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Curso: Processos Processos Industriais Industriais Módulo: Módulo: Básico Básico Carga Carga Horária: Horária: 30h30h Docente:

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Material Instrucional especialmente elaborado Material Instrucional especialmente elaborado pelo Prof. Antônio Francisco para uso exclusivo pelo Prof. Antônio Francisco para uso exclusivo do CETEB-CA.

SUMÁRIO

SUMÁRIO

Conjunto

Conjunto dos dos Números Números Naturais Naturais 44

Conjunto

Conjunto dos dos Números Números Inteiros Inteiros 77

Conjunto

Conjunto dos dos Números Números Racionais Racionais 1010

Potenciação 18

Potenciação 18

Notação

Notação científica, científica, 2121

Radiciação 22

Radiciação 22

Expressões

Expressões numéricas numéricas 2424

Unidade

Unidade de de medidas medidas 2424

Razão 27

Razão 27

Proporção 29

Proporção 29

Grandezas

Grandezas proporcionais proporcionais 3232

Regra

Regra de de três três simples simples 3434

Porcentagem 36

Porcentagem 36

Cálculo

Cálculo algébrico algébrico 3737

Produtos

Produtos notáveis notáveis 3939

Fatoração 40

Fatoração 40

Equação

Equação do do 1º 1º grau grau 4242

Equação

Equação do do 2º 2º grau grau 4646

Função

Função do do 1º 1º grau grau 5151

Função

Função do do 2º 2º grau grau 5252

Função

Função exponencial exponencial 5757

Logaritmos 58

Logaritmos 58

Função

Função logarítmica logarítmica 6161

Exercícios 63

Exercícios 63

Referência

O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Em matemática, usamos com muita freqüência alguns conjuntos de números e, entre eles, o conjunto dos Em matemática, usamos com muita freqüência alguns conjuntos de números e, entre eles, o conjunto dos números naturais.

números naturais.

Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os chamados números naturais: 0, 1, Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os chamados números naturais: 0, 1, 2, 3,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...10, 11, 12,...

Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que se Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que se indica pela letra

indica pela letra  N  N ..  N 

 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

Quando se exclui o 0

Quando se exclui o 0 deste conjunto, temos o conjunto indicado pordeste conjunto, temos o conjunto indicado por **

 N   N  ..

* *

 N 

 N  = {1, 2, 3, 4, 5, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}6, 7,...} →→ conjunto dos números naturais não-nulos.conjunto dos números naturais não-nulos.

Considerando a sucessão dos números naturais, podemos observar o que se segue. Considerando a sucessão dos números naturais, podemos observar o que se segue.



 Todo número natural tem Todo número natural tem um sucessivo.um sucessivo.

Exemplos: Exemplos:   O sucessivo de 0 é 0 + 1 O sucessivo de 0 é 0 + 1 = 1= 1   O sucessivo de 1 é 1 + 1 O sucessivo de 1 é 1 + 1 = 2= 2   O sucessivo de 2 é 2 + 1 O sucessivo de 2 é 2 + 1 = 3= 3   O sucessivo de 37 é 37 + 1 = 38O sucessivo de 37 é 37 + 1 = 38   O sucessivo de 199 é 199 + 1 = 200O sucessivo de 199 é 199 + 1 = 200

De uma maneira geral, dado um número natural

De uma maneira geral, dado um número natural nn o seu sucessivo éo seu sucessivo é ((nn++11))..

Zero é o

Zero é o menor dos números naturais e não é menor dos números naturais e não é sucessivsucessivo de nenhum outro número natural.o de nenhum outro número natural. Todo número natural, com exceção do

Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor.zero, tem um antecessor. Exemplos: Exemplos:   O antecessor de 1 é 1-1 = 0O antecessor de 1 é 1-1 = 0   O antecessor de 2 é 2 – 1 O antecessor de 2 é 2 – 1 = 1= 1   O antecessor de 3 é 3 – 1 O antecessor de 3 é 3 – 1 = 2= 2   O antecessor de 26 é 26 – 1 = O antecessor de 26 é 26 – 1 = 2525   O antecessor de 500 é 500 – 1 = 499O antecessor de 500 é 500 – 1 = 499

De uma forma geral, dado um número

De uma forma geral, dado um número naturalnatural nn ((nn ≠≠ 00))o seu antecessor éo seu antecessor é ((nn−−11))..

Qualquer número natural, a partir do 1, é maior que todos os números que o procedem e é menor que o Qualquer número natural, a partir do 1, é maior que todos os números que o procedem e é menor que o seguem. seguem. Exemplos: Exemplos: 4 4 > > 3, 3, 4 4 > > 2, 2, 4 4 > > 1, 1, 4 4 < < 8 8 4 4 < < 5, 5, 4 4 < < 6, 6, 4 4 < < 7, 7, 4 4 < < 8,...8,...

Não existe o maior dos números naturais, isto é, existem infinitos números naturais. Dois ou mais números Não existe o maior dos números naturais, isto é, existem infinitos números naturais. Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos.

Igualdade e desigualdade

A relação a = b é uma relação de igualdade as relações a ≠ b, a > b e a < b são relações de

desigualdades.  Propriedades da igualdade a) Reflexiva: a = a b) Simétrica: se a = b, então b = a c) Transitiva: se a = b e b = c, então a = c  Propriedades da desigualdade Transitiva: se a > b e b > c, então a > c se a < b e b < c, então a < c

Adição de números naturais

A operação da adição é usada quando devemos juntar duas ou mais quantidades.

Consideremos, então, a seguinte situação em que empregaremos a operação da adição: Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham ao todo nessa empresa?

Exercício

1º) Um automóvel passou pelo Km 435 de uma rodovia. Ele ainda deverá percorrer 298 km até chegar ao seu destino. Em qual Km dessa estrada está o ponto de destino desse automóvel?

2º) O odômetro é um aparelho usado nos veículos para marcar o número de quilômetros percorridos. Um carro sai de São Paulo com o odômetro marcando 28596 km e vai até Rio Claro, uma cidade distante 175 km de São Paulo. Ao chegar a Rio Claro, qual a quilometragem que o odômetro desse carro estará marcando? 3º) A produção de uma indústria foi de 105 780 peças em janeiro, 93 968 em fevereiro e 119 498 peças em março. Quantas peças essa indústria produziu nesse trimestre?

Subtração de números naturais

A operação da subtração é empregada quando devemos tirar uma quantidade de outra quantidade. Exemplo: Uma imobiliária anunciou um apartamento por R$ 38.650,00 e outro imóvel, menor por R$ 27.930,00. Qual a diferença de preço entre os dois imóveis?

Solução 38 650 minuendo

- 27 930 subtraendo

Exercício

1º) Hidrômetro é um aparelho semelhante a um relógio: marca o consumo de água de uma casa em centímetros cúbicos. A leitura de um hidrômetro feita no dia 20 de março indicava 2 568 metros cúbicos e uma nova leitura feita um mês depois, indicava 2 727 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos nesse período?

2º) Você sabe que o odômetro é um aparelho usado nos veículos para marcar o número de quilômetros percorridos. Ao sair de uma cidade  A,uma moto tinha seu odômetro marcando 18.602 quilômetros, ao

chegar a uma cidade  B, o odômetro marcava 19.110 quilômetros. Quantos quilômetros separam a cidade  A

da cidade  B?

3º) Sabe-se que a profundidade média do oceano Pacífico é de 4.188 metros e a profundidade média do oceano Atlântico é de 3.736 metros. Qual é a diferença entre essas duas profundidades?

Multiplicação de números naturais

A operação de multiplicação é empregada quando adicionamos a mesma quantidade muitas vezes. Exemplo: Um edifício de apartamentos tem 6 andares. Em cada andar há 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm o edifício todo?

Solução: Para resolver esse problema, podemos fazer: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 Essa mesma igualdade pode ser representada por: 6 x 4 = 24

Exercício:

1º) Três cidades, A, B e C são ligadas por uma rodovia. Sabe-se que de A até B são 275 km e que de B até C a distância corresponde ao triplo da distância de A até B. Quantos quilômetros são de B até C?

2º) Você sabe que o dobro significa duas vezes, o triplo três vezes, o quádruplo significa quatro vezes e o quíntuplo significa cinco vezes. Nessas condições, e sabendo que o número natural n vale 495, determine:

a) O dobro número n b) O triplo do número n c) 6 x n d) O quádruplo do número n e) O quíntuplo do número n f) 12 x n

Divisão de números naturais

A operação da divisão é empregada quando queremos dividir uma quantidade em partes iguais. Exemplo:

Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las em 12 caixas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de peças. Quantas peças serão colocadas em cada caixa?

