Localização de campos em membranas deformadas

Lo alização de ampos em membranas deformadas

WilamiTeixeira da Cruz

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

WilamiTeixeira da Cruz

Tese submetida ao Departamento de Físi a

omo requisito para obtenção do grau

de Doutor em Físi a.

Orientador

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

Universidade Federal do Ceará

Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

C965l

Cruz, Wilami Teixeira da.

Localização de campos em membranas deformadas / Wilami Teixeira da Cruz. – 2009.

116 f. : il.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em

Física , Fortaleza, 2009.

Orientação: Prof. Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida.

1. Interação gravitacional . 2. Membrana gerada por kink. 3. Membrana deformada. 4. Campo escalar. 5.

Férmions. I. Título.

à minha família,a

fonte de toda minha

Gostaria de agrade er a todos que ontribuírampara a on lusão deste trabalho.

Ao professor Dr. Carlos Alberto Santos de Almeida pela orientação e pelos grandes

onselhos.

Todaminha famíliapeloapoiopermanentee in ondi ional.

Aos meus pais por mesmo depois de muito tempo terem a eitado minha es olha

prossional.

Agradeço àminha noiva Joelma pelapa iên ia.

Ao professorDr. Ri ardo Renan Landimpelas dis ussões.

Ao professorDr. Adalto Gomes pelaajuda naparte omputa ional.

AoprofessorDr. Makarius Oliveira Tahimpelas dis ussõese importante olaboração

durante o urso.

Aos olegasdoLASSCO,Ivan(brother),Vi tor, Alex,Diego,Luis, Hudson, Wagner,

Lu iana,Mário, Gonzaga eEu lides.

Ao professorDr. Jus elino Silvapelas onversas e exemplo de vida.

Aosprofessores do Departamento de Físi a daUFC.

Aosfun ionários dodepartamento de Físi a daUniversidade Federal doCeará.

À oordenação do urso de pós-graduação emFísi a daUFC.

À pró-reitoria de Pesquisa e Inovação do IFCE.

Analisamos o omportamento de ampos de vários ranks em modelos de dimensões

extras e enários de membranas om estrutura interna. Trabalhamos em um

espaço-tempo AdS (anti de Sitter) de in o dimensões onde o fator de warp é denido em

termos de uma função suave daquinta oordenada.

O fator de warp, assim omo o ba kground, são obtidos a partir da deformação de

modelos de membrana grossa. Tal enário imitaos modelos de Randall-Sundrum (RS),

quepodemserobtidossob ertolimite. Noentanto,avantagemdemodelosdemembrana

grossa é querepresentam versõesnão-singulares de enários RS(Randall-Sundrum).

Apartirdaaçãodea oplamentodeum ampoes alarreal omgravidadedes revemos

ageometriado enárioapartirdasequaçõesde Einstein. En ontramosentão,apartirde

um poten ial

λφ

4

, soluçõesdo tipo kink para o ampo es alar que representa a própria

membrana. Nesse aso, a solução interpola assintoti amente dois espaços

AdS

, omo

uma parede de domínio.

A partirde um pro edimentodedeformação nopoten ial,podemosobteruma lasse

de soluções de membrana. A vantagem desses novos modelos é que apresentam uma

estrutura interna. As soluções também interpolam dois espaços

AdS

om uma nova

estrutura de transição entre osdomíniosonde o ampo es alarassume valornulo. Essas

estruturas têm inuên ia na geometria do enário e onsequentemente nos métodos de

lo alização.

Nesse enáriode membrana,obtivemosnovosresultadossobrealo alizaçãode modos

zero para o ampo es alare para ampos fermini os. Quando tomamosos modos

mas-sivos resultantes das omponentes dos ampos na quinta dimensão, en ontramos novas

estruturas de ressonân ia. Tais estruturas nos auxiliam aentender a relação dos modos

sorial de gauge. Nesses asos, para garantir alo alizaçãodos ampos tivemos que

intro-duzir no enário um novo ampo es alar, o dílaton. Neste ponto pro edemos om uma

nova análise sobre a interação do dílaton om a estrutura deformada. O me anismos

de lo alização dos ampos de gauge e de Kalb-Ramond são diretamente afetados pela

estrutura interna damembrana. Novamente, analisando oespe tro massivo,dete tamos

signi ativasalteraçõesnos poten iaisdaequação de S hroedingerresultante quandoos

omparamos om modelos de membrana grossa usuais. Dete tamos estruturas de

resso-nân ia no espe tro massivo para o ampo de gauge. Estruturas semelhantes apare em

We analyze the behavior of elds of various ranks in models of extra dimensions and

s enarios ontainingmembraneswith internalstru tures. Forthispurpose westartfrom

a ve dimensions AdS spa e-time where the warp fa tor is dened interms of a smooth

fun tion of the fth oordinate.

The warp fa tor, as well as the ba kground, are obtained from the deformation of

thi k brane models. This s enario mimi s the Randall-Sundrum s enario (RS), whi h

an be obtained under ertain limit. However, the advantage of thi k brane models is

that they represent a non-singularversion of RS (Randall-sundrum)s enarios.

Startingfromthea tionwiththe ouplingofareals alareldandgravitywedes ribe

the spa e-timegeometryfromthe Einstein'sequation. Choosing a

λφ

4

potential,wend

kink-like solutions for the s alar eld that represents the membrane itself. In this ase,

the solution interpolatestwo asymptoti allyAdS spa es,su h asa domain wall.

From adeformation pro edure of the potential, we obtain a lass of brane solutions.

The advantage of these new models is that they host internal stru tures. The solutions

also interpolate two AdS spa es with a new transition stru ture where the s alar eld

has zero value between the domains. These stru tures have inuen e on the s enario's

geometry and thereforethe lo alizationmethods.

In this brane s enariowe obtained new results on the lo ation of zero modes for the

s alarand fermioni elds. Takingthe massive modes resultingfromthe fthdimension

omponents of the elds, we nd new resonan e stru tures. These stru tures help usto

understand the relationship of massivemodes with the membrane.

New results were also obtained when we take the ve tor and tensor gauge elds.

In su h ases, to ensure the lo ation of these elds, we had to introdu e a s alar eld

on the s enario, the Dilaton eld. At this point we pro eed with a new analysis of

Again, analyzing the massive spe trum,we dete ted signi ant hanges inthe potential

of the resulting S hroedinger's equation when ompared with models of usual branes.

Resonan e stru tures are dete ted in the spe trum for the massive gauge eld. Similar

stru tures appear in the study of the Kalb-Ramond eld by the two dete tion methods

Agrade imentos . . . i Resumo . . . ii Abstra t . . . iv Conteúdo . . . 1 Introdução 4 1 Interação gravita ional 14 1.1 Campo es alar. . . 16 1.2 Espinorde Dira . . . 18

2 Membrana gerada por kink 21 2.1 Introdução . . . 21

2.2 A membrana omo kink . . . 22

3 A estrutura de membrana deformada 30 3.1 Motivação . . . 30

3.2 Opro edimentode deformação . . . 31

4 Lo alização de ampo es alar 36 4.1 Modozero de ampoes alar . . . 36

5 Férmions 47 5.1 Motivação . . . 47 5.2 Modozero . . . 48 5.3 Modos massivos . . . 53 5.4 Ressonân ias . . . 60 5.4.1 Quiralidade direita . . . 61 5.4.2 Quiralidade esquerda.. . . 67 5.5 Dis ussão de resultados . . . 69

