes inclusivos com pt> 30 GeV . De cima

para embaixo e de esquerda a direita. Massa invariante, pseudo-rapidez, ∆pt, 1 − |∆φ| /π, número de vértices primários e distribui¸cão de número

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Lista de Tabelas

1.1 Previsões teóricas para dσ_dy|y=0 na produ¸cão exclusiva de bósons Z usando o

mecanismo de dipolo. Para√s = 1, 96 TeV no Tevatron e para√s = 14 TeV no LHC. Os valores apresentados para 7-8 TeV forem obtidos aplicando uma interpola¸cão conforme é descrita no texto. . . 22 1.2 Número de eventos esperados de produ¸cão exclusiva de bósons Z no

experi-mento CMS/LHC para √s = 7 e 8 TeV, para luminosidades de ∼ 5 fb−1 e ∼ 20 fb−1, respetivamente. Estas luminosidades foram gravadas no detector CMS nos anos 2011 e 2012, respectivamente. . . 23

2.1 Valores para colisões pp no LHC, onde ωmax é a máxima energia dos fótons,

Wmax

γp é a máxima energia no centro de massa do sistema fóton-próton, e

Wmax

γγ é a máxima energia no centro de massa para o sistema fóton-fóton.

O valor ωmax foi calculado usando a Eq.(2.14) com rp = 0, 7 fm [31], outros

autores [35] definem que ωmax pode ser de at´e 10% da energia do pr´oton.

Este valor ´e escolhido arbitrariamente devido ao fato do raio do pr´otons rp

não estar bem definido, este último é usado para 14 TeV. . . 45

3.1 Propriedades dos estágios de acelera¸cão do complexo de aceleradores LHC para prótons. . . 57 3.2 Resumo das principais caracter´ısticas dos vários subsistemas do detector de

trajetografia. O número de discos que corresponde a um único na tampa terminal. A localiza¸cão especifica da região r(z) ocupada por cada tambor (endcap) subsistema . . . 63

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4.1 Amostra de dados analisada nesta Tese com sua respectiva luminosidade in-tegrada ´ Ldt para o estudo de produ¸cão exclusiva de bósons Z no canal de múons. A luminosidade é dependente do trigger , onde T1≡HLT Mu13Mu8 e T2≡ HLT Mu17 Mu8. . . 76 4.2 Amostras de Monte Carlo, com efeito de empilhamento, normalizadas para

cada um dos per´ıodos de aquisi¸c˜ao de dados. . . 88

5.1 Na primeira linha indico o número total inicial de eventos analisados, nas linhas subsequentes mostro o número de eventos que restou após os diferentes cortes para o conjunto de dados Run2011B (ver tab. 4.1). . . 93 5.2 Resultados da análise para a eficiência dos trigger e identifica¸cão de múons

em dados de 2011. . . 102 5.3 Resumo das incertezas sistemáticas que afetam o sinal. . . 103 5.4 Compara¸cão direta entre as análise FSQ-12-009 e FSQ-12-010 . . . 106

(17)

Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Sum´ario

1 Introdu¸c˜ao 19

1.1 O Modelo Padr˜ao das part´ıculas elementares e a QCD . . . 27

1.2 Vari´aveis e Conceitos B´asicos . . . 28

1.2.1 Processos hadrˆonicos difrativos . . . 30

1.2.2 Cinem´atica . . . 31

1.3 Colisões próton-próton e produ¸cão de bósons Z no LHC . . . 35

1.3.1 Produ¸c˜ao exclusiva pp → pZp . . . 37

2 Fotoprodu¸cão 38 2.1 Dinâmica relativ´ıstica de campos eletromagnéticos . . . 40

2.1.1 M´etodo de F´oton Equivalente . . . 43

2.2 Produ¸c˜ao exclusiva de m´esons vetoriais e o formalismo de dipolo . . . 45

2.3 Modelo STARlight . . . 50

2.3.1 Produ¸c˜ao de B´osons Z no STARlight . . . 51

3 O experimento CMS 55 3.1 O acelerador LHC . . . 55

(18)

3.2 O detector CMS . . . 60

3.2.1 Sistema de Trajetografia . . . 62

3.2.2 Calor´ımetro Eletromagn´etico . . . 63

3.2.3 Calor´ımetro Hadrˆonico . . . 66

3.2.4 Sistema de Identifica¸c˜ao de M´uons . . . 67

3.2.5 Detec¸c˜ao de Part´ıculas . . . 70

3.2.6 Detectores Frontais . . . 71

3.2.6.1 CASTOR . . . 72

3.2.6.2 ZDC . . . 73

3.2.7 Sistema de gatilho (Trigger) . . . 73

3.3 Evento real . . . 74

4 An´alise de dados 75 4.1 Sele¸c˜ao de Eventos . . . 75

4.1.1 Pr´e-sele¸c˜ao . . . 77

4.1.2 Cortes Inclusivos e Exclusivos . . . 79

4.2 A Normaliza¸c˜ao . . . 80

4.3 Pileup . . . 82

4.3.1 Pileup reweighting . . . 83

4.4 Sinal e Background . . . 85

4.5 Incertezas sistem´aticas e estat´ısticas . . . 90

5 Resultados 92 5.1 Pr´e-sele¸c˜ao . . . 92

5.2 Produ¸c˜ao Inclusiva de B´oson Z . . . 95

5.3 Produ¸c˜ao Exclusiva de B´oson Z . . . 99

5.4 Eficiˆencia e aceitˆancia . . . 101

5.5 Se¸c˜ao de choque para o Z exclusivo . . . 103

5.6 Considera¸c˜oes finais e perspectivas . . . 104

6 Conclus˜oes 108

(19)

1

Introdu¸

c˜

ao

Na década dos sessenta do seculo passado, a Quebra Espontânea de Simetria (QES) marcou um interessante papel nos avan¸cos na constru¸cão do Modelo Padrão, pois por um lado conjecturava a existência de part´ıculas elementares até então não previstas pela teoria (c, t, b), mas por outro esta abordagem permitiu o estudo de uma das questões fundamentais do Modelo Padrão: a gera¸cão de massa das part´ıculas elementares1_{. O Mecanismo da Quebra de Simetria Eletro-Fraca adotado no modelo padr˜}_ao

´e mecanismo Brout-Englert-Guralnik-Hagen-Higgs-Kibble [1], mas popularmente conhecido como mecanismo de Higgs2_{, o qual ´}_{e respons´}_{avel por dar massa `}_{as part´ıculas fundamentais}

e aos mediadores da intera¸c˜ao fraca, os b´osons vetoriais W+_{, W}− _{e o Z. O mecanismo de}

Higgs além de dar massa as part´ıculas, também prevê a existência de uma nova part´ıcula fundamental chamada Bóson de Higgs ou bóson escalar (spin-0). Desde então, o bóson de

1_{A Quebra espontˆ}_{anea de simetria ´}_{e necess´}_{aria para gerar as massas para os b´}_{osons W}± _{e Z}0_{, mantendo}

a teoria renormalizável . Uma vez que a intera¸cão fraca é conhecido por ser uma for¸ca de curto alcance,

os trˆes mediadores da for¸ca (o W± e Z) devem ser massivos. No entanto, a adi¸c˜ao de termos de massa

para estes bósons na lagrangiana do Modelo Padrão viola invariância de calibre local SU (2)× U (1).

