Página 1 de 42 1. (Unesp 2016) Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é
representado pela matriz coluna x
,
y assim como a matriz coluna x
y representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y).
Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial
0 1 x
1 0 y é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é
a) uma rotação de P em 180 no sentido horário, e com centro em (0, 0). b) uma rotação de P em 90 no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0). c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.
e) uma rotação de P em 90 no sentido horário, e com centro em (0, 0).
2. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma? a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68
3. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com π 2 α π 2 e 0 β π. Se o sistema de equações, dado em notação matricial,
0 3 6 tg , 6 8 cos 2 3 α β
for satisfeito, então α β é igual a a) 3 π b) 6 π c) 0 d) 6 π e) 3 π
4. (Unicamp 2020) Seja a matriz de ordem 2 3, dada por A 1 1 1 . 1 2 3
a) Seja C a matriz de ordem 3 2, cujos elementos são dados por cij ( 1) ,i j para i 1, 2, 3 e j 1, 2. Determine o produto AC.
Página 2 de 42 b) Determine a solução do sistema linear
x 6 A y , 6 z
nas variáveis reais x, y e z, em que (x, y, z) é uma progressão aritmética.
5. (Unicamp 2016) Considere o polinômio cúbico p(x) x 33x a, onde a é um número real.
a) No caso em que p(1) 0, determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é invertível. x 1 0 A 0 x 1 a 3 x
b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i2 1. Se o número complexo z 2 bi é uma raiz de p(x), determine o valor de | z | .
6. (Unicamp 2013) Considere a matriz
1 1 1 α A α α
que depende do parâmetro real α 0.
a) Calcule a matriz
AαA2α
2.b) Um ponto no plano cartesiano com as coordenadas
x
y é transformado pela matriz Aα em
um novo ponto da seguinte forma: ' . 1 ' α α α x y x x A y y x y
Calcule o valor de α, sabendo que o sistema 6 2 α x A y admite solução.
7. (Unesp 2020) A modelagem dos sistemas de cor é essencial na computação gráfica, e um dos maiores desafios dessa área é a conversão de coordenadas de diferentes sistemas. O sistema RGB pressupõe que o sistema de processamento de cor do olho humano seja
baseado nas faixas vermelha (red), verde (green) e azul (blue) do espectro visível. Já o modelo CMY usa cores complementares, ciano (cyan), magenta (magenta) e amarelo (yellow), e foi importante no desenvolvimento de impressoras. As cores no sistema CMY ficam delimitadas por um cubo, o cubo CMY, conforme ilustrado.
Página 3 de 42
a) A transformação de uma cor no sistema RGB, descrita por (r, g, b), para o sistema CMY, descrita por (c, m, y), é dada por
c 1 r m 1 g . y 1 b
Supondo que uma cor no sistema RGB
seja descrita por 1, 1 , 0 , 4 100
apresente as coordenadas dessa cor no sistema CMY e indique qual das oito cores detalhadas no cubo CMY está mais próxima dela.
b) O sistema NTSC (National Television Standards Committee), utilizado em emissões para a televisão, baseia-se na separação dos sinais de cor RGB em um sinal de luminosidade e dois sinais de cromaticidade. Assim como no espaço RGB, as cores no espaço YIQ, utilizado no sistema NTSC, são descritas por coordenadas, sendo representadas por
(y, i, q). A relação entre as cores desses dois sistemas é dada, de modo simplificado, pela expressão matricial: y 0,3 2 r i 3 0,3 g q 0,5 3 b
Sabendo que uma cor no sistema RGB descrita por (0,2; 0,5; 0,4) está associada a uma cor no sistema YIQ descrita por (0,4; 0,15; 0,33), determine α β, e γ.
8. (Unicamp 2016) Em uma matriz, chamam-se elementos internos aqueles que não
pertencem à primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20.
9. (Uerj 2013) A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X.
Página 4 de 42 Determine os valores de X, Y e Z.
10. (Unesp 2012) Dada a matriz A 2 3 1 2 e definindo-se A 0 = I, A1 = A e AK = AAA…
A, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k e k 2, a matriz A15 será dada por: a) I. b) A. c) A2. d) A3. e) A4.
11. (Unicamp 2016) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w, x y 1, y z 2, w z 3.
Logo, a soma x y z w é igual a a) 2.
b) 0. c) 6. d) 8.
12. (Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, considere a matriz A p 2 0 p
e sua transposta A .T Se A A T é singular (não invertível), então
a) p 0. b) | p | 1. c) | p | 2. d) p 3.
13. (Fuvest 2012) Considere a matriz A a 2a 1 a 1 a 1
em que a é um número real. Sabendo
que A admite
inversa A1 cuja primeira coluna é 2a 1
1
, a soma dos elementos da diagonal principal de
1 A é igual a a) 5 b) 6 c) 7 d) 8
Página 5 de 42 e) 9
14. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 2, 1 1 A . a b
a) Determine todos os valores de a e b para os quais A AT AA ,T em que AT é a transposta da matriz A.
b) Para a b 2, sejam k e θ números reais tais que
cos cos A k . sen sen θ θ θ θ
Determine os possíveis valores de tan .θ
15. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadrada de ordem 3,
cos x 0 sen x A 0 1 0 , sen x 0 cos x onde x é um número real.
Podemos afirmar que
a) A não é invertível para nenhum valor de x.
b) A é invertível para um único valor de x.
c) A é invertível para exatamente dois valores de x.
d) A é invertível para todos os valores de x.