6 Membrana deformada dilatni a 71 6.1 Motivação . . . 72

6.2 Adi ionando o dílatonao enário . . . 73

6.3 Métodosuperpoten ial . . . 75

7 Campo de gauge 78 7.1 Motivação . . . 78

7.2 Lo alizaçãonamembrana deformada . . . 80

7.3 Modozero namembranadilatni a . . . 82

7.4 Modos massivos . . . 86

7.5 Ressonân ias . . . 90

7.6 Dis ussão dos resultados . . . 93

8 Campo de Kalb-Ramond 96 8.1 Motivação . . . 97

8.2 Modozero namembranadeformada. . . 97

8.5 Modomassivo namembrana deformadadilatni a . . . 103

8.6 Dis ussão dos resultados . . . 106

Con lusões e Perspe tivas 109

Apesar de não existir nenhuma evidên ia experimental de que o nosso universo possui

mais do quequatro dimensões, teorias de dimensõesextras têm sido ada vez mais

usa-das para resolver problemas emfísi ade altas energias. Um universo quadridimensional

possui ara terísti as importantes omo a renormalizabilidadede teorias de gauge para

as interações fra a, forte eeletromagnéti a. No entanto,é possívele bastante instrutivo

onstruir tais teorias emmodelos de universo om mais ou menos doque o padrão

qua-dridimensional. Podemos itar por exemplo o estudo de vórti es em sistemas planares

(2+1)D e suas apli ações em físi a da matéria ondensada, espe í amente em

super- ondutividade [1℄. Por outro lado, onsiderar aexistên ia de dimensões extras tem sido

uma importanteferramentateóri a para a solução de problemas emteorias om quatro

dimensões. Namesmamedida,ointeressenarealizaçãodeexperimentos apazesde

reve-lara existên iadessas dimensões adi ionaistem aumentado nos últimosanos. Emfísi a

de altas energias, a prin ipal motivaçãopara o estudodesses tópi os resultada pro ura

por uma teoria apaz de uni argravidade om as outrasforças fundamentais.

O primeiroesforço no ontexto de uni ação de gravidade om eletromagnetismovia

dimensõesextras foiexe utado porKaluza[2℄eKlein [3℄. Aidéia adotadafoi onsiderar

um espaço plano om in o dimensões, sendo quatro espa iaise uma temporal, om um

ampo gravita ional de 15 omponentes. No espaço-tempo quadridimensional (3+1),

esses 15 graus de liberdadeforam de ompostos entre um tensor de rank 2 asso iado ao

mais dimensões, o modelo de Kaluza-Klein (KK) onsidera a idéia de dimensões extras

ompa tas sendo representadas por uma esfera

S

1

de raio mi ros ópi o. Esta es olha

promove a dis retização dos auto-modos da teoria ujas massas são rela ionadas om

o raio de ompa ti ação, os quais são os hamados modos KK. Neste modelo, estes

estadosex itadossãotão pesadosqueultrapassamoslimitesde energiaal ançadospelos

a eleradores atuais.

Uma outra vertente de pesquisas onsiderando universos multidimensionais surgiu

nos anos 60 a partir do estudo de espalhamento de hádrons. Neste enário, um modelo

de ressonân ia dupla foi des rito [4℄, sendo que o espe tro dos estados no modelo foi

veri ado ser reproduzido pelo espe tro de uma orda vibrante. A motivação referente

a dimensões extras é devido ao fato de o modelo ser onsistente om 26 dimensões se

bosni o ou 10 se supersimétri o. Conhe ida atualmente omo teoria de ordas, foi

ini ialmenteestabele idaparades reverinteraçõesfortestendouma es alahadrni ada

ordem de Gev, es alaesta denida pelatensão da orda. Neste pontoa presença de um

modonão massivode spin2,sempartí ulahadrni aequivalente onhe ida,mostrava-se

in onsistente. Foientão quesepropsrela ionar talmodo omográviton, substituindo,

então, a es ala hadrni a pela es ala de Plan k gravita ional

M

P L

= 10

19

_Gev

. A partir

desta substituição, a teoria de ordas foi então reformulada dando origem à primeira

fusão da teoria gravita ional om a me âni a quânti a. As dimensões adi ionais são

regularmente mi ros ópi as devido a es ala natural de omprimento ser da ordem da

es ala de Plan k de

10

−33

_cm

. Outro ponto importante é que as massas dos estados

ex itados são da ordem da es ala de Plan k

M

P L

, o que infelizmente impossibilita a teoria de ser testada experimentalmente. No entanto, om os desdobramentosda teoria

de Kaluza-Klein apli adas à in lusão de teorias de Yang-Mills em supergravidade, os

Em outra linha de idéias, modelos de dimensões extras surgiram num ontexto de

quebra espontânea de simetria por ampo de Higgs em teorias de gauge não abelianas.

Nesse aso, a dependên ia espa ial do valor esperado para o ampo de Higgs demanda

por defeitos topológi os para modelar partí ulas elementares [5, 6℄. Tal motivação foi

resultado dosurgimentode modelos emqueo universo quadridimensionalédes ritopor

um defeito tipo parede de domínioo qual está ontido em um mundo multidimensional

[7℄. Nesse aso todaamatériadomodelopadrãoé onnada àparedede domínio,oque

o ulta adimensão omplementarparaas forças forte,fra ae eletromagnéti a. Omesmo

não pde ser feito para gravidade, o que nesse aso, restringe qualquer dimensão extra

à uma es ala mi ros ópi a. Esta éa idéia primordialdo que onhe emos sobre modelos

de mundos de membranas ou brane-worlds. Posteriormenteum tipo similar de parede

de domíniofoi onsiderado emteorias de super ordas sendo adotada omo o lo al onde

terminamas ordas [8℄. Osreferidos defeitos  aram onhe idos nessa onje tura omo

D-branes, onde o D diz respeito às ondições de ontorno de Diri hlet. Nesse aso o

tamanhoda dimensão extra tambémé onsiderado mi ros ópi o.

O on eitodedimensõesextrasmi ros ópi asfoiini ialmenteviolado omasidéiasde

Arkani-Hamed, Dimopoulos e Dvali(ADD) [9℄ sobre as vantagens de onsiderar

dimen-sões omplementaresdetamanho onsiderável. Omodeloespe ulain lusivesobreo

tama-nhopermitidoparataisdimensões,tendo omoprin ipalpropósitosolu ionaroproblema

dehierarquia. Oreferidoproblemadizrespeitoàgrandedis repân iaentreases alas

gra-vita ionaisde massa eletrofra a

M

EF

= 10

3

_GeV

ede Plan k

M

P L

= 10

19

_GeV

. A es ala

de Plan kédenida pelaequivalên iaentremassaeenergiaapartirdamassadePlan k,

que por sua vez é representada pela unidade de massa no sistema natural de unidades.

Mais pre isamente esse valor de massa é dado por

m

p

=

q

~

_c

G

≈ 1, 2209 × 10

19

GeV /c

2

, onde

c

é a velo idade da luz no vá uo,

G

é a onstante gravita ional e

~

é a onstante

de Plan k reduzida. A es ala eletrofra a por sua vez é determinada por

v = (G

F

√

2)

1/2

onde

G

F

é a onstante de Fermi.