2_{As massas dos f´}_{ermions podem ser geradas no modelo padr˜}_{ao sem exigir o b´}_{oson escalar de Higgs, por}

(20)

Higgs passou a ser o observável f´ısico mais relevante a ser detectado experimentalmente a fim de se confirmar o mecanismo de gera¸cão de massa das part´ıculas através da QES. Para este objetivo foram constru´ıdos aceleradores de part´ıculas tais como o LEP no CERN e o Tevatron no Fermilab, porém, sem sucesso em detectá-lo ate os anos 2000. Assim, foi projetado e constru´ıdo o maior acelerador de part´ıculas do mundo, o Grande Colisor de Hádrons (Large Hadron Collider - LHC), onde um dos principais objetivos além da busca de poss´ıveis sinais que denunciarem a existência de uma nova f´ısica, era também a procura do bóson de Higgs, para o qual forem desenhados e montados os experimentos multi-propósito CMS e ATLAS. Finalmente, no ano 2012, depois de décadas de busca, foi anunciado conjuntamente pelas colabora¸cões CMS e ATLAS a evidência experimental de um bóson de massa 125 GeV /c2 _{[2], onde al´}_{em desta nova part´ıcula fundamental para o}

modelo padrão, nós também temos hoje uma enorme quantidade de dados experimentais a altas energias, que por várias razões continuam atraindo grande interesse: i) permite-nos testar o modelo padrão em escalas de energia3 nunca antes alcan¸cadas, ii) melhorar as medidas e diminuir as incertezas nos resultados experimentais e iii) obter as primeiras medidas de processos com se¸cões de choque muito pequenas (da ordem de ∼fb).

No LHC, os bósons Z são produzidos em grandes quantidades nas colisões p-p de altas energias4. Dentro dos diferentes mecanismos de produ¸cão, encontra-se a produ¸cão exclusiva de bósons Z. Este fenômeno é muito interessante e relevante na compreensão do modelo padrão e na procura de nova f´ısica além do modelo padrão, pois neste processo se vêm envolvidas as três intera¸cões que descreve o Modelo Padrão; eletromagnética, fraca e forte. Este tipo de processo encaixa-se perfeitamente no marco citado no paragrafo anterior, pois em primeiro lugar, a se¸cão de choque envolvida é muito pequena (da ordem de fb), de forma que mesmo num detector como o CMS com grande luminosidade integrada e com grande energia de centro de massa, serão produzidos poucos eventos. Esta classe de intera¸c˜_{ao envolvem pequena troca de momento transversal (. 1 GeV), de forma que não} poderiam ser tratadas perturbativamente pela Cromodinâmica Quântica (pQCD)5_{. A}

rea-¸cões que ocorrem nessa escala de energia são classificadas como ”suaves” (ou soft em inglês).

3_{Ou equivalentemente a distˆ}_{ancias na escala de 10}−19

m por o fato de que ~c ≈ 197 MeV · fm.

4_{Em colisores de h´}_{adrons, os b´}_{osons Z de vida extremamente curta} _{τ = 10}−25_{s, s˜ao detectados}

predominantemente usando seu decaimento leptônico. Os decaimentos hadrônicos são geralmente

muito dif´ıceis de separar do ru´ıdo de fundo produzidos pelas intera¸c˜oes de QCD.

5_{Apesar da aceita¸}_c˜_{ao da QCD como a teoria que descreve as intera¸}_c˜_{oes fortes, esta ´}_{e incapaz de fazer}

predi¸cões sobre rea¸cões que ocorrem a uma escala de distância maior que o tamanho médio do raio de

(21)

Assim, na ausência de uma escala dura, a pQCD não é aplicável e os modelos fenomenológicos, que têm sido frequentemente o instrumento no desenvolvimento da área, ainda fornecem as melhores descri¸cões dispon´ıveis. Uma descri¸cão consistente com os dados de intera¸cões fortes envolvendo pequeno momento transferido é dada pela teoria de Regge [3], na qual as intera¸cões são muito bem descritas com a introdu¸cão de um objeto que explica o crescimento da se¸cão de choque total com a energia [4, 5, 6], chamado de pomeron, que é a singularidade dominante no plano complexo do momento angular, a altas energias. O pomeron tem os números quânticos do vácuo e não corresponde a nenhuma part´ıcula conhecida. Espera-se que suas ressonâncias associadas sejam glueballs [7, 8], e não ressonâncias convencionais. A implementa¸cão do Modelo de Regge na QCD seria um grande passo para a compreensão plena das intera¸cões fortes.

Na tese de doutoramento aqui apresentada, é feita um estudo para observar e extrair resultados experimentais da produ¸cão exclusiva de bósons Z a partir dos dados obtidos com o detector CMS nas intera¸cões pp a 7 TeV. A produ¸cão exclusiva de bósons Z é um processo difrativo, teoricamente representado pela troca de um objeto com os números quânticos do v´_{acuo (pomeron P). Este processo pode ser descrito no enfoque} do mecanismo de dipolo no MP, via fotoprodu¸cão [9], e é representando pelo diagrama de Feynman da Figura (1.1), onde um dos prótons emite um fóton virtual o qual flutua para um par quark anti-quark (q ¯q) os quais são espalhados elasticamente pela troca de dois glúons emergentes do outro próton, e se materializa num bóson Z, além disso, os dois prótons emergem intactos após a colisão com momento transverso pequeno6, perdendo apenas um pouco de sua energia, mas permanecem ainda dentro do tubo do feixe7_{. Este}

mesmo mecanismo também fornece a fotoprodu¸cão dos mésons vetoriais J/ψ e Υ(2S) recentemente observado no CMS [10] ALICE [11] e LHCb [12].

O primeiro limite superior experimental para a se¸cão de choque de produ¸cão exclusiva de bósons Z foi reportada pela colabora¸cão CDF[13] para √s = 1.96 TeV σexcl(Z) < 0, 96 pb e dσ_dy|y=0 < 0.25 pb para 95% C.L. A se¸cão de choque prevista no

6_{O momento transverso dos pr´}_{otons depois da intera¸}_c˜_{ao ´}_{e aproximadamente p}

T w √

s

2 sin θ e

relaciona-se com o momento transferido da relaciona-seguinte forma: p2_T _{w −t, assim pr´otons s˜ao espalhados muito}

frontais e escapam à deteçcão. Futuramente com o detector CT-PPS (CMS-Totem Precision Proton

Spectrometer) ∼220m os pr´otons ir˜ao ser detectados.

7_{Com o novo detetor CT-PPS localizado a ∼ 220 m do ponto de intera¸c˜}_{ao IP5 que esta planejado a entrar}

em opera¸cão em 2016 irá ser poss´ıvel detectar estes prótons, e portanto iremos ter mais informa¸cões

(22)

Figura 1.1: Fotoprodu¸c˜ao exclusiva de b´oson Z.