Solução:

Para resolver esse problema, devemos fazer 183 ÷ 12.

Como o resto é 3, dizemos que esta é uma divisão com resto ou uma divisão não exata. Logo, podemos dizer que em cada caixa serão colocadas 15 peças, sobrando ainda 3 peças.

1º) Uma tonelada de cana–de–açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de álcool são necessárias para produzir 6 970 litros de álcool?

2º) Para verificar se um automóvel está bem regulado, procura-se calcular o consumo de combustível dividindo-se a distância que o automóvel percorre pela quantidade de combustível gasta. Sabendo que para percorrer 444 km um carro consome 37 litros de combustível, determine o consumo desse carro.

3º) Um pedaço de madeira tem 340 centímetros de comprimento e foi dividido em 3 partes. A primeira parte tem 78 centímetros de comprimento, enquanto as duas outras têm o mesmo comprimento. Quantos centímetros têm cada uma dessas partes?

4º) O número atômico (Z) é o número de prótons presentes no núcleo de um átomo. O número de massa (A) é a soma do número de prótons (Z) e de nêutrons (N) presentes no núcleo de um átomo. Calcule o número de elétrons de um átomo de Carbono sabendo-se seu número atômico é 6 e seu número de massa é 12.

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Os números +1,+2,+3,+4...,+10...,+25...,+100,... são chamados números inteiros positivos. Os números

inteiros positivos são identificados com os números naturais maiores que 0.

+1 = 1 +2 = 2... +10 = 10... +25 = 25... +100 = 100...

Os números −1,−2,−3,−4,−5,...,−10,...,−25,...,−100,...são chamados números inteiros negativos.

O conjunto formado pelos números inteiros com o sinal de mais (+) positivos, pelos números inteiros com o sinal de menos (-) negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z . ,...) 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 (...,− − − − − + + + + + =  Z  Exercícios:

1º) Tomando como referência o nível do mar, use números inteiros positivos ou negativos para indicar os valores expressos nas frases:

a) O mergulhador só desce ao mar para fazer reparos a até 300m de profundidade.

b) Na fronteira do estado do amazonas com a Venezuela estão os dois pontos mais elevados do território brasileiro: Pico 31 de março, com 2992 metros, e o Pico da Neblina, com 3014 metros.

c) A Petrobrás é a única empresa no mundo capaz de explorar poços localizados a até 2000 metros abaixo da superfície do mar.

Comparação de números inteiros

 Qualquer número inteiro positivo é maior que zero.

Exemplo: +15 > 0

 Qualquer número inteiro positivo é maior que qualquer número inteiro negativo.

Exemplo: +19 > - 28

 Qualquer número inteiro negativo é menor que zero.

Exemplo: - 1256 < 0

 Entre dois números inteiros negativos, o maior é aquele que tem o menor módulo.

Exemplo: -6 > -10, pois −6 < −10

Generalizando o que vimos: Entre dois números inteiros quaisquer, o maior é aquele que está mais à direita na reta numérica inteira.

1º) Compare os dois números inteiros que estão envolvidos no seguinte fato: Uma temperatura de 2 graus abaixo de zero é mais alta que uma temperatura de 6 graus abaixo de zero.

2º) Usando os símbolos > e <, compare os números inteiros:

a) 0 e +7 f) -30 e +6

b) +11 e 0 g) +7 e +20

c) 0 e -9 h) -11 e -30

d) -13 e 0 i) -1 e +5

e) +2 e -19 j) -20 e -3

Adição de números inteiros

( + ) + ( + ) = ( + )

( + ) + ( - ) = ( +/- )

( - ) + ( + ) = ( -/+ )

( - ) + ( -) = ( - )

 Quando os dois números são positivos, a soma é um número positivo.

Exemplo: (+6) + (+17) = +23

 Quando os dois números são negativos, a soma é um número negativo.

Exemplo: (- 6) + (- 17) = - 23

Adição de três ou mais números inteiros

Acompanhe a situação a seguir: Uma loja de calçados tem quatro departamentos: um de calçados masculinos, um de calçados femininos, um terceiro de calçados infantis e um quarto de calçados esportivos. O quadro seguinte mostra a venda de cada departamento no mês de março em relação ao mês anterior:

60 pares a mais → (+60)

45 pares a menos → (-45) 18 pares a menos → (-18)

30 pares a mais → (+30)

Vamos verificar o resultado final da loja no mês de março, em relação a fevereiro: = (+60) + (-45) + (-18) + (+30)

= +90 + (-63) = +27

Adicionando as quantidades positivas: (+60) + (+30) = (+90) Adicionando as quantidades negativas: (-45) + (-18) = (-63) Adicionando os resultados obtidos: (+90) + (-63) = +27 Exercícios

1º) Na atmosfera, a temperatura diminui cerca de 1 grau a cada 200m de afastamento da superfície terrestre. Se a temperatura na superfície é de +20 graus, qual será a temperatura na atmosfera a uma altura de 10 km? 2º) Calcule:

b) 76 + 92 – 104 – 101 + 94 d) 81 + 19 – 95 – 105 + 260 – 110

Subtração de números inteiros

Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Veja estes exemplos:

( + ) – ( + ) = ( + ) + ( - ) = ( +/ - ) ( + ) – ( - ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) ( - ) – ( + ) = ( - ) + ( - ) = ( - ) ( - ) - ( - ) = ( - ) + ( + ) = ( - / + ) (+13) – (+2) = (+13) + (-2) = +11 (+7) – (+15) = (+7) + (-15) = -8 Exercício:

1º) Numa cidade a temperatura mínima foi de -1 grau, enquanto a temperatura máxima foi de +10 graus. Para determinar a variação de temperatura, efetuamos a subtração “temperatura máxima – temperatura mínima”. Qual a variação da temperatura nessa cidade?

Multiplicação de números inteiros

( + ) . ( +) = ( +) ( + ) . ( - ) = ( - ) ( - ) . ( - ) = ( +) ( - ) . ( + ) = ( - )

A multiplicação de dois números inteiros positivos dá um número inteiro positivo: (+8) . (+12) = + 96

(+20) . (+13) = +260

 A multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, em qualquer ordem resulta

em um número inteiro negativo: Exemplo: (-6) . (+4) = - 24

 A multiplicação de dois números inteiros negativos resulta em um número inteiro positivo:

Exemplo: (-6) . 9-20 = + 12

 Se os dois fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo.

Exemplos: (+9) . (-2) = -18 e (-13) . (+6) = - 78

Divisão de números inteiros

A divisão com números inteiros obedecem aos mesmos critérios da multiplicação.

Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - o conjunto formado por todos os números que podem ser colocados na forma fracionária

q  p _onde  Z   p∈ e q∈ Z *. Então: Q = { q  p _/   Z   p∈ , q∈ Z *} Note que: Ν ⊂ Ζ ⊂Q

Assim o resultado da divisão de  ppor q, no caso em que  pnão é múltiplo de q , dá origem aos números

racionais decimais.

Termos de uma fração

Em toda fração

q

 p _{o número}

 p é chamado de numerador e o número q é chamado denominador. Juntos

constituem os termos de uma fração.

O numerador indica quantas partes foram tomadas do inteiro. O denominador indica em quantas partes foi dividido o inteiro.

Assim na figura ao lado, que foi dividida em oito partes iguais, temos: A parte Colorida é representada por:

8

5 _{e a parte branca por:} 8 3

O todo (a figura inteira) é representado por: 1 8 8 ₌

Observação: O denominador nunca pode ser igual a zero.

Em todo número decimal, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. Vejamos:

15, 631 0 , 03

Parte inteira↑ ↓Parte decimal Parte inteira ↑ ↓Parte decimal Na parte decimal, cada número ocupa uma CASA DECIMAL.

Transformação de fração decimal em um número decimal

Exemplo: A fração

10

32 _{é igual a 3,2. A vírgula imaginária encontra-se à direita do último algarismo do}

numerador, isto é, (32,) deslocando-a uma casa para a esquerda (pois o denominador apresenta 1 zero) encontramos o decimal procurado.