Um aspe to interessantedo modelo ADD é que apesar de serem ompa ti adas, as

n

dimensões espa iais extras possuem um raio omum não ne essariamente mi ros ó-pi o. Outro ponto importante é que neste enário de mundo om

(4 + n)

dimensões, a

gravidade é ontrolada pela es ala eletrofra a ao invés daes ala de Plan k, obviamente

om intenção de uni ar as interações gravita ional e eletrofra a. As linhas de uxo

gravita ionalpodempoten ialmente ar onnadasaonossomundoquadridimensional,

sendoqueo poten ialgravita ionalem

M(3 + n, 1)

entre dois orposestáti osde massas

m

1

e

m

2

,

V (r) = m

1

m

2

/M

n+2

P L(4+n)

r

n+1

é onvertido em

V (r) = m

1

m

2

/M

n+2

P L(4+n)

rR

n

om

M(3, 1) × S

n

. Isto resulta em um a oplamento gravita ional quadridimensional dado por

M

2

P L

= M

P L(4+n)

n+2

R

n

, onde devemos ter

M

P L(4+n)

∼ M

EF

. Como

M

P L

é da ordem de

10

19

_GeV

, o valor

n = 1

, que resulta em

R ∼ 10

13

_cm

, deve ser des artado para não

haver dis ordân ia om o observado experimentalmente na gravidade de Newton nessa

es ala de distân ia. No entanto,

R

assume valores da ordem de milímetrospara

n = 2

,

o que é importante porque nesta es ala de omprimento, a gravidade nun a tinha sido

testada. Aslinhas de uxogravita ionalpodemempri ípiovazarpara dimensõesextras

manifestando-se omo modi ações em es ala milimétri a para gravidade em 4

dimen-sões. Com os grávitons propagando-se nas dimensões adi ionais, os ampos do modelo

padrão devem ser lo alizadosemuma variedade quadridimensional. Estes fatoszeram

surgir a possibilidade de dete tar em a eleradores de partí ulas, no aso de duas

di-mensões extras, modi ações na lei de gravidade Newtoniana em nível milimétri o. As

idéias a ima foram posteriormente estendidas ao on eito de membranas originário de

teorias de ordas a partir do trabalho [10℄ de Antoniadis,Arkani - Hamed, Dimopoulos

e Dvali em (1998), e ganharam assim mais abrangên ia. O setor gravita ional onsiste

sões podem teori amente ser testadas pelaperda de energia levada pelos grávitons para

fora da membrana. Apesar de até 2003 [11℄ não terem sido dete tadas dis repân ias a

nível milimétri oou sub-milimétri o na teoria Newtoniada de gravidade, o trabalho de

Arkani-Hamed, Dimopoulos eDvali fez surgir,pelomenos teori amente, a possibilidade

de experimentarevidên iasde dimensõesextrasemníveisde energiaedistân ia

al ançá-veis atualmente. Infelizmente, apesar do formalismoADD solu ionar a hierarquiaentre

ases aladePlan keeletrofra a,introduzumanovahierarquiaentreases alaseletrofra a

e de ompa ti ação.

Uma solução mais ompleta para oproblema de hierarquia foi apresentada por Lisa

Randall e Raman Sundrum em 1999 (RS-I) [12℄, e podemos itar omo aspe tos mais

importantes domodelo:

1. existên ia de apenas uma dimensão extra não mi ros ópi a ompa ti ada, uma

variedade de simetria

Z

2

, na qual pontos opostos da quinta dimensão são identi- ados;

2. duas membranaslo alizadasempontos diametralmenteopostos dessa variedade;

3. a geometria do volume multidimensionalnão é mais onsiderada plana. Ao invés

disso adota-seuma geometria de in o dimensõesanti-de Sitter;

4. umahierarquiaexponen ial,geradapelamétri a,determinaaes ala fra aapartir

daes ala de Plan k.

A métri autilizadanão é fatorizávele aparte quadridimensionalémultipli adapor um

fator de warp, que é função da dimensão adi ional,

ds

2

_{= e}

−2kr

c

φ

_η

µν

dx

µ

dx

ν

+ r

2

c

dφ

2

,

onde

x

µ

sãoas oordenadasemquatrodimensões,

k

éumaes aladaordemmassaPlan k

M

_{P L}

2

=

M

3

k

[1 − e

−2kr

c

π

_],

(1)

onde

M

éaes ala fundamentalem

5D

. Ovalorde

M

P L

,nolimitequando

kr

c

égrande, depende muito pou o de

r

c

. Dessa forma, a exponen ial tem muito pou o efeito na determinação da es ala de Plan k e teremos

M

P L

∼ M ∼ k

. Ao invés da supressão ser regulada pelo tamanho da dimensão extra omo no formalismo ADD, neste enário, a

supressão é dada pela urvatura do espaço fora da membrana que atua omo um meio

refrativo para o ampogravita ional. Outro ponto importanteé que a partir daanálise

dateoria efetiva para o ampo de Higgs om a métri anão fatorizável hega-sea es ala

T ev

om

kr

c

≈ 10

e sem grandeshierarquias entre outros parâmetros fundamentais. A onguração de duas membranas do enário de Randall Sundrum (RS-II) foi

al-terada em [13℄ introduzindo-se a idéia de uma dimensão extra de tamanho innito. A

gravidade quadridimensional Newtoniana bem omo da relatividade geral puderam ser

reproduzidas nesse ontexto. Para entender melhor o enário RS-II (Randall Sundrum

II), podemos relembrar o enário ADD, onde a pre aução para evitar onitos om a

observação em enáriodedimensão extrafoi onnar todos os amposdomodelopadrão

auma membranasubespaçode um espaço om in o dimensões. Esta idéiaé

in ompatí-vel om agravidade, que sendo onstituinte daprópriaestrutura doespaço-tempo,deve

propagar-se emtodas as dimensões [13℄. De fato,se não queremos irde en ontro a

vali-dadeexperimentaldaleideNewton edarelatividadegeral, devemos onsiderarsomente

dimensõesadi ionais ompa tas emilimétri as. Noentanto,nomodelo RS-II[13℄, o uso

de uma métri a não fatorizável foi o ponto have para resolver essa in ompatibilidade.

O on eito de duas membranas, uma o ulta e outravisível, onde afunção de onda para

omodozerodográvitonémais fortenamembranao ulta [12℄,éinvertido quandosefaz

r

c

→ ∞

. Dessa forma, no enário RS-II, a segunda membrana no "orbifold", denomi-nada o ulta, é des artada e o gráviton é lo alizado na membrana visível. Outro ponto

importanteé que mesmo no limite

r

c

→ ∞

o valor da es ala de Plan k é bem denido, o quemantém a utilidadedateoria nasolução doproblema de hierarquia.

A prin ipal onstatação do modelo RS-II vem da forma do poten ial gravita ional

não-relativísti oentre duas partí ulas de massas

m

1

e

m

2

na membrana

V (r) = G

m

1

m

2

r



1 +

1

kr



,

(2)

onde observamos laramente que om

k

da ordem da es ala de Plan k, a orreção

1

kr

é extremamente suprimida, dando lugar ao poten ial Newtoniano usual. Dessa forma é

possível onsiderar a dimensão extra de tamanho innito, sendo que a sua presença é

o ultada pela supressão exponen ial de toda tro a de informação gravita ional entre a

membranae o espaçofora dela.

Como denido no modelo de Randall Sundrum todos os ampos do modelo padrão

devem  ar onnados à membrana. Então, é naturalsurgir oseguintequestionamento:

poderão os ampos dos mais variados ranks ser efetivamente lo alizados na membrana

des rita nesse modelo? Tomando-se essa pergunta omo motivação, vários trabalhos,

pro uraramtestar o omportamento dos mais variados ampos no enário RS.

Resumi-damente, podemos itarotrabalho[14℄,mostrandoalo alizaçãode um ampoes alarna

membranavisíveleosartigos[15℄,sobre lo alizaçãode amposfermini osnãomassivos

om aajudade um a oplamentoYukawa. Apesar do modelode RandallSundrum

apre-sentar uma solução para problema de hierarquia, não suporta lo alizaçãona membrana

de modos zeros para o ampode gauge[16℄.

Diante dessas di uldades, outros modelos, omo aqueles que apresentam enários

de membranasmodeladaspor defeitostopológi os,foramapresentados omo alternativa

para o problema da não lo alizaçãodo ampo de gauge. Em taismodelos o número de

dimensões extras determina o tipo de defeito mais adequado para moldar a estrutura.

