Parte 1: Definição e exemplos

(1)

Dependˆencia e Independˆencia Linear

Dependˆ

encia e Independˆ

encia Linear

Parte 1: Defini¸

c˜

ao e exemplos

Prof. Dr. David Alexander Chipana Mollinedo

(2)

Menor conjunto gerador

Sejam v1∈ R3 tal que v1 6= 0. Ent˜ao o subespa¸co gerado

W = [v1] ´e um reta que passa pela origem e cont´em v1.

Agora, se consideramos v2 ∈ [v1], ent˜ao (geometricamente)

teremos que

[v1, v2] = [v1] ,

pois todo vetor que é uma combina¸cão linear de v1, v2 é uma

combina¸cão linear apenas de v1 (dado que v2 é combina¸cão

(3)

Menor conjunto gerador

(4)

Menor conjunto gerador

Sabemos que se v1, v2∈ R3 dois vetores n˜ao-colineares, isto ´e,

αv1 6= v2 para todo α ∈ R, ent˜ao o subespa¸co gerado

W = [v1, v2] ´e um plano que passa pela origem e cont´em v1 e

v2.

Agora, se consideramos v3 ∈ [v1, v2], ent˜ao

(geometricamente) teremos que:

[v1, v2, v3] = [v1, v2] ,

pois todo vetor que é uma combina¸cão linear de v1, v2, v3 é

uma combina¸c˜ao linear apenas de v1 e v2 (dado que v3 ´e

(5)

Menor conjunto gerador

(6)

Defini¸

c˜

ao de LD e LI

Defini¸c˜ao

Sejam V um espa¸co vetorial real ev1, v2, ..., vn∈ V. Dizemos que o conjunto {v1, v2, ..., vn} éLinearmente Independente (L.I) ou que os vetores v1, v2, ..., vn são L.I.se a equa¸cão

a1v1+ a2v2+ ... + anvn= 0

admite apenas a solu¸c˜ao trivial, isto ´e, a1 = a2= ... = an= 0.

Caso contrário, isto é, se a equa¸cão admitir outras solu¸cões além da trivial, dizemos que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é Linearmente

(7)

Exemplos:

1. Sejam e1= (1, 0) e e2 = (0, 1) vetores em V = R2. O

conjunto S = {e1, e2} ⊂ R2 ´e L.D. ou L.I.?.

Solu¸c˜ao:

Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão: a e1+ b e2 =0_R2...(?)

m

a(1, 0) + b(0, 1) = (0, 0) ⇔ (a, b) = (0, 0) ⇔ a = 0, b = 0 . Como a equa¸c˜ao (?) admite apenas a solu¸c˜ao trivial

(8)

Exemplos:

1. Sejam e1= (1, 0) e e2 = (0, 1) vetores em V = R2. O

conjunto S = {e1, e2} ⊂ R2 ´e L.D. ou L.I.?.

Solu¸cão: Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão: a e1+ b e2 =0_R2...(?)

m

a(1, 0) + b(0, 1) = (0, 0) ⇔ (a, b) = (0, 0) ⇔ a = 0, b = 0 . Como a equa¸c˜ao (?) admite apenas a solu¸c˜ao trivial

(9)

Exemplos:

2. Seja V = R2 _{e u} 1 = (1, −1), u2= (1, 0) ∈ R2. O conjunto S = {u1, u2} ´e L.D. ou L.I.?. Solu¸c˜ao:

Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão: a u1+ b u2 =0_R2...(?)

m

a(1, −1) + b(1, 0) = (0, 0) ⇔ (a + b, −a) = (0, 0) ⇔ a = 0, b = 0 . Como a equa¸c˜ao (?) admite apenas a solu¸c˜ao trivial

(10)

Exemplos:

2. Seja V = R2 _{e u}

1 = (1, −1), u2= (1, 0) ∈ R2. O conjunto

S = {u1, u2} ´e L.D. ou L.I.?.

Solu¸cão: Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão: a u1+ b u2 =0_R2...(?)

m

a(1, −1) + b(1, 0) = (0, 0) ⇔ (a + b, −a) = (0, 0) ⇔ a = 0, b = 0 . Como a equa¸c˜ao (?) admite apenas a solu¸c˜ao trivial

(11)

Exemplos:

3. Sejam u1= (−1, 1), u2 = (1, 0) e u3 = (1, 1) vetores em

V = R2. O conjunto S = {u1, u2, u3} ´e L.D. ou L.I.?.

Solu¸c˜ao:

Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão (sistema):

a u1+ b u2+ cu3 =0_R2 ⇔

(

−a + b + c = 0 ⇒b = −2c

a + c = 0 ⇒a = −c ...(?) .