LHC para a produ¸c˜ao exclusiva de Z0 _para √_{s = 14 TeV ´}_e dσ

dy ∼ 1, 4 fb [14], dσ

dy|y=0 ∼ 1 fb

[9] e dσ_dy|y=0 ∼ 2 fb [15]. Uma teoria al´em do Modelo Padr˜ao do pomeron prediz uma

se¸cão de choque muito maior, possivelmente de uma ordem de magnitude maior [16]. Na Tabela 1.1 apresento as previsões teóricas dispon´ıveis na literatura para a produ¸cão exclusiva de bósons Z usando o mecanismo de dipolo, no Tevatron para √s = 1, 96 TeV e no LHC para √s = 14 TeV, para 7-8 TeV não têm sido feitos cálculos, mas segundo [14], espera-se um comportamento da se¸cão de choque com a energia do centro de massa como σ (γp → Zp) ∝ W1,73_{, onde W}2 _∝√_{s, assim obtemos que σ}

z(exc)∝

√

s0,9 e portanto σzExcl(7 TeV) /σzExcl(14 TeV) ≈ 0, 73. Assim, numa primeira aproxima¸c˜ao espera-se que a

se¸c˜ao de choque diferencial seja ∼ 0, 75 do valor para 14 TeV.

dσ dy|y=0 (fb) V.P. Gon¸calves M.V.T. Machado [9] L. Motyka G. Watt [14] A. Cisek W. Schafer A. Szczurek [15] Tevatron LHC 0,05 ∼1 0,077 1,4 0,2 ∼2 7-8 TeV ∼ 0, 8 ∼1 ∼ 1, 5

Tabela 1.1: Previsões teóricas para dσ_dy|_y=0 na produ¸cão exclusiva de

b´osons Z usando o mecanismo de dipolo. Para √s = 1, 96 TeV no

Tevatron e para√s = 14 TeV no LHC. Os valores apresentados para 7-8

TeV forem obtidos aplicando uma interpola¸c˜ao conforme ´e descrita no

texto.

Com o intuito de saber a ordem de grandeza do n´umero de eventos esperado de b´osons Z produzidos exclusivamente e da viabilidade de detectar eles no experimento CMS8_{, podemos fazer uma primeira estimativa atrav´}_{es da equa¸c˜}_ao:

8_{Para energias de 7 e 8 TeV, o detector CMS coletou uma luminosidade integrada no canal de m´}_{uons de}

(23)

Nevt = σexc(Z) Lint× Branch(Z → µ+µ−), (1.1)

onde σexc≈ (dσ/dy ) ∆y, sendo ∆y = 5 a aceptˆancia no detector CMS9, Linta luminosidade

integrada, e Branch(Z → µ+_µ−_{) a probabilidade do b´}_{oson Z de decair em par de m´}_uons.

Assim, usando os valores apresentados na tabela 1.1, Branch (Z → µ+µ−) ≈ 0, 037, para uma luminosidade integrada Lint(7 TeV) ≈ 5 fb−1 e Lint(8 TeV) ≈ 20 fb−1 no canal de

múons, obtemos os valores apresentados na Tabela 1.2 com base nos cálculos teóricos dos diferentes autores. 7 TeV Lint ≈5 fb−1 8 TeV Lint≈20 fb−1 V.P. Gon¸calves M.V.T. Machado [9] ∼0,8 ∼3,3 L. Motyka G. Watt [14] ∼0,7 ∼2,6 A. Cisek W. Schafer A. Szczurek [15] ∼1,3 ∼5

Tabela 1.2: N´umero de eventos esperados de produ¸c˜ao exclusiva de

b´osons Z no experimento CMS/LHC para √s = 7 e 8 TeV, para

lumi-nosidades de ∼ 5 fb−1 e ∼ 20 fb−1, respetivamente. Estas luminosidades

foram gravadas no detector CMS nos anos 2011 e 2012, respectivamente.

Como podemos ver na Tabela 1.1, o número de eventos esperado é baixo. Logo, para poder atingir-lo, devemos usar uma boa estratégia, que nos permita fazer a sele¸cão de eventos exclusivos de bósons Z.

Os eventos de produ¸cão exclusiva de bósons Z possuem uma assinatura experi-mental caracter´ıstica, dentre as principais delas destacamos: i) este processo de produ¸cão é caracterizado por um vértice principal formado a partir de um par de múons µ+_µ− _sem

outras part´ıculas, ii) as part´ıculas no estado final proveniente do decaimento de Z devem ter grande momento transversal pT (µ+) e pT (µ−), iii) os m´uons s˜ao produzidos na sua

maior parte centralmente no detector iv) al´em de grande massa invariante m_µ+_µ−. Mas esta

assinatura também é acess´ıvel via fotoprodu¸cão exclusiva e quase-exclusiva (”inelástica” ou ”dissocia¸cão de prótons”), onde um ou ambos os prótons incidentes dissociam-se em um sistema de baixa massa que escapa da deteçcão, designado como p∗. Assim, o evento com

9_{A aceptˆ}_{ancia na vari´}_{avel rapidez y =} 1 2ln

_E−p

z

E+pz

(24)

produ¸c˜ao exclusiva de m´uons (Z → µ+_µ−_{) precisa ser distinguido de outros eventos que}

produzam o mesmo estado final de dois múons. As principais rea¸cões com esse perfil são:

• Em ordem dominante, no LHC, um bóson Z é produzido através de aniquila¸cão de um quark e um anti-quark do mesmo sabor. O par quark anti-quark aniquilam-se criando um fóton virtual ou um bóson Z que então decaem em um par de léptons com cargas opostas. Como o LHC é um colisor de prótons [44], nenhum anti-quark de valência está presente numa colisão. O anti-quark surge do mar ( sea ), a partir da divisão de glúons ( gluon splitting ) que são continuamente trocados entre os quarks de valência do próton. O outro quark que se aniquila para formar o Z pode ser um quark de valência ou um quark do mar (ver Figura 1.2). Este processo é conhecido na literatura com o nome de processo de Drell-Yan [17], onde cabe notar que mesmo sendo um processo não exclusivo, pelo fato de que os prótons dissociados escapam da deteçcão, nosso sinal exclusivo vai ser contaminado por este processo não exclusivo.

Figura 1.2: Diagrama de Feynman para o processo de Drell–Yan. A colisão de dois hádrons gera um par de lépton e anti-lepton a partir da cria¸cão de um fóton virtual ou um bóson Z .

• O processo de produ¸cão exclusiva de diléptons é esperado também na eletrodinâmica quântica (QED) através de processos de fotoprodu¸cão, pγγp → pl+l−p como se mostra na Figura 1.3 (“exclusive”) . Este processo foi medido recentemente pela colabora¸cão CMS[18]. A fotoprodu¸cão exclusiva de par de léptons pode ser calculada de forma fiável, no âmbito da QED, com incertezas de menos do que 1%, associadas com o fator de forma do próton. Uma caracter´ıstica única deste tipo de processo é o pequeno momento transversal e back-to-back no ângulo azimutal (definido como 1−|∆φ (µ+µ−) /π|), derivam-se das muito pequenas virtualidades dos fótons trocados.