Por exemplo, se onsideramosapenas uma dimensão extra podemos modelar ouniverso

de dominio[17, 18, 19℄. Estasmembranasnão são innitamentenas sob pontode vista

de dimensão extra, o que resulta em um enário livre de singularidades. Neste aso, a

ondição de ajuste no é resultado daprópria teoria de membranainduzida. O fatorde

warp é uma função suave e determinado pela forma dopoten iales alar. Denominadas

espessas, estas membranas mimetizam um enário de Randall Sundrum e podem sob

erto limite voltar a ser innitamentenas.

Membrana geradasporkinksnão suportamnaturalmentelo alizaçãode modos zeros

para os amposvetoriaise tensoriaisde gauge. O ampotensorialao qualnos referimos

é o ampo de Kalb-Ramond (KR). Uma alternativa para ontornar esse problema é

introduzir um ampo do "bulk". Como mostrado em [19℄ num ontexto de membrana

modelada por kink, o a oplamento om o dílaton possibilita a lo alização de modos

zeros para o ampo de gauge. Este tipo de a oplamentotambémfoi usado emdiversos

modelos omome anismode lo alizaçãodo ampodegauge[20,21℄, in lusiveemparedes

dedomínio. Alo alizaçãodemodoszerosparao ampodeKR[22℄tambémfoial ançada

pelo mesmome anismo num enáriode membrana geradapor kink.

Como podemos notar, um importanteproblema no estudo de modelos de dimensões

extrasatualmente onsisteemdeterminar,entreosdiversos enáriosdemembrana,

aque-les apazes de lo alizaros amposdomodelo padrão. Nonosso, aso dedi amos atenção

aoestudode amposde vários ranks emum tipobastantepe uliarde membranagerada

por um ampo es alar real. Como veremos, a partir de um pro edimento de

deforma-ção de um poten ial

φ

4

, obteremos uma lasse de soluções lassi adas omo two-kink

[23℄. Como mostrado em[24℄, este tipo de modelo de membrana suporta lo alizaçãode

modos zeros obtidos de utuações no setor transversal de traço nulo (TT) da métri a.

Estes defeitos fazem surgir uma estrutura interna na membrana, tendo impli ações na

in-matéria ondensada. Podemos itar omo exemplo um aso de a oplamento de ampo

es alar omplexo omgravidadeonde umatransição defasegera um"splitting"na

mem-brana espessa [25℄. Em matéria ondensada este fenmeno é onhe ido omo  omplete

wetting.

Podemosdenir nossoobjetivo omosendo analisaro omportamentodos modos

ze-ros e massivos para ampos es alares, fermini os, de gauge, e de Kalb-Ramond nessas

estruturas de membranas deformadas. Como veremos, o parâmetro resultante do

pro- edimento de deformação terá impli ações nos métodos de lo alização, assim omo na

ara terísti a doa oplamento dos modos de Kaluza-Klein om a membrana. O método

utilizadopara armarque os modos zero (massa zero) dos ampos são lo alizados,

on-siste emanalisar, na ação efetiva, o resultado das soluções das equações de movimento.

Para soluções normalizáveis (ação efetiva nita) dizemos que os modos são lo alizados.

Transportandonossoproblemaparaum enáriodeme âni aquânti a, obteremos

impor-tantes interpretações a respeito dos modos KK que nos auxiliaramna bus a de estados

ressonantes. Como des rito em [17℄, no estudo de lo alizaçãode gravidade em peredes

de domínio,a existên ia dessas estruturas pode nos forne er um espe tro de modos KK

om a oplamentonão suprimido om a matériada membrana.

Ateseéapresentadanaseguintesequên ia; no apítulo1,des revemos oa oplamento

deférmionseo ampoes alar omgravidade;no apítulo2,mostramososdetalhesdeum

enáriodemembranagrossa;nopasso seguinte, apresentadono apítulo3,apresentamos

a estrutura de membrana deformada;nos dois apítulosseguintes mostramos os

resulta-dos de lo alizaçãodos amposes alarefermini os. No apítulo6,analisamososefeitos

da introdução do ampo es alar dílaton ao enário. Nos dois apítulos seguintes,

anali-samos osdetalhes dalo alizaçãodos ampos vetorial e tensorialde gauge na membrana

omestruturainternaénovanaliteratura. Um asoparti ulardenossosresultadossobre

ressonân ias no espe tro massivo do ampo de gauge foi publi ado no trabalho [22℄, de

nossa autoria. O método numéri o utilizadona análise dos modos massivos e dete ção

Interação gravita ional

Neste apítulo,apresentamos tópi osbási osaodesenvolvimentodos modelos de mundo

om in o dimensões. Mostraremos omo deve ser feito o a oplamento de um ampo

es alar om agravidade, oque será importantenades rição dos modelosde membrana.

Também mostramos omo o orre o a oplamento de férmions om gravidade, o que será

útilno estudoda lo alizaçãodestes ampos.

Apartirdo on eitomatemáti odeação,podemos onstruirtodasaleisfundamentais

da Físi a Clássi a. Podemos, então, a partir da análise da invariân ia das equações de

movimento, denir quantidades onservadas. O on eito de ação pode ser estendido ao

estudo de Físi aQuânti a a partirda introduçãodas integraisde aminhode Feynman.

Essa ferramentamatemáti a nos revelauma linguagem para des revera transição entre

Me âni a Clássi ae Quânti a [26℄.

Para obtermos as leis de onservação da Relatividade Espe ial, pre isamos ter

in-variân ia sobre transformações de Lorentz globais e translações. Se queremos in luir

gravidade ao nosso enário, devemos realizar a transição da Relatividade Espe ial para

a Geral, assim o prin ípio daequivalên ia deve então ser onsiderado. De uma maneira

geral, este prin ípionos dizque um referen ialem queuma partí ulaé submetida a um

Ini ialmente, onsideremos uma partí ula em um ampo gravita ional onstante. A

partir das leisde Newton temos

m

I

−

→

a = m

G

−

→

g .

(1.1)

Qualquer força externa atuando na partí ula é igual ao produto da sua a eleração pela

massa daprópriapartí ula, denominadamassa iner ial

m

I

. Uma forçagravita ional ex-ternaépropor ionalaquantidade

m

G

,que hamamosdemassagravita ionaldepartí ula. As duas massas denidas a ima são, om uma grande pre isão, numeri amente iguais,

embora pertençam à enários diferentes. Dessa forma, onsiderando

m

I

= m

G

= m

, podemosrees rever a equação (1.1) daseguinte forma

m

d

2

dt

2

[−

→

r (t) −

−

→

_{g t}

2

2

] = 0.

(1.2)

Podemosinterpretar queo ampogravita ionalexternopode sergeradoa partirde uma

mudança de referen ial

−

→

_{r → −}

→

_r

′

_{= −}

→

r −

−

→

g t

2

2

.

(1.3)

Assim,vistade umreferen ialemquedalivre(

g = constante

),apartí ulaestarialivrede

gravidade. Chegamosa esta on lusão tomandoum ampo gravita ional onstante, mas

geralmente o ampo gravita ional varia emtodos os pontos dos espaço. No entanto, de

a ordo omEinstein,o ampogravita ionalétalqueemtodosospontosdoespaço-tempo

existe umsistemade oordenadas

ξ

a

noqualagravidade pare enãoexistir. É laroque, de pontoa ponto,esse sistemade oordenadas varia. Dessa forma,dado um sistemade

oordenadas privilegiado

ξ

a

em um ponto do espaço-tempo, podemos rela ioná-lo om um sistema de oordenadas arbitráriode modoquea Físi aemtermosde

ξ

a

,independe da es olha do sistema arbitrário. Assim, usaremos os índi es

a, b, c, d...

para o sistema

Ini ialmente, na ausên ia de gravidade tomemos a ação para um ampo es alar em 4D sujeito a um poten ial

V (φ)

S =

Z

d

4

x



1

2

∂

µ

φ∂

µ

_{φ + V (φ)}



.