16. (Unicamp 2012) Seja dada a matriz
x 2 0 A 2 x 6 , 0 6 16x
em que x é um número real.
a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo. b) Tomando 3 C 4 , 1
, e supondo que, na matriz A, x 2, calcule B AC.
17. (Fuvest 2019) A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).
Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam A 3 2
1 1 e 1 2 B , 1 3 respectivamente. A matriz em
que se escreve a mensagem é M F U V ,
E S T
Página 6 de 42 6 21 22 M . 5 19 20
Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes
3 2 6 21 22 28 101 106 N A M . 1 1 5 19 20 11 40 42
O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada recebida:
6 21 22 M B N . 5 19 20 a) Se a matriz codificadora é A 1 1 , 1 2
e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?
b) Se a matriz codificadora é A 1 1 , 1 2
e o destinatário recebe a matriz codificada
33 9 8 48
N ,
47 13 9 75
qual foi a mensagem enviada?
c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se
2 7 A , 4 14
encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a 0 0 .
0 0
18. (Uerj 2016) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo.
Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita.
Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A B.
19. (Fuvest 2012) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a
a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135
20. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, 1 a 1 A b 1 a . 2 b 2
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a
Página 7 de 42 a) 0. b) 2. c) 5. d) 10.
21. (Unesp 2016) Os gráficos indicam a diversificação de aplicações para um investimento, por grau de risco, sugeridas por cada um dos bancos A, B e C.
Um investidor decidiu aplicar um capital de R$ 6.000,00 em partes que foram distribuídas pelos três bancos, seguindo a diversificação do grau de risco sugerida por cada banco. O capital aplicado foi distribuído da seguinte forma:
- total de R$ 1.000,00 no banco A (considerando os três graus de risco juntos); - R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco (nos três bancos juntos); - R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco (nos três bancos juntos).
O gráfico a seguir representa a diversificação da aplicação, por grau de risco, juntando os três bancos.
Calcule os montantes de capital que foram investidos nos bancos B e C, e as medidas dos ângulos α, β e γ, indicados no gráfico.
22. (Unicamp 2012) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo: Tipo de cebola Peso unitário aproximado (g) Raio médio (cm) Pequena 25 2 Grande 200 4
a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores. b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca
correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192 cmπ 2de área de casca, indique que tipo de
Página 8 de 42 cebola fornece o menor desperdício com cascas.
23. (Unicamp 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz A 1 2 0 1
satisfaz a equação A2 aA bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a a) 2. b) 1. c) 1. d) 2.
24. (Fuvest 2016) As constantes A, B, C e D são tais que a igualdade
2 2 2 2 1 Ax B Dx C (x 2x 2) (x 4) x 2x 2 x 4 é válida para x .
a) Deduza, da igualdade acima, um sistema linear com quatro equações, satisfeito pelas constantes A, B, C e D.
b) Resolva esse sistema e encontre os valores dessas constantes.
25. (Unicamp 2015) Considere a matriz A a 0 , b 1
onde a e b são números reais. Se
2 A A e A é invertível, então a) a 1 e b 1. b) a 1 e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b 1.
26. (Unicamp 2012) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho
transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal.
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a) x 2z 60 y z 60 3,5x y 0 b) x z 60 y 2z 60 3,5x y 0 c) x 2z 60 y z 60 3,5x y 0
Página 9 de 42 d) x z 60 y 2z 60 3,5x y 0
27. (Unicamp 2018) Sabendo que k é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais x e y, x ky 1, x y k.
É correto afirmar que esse sistema a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k. c) não tem solução se k 1.
d) tem infinitas soluções se k 1.
28. (Uerj 2015) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três. 0,3 0,47 0,6 A 0,47 0,6 x 0,6 x 0,77
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i j). O valor de x é igual a: a) 0,50 b) 0,70 c) 0,77 d) 0,87
29. (Unicamp 2018) Sabendo que p e q são números reais, considere as matrizes 1 0 1 A 1 2 p 1 p 1 e p B 0 . q
a) Prove que para quaisquer p e q teremos B AB 0.T
b) Determine os valores de p e q para os quais o sistema linear nas variáveis reais x, y e z, x A y B, z
tem infinitas soluções.
30. (Uerj 2012) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Volume da embalagem (L) Preço (R$) 20 10,00 10 6,00 2 3,00
Página 10 de 42 Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de
embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n. O valor de n é um divisor de:
a) 32 b) 65 c) 77 d) 81
31. (Unicamp 2015) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z x 2y 3z 20 7x 8y mz 26,
onde m é um número real. Sejam a b c números inteiros consecutivos tais que (x,y,z) (a,b,c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a
a) 3. b) 2. c) 1. d) 0.
32. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz 1 a .
0 1 Então, 2017 A é igual a a) 1 0 . 0 1 b) 1 a . 0 1 c) 1 1 . 1 1 d) 1 a2017 . 0 1
33. (Unesp 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de
a) 3.767,00. b) 3.777,00. c) 3.787,00. d) 3.797,00. e) 3.807,00.
34. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a
a) 13 b) 14
Página 11 de 42 c) 15
d) 16 e) 17
35. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.
b) Para a 2 cm e b 3 cm, determine o valor de c b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo.
36. (Fuvest 2015) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas.
a) Escreva um sistema linear que represente as relações entre os coeficientes x, y, z e w na equação química x C H8 18y O2 z CO2w H O2
b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos.