(25)

Figura 1.3: Fotoprodu¸c˜ao exclusiva (esquerda) e semi-exclusiva (meio e direita) de dil´eptons

A menos que sejam detectados ambos os prótons emergentes, a produ¸cão semi-exclusiva de dois fótons, envolvendo dissocia¸cão simples ou dupla de prótons (Figura 1.3, meio e direita), torna-se um fundo irredut´ıvel que tem de ser subtra´ıdo. O processo de dissocia¸cão de prótons é menos bem determinada teoricamente, e em particular requer corre¸cões significativas devido ao re-espalhamento do próton. Este efeito ocorre quando há intera¸cões fortes entre os prótons, além da intera¸cão de dois fótons. Estas contribui¸cões extras podem alterar as distribui¸cões cinemáticas dos múons do estado final. Adicionalmente, também podem produzir hádrons de baixo momento. Como resultado, o processo de dissocia¸cão de prótons tem significativamente diferentes distribui¸cões cinemáticas em compara¸cão com o caso exclusivo puro, permitindo uma separa¸cão entre a fotoprodu¸cão exclusiva e semi-exclusiva10_.

• Outra poss´ıvel contamina¸cão poderia surgir de múons de raios cósmicos, que produ-ziriam uma assinatura semelhante ao sinal exclusivo Z → µ+_µ−_{. Quando um m´}_uon

de raios cósmicos atravessa a região de intera¸cão, este pode parecer como dois múons que surgem da região de intera¸cão, como é mostra na Figura 1.4, onde os tra¸cos são exatamente back-to-back, com ∆φ = ∆θ = π. Assim, para reduzir estas eventuais contribui¸cões dos múons de raios cósmicos11_{, o ˆ}_{angulo de abertura tridimensional}

do par de múons, definido como o arco-cosseno do produto escalar normalizado do momento vetorial dos múons, é requerido a ser menor do que 0, 95π (ver Figura 1.4).

10_{A fim de suprimir mais o fundo proveniente da dissocia¸c˜}_{ao de pr´}_{otons, ´}_{e requerido back-to-back no ˆ}_angulo

azimutal (1 − |∆φ (µ+µ−) /π| < 0, 1) e uma diferen¸ca escalar em o pT (|∆pt(µ+µ−)| < 1, 0 GeV) dos

dois m´uons.

11_{Quando o b´}_{oson Z ´}_{e “boosted ” do referencial de repouso ao referencial de laborat´}_{orio o ˆ}_{angulo entre o}

(26)

Figura 1.4: “Acolinearity” dos m´uons de raios c´osmicos podem parecer

como dois tra¸cos que surgem do ponto de intera¸c˜ao do detector, onde os

m´uons s˜ao exatamente back-to-back, com ∆φ = ∆θ = π radianos.

No restante deste cap´ıtulo, resumimos alguns conceitos básicos e aspectos relevantes do Modelo Padrão, assim como as principais ideias da cromodinâmica quântica em colisões próton-próton que devem ser compreendidos em qualquer análise de colisores de hádrons. Já no cap´ıtulo 2 discutiremos com maior profundidade o mecanismos de fotoprodu¸cão, além de fazer uma breve introdu¸cão aos cálculos teóricos para a se¸cão de choque dos processos σγp→Zp via mecanismo de dipolo, também enfatizo sobre alguns cortes

cinemáticos que devem ser aplicados a fim de detetar eventos de produ¸cão exclusiva de bósons Z. No cap´ıtulo 3 serão descritos com detalhes o acelerador LHC e o detetor CMS e cada um de seus sub-detetores é descrito. No cap´ıtulo 4 fa¸co uma descri¸cão da metodologia adotada para a reconstru¸cão dos eventos, assim como os cuidados e considera¸cões que forem levadas em conta nesta análise. Também apresento a estratégia adotada para medir ou obter um limite superior para a produ¸cão de bósons Z exclusivos. Já no cap´ıtulo 5 apresentamos os resultados preliminares, assim como as considera¸cões e perspetivas. Finalmente, no cap´ıtulo 6 encerramos esta tese com as conclusões do trabalho desenvolvido ao longo de meu doutoramento.

(27)

1.1 O Modelo Padr˜

ao das part´ıculas elementares e a

QCD

O Modelo Padrão de f´ısica de part´ıculas descreve os constituintes fundamentais da matéria e suas intera¸cões, este classifica as intera¸cões fundamentais da natureza em 3 tipos: forte, fraca e eletromagnética (o MP não leva em considera¸cão a intera¸cão gravitacional que é considerada desprez´ıvel na f´ısica das part´ıculas elementares). De acordo com ele, toda a matéria ordinária é composta por part´ıculas fundamentais: 6 léptons (e 6 anti-leptons) e 6 quarks, os quais são férmions massivos de spin 1/2 divididos em 3 fam´ılias [19]. As intera¸cões elementares entre quarks e léptons podem ser categorizadas, grosso modo, por dois setores principais: (i) o Eletrofraco, com quebra espontânea da simetria SU (2)_L× U (1)_Y e (ii) o Forte, com simetria SU (3)_C de cor preservada.

Cada tipo de intera¸cão se propaga como um campo que tem como mediador, o ”quantum” do campo. O mediador da intera¸cão eletromagnética é um bóson de gauge sem massa, i.e. o fóton. Os mediadores da intera¸cão fraca são os bósons vetoriais massivos, Z e W± , que têm spin 1, o Z é neutro e os W± têm carga +1 (W+) e -1 (W−). A teoria de Glashow-Weinberg-Salam descreve as intera¸cões eletromagnética e fraca na chamada intera¸cão eletrofraca, a qual é invariante sob transforma¸cões locais de calibre do grupo SU (2)_L× U (1)_Y.

A teoria ligada às intera¸cões fortes é a Cromodinâmica Quântica (QCD), a qual é descrita pelo grupo SU (3)_C, que tem como mediador da intera¸cão entre os quarks, oito12 glúons sem massa. Ao contrário dos mediadores da for¸ca eletrofraca, os glúons podem interagir entre si. Uma consequência desta auto-intera¸cão é que a “constante” de acoplamento13αsda QCD diminui à medida que a escala de energia aumenta, conduzindo à

12_S´_{o existem 8 esp´}_{ecies de gl´}_{uons. Isso se deve ao fato de que, se existisse uma nona combina¸}_c˜_{ao de}

cor-anticor para os glúons, essa combina¸cão só poderia ser um singleto, ou seja, além de ser um

mediador, também seria uma part´ıcula livre, observável, que poderia então ser trocada entre dois

singletos (como um pr´oton e um p´ıon por exemplo), o que implicaria uma intera¸c˜ao forte de longa

distância, o que não é verdade. Sabe-se experimentalmente que a intera¸cão forte é de curt´ıssimo

alcance (. 1 fm).