(1.4)

Oelementode volume é dado por

d

4

x = dx

1

dx

2

dx

3

dx

4

.

(1.5)

Pelo prin ípio da equivalên ia, para in luir o ampo es alar num ampo gravita ional,

devemos rees rever as oordenadas

x

µ

, assim omo suas derivadas, omo um sistemade

oordenadas planas, omo se estivessem no referen ial de queda livre que usamos para

exempli ar noiní io. Devemos então tomar a seguintetransformação,

x

µ

_{→ ξ}

a

_,

(1.6)

onde

ξ

a

será o sistema de oordenadas planas, om

a = 1, 2, 3, 4

. O elemento de linha

nesse sistema será dado por

ds

2

= η

ab

dξ

a

dξ

b

,

(1.7)

onde

η

ab

é a métri ade Minkowski. A nova ação, in luindoagravidade, será

S =

Z

d

4

ξ



1

2

η

ab

_∂

a

φ∂

b

φ − V (φ)



,

(1.8)

om as derivadas em relaçãoàs oordenadas planas

∂

a

≡

∂

∂ξ

a

.

(1.9)

Oelementode volume tambémdeve ser es ritoem termosdas oordenadas planas

ponto aponto noespaço. As oordenadas

ξ

a

devemser des ritas omo funçõeslo aisde

um sistema de oordenadas não-iner ial

x

µ

daseguinteforma

dξ

a

(x) =

∂ξ

a

∂x

µ

dx

µ

_.

(1.11)

As matrizes de transformação do sistema de oordenadas planas para um sistema

arbi-trário são hamadas tetradas e dadaspor

e

a

_µ

=

∂ξ

a

∂x

µ

.

(1.12)

A tetrada arregaíndi esdosistemaplano

a

e urvo

µ

. Tambémtemosatransformação

inversa

dx

µ

=

∂x

µ

∂ξ

a

dξ

a

≡ e

µ

a

dξ

a

,

(1.13)

de onde podemos es rever a seguinterelação

dξ

a

= e

a

_µ

dx

µ

= e

a

_µ

e

µ

_b

dξ

b

.

(1.14)

Logo

e

a

_µ

e

µ

_b

= δ

_b

a

, e

µ

_a

e

a

_ν

= δ

µ

_ν

.

(1.15)

As derivadas devemser es ritasemtermos das tetradas omo

∂

∂ξ

a

=

∂x

µ

∂ξ

a

∂

∂x

µ

= e

µ

a

∂

µ

.

(1.16)

A lagrangeana da ação (1.8) poderá ser rees rita em termos do sistema de oordenadas

x

µ

omo

L =

1

2

η

ab

_e

µ

a

e

ν

b

∂

µ

φ∂

ν

φ − V (φ),

(1.17)

onde identi amosa métri ainversa

de oordenadasarbitrárias

ds

2

= η

ab

dξ

a

dξ

b

= η

ab

e

a

µ

e

b

ν

dx

µ

dx

ν

= g

µν

dx

µ

dx

ν

(1.19)

onde

g

µν

= η

ab

e

a

µ

e

b

ν

Para es rever a ação (1.8) no sistema de oordenadas

x

µ

, devemos rela ionar o

ele-mentode volume

d

4

_ξ

om

d

4

_x

. Usando (1.11),obtemosa seguinterelação

d

4

ξ = dξ

1

dξ

2

dξ

3

dξ

4

= (det e

a

_µ

)dx

1

dx

2

dx

3

dx

4

.

(1.20)

Otermo

det e

a

µ

é onhe ido omooja obianodatrasformação. Apli andoodeterminante

à métri a

g

µν

, denida em(1.19), obtemoso ja obiano

(det e

a

_µ

)

2

_{= − det g}

µν

.

(1.21)

Dessa forma,oselementosde volume rela ionam-sedaseguintemaneira

d

4

ξ =

p

_{− det g}

µν

d

4

x.

(1.22)

Finalmente, poderemos rees rever a ação para o ampo es alar (1.8) num enário om

gravidade omo,

S =

Z

d

4

x

p

_{− det g}

µν



1

2

g

µν

_∂

µ

φ∂

ν

φ − V (φ)



.

(1.23) 1.2 Espinor de Dira

Ogrupode Lorentzemrepresentação espinorial

1

2

, 0

e

0,

1

2

édes ritopelos espinores

omplexos

ψ

L

e

ψ

R

respe tivamente. Na ausên ia de gravidade, oinvariantede Lorentz usado para termo inéti oespinorialnaação é dado por,

L

Dirac

=

1

2

Ψγ

µ

←

_∂

→

onde

Ψ

é hamado espinorde Dira

Ψ ≡







ψ

R

ψ

L





 .

(1.25)

Oobjeto

Ψ

representa oadjunto de

Ψ

dadopelarelação

Ψ = Ψ

†

γ

0

,

(1.26) onde

γ

0

=







0

1

1

0







γ

i

=







0

−σ

i

σ

i

₀





 .

(1.27) Ostermos

σ

i

são as matrizesde Paulidadas por

σ

1

=







0

1

1

0







σ

2

=







0

−i

i

0







σ

3

=







1

0

0

₋₁





 .

(1.28)

Poderíamos montar uma ação invariante envolvendo ampos espinoriais da forma

∂

µ

Ψ∂

¯

µ

Ψ

. No entanto,termos desse tiponão levama teorias onsistentes tendo emvista

queviolamarelaçãoentrespineestatísti aenãosãorenormalizáveisperturbativamente.

Parain luirainteraçãogravita ionalaoespinordeDira devemos, omozemos om

o ampo es alar, apli ar o prin ípio da equivalên ia. A diferença em relação ao ampo

es alar é que o ampo de Dira transforma-se omo um espinor sob a transformação de

Lorentz

Ψ → e(

2

i

ǫ

µν

_σ

µν

)Ψ,

(1.29) onde

ǫ

µν

são os parâmetros da transformação e

σ

µν

representam os geradores da trans-formação de Lorentzno espinor. Emtermos das matrizes

γ

µ

, temos

σ

µν

=

i

2

[γ

µ

_{, γ}

ν

_].

(1.30)

De a ordo om o prin ípio da equivalên ia, em ada ponto do espaço, o ampo

oordenadas favore ido deve mudar de ponto a ponto no espaço. De uma forma geral,

para generalizar a equação de Dira em um ampo gravita ional, devemos preservar a

invariân ialo alsob as transformaçõesde Lorentz.

Denimosumanovaderivadademodoque,quandoatuandonoespinor,transforme-se

damesma formaque a derivada na ausên ia de gravidade

D

a

≡ e

µ

a

(∂

µ

+ iω

µ

).

(1.31)

Es revendo

ω

µ

emtermosda onexão de spin,teremosaderivada ovarianteatuandono espinorde Dira naforma

D

a

≡ e

µ

a

(∂

µ

+

i

2

ω

cd

µ

σ

cd

).

(1.32)

A nova lagrangeanade Dira no ampo gravita ionalserá

L

Dirac

=

1

2

Ψγ

a

_e

µ

a

(∂

µ

+

i

2

ω

cd

µ

σ

cd

)Ψ.

(1.33)

Membrana gerada por kink

2.1 Introdução

A idéia de onsiderar uma estrutura adi ional de ampo no bulk 5-dimensional foi

proposta por vários trabalhos [17, 18, 27℄ sendo que em todos os modelos o enário de

Randall-Sundrum pode ser reestabele ido em um limite apropriado. As estruturas de

membrana apresentadas nesses modelos não são innitamentenas em relaçãoà quinta

dimensão. Dessa forma, o que hamaremos estruturas de membranas grossas são

se-melhantes a paredes de domínio ferromagnéti as, podendo se espalhar pela dimensão

extra.