Outros exemplos: a) 4,35 100 435 _{= b)} 75 , 0 100 75 _{= − c)} 2 , 0 10 2 _{= d)} 005 , 0 1000 5 ₌

Quando, ao deslocar a vírgula, o numerador não apresentar algarismos suficientes, acrescentamos zeros à esquerda do numero. (veja exemplos b, c e d).

Transformação de um número decimal em uma fração decimal

Para transformar um número decimal em fração decimal, devemos observar que: Exemplos: a) 0, 8 = 10 8 _{b) 6, 34 =} 100 634 _{c) 0,002 =} 1000 2 _{d) 1,3456 =} 10000 13456

No caso de fração decimal, para transformá-la em número decimal, basta deslocar a vírgula (imaginária) para a esquerda, tantas casas quanto for o número de zeros do denominador.

A fração procurada terá como numerador, o decimal dado sem a vírgula e sem o(s) zero(s) à esquerda, enquanto que o denominador terá o número 1, seguido de tantos zeros quanto o número que casas decimais do decimal dado.

Exercícios: 1º) Transformar em decimal a) 10 3 _{= b)} 1000 328 − = c) 1000 5114 _{= d) 32 =}

2º) Transformar em fração, os decimais abaixo:

a) 7, 4 = b) 0, 467 = c) 0, 01 = d) 0, 023 =

Número misto

Extrair os inteiros da fração imprópria, o que pode ser feito dividindo-se o numerador pelo denominador. O número misto terá mesmo denominador, a parte inteira é o quociente da divisão e o numerador é o resto. Isto é: em D d temos assim a fração:

d  r  q Exemplos: a) 2 1 3 2 7 _{= 7 2 b)} 3 2 5 3 17 _{= 17 3} Exercícios:

1º) Transformar os números mistos em fração imprópria. a) 3 2 1 = b) 5 2 2 = c) 7 1 4 =

2º) Transformar em número misto: a) 5 23 = b) 4 10 = c) 2 3 =

Frações equivalentes

São frações que representam a mesma parte do inteiro. Um mesmo número racional pode ser representado por vários outros.

2 1₌

Como obter frações equivalentes.

Para obter frações equivalentes a certa fração, basta multiplicar os seus termos (numerador e denominador), por um mesmo número natural diferente de zero.

Este procedimento é chamado de Propriedade Fundamental das Frações. Exemplos:

2 1 = 4 2 ; 2 1 = 6 3 ; 2 1 = 8 4 ; 2 1 = 10 5 ; Logo, 2 1 = 4 2 = 6 3 = 8 4 = 10 5 = 12 6 = ... = 160 80 = ... 1 3 2 5 r q 8 4 = 4 2 ₌ Note que: ₂ 1 = 4 2 = 8 4

(1º passo) Escrevemos os números dados, separando-os por vírgula e colocamos um traço ao lado do último número. No lado direito do traço, colocamos o menor dos fatores primos que se pode dividir pelo menos um deles.

(2º passo) Abaixo dos números que forem divisíveis pelo fator primo, colocamos o quociente (resultado da divisão). Os números que não são divisíveis pelo fator primo devem ser repetidos.

Observação: Se numa fração o numerador e o denominador terminam em zero(s), podemos eliminar o mesmo número de zeros em ambos os termos.

Exemplos: a) 2 1 6 3 60 30 _{= = b)} 5 1 30 6 3000 600 ₌ − _{= −} − c) 2 3 200 300 =

Mínimo múltiplo comum (mmc)

Números primos

São denominados números primos, aqueles que apresentam dois divisores apenas ele mesmo é a unidade (1). Quando um número apresenta mais de dois divisores ele é chamado de número composto.

Segue o conjunto dos números primos, abaixo:

Regra prática para determinar o mmc entre dois ou mais números. Vejamos como calcular o mmc de 14, 45 e 6.

Logo, Veja o mmc (12, 30) 12, 30 2 6, 15 2 3, 15 3 1, 5 5 1, 1 Exercícios mmc (14, 45, 6) = 2 . 3² . 5 . 7 = 2 . 9 . 5 . 7 = 630 mmc (12, 30) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60 Logo,

(3o_{passo) Repetimos os passos 1 e 2 até chegar ao quociente 1, abaixo de todos os números. O}

mmc é o produtos dos fatores primos, colocados à direita do traço

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...}

Simplificação de frações

Sempre que os termos de uma fração admitir divisores comuns, pode-se simplificá-la tornando-a irredutível (quando seus termos não admite mais simplificação). Para tanto, basta dividir o numerador e o denominador da fração por um mesmo número natural, exceto por 0 e 1. vejamos:

12 18 24 36 = ; 6 9 24 36 = ; 2 3 24 36 = Isto é: 2 3 6 9 12 18 24 36 = = =

5º) Simplifique as frações, até obter a fração irredutível:a) 600 500 = b) 15 10 = c) 4000 2004 = d) 100 50 − = 6º) Calcule:

Redução de frações ao mesmo denominador

Reduzir frações ao mesmo denominador comum é encontrar frações equivalentes com denominadores iguais.

Exemplo: Reduzir ao mesmo denominador, as frações

6 5 4 3 e 4 , 6 2 2 , 3 2 1 , 3 3 1 , 1 2 x 2 x 3 = 12

7º) Reduzir, ao mesmo denominador comum, as frações: a) 6 5 4 1 e = b) 9 5 2 1 , 3 4 e =

Operações com números racionais

Adição e subtração de números racionais fracionários

Toda expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica.

Quando uma adição algébrica contém parênteses antecedido do sinal + podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os antecede, escrevendo apenas o número que está no interior dos parênteses com seu próprio sinal Exemplos: a) (+5) + (–7) + (+8) + (–3) = 5 –7 + 8 – 3 b)

5 3 3 2 5 3 3 2 − =           − +           +

Quando uma adição algébrica contém parênteses antecedidos do sinal – podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que os antecede, escrevendo cada número que está no interior dos parênteses com sinal trocado Exemplos: a) – (+2) – (+ 4) = –2 – 4 b) 6 1 4 3 6 1 4 3 + − =           − −           −

1º) calculamos o mmc dos denominadores das frações dadas: mmc ( 4, 6 ) = 12

2º) Dividimos o mmc (12), pelo denominador de cada fração e multiplicamos cada resultado pelo seu respectivo numerador. 12 : 4 = 3 → 3 x 3 = 9 12 : 6 = 2 → 2 x 5 = 10 Logo: 12 9 4 3 = e 12 10 6 5 = .

Note que as frações têm mesmo denominador

c) mmc (10,12,15) = a) mmc (12,16) = b) mmc (150,50) =

Este procedimento pode ser feito pelo método do mmc (mínimo múltiplo comum) dos denominadores das fra ões dadas.

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

1ª) A operação envolve apenas dois números:

a) Se os números têm sinais iguais, conservamos o sinal e somamos os módulos.

b) Se os números têm sinais diferentes, subtraímos seus módulos e damos ao resultado o sinal do número de maior módulo.

2ª) A operação envolve mais de dois números

Neste caso devemos, somar todas as parcelas positivas, em seguida somar todas as parcelas negativas. Assim, recaímos em um dos casos anteriores:

Exemplos:

Adição de números racionais decimais

Exemplos: 1) Calcular: a) 3,25 + 4,16 b) 5,61 – 8,42 c) 2,7 + 6 + 10,254 3, 25 8, 42 2, 700 + 4, 16 - 5, 61 + 6, 000 7, 41 2,81 10, 254 18,954 Exercícios: 8ª) Calcule: 9º) Calcule a soma: a) 12,568 b) 101,002 + 63,012 d) 10 39 10 59 20 10 45 14 20 2 9 5 7 2− − = − − = − = − mmc(2,5) = 10 e) 10 9 4 10 49 10 14 35 5 7 2 7 5 2 1 2 1 3 + = + = + = = mmc (2,5) = 10 f) 4 5 7 9 3 1 4 5 7 9 3 1 _{− + − + =} Propriedade do cancelamento

Para adicionarmos e/ou subtrairmos frações, é necessário que elas possuam denominadores iguais. Nos casos em que as frações têm denominadores diferentes, devemos reduzi-las ao mesmo denominador comum. Estando estas com denominadores iguais, a soma, será uma fração de mesmo denominador comum, cujo numerador é a soma dos numeradores das frações anteriores.