13_{A constante de acoplamento da QCD em ordem dominante ´}_{e dada por:}

αs Q2 ≈ 12π (33 − 2nf) ln Q2 Λ2 QCD

onde Q é o quadrimomento transferido, nf é o número de sabores e ΛQCD é a constante de escala

da QCD. Não é poss´ıvel determinar o valor de ΛQCD teoricamente na QCD, ela é extra´ıda dos

(28)

chamada liberdade assintótica de quarks e glúons no limite de grande momento transferido (ou de curtas distâncias de intera¸cão) [20]. Por outro lado, a inexistência dessas entidades como campos livres na natureza conduz à hipótese de confinamento, no regime de pequeno momento transferido (grandes distâncias). Apenas estados ligados incolores como mésons (q ¯q) e bárions (qqq) são experimentalmente observáveis.

Assim, na QCD temos duas escalas de intera¸cão caracter´ısticas, ou melhor, dois regimes de intera¸cão, um é o regime associado com processos de grandes momentos transferidos, correspondendo as intera¸cões duras, onde a constante de acoplamento αs

é pequena e podemos usar a QCD perturbativa. O outro regime está associado com processos de baixo momento transferido, correspondendo as intera¸cões suaves, onde a constante de acoplamento torna-se grande, tal que uma expansão perturbativa não é mais poss´ıvel. Neste regime não-perturbativo, a abordagem fenomenológica da teoria de Regge [21] fornece a melhor descri¸cão das se¸cões de choque hadrônicas. Na Teoria de Regge, a intera¸cão entre hádrons em altas energias pode ser entendida por meio da troca de uma “part´ıcula” hipotética conhecida como Pomeron, a principal caracter´ıstica desta “part´ıcula”

são seus números quânticos, sendo idênticos aos do vácuo (ou seja, sem cor, sem carga, etc.) e, portanto, pode ser atribu´ıdo a ele o papel de agente mediador responsável das intera¸cões difrativas, caracterizada por uma lacuna de rapidez no estado final.

Do ponto de vista da QCD a altas energias, é estabelecido que o pomeron é composto por pártons, onde a representa¸cão partônica mais simples do Pomeron é aquela em que sua estrutura de valência consiste de uma combina¸cão singleto de cor como um par de glúons [22, 23].

1.2 Vari´

aveis e Conceitos B´

asicos

Conforme foi dito, eventos difrativos se caracterizam por grandes lacunas de rapidez no estado final em que nenhuma part´ıcula ´e produzida. A rapidez ´e definida como:

y = 1 2ln E + pz E − pz , (1.2)

Q2, muito maiores do que ΛQCD , o acoplamento efetivo entre quarks e/ou gl´uons se torna pequeno

e assim, a intera¸cão forte pode ser tratada perturbativamente. Nessa região, os quarks e glúons se

comportam como part´ıculas quase livres (liberdade assint´otica). Por outro lado, para pequenos valores

de Q2_{, regi˜}_{ao onde Q}2_{≈ Λ}2

QCD , o acoplamento quark-glúon se torna alto e cálculos perturbativos não

(29)

onde E ´e a energia da part´ıcula e pz ´e a componente do momento ao longo do eixo z. Uma

carater´ıstica desta variável é que ela é invariante frente às Transforma¸cões de Lorentz na dire¸cão z14_{. i.e. y} T.L._{→ y}0 _{= y +} 1 2ln 1+β 1−β

. Assim, qualquer diferen¸ca de rapidez é invariante sobre um boost de Lorentz permanecendo a mesma em todos os sistemas colineares, o que a torna uma variável muito útil para este tipo de estudo. Por outro lado, no limite de altas energias, onde p m, tem-se que E ' |p| e a rapidez é diretamente relacionada com ângulo de espalhamento θ especificando a dire¸cão de movimento com rela¸cão a dire¸cão z y = 1 2ln 1 + cos θ 1 − cos θ = 1 2ln 1 + cos2 θ 2 − sin 2 θ 2 1 − cos2 θ 2 + sin 2 θ 2 ! = 1 2ln cosθ₂ sinθ₂ !2 = − ln tanθ 2 . (1.3)

Portanto, no limite onde a part´ıcula está viajando com velocidade próxima a da luz p m, ou na aproxima¸cão que a massa da part´ıcula é próxima de zero, a rapidez é aproximadamente igual à pseudo-rapidez15 _{η, a qual ´}_{e definida como}

η = − ln tanθ 2 . (1.4)

O uso da variável pseudo-rapidez é mais conveniente, pois o ângulo polar θ da part´ıcula pode ser medido diretamente do detector. Além disso, uma outra carater´ıstica importante desta variável é que a diferen¸ca de pseudo-rapidez ∆η = |η2− η1| é invariante

sob transforma¸c˜oes de Lorentz.

14_{Aplicando um boost na dire¸}_c˜_{ao z (E, p}

T, pz) boost_{−−−−→}(γ (E + βpz) , pT, γ (pz+ βE)) , temos que

yboost= 1 2ln γ (E + βpz) + γ (pz+ βE) γ (E + βpz) − γ (pz+ βE) = 1 2ln _{β (E + p} z) + (E + pz) −β (E − pz) + (E − pz) = 1 2ln E + pz E − pz +1 2ln 1 + β 1 − β = y +1 2ln 1 + β 1 − β

15_{Para o caso mais geral, a rela¸}_c˜_{ao entre rapidez e pseudo-rapidez pode ser encontrada em termos do}

momento transverso e da massa da part´ıcula como

y = ln   q m2_{+ p}2 Tcosh 2 η + pTsinh η pm2_{+ p}2 ⊥  

(30)

1.2.1

Processos hadrˆonicos difrativos

A seguir, apresentamos as defini¸cões de processos difrativos suaves em altas energias e revisamos a cinemática desses processos. Do ponto de vista teórico, um processo hadrônico difrativo, em altas energias, é definido como [24]:

Um processo no qual não há troca de números quânticos (há troca de números quânticos do vácuo) entre as part´ıculas que participam da intera¸cão.

Em outras palavras, a difra¸cão é um tipo de intera¸cão que ocorre a altas energias, toda vez que part´ıculas resultantes da intera¸cão têm os mesmos números quânticos que as part´ıculas incidentes. Por meio dessa defini¸cão é poss´ıvel identificar os seguintes processos difrativos em altas energias:

• Espalhamento elástico; quando exatamente as mesmas part´ıculas incidentes emergem após a colisão16:

1 + 2 → 10+ 20. (1.5)

• Disssocia¸cão simples; quando uma das duas part´ıculas emerge intacta após a colisão enquanto a outra dá lugar a um grupo de part´ıculas com os mesmos números quânticos que a incidente:

1 + 2 → 10+ X2 ou 1 + 2 → X1+ 20. (1.6)

• Disssocia¸cão dupla; quando cada part´ıcula incidente da origem a um grupo de part´ı-culas finais e cada grupo com os mesmos números quânticos dá respectiva part´ıcula incidente:

1 + 2 → X1+ X2. (1.7)

Não entanto, experimentalmente, nem sempre é poss´ıvel identificar todos os produtos de uma rea¸cão, o que torna a defini¸cão acima insuficiente para determinar se um evento é difrativo, pois não sabemos se os sistemas resultantes da intera¸cão possuem os mesmos números quânticos das respectivas part´ıculas incidentes. Então é conveniente

16_{Os estados denotados com} 0 _{representam os mesmos estados iniciais com diferentes configura¸}_c˜_oes

(31)

fornecer uma defini¸c˜ao operacional ou alternativa da difra¸c˜ao:

Um processo difrativo em altas energias ´e caracterizado por uma grande lacuna de (pseudo) rapidez, e n˜ao suprimida exponencialmente, no estado final.