Uma estrutura de parede de domínio é ara terizadapelaexistên ia de um

parâme-troque assumevalores diferentes em ada domínioe quetransitagradualmenteentre os

domínios adja entes. Dessa forma, o que podemos hamar de espessura da parede de

domínio é o tamanho da região onde esse parâmetro sofre a transição. Uma estrutura

análoga à parede de domínio pode ser on ebida em teorias de ampos a partir de um

ampo es alar ujo poten ial apresenta diferentes mínimos em diferentes domínios.

As-sim, o ampo es alar atravessa a parede de domínio, alternando-se entre os diferentes

Dessaforma,alémdaenergiapoten ial,aenergiade gradientedo ampoes alartambém

ontribui para o tensor momento-energia estabele endo uma fonte de gravidade

depen-dentedoespaço-tempo,diferentedos asosdeparedededomínioemqueo ampoes alar

é onstanteno espaço,permane endo apenas emum dos mínimosdopoten ial.

OespaçoantideSitter(AdS)podeser ara terizado omoumavariedadeLorentziana

de simetria máxima om urvatura es alar negativa e onstante. Nos asos em que

o ampo es alar varia no espaço, a geometria gerada nas equações de Einstein pela

fonte não é exatamente de simetria

AdS

5

do espaço-tempo, omo aquela gerada por uma onguração de ampo es alar onstante. Como veremos, assim omo o ampo

es alar, a própria urvatura es alar varia espa ialmente em regiões próximas à parede

de domínio, tendendo a valores onstantes e negativos longe dela. A solução pode ser

interpretada omouma paredede domíniogrossaque alternaentre doisespaços

AdS

5

,o que ara teriza umaversão sem singularidades do enário RS.

2.2 A membrana omo kink

Para des rever nosso enáriousaremos amétri a

ds

2

= e

2A(y)

η

µν

dx

µ

dx

ν

+ dy

2

,

(2.1)

onde o fator de warp é gerado pela função

A(y)

da dimensão extra

y

. O tensor

η

µν

é a métri a de Minkowski e os índi es

µ

e

ν

variam de 0 a 3. Para gerar nossa estrutura

de membrana, introduzimosuma ação om a oplamento entre gravidade 5-dimensional

e um ampo es alar daseguinte forma

S =

Z

d

4

xdy

√

_−G(−

1

4

R −

1

2

(∂φ)

2

− V (φ))

(2.2)

naqual, o ampo

φ

onstituia própria membrana e

R

é a urvatura es alar. É possível

obtermos, a partir do modelo des rito pela ação a ima, soluções do tipo kink para o

ampo

φ

que dependemapenasda dimensão extra.

As equações de movimento resultantes da ação (2.2) serão extraídas da equação de

Einstein

R

M N

−

1

2

G

M N

R + G

M N

Λ =

8πg

c

4

T

M N

,

(2.3) e daequação de Euler-Lagrange

∂

M



∂L

∂(∂

M

φ)



−

∂L

_∂φ

= 0,

(2.4)

onde índi es om letras maiús ulas

M = 1, 2, 3, 4, 5,

e a onstante osmológi a

Λ = 0

. O

tensor energia-momentoédado por

T

M N

= 2

δL

mat

δG

M N

+ G

M N

L

mat

,

(2.5)

que omo havíamos dito terá ontribuições tantoda energiade gradiente omo da

ener-gia poten ial do ampo es alar. Cal ulando o valor de

T

M N

a partir da ação (2.2) e substituindo naequação de Einstein, teremosas seguintes equações de movimento

R

M N

−

1

2

G

M N

R = 2



∂

M

φ∂

N

φ − G

M N



1

2

∂

P

φ∂

P

_{φ + V (φ)}



,

(2.6)

∂

P

[

√

−GG

P N

_∂

N

φ] =

√

−G

∂V

∂φ

.

(2.7)

Dessa forma, pre isamos onhe er o tensor de Ri i

R

M N

e a urvatura es alar

R

. O tensor de Ri ié obtido pela ontração dotensor de urvatura daseguinte forma

R

M N

= R

M P N

P

,

(2.8)

onde

R

P

M QN

= ∂

Q

Γ

P

M N

− ∂

N

Γ

P

M Q

+ Γ

R

M N

Γ

P

RQ

− Γ

R

M Q

Γ

P

RN

.

(2.9) A urvaturaes alar é obtidado tensor de Ri ipela ontração

Γ

P

_{M N}

=

1

2

G

P Q

_(∂

M

G

QN

+ ∂

N

G

QM

− ∂

Q

G

M N

) .

(2.11) A partir da métri a

G

M N

=



























−e

2A(y)

₀

₀

₀

₀

0

e

2A(y)

₀

₀

₀

0

0

e

2A(y)

₀

₀

0

0

0

e

2A(y)

₀

0

0

0

0

1



























(2.12) onde

√

−G =

q

−(−e

8A(y)

_{) = e}

4A(y)

(2.13)

hegamos aos seguintes resultados

Γ

1

₅₁

= Γ

2

₅₂

= Γ

3

₅₃

= Γ

4

₅₄

= A

′

(y) , A

′

(y) =

dA(y)

dy

,

(2.14)

Γ

5

₂₂

= Γ

5

₃₃

= Γ

₄₄

5

_{= −Γ}

5

₁₁

_{= −e}

2A

A

′

(y),

R

22

= R

33

= R

44

= −R

11

= −e

2A

[4A

′

(y)

2

+ A

′′

(y)]

(2.15)

R

55

= −4[A

′

(y)

2

+ A

′′

(y)],

R = −4[5A

′

(y)

2

+ 2A

′′

(y)].

(2.16)

Com o ampo es alar dependendo apenas de

y

, substituimos as relações (2.15) e (2.16)

naequação de movimento(2.6) eobtemos, para

M = N = 5

6A

′2

_{= φ}

′2

_{− 2V (φ),}

(2.17)

e para

M = N = 1, 2, 3, 4

-3

-2

-1

1

2

3

Φ

0.5

1

1.5

2

VHΦL

Figura2-1: Poten ial

V (φ) = (1 − φ

2

₎

2

.

Finalmente, para ompletar as equações de movimento, obtemos da equação de

Euler-Lagrange(2.4) om a métri a

G

M N

4A

′

φ

′

+ φ

′′

=

∂V

∂φ

.

(2.19)

Neste ponto é importante notar que poderemos en ontrar a forma do fator de warp

a partir da solução para o ampo es alar. Se queremos uma solução tipo parede de

domínio,afunção

φ(y)

devetenderassintoti amenteparaosmínimosdopoten ialquando

y → ±∞

. No asosemgravidadeopoten ial

(1 −φ

2

₎

2

,mostradonagura(2-1),suporta

solução tipokink

φ(y) = tanh(y),

(2.20)

que traçamos nagura 2-2.

Somando as equações(2.17) e (2.18)teremos,

A

′′

_{= −}

2

3

φ

′2

_,

-4

-2

2

4

y

-1

-0.5

0.5

1

tanhHyL

Figura2-2: Função

φ = tanh(y)

.

e integrando duas vezes

A(y)

esubstituindo a solução

φ(y) = tanh(y)

, teremos

A

′′

_{(y) = −}

2

3



sech

2

(y)



2

(2.22)

A

′

_{(y) = −}

2

9



(2 + sech

2

_{(y)) tanh(y)}



A(y) = −

4

₉

ln[cosh(y)] −

1

₉

tanh

2

(y)

Podemos notar que a função

A(y)

ésuave e representa um fatorde warp lo alizado,ou

seja

e

2A(y)

∝ e

−|y|

(y → ∞),

(2.23)

tendo a forma do fator de warp do modelo Randall-Sundrum para regiões distantes da

membrana. Nagura(2-3)plotamosofatordewarpgeradopelafunção

A(y)

juntamente

om aquele do modelo RS.

