Aula 12_AULA DE EXERCÍCIOS

"A melhor escola ainda é o lar, onde a criatura deve receber as bases do sentimento e do caráter. Os estabelecimentos de ensino, podem instruir, mas só o instituto da família pode educar. É por essa razão que a

Introdução Van de Walls Fator Z Propriedades Reduzidas Pressão Reduzida Temperatura Reduzida Volume Reduzido Princípio dos Estados Correspondentes

História Conceitos Classificação Trabalho Ação Calor Transferência Energia Capacidade de Trabalho Definições Exemplos Exercícios

6. Um cilindro 𝐴 provido de êmbolo móvel ideal (massa desprezível, deslocando-se deslocando-sem atrito) contém 1 mol de gás ideal, cujo estado de equilíbrio é repredeslocando-sentado por [p₁, V₁, T₁].

Por meio de uma expansão reversível, o gás atinge um novo estado de equilíbrio [p₂, V₂, T₁].

Um cilindro B provido de êmbolo móvel ideal contém 1 mol de gás real cujo estado de equilíbrio é representado por [p₁, V₁, T₁]. Por meio de uma expansão reversível, o gás atinge um novo estado de equilíbrio representado por [p₂, V₂, T₁]. a) Deduza a expressão do trabalho executado pelo gás do cilindro A.

b) O que se pode deduzir em relação ao calor posto em jogo na expansão do gás contido em A?

PROBLEMA 6 - LISTA

RESOLUÇÃO:

𝑊 = − 𝑃_𝑒𝑥𝑑𝑉 1

1

a) Deduza a expressão do trabalho executado pelo gás do cilindro A.

Obs.: Quando o trabalho é reversível a 𝑃

_𝑒𝑥

é ponto a ponto igual a

pressão do sistema, ou seja,

𝑃

_𝑒𝑥

= 𝑃

.

𝑊 = − 𝑃 × 𝑑𝑉1 1 Gás ideal: 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑊 = − 𝑛𝑅𝑇 𝑉 × 𝑑𝑉 1 1

Transformação Isotérmica: 𝑇 = 𝑇₁ 𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉 𝑉 1 1 𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 × 𝑙𝑛𝑉2 𝑉₁

b) O gás contido em “A” foi suposto ideal, desta forma, sua energia interna

é função,

UNICAMENTE, da temperatura, não dependendo do volume

ocupado pelo gás.

PROBLEMA 6 - LISTA

RESOLUÇÃO:

Pela primeira Lei da Termodinâmica (PLT):

𝑄 = −𝑊

Ou seja, o calor cedido pelo ambiente ao gás deve ser igual ao

trabalho cedido pelo gás ao ambiente.

c)

A consideração do item anterior é válida para o gás contido em B?

NÃO! Pois o gás contido em “B” é um gás Real. A energia interna de

um gás real é função também do volume, ou seja:

expandem isotermicamente de 20 L a 60 L:

a) Contra uma pressão externa constante de 1,0 atm. b) Reversivelmente.

Em ambos os casos, calcular o calor e o trabalho trocados com o ambiente, a variação da energia interna e a variação da entalpia do gás.

PROCESSO ISOTÉRMICO: 𝑇

₁

= 𝑇

₂

= 𝑇

A Energia interna de um gás ideal é função, UNICAMENTE, da temperatura.

𝑈 = 𝑈 𝑇 →

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

= 0

∆𝑈 = 0

PROBLEMA 11 - LISTA

PLT: ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊

∆𝑈 = 0

𝑊 = − 𝑃2 _𝑒𝑥𝑑𝑉 1 𝑄 = −𝑊 𝑄 = 𝑃_𝑒𝑥𝑑𝑉 2 1 𝑃_𝑒𝑥 = 1,0 𝑎𝑡𝑚 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑄 = 𝑃_𝑒𝑥 𝑑𝑉 2 1 𝑄 = 𝑃_𝑒𝑥 𝑑𝑉 2 1 𝑄 = 𝑃_𝑒𝑥 × 𝑉₂ − 𝑉₁ 𝑄 = 1 × 60 − 20 𝑄 = 40 𝑎𝑡𝑚 × 𝐿 𝑊 = −40 𝑎𝑡𝑚 × 𝐿

