Cinemática Inversa de Manipuladores Robóticos

(1)

Aula 3 

Cinemática Inversa de

Manipuladores Robóticos

Prof. Assoc. Marcelo Becker

(2)

USP-EESC-SEM M. Becker © 2

• Definições

• Solução Algébrica vs. Geométrica

• Exemplos em Robôs Industriais

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

(3)

• Cinemática Inversa:

− Sejam dadas a posição e orientação desejadas para a ferramenta, quais as variáveis de junta do manipulador?

•Aplicação mais importante: – Geração de Trajetórias...

(4)

USP-EESC-SEM M. Becker © 4 a n s Ro ll Pi tch Ya w

Definições 

Existência de Soluções

• Dada a matriz: • Deseja-se obter: θ₁, θ₂, ..., θ_N ! " # $ % & = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z z z z y y y y x x x x N 0 Pos.

(5)

USP-EESC-SEM M. Becker ©

• Tomando um Robô com 6 GDLs como exemplo: – 16 elementos na matriz

• Deseja-se obter: θ₁, θ₂, ..., θ₆

– Sendo N=6, temos 6 incógnitas e 12 equações...

5 3 equações de posição 3 equações de rotação independentes Valores triviais

Definições 

Existência de Soluções

!

"

#

$

%

&

=

1

0

0 p

a

s

n

p

a

s

n

p

a

s

n

T

z z z z y y y y x x x x 6 0 6 6 Equações ñ-lineares e transcendentais

(6)

– Número de Soluções:

– Pode haver mais de uma solução ou até mesmo, nenhuma (Volume de trabalho)

– Pode ser trabalhosa a solução de equações não lineares...

2 soluções!

Definições 

(7)

Múltiplas Soluções

• Problema: Escolher uma solução...

Definições 

Existência de Soluções

A₁ A₂

✓ Solução mais próxima

✓ Obstáculos

✓ Pesos / Cargas

✓ Volume de Trabalho

(8)

EESC-USP M. Becker© 8

Definições 

Existência de Soluções

• Para o Robô PUMA 560, há 8 soluções para a cinemática inversa...

– As 3 primeiras variáveis de junta (θ₁,θ₂,θ₃) definem posição do braço do robô

– As 3 últimas (θ₄,θ₅,θ₆), a orientação da garra

• 4 soluções para a 3 primeiras juntas:

– Ombro à direita – Ombro à esquerda 180º θ θ θ θ 180º θ θ 6 ' 6 5 ' 5 4 ' 4 + = − = + =

(9)

Quanto maior o número de parâmetros de

Denavit-Hatenberg não nulos, maior o número de possíveis soluções para o robô atingir a posição desejada.

Número de Soluções vs. a_i ≠ 0 para um robô com 6 juntas de rotação

Número de Soluções a_i Número de Soluções a₁=a₃= a₅= 0 ≤ 4 a₃= a₅= 0 ≤ 8 a₃= 0 ≤ 16 Todos a_i≠ 0 ≤ 16

Robôs com mais de 6 GDLs podem ter

infinita

s soluções!!

Definições 

(10)

Definições 

Existência de Soluções

• Como encontrar as soluções?

– Não há algoritmo genérico → Equações ñ lineares • Deve-se encontrar todas as variáveis de junta!

• Deve-se calcular todas as soluções! – Duas Classes:

• Analíticas: Closed-form solutions

(11)

• Métodos Analíticos

• Obtêm todas as soluções • Não trivial...

• Empregados quando um grande número de parâmetros de Denavit-Hartenberg são nulos! • Dois métodos:

– ALGÉBRICO – GEOMÉTRICO

• Métodos Numéricos Iterativos

• Convergem para solução possível • Estratégias Anti-colisão

• J-1

Definições 

(12)

USP-EESC-SEM M. Becker © 12 fç de n parâmetros!!

Definições 

Existência de Soluções

• E quando GDL = n (< 6)? a n s ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z z z z y y y y x x x x n 0

• E se a ferramenta for definida por 6 GDL?

– Encontrar a solução “mais próxima” possível da desejada...

(13)

Definições 

Existência de Soluções

• E se a ferramenta for definida por 6 GDL?