Éinteressantetambém ompararoes alarde urvaturageradopelafunção

A(y)

om

odomodeloRS.Para istotraçamos

R = −4[5A

′

_(y)

2

_{+ 2A}

′′

_(y)]

nagura(2-4),onde

A(y)

é dado pelaequação (2.22).

-6

-4

-2

2

4

6

y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

H2 AL

-6

-4

-2

2

4

6

y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

-ÈyÈ

Figura2-3: Fator de warp para

A(y)

(esquerda) e

−|y|

(direita).

próximas ao salto do ampo es alar tendendo assintoti amente quando

y → ±∞

a um

valor onstante e negativo. Dessa formapodemos on luir que nas regiões distantes da

membrana

(y → ∞)

, a geometria doespaço-tempoadquire a mesma estrutura

AdS

5

do modeloRandall-Sundrum. Aespessuradamembranaen urvaoespaço-tempofa ilitando

a lo alizaçãode ampos. Comparando om o modelo RS om a função

A(y) = −k|y|

, a

urvatura teriavalor onstanteem todobulk.

Uma forma alternativa de obter soluções para as equações de movimento onsiste

no método de superpoten ial [18, 28℄. Com esse método derivamos o poten ial para o

ampoes alar a partir de uma função denominada superpoten ial

W (φ)

,denida omo

∂W

∂φ

= φ

′

. Para isso, es revemos opoten ial es alarem termosda função

W

omo

V (φ) =

1

2



∂W (φ)

∂φ



2

−

1

3

W (φ)

2

_,

(2.24)

que omparando om (2.17), obtemosas equações de primeira ordem

∂W (φ)

∂φ

= φ

′

_,

(2.25)

W (φ) = −3A

′

.

(2.26)

No aso doespaço-tempoplano, ondeopoten ialées ritoemfunção dosuperpoten ial

omo

V (φ) =

1

2



∂W (φ)

∂φ



2

,

(2.27)

-4

-2

2

4

y

-4

-2

2

4

R

Figura2-4: Curvatura es alarpara

A(y)

.

afunção

W (φ) = φ −

φ

3

3

ara terizao poten ial

1/2(1 − φ

2

₎

2

. Com estaes olhapara

W

,

usando arelação (2.25)obtemos novamentea solução

φ = tanh(y)

, ouseja

1

2



∂W (φ)

∂φ



2

=

1

2

(1 − φ

2

₎

2

_,

(2.28)

∂W

∂φ

= 1 − φ

2

_{= φ}

′

_,

1 − tanh

2

(y) = sech

2

(y).

Comeste métodopodemosalternativamenteobterafunção

A(y)

,que ompõeofatorde

warp, a partir daes olha para

W (φ) = φ −

φ

3

3

substituída narelação (2.26)

A(y) = −

1

3

Z

W (φ)dy = −

1

3

Z

(φ −

φ

3

3

)dy = −

4

9

ln[cosh(y)] −

1

9

tanh

2

_(y).

(2.29)

Voltandoao aso om gravidade,onde o poten ial édado por(2.24) obtemos

V (φ) =

1

2

(1 − φ

2

₎

2

−

1

₃

(φ −

φ

3

3

)

2

_,

(2.30)

que é traçado na gura 2-5. Ao invés de um poten ialquádruplo usado no modelo sem

-4

-2

2

4

Φ

5

10

15

20

25

VHΦL

Figura2-5: Poten ial

V (φ) =

1

2

(1 − φ

2

₎

2

₋

1

3

(φ −

φ

3

3

)

2

.

poten ial resultantepossui dois mínimosdegenerados em

φ = ±1

ondeassume o valor

V (±1) = −

₂₇

4

,

(2.31)

om asolução

φ = tanh(y)

interpolandoentre osdois mínimosde a ordo om

φ(+∞) =

1, φ(−∞) = −1

. Devido aessa interpolação

φ(y)

éuma função ímparde

y

,oque oma formadasequaçõesdemovimentolevamàfunçãopar

A(y)

. Tambémédevidoàestrutura

de kink que a função

A(y)

determina um fator de warp de simetria

Z

2

ne essária para o enáriode membrana. Podemos dizer que essa simetriaé gerada dinami amente, uma

vantagem em relação ao enário RS onde a simetria é imposta. Alémdisso, a formado

fator de warp não só varia espa ialmente omo apresenta somente um pi o em

y = 0

aindo monotoni amentea zero quando

y → ∞

, omo observamos na gura (2-3). Isto

A estrutura de membrana deformada

3.1 Motivação

Atualmente existe grande interesse em estudar ampos es alares a oplados om

gravi-dade. Onúmerodedimensõesextrasqueseusa parades reveromundo omomembrana

dene o tipode defeito quese deve abordar. Se onsideramos uma membrana

quadridi-mensional om apenas uma dimensão extra devemos montar nosso modelo baseado em

kinks. Normalmentedes revemos esses defeitosapartirde amposes alaresemmodelos

do tipo

λφ

4

ou sine-Gordon. No nosso aso, obteremos uma lasse espe ial de defeitos

a partir de uma deformação do poten ial

λφ

4

[29℄. Mais espe i amente, introduzimos

um poten ial para o ampo es alar dependente de números inteiros ímpares [23℄. Este

pro edimentoé muitointeressantesendo quealém de fazersurgir uma estrutura interna

namembranatemimpli açõesnadistribuiçãode densidadedeenergiaematériaaolongo

da dimensão extra [24℄. Algumas ara terísti asdesses defeitos também foram

onside-radas noestudo de transiçõesde fasenageometria "warped"[25℄. Como mostraremos,o

ba kground resultanteapresenta um "splitting"na urvatura doespaço.

Dessa formapoderemos analisara lo alizaçãode amposde ranks variadosde forma

Como veremos mais adiante esta es olha também nos previne do apare imento de

singularidadesno espaço-tempo omoem enáriostipo Randall-Sundrum.

3.2 O pro edimento de deformação

Ini ialmente, tomamos novamente a ação de onde obtivemos a estrutura de membrana

grossaeque onsistedoa oplamentoentre um ampoes alarrealeagravidadeem in o

dimensões

S =

Z

d

4

xdy

√

_−G(−

1

4

R −

1

2

(∂φ)

2

− V (φ)).

(3.1) Com a métri a

ds

2

= e

2A(y)

η

µν

dx

µ

dx

ν

+ dy

2

,

(3.2)

en ontramos asequações de movimento

6A

′2

= φ

′2

_{− 2V (φ),}

(3.3)

−3A

′′

− 6A

′2

= 2V (φ) + φ

′2

.

(3.4)

Usaremos novamenteo métodosuperpoten ial [18, 28℄onde o poten ialé es rito omo,

V (φ) =

1

2



∂W (φ)

∂φ



2

−

1

₃

W (φ)

2

,

(3.5)

de onde obtemos asequações de primeiraordem

∂W (φ)

∂φ

= φ

′

_,

(3.6)

W (φ) = −3A

′

.

(3.7)

Emum enáriode espaço-tempoplano e om a es olhada funçãosuperpoten ial

f

W (φ) = φ −

φ

3

-4

-2

2

4

Φ

0.5

1

1.5

2

V

P

HΦL

Figura 3-1:

V

p

(φ)

para

p = 1

(linha sólida),

p = 3

(linha pontilhada) e

p = 5

(linha tra ejada).

obtemoso poten ialo

1/2(1 − φ

2

₎

2

que determina a solução

φ = tanh(y)

.

