Prof. Oscar
Prof. Oscar
Centr
Centr
o de Massa
o de Massa
e Momento Linear
e Momento Linear
(Colisões)
(Colisões)
Capitulo 9
Mesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um pontoMesmo quando um corpo gira ou vibra, existe um ponto
nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da nesse corpo, chamado centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocar
mesma maneira que se deslocaria uma única paria uma única partícula,tícula, com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de com a massa deste corpo e sujeita ao mesmo sistema de forças que ele.
forças que ele.
O centro de massa O centro de massa
U
Ummaa bboollaa aarrrreemmeessssaaddaa ppaarraa c
ciimmaa sseegguuee uummaa ttrraajjeettóórriiaa p
paarraabbóólliiccaa,, oo cceennttrroo ddee m
maassssaa ddee umum ttaaccoo ddee b
beeiisseebbooll llaannççaaddoo ppaarraa cciimmaa c
coomm uumm mmoovviimmeennttoo ddee rroottaaççããoo ttaammbbéémm mmaaiiss ooss o
ouuttrrooss ppoonnttooss ddoo ttaaccoo s
seegguueemm ttrraajjeettóórriiaass mmaaiiss complexas.
complexas.
O centro de massa
O centro de massa
Vamos definir inicialmente a posição x Vamos definir inicialmente a posição x
cm
cmdo centro de massado centro de massa
para um sistema composto de duas par
para um sistema composto de duas partículas de massastículas de massas mm11 e me m22 ee que ocupam as posições x
que ocupam as posições x11 e xe x22..
Sistema
Para um sistema de N corpos dispostos ao longo de uma linha reta,
Para a definição do centro de massa de um sistema de N partículas
distribuídas em um plano podemos, por analogia com as definições
anteriores, considerar que:
Sistema de partículas Duas
dimensões
1. Quais são as coordenadas do centro de massa das três partículas que aparecem no desenho a seguir? A unidade das distâncias é o metro.
O termo Quantidade de Movimento tem um significado
único e preciso em física. A quantidade de Momento Linear de uma partícula é um vetor , definido como Q.
Q mv
Em muitos livros o momento linear é representado pelo vetor P.
A taxa de variação com o tempo da quantidade de
movimento de uma partícula é igual à força resultante que atua sobre a partícula e possui a mesma direção e o mesmo sentido dessa força.
res
dQ
F
dt
Momento Linear
(
)
resdQ d
dv
F
mv
m
ma
dt dt
dt
Considere agora um sistema de n partículas, cada uma com sua própria massa,
velocidade e quantidade de movimento linear. As partículas podem interagir uma com as outras, e forças externas também podem agir sobre elas. O sistema como um todo possui uma quantidade de movimento linear Q , que é definida como a soma vetorial das quantidades de movimentos lineares das partículas individuais.Assim,
1 2 3
...
nQ Q Q Q
Q
A Quantidade de Movimento Linear de um
Sistema de Partículas
.
...
3 3 2 2 1 1v
m
v
m
v
m
nv
nm
Suponha que a força externa resultante que atua sobre um sistema
de partículas seja nula (que o sistema seja isolado) e que não haja partículas saindo nem entrando no sistema (que o sistema seja fechado).
0
res
F
0
d Q
dt
Conservação da Quantidade de Movimento
Linear
Q
= constante (sistema isolado, fechado). Este resultado é chamado de lei de conservação da
quantidade de movimento linear. Ela também pode ser escrita como
i
f
Q
Q
(sistema isolado, fechado)
(quantidade de movimento linear total em algum instante inicial ti) = (quantidade de movimento linear total em algum instante posterior tf ).
Conservação da Quantidade de Movimento
Linear
2.
direção a um pátio de manobra. Ao passar por um silo de alimentação, 2000kg de grão caem subitamente no interior do vagão. Quanto tempo será gasto pelo vagão para percorrer uma distância de 500m a partir do silo em direção ao pátio? Admita que os grãos caiam na direção vertical e que a leve desaceleração devida ao atrito por rolamento ou a resistência do ar seja desprezível.
Exemplo 2:
3. Uma urna de votação com massa m=6.0 kg desliza com velocidade v=4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente ela explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa 4kg se desloca no sentido positivo do eixo x com velocidade 2 m/s. Qual a velocidade do
segundo pedaço, de massa 2kg?
Uma colisão é um evento
solado no qual dois ou mais corpos (os corpos que colidem) exercem uns sobre os outros forças relativamente elevadas por um tempo relativamente curto.
Devemos ser capazes de distinguir instantes que estão
antes, durante e depois de uma colisão.
d Q
F
dt
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
Q
F
t
( )
dQ F t dt
Q F t
( )
f f i i Q t QdQ
tF t dt
Impulso e Quantidade de Movimento Linear
Q F t
( )
f i t tI
F t dt
Definição Impulso medI
F
t
4. Com um golpe de caratê, você pode quebrar um bloco de concreto. Considere que sua mão possua uma massa de 0,70kg e se mova a 5,0m/s quando atinge o bloco, e pára a 6mm do ponto de contato. (a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre a sua mão? (b) Qual é o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce sobre sua mão?
boneco (80kg) instrumentado para testes de impacto colide com uma parede rígida a 25m/s. estime a força que o cinto de segurança exerce sobre o boneco durante o impacto. Admita que o carro e o boneco tenham se movimentado 1m após a parte frontal ser completamente destruída.