VARIAÇÃO DE ENTALPIA

A Entalpia de um gás ideal depende, somente, da temperatura, assim como a temperatura não variou (Isotérmico), temos:

𝑑𝐻

𝑑𝑃

_𝑇

= 0

Então, tem-se que:

∆H = 0

Usando a Expressão: 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑑𝑃𝑉

Considerando o

gás ideal à Temperatura Constante

, aplica-se a Lei de

Boyle:

𝑷𝑽 = 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

PROCESSO REVERSÍVEL

𝑈 = 𝑈 𝑇 →

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

= 0

Energia Interna é uma função de estado, portanto, não depende do caminho seguido

∆𝑈 = 0

𝑄 = −𝑊

PLT: ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊

𝑊 = − 𝑃_𝑒𝑥𝑑𝑉 2 1

Para o

processo reversível

a

pressão do sistema varia com a pressão

externa ponto a ponto

, portanto:

𝑷 = 𝑷

_𝒆𝒙

𝑊 = − 𝑃 × 𝑑𝑉 2

1

PROCESSO REVERSÍVEL

𝑊 = − 𝑃 × 𝑑𝑉2 1 𝑊 = − 𝑛𝑅𝑇 𝑉 × 𝑑𝑉 2 1 𝑊 = −𝑛𝑅𝑇 × 𝑙𝑛𝑉2 𝑉₁ 𝑊_𝑚á𝑥 = −3,0 × 0,082 × 300 × 𝑙𝑛60 20 𝑊_𝑚á𝑥 = −80,9 𝑎𝑡𝑚 × 𝐿

𝑑𝐻

𝑑𝑃 𝑇

= 0 → ∆𝐻 = 0

A entalpia para um gás ideal só depende, também, da temperatura.

Funções de Estado:

Este problema coloca em destaque a diferença entre funções de estado e funções de trajetória. De fato, tratando-se do mesmo sistema (3 mols de gás ideal sofrendo o mesmo processo termodinâmico (expansão isotérmica de 20 L para 60 L) a

variação das funções de estado (U e H) serão as mesmas.

Funções de Trajetória:

Por sua vez, as funções de trajetória, Calor (Q) e Trabalho (W) apresentam valores de acordo com o processo que tem lugar.

12. Considere um sistema formado por 1,00 mol de um gás real, cujo

comportamento é descrito satisfatoriamente pela equação de Van Der Waals.

À temperatura de 27,0 º C o gás se expande isotérmica e reversivelmente, de

10,0 L a 30,0 L. Calcule o trabalho de expansão, dados:

𝑎 = 5,49 𝑙

2

. 𝑎𝑡𝑚. 𝑚𝑜𝑙

−2

𝑏 = 0,064 𝑙. 𝑚𝑜𝑙

−1

𝑊 = − 𝑃

2 _𝑒𝑥

𝑑𝑉

1

𝑃

_𝐸𝑥

= 𝑃

𝑊 = − 𝑃 × 𝑑𝑉

2

PROBLEMA 12 - LISTA

Van der Waals:

𝑃 =

𝑅𝑇

𝑉

_𝑚

− 𝑏

−

𝑎

𝑉

_𝑚2

𝑊 = −

𝑅𝑇

𝑉

_𝑚

− 𝑏

−

𝑎

𝑉

_𝑚2

× 𝑑𝑉

2 1

𝑊 = −

𝑅𝑇

𝑉

_𝑚

− 𝑏

𝑑𝑉 +

𝑎

𝑉

_𝑚2

𝑑𝑉

2 1 2 1

𝑊 = −𝑅𝑇𝑙𝑛

𝑉

2

− 𝑏

𝑉

₁

− 𝑏

− 𝑎

1

𝑉

₂

−

1

𝑉

₁

𝑊 = −𝑅𝑇𝑙𝑛

𝑉

2

− 𝑏

𝑉

₁

− 𝑏

− 𝑎

𝑉

₁

− 𝑉

₂

𝑉

₁

× 𝑉

₂

𝑊 = −𝑅𝑇𝑙𝑛

𝑉

2

− 𝑏

𝑉

₁

− 𝑏

− 𝑎

𝑉

₁

− 𝑉

₂

𝑉

₁

× 𝑉

₂

𝑊 = −0,082 × 300 × 𝑙𝑛

30 − 0,064

10 − 0,064

− 5,49 ×

10 − 30

10 × 30

𝑊 = −26,76 𝑎𝑡𝑚 × 𝐿

17. Partindo da expressão que define a função entalpia para um sistema

qualquer:

a) Deduza uma expressão geral para a variação finita da entalpia do

sistema.

b) Aplique a referida expressão para o caso de o sistema sofrer uma

transformação isobárica.

c)

Imaginando o sistema em questão, constituído por uma reação

química efetuada isobaricamente e envolvendo unicamente fases

condensadas, indique alguma aproximação simplificadora na

expressão obtida.

∆𝐻 = ∆𝑈 + 𝑃₂𝑉₂ − 𝑃₁𝑉₁ 𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑑𝑃𝑉 𝐻 = 𝑈 + 𝑃𝑉 𝑑𝐻 2 1 = 𝑑𝑈 + 𝑑(𝑃𝑉) 2 1 2 1 RESOLUÇÃO:

a) Deduza uma expressão geral para a variação finita da entalpia do sistema.

b) Aplique a referida expressão para o caso de o sistema sofrer uma

transformação isobárica.

∆𝐻 = ∆𝑈 + 𝑃 𝑉₂ − 𝑉₁ 𝑃₁ = 𝑃₂

PROBLEMA 17 - LISTA

c)

Imaginando o sistema em questão, constituído por uma reação química

efetuada isobaricamente e envolvendo unicamente fases condensadas,

indique alguma aproximação simplificadora na expressão obtida.

FASES CONDENSADAS → ∆𝑉 ≅ 0 ∆𝐻 = ∆𝑈 + 𝑃 × ∆𝑉

18. Um

sistema

constituído por 1,00 mol de gás ideal encontra-se sob

pressão constante de 2,00 atm. Sua temperatura é variada de 100 ºC

para 25,0 ºC.

a) Calcule o trabalho envolvido neste processo.

b) Sendo, 𝐶

_𝑣

= 3,00 𝑐𝑎𝑙. 𝐾

−1

𝑚𝑜𝑙

−1

, calcule o calor posto em jogo e as

variações de energia interna e de entalpia do gás.

RESOLUÇÃO:

𝑃 = 2,00 𝑎𝑡𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑛 = 1,00 𝑚𝑜𝑙

𝑇

₁

= 100 °𝐶 𝑇

₂

= 25 ℃

No presente caso o gás sofre um resfriamento a pressão constante. Trata-se,

portanto, de uma compressão adiabática. Exprimindo a entalpia em função da

Temperatura:

𝑑𝐻 =

𝑑𝐻

𝑑𝑇

_𝑃

𝑑𝑇 +

𝑑𝐻

𝑑𝑃

_𝑇

𝑑𝑃

𝑑𝐻

𝑑𝑇

_𝑃

= 𝐶

𝑃

𝑑𝐻 = 𝐶

_𝑃

𝑑𝑇 +

𝑑𝐻

𝑑𝑃

_𝑇

𝑑𝑃

Como a Pressão é constante (isobárico): dP = 0

𝑑𝐻 = 𝐶

_𝑃

𝑑𝑇

PROBLEMA 18 - LISTA

b) Sendo, 𝐶_𝑣 = 3,00 𝑐𝑎𝑙. 𝐾−1𝑚𝑜𝑙−1, calcule o calor posto em jogo e as variações de

𝑑𝐻 = 𝐶

_𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝐻 2 1 = 𝐶𝑃𝑑𝑇 𝑇₂ 𝑇₁ 𝑑𝐻 2 1 = 𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑇₂ 𝑇₁ ∆𝐻 = 𝐶_𝑃 × 𝑇₂ − 𝑇₁ 𝑛 = 1 𝑚𝑜𝑙 → 𝐶_𝑃 = 𝐶_𝑃,𝑚 𝐶_𝑃,𝑚 = 𝐶_𝑉,𝑚 + 𝑅 𝑅 = 1,97 ≅ 2,00 𝑐𝑎𝑙 × 𝐾−1 × 𝑚𝑜𝑙−1