Para adicionarmos ou subtrairmos números decimais, devemos colocar vírgula debaixo de vírgula e efetuar a operação normalmente, como se fossem números inteiros, antes, porém, será melhor se todos decimais tiverem igual número de casas decimais (acrescenta-se zero(s) à direita).

e) − = 8 3 2 1 c) + + − = 4 3 1 16 5 2 1 2 d) + =          − +           + 2 4 5 2 3 a) – (–3) – (–8) – (+10) = b) + + = 16 7 16 3 16 5 a) (+4) + (+ 2) = 4 + 2 = 6 b) (– 4) + (– 2) = – 4 – 2 = –6 c) (–10) – (– 3) = –10 + 3 = –7

c) 25,123-23,18

Multiplicação de números racionais fracionários

Exemplos:

Multiplicação de números racionais decimais

Para multiplicar números decimais, devemos:

Exemplos: Calcular o produto:

a) 3,26 x 2,4 b) (-0,27) x 0,003

3, 2 6→ 2 casas decimais 0, 2 7 → 2 casas decimais 2,4→ 1 casa decimal 0,0 0 3 → 3 casas decimais

1 3 0 4 ↓ 0,000 81 →2+3 = 5 casas decimais

6 5 2

7, 8 2 4→ 2+1 = 3 casas decimais OBSERVAÇÃO:

 Na multiplicação não é necessário colocar vírgula embaixo de vírgula.

 Lembre-se que a multiplicação dispõe da propriedade comutativa que nos garante que: “ a ordem dos

fatores, não altera o produto ”, isto é: ab = ba.

 A multiplicação de números inteiros é feita multiplicando-se os números naturalmente, dando ao

resultado: O sinal ( + ), se o número de fatores negativos for PAR. O sinal (– ), se o número de fatores negativos for IMPAR

 A multiplicação de números fracionários é feita multiplicando-se os numeradores entre si e também os

denominadores, dando ao resultado o sinal conforme regra acima.

Multiplicação e divisão por 10, 100, 1000, ...

O Sinal do resultado pode também, ser obtido aplicando a regra de sinal, ao lado, para o produto de dois números, ou sucessivamente para o produto de mais de dois números.

⇒

c) 8 5 9 8 77 2 7 4 11 2 1 3 4 3 2 ⋅ = ⋅ = = d) 10 5 50 25 5 2 25 5 2 _{= ⋅ = =} de a) (–8). (–5) = 40 b) 15 2 5 1 3 2 − =           + ⋅           − (+) . (+) = (+) (–) . (–) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–)

Multiplicar os números como se fossem inteiros. O produto terá um número de casas decimais igual à soma do número de casas dos decimais dados.

Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, etc., basta deslocar a vírgula para a direita, tantas casas conforme o número de zeros da potência de dez, isto é: 1, 2, 3, etc. respectivamente.

r  Qd   D = + Exemplos: a) 6,587 x 10 = 65,87 b) 2,725 x 1000 = 2725 c) 0,0287 x 100 = 002,87 = 2,87 Exemplos: a) 379,4 : 10 = 37,94 b) 42,5 : 1000 = 0,0425 c) (–379,4 ) : 100 = –3,794 d) 23,56 . 1000 = 23560 e) 126,598 . 100 = 12659,8 Exercícios: 10. Calcule os produtos: 11. Calcule o produto:

Divisão de números racionais por números fracionários

A divisão é indicada por:

Para dividirmos dois números inteiros, devemos:

Dividir o 1º pelo 2º número e aplicar a mesma regra de sinais da multiplicação: Exemplos:

Para dividirmos dois números racionais fracionários devemos:

Conservar o primeiro e multiplicar pelo inverso do segundo e aplicar a regra de sinais anterior, isto e:

a) (– 8 ).( –2 ) = b)  =          + ⋅           − 4 7 5 2 c) ( − )⋅ =          − 123 0 47 35 d) ⋅ ⋅ = 4 3 1 16 11 16 e) = 2 1 1 4 3 de c) 8,296 . 100 = d) 0,06 . 10 = e) 4,723 . 10 = f) 0,07 ÷ 10 = g) 2000 ÷ 1000 = h) 347,2 ÷ 100 = a) (+0,7) . (–1,2) = b) 4 . 2,5 =

Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc.; basta deslocarmos a vírgula para a esquerda, tantas casas quanto o número de zero(s) da potência de dez, isto é,1, 2, 3, etc. respectivamente..

 D é o dividendo

d é o divisor

Q é o quociente (resultado)

r 

é o resto (quando houver)

,

onde c) (–18) : (– 2) = 9 d) (– 25) : ( + 5) = – 5 c d  b a d  c b a

⋅

=

÷

a) (+32) : (+ 8) = 4 b) (+ 15) : (–3) = – 5

Exemplos: a) 10 9 2 3 5 3 3 2 5 3 =           − ⋅           − =           − ÷           − b) ( ) 20 3 5 1 4 3 5 4 3 − =           − ⋅           + = − ÷           + Observações importantes:

1- numa divisão o divisor deve ser diferente de zero: ( + 5) : 0; (–2) : 0: ; 0 : 0 Essas expressões não têm significado. Elas não representam números.

Divisão de números racionais decimais

Para dividir dois números decimais devemos: 1º) Igualar o número de casas decimais

2º) Eliminar a vírgula (obtendo, assim, números inteiros) 3º) Efetuar a divisão e aplicar a regra de sinais.

Exemplos: Calcular o quociente: a) (–0,81) : (+0,27)

1º) Note que os decimais já têm o mesmo número de casas decimais

2º) Eliminando a vírgula e os zeros à esquerda têm: (–0,81) : (+0,27) = –81:27 3º) Calculando: –81 : 27 = –3

Logo, (–0,81 ) : ( +0,27 ) = –3 b) (–12,27 ) : (–3 )

1º) Igualando o número de casas decimais → (– 12, 27 ) : (–3,00 ) 2º) Eliminado a vírgula → (–1227) : (–300 )

3º) Efetuando a divisão → 1 2 2 7 3 0 0 2700

0 4, 09 Logo, (–12,27 ) : (–3 ) = 4, 09

A divisão de números decimais também pode ser feita, transformando-os em fração, sendo que o resultado obtido pode ser novamente convertido em decimal, caso seja conveniente.

Vejamos os mesmos exemplos anteriores:

a) (-0,81) : (+0,27) = 3 27 81 27 100 100 81 100 27 100 81 _{ = − = −}          + ⋅           − =           + ÷           − Exercícios 12. Calcule o quociente: b) (-12,27): (-3) = 4,09 300 1227 3 1 100 1227 _{= =}          − ×           − c) :8 = 16 15 d) 16,23: 0,4 = a) (+ 15 ) : ( + 3 ) = b) 31 :23 = e) 1,25: 0,25 =

POTENCIAÇÃO

Neste item, estudaremos a operação de Potenciação de números reais.

Potenciação é a operação que tem por finalidade obter o produto de fatores iguais e simplificar a escrita. Vejamos: 27 8 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ₌           + •           + •           + =           + OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:

De um modo geral, para calcular potência de uma fração, elevamos ambos os termos ao expoente da potência dada, isto é. _nn

n b a b a =           Exemplo: a) 27 8 3 2 3 2 3 3 3 = =           + b) 25 1 5 1 5 1 2 2 2 = =           + LEITURA

A leitura de potências faz-se de acordo com o seu expoente.

 Quando o expoente é 2, lê-se: quadrado  Quando o expoente é 3, lê-se: cubo

 Quando o expoente é 4, 5,..., lê-se: quarta potência, quinta potência,,...

Exercícios

13. Calcule as potências:

Potência de um número real com expoente natural

Dado um número real a e um número natural n, n ≠ 0, a expressãoan, denominada potência representa

um produto de n fatores igual ao número real a.

Assim, por exemplo: 1) 34_{= 3 . 3 . 3 . 3 = 81} 2) (-2)5= (-2) . (-2). (-2) . (-2) = -32 b a a a a b an

=

⇔

×

×

×

...

×

=

n vezes POTÊNCIA

a = BASE é o fator que se repete.

n = EXPOENTE indica quantas vezes a base se repetirá.

b = POTÊNCIA é o resultado da operação a) 24₌ b) 06₌ c) (–6)2₌ d) (–7)3₌ e) (+1)30₌ f) (-10)3₌ BASE EXPOENTE

3) 216 1 6 1 . 6 1 . 6 1 6 1 3 − =           −           −           − =           − 4) (-1, 4)2_{= (-1, 4) . (-1, 4) = +1,96} 5) 101 _{= 10} Observe que: -22= - (2 . 2) = - 4 e (-2) . (-2) = + 4 Assim, - 2 2 _≠ (- 2)2. Propriedades

Dado um número real a, não nulo, e sendo m e n dois números naturais, então, am .an = am+n.