– Encontrar a solução “mais próxima” possível da desejada...

• Estratégia:

1. Dada 0_T

n obter 0Tn*,de modo que seja descrito com

os n parâmetros de junta do manipulador e seja próximo de 0_T

n .

2. Aplicar a cinemática inversa a 0_T

n* para encontrar

as n variáveis de junta.

✓ Ficar atento com o volume de trabalho do manipulador

(14)

• Definições

• Solução Algébrica vs. Geométrica

• Exemplos em Robôs Industriais

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

(15)

Solução Algébrica

• Para o mecanismo planar de 3 links...

Parâmetros de Denavit-Hartenberg Junta _α i ai di θi 1 0o ₀ ₀ _θ 1 2 0o L₁ 0 θ₂ 3 0o L₂ 0 θ₃ ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 d c s 0 .sθ a cθ s -c cθ c sθ a 0 sθ -cθ T i i i i i i i 1 -i i 1 -i i 1 -i i i i 1 -i α α . α α . α . L₃ X₀ Y₀ x3 Y₃ θ₁ X 1 Y 1 X₂ Y₂ L₂ θ₂ θ₃ L₁

(16)

EESC-USP M. Becker© 16 3 2 2 1 1 0 3 0

_{T =}

_T

_.

_T

_.

_T

Solução Algébrica

! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 d c s 0 .sθ a cθ s -c cθ sθ cθ a s sθ .sθ c -cθ T i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1 -i α α . α α . . α . α ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + = 1 0 0 0 0 1 0 0 s L s L 0 c s c L c L 0 s -c T 123 123 1 1 2 12 12 2 1 1 123 123 3 0 . . . .

(17)

Apêndice A: Livro J.J. Craig

Solução Algébrica

• Obs.: uso de Redução Polinomial para resolver equações transcendentais

)

2 θ

tan(

u =

₂2 u 1 u 1 cosθ + − = ₂

u

1 2u

senθ

+

=

Eqs. Algébricas: Equações aonde a variável independente pode ser posta em

evidência ou fatorada.

Eqs. Transcendentais: Equações aonde a variável independente não pode ser

(18)

Solução Algébrica

! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + = 1 0 0 0 0 1 0 0 s L s L 0 c s c L c L 0 s -c T 123 123 1 1 2 12 12 2 1 1 123 123 3 0 . . . .

• Definindo a posição e orientação do 3º link...

X₀ Y₀ φ (x,y) ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 0 1 0 0 y 0 c s x 0 s -c T₃ 0 φ φ φ φ 12 2 1 1 12 2 1 1 123 123 s L s L y c L c L x s s c c + = + = = = φ φ

(19)

Solução Algébrica

2 2 1 2 2 2 1 2 2 12 2 1 1 12 2 1 1

_x

_y

_L

_2L

_L

_c

s

L

s

L

y

c

L

c

L

x

+

=

+

!

"

#

+

=

+

=

• Assim obtemos as equações algébricas...

2 1 2 1 12 2 1 2 1 12

c

s

c

s

c

+

=

−

=

• Lembrando que: 2 1 2 2 2 1 2 2 2

_2L

_L

L

y

x

c

=

+

−

2 2 2

1 c

s

=

±

−

)

c

,

atan2(s

θ

₂

=

₂ ₂

(20)

Solução Algébrica

• Dessa forma, para encontrar θ₁:

1 2 1 1 1 2 1 1

c

k

s

k

y

s

k

c

k

x

+

=

−

=

2 2 2 2 2 1 1

s

L

k

c

L

k

=

+

=

2 2 2 1

k

r

=

+

• Sendo:

)

k

,

atan2(k

₂ ₁

=

γ

γ γ

γ

r.s

r.sin

k

r.c

r.cos

k

2 1

=

(21)

Solução Algébrica

• Reescrevendo as equações: 1 2 1 1 1 2 1 1 c k s k y s k c k x + = − = 1 1 1 1

c

s

c

r

y

s

c

r

x

γ γ γ γ

+

=

−

=

• Então: ) θ sin( r y ) θ cos( r x 1 1 + = + = γ γ

₍

₎

(

)

(

2 1

)