∆𝐻 = 𝐶_𝑃 × 𝑇₂ − 𝑇₁

𝐶_𝑃,𝑚 = 3,0 + 2,0 = 5,0 𝑐𝑎𝑙 × 𝐾−1 × 𝑚𝑜𝑙−1 ∆𝐻 = 5,0 × 298 − 373 = −375 𝑐𝑎𝑙 × 𝑚𝑜𝑙−1

Para uma transformação a pressão constante (P = cte), temos:

∆𝐻

_𝑃

= 𝑄

_𝑃

∆𝑯

=

𝑸

_𝑷

= −375 𝑐𝑎𝑙 × 𝑚𝑜𝑙

−1

Cálculo da Energia Interna:

𝑑𝑈 = 𝑑𝑈

𝑑𝑇 _𝑃 𝑑𝑇 +

𝑑𝑈

𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃

𝑑𝑈 = 𝑑𝑈

𝑑𝑇 _𝑃 𝑑𝑇 +

𝑑𝑈

𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃

Para o gás ideal vale a relação:

𝑑𝑈

𝑑𝑇 𝑃

=

𝑑𝑈

𝑑𝑇 𝑉

= 𝐶

𝑉

Pois a Energia Interna (U)

só varia com a Temperatura

,

independentemente se, durante essa variação, a pressão ou o volume

foram mantidos constante.

𝑑𝑈 = 𝐶_𝑉𝑑𝑇 + 𝑑𝑈

𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝑑𝑃 = 0

𝑑𝑈 = 𝐶

_𝑉

𝑑𝑇

𝑑𝑈2 1 = 𝐶_𝑉 𝑑𝑇2 1 ∆𝑈 = 𝐶_𝑉 × 𝑇₂ − 𝑇₁ ∆𝑈 = 𝐶_𝑉 × 𝑇₂ − 𝑇₁ ∆𝑈 = 3 × 298 − 373 ∆𝑼 = −225 𝑐𝑎𝑙 × 𝑚𝑜𝑙−1

Utilizando a Primeira Lei da Termodinâmica (PLT)

∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊

𝑊 = ∆𝑈 − 𝑄

𝑊 = ∆𝑈 − 𝑄

𝑄 = 𝑄

_𝑝

= ∆𝐻

𝑊 = ∆𝑈 − 𝑄

_𝑃

= ∆𝑈 − ∆𝐻

𝑊 = ∆𝑈 − ∆𝐻 = −225 − −375 = 150 𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙

−1

𝑊 = 150 𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙

−1

19. Considere a expressão:

𝑑𝐸 = −𝑃_𝑒𝑥𝑡. 𝑑𝑉

a) A que tipo de sistema e de processo termodinâmico ela se aplica?

b) Impondo a restrição de o sistema ser formado por um gás ideal, transforme a expressão acima de modo a mostrar a dependência da temperatura do sistema com a variação de volume.

c) Imagine que o processo acima seja conduzido reversivelmente. Como pode ser escrita a expressão a que se chegou no item anterior?

PROBLEMA 19 - LISTA

RESOLUÇÃO:

a) A que tipo de sistema e de processo termodinâmico ela se aplica?

Sistema qualquer, sofrendo transformação adiabática (

Q = 0

) e realizando

apenas trabalho elástico.

𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑃_𝑒𝑥𝑑𝑉 𝑑𝑈 = −𝑃_𝑒𝑥𝑑𝑉

b) Impondo a restrição de o sistema ser formado por um gás ideal, transforme a expressão acima de modo a mostrar a dependência da temperatura do sistema com a variação de volume.