37. (Unesp 2011) Uma pessoa necessita de 5 mg de vitamina E por semana, a serem obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares α e β. Cada pacote desses complementos fornece, respectivamente, 1 mg e 0,25 mg de vitamina E. Essa pessoa dispõe de exatamente
R$47,00 semanais para gastar com os complementos, sendo que cada pacote de
α
custa R$5,00 e deβ
R$4,00.O número mínimo de pacotes do complemento alimentar
α
que essa pessoa deve ingerir semanalmente, para garantir os 5 mg de vitamina E ao custo fixado para o mesmo período, é de: a) 3. b)3
5
16
c)5,5
. d)6
3
4
. e) 8.38. (Unesp 2015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão
Página 12 de 42 De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa a) R$ 15,30. b) R$ 16,20. c) R$ 14,80. d) R$ 17,00. e) R$ 15,50.
39. (Unicamp 2017) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z :
x y a, z y 1, e x y 2, y z b.
Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que a) a b 0. b) a b 1. c) a b 2. d) a b 3.
40. (Unicamp 2011) Recentemente, um órgão governamental de pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2 milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram a condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os indigentes.
O gráfico a seguir mostra os percentuais da população brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e 2009.
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009, resolvendo um sistema linear, verifica-se que
a) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009.
Página 13 de 42 c) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
d) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 28% da população.
41. (Fuvest 2015) No sistema linear
ax y 1 y z 1 , x z m
nas variáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, m 2. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m 2, o sistema tem solução se, e somente se, a 1. d) O sistema só tem solução se a m 1.
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
42. (Unicamp 2017) Sabendo que m é um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y e z : mx 2z 4, x y z 3, 2x mz 4.
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz
2
A A A.
b) Para m 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto xyz é mínimo.
43. (Uerj 2011) Considere a matriz A3 3 abaixo:
12 13 21 31 1 a a 2 A a 1 1 a 1 1
Cada elemento desta matriz é expresso pela seguinte relação:
ij i j
a 2 sen sen i, j 1,2,3
Nessa relação, os arcos 1, 2 e 3 são positivos e menores que 3
radianos. Calcule o valor numérico do determinante da matriz A..
44. (Unicamp 2017) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2 cm , 2 3 cm2 e 4 cm .2 O volume desse paralelepípedo é igual a
a) 2 3 cm .3 b) 2 6 cm .3 c) 24 cm .3 d) 12 cm .3
Página 14 de 42 45. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q 0 e a 0.
a) Mostre que x 1 q
é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx 2dx .3
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,
a c x e . d b y f
Determine para que valores da razão q esse tem solução única.
46. (Uerj 2017) Observe a matriz:
3 t 4 3 t 4
Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: a) 1
b) 2 c) 3 d) 4
47. (Unicamp 2014) Considere a matriz
1 a 1 M b 1 a , 1 b 1
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível. b) o determinante de M é positivo. c) o determinante de M é igual a a2b .2 d) a matriz M é igual à sua transposta.
48. (Uerj 2017) Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente.
Nutriente
Concentração dos Suplementos
Alimentares (g kg) Suplemento Alimentar Quantidade na Mistura (%) I II III A 0,2 0,5 0,4 I 45 B 0,3 0,4 0,1 II 25 C 0,1 0,4 0,5 III 30
A quantidade do nutriente C, em g kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a: a) 0,235
b) 0,265 c) 0,275 d) 0,295
Página 15 de 42
49. (Uerj 2014) Considere a sequência de matrizes (A A , A ,...), todas quadradas de ordem 1, 2 3 4, respectivamente iguais a: 0 1 2 3 16 17 18 19 32 33 34 35 4 5 6 7 20 21 22 23 36 37 38 39 , , , ... 8 9 10 11 24 25 26 27 40 41 42 43 12 13 14 15 28 29 30 31 44 45 46 47
Sabendo que o elemento aij 75432 é da matriz A ,n determine os valores de n, i e j.
50. (Unicamp 2014) Considere a matriz
a 1 1 A 1 0 b , c 2 0
onde a, b e c são números reais.
a) Encontre os valores de a, b e c de modo que AT A.
b) Dados a 1 e b 1, para que os valores de c e d o sistema linear
x 1 A y 1 z d tem infinitas soluções?
51. (Fuvest 2017) João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque.
O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a a) 46 b) 45 c) 44 d) 43 e) 42
52. (Unesp 2014) Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:
a) B I O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n. b) B seja invertível.
c) B O, onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. e) A e C sejam invertíveis.
53. (Fuvest 2014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:
Página 16 de 42 ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do
recipiente na mesma unidade de medida, determine a) os quocientes A B P P e R B P ; P
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.
54. (Fuvest 2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos:
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. - 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco.
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. - 4 colheres de arroz + 1 bife.
Note e adote: 1 colher de arroz 1 colher de azeite 1 bife Massa de alimento (g) 20 5 100 % de umidade + macronutriente minoritário + micronutrientes 75 0 60 % de macronutriente majoritário 25 100 40
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos.
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes afirmações:
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45.
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão
número de pontos do lipídeo
número de pontos do carboidrato é 1,5. É correto o que se afirma em
a) I, apenas. b) II, apenas.
Página 17 de 42 c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas. e) I, II e III.
55. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra. Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por exemplares das classes Insecta e a) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida.
b) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda.
c) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. d) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta.
e) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda.