Isto significa, por exemplo, que uma rea¸cão como a (1.7) é difrativa se uma grande lacuna de rapidez (i.e., uma larga separa¸cão angular) é observada entre X1 e X2.

Entretanto, podem existir alguns eventos do tipo (1.7) que apresentam uma grande lacuna de rapidez, embora sejam de natureza não difrativa. O número de eventos desse tipo deverá ser exponencialmente suprimido. Se ∆η é a lacuna de rapidez do estado final, a distribui¸cão de eventos difrativos é

dN

d∆η ∼ cte; (1.8)

já para os eventos não difrativos, caracterizados por distribui¸cões do tipo exponencial, temos: dN d∆η ∼ e −∆η . (1.9)

1.2.2 Cinem´

atica

No que segue, tratamos a cinemática dos espalhamentos elástico e dissocia-tivo simples em altas energias[24]. Para isso, consideremos o caso de um processo de espalhamento (genérico) de dois corpos

1 + 2 → 3 + 4, (1.10)

denominado processo exclusivo de dois corpos. Nesse contexto, o espalhamento elástico Eq. (1.5) constitui um caso particular da Eq. (1.10), no qual as part´ıculas interagentes permanecem inalteradas no estado final (embora em configura¸cões cinemáticas distintas).

(32)

vari´aveis de Mandelstam (invariantes relativ´ısticos) definidas abaixo:

s = (p1 + p2)2,

t = (p1 − p3)2, (1.11)

u = (p1 − p4)2,

as quais obedecem a rela¸c˜oes de v´ınculo

s + t + u =

4

X

i=1

m2_i. (1.12)

O v´ınculo estabelece que apenas duas das variáveis s, t e u são independentes. Usualmente, adotamos as variáveis s e t como independentes em estudos de amplitudes dos processos elásticos. Assim, pela Eq. (1.11) podemos identificar a variável s como o quadrado da energia do centro de massa da intera¸cão e t como o quadrado do momento transferido entre as part´ıculas interagentes. Isto dá origem a uma diferen¸ca importante entre topologias de intera¸cão. No canal s, as part´ıculas 1 e 2 aniquilam-se e produzem uma part´ıcula real (ou ”ressonância”), a qual subsequentemente vai decair. O termo ressonância é usado porque a amplitude de espalhamento para o processo aumenta abruptamente quando √

s ≈ m, apenas para frequˆencias ressonantes. O canal t envolve a troca de uma part´ıcula virtual entre 1 e 2, e cinematicamente o quadrado do quadrimomento transferido ´e negativo.

Para entender um pouco sobre a informa¸cão que estas variáveis podem nos fornecer, vamos analisar o caso simples de espalhamento elástico de part´ıculas com mesma massa, por exemplo o caso pp → pp, no sistema de centro massa, obtemos[25]

s = 4 k2+ m2_p ; (1.13)

t = −2k2(1 − cos θ) ; (1.14)

onde mp representa a massa do pr´oton, k o momento no c.m. e θ o ˆangulo de espalhamento

no c.m.. No limite de altas energias, i.e. s m2, da Eq. (1.13) e Eq.(1.14) obtemos a seguinte rela¸cão aproximada entre o ângulo de espalhamento θ e as variáveis s e t:

cos θ ' 1 + 2t

(33)

Ainda nesse caso, segue que o momento transversal das part´ıculas 3 e 4 no estado final da Eq.1.10

pT '

√ s

2 sin θ, (1.16)

relaciona-se com o momento transferido da seguinte forma:

p2_T ' −t. (1.17)

Um outro caso particular de processo dessa natureza é representado pelo espalhamento dissociativo simples, o qual é definido pela Eq. (1.6). Nesse caso, além das variáveis s e t, a especifica¸cão completa da cinemática do processo (1.6) requer ainda informa¸cão sobre a “massa invariante” do sistema X,

M_X2 = (p1+ p2− p3) 2

, (1.18)

onde o quadrimomento p3 ´e o mesmo quadrimomento p01 da Eq. (1.6). Assim, a descri¸c˜ao

cinem´atica do processo inclusivo simples pode ser feita a partir do trio de vari´aveis: [s, t, M2

X] . Neste caso, utilizando a aproxima¸c˜ao de altas energias, obtemos as seguintes

rela¸c˜oes aproximadas com o ˆangulo de espalhamento, θ, e momento transversal, pT

cos θ ' 1 + 2t s − M2 X ; (1.19) p2_T = p2₃sin2_{θ w −t} 1 −M 2 X s . (1.20)

Outra variável muito usada na cinemática difrativa, é a variável de Feynmann, xF , definida como:

xF ≡

|p3z|

p1

, (1.21)

a qual representa a fra¸cão de momento da part´ıcula inicial, carregada pela part´ıcula espalhada. Por outro lado, no espalhamento hadrônico de altas energias, o momento transverso da part´ıcula 3 é tipicamente |pT| . 0, 5 GeV, logo |p3z| ' p3 e portanto

|p3z| ' |p3| '

s − M2 X

(34)

no limite em que s, M2

X m2i, p2T , a vari´avel de Feynman pode ser reescrita como:

xF ' 1 − M2 X s ; (1.23) e definimos ξ como ξ ≈ M 2 X s = 1 − xF, (1.24)

que é interpretada como a fra¸cão de momento perdida pela part´ıcula espalhada. Podemos então, levando em considera¸cão as equa¸cões (1.20) e (1.23), escrever t como:

t ' −p

2 T

xF

. (1.25)

Tradicionalmente, os processos hadrônicos em altas energias são categorizados em duas classes distintas: processos “suaves” ( soft ) e “duros” ( hard ). Do ponto de vista cinemático, os processos denominados suaves caracterizam-se por grandes distâncias de intera¸cão ( R ∼1 fm), logo por escalas de momento transferido de ordem t´ıpica

|t| ∼ 1/R2 _{=⇒ |t| . 0.1 GeV.} (1.26)

Já os chamados processos “duros” envolvem escalas de distância pequenas, tipicamente R < 1 fm e, portanto, de grande momento transferido (|t| & 1 GeV2 ). Outras variáveis cinemáticas utilizadas no estudo do espalhamento inelástico profundo (DIS ), são:

• W → energia total do sistema no referencial do centro de massa γ∗_p

• Q2 _{→ virtualidade do f´}_{oton (γ}∗ _{) emitido pelo pr´}_oton.