𝑑𝑈 =

𝑑𝑈

𝑑𝑇

_𝑉

𝑑𝑇 +

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

𝑑V

Gás ideal, dependência da Energia Interna (equação acima) com “T” e “V” :

𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝑉)

𝑑𝑈 = 𝐶_𝑉𝑑𝑇 + 𝑑𝑈

𝑑𝑉 _𝑇 𝑑V

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

= 0

ENERGIA INTERNA DE UM GÁS IDEAL NÃO

20. Considere 1 mol de gás ideal expandindo-se em condições adiabáticas e

reversíveis. A temperatura final do gás pode ser determinada por medidas de

volume, usando a expressão abaixo e supondo conhecido o valor da

temperatura inicial:

𝑇

₁

𝑉

₁𝛾−1

= 𝑇

₂

𝑉

₂𝛾−1

a)

Determine a expressão que fornece o valor da temperatura final no caso

de a medida de pressões ser mais conveniente que a medida de volumes.

b) Supondo não ser conveniente a medida de temperaturas determine a

expressão que fornece a pressão final do sistema em função da medida

dos volumes conhecendo-se o valor da pressão inicial.

a) Determine a expressão que fornece o valor da temperatura final

no

caso de a medida de pressões ser mais conveniente que a medida de

volumes.

𝑉₁ = 𝑅𝑇1 𝑃₁ 𝑉2 = 𝑅𝑇₂ 𝑃₂ 𝑇₁ × 𝑅𝑇1 𝑃₁ 𝛾−1 = 𝑇₂ × 𝑅𝑇2 𝑃₂ 𝛾−1 𝑇₁𝛾 𝑃₁𝛾−1 = 𝑇₂𝛾 𝑃₂𝛾−1 𝑇₂𝛾 × 𝑃₁𝛾−1 = 𝑇₁𝛾 × 𝑃₂𝛾−1 𝛾 = 𝐶𝑃 𝐶_𝑉 ALTERNATIVAMENTE:

PROBLEMA 20 - LISTA

b) Supondo

não ser conveniente

a medida de temperaturas

determine a

expressão

que fornece a pressão final do sistema em função da medida dos

volumes conhecendo-se o valor da pressão inicial.

𝑇₁ = 𝑃1𝑉1

𝑅 𝑇2 =

𝑃₂𝑉₂ 𝑅

Substituindo na Expressão Inicial:

𝑇₁𝑉₁𝛾−1 = 𝑇₂𝑉₂𝛾−1 𝑃₁𝑉₁ 𝑅 × 𝑉1 𝛾−1 ₌ 𝑃2𝑉2 𝑅 × 𝑉2 𝛾−1

𝑃

₁

𝑉

₁𝛾

= 𝑃

₂

𝑉

₂𝛾

21. Um sistema formado por 1,00 mol de gás ideal à temperatura de 27,0 ºC e sob pressão de 1,00 atm é comprimido adiabática e reversivelmente até uma pressão final de 10,0 atm.

Considerando o calor molar sob volume constante igual a 3₂𝑅, calcule:

a) O calor trocado no processo. b) A temperatura final do gás. c) O trabalho de compressão.

d) A variação da energia interna do gás. e) A variação da entalpia do gás.

RESOLUÇÃO:

ADIABÁTICO: 𝑄 = 0

∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 → ∆𝑈 = 𝑊

PROBLEMA 21 - LISTA

RELAÇÕES PARA O PROCESSO ADIABÁTICO:

𝑇₁𝑉₁𝛾−1 = 𝑇₂𝑉₂𝛾−1

𝑃₁𝑉₁𝛾 = 𝑃₂𝑉₂𝛾

Como foram dadas as pressões iniciais e finais, além da temperatura

inicial do gás, podemos utilizar para cálculo da temperatura final nesta

transformação adiabática a relação:

𝑇₂𝛾 × 𝑃₂1−𝛾 = 𝑇₁𝛾 × 𝑃₁1−𝛾

𝑇₂𝛾 × 𝑃₂1−𝛾 = 𝑇₁𝛾 × 𝑃₁1−𝛾

Sabemos, ainda, que:

𝐶_𝑃,𝑚 = 𝐶_𝑉,𝑚 + 𝑅 𝛾 = 𝐶𝑃 𝐶_𝑉 e 𝛾 = 𝐶𝑉 + 𝑅 𝐶_𝑉 → 𝛾 = 3 2 𝑅 + 𝑅 3 2 𝑅 = 5 3

Aplicando a equação que relaciona “T” e “P”, teremos:

𝑇₂5/3 × 10−2/3 = 3005/3 × 1−2/3 𝑇₂𝛾 × 𝑃₂1−𝛾 = 𝑇₁𝛾 × 𝑃₁1−𝛾

PROBLEMA 21 - LISTA

d) A variação da energia interna do gás.