1 1 k , k atan2 x y, atan2 θ x y, atan2 r x , r y atan2 ) θ ( − = = " # $ % & ' = + γ

(22)

Solução Algébrica

• Sendo: • Obtém-se:

(

)

(

2 1

)

1 atan2 y,x atan2 k ,k θ = −

)

c

,

atan2(s

θ

₂

=

₂ ₂ φ φ φ = = + + θ θ atan2(s ,c ) θ₁ ₂ ₃

(23)

EESC-USP M. Becker© 23 2 1 2 2 2 1 2 2 2

x

y

_2L

_L

L

c

=

+

−

Solução Geométrica

• Para o mesmo mecanismo planar de 3 links...

– Aplicando a lei dos co-senos no ΔABC:

X₀ Y₀ L₂ L₁ x y θ₂ ) θ cos(180º L 2L -L L y x 2 ₁ ₂ ₂ 2 2 1 2 2 − + = + A B C ) cos(θ ) θ cos(180º− ₂ = − ₂ β ψ θ₁ θ₃

(24)

Solução Geométrica

• Para os ângulos β e ψ... • Assim:

x)

atan2(y,

β =

ψ

±

= β

θ

₁

θ

₁

+

θ

₂

+

θ

₃

=

φ

2 2 1 2 2 2 1 2 2 y x 2L L L y x cos + − + + =

(25)

• Definições

• Solução Algébrica vs. Geométrica

• Exemplos em Robôs Industriais

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

(26)

USP-EESC-SEM M. Becker © 26 ) (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T T 5 ₆ ₆ 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 6 0 = • Manipulador com 6 GDLs

Exemplo 1

Robô PUMA 560

! ! ! ! " # $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z z z z y y y y x x x x 6 0

[

T

(θ

)

]

.

T

(θ

).

T

(θ

).

T

(θ

).

T

(θ

).

5

T

₆

(θ

₆

)

5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 6 0 1 -1 1 0

=

-1

(27)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

6 1 z z z z y y y y x x x x 1 1 1 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c s -0 0 s c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & .

[

T

(θ

)

]

.

T

(θ

).

T

(θ

).

T

(θ

).

T

(θ

).

5

T

₆

(θ

₆

)

5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 6 0 1 -1 1 0

=

-1

(28)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 x 1_n _c _. _c _.c _.c _s _.s _s _.s _.s − − = 6 4 6 5 4 y 1_n _s _.c _.c _c _.s − − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 z 1_n _s _. _c _.c _.c _s _.s _c _._s _.c − − − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 x 1_s _-c _. _c _.c _.s _s _.c _s _._s _.s + − = 6 4 6 5 4 y 1_s _s _.c _.s _c _.c − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 z 1_s _s _. _c _.c _.s _s _.c _c _._s _.s + + = 5 23 5 4 23 x 1_a _c _.c _.s _s _.c − − = 5 4 y 1_{a =} _s _.s 5 23 5 4 23 z 1_a _s _.c _.s _c _.c − = 2 2 3 23 4 23 x 1_p _s _._d _c _._a _c _._a + + − = 3 y 1_{p =} _d 2 2 3 23 4 23 z 1_p _-c _._d _s _._a _s _._a − − = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 1 z 1 z 1 z 1 y 1 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 6 1

(29)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

3 y 1

_{p =}

_d

! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c s -0 0 s c z 1 z 1 z 1 z 1 y 1 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 z z z z y y y y x x x x 1 1 1 1 . • Assim:

₌

₋

s

₁

p

_x

₊

c

₁

p

_y

• Faz-se a substituição trigonométrica:

)

p

,

atan2(p

p

ρ

x y 2 y 2 x

=

+

=

φ

φ φ

φ

ρ.s

ρ.sen

p

ρ.c

ρ.cos

p

y x

=

onde

(30)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

Obtém-se:

ρ

d

c

s

c

3 1 1 φ

−

φ

=

y 1 x 1 3

s

p

c

p

d

=

−

+

φ φ

φ

ρ.s

ρ.sen

p

ρ.c

ρ.cos

p

y x

=

(31)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

• Lembrando a fórmula da diferença de ângulos:

ρ

d

)

θ

sen(

3 1

=

−

φ

₂ 2 3 1

)

1 d

_ρ

θ

cos(

φ

−

=

±

−

!