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Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
Fazendo a multiplicação proposta:
0 1 x y 1 0 y x
Assim, se substituirmos os valores de x e y por números e representarmos estes no plano cartesiano o resultado da multiplicação proposta representa um ponto que é uma rotação de P em 90 no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).
Resposta da questão 2: [D]
Sejam , p e r, respectivamente, o número de passagens vendidas para Lisboa, Paris e Roma. Logo, tem-se que
p 2( r) p 2(78 p) r 2 2r 4 2 r 78 p p r 78 p 52 2r 4 r 26 p 52 r 10 . 16 A resposta é p r 52 10 62. Resposta da questão 3: [B]
Efetuando o produto matricial, vem
0 3 tg 6cos 0 3 6 tg 6 8 cos 2 3 6 tg 8cos 2 3 3 tg 6cos 0 3 tg 4cos 3 2cos 3 3 cos 2 rad. 6 Desse modo,
Página 19 de 42 3 tg 6cos 0 tg 3 6 rad 3 e, portanto, rad. 3 6 6 Resposta da questão 4: a) Tem-se que 11 12 21 22 31 23 c c 1 1 C c c 1 1 . c c 1 1 Em consequência, vem 1 1 1 1 1 AC 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 1 . 2 2
b) Seja (x, y, z) (x, x r, x 2r). Logo, encontramos
x 1 1 1 6 x x r x 2r 6 x r 1 2 3 6 x 2x 2r 3x 6r 6 x 2r 3x 3r 6 6x 8r 6 x r 2 3x 4r 3 x r 2 3x 4r 3 x 5 . r 3
Portanto, a solução do sistema é S {(5, 2, 1)}. Resposta da questão 5:
a) Se p(1) 0, pode-se escrever: p(1) 1 3 a 0 a 2
Para que a matriz A não seja invertível, seu determinante deve ser igual a zero. Assim, pode-se escrever:
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3 2 x 1 0 x 1 det A 0 x 1 0 x 3x 2 0 x 1 x x 2 x 2 a 3 x b) Supondo como raízes do polinômio os números
2 bi; 2 bi ; r ,
pode-se escrever:
2 bi
(2 bi) r 0 r 4Considerando 4 como raiz, pode-se deduzir o valor de a :
64 12 a 0 a 52
Fazendo o produto das três raízes (Relações de Girard), pode-se escrever:
2 bi (2 bi) ( 4)
52 4 b213 Assim, | z | será: 2 | z | | 2 bi | 4 b | z | 13 Resposta da questão 6: a) 2 1 1 2 2 3 1 1 3 1 1 2 2 2 α α α α α α α α A A
2 2 1 2 3 2 3 0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 2 α α α α α α A A b) 1 x 6 . 1 1 y 2 x y 6 x y 2 x y 6 x y 2 α α α α α α Multiplicando a segunda equação por α e somando com a primeira, temos:
0 + 0 = 2α –6; portanto, para que a equação tenha solução, o valor de α deverá ser 3. Resposta da questão 7: a) Tem-se que 1 3 4 4 c 1 1 399 m 1 . 400 400 y 1 0 1
Página 21 de 42 Logo, como 399 1
400 e 3 1,
4 2 podemos concluir que preto é a cor mais próxima. b) Sendo (r; g; b) (0,2; 0,5; 0,4) e (y; i; q) (0,4; 0,15; 0,33), temos
0,4 0,3 2 0,2 0,4 0,06 0,4 0,15 3 0,3 0,5 0,15 0,6 0,5 0,12 . 0,33 0,5 3 0,4 0,33 0,2 0,25 1,2
Portanto, segue que
0,06 0,4 0,4 0,34 0,4 0,6 0,5 0,12 0,15 0,6 0,2 0,14 0,2 0,25 1,2 0,33 0,2 1,2 0,08 0,2 0,3 . 0,1 Resposta da questão 8: [A]
O resultado pedido é igual a (5 2) (6 2) 12.
Resposta da questão 9:
De acordo com as informações, obtemos
Y X 4 X Z 1 Z 1 X Y Z 3 15 Z Y Y 15 Z X 5 Y 9. Z 6 Resposta da questão 10: [B] 2 3 2 4 3
2 3
2 3
1 0
A
1 2
1 2
0 1
1 0
2 3
2 3
A
A
A
A
0 1
1 2
1 2
2 3
2 3
1 0
A
A
A
.
1 2
1 2
0 1
Observa-se que quando o expoente for par, o resultado é a matriz identidade, e quando o expoente for ímpar, o resultado é a própria matriz, portanto A15 = A.
Obs.: a alternativa [D] – A3 – também poderia ser considerada como correta, já que seu expoente é ímpar e A3 = A.