Exemplo: 4 3 3 2 3 2 . 3 2           =                     ou 3 1 3 2 +           .

Dado um número real a não nulo, e sendo m e n dois números naturais, então am ÷an = am−n

Exemplos: 2 3 3 2 3 2 3 2           =           ÷           ou 1 3 3 2 −          

Dado um número real a, não nulo, e sendo m e ndois números naturais, então (am)n = am.n.

Exemplos: 10 2 5 2 ) 2 ( = ou 25.2 12 3 4 4 3 4 3 _          =                   ou 3 . 4 4 3           Dada a potência n b a . )

( ou (a÷b)n, sendo a e bdois números reais não-nulos e n um número natural

diferente de 0, temos: n b a . ) ( =a .n bn ou (a÷b)n = an ÷bn Expoente zero

Para todo número real a, com a ≠ 0, temos a0 =1.

Exercícios

1º) Determine o valor de: a) 0

5 b) −50 c) (−5)0 d) −(−5) 0

2º) Qual é o valor numérico da expressão - ₅0 _{+ 3}0 ₋₍₋₄₎0_?

3º) Qual é o valor numérico da expressão 0

) 17 , 0 ( 25 1 ₊ ?

Potência de um número real com expoente inteiro negativo

Para todo número real a,com a ≠ 0, temos 1 1. a a− =

Para todo número real a,com a ≠ 0, temos 1 1 ,

n n n a a a           = = − _sendo

num número natural diferente de

zero. Exemplos: 1) 25 1 5 1 5 2 2 _{ =}          = − ₂₎ 16 1 2 1 ) 2 ( 4 4 _{ =}          − = − − ₃₎ 64 343 4 7 7 4 3 3 − =           − =           − −

Propriedades das potências com expoente inteiro

As mesmas propriedades estudadas para as potências com expoentes naturais valem também para as potências com expoentes inteiros e base real não-nula.

Exercício

1º) Transforme numa só potência:

a) 9 6

7 .

7 − b)10−9 .10.105 c) 83 .8−6 d)  x3 . x−5 .x4 e) a8 .a−8 .a−1

2º) Transforme numa só potência: a) 1 4

) 6

( − b) (106)−2 c) (5−1)−3 d) ( x6)−2

3º) Transforme em um produto de potências:

a) 2 ) 11 . 5 ( − b) (3.102)−1 c) (2−4 .54)−2 d) ( x6)−2

4º) Qual é a forma mais simples de escrever cada uma das seguintes expressões, sendo  xum número real

não-nulo? a) 2 3 2           −  x  x b) 3 1 ) . ( x−  x − c) ( xn+1. x2−n)−2

Potência com expoentes racionais

A expressão n,

m

a com a∈ R_+, m∈ Z , n∈Z *+, que representa n am, ou seja: n n m.

m a a = Exemplos: 3 5 3 5 2 2 = 2 1 5 5 = 3 ₁₀2 ₈ 5 8 ₃5 _{= 3}

As mesmas propriedades que já estudamos para expoentes inteiros valem para as potências com expoentes fracionários.

Exercício:

1º) Escreva na forma de potência com expoente fracionário os seguintes radicais:

a) 3 2 7 b) 5 104 c) 3 72 d) 25 e) 6 _{2 f)} 9 5 g) 11 h) 4 23

Potência de base 10

Escrever o número 0, 0000001 na forma de potência de 10. 0, 0000001 = 000 000 10 1 = 7 7 10 10 1 ₌ − Exercício

1º) Escrever os números como potência de base 10.

a) 0,001 b) 10000 c) 0,00001 d) 1000000 2º) Simplificar a expressão 3 ₁ 4 ₄ 9 10 . 10 . 3 10 . 10 . 10 . 12 − − − . Exercício

1º) Escreva cada um dos seguintes números na forma de um produto de dois fatores, sendo um dos fatores um número inteiro maior que 1 e menor que 10, e o outro uma potência de 10:

a) 700 b) 0,06 c) 0,00007 d) 0,002

e) 0,000009 f) 0,5 2º) Calcule o que se pede.

a) (3/4)3_{= b) (3/4 )} -3_{= c) 12}0 _{= d) (- 12 )}0 _{= e) ( 3,2 )}5 _{. ( 3,2 )}-4 ₌

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A distância média da Terra ao sol é de 150.000.000Km. Como escrever essa distância usando a notação científica?

Na notação científica, um dos fatores deve ser maior que 1 e menor que 10, enquanto o outro fator deve ser uma potência de 10.

No caso, 15 foi dividido por 10 e, ao mesmo tempo, multiplicamos 10.000.000 por 10, para não alterar o número.

150.000.000 = 15 x 10.000.000 = = 1,5 . 100.000.000 = 1,5 . 108

Então a distância média da Terra ao sol é 1,5 . 10 8Km.

Exercícios Observe o texto:

“Rutherford imaginou o diâmetro do átomo estabelecendo relação com o diâmetro do núcleo. O diâmetro do átomo proposto seria 0, 00000001cm enquanto que o núcleo seria da ordem de 0, 000000000001 cm”.

De acordo com o texto lido, responda:

a) Como escrevemos o diâmetro do átomo em notação científica?

b) como escrevemos o diâmetro do núcleo do átomo em notação científica? c) Quantas vezes o diâmetro do átomo é maior que o diâmetro do núcleo? 01) Coloque os números abaixo na forma de notação científica

a) 0,00000126 b) 198,236

c) 0,0000050069

d) 165987564891,235674 9 (aproxime para duas casas decimais)

RADICIAÇÃO

Neste item, estudaremos a operação de radiciação de números reais.

A operação pela qual calculamos a raiz quadrada, a raiz cúbica, a raiz quarta, etc., de um número racional é chamada RADICIAÇÃO, que indicamos por:

OBS.: Não existe raiz de índice menor que dois, isto é, o índice só pode ser um inteiro positivo maior ou igual a dois (n

≥

2 ).

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Observe: Potenciação → Radiciação 72 _{= 49 ...} 2 49=7 23 _{= 8 ...} 3₈=₂ 34 _{= 8l ...} 4₈₁₌₃ Exemplos:

b

a

n

=

Nota: Quando o índice do radical é 2, não é necessário escrevê-lo.

LEITURA

O símbolo n a é lido de acordo com o índice (n) vejamos:

 Índice 2→ lê-se: raiz quadrada  Índice 3→ lê-se: raiz cúbica

 Índice 4, 5, 6 → lê-se: raiz Quarta, raiz Quinta, raiz sexta, etc.

Lê-se: raiz cúbica de 8. Lê-se: raiz quadrada de 49.

Lê-se: raiz quarta de 3.

a) 249= 49 b) 38 4 n é chamado de ÍNDICE. aé o RADICANDO. b é a RAIZ. e o símbolo é o RADICAL.

Em geral, temos que

(*) Note que: Em R, só é possível calcular raízes de índice par se, e somente se o número dado(radicando) é não negativo(positivo ou nulo).

Exemplos: a) 49=7, pois 72 =49 b) 38=2, pois 23 =8 c)481= pois3, 34 =81 d) , 7 9 49 81 = _pois 49 81 7 9 2₌           Observe que: Exercícios

14. Determine o valor de a

∈

Q , se possível, de modo que as igualdades abaixo sejam verdadeiras. a) 4 9 2 ₌ a b) 32 1 5 _{= −} a c) 27 8 3 _{= −} a

15. Calcule a raiz, se possível:

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

01) O valor da expressão: (-2 + 3) . (-3 -1)2_{- [(-4 -3)}2 _{: (-6 -1)] é :} (a) 12 (b) 23 (c) 32 (d) 14 (e) 8 02) O valor da expressão: {(- 1) 3_{+ 2 x[2}5_{+ 6: (- 3) ] }: (2)}– 2_é: a) 14,75 b) -120

Extrair a raiz de um número a é encontrar a base b para a potência, cujo expoente é o índice

n da raiz e o resultado é igual ao radicando( a ), isto é n a

=

b

⇔

bn

=

a

e)

−

49 R

∉

, pois ( )* f) 3 −8=−2, pois ( )−23 =−8 g) , 2 1 32 1 5 − =− _pois 32 1 2 1 5 − =           − h) 0,04=0,2;pois ( )0,22 =0,04 e) 3 − = 64 125 f) 4 = 16 81 c) 3 − = 8 1 d) − = 81 16 a) = 49 36 b) 3 − = 27 64

Para calcular a raiz de números fracionários, extraímos a raiz do numerador e também a raiz do denominador, isto é: _n n n b a b a =

c) -236 d) 120 e) 236 03) O valor da expressão: {(- 2) 3_{+ 4 x[3}2_{+ 8: (- 2) ] }: (- 1)}5 a) - 12 b) - 9 c) 13 d) 11 e) 10

UNIDADE DE MEDIDAS

Unidades de Medida de Comprimento

A unidade fundamental de comprimento é o metro.