Exemplo 5:
6. Uma bola de beisebol de 150 g, lançada com uma velocidade de 40 m/s é rebatida para o arremessador na mesma direção em que chegou com uma velocidade de 60m/s. Qual a intensidade da força média que o bastão exerce sobre a bola se o bastão estiver em contato com a bola por 5,0 ms?
7. Uma bola de 1,2 kg cai na vertical sobre um piso, acertando-o com uma velocidade de 25m/s. Ela ressalta com uma velocidade inicial de 10m/s. (a) Que impulsão atua sobre a bola durante o contato? (b) Se a bola estiver em contato com o piso por 0,020 s, qual a intensidade da força média que a bola exerce sobre o piso.
8. É bem sabido que balas e outros
objetos disparados no Super-Homem simplesmente voltam ao bater no seu peito (Fig.). Suponha que um gângster dê uma rajada no peito do Super-Homem com balas de 3 g a uma taxa de 100 balas/mim e que a velocidade de cada bala seja de 500 m/s. Suponha também que as balas voltem na mesma direção sem mudar de velocidade. Qual a intensidade da força media que o fluxo de balas exerce sobre o peito do Super-Homem?
Colisão Elástica Colisão Inelástica
Quantidade de Movimento e Energia Cinética
em Colisões
Em um sistema isolado e fechado, contendo uma colisão, a
quantidade de movimento linear de cada corpo que colide pode variar, mas a quantidade de movimento linear total Q do sistema não pode variar, seja a colisão elástica ou inelástica.
1i 2i 1 f 2 f
Q Q Q Q
(conservação da quantidade de movimento linear).
Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
Colisão Unidimensional
f f i im
v
m
v
m
v
v
m
1 1
2 2
1 1
2 21 i
0
1 f 2 fQ
Q
Q
Colisão Completamente Inelástica
V
m
m
v
m
1 1i
(
1
2)
V
m
V
m
v
m
1 1i
1
2 . 1 1 iv
m
m
m
V
Juntos após a colisão9. Um projétil de 10g de massa atinge um pêndulo balístico de 2kg de massa. O centro de massa do pêndulo eleva-se de uma altura de 12cm.
Considerando-se que o projétil permaneça embutido no pêndulo, calcule a velocidade inicial do projétil.
10. Você repete a proeza do exemplo anterior, mas agora com uma caixa vazia como alvo. O projétil atinge a caixa e a atravessa completamente. Um sensor a laser indica que o projétil emergiu com metade de sua velocidade inicial. Sabendo disso, você corretamente revela até que altura o alvo oscilou. Que altura é essa?
11. Um carro de 2000kg, movendo-se a 25m/s, colide com outro carro de 1500kg inicialmente em repouso. Se a colisão é perfeitamente
inelástica, determine (a) a velocidade de cada um dos carros após a
colisão e (b) a razão entre a energia cinética final do sistema e sua energia cinética inicial.
(
(energia cinética total antes da colisão) = (energia cinética total depois da
colisão)
Em uma colisão elástica, a energia cinética de cada corpo que colide pode
variar, mas a energia cinética total do sistema não pode variar.
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
(quantidade de movimento linear)
(
) f f i m v m v v m1 1
1 1
2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 f f i m v m v v m (energia cinética) reescrevemos f f iv
m
v
v
m
1(
1
1)
2 2.
)
)(
(
1 1 1 1 2 22 1v
iv
fv
iv
fm
v
fm
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Após dividirmos uma equação pela outra e um pouco de álgebra obtemos:
(
) i fv
m
m
m
m
v
1 2 1 2 1 1
. 1 2 1 1 22
i fv
m
m
m
v
Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Vamos considerar uma partícula de massa m1 e velocidade v 1 se
deslocando em direção de uma outra partícula de massa m2 que se encontra em repouso.
12. Os dois blocos da figura a seguir deslizam sem atrito. a) Qual a velocidade do bloco de m1 = 1,6kg após a colisão?
b) A colisão é elástica?
13. Uma bola de aço de 0,5kg de massa é presa a uma corda, de
70cm de comprimento e fixa na outra ponta, e é liberada quando a corda está na posição horizontal. No ponto mais baixo de sua trajetória, a bola atinge um bloco de aço de 2,5kg inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A colisão é elástica. a) Encontre a velocidade da bola imediatamente após a colisão.
b) Encontre a velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
14. Uma bola de 300g com uma velocidade v = 6m/s atinge uma parede a uma ângulo θ = 300 e, então, ricocheteia com mesmo ângulo e velocidade de mesmo módulo. Ela fica em contato com a parede por10ms .
a) Qual foi o impulso sobre a bola? b) Qual a força média exercida pela
bola sobre a parede?
Você está dirigindo um carro de 1200kg, viajando para o leste em um
cruzamento quando um outro veículo de 3000kg, viajando para o norte, atravessa o cruzamento e bate em seu carro(veja figura). Seu carro e outro permanecem grudados após a colisão. Verifique se seu carro estava acima da velocidade permitida que é 80km/h, sabendo que não houve marcas de freada, e o caminhão ficou com o velocímetro preso na indicação de 50km/h, e que os dois deslizam a 590 ao norte do leste ?