Página 22 de 42 Resposta da questão 11:
[D]
Somando todas as equações do sistema, vem x w 6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x y z w 6 2 8. Resposta da questão 12: [B] Tem-se que t p 2 p 0 A A 0 p 2 p 2p 2 . 2 2p
Desse modo, como A A t é singular, vem
2 2 2p 2 0 4p 4 0 2 2p p 1 | p | 1. Resposta da questão 13: [A] A.A-1 = I2 a 2a 1 2a 1 x 1 0 a 1 a 1 1 y 0 1 a.(2a 1) (2a 1) 1 Temos o sistema (a 1).(2a 1) 1(a 1) 0
Resolvendo o sistema temos a = 2,A 2 5 e A 1 3 5
1 3 1 2
Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5. Resposta da questão 14: a) Do enunciado, temos:
2 2 2 2 2 1 a 1 1 1 1 1 a 1 b a b a b 1 b 2 a b 1 a 1 ab a b a b 1 ab 1 b a 1 2 i 1 ab a b ii Da equaзгo (i), 2 a 1Página 23 de 42 a 1 ou a 1
Substituindo a 1 na equaзгo (ii), 1 b 1 b
Logo, b й um nъmero real qualquer. Substituindo a na equaзгo (ii), 1
1 b 1 b 2b 2 b 1 Assim, temos:
a 1 e b й um nъmero real qualquer ou a e b 1.1 b) Do enunciado, temos:
1 1 cos cos k 2 2 sen sen 1 k cos sen 0 icos sen k cos
2 cos 2 sen k sen 2 cos 2 k sen 0 ii
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
Note que o sistema linear nas variбveis senθ e cosθ й um sistema linear homogкneo com infinitas soluзхes, pois se tivesse somente a soluзгo trivial, terнamos senθ e 0 cosθ 0, ou seja, tanθ nгo estaria definida.
Portanto,
2 2 1 k 1 0 2 2 k 1 k 2 k 2 0 2 k 2k k 2 0 k 3k 0 k k 3 0 k ou k 30 Substituindo k 0 na equaзгo (i),
cos 1 0 sen 0 sen cos sen 1 cos tan 1 θ θ θ θ θ θ θ Substituindo k 3 na equaзгo (i),
cos 1 3 sen 0 2cos sen 0 sen 2 cos sen 2 cos tan 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ Página 24 de 42 tanθ 1 e tanθ 2
Resposta:
a) a 1 e b й um nъmero real qualquer ou a e b 1;1 b) tanθ 1 e tanθ 2.
Resposta da questão 15: [D]
Calculando o determinante da matriz A, encontramos
2 2
cos x 0 sen x
det A 0 1 0 cos x sen x 1.
sen x 0 cos x
Portanto, como det A 0 para todo x real, segue-se que A é invertível para todos os valores de x.
Resposta da questão 16:
a) Calculando o determinante temos det(A) 16x 3100x.
Considerando 16x3100x 0 4x (4x 225) 0, temos x x | 5 x 0 ou x 5. 2 2 b) Teremos: . Resposta da questão 17:
a) Como a mensagem a ser codificada é
E S C 5 19 3 M , O L A 15 12 1 temos N A M 1 1 5 19 3 1 2 15 12 1 20 31 4 . 35 43 5
b) Sendo N A M equivalente a M A 1N, devemos encontrar a matriz inversa de A. Logo, vem 2 2 0 3 2.3 2.4 0.( 1) 2 B 2 2 6 4 2.3 2.4 6.( 1) 8 0 6 32 1 0.3 6.4 32.( 1) 56
Página 25 de 42 2 2 ' 1 2 ' ' 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 L ( 1) L L 1 2 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 L ( 1) L L 0 1 1 1 Assim, temos 1 2 1 A 1 1 e, portanto 2 1 33 9 8 48 M 1 1 47 13 9 75 19 5 7 21 . 14 4 1 27 A mensagem é S E G U M N D A c) Seja M α β , λ γ
com α β λ, , e γ inteiros positivos. Logo, temos
2 7 0 0 2 7 2 7 0 0 . 4 14 0 0 4 14 4 14 0 0 α β α λ β γ λ γ α λ β γ
Donde vem o sistema
2 7 0 7 2 7 0 2 . 4 14 0 7 2 4 14 0 α λ α λ β γ α λ β γ β γ
Em consequência, como 1 , 27, segue que e são elementos do conjunto {2, 4, 6}. Portanto, dentre as 3 3 9 possibilidades para a matriz M, tomemos apenas
7 7 7 14 7 21 , , 2 2 2 4 2 6 e 21 14 ,
6 4 que correspondem, respectivamente, às sequências GGBB, GNBD, GUBF e UNFD. Resposta da questão 18: Desde que 1 A 2 13 e B
1 2 13 ,
temos
1 1 2 13 A B 2 1 2 13 2 4 26 . 13 13 26 169 Portanto, observando que a matriz A B apresenta filas proporcionais, podemos concluir que det(A B) 0.
Resposta da questão 19: [D]
Página 26 de 42 De acordo com o problema, temos o seguinte sistema:
x 2(y 31) x 2y 62 y 31 3.(x 55) 3x y 134
Resolvendo o sistema, temos x = 66 e y = 64. Logo, n = 66 + 64 = 130.
Resposta da questão 20: [D]
Desde que 2 a a b 1 b 4, temos a 3 e b 1. Logo, vem
Chió 1 3 1 det A 1 1 3 2 1 2 2 2 5 0 10. Resposta da questão 21:
Sabendo-se que foi investido R$ 1.000,00 no banco A seguindo a diversificação do grau de risco apresentada no gráfico, pode-se escrever:
Banco A:
- baixo risco: 80%1000 0,8 R$ 800,00 - médio risco: 15%1000 0,15 R$ 150,00 - alto risco: 5%1000 0,05 R$ 50,00 Sabe-se ainda que foram aplicados:
- R$ 2.700,00 em investimentos de baixo risco, sendo 80% no banco A (correspondente a R$ 800,00), R$ 800,00), 20% no banco B e 50% no banco C;
- R$ 1.850,00 em investimentos de médio risco, sendo 15% no banco A (correspondente a R$ 150,00), 70% no banco B e 10% no banco C;
- R$ 1.450,00 em investimentos de alto risco, sendo 5% no banco A (correspondente a R$ 50,00), 10% no banco B e 40% no banco C;
Sendo B e C o montante aplicado em cada um dos bancos, respectivamente, e com as demais informações do enunciado, pode-se escrever o seguinte sistema:
50 0,1B 0,4C 1450 0,1B 0,4C 1400 0,8B 0,5C 3100 150 0,7B 0,1C 1850 0,7B 0,1C 1700 0,2B 0,5C 1900 800 0,2B 0,5C 2700 0,2B 0,5C 1900 0,6B 1200 B 2000 0,8 2000 0,5C 3100 0,5C 1500 C 3000
Assim, os montantes aplicados em cada banco foram de R$ 1.000,00 no banco A, R$ 2.000,00 no banco B e R$ 3.000,00 no banco C.