Vejamos, no quadro abaixo, tabela com os múltiplos e submúltiplos do metro, com seus respectivos símbolos e equivalência em relação a unidade fundamental.

MÚLTIPLOS UNID. FUND. SUBMÚLTIPLOS

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam M dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1 0,1 m 0,01 m 0,001 m

 Note que, cada unidade de medida de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente

inferior. Mudança de Unidade Multiplica por 10 Km hm dam m dm cm mm Divide por 10 Exemplos: Converter: a) 12,35 m em km = 12,35: 1000 = 0,01235 km b) 6,25 km em hm = 6,25 x 10 = 62,5 hm c) 0,23 hm em cm = 0,23 x 10.000 = 2300 cm d) 0,125 m em dam = 0,125: 10 = 0,0125 dam

Unidades de Medida de Superfície

A unidade fundamental de comprimento é o metro quadrado.

MÚLTIPLOS UNID. FUND. SUBMÚLTIPLOS

quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado

km2 _hm2 _dam2 _m2 _dm2 _cm2 _mm2

1000000 m2 _{10000 m}2 _{100 m}2 _{1 0,01 m}2 _{0,0001 m}2 _{0,000001 m}2

 Note que, cada unidade de medida de comprimento é 100 ou (10 2) vezes maior que a unidade

imediatamente inferior. Mudança de Unidade Multiplica por 102 km2 _hm2 _dam2 _m2 _dm2 _cm2 _mm2 Divide por 102 Exemplos: Converter: a) 12,35 m2_{em km}2_{= 12,35: 1.000.000 = 0,00001235 km} b) 6,25 km2_{em hm}2_{= 6,25 x 100 = 625 hm} c) 0,23 dam2 _{em cm}2 _{= 0,23 x 1.000.000 = 230000 cm} 2 d) 0,125 m2_{em dam} 2_{= 0,125 : 10 = 0,0125 dam}2

Unidades de Medida de Volume

A unidade fundamental de comprimento é o metro cúbico

MÚLTIPLOS UNID. FUND. SUBMÚLTIPLOS

quilômetro

cúbico hectômetrocúbico decâmetrocúbico cúbicometro decímetrocúbico centímetrocúbico milímetrocúbico

km3 _hm3 _dam3 _m3 _dm3 _cm3 _mm3

109_m3 ₁₀6_m3 ₁₀3_m3 _{1 10}-3_m3 ₁₀-6_m3 ₁₀-9 0

Multiplica por 103 _{Divide por 10}3

 Cada unidade de medida de comprimento é 1000 ou (103) vezes maior que a unidade imediatamente

inferior. Exemplos: Converter: a) 12,35 m3 em km3= 12,35 : 1.000.000.000 = 0,00000001235 km3 b) 6,25 km3em hm3= 6,25 x 1000 = 6250 hm3 c ) 0,23 dam3_{em cm}3_{= 0,23 x 1.000.000.000 = 230000000 cm} 3 d) 0,125 m3 _{em dam}3_{= 0,125 : 1000 = 0,000125 dam}3

Unidades de Medida de Massa

MÚLTIPLOS UNID. FUND. SUBMÚLTIPLOS

quilograma Hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg Hg dag g dg cg mg

1000 g 100 g 10 g 1 0,1 g 0,01 g 0,001 g

 Note que, cada unidade de medida de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente

inferior.

 A conversão entre as unidades de medidas é feita de maneira idêntica às unidades de comprimento.

Exercícios:

a) 12549g em dag b) 3289456mg em Hg c) 12Kg em cg

d) 12000 dag em g

Unidades de Medida de Capacidade

A unidade fundamental de comprimento é o litro.

MÚLTIPLOS UNID. FUND. SUBMÚLTIPLOS

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

Kl hl dal l dl cl ml

1000 l 100 l 10 l 1 0,1 l 0,01 l 0,001 l

 Cada unidade de medida de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.  A conversão entre as unidades de medidas é feita de maneira idêntica às unidades de comprimento.

Exercícios

a) 45,63 hl em dl b) 1,5698Kl em cl c) 985467,236dl em dal

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Grandeza Nome Símbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma Kg

Tempo Segundo s

Corrente elétrica Ampére A

Temperatura termodinâmica Kelvin K Quantidade de uma substância Mol Mol

RAZÃO

Chama-se razão entre dois números, ao quociente do primeiro pelo segundo, sendo o segundo diferente de zero.

Exemplos: a) A razão entre 5 e 10 é 5 / 10 que é igual a 1_{2( simplificando a razão)}

Em toda razão o 1º número é chamado ANTECEDENTE e o 2º número, CONSEQUENT E. Assim, na razão 3 / 2 , o número 3 é o antecedente e o número 2 é o conseqüente . A razão 3 / 2 lê-se ”3 está para 2” ou “3 para 2”

Note que a fração 3 / 2 (lê-se: “três meios”), enquanto que a razão 3/2 lê-se: (“3 está para 2” ou “ 3 para 2”).

Não confunda!

Razão entre duas grandezas de mesma espécie

É o quociente dos números que medem essas grandezas, numa mesma unidade. Exemplos:

a) A razão entre 2 cm e 5cm é: 2cm / 5cm = 2/5

b) A razão entre a altura do triângulo A e a do triângulo B é 7 cm/5cm = 7/5 Note que a ordem da razão é importante!

Se numa razão entre duas grandezas as unidades forem diferentes, devemos transformar uma delas, de modo que fiquem iguais.

Exemplo:

A razão entre 1200 cm e 5 m é 1200 cm / 5 m

Note que as grandezas (comprimento) não estão na mesma unidade de medida. Sendo assim devemos transformar uma delas, veja: 1200 cm = 12 m, logo 1200 cm / 5 m =

= 12 m / 5m = 12 / 5

Razão entre duas grandezas de espécies diferentes

A razão entre duas grandezas de espécies diferentes é obtida, calculando-se o quociente dos números que medem essas grandezas, conservando as unidades de medidas.

Exemplo 01

Um carro percorre 140 km em 2 horas(h). Calcule a razão entre a distância percorrida e o tempo. Solução: 140 km / 2 h = 70 km/h. Esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Exemplo 02

A densidade de uma solução é a relação entre a massa e o volume ocupado por ela. Calcula-se a densidade de uma solução dividindo-se sua massa por seu volume. As unidades mais utilizadas são:

 L Kg dm Kg  L g dm g mL g cm g /  3 =  /  ;  /  3 =  /  ;  /  3 =  /  IMPORTANTE: 

1L = 1000 mL

1L = 1 dm

3

_{= 1000 cm}

3

1º) Preparou-se uma solução de massa igual a 240g, resultando em uma solução com o volume igual a 205 mL. Determine a densidade da solução preparada em g/L e em g/ mL.

Resolução: d = m / v d = 240 / 205 d = 1,171g/mL

Observação: Para calcular a densidade em gramas por litro, deve-se fazer a conversão da unidade de volume: 1 L _─ 1000 mL x ── 205 Ml x = 205/1000 x = 0,205 L Assim: d = m / v d = 240 / 0,205 d = 1.171 g / L

2º) Qual é a massa de 2L de solução de ácido clorídrico (HCl) de densidade igual a 1, 198 Kg / L ? Resolução:

d = m / v OBS.: Como a densidade está em Quilogramas por Litro, a massa encontrada será em 1,198 = m / 2 quilogramas. m = 1,198 x 2 m = 2,4 Kg Exercícios 18. Determine a razão: a) 10 m e 15 m = b) 15 kg e 35 kg= c) 20 cm e 30 m = d) 5 kg e 2000 g = e) 160 km e 2 hm =

PROPORÇÃO

Proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões. Vejamos: Observe as razões 5 / 10 e 3 / 6 note que: 5 / 10 =

2

1 _{e 3 / 6 =} 2

1 _{logo, as razões 5 / 10 e 3 / 6}

são iguais.