"

#

$

%

&

−

±

=

−

₂ 2 3 3 1

atan2

d

_ρ

,

1 d

_ρ

θ

φ

(

)

(

2

)

3 2 y 2 x 3 x y 1

atan2

p

,

p

-

atan2

d

,

p

d

θ

=

±

+

−

ρ

d

c

s

c

3 1 1 φ

−

φ

=

(32)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 x 1_n _c _. _c _.c _.c _s _.s _s _._s _.s − − = 6 4 6 5 4 y 1_n _s _.c _.c _c _.s − − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 z 1_n _s _. _c _.c _.c _s _.s _c _._s _.c − − − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 x 1_s _-c _. _c _.c _.s _s _.c _s _._s _.s + − = 6 4 6 5 4 y 1_s _s _.c _.s _c _.c − =

(

4 5 6 4 6

)

23 5 6 23 z 1_s _s _. _c _.c _.s _s _.c _c _._s _.s + + = 5 23 5 4 23 x 1_a _c _.c _.s _s _.c − − = 5 4 y 1_{a =} _s _.s 5 23 5 4 23 z 1_a _s _.c _.s _c _.c − = 2 2 3 23 4 23 x 1_p _s _._d _c _._a _c _._a + + − = 3 y 1_{p =} _d 2 2 3 23 4 23 z 1_p _-c _._d _s _._a _s _._a − − = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 1 z 1 z 1 z 1 y 1 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 6 1

*

(33)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 c s -0 0 s c z 1 z 1 z 1 z 1 y 1 y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 z z z z y y y y x x x x 1 1 1 1 . • Agora: • Assim:

c

₁

p

_x

₊

s

₁

p

_y

₌

1

p

_x

₌

₋

s

₂₃

.d

₄

₊

c

₂₃

.a

₃

₊

c

₂

.a

₂ 2 2 3 23 4 23 z 1 z

p

c

.d

s

.a

s

.a

p

=

+

−

(34)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

• Logo: • Onde:

K

.a

c

.d

s

₃ ₄

+

₃ ₃

=

−

2 2 4 2 3 2 3 2 2 2 z 2 y 2 x

2a

d

a

p

K

=

+

−

(

3 4

)

(

32 42 2

)

3

atan2

a

,

d

-

atan2

K,

a

d

K

θ

=

±

+

−

• Seguindo o mesmo método de solução trigonométrica:

(35)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Para obter θ₂: ) (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T T 5 ₆ ₆ 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 6 0 =

[

T (θ )

]

. T T (θ ). T (θ ).5T₆(θ₆) 5 5 4 4 4 3 6 0 1 -2 3 0 = 6 3 z z z z y y y y x x x x 3 1 1 3 2 23 23 1 23 1 3 2 23 23 1 23 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -0 c s -s a c -s s -s c -c a -s -c s c c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % &

(36)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

6 4 6 5 4 x 3_n _c _.c _.c _s _.s − = 6 5 y 3_{n =} _s _.c 6 4 6 5 4 z 3_n _s _.c _.c _c _.s − − = 6 4 6 5 4 x 3_s _c _.c _.s _s _.c − − = 6 5 y 3_{s =} _-s _.s 6 4 6 5 4 z 3_s _s _.c _.s _c _.c − = 5 4 x 3_a _c _.s − = 5 y 3_{a =} _c 5 4 z 3_{a =} _s _.s 3 x 3_{p =} _a 4 y 3_{p =} _d 0 p_z 3 = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 3 z 3 z 3 z 3 y 3 y 3 y 3 y 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6 3

*

(37)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Assim: ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -0 c s -s a c -s s -s c -c a -s -c s c c z 3 z 3 z 3 z 3 y 3 y 3 y 3 y 3 x 3 x 3 x 3 x 3 z z z z y y y y x x x x 3 1 1 3 2 23 23 1 23 1 3 2 23 23 1 23 1 3 3 2 z 23 y 23 1 x 23 1

c

p

s

c

p

s

p

a

c

a

c

+

−

=

4 3 2 z 23 y 23 1 x 23 1

s

p

s

p

c

p

a

s

d

c

-

−

+

=

(38)