Página 27 de 42 Baixo Risco 6000 360 2700 2700 360 162 6000 β β β Médio Risco 6000 360 1850 1850 360 111 6000 γ γ γ Alto Risco 6000 360 1450 1450 360 87 6000 α α α Resposta da questão 22:
x = número de cebolas grandes; y = número de cebolas pequenas.
a) x y 40 25x 25y 1000 x 4 e y = 36. 200x 25y 1700 200x 25y 1700
b) 600g de cebolas pequenas equivalem a 24 cebolas (600 : 25 = 24).
2 2
A24.4. .2π 384 cm .π
Portanto, as cebolas grandes oferecem o menor desperdício de casca. Resposta da questão 23: [A] Tem-se que 2 1 2 1 2 1 2 1 0 A aA bI a b 0 1 0 1 0 1 0 1 1 4 a b 2a 0 1 0 a b a b 1 2a 4 a 2 b 1
Por conseguinte, vem a b 2 ( 1) 2. Resposta da questão 24:
a) Resolvendo a igualdade, pode-se escrever:
2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 1 (Ax B)(x 4) (Dx C)(x 2x 2) (x 2x 2) (x 4) (x 2x 2) (x 4) Ax 4Ax Bx 4B Dx 2Dx 2Dx Cx 2Cx 2C 1 (A D)x (B C 2D)x 2(2A C D)x (4B 2C) 1 A D 0 B C 2D 0 2A C D 0 4B 2C 1
Página 28 de 42 A D 0 ( 2) L 3 A D 0 ( 4) L4 A D 0 A D 0 B C 2D 0 B C 2D 0 B C 2D 0 B C 2D 0 2A C D 0 C D 0 C D 0 ( 2) L4 C D 0 ( 2) L4 4B 2C 1 4B 2C 1 8D 2C 1 10D 1 1 C D 10 1 A 10 3 B 10 Resposta da questão 25: [B]
Sabendo que A I 2 A e A A 1I ,2 com I2 sendo a matriz identidade de segunda ordem, temos 2 1 1 2 2 2 A A A A A A A A A A A I I A I .
Por conseguinte, segue que a 1 e b 0. Resposta da questão 26:
[A]
O excesso de bagagem do casal foi x, logo x + 2z = 60; O excesso de bagagem do senhor foi y, logo y + z = 60;
O valor pago pelo senhor é 3,5 vezes o valor pagão pelo casal: y = 3,5x. Portanto, temos o sistema
x 2z 60
x 2z 60
y z 60
y z 60
y 3,5x
3,5x y 0
Resposta da questão 27: [A]O sistema possui solução única se, e somente se, 1 k
k 1. 1 1
Por outro lado, se k 1 as equações do sistema serão idênticas e, portanto, o sistema terá mais de uma solução.
Em consequência, o sistema tem solução para todo k. Resposta da questão 28:
Página 29 de 42 Sabendo que a11log(1 1) log2 0,3, tem-se que
23 32 x a a log(2 3) log5 10 log 2 log10 log2 1 0,3 0,7. Resposta da questão 29: a) Sendo Bt
p 0 q ,
temos
t 2 2 2 1 0 1 p B AB p 0 q 1 2 p 0 1 p 1 q p p q pq p q 0 q p pq pq q (p q) . Portanto, como (p q) 20 para quaisquer p, q , segue o resultado. b) Tem-se que x 1 0 1 x p A y B 1 2 p y 0 z 1 p 1 z q x z p x 2y pz 0 . x py z q
Página 30 de 42 2 2 1 0 1 p 1 0 1 p 1 2 p 0 0 2 p 1 p 1 p 1 q 0 p 0 p q 1 0 1 p p 1 p 0 1 2 2 0 p 0 p q 1 0 1 p p 1 p 0 1 . 2 2 p p p 0 0 p q 2 2 Portanto, se p 0 e q 0 ou se p 1 e q 1, 2
o sistema será possível e indeterminado. Resposta da questão 30:
[C]
Sejam x, y e z, respectivamente, os números de embalagens de 20 L,10 L e 2 L. Do enunciado e da tabela, obtemos
20x 10y 2z 94 20x z 47 10x 6y 3z 65 22x 3z 65 y 2x y 2x 60x 3z 141 22x 3z 65 . y 2x
Adicionando as duas primeiras equações do último sistema, vem: 38x 76 x 2.
Logo, da segunda equação do sistema, encontramos 3z 65 22x 3z 65 22 2 z 7. Portanto, como z n 7 e 77 7 11, segue que n é um divisor de 77.
Resposta da questão 31: [A]
Sendo a b c números inteiros consecutivos, temos b a 1 e c a 2. Em consequência, da primeira equação do sistema, vem
a 2 (a 1) 3 (a 2) 20 a 2.