Dizemos então que as razões 5 / 10 e 3 / 6 formam, nessa ordem, uma proporção que indicamos por: 5 / 10 = 3 / 6 - Lê-se: 5 está para 10 assim como 3 está para 6

De um modo geral, representamos uma proporção por

Lê-se: a está para b assim como ou c está para d.

Em toda proporção a e d são chamados EXTREMOS e b e c são chamados MEIOS Meios

Meios Extremos Extremos

Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (e vice-versa)

Meios Extremos

Exemplos:

a) 4 / 3 e 12 / 9 formam uma proporção, pois 4 x 9 = 3 x 12 b) 5 / 10 e 3 / 6 formam uma proporção, pois 5 x 6 = 10 x 3 c) 2 / 4 e 5 / 3 não formam uma proporção, pois 2 x 3 = 4 x 5 Exercícios

20. Utilizando a propriedade fundamental, verifique se as razões formam uma proporção.

Cálculo do termo desconhecido de uma proporção

Para descobrir (calcular) o valor do termo desconhecido numa proporção, aplicamos a propriedade fundamental, em seguida resolvemos a equação. Vejamos:

Calcular o valor de x nas proporções abaixo:

Aplicando a propriedade fundamental 10.x = 5 . 6

d 

c

b

a

=

a : b = c : d

d 

c

b

a

=

_{a : b = c : d}

d 

c

b

a

=

_{a⋅d = b⋅c} 4 10 2 5 e 5 20 3 12 e a) b)

a) 5  x _e 10 6 10 x = 30 x = 30 / 10 x = 3 Aplicando a propriedade fundamental 14.x = 35 . 6

b) 6  x _e 14 35 14 x = 110 x = 210 / 14 x = 15 Exercícios

21. Calcular o valor do termo desconhecido, nas proporções abaixo: a) 5 / 8 = 15 / x

b) 3 / 7 = 60 / z c) 7/ w = 42 / 36 d) 6 / k = 3 / 5

Propriedades das proporções

Primeira propriedade

Em toda proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o quarto).

c d  c a b a d  c b a _{= ⇒} + ₌ + _ou d  d  c b b a + ₌ + c d  c a b a d  c b a _{= ⇒} − ₌ − ou d  d  c b b a− ₌ − Segunda propriedade

Em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.

b a d  b c a d  c b a ₌ + + ⇒ = ou d  c d  b c a ₌ + + b a d  b c a d  c b a = − − ⇒ = ou d  c d  b c a = − −

Vamos aplicar essas propriedades na resolução de problemas, observando os seguintes exemplos: 1º) Determinar  x e  y na proporção

4 3 =  y  x , sabendo-se que  x+ y = 28 4 3 =  y  x

Aplicando a primeira propriedade vem;

7 4 3+ _⇒ + ₌ = + y  x  y  x

como  x+ y = 28, logo

3 7 28 ₌

 x

Aplicando a propriedade fundamental

16 12 28 28 12 28 = − = = + = +  y  y  y  y  x Logo, x =12 e  y =16.

2º) A diferença entre dois números é 20. Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e 3, determinar esses números.

Vamos indicar por  x e  y os dois números.

A diferença entre os números  x e  y indicamos por  x− y = 20  x e  ysão proporcionais a 4 e 3

3 4 = ⇒  y  x

Aplicando a primeira propriedade vem;

3 1 4 3 4 = − ⇒ − = −  x  y  x  x  y  x como  x− y = 20, logo 3 1 20 ₌  x

Aplicando a propriedade fundamental

60 60 80 20 20 80 20 = − = − − = − = − = −  y  y  y  y  y  x Logo, x =80 e  y = 60.

3º) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele precisar de 24λ dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

Vamos indicar a quantidade de tinta branca por  x e a quantidade de tinta cinza por  y.

Quantidade total de tinta:  x+ y = 24

Razão 5 para 3: 3 5 =  y  x 12 7 84 84 7 28 3 7 = = = ⋅ = ⋅  x  x  x 80 80 1 20 4 1 = = ⋅ = ⋅  x  x  x

5 8 5 3 5 = + ⇒ + = +  x  y  x  x  y  x 24 = + y  x  x+ y = 24 5 8 24 =  x ⇒ _{8⋅ x = 5⋅24 15+ y = 24} ⇒ _{y = 24−15} 120

8 x =  y = 9(tinta cinza)

8 120 =  x 15 =  x ( tinta branca )

Ele irá utilizar 15λ de tinta branca e 9λ de tinta cinza. Exercícios:

1º) Determine  xe  y na proporção , 3 5 =  y  x sabendo que  x+ y = 32.

2º) Para fazer limonada, misturamos suco de limão com água na proporção de 2 para 9. Quantos litros de suco de limão e de água serão necessários para fazer 5,5 litros de limonada?

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

 O tempo que se gasta numa viagem depende da velocidade do veículo.

 A nota que um aluno tira numa prova depende do número de questões que ele acerta.  A quantidade de tinta que se gasta para fazer uma pintura depende da área a ser pintada.

Em todas essas situações, você observa que existem grandezas que variam, uma dependendo da outra. Essas grandezas, que se relacionam entre si, são chamadas grandezas variáveis dependentes.

Grandezas diretamente proporcionais

Consideremos a seguinte situação:

Numa mola presa a um teto por uma de suas extremidades, são pendurados corpos de massas diferentes. A seguir, medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpo nela colocado, pode-se organizar a seguinte tabela:

Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm)

10 50

20 100

30 150

Pela tabela você pode notar que:

 Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica.  Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... e assim por diante.

Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são diretamente proporcionais.

Consideremos a seguinte situação:

Uma professora tem 48 livros para distribuir igualmente entre seus alunos. Se ela distribuir entre apenas dois alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ela distribuir igualmente entre quatro alunos, cada um deles receberá 8 livros. Vamos observar esses dados no quadro seguinte:

Número de alunos escolhidos Número de livros distribuídos a cada aluno

2 24

4 12

6 8

Pela tabela você pode notar que:

 Se o número de alunos duplica, o número de alunos cai para a metade.  Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.

Nessas condições, as duas grandezas envolvidas (quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que serão distribuídos a cada aluno) são chamadas grandezas inversamente proporcionais.

Dai temos:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro.

Exercício:

1º) A tabela abaixo relaciona a produção (em unidades) de uma máquina com o tempo de funcionamento dessa máquina. Observando a tabela, responda:

Tempo Produção 4 horas 600 10 horas 1 500 a) Quando o tempo passa de 4 horas, ele varia em que razão?

b) Quando a produção passa de 600 unidades para 1 500 unidades, ela varia em que razão? c) As razões são iguais ou inversas?

d) A produção e o tempo de funcionamento de uma máquina são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

2º) Um ônibus faz o percurso da praça Central até a praça de um bairro . Um fiscal anotou a velocidade do ônibus e o tempo que ele gastou no percurso de ida e volta. A tabela seguinte mostra esses dados:

Velocidade Tempo 60 km / h 80 min 50 km / h 96 min Nessas condições, responda:

a) Quando a Velocidade passou de 60 km / h para 50 km / h, ela variou em que razão? b) Quando o tempo gasto no percurso passou de 80 min, ele variou em que razão? c) As razões são iguais ou inversas?

d) A velocidade do ônibus e o tempo que lê gastou para fazer o percurso são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

3º) Verifique se as grandezas envolvidas nos seguintes itens são diretamente ou inversamente proporcionais: a) A medida do lado e o perímetro de um quadrado.

b) A distância percorrida e o tempo gasto para percorrer essa distância, com a mesma velocidade. c) A vazão de uma torneira e o tempo necessário para encher um tanque de água.

d) O número de tijolos e a área de um muro que se quer levantar.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2_{, uma lancha com motor movido a energia}

solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2_{, qual será a}

energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2_{) Energia (Wh)}

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Área (m2_{) Energia (Wh)}

1,2 400

1,5 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

500 12 15 400 2 , 1 5 , 1 400 5 , 1 400 2 , 1 400 5 , 1 2 , 1 _{= ⇒ = ⋅ ⇒ =} ⋅ _{⇒ =} ⋅ _{⇒ =} x  x  x  x  x

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x 5 , 2 480 1200 400 3 480 400 480 3 _{= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =} x  x  x  x

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

PORCENTAGEM

Porcentagem é uma fração centesimal representada pelo símbolo % (por cento)

Fração centesimal

Uma fração cujo denominador é 100 é denominada fração centesimal.