Da´ı, por (?) a solu¸c˜ao do sistema linear acima ´e (a, b, c) = (−c, −2c, c) , c ∈ R .

Em particular, se c = 1 teremos como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (?): (a, b, c) = (−1, −2, 1). Portanto,

−u1− 2u2+ u3 =0.

(12)

Exemplos:

3. Sejam u1= (−1, 1), u2 = (1, 0) e u3 = (1, 1) vetores em

V = R2. O conjunto S = {u1, u2, u3} ´e L.D. ou L.I.?.

Solu¸cão: Basta ver qual é a solu¸cão da equa¸cão (sistema):

a u1+ b u2+ cu3 =0_R2 ⇔

(

−a + b + c = 0 ⇒b = −2c

a + c = 0 ⇒a = −c ...(?) .

Da´ı, por (?) a solu¸c˜ao do sistema linear acima ´e (a, b, c) = (−c, −2c, c) , c ∈ R .

Em particular, se c = 1 teremos como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (?): (a, b, c) = (−1, −2, 1). Portanto,

−u1− 2u2+ u3 =0.

(13)

Exemplos

4. Sejam os u1= (2, −1, 3), u2= (−1, 0, −2) e u3= (2, −3, 1) vetores em R3_{. O conjunto S = {u} 1, u2, u3} ⊂ R3´e L.D. ou L.I.? Solu¸c˜ao:

Basta calcular a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (sistema): a u1+ b u2+ cu3=0_R3...(?) m [A|B] =   2 −1 2 | 0 −1 0 −3 | 0 3 −2 1 | 0   1 2L1+L2→L2 −−−−−−−−−→ −3 2L1+L3→L3   2 −1 2 | 0 0 −1/2 −2 | 0 0 −1/2 −2 | 0   −L2+L3→L3 − − − −→   2 −1 2 | 0 0 −1/2 −2 | 0 0 0 0 | 0  ...(??)

Por (??) vemos que

posto[A] = posto[A|B] = 2 < número de variáveis = 3 . Assim, a equa¸cão (?) possui infinitas solu¸cões e portanto o conjunto S é L.D.

(14)

Exemplos

4. Sejam os u1= (2, −1, 3), u2= (−1, 0, −2) e u3= (2, −3, 1) vetores

em R3_{. O conjunto S = {u}

1, u2, u3} ⊂ R3´e L.D. ou L.I.?

Solu¸cão:Basta calcular a solu¸cão da equa¸cão (sistema): a u1+ b u2+ cu3=0_R3...(?) m [A|B] =   2 −1 2 | 0 −1 0 −3 | 0 3 −2 1 | 0   1 2L1+L2→L2 −−−−−−−−−→ −3 2L1+L3→L3   2 −1 2 | 0 0 −1/2 −2 | 0 0 −1/2 −2 | 0   −L2+L3→L3 − − − −→   2 −1 2 | 0 0 −1/2 −2 | 0 0 0 0 | 0  ...(??)

Por (??) vemos que

posto[A] = posto[A|B] = 2 < número de variáveis = 3 . Assim, a equa¸cão (?) possui infinitas solu¸cões e portanto o conjunto S é L.D.

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LD e LI: Caracteriza¸

c˜

ao

Teorema

Seja V um espa¸co vetorial e v1, v2, ..., vn∈ V. O conjunto

{v₁, v2, ..., vn} ´e L.D. se e somente se, um destes vetores for uma

(16)

Exemplos

5. Se S = {v } e v 6=0 ent˜ao S ´e L.I. De fato, veja que

αv =0⇒ α = 0 ou v =0.

Mas, por hip´otese, v 6=0. Assim α = 0.

6. Caso particular de dois vetores em R3: Seja V = R3 e

v1, v2∈ V. O conjunto {v1, v2} ´e L.D. se, e somente se, um

vetor ´e m´ultiplo escalar do outro (v1 = αv2 ⇔ v1 e v2 estiverem na mesma reta que passa pela origem) .

7. Caso de trˆes vetores em R3_{: Seja V = R}3 _{e v}

1, v2, v3 ∈ V.

O conjunto {v1, v2, v3} ´e L.D. se, e somente se, v1, v2, v3

(17)

Exemplos: Caso particular de 2 vetores em R

3

(18)

Exemplos: Caso particular de 2 vetores em R

3

(19)

Exemplos: Caso particular de 2 vetores em R

3

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Exemplos: Caso de 3 vetores em R

3

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Exemplos: Caso de 3 vetores em R

3

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Exemplos: Caso de 3 vetores em R

3

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