Assim, encontramos (x, y, z) (2, 3, 4) e, portanto, temos 7 2 8 3 m 4 26, implicando em m 3.
Resposta da questão 32: [B]
Página 31 de 42 2 2 4 2 2 6 4 2 2016 2014 2 2017 2016 2017 1 a 1 a 1 0 A 0 1 0 1 0 1 A I A A A I I I A A A I I I A A A I I I 1 a A A A I A A A 0 1 Resposta da questão 33: [C]
Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:
y z 1288
x y 3698
x z 2588
Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + z = 3.787. Resposta da questão 34:
[A]
Sejam n número de parcelas e v o valor de cada parcela, então: n.v = (n - 3).(v + 60) ou n.v = (n - 5) .(v + 125).
Desenvolvendo as equações e resolvendo o sistema 60n 3v 180 125n 5v 625 , temos: n = 13 Resposta da questão 35: a) Tem-se que a b 5 a b 5 a c 6 a b 3 b c 9 c 9 b a 1cm b 4cm . c 5cm
b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 2 2 2 (c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25 2c 5 25 c 10cm. Resposta da questão 36:
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] a) C: 8x = z
Página 32 de 42 O: 2y = 2z +w
Daí, temos o seguinte sistema linear: z 8x w 9x 2y 2z w
b) Para resolver o sistema acima vamos considerar x 2 , α então: w 18 , α z 16α e y 25α
e a solução do sistema indeterminado será S
2 ,25 ,16 ,18α α α α
paraα * .
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]a) O número de átomos do lado esquerdo da equação é igual ao número de átomos do lado direito da equação para cada elemento químico.
8 18 2 2 2 x C H y O z CO w H O 8x C z C 18x H 2w H 2y O (2z w) O Sistema linear: 8x z 18x 2w 2y 2z w
b) Soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos:
8x z 18x 2w 2y 2z w z 8x w 9x 2y 2 8x 9x z 8x w 9x y 12,5 x
Para números inteiros e positivos do tipo x 2t, substituindo, vem:
z 8 2t w 9 2t y 12,5 2t x 2t z 16 t w 18 t y 25 t Resposta da questão 37: [A]
Página 33 de 42 Sejam x e y, respectivamente, as quantidades de pacotes dos complementos e que serão ingeridos. x 0,25y 5 16x 4y 80 . 5x 4y 47 5x 4y 47
Adicionando-se as duas equações, vem que 11x 33 x 3. Portanto, deverão ser ingeridos 3 pacotes do complemento . Resposta da questão 38:
[A]
De acordo com as figuras, temos 2x y z 12,9 x 2y z 12,1. 2x 2z 14,6
Queremos calcular o valor de 2x 2y z.
Multiplicando a segunda equação por 2, encontramos 2x 4y 2z 24,2. Mas 2x 2z 14,6 e, portanto, segue que 4y 9,6, implicando em y 2,4.
Em consequência, a resposta é
1ª equação
2x 2y z 2x y z y 12,9 2,4 R$ 15,30.
Resposta da questão 39: [D]
Se o sistema possui solução em comum, o sistema formado pelas quatro equações tem solução. Portanto, pode-se escrever:
x y a z y 1 x y 2 y z b z y 1 z x 3 x y 2 a b 3 x y a z x a b y z b Resposta da questão 40: [C]
Se x e y, respectivamente, denotam a população brasileira, em milhões, em 2006 e 2009, então: 26%x 21%y 8,2 26%x 21%y 8,2 x 185 . 10%x 7%y 5,2 30%x 21%y 15,6 y 190
Página 34 de 42 Portanto, 10% 185 milhões 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006.
Resposta da questão 41: [A]
O determinante da matriz dos coeficientes é igual a
a 1 0
0 1 1 a 1.
1 0 1
Logo, se a 1 o sistema possui solução única. Por outro lado, se a 1, devemos tomar a matriz ampliada do sistema para continuar a discussão. Com efeito, escalonando a matriz ampliada, vem 3 1 3 2 2 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 m 0 1 1 m 1 L ' ( 1) L L 1 1 0 1 0 1 1 1 . 0 0 0 m 2 L '' ( 1) L ' L '
Portanto, o sistema possui solução única para a 1 e m ; possui infinitas soluções se a 1 e m 2; e não possui solução se a 1 e m 2.
Resposta da questão 42: a) Se m 0 2 A 1 1 1 , 2 0 m então 2 2 2 m 4 0 4m A m 1 1 m 1 4m 0 m 4 e, portanto, 2 2 2m 8 3 2m 8 2m 2 8m 1 10m 0 m 0. b) Para m 2, temos: x y z 3 y 1 x z 2 z 2 x
Logo, tomando x k, com k , vem S {(k, 1, 2 k)}.
O produto xyz k ( 1) (2 k) k (k 2) é mínimo quando k 0 2 1. 2
Por conseguinte, a resposta é (1, 1,1). Resposta da questão 43: Como a22a331 e 1, 2 e 3 0, , 3 segue que
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2 2 3 3 2 3
2 3
2sen cos 2sen cos 1 sen2 sen2 sen
2 rad. 4 Logo, 21 2 1 31 3 1 21 31 2 3 a 2sen cos a 2sen cos a a .