Neste ponto usaremos o pro edimento de deformação en ontrado em [29, 23, 24℄

baseado nafunção

f (φ) = φ

1

p

,bemdenida paraqualquer

φ

, om

p

inteiroímpar. Dessa

forma,en ontraremos uma nova função

f

W

p

(φ)

a partir darelação

df

W

p

dφ

=

df

W

dφ

[φ → f(φ)]

df

dφ

,

(3.9) de onde obtemos

df

W

p

dφ

= p



φ

p−1

p

− φ

p+1

p



.

(3.10)

Integrando emrelação a

φ

hegamosà função

f

W

p

(φ) = pW

p

(φ)

onde

W

p

(φ) =

p

2p − 1

φ

2

_p−1

p

−

p

2p + 1

φ

2p+1

p

.

(3.11)

Afunçãodeformada

W

p

(φ)

deneopoten ialdonossoba kgrounddadopelaequação (3.5), que traçamos na gura (3-1). Conserva-se os dois mínimos em

φ = ±1

om uma

-20

-10

10

20

y

-1

-0.5

0.5

1

Φ

p

HyL

Figura 3-2:

φ

p

(y) = tanh

p

₍

y

p

)

para

p = 1

(linha pontilhada),

p = 3

(linha tra ejada) e

p = 5

(linha sólida).

poten ial resultante

V

p

ara terizam um novo enário de membrana mais ri o do que aquele gerado poruma soluçãotipo kink padrão. Oapare imentoda transição entre os

mínimosdo poten ialterá reexos na geometria daregião.

A solução para o ampo es alar é obtida da equação

∂W

p

(φ)

∂φ

= φ

′

onde usaremos a

solução deformada

W

p

(φ)

,logo

∂W

p

(φ)

∂φ

= φ

p−1

p

− φ

p+1

p

= φ

′

(y),

(3.12) eo resultado será

φ

p

(y) = tanh

p

(

y

p

).

(3.13)

Como observamos na solução, que é traçada na gura (3-2) para

p = 1, 3, 5.

, a mesma

tende para

φ = ±1

quando

y → ∞

, que orresponde aos dois mínimos do poten ial.

Veri amostambémuma regiãode derivada nulaem

φ = 0

ujaespessura aumenta om

p

. Esta novaestruturaédenominadaduplosaltoou"two-kink"porser ompostade duas estruturas de kink[23℄. Para

p = 1

, re uperamos a soluçãotipokink padrão.

-30

-20

-10

10

20

30

y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

2 A

P

Figura 3-3:

e

2A

p

(y)

para

p = 1

(linha pontilhada),

p = 3

(linha tra ejada)e

p = 5

(linha

sólida).

A partir daequação de primeiraordem

W

p

= −3A

′

p

(y)

, en ontra-se analiti amentea

solução para

A

p

(y)

[24℄,

A

p

(y) = −

1

3

p

2p + 1

tanh

2p



y

p



−

2

3



p

2

2p − 1

−

p

2

2p + 1



(3.14)



ln



cosh



y

p



−

p−1

X

n=1

1

2n

tanh

2n



y

p



.

Afunção

A

p

(y)

ompõeofatordewarpdamétri a

e

2A

p

(y)

,quemostramosnagura(3-3).

Dessaforma,afunção

A

p

(y)

ontinua representando umageometria lo alizadaemtorno de

y = 0

. Apesar do apare imento de uma região onde permane e onstante, a função

e

2A

p

(y)

ésuave,oquenos previnede singularidades,assumindoomesmo omportamento

dofator de warp domodelo Randall-Sundrum pararegiões distantes damembrana.

A partir da solução para

A

p

(y)

podemos determinar a urvatura es alar para ba k-ground

-4

-2

2

4

y

-4

-2

2

4

RHyL

-20

-10

10

20

y

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

RpHyL

Figura 3-4: Curvatura es alar

R

p

(y)

lado esquerdo para

p = 1

e lado direito para

p = 3

(linha pontilhada)e

p = 5

(linha sólida).

Podemosper eberuma ara terísti aimportantedaestruturadeformadaem omparação

aos modelos de membranas grossas geradas por kink. Observando a gura (3-4), para

p = 1

, temos o es alar de urvatura para um modelo não-deformado. Neste aso a urvaturaapresentaummáximoem

y = 0

tendendoaum valornegativoquando

y → ∞

.

No entanto, quando onsideramos as deformações, fazendo

p = 3, 5

em

R

p

(y)

, obtemos um split om o surgimentode uma região de urvaturaes alar zero entre dois máximos.

Lo alização de ampo es alar

4.1 Modo zero de ampo es alar

A partirdaestruturade membranades ritanaseçãoanterioranalisaremos alo alização

de um ampode spin nuloque denominamos

Φ

. É importantelembrar quea membrana

éestruturadaapartirde umdefeito dotipotwo-kinkquedenominamos

φ

p

. Umaanálise semelhantedelo alizaçãode amposes alarespodeseren ontradanotrabalho[14℄,onde

se obtémum modo-zerolo alizadoem um enárioRandall-Sundrum.

Como veremos, os me anismos de lo alização na estrutura deformada serão

direta-mente afetados tendo em vista que modi amos o regime de interação do ba kground

om os amposvia warp fa tor. Dessaforma,ome anismo de deformação nos forne erá

novosdetalhes espe ialmentenalo alizaçãode modos-zero.

Ini ialmentetomemosa ação para

Φ

a oplado om a gravidade,

1

2

Z

d

4

xdy

√

_−GG

M N

∂

M

Φ∂

N

Φ,

(4.1) onde os índi es

MN

variam de 1 a 5.

As equaçõesde movimentoresultantes serão

∂

M

[

√

η

µν

_∂

µ

∂

ν

Φ + e

−2A

p

(y)

∂

y

[e

4A

p

(y)

∂

y

Φ] = 0,

(4.3)

Comoestamosinteressadosna ontribuiçãoda omponentedo ampoes alarnadimensão

extra, usaremos aseguinte separação de variáveis naequação de movimento (4.3),

Φ(x, y) = χ(x)ψ(y),

(4.4)

ondedenotamospor

x = 1, 2, 3, 4

,as oordenadas namembrana. Es revendo

Φ

naforma

a ima hegamosà seguinte equação para

ψ(y)

.

4A

′

_p

dψ

dy

+

d

2

_ψ

dy

2

= −m

2

_e

−2A

p

_ψ,

(4.5)

onde

m

é uma onstante om dimensão de massa. Para massa zero en ontramos uma

solução

ψ(y) = c

, onde

c

é uma onstante. Aparentemente a solução

ψ(y)

não pode ser

lo alizada tendo em vista que não é suprimida para regiões fora da membrana. Dessa

forma,energiaparao ampoes alarnamembranateria ontribuiçõesdadimensão

adi i-onal. Noentantoopressupostobási odemodelosdemembranaem

5D

egeometriawarp

équetodos os ampos, om ex eçãodagravidade,devem ar onnadosnamembrana.

Dessa forma, voltamos novamente nossa atenção para a ação (4.1), onde de ompomos

as omponentes de espaço-tempo

µ

e

ν

, da dimensão extra

y

. Novamente de posse da

relação (4.4)e doresultado

ψ(y) = c

teremos

1

2

Z

+∞

−∞

dyψ

2

e

2A

p

Z

d

4

xη

µν

∂

µ

χ∂

ν

χ.

(4.6)

A partedependente dadimensão extranaaçãoa imaserá determinadapelo

ompor-tamento do fator de warp, que é resultante do tipo de defeito modelandoa membrana.

Para

p = 1

aação efetivaé nita devido àsupressão exponen ialemfunção de

y

gerada

pelo fator de warp. Dessa formapodemos garantirque temos um modo-zerolo alizado

-60

-40

-20

0

20

40

60

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e

2 A

p

Figura 4-1:

ψ

2

_e

2A

p

para p=3 (linha pontilhada), p=5 (linha tra ejada) e p=7 (linha