Exemplos: , . 100 201 , 100 40 , 100 32 , 100 7 etc

É claro que as frações centesimais (como qualquer fração) podem ser representadas por numerais decimais, assim: Exemplos: 0,07 100 7 = ; 0,32 100 32 = ; 0,40 100 40 = ; 2,01 100 201 = etc.

Taxa porcentual

Toda fração centesimal pode ser representada na forma percentual, isto é, usando o símbolo % (lê-se: por cento), denominado taxa porcentual.

Exemplos: 7% 100 7 = ; 32% 100 32 = ; 40% 100 40 = ; 201% 100 201 = etc. Exercícios:

22. Represente as frações na forma de taxa porcentual: a) 100 30 b) 100 150 c) 100 100 d) 25 4 e) 8 6

23. Represente na forma de fração centesimal, em seguida, obter a fração irredutível:

a) 25% b) 75% d) 50% e) 250% f) 2,3%

Exemplos

Para resolver problemas que envolvem porcentagem, duas formas podem ser utilizadas. Uma é transformando a taxa porcentual em fração centesimal, a outra é por uma regra de três simples e direta. Exemplo 1: Calcular 20% de R$: 800,00

Transformando a taxa percentual em fração (lembre-se "de" = ×)

20% de 800 = × = =160 ⇒ 10 1600 800 100 20 R$: 160,00 Logo, 20% de R$ 800,00 é igual a R$: 160,00.

Exemplo 2: Numa turma de informática, há 18 homens que representam 40% do total de alunos. Quantos alunos têm essa turma?

(1a _{forma): Representando o número de alunos da turma por  x, e montando a equação, temos:}

40% de  x=18 45 4 180 180 4 18 100 40 _{⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =} ⇒  _{x  x  x x alunos.}

(2a _{forma): Utilizando uma regra de três simples e direta  x representa 100% dos alunos, isto é, o total de}

alunos, então:

Exercícios:

24. Uma peça cujo peso é 36,5kg deve ser feita de uma liga de cobre, estanho e zinco. Quanto de cada metal será preciso, se a liga deve conter 96% de cobre, 3% de estanho e 1% de zinco?

25. Uma peça teve seu preço aumentado em 10% e assim passou a custar R$ 1.320,00. Qual era o preço da peça?

26. Calcule:

a) 8% de 500 b) 15% de 240 c) 20% de R$ 350,00

CÁLCULO ALGÉBRICO

Expressões algébricas

Uma expressão matemática que contém números e letras, ou somente letras é chamada de expressão algébrica. Assim, são exemplos de expressões algébricas:

Taxa Alunos 40 100 18 x 45 4 180 180 4 18 100 40 _{= ⇒ = ⇒ = ⇒ =} x  x  x  x alunos

a

4 −3b  x5 +4 y

Numa expressão algébrica, as letras que geralmente representam números reais são chamadas de variáveis.

Valor numérico

O valor de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando:

 Substituímos todas as variáveis da expressão pelos seus respectivos valores dados.  Efetuamos as operações indicadas na expressão.

Exemplos:

1) Calcular o valor numérico da expressão 3a −2b,quando a = 5 e b = −3. 21 6 15 ) 3 ( 2 5 3 2 3a− b → ⋅ − ⋅ − = + =

2) Determinar o valor numérico da expressão algébrica , 1 5 2 5 3 2 − + −  x  x  x quando  x = −1. 1 2 2 1 1 5 2 5 1 1 5 1 2 ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 ( 5 1 5 2 5 3 2 3 2 ₌ − − = − − + − − = − − + ⋅ − − ⋅ = − − + − ⋅ − − ⋅ → − + −  x  x  x Observação

Como não existe divisão por zero, é impossível encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica nas quais os valores atribuídos à variável anulam o denominador da expressão. Assim:

 Não é possível calcular o valor numérico da expressão ,  y  x

quando  y = 0.

 Não é possível encontrar o valor numérico da expressão , 2 3 − + a a quando a = 2

 Não é possível encontrar o valor numérico da expressão

b a−

5

toda vez que a = b

Exercício:

1º) Usando as letras a e b para indicar dois números reais, represente algebricamente cada uma das frases

seguintes.

a) A soma de dois números reais

b) A diferença entre dois números reais c) O produto de dois números reais

d) O quadrado da soma de dois números reais e) O cubo da diferença entre dois números reais f) A diferença entre dois números reais

2º) Calcule o valor numérico de:

3º) Quanto tempo leva um objeto abandonado de certa altura para atingir o solo? Conhecendo-se a altura h

em que se encontra esse objeto em relação ao solo, podemos encontrar o tempo t  procurado usando a

fórmula: 9 , 4 h t =

A altura h é dada em metros e o tempo t , em segundos. Use essa fórmula para calcular o tempo que leva

para chegar ao solo uma pedra que cai de uma altura de 19,6m.

4º) Para calcular a média bimestral de seus alunos, um professor adota os seguintes critérios: multiplica o resultado da nota da prova 3, soma esse resultado com a nota de um trabalho multiplicada por 2 e divide a soma encontrada por 5. Representando a média bimestral por  M , a nota da prova por P e a nota do

trabalho por T , encontre:

a) A fórmula matemática que permite encontrar a média bimestral de cada aluno. b) A média bimestral de um aluno que tirou 7 na prova e 5 no trabalho.

5º) A remuneração mensal  M  de cada vendedor de certa empresa é composta por um salário fixo de R$

350,00 e mais 4% do valor das vendas realizadas pelo vendedor durante o mês  x.

a) Qual a fórmula matemática que expressa o ganho mensal de cada vendedor dessa empresa? b) Quanto vai receber um vendedor que realizou vendas de R$ 40 000,00 num certo mês?

PRODUTOS NOTÁVEIS

O quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos a e b , é indicado por (a+b)2.

Como (a +b)2 = (a+b)⋅(a +b), temos: 2 2 2 ) (a+b = a +ab+ ab+b Então: 2 2 2 2 ) (a+b = a + ab+b Exemplos: 1) ( x+3)2 = x2 +2⋅ x⋅3+32 = x2 +6x+9 2) 2 2 2 2 2 9 1 3 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 3 1 2 1 q  pq  p q q  p  p q  p  = + +          +           ⋅           ⋅ +           =           +

O quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos , a e b é indicado por (a −b)2.

Como (a−b)2 = (a−b)⋅(a−b), temos: 2 2 2 ) (a−b = a −ab−ab+b Então: 2 2 2 2 ) (a−b = a − ab+b Exemplos:

1)( x−5)2 = x2 −2⋅ x⋅5+52 = x2 −10x+ 25 2) 6 3 2 2 3 2 3 2 3 9 1 3 2 3 1 3 1 2 ) ( 3 1 b b a a b b a a b a  = − +          +           ⋅ ⋅ − =           −

O produto da soma pela diferença

O produto da soma pela diferença de dois termos, a e b , é indicado por (a+b)⋅(a −b).

Vamos desenvolver essa expressão:

Então:_{(a+b)⋅(a−b) = a}2 _−ab+ab−b2 2 2 ) ( ) (a+b ⋅ a−b = a −b Exemplos: 1)( x+4)⋅( x−4) = x2 −42 = x2 −16 2) ₍₁ 4_{) (1} 4_{) 1}2 ₍ 4₎2 ₁ 8 x  x  x  x ⋅ + = − = − −

FATORAÇÃO

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores. Se todos os fatores são números primos, temos a forma mais completa do número.

Exemplo: Fatorar o número 462. 462 2 Então: 231 3 462=2 . 3 . 7 . 11 77 7 11 11 1

Analogamente, podemos dizer que fatorar um polinômio significa escrevê-lo como uma multiplicação de polinômios, o mais simples possível.

Fator comum

Alguns polinômios apresentam um ou mais fatores comuns a todos os seus termos. Veja os exemplos: 1) 4 x+4y → fator comum: 4

2) 20a +40b = 5⋅4⋅a +2⋅5⋅4⋅b → fatores comuns: 5 e 4

Fatoração pela colocação do fator comum em evidência