A virtualidade Q2 _{do f´}_{oton ´}_{e: Q}2 _{= −q}2_{, onde q ´}_{e o quadrimomento de γ}∗

[8]. O motivo do sinal negativo ´e que, no DIS, q2 _{< 0. O motivo para um f´}_{oton virtual,}

e consequentemente a virtualidade Q2_{, definida dessa maneira, ´}_{e positiva. Al´}_{em dessas}

três variáveis cinemáticas, há uma quarta variável muito utilizada no estudo do DIS. É a variável x de Bjorken, definida como

x = Q 2 2mpν = Q 2 W2_{+ Q}2_{− m}2 p ,

(35)

onde mp é a massa do próton e ν é a energia transferida pelo próton através do fóton

virtual. A vari´avel x de Bjorken, assume apenas valores: 0 < x < 1. No regime de Bjorken, i.e. Q2 _{→ ∞, ν → ∞ e Q}2_/(2m

pν) = cte finita, esta variável é interpretada como a fra¸cão

do momento hadrˆonico que ´e carregada por um de seus constituintes internos.

Nos processos de DIS, a variável x possui valores t´ıpicos bem pequenos, x < 10−2. O regime cinemático de x pequeno é aquele no qual W2 é bem grande, sendo muito maior do que Q2 _{e do que m}

p. Nesse regime x pode ser aproximado por:

x ≈ Q

2

W2.

Em geral, quando se fala em “variar x”, fica impl´ıcito que Q2 _{esta sendo fixo,}

e que a energia é que está sendo variada. Por isso, a expressão “pequeno x”, que será bastante usada nesta tese, é sinônimo de alta energia.

1.3 Colis˜

oes pr´

oton-pr´

oton e produ¸

c˜

ao de b´

osons Z no

LHC

O comportamento das se¸cões de choque de espalhamento hadrônico elástico Eq. (1.5) com a energia no centro de momento, √s, e com o quadrado do momento transferido, −t, constitui pe¸ca chave para a compreensão dos fenômenos difrativos suaves em altas energias. Nesta tese, estamos preocupados com a produ¸cão de bósons Z em colisões pp em processos “suaves”. Mas, sabemos que os processos de produ¸cão de bósons Z envolve intera¸cões com pequenas e grandes transferências de momento. i.e suaves e duros respectivamente (soft & hard ), logo, necessitamos entender os efeitos de ambos, a fim de ser capazes de extrair previsões teóricas para a se¸cão de choque do bóson Z. Portanto, nós precisamos saber as distribui¸cões de momentos dos pártons, i.e. quarks e glúons, dentro dos prótons da colisão.

Os prótons são compostos de quarks e glúons. Em intera¸cões de baixa energia, a estrutura interna do próton pode ser tomados como uma cole¸cão de três quark de valência: dois do tipo up e um do tipo down, os quais interagem através da troca de glúons (ver Fig. 1.5). A Figura 1.5a ilustra um próton a baixa energia. A configura¸cão inicial pode flutuar em estados que contenham glúons adicionais ou até mesmo produzir pares quark-antiquark.

(36)

Figura 1.5: Ilustra¸cão dos partons de valência de um próton e suas intera¸cões e flutua¸cões. a), próton a baixa energia, b) próton a alta energia. Retirado de [26]

Os pares de qq adicionais assim produzidos são conhecidos como quarks do mar. Os quarks de valência determinam os números quânticos do próton. Na figura 1.5b, ilustra-se um próton de alt´ıssima energia, vemos que as flutua¸cões são em maior número. Neste segundo cenário, devido à dilata¸cão de Lorentz, uma carga de teste poderia “visualizar” os pártons dentro do próton como sendo efetivamente livres.

Em ordem dominante, no LHC, os bósons Z são produzidos através do processo de Drell-Yan: este processo em ordem mais baixa em teoria de perturba¸cões para a produ¸cão de diléptons é (leading order - LO ) descrito pela aniquila¸cão de um quark e um anti-quark (qq) do mesmo sabor, como é mostrado na Figura 1.2, e em ordens superiores, com contribui¸cões de qg, qq e gg. Os diagramas de Feynman para cálculos em Next-to-leading-order (NLO) são mostrados na Figura (1.6), onde basicamente podemos observar que descreve a produ¸cão de bósons Z em associa¸cão com jatos. Por outro lado, sabemos que o LHC é um colisor de prótons, e nenhum anti-quark de valência está presente numa colisão, assim o anti-quark surge do mar (sea), a partir da divisão de glúons (gluon splitting) que são continuamente trocados entre os quarks de valência do próton. O outro quark que se aniquila para formar o Z pode ser um quark de valência ou um quark do mar. Cabe destacar que qualquer processo que possa ser descrito pelo intercâmbio de um bóson Z, também pode ser descrito pelo intercâmbio de um fóton virtual γ∗. Entretanto, para os eventos na região do pólo do Z estudado nesta Tese, a troca de Z é a dominante e o Q2 _{do processo ´}_{e muito alto (Q}2 _{= M}2

Z∼104 GeV

2_{). Assim, os p´}_{artons interagindo nos}

prótons são assintoticamente livres; isto significa que os diagramas podem ser calculados perturbativamente. Por outro lado, quando a distribui¸cão de rapidez do bóson Z é y ≈ 0, os pártons colidindo têm pequenas fra¸cões de momento x. Para grandes valores de |y|, tipicamente um párton tem grande x, e o outro tem pequeno x. No entanto, a região mensurável de rapidez no CMS é |y| < 2, 4, e portanto, os valores de x permanecem na faixa

(37)

Figura 1.6: Diagramas de Feynman em ordem Next-to-Leading-Order

(NLO) que contribuem para a produ¸cão de par de múons através de o

processo de Drell-Yan, nos quais est´a impl´ıcito o decaimento do γ ∗ /Z

num dim´uon. (a) Diagramas de corre¸c˜oes virtuais. (b) Diagramas de

aniquila¸c˜ao. (c) Diagramas de espalhamento Compton.

de 5 × 10−4 < x < 5 × 10−2. Os pártons colidindo neste regime são predominantemente pártons do mar, provenientes de glúon spliting. Como resultado, o espectro de rapidez do Z fornece informa¸cões sobre a distribui¸cão glúons para pequeno x[27].

1.3.1 Produ¸

c˜

ao exclusiva pp → pZp

Além dos bósons Z produzidos via processos de Drell-Yan, o LHC oferece um ambiente favorável para explorar a produ¸cão do bóson Z por meio do mecanismo de fotoprodu¸cão, onde também é poss´ıvel produzir os bósons Z exclusivamente, em associa¸cão com nenhuma outra part´ıcula exceto os prótons. O processo é representando pelo diagrama da Figura (1.1) e é previsto pelo Modelo Padrão via fotoprodu¸cão, onde um próton emite fótons virtuais (γ∗), o qual flutua num par qq que é dispersado pela troca de dois glúons do outro próton. O par de quarks se materializam num bóson Z que posteriormente decai em par de múons17. O mesmo mecanismo fornece a fotoprodu¸cão dos mésons vetoriais J/ψ e Υ(1S, 2S, 3S) recentemente reportado no LHCb[12] e CMS[57]. Cabe destacar que a troca de dois glúons conserva a cor do processo, fazendo que os prótons emergem intactos após a colisão com momento transverso pequeno (< 1 GeV).