O aumento da energia interna do gás (ou trabalho de compressão) pode ser calculado exprimindo : 𝑈 = 𝑈(𝑇, 𝑉)

𝑑𝑈 =

𝑑𝑈

𝑑𝑇

_𝑉

𝑑𝑇 +

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

𝑑V

𝑑𝑈 = 𝐶

_𝑉

𝑑𝑇 +

𝑑𝑈

𝑑𝑉

_𝑇

𝑑𝑉

COMPORTAMENTO IDEAL, ENTÃO ENERGIA INTERNA SÓ DEPENDE DE “T”

𝑑𝑈 = 𝐶

_𝑉

𝑑𝑇

∆𝑈 = 𝐶

_𝑉

× 𝑇

₂

− 𝑇

₁

∆𝑈 =

3

∆𝑈 =

3

2

𝑅 × 754 − 300

d) A variação da energia interna do gás.

∆𝑈 =

3

2

× 1,98 × 754 − 300

∆𝑈 = 1,35 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙

−1

Como o processo é adiabático, temos que:

∆𝑼 = 𝑾

c) O trabalho de compressão.

PROBLEMA 21 - LISTA

e) A variação da entalpia do gás.

𝑑𝐻 =

𝑑𝐻

𝑑𝑇

_𝑃

𝑑𝑇 +

𝑑𝐻

𝑑𝑃

_𝑇

𝑑𝑃

A Entalpia é uma função da Temperatura e da Pressão do gás: 𝐻 = 𝐻(𝑇, 𝑃)

No entanto, tratando-se de gás com comportamento ideal, a Entalpia, assim como a Energia Interna, só depende da Temperatura:

𝑑𝐻 =

𝑑𝐻

𝑑𝑇

_𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝐻

𝑑𝑇

_𝑃

= 𝐶

𝑃

𝑑𝐻 = 𝐶

_𝑃

𝑑𝑇

𝑑𝐻 = 𝐶

_𝑃

𝑑𝑇

e) A variação da entalpia do gás. ∆𝐻 = 𝐶_𝑃 × 𝑇₂ − 𝑇₁ ∆𝐻 = 5 2 × 𝑅 𝑇2 − 𝑇1 ∆𝐻 = 5 2 × 1,98 × 754 − 300 ∆𝐻 = 2,25 𝑘𝑐𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑙−1

29. A válvula entre um balão de 3 litros, contendo oxigênio a 195 torr, e um

balão de 2 litros, contendo nitrogênio a 530 torr, é aberta. Após o equilíbrio,

qual é a pressão final? Considere que T é constante.

𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

RESOLUÇÃO:

𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛₀₂ = 𝑃02 × 𝑉02 𝑅𝑇 𝑛𝑁2 = 𝑃_𝑁2 × 𝑉_𝑁2 𝑅𝑇 𝑛₀₂ = 𝑃02 × 𝑉02 𝑅𝑇 = 195 × 3 𝑅𝑇 → 𝑛𝑂2 × 𝑅𝑇 = 𝑃𝑂2 × 𝑉𝑂2 𝑛_𝑁2 = 𝑃𝑁2 × 𝑉𝑁2 𝑅𝑇 = 530 × 2 𝑅𝑇 → 𝑛𝑁2 × 𝑅𝑇 = 𝑃𝑁2 × 𝑉𝑁2 SOMANDO-SE AS EQUAÇÕES EM VERMELHO:

TEM-SE: 𝒏_𝑶𝟐 + 𝒏_𝑵𝟐 × 𝑹𝑻 = 𝑷_𝑶𝟐 × 𝑽_𝑶𝟐 + 𝑷_𝑵𝟐 × 𝑽_𝑵𝟐 (𝑬𝑸. 𝟏) SEGUNDO DALTON: 𝑃_𝑇 = 𝑃₀₂ + 𝑃_𝑁2 → 𝑃_𝑇 = 𝑛_𝑂2 × 𝑅𝑇 𝑉 + 𝑛𝑁2 × 𝑅𝑇 𝑉

Dividindo a equação 1 pelo volume e substituindo os valores, tem-se:

𝒏_𝑶𝟐 + 𝒏_𝑵𝟐 × 𝑹𝑻 𝑽 = 𝟏𝟗𝟓 × 𝟑 + 𝟓𝟑𝟎 × 𝟐 𝑽 (𝑬𝑸. 𝟏) 𝑷_𝑻 = 𝒏_𝑶𝟐 + 𝒏_𝑵𝟐 𝑹𝑻 𝑽

PROBLEMA 29 - LISTA

𝑷_𝑻 = 𝒏_𝑶𝟐 + 𝒏_𝑵𝟐 𝑹𝑻 𝑽 𝒏_𝑶𝟐 + 𝒏_𝑵𝟐 × 𝑹𝑻 𝑽 = 𝟏𝟗𝟓 × 𝟑 + 𝟓𝟑𝟎 × 𝟐 𝑽 (𝑬𝑸. 𝟏) Então: 𝑃_𝑇 = 𝟏𝟗𝟓 × 𝟑 + 𝟓𝟑𝟎 × 𝟐 𝑽

Devemos calcular, agora, o volume total, “V”, como segue:

𝑉 = 𝑉_𝑁2 + 𝑉_𝑂2 = 2,0 + 3,0 = 5,0 𝐿

𝑃_𝑇 = 𝟏𝟗𝟓 × 𝟑 + 𝟓𝟑𝟎 × 𝟐

𝟓 = 329 Torr

32. Determine a equação de estado para certo gás hipotético cujo

coeficiente de expansão térmica é dado por:

𝛼 =

1

𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑇

_𝑃

= 𝐾

1

𝐶

_𝑝

𝐶

_𝑉

𝑇

𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1

e o coeficiente de compressibilidade isotérmica é dado por:

𝛽 = −

1

𝑉

𝜕𝑉

𝜕𝑃

_𝑇

=

𝐾

₂

𝑃

Para este exercício considere que C

_P

, C

_V

, K

₁

e K

₂

são constantes.

RESOLUÇÃO:

Pela análise das equações, nós vemos que Temperatura e Pressão foram escolhidas como variáveis independentes, então, o volume é uma função de “T” ou de “P”: 𝑉 = 𝑉(𝑇, 𝑃) dV = 𝑑𝑉 𝑑𝑇 _𝑃 𝑑𝑇 + 𝑑𝑉 𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃

Escrevendo a variação do volume em uma forma diferencial, teremos:

As quantidades

𝑑𝑉

𝑑𝑇 _𝑃𝑒

𝑑𝑉 𝑑𝑃 _𝑇

𝛼 = 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 _𝑃 = 𝐾1 𝐶_𝑝 𝐶_𝑉 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1 𝜕𝑉 𝜕𝑇 _𝑃 = 𝐾₁ × 𝐶_𝑃 × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1 × 𝑉 𝐶_𝑉

Coeficiente de Compressibilidade Isotérmica :

𝛽 = − 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇 = 𝐾₂ 𝑃

Coeficiente de Expansão Térmica

− 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇 = 𝐾₂ 𝑃 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇 = − 𝐾₂ × 𝑉 𝑃

PROBLEMA 32 - LISTA

dV = 𝑑𝑉 𝑑𝑇 _𝑃 𝑑𝑇 + 𝑑𝑉 𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃 𝜕𝑉 𝜕𝑇 _𝑃 = 𝐾₁ × 𝐶_𝑃 × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1 × 𝑉 𝐶_𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇 = − 𝐾₂ × 𝑉 𝑃 dV = 𝐾1 × 𝐶𝑃 × 𝑇 𝐶_𝑃 𝐶_𝑉 −1 _{× 𝑉} 𝐶_𝑉 𝑑𝑇 − 𝐾₂ × 𝑉 𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑉 𝑉 = 𝐾₁ × 𝐶_𝑃 × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1 𝐶_𝑉 𝑑𝑇 − 𝐾₂ 𝑃 𝑑𝑃