Portanto, como A apresenta duas linhas idênticas, det A 0. Resposta da questão 44: [B]
2 2 2 2 3 V a b c ab 2 bc 3 ac 4 ab bc ac a b c 2 3 4 a b c 24 V 24 2 6 cm Resposta da questão 45:a) Tem-se que b aq, c aq 2 e d aq . 3 Logo, vem
2 3 2 3 1 1 1 1 p a aq aq aq q q q q a a a a 0. Por conseguinte, x 1 q
é uma raiz do polinômio p(x). b) De (a), obtemos 2 3 a c x e a aq x e . d b y f aq aq y f
Sabendo que a 0, q 0 e q , o sistema terá solução única se, e somente se, 2 2 2 5 3 2 2 2 a aq 0 a q a q 0 aq aq a q(1 q )(1 q ) 0.
Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1. Resposta da questão 46:
[A]
Página 36 de 42 3 t 4 0 (t 3)(t 4) 12 0 3 t 4 t(t 1) 0 t 0 ou t 1.
Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1. Resposta da questão 47: [B] Temos 2 2 2 1 a 1 detM b 1 a 1 b 1 1 a b 1 ab ab (a b) .
Logo, sabendo que a b (o que implica em M não ser simétrica), tem-se (a b) 2 0 para quaisquer a e b reais distintos, ou seja, o determinante de M é positivo. Em consequência, M é invertível.
Resposta da questão 48: [D]
Calculando, conforme dados das tabelas:
C 0,1 0,45 0,4 0,25 0,5 0,30 C 0,295 g / kg Resposta da questão 49:
75432 4714 16 8
Logo, n 4714 1 4715 e i 3 e j 1. Resposta da questão 50:
a) Se At A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a 0, b 2 e c 1.
b) Se a 1 e b 1, a matriz ampliada do sistema
x 1 A y 1 z d é 1 1 1 1 1 0 1 1 . c 2 0 d Logo, efetuando as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz equivalente
1 1 1 1 0 1 0 2 . 0 0 c c d 4
Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c 0 e d 4. Resposta da questão 51:
Página 37 de 42 A primeira vista seria mais vantajoso comprar todas as canetas em C, pois é o local mais barato e, depois comprar o restante em A (aproximadamente 40 12 R$ 3,33 caneta), e por último na loja C (7,60 2 R$ 3,80 caneta). Assim, seriam compradas 25 canetas por
R$ 3,20 cada, uma dúzia por R$ 40,00 e três pares canetas por R$ 7,60 cada, totalizando 43 canetas.
Porém, é necessário analisar outras possibilidades. É importante ressaltar que, enquanto houver pares em A ou C, é mais vantajoso comprar dessas lojas uma vez que o preço em B é o maior praticado. Assim, se comprarmos duas dúzias em A (evitando comprar canetas em
B) seriam gastos R$ 80,00 e, com o valor restante de R$ 70,00 seria possível comprar mais 21 canetas avulsas, totalizando 45 canetas. Esse será o maior número de canetas que João irá comprar (todas as outras possibilidades envolvem comprar mais canetas em B, que é o local com maior preço, resultando em menores quantidades).
Resposta da questão 52: [D]
A + BX = X + 2C, BX = X + 2C – A BX – X = 2C – A
X(B – I) = 2C – A (I é a matriz identidade de ordem n)
X = (2C – A).(B – I)-1
Portanto, será necessário que B I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n. Resposta da questão 53: a) Temos A A B B R B B A R n P n P P 16 P 10 P 5 P 4 P . Logo, B B A A B A B 16 P 10 P 5 P 5 P 6 P P 6 P 5 e R B R B P 16 P 4 P 4. P
b) Dividindo ambos os lados da igualdade nAPAn PB BPR 16 P B por P ,B vem
A B R B A B A B B B B B A B P P P P 6 n n 16 n n 12 P P P P 5 5 n (12 n ). 6
Como nA e nB são inteiros maiores do que 1, segue-se, por inspeção, que só pode ser A
Página 38 de 42 Resposta da questão 54:
[E]
Sejam x, y, z e w, respectivamente, o número de pontos correspondentes a uma colher de arroz, uma colher de azeite, uma fatia de queijo branco e um bife.
Tem-se que 2z x w 2z 4x w x . 3 4x 2y z 4x y 2z y z
Em consequência, como 4x 2y z 85, temos 2z
4 2z z 85 z 15.
3
Logo, vem x 10 e y 15.
Além disso, como 4x w 85, encontramos de imediato w45. [I] Verdadeira. De fato, pois w45.
[II] Verdadeira. O carboidrato é o macronutriente presente em maior quantidade no arroz. [III] Verdadeira. Com efeito, pois uma colher de azeite representa 15 pontos para uma massa de 5 g, e uma colher de arroz representa 10 pontos para 0,25 20 g 5 g. Portanto, a razão entre os pontos é 15 1,5.
10
Resposta da questão 55: [D]
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]
A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear composto por duas equações: sejam x e y, respectivamente, o número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o número respectivo de patas. Então:
x y 36 x 36 y 6 36 y 8y 226 6x 8y 226 6x 8y 226 216 6y 8y 226 2y 10 y 5 Substituindo: x 36 5 x 31. Logo, na coleção há 5 aracnídeos e 31 insetos.
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]
Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta coleção estariam presentes somente representantes das classes Insecta e Arachnida.
Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o número de insetos (6 patas), podemos escrever:
Página 39 de 42 x y 36( 6) 6x 6y 216 (I) 8x 6y 226 (II) 8x 6y 226
Fazendo (II) – (I), temos: 2x = 10
x = 5 (aracnídeos) e y = 31 (insetos) Resposta [D].