17_{Vale lembrar que tamb´}_{em pode decair no canal de el´}_{etrons ou de quarks (jatos), mas como estamos}

(38)

2

Fotoprodu¸

c˜

ao

Indo além das intera¸cões difrativas, caracterizadas por uma lacuna de rapidez no estado final [3], as intera¸cões eletromagnéticas possuem propriedades semelhantes à troca de pomerons com os números quânticos do vácuo, ou seja, produzindo uma lacuna de rapidez no estado final do processo. Por outro lado, em aceleradores, uma fra¸cão das colisões irão ocorrer com grande parâmetro de impacto, onde intera¸cões por meio da troca de f´ótons entre os prótons será mais provável, pois a distância de intera¸cão será muito maior que a escala de a¸cão da for¸ca forte, suprimindo as intera¸cões com troca de glúons. Estes tipos de colisões são conhecidas como colisões ultra-periféricas, onde os prótons incidentes irá emitir fótons, ocorrendo processos do tipo fóton-fóton(γγ) ou de sub-processos duros fóton-próton(γp).

Um parâmetro fenomenológico utilizado para determinar a geometria das colisões próton-próton, próton-núcleo e núcleo-núcleo é a centralidade [30]. Esta grandeza permite estimar o número de núcleons participantes da intera¸cão no processo, e define alguns tipos de colisões que ocorrerão em aceleradores: colisões centrais possuem centralidade 0%, entre 10% e 70% são chamadas colisões não-centrais, de 70% a 90% são colisões

(39)

Figura 2.1: Sistema de coordenadas dos referenciais K e K’ para a

part´ıcula de carga q e com velocidade ~v. O vetor unit´ario ˆn aponta na

dire¸c˜ao da linha de distˆancia r que liga a origem do referencial K’ com

o ponto onde o observador se localiza no referencial K. O ˆangulo entre

o vetor unitário ˆn e o vetor velocidade instantânea ~v é dado por θ, e a

origem do referencial K’ se localiza no ponto vt em rela¸c˜ao a x1 em K.

periféricas, e acima de 90% são designadas como colisões ultra-periféricas (Ultraperipheral Collisions - UPC ). As colisões periféricas ocorrem com grandes parâmetros de impacto, que correspondem a centralidades maiores que 70%, mesmo que estes valores não sejam exatamente contabilizados, podem ser inferidos pelo mapeamento do estado final produzido. Para as colisões ultra-periféricas, a abordagem teórica empregada para efetuar predi¸cões das se¸cões de choque, utiliza a aproxima¸cão de fóton equivalente, onde a se¸cão de choque hadrônica é fatorizada em termos da se¸cão de choque do subprocesso partônico de interesse e do fluxo de fótons provenientes de um dos hádrons incidentes, de um próton no caso de processos γp, ou de ambos os prótons em subprocessos γγ. Com isso, produ¸cões eletromagnéticas serão favorecidas, o que possibilita a análise de um conjunto de dados de colisões não-centrais, onde efeitos da for¸ca forte se fazem menos presentes. Recentemente, o trabalho de Motyka e Watt [14] aplica a ideia de processos ultraperiféricos para a produ¸cão de mésons vetoriais e do bóson vetorial Z em colisões γp.

(40)

2.1 Dinˆ

amica relativ´ıstica de campos eletromagn´

eticos

Uma das principais grandezas empregadas na teoria eletromagn´etica ´e o tensor intensidade do campo [28, 29], dado por1:

Fαβ = ∂αAβ − ∂β_Aα₌        

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz By Ey BZ 0 −Bx Ez −By Bx 0         , (2.1) onde ∂α _{= ∂/∂x} α = 1 c ∂ ∂t, − ∂ ∂x, − ∂ ∂y, − ∂ ∂z

, dessa forma, a transforma¸c˜ao dos campos eletromagn´eticos ~E e ~B de um referencial K para um referencial K’ obedece a lei

F0αβ = Λα_δΛβ_γFδγ, (2.2)

ou seja, aplicar-se as transforma¸c˜oes de Lorentz ao tensor intensidade de campo Fαβ .

Efetuando uma transforma¸cão de um referencial K para um referencial K’ que se move com velocidade ~v em rela¸cão ao primeiro, os campos ~E e ~B são expressos neste novo referencial na forma ~ E0 = γL ~E + ~β × ~B − γ 2 L γL+ 1 ~ β ~β · ~E, (2.3) ~ B0 = γL ~B − ~β × ~E − γ 2 L γL+ 1 ~ β ~β · ~B. (2.4)

A principal caracter´ıstica que se pode observar neste resultado é correla¸cão existente nos campos descritos no referencial em movimento. Sendo independentes no referencial K, os campos ~E e ~B passam a descrever conjuntamente ambos os campos elétrico e magnético do referencial K’ . Uma consequência importante deste efeito é observado em campos eletromagnéticos que pode ser vista no movimento de part´ıculas carregadas.

Agora, vamos considerar uma part´ıcula de carga el´etrica q movimentando-se na dire¸c˜ao x3 com velocidade v como se mostra na Figura 2.1. Sem perda de generalidades,

vamos supor que para o tempo t = t0 = 0 o origem dos dois sistemas coincide, assim, com o

1_{Coordenadas espa¸}_{co-tempo adotado x}µ

x0= ct, x1= x, x2= y, x3= z

(41)

passar do tempo a posi¸c˜ao P da part´ıcula no sistema de coordenadas K’ tem coordenadas x0₂ = b, x0₃ = 0, x0₁ = −vt0, assim

r0 = q

b2_{+ (vt}0₎2_. _(2.5)

Como a coordenada x1 (e, consequentemente, r0 ) somente dependem do tempo

t0 , esta é única variável que necessita ser transformada a fim de expressar a posi¸cão da part´ıcula em rela¸cão ao observador em P,

t0 = γLt = γL t − v 2 c2 x1 , (2.6)

assim, no referencial de repouso da part´ıcula temos que

E₁0 = −qvt 0 r03 , (2.7) E₂0 = qb r03, (2.8) E₃0 = B₃0 = B₂0 = B₁0 = 0. (2.9)

Expressando os campos ~E0 e ~B0 em rela¸c˜ao ao referencial2 _{K as componentes}

n˜ao-nulas s˜ao E1 = E10 = − qvγLt (b2_{+ γ}2 Lv2t2) 3/2, (2.10) E2 = E20 = qbγL (b2_{+ γ}2 Lv2t2) 3/2, (2.11) B3 = γLβE20 = βE2, (2.12)

onde os efeitos relativ´ısticos sobre a intensidade do campo são mais vis´ıveis quando v → c. Primeiro, podemos notar a presen¸ca do campo magnético induzido na dire¸cão x3 o qual é

igual ao campo el´etrico transverso E2 para β → 1. Por outro lado, da Fig. 2.1 podemos

ver que o campo elétrico aponta na dire¸cão do vetor radial unitário. Assim, expressando o campo elétrico ~E em termos da posi¸cão instantânea r da part´ıcula em rela¸cão ao ponto P, com b = r sin θ e vt = −r cos θ, e combinando E1, E2 e E3 podemos escrever o campo

2_{Os campos ~}_{E e ~}_{B s˜}_{ao descritos pela inversa da Eq. (2.3) e Eq. (2.4), onde a transforma¸}_c˜_{ao inversa ´}_e