• Resolvendo o sistema de equações:

3 3 2 z 23 y 23 1 x 23 1c p s c p s p a c a c + − − = 4 3 2 z 23 y 23 1 x 23 1s p s s p c p a s d c - − − + =

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

2 y 1 x 1 2 z 4 3 2 y 1 x 1 z 3 2 3 23 _p _(c _p _s _p ₎ ) d s )(a p s p (c )p c a -(-a s + + − + + = 2 y 1 x 1 2 z 3 3 2 y 1 x 1 z 4 3 2 23 _p _(c _p _s _p ₎ ) a c )(a p s p (c )p d -s (a c + + + + − =

(39)

• Como os denominadores são iguais e positivos:

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

2 y 1 x 1 2 z 4 3 2 y 1 x 1 z 3 2 3 23 _p _(c _p _s _p ₎ ) d s )(a p s p (c )p c a -(-a s + + − + + = 2 y 1 x 1 2 z 3 3 2 y 1 x 1 z 4 3 2 23 _p _(c _p _s _p ₎ ) a c )(a p s p (c )p d -s (a c + + + + − = )] a c )(a p s p (c )p d -s (a ),... s a -)(d p s p (c )p c a -atan2[(-a θ 3 3 2 y 1 x 1 z 4 3 2 3 2 4 y 1 x 1 z 3 2 3 23 + + − + − =

(40)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

)] a c )(a p s p (c )p d -s (a ),... s a -)(d p s p (c )p c a -atan2[(-a θ 3 3 2 y 1 x 1 z 4 3 2 3 2 4 y 1 x 1 z 3 2 3 23 + + − + − = 3 23 2

θ

=

−

a n s θ1 θ₂ θ₃ x y z

(41)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

6 4 6 5 4 x 3_n _c _.c _.c _s _.s − = 6 5 y 3_{n =} _s _.c 6 4 6 5 4 z 3_n _s _.c _.c _c _.s − − = 6 4 6 5 4 x 3_s _c _.c _.s _s _.c − − = 6 5 y 3_{s =} _-s _.s 6 4 6 5 4 z 3_s _s _.c _.s _c _.c − = 5 4 x 3_a _c _.s − = 5 y 3_{a =} _c 5 4 z 3_{a =} _s _.s 3 x 3_{p =} _a 4 y 3_{p =} _d 0 p_z 3 = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 3 z 3 z 3 z 3 y 3 y 3 y 3 y 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6 3

*

(42)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Assim, para obter θ₄:

! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -0 c s -s a c -s s -s c -c a -s -c s c c z 3 z 3 z 3 z 3 y 3 y 3 y 3 y 3 x 3 x 3 x 3 x 3 z z z z y y y y x x x x 3 1 1 3 2 23 23 1 23 1 3 2 23 23 1 23 1 5 4 z 23 y 23 1 x 23 1

c

a

s

c

a

s

a

c

s

c

+

−

=

−

5 4 y 1 x 1

a

c

a

s

-

+

=

(43)

• Resolvendo o sistema de equações para θ₅≠ 0:

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

)]

s

a

c

s

a

-c

c

(-a

),

c

a

s

atan2[(-a

θ

₄

=

_x ₁

+

_y ₁ _x ₁ ₂₃ _y ₁ ₂₃

+

_z ₂₃ 5 4 z 23 y 23 1 x 23 1

c

a

s

c

a

s

a

c

s

c

+

−

=

−

5 4 y 1 x 1

a

c

a

s

-

+

=

(44)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Para obter θ₅: ) (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T T 5 ₆ ₆ 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 6 0 =

[

T (θ )

]

. T T (θ ).5T₆(θ₆) 5 5 4 6 0 1 -4 4 0 = 6 4 z z z z y y y y x x x x 4 3 2 23 23 1 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -s a c -s s -s c -s a c d s c a s s -c c s c s -c s s s c -c a s d c c a -c s -s c c c s s s c c c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + − + − + − +

(45)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

6 5 x 4_{n =} _c _.c 6 y 4_{n =} _s 6 5 z 4_{n =} _s _.c 6 5 x 4_s _c _.s − = 6 y 4_{s =} _c 6 5 z 4_s _s _.s − = 5 x 4_a _s − = 0 a_y 4 = 5 z 4_{a =} _c 0 p_x 4 = 0 p_y 4 = 0 p_z 4 = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 4 z 4 z 4 z 4 y 4 y 4 y 4 y 4 x 4 x 4 x 4 x 4 6 4

*

(46)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Para θ₅: 6 4 z z z z y y y y x x x x 4 3 2 23 23 1 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -s a c -s s -s c -s a c d s c a s s -c c s c s -c s s s c -c a s d c c a -c s -s c c c s s s c c c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + − + − + − + 5 4 23 z 4 1 4 23 1 y 4 1 4 23 1 x

(c

c

s

)

a

(s

c

s

)

a

(s

c

)

s

a

+

−

=

−

• Assim: 5 23 z 23 1 y 23 1 x

(

c

s

)

a

(

s

)

a

(-c

)

c

a

−

+

−

+

=

(47)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Assim:

)

c

(s

a

)

s

c

(s

a

)

s

c

(c

-a

s

₅

=

_x ₁ ₂₃ ₄

+

₁ ₄

−

_y ₁ ₂₃ ₄

+

₁ ₄

+

_z ₂₃ ₄ • Onde:

)

(-c

a

)

s

(

a

)

s

c

(

a

c

₅

=

_x

−

₁ ₂₃

+

_y

−

₁ ₂₃

+

_z ₂₃

)

c

,

atan2(s

θ

₅

=

₅ ₅

(48)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Para obter θ₆: ) (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T T 5 ₆ ₆ 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 6 0 =

[

T (θ )

]

. T 5T₆(θ₆) 6 0 1 -5 5 0 = 6 5 z z z z y y y y x x x x 4 3 2 23 23 1 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -s a c -s s -s c -s a c d s c a s s -c c s c s -c s s s c -c a s d c c a -c s -s c c c s s s c c c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + − + − + − +

(49)

Exemplo 1

Robô PUMA 560

6 5 x 4_{n =} _c _.c 6 y 4_{n =} _s 6 5 z 4_{n =} _s _.c 6 5 x 4_s _c _.s − = 6 y 4_{s =} _c 6 5 z 4_s _s _.s − = 5 x 4_a _s − = 0 a_y 4 = 5 z 4_{a =} _c 0 p_x 4 = 0 p_y 4 = 0 p_z 4 = ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ % & = 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n T z 4 z 4 z 4 z 4 y 4 y 4 y 4 y 4 x 4 x 4 x 4 x 4 6 4

*

(50)

Exemplo 1 

Robô PUMA 560

• Para obter θ₅ e θ₆: ) (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T ). (θ T T 5 ₆ ₆ 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 6 0 =

[

T (θ )

]

. T T (θ ).5T₆(θ₆) 5 5 4 6 0 1 -4 4 0 = 6 4 z z z z y y y y x x x x 4 3 2 23 23 1 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 4 3 4 3 4 3 2 4 23 4 1 4 23 1 4 1 4 23 1 T 1 0 0 0 p a s n p a s n p a s n . 1 0 0 0 d -s a c -s s -s c -s a c d s c a s s -c c s c s -c s s s c -c a s d c c a -c s -s c c c s s s c c c = ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & ! ! ! ! " # $ $ $ $ % & + + − + − + − +

(51)

• Definições

• Solução Algébrica vs. Geométrica

• Exemplos em Robôs Industriais

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

(52)

Exercícios Recomendados

• Exercícios:

– Livro do Craig (2005): pp. 128-134

(53)

• Definições

• Solução Algébrica vs. Geométrica

• Exemplos em Robôs Industriais

• Exercícios Recomendados

• Bibliografia Recomendada

(54)

Bibliografia Recomendada

• Craig, J.C., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics

and Control, 3rd_{Edition, Pearson Education Inc., ISBN}

0-201-54361-3

• Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics,

Programming and Control, The MIT Press.

• Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987,

Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence,

McGraw-Hill Int. Editions, ISBN 0-07-100421-1.