Integrando a Equação:

𝑑𝑉 𝑉 = 𝐾₁ × 𝐶_𝑃 × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 −1 𝐶_𝑉 𝑑𝑇 − 𝐾₂ 𝑃 𝑑𝑃 ln V = 𝐾1 × 𝐶𝑃 × 𝐶𝑉𝑇 𝐶_𝑃 𝐶_𝑉 𝐶_𝑉 × 𝐶_𝑃 − 𝐾2 × 𝑙𝑛𝑃 + 𝐜𝐭𝐞 ln V = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 − 𝑙𝑛𝑃𝐾2 + ln 𝑘 ln V = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 − 𝐾₂ × 𝑙𝑛𝑃 + 𝐥𝐧 𝒌 ln V + 𝑙𝑛(𝑃𝐾2× 𝑘) = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 + 𝑐𝑡𝑒 ln V × 𝑃𝐾2 × 𝑘 = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 + 𝑐𝑡𝑒 ln V = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 − 𝑙𝑛(𝑃𝐾2× 𝑘)

PROBLEMA 32 - LISTA

ln V × 𝑃𝐾2 × 𝑘 = 𝐾₁ × 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉 + 𝑐𝑡𝑒

𝑃

𝐾2

𝑉 = 𝑘 × 𝑒

𝐾1× 𝑇 𝐶𝑃 𝐶𝑉

33. A altas pressões e temperaturas uma equação de estado muito boa é 𝑃 𝑉 − 𝑛𝑏 = 𝑛𝑅𝑇 , onde b é uma constante. Encontre 𝜕𝑉 𝜕𝑇 _𝑃 e 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇 para a equação dada e, portanto, dV em termos de P,T, V-nb, dT e dP.

PROBLEMA 33 - LISTA

RESOLUÇÃO:

𝑃 𝑉 − 𝑛𝑏 = 𝑛𝑅𝑇 → 𝑃𝑉 − 𝑃𝑛𝑏 = 𝑛𝑅𝑇 Fazendo a distributiva e rearranjando:

𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 + 𝑃𝑛𝑏 𝑃 𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 + 𝑛𝑏

𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 + 𝑛𝑏 𝑑𝑉 𝑑𝑇 _𝑃 = 𝑛𝑅 𝑃 Sabemos que: 𝑃 = 𝑛𝑅𝑇 𝑉 − 𝑛𝑏 𝑑𝑉 𝑑𝑇 _𝑃 = 𝑛𝑅 𝑛𝑅𝑇 𝑉 − 𝑛𝑏 Então: Obtendo-se: 𝑑𝑉 𝑉 − 𝑛𝑏

PROBLEMA 33 - LISTA

Determinação de : 𝜕𝑉 𝜕𝑃 _𝑇

𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

𝑃 + 𝑛𝑏

Derivando em relação a P e mantendo T constante:

𝑑𝑉 𝑑𝑃 _𝑇 = − 𝑛𝑅𝑇 𝑃2 = − 𝑛𝑅𝑇 𝑃 × 1 𝑃 𝑑𝑉 𝑑𝑃 _𝑇 = − 𝑛𝑅𝑇 𝑃 × 1 𝑃 = −(V − nb) × 1 𝑃 Observe que: 𝑉 − 𝑛𝑏 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃 Então:

Volume como uma função da Pressão: V=V(P,T)

dV = 𝑑𝑉

𝑑𝑃 _𝑇 𝑑𝑃 +

𝑑𝑉

𝑑𝑇 _𝑃 𝑑𝑇

Substituindo as equações anteriores:

𝑑𝑉 = − 𝑉 − 𝑛𝑏 𝑃 dp + 𝑉 − 𝑛𝑏 𝑇 dT 𝑑𝑉 = (𝑉 − 𝑛𝑏) × −𝑑𝑃 𝑃 + 𝑑𝑇 𝑇 Finalmente: