Raquel Quadros Velloso. Simulação Numérica de Problemas de Acoplamento Fluidomecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos

(1)

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erica de Problemas de

Acoplamento Fluidomecˆ

anico em Meios

Porosos Utilizando o M´

etodo dos Elementos

Discretos

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós–gradua¸cão em Engenharia Civil da PUC–Rio como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Civil

Orientador: Prof. Eur´ıpedes do Amaral Vargas Jr.

Rio de Janeiro Maio de 2010 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(2)

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erica de Problemas de

Acoplamento Fluidomecˆ

anico em Meios

Porosos Utilizando o M´

etodo dos Elementos

Discretos

Tese apresentada como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor pelo Programa de Pós–gradua¸cão em Engenharia Civil da PUC–Rio. Aprovada pela Comiss¸cão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Eur´ıpedes do Amaral Vargas Jr. Orientador Departamento de Engenharia Civil — PUC–Rio

Dr. Antˆonio Cl´audio Soares

CENPES/Petrobras

Dr. Armando Prestes Departamento de Engenharia Civil/PUC–Rio

Dr. Luis Carlos Baralho Bianco Chevron Energy Technology Company

Prof. M´arcio da Silveira Carvalho

Departamento de Engenharia Mecˆanica/PUC–Rio

Prof. Jos´e Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro T´ecnico Cient´ıfico — PUC–Rio

Rio de Janeiro, 28 de Maio de 2010

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(3)

Raquel Quadros Velloso

Ficha Catalogr´afica

Velloso, Raquel Q.

Simula¸cão Numérica de Problemas de Acoplamento Flui-domecânico em Meios Porosos Utilizando o Método dos Elementos Discretos / Raquel Quadros Velloso; orientador: Eur´ıpedes do Amaral Vargas Jr.. — 2010.

94 f: il. (color.) ; 30 cm

1. Tese (doutorado) - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2010

Inclui bibliografia.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Método dos Elementos Dis-cretos. 3. Método de Lattice-Boltzmann. 4. Dano Mecânico de Forma¸cão. 5. Produ¸cão de Sólidos. I. Vargas Jr., Eur´ıpedes do Amaral. II. Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Ja-neiro. Departamento de Engenharia Civil. III. T´ıtulo.

CDD: 624 PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(4)

Agrade¸co ao Vargas pela orienta¸c˜ao, apoio e incentivo sem os quais eu n˜ao teria conclu´ıdo este trabalho.

Agrade¸co à minha mãe que sempre faz tudo ficar mais fácil e ao meu pai por ter financiado meus estudos por tanto tempo.

Agrade¸co à Flavia, ao João, ao Eduardo, à Tatiana, ao Fábio, à Vanessa, ao Maur´ıcio, ao Bê, ao Bruno e à Tessa que compreenderam e suportaram minha preocupa¸cão e meu mau humor durante este longo per´ıodo. E à tia Elisa que eu sei que mesmo de longe está sempre torcendo e rezando por mim. Agrade¸co ao Antônio Claudio Soares que sempre incentivou meu trabalho desde antes do mestrado, ao Silvestre pelas conversas e por sempre ter (e emprestar) todos os livros que alguém precise, e ao Luis Arnaldo pelas discussões sobre o DEM.

Agrade¸co à Rita e à Fátima do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio por terem sempre ajudado e resolvido, com simpatia e bom humor, meus problemas burocráticos na PUC-Rio.

Agrade¸co ao CNPq pelo suporte financeiro.

(5)

Velloso, Raquel Q.; Vargas Jr., Eur´ıpedes do Amaral. Simula¸c˜ao

Num´erica de Problemas de Acoplamento Fluidomecˆanico

em Meios Porosos Utilizando o M´etodo dos Elementos

Dis-cretos. Rio de Janeiro, 2010. 94p. Tese de Doutorado — Depar-tamento de Engenharia Civil, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro.

Esta pesquisa é motivada, principalmente, por problemas da geomecânica do petróleo como produ¸cão de sólidos em po¸cos produtores e dano mecânico de forma¸cão. Produ¸cão de sólidos é o fenômeno onde part´ıculas sólidas são produzidas juntamente com os fluidos de um reservatório de forma¸cão ge-ralmente pouco ou não consolidada, podendo também ocorrer em forma¸cões mais resistentes. Dano de forma¸cão é o termo usado para identificar a redu¸cão da permeabilidade por diversos processos que ocorrem nas forma¸cões geológicas, e que reduzem a produtividade e injetividade de po¸cos de sistemas de produ¸cão de óleo e gás. Neste trabalho desenvolveu-se uma ferramenta numérica com acoplamento fluidomecânico (mono e bifásico) para ser utilizada em análises destes problemas na microescala (poro e grão). Utilizou-se o método dos elementos discretos (DEM) para a simula¸cão do movimento e intera¸cão das part´ıculas sólidas e o método de lattice-Boltzmann (LBM) para a simula¸cão do fluxo nos poros do meio geológico. A principal diferen¸ca desta ferramenta numérica em rela¸cão a trabalhos ante-riores que acoplam o DEM com o LBM (DEM-LBM) está na implementa¸cão da formula¸cão do LBM incompress´ıvel sugerida por (He e Luo, 1997) permi-tindo a aplica¸cão de gradientes de pressão sensivelmente maiores do que na formula¸cão convencional, o que é importante para as simula¸cões de produ¸cão de sólidos. A ferramenta desenvolvida pode ser vista como um laboratório virtual para testar/verificar leis constitutivas, e que aliada a dados experi-mentais poderá melhorar o entendimento de mecanismos básicos envolvidos nos processos de dano mecânico de forma¸cão e de produ¸cão de sólidos. O pro-grama computacional implementado foi verificado através de compara¸cões com solu¸cões anal´ıticas ou resultados publicados na literatura. Simula¸cões relacionadas às aplica¸cões de interesse foram realizadas.

Palavras–chave

Método dos Elementos Discretos; Método de Lattice-Boltzmann; Dano Mecânico de Forma¸cão; Produ¸cão de Sólidos.

(6)

Velloso, Raquel Q.; Vargas Jr., Eur´ıpedes do Amaral (Advisor). Numerical Analysis of Fluid Mechanical Coupling in Po-rous Media Using the Discrete Element Method. Rio de Janeiro, 2010. 94p. DSc Thesis — Departamento de Engenharia Civil, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro.

The present research was mainly motivated by petroleum geomechanics pro-blems such as solids production and formation damage. Solids production is related to phenomena whereby solid particles are produced together with fluids from reservoir rocks having little or no consolidation although it is re-ported that those phenomena have already happened to more resistant ma-terials. Formation damage is the term used in order to identify permeability reduction occurring for various processes and which reduce productivity and injectivity of wells in oil and gas production systems. In the present work, a numerical tool considering fluidmechanical coupling (one and two phase flow) was developed for analyses in the microscale (pores and grains). The DEM (Discrete Element Method) was used for the simulation of motion and interaction of solid particles and the lattice Boltzmann method (LBM) for the simulation of flow inside pores of the geological media. The main diffe-rence between the developed tool and the ones developed in previous works that couple DEM with LBM is the introduction of incompressible LBM as suggested by (He e Luo, 1997), one that allows the application of pressure gradients considerably larger than the conventional formulation which is im-portant for the simulation of solids production. The developed tool can be viewed as a virtual laboratory for testing and verification of constitutive laws which together with experimental data may improve the understanding of basic phenomena involved in formation damage and solids production. The numerical implementation was verified through comparisons with analyti-cal solutions and other results from the literature. Simulations related to practical applications were carried out and discussed.

Keywords

Discrete Element Method; Lattice-Boltzmann Method; Formation Da-mage; Solid Production.

(7)

1 Introdu¸c˜ao 12

1.1 Motiva¸c˜ao e Objetivo 12

1.2 Organiza¸c˜ao 14

2 Metodologia 15

2.1 Introdu¸c˜ao 15

2.2 M´etodo dos Elementos Discretos 18

2.3 Método de Lattice-Boltzmann 24 2.4 Acoplamento Fluidomecânico 38 3 Implementa¸cão 41 4 Resultados 43 4.1 Introdu¸cão 43 4.2 Verifica¸cões 44

4.3 Rela¸cão Tensão - Deforma¸cão - Permeabilidade 52

4.4 Produ¸c˜ao de S´olidos 62

4.5 For¸ca Capilar 72

5 Conclus˜oes 79

Referˆencias Bibliogr´aficas 82

A Velocidades e Coeficientes das Redes D2Q9 e D3Q19 91

B Condi¸c˜ao de Contorno de Press˜ao Prescrita 93

(8)

2.1 Ciclo de c´alculo do DEM 19

2.2 Representa¸cão gráfica do modelo de contato entre part´ıculas. À

esquerda na dire¸cão normal e à direita na dire¸cão cisalhante. 21

2.3 Nota¸c˜ao usada para descrever os contatos 22

2.4 Rede D2Q9 - duas dimens˜oes, nove velocidades 28

2.5 Dom´ınio Peri´odico 31

2.6 Condi¸c˜ao de Contorno Peri´odico 31

2.7 Componentes da press˜ao nas proximidades da interface. 35

2.8 Etapa de cria¸cão da tensão interfacial no RKLBM. As cores azul e vermelha representam as duas fases e o cinza uma combina¸cão das

duas. 36

2.9 Etapa de redistribui¸c˜ao das cores no RKLBM. 37

2.10 Molhabilidade dos s´olidos no RKLBM. 38

2.11 Exemplo de campo de fra¸c˜ao de s´olidos 39

3.1 Esquema de acoplamento fluidomecˆanico 42

4.1 Perfil de velocidade - LBM convencional - ∆P = 16.7P a 45

4.2 Perfil de velocidade - LBM incompress´ıvel - ∆P = 16.7P a 45

4.3 Perfil de velocidade - LBM incompress´ıvel - ∆P = 167P a 46

4.4 Geometria e condi¸c˜oes de contorno do exemplo bidimensional para

a verifica¸c˜ao da determina¸c˜ao da for¸ca de arraste 47

4.5 Compara¸c˜ao entre os resultados obtidos com o LBM incompress´ıvel

e os resultados apresentados por Richou et al. (2004) 47

4.6 Compara¸cão entre a solu¸cão anal´ıtica e a solu¸cão numérica para a

for¸ca de arraste numa esfera 48

4.7 Condi¸cão de regime permanente para R = 0.36mm. O gráfico à

direita mostra o perfil de press˜ao na reta que passa pelo centro da

bolha y = 0.8mm. 49

4.8 LBM bif´asico - Verifica¸c˜ao da lei de Laplace 49

4.9 Condi¸cão inicial para a simula¸cão de ângulos de contatos estáticos. 50

4.10 Diferentes ˆangulos de contato simulados com o LBM bif´asico 50

4.11 Fluxo bifásico em um tubo 3D. À esquerda o esquema da simula¸cão.

`

A direita a curva de permeabilidade relativa. As linhas representam

a solu¸c˜ao anal´ıtica e os pontos os resultados do LBM. 52

4.12 Metodologia para a obten¸c˜ao das rela¸c˜oes σ × ǫ × k utilizando o

DEM e o LBM 53

4.13 Amostra sint´etica 54

4.14 Curvas tens˜ao-deforma¸c˜ao do arenito Rio Bonito (Barroso, 2002)

e da amostra sint´etica (DEM) - Ensaios CTC 55

4.15 Curvas tensão-deforma¸cão da amostra sintética (DEM) para a

simula¸c˜ao de deforma¸c˜ao uniaxial 56

4.16 Estrutura porosa (em azul) utilizada nas simula¸c˜oes de fluxo. 57

4.17 Porosidade nas se¸c˜oes tranversais ao fluxo em cada uma das dire¸c˜oes. 58

(9)

de fluxo. 59 4.19 Curvas tensão-deforma¸cão para a simula¸cão de deforma¸cão uniaxial

e a varia¸c˜ao da permeabilidade. Os marcadores indicam os est´agios

onde foram realizadas as simula¸c˜oes de fluxo. 60

4.20 Curvas de permeabilidade relativa para a amostra sint´etica para 2

est´agios de tens˜ao diferentes. 61

4.21 Distribui¸c˜ao dos fluidos na estrutura porosa para diversas

sa-tura¸c˜oes, para o estado de tens˜ao ET0 61

4.22 Distribui¸c˜ao dos fluidos na estrutura porosa para diversas

sa-tura¸c˜oes, para o estado de tens˜ao ET1 62

4.23 Comportamento tens˜ao-deforma¸c˜ao, simulado com o DEM, do

material granular usado nas simula¸cões de produ¸cão de sólidos 63

4.24 Regi˜ao de simula¸c˜ao 64

4.25 Geometria e condi¸cão de contorno para as simula¸cões de produ¸cão

de s´olidos 65

4.26 Curvas de produ¸c˜ao de s´olidos (σc em MPa, ∆P/L em MPa/m) 66

4.27 Posi¸c˜ao das part´ıculas. t = 0 67

4.28 Posi¸c˜ao das part´ıculas. t = 0.062s 67

4.32 Cimenta¸c˜ao entre part´ıculas no tempo t = 0.248s. Os pontos azuis

mostram as cimenta¸c˜oes entre gr˜aos que permaneceram intactas 70

4.33 Campo de velocidades (em m/s). t = 0.248s 71

4.34 Campo de press˜oes (em Pa). t = 0.248s 71

4.35 Geometria de duas placas paralelas e o menisco entre elas. 73

4.36 Condi¸cão inicial para as simula¸cões de for¸ca capilar entre placas pa-ralelas. Os sólidos estão representados em cinza, o fluido molhante

em vermelho e o fluido n˜ao molhante azul. 73

4.37 Condi¸cão de equil´ıbrio para as simula¸cões de for¸ca capilar entre placas paralelas. Os sólidos estão representados em cinza, o fluido

molhante em vermelho e o fluido n˜ao molhante em azul. 74

4.38 Geometria da simula¸c˜ao de um menisco entre duas part´ıculas

circulares. 75

4.39 Corte no menisco e as for¸ca atuantes. A for¸ca resultante do primeiro

termo da soma ´e nula. 75

4.40 Configura¸c˜oes dos meniscos na condi¸c˜ao de regime permanente. 76

4.41 Varia¸c˜ao da for¸ca capilar com o ˆangulo de molhado. A linha se

refere `a eq. (4.18) e os pontos aos valores obtidos numericamente. 76

4.42 Varia¸c˜ao da for¸ca capilar com o deslocamento da part´ıcula. A linha vermelha representa a for¸ca calculada atrav´es da eq. (4.18) e a

linha azul o resultado da simula¸c˜ao com RKLBM. 78

A.1 Dire¸c˜ao das velocidades discretas da rede D2Q9 91

A.2 Dire¸c˜ao das velocidades discretas da rede D3Q19 92

(10)

(11)

4.1 Parˆametros da simula¸c˜ao de fluxo entre duas placas paralelas. 44

4.2 Parˆametros da simula¸c˜ao da for¸ca transferida para uma part´ıcula

s´olida. 46

4.3 Parˆametros da simula¸c˜ao da lei de Laplace. 49

4.4 Dados para a contru¸c˜ao da amostra sint´etica 54

4.5 Parâmetros micromecânicos do material sintético 55

4.6 Parˆametros para as simula¸c˜oes de fluxo 56

4.7 Valores de permeabilidade absoluta (em darcy) 58

4.8 Parˆametros micromecˆanicos do material 63

4.9 Parâmetros geomecânicos macroscópicos do material 63

4.10 Parˆametros de fluxo das simula¸c˜oes 64

4.11 Dados para a simula¸c˜ao das placas paralelas. 73

4.12 For¸ca capilar entre duas placas paralelas. 74

(12)

1.1

Motiva¸c˜ao e Objetivo

Esta pesquisa é motivada, principalmente, pelos problemas de produ¸cão de sólidos em po¸cos produtores de petróleo e de dano mecânico de forma¸cão. Produ¸cão de sólidos é o fenômeno onde part´ıculas sólidas são produzidas juntamente com os fluidos de um reservatório de forma¸cão geralmente pouco ou não consolidada, podendo também ocorrer em forma¸cões mais resistentes.

Há um grande número de problemas que surgem com a produ¸cão de sólidos

excessiva tais como a instabilidade do po¸co, dano nos equipamentos de sub-superf´ıcie e de sub-superf´ıcie, subsidência da sub-superf´ıcie, e ainda o problema ambiental da disposi¸cão dos sólidos produzidos. Em alguns casos, a produ¸cão de sólidos pode levar à perda do po¸co causando grandes danos econômicos e ambientais (Bianco, 1999, Wang et al, 2004).

Os diferentes processos envolvidos na produ¸cão de sólidos estão associa-dos à deforma¸cão e ruptura da rocha, à intera¸cão rocha-fluido, e ao transporte de fluidos e sólidos. A produ¸cão de sólidos pode ser descrita por dois mecanis-mos (Vardoulakis et al., 1996):

1. Instabilidades mecânicas e ruptura localizada da rocha na vizinhan¸ca do po¸co devido a concentra¸cões de tensão;

2. Instabilidades hidromecânicas devido a erosão, que se manifestam na desagrega¸cão e transporte das part´ıculas, causadas pela a¸cão das for¸cas de percola¸cão.

Estes dois mecanismos são acoplados, pois a concentra¸cão de tensões leva à ruptura localizada que aumenta a quantidade de part´ıculas desagregadas da matriz rochosa que são transportadas pelo fluxo de fluido. Por outro lado, o carreamento das part´ıculas aumenta a porosidade da rocha causando o reajuste das for¸cas intergranulares levando ao aumento da zona rompida da rocha.

Os modelos que tratam da previsão da taxa de produ¸cão de sólidos e do volume produzido são geralmente modelos baseados na

(13)

mecânica do cont´ınuo com acoplamento fluidomecânico que incorporam o fenômeno de erosão (Vardoulakis et al., 1996, Papamichos, 2001, Wang, 2003, Detournay et al., 2006). Para a solu¸cão deste problema é necessário o estabe-lecimento de uma rela¸cão constitutiva para a perda de massa sólida da matriz rochosa. Diversas rela¸cões constitutivas para a erosão têm sido propostas para o estudo de produ¸cão de sólidos na tentativa de reproduzir ensaios de laboratório. Estas rela¸cões são inspiradas nas teorias de filtra¸cão de finos através de uma matriz sólida grosseira. Além da lei constitutiva da erosão (que relaciona o processo de erosão ao fluxo nos poros) são necessárias também rela¸cões que descrevam a influência dos processos mecânicos (deforma¸cão e ruptura) na erosão, da erosão nos processos mecânicos, e da erosão no fluxo.

Todos estes mecanismos que acoplam os processos mecânico, de fluxo, e de erosão são mecanismos na escala microscópica, pois a desagrega¸cão de uma part´ıcula da matriz rochosa e seu transporte através dos poros é melhor descrito no n´ıvel da part´ıcula e do poro. Um melhor entendimento destes mecanismos fundamentais pode auxiliar no aprimoramento destas rela¸cões constitutivas necessárias para a simula¸cão de previsão da produ¸cão de sólidos.

Um outro problema da geomecânica do petróleo que também está rela-cionado a mecanismos que ocorrem na escala do poro é o dano de forma¸cão. Dano de forma¸cão é o termo usado para identificar a redu¸cão da permeabilidade por diversos processos que ocorrem nas forma¸cões geológicas, e que reduzem a produtividade e injetividade de po¸cos de sistemas de produ¸cão de óleo e gás. Estes processos estão relacionados à incompatibilidade fluido-fluido e rocha-fluido, e invasão e migra¸cão de finos, entre outros (Civan, 2007). Um processo relevante, pouco abordado na literatura, que também causa a diminui¸cão da permeabilidade é o chamado dano mecânico da forma¸cão (Soares, 2007).

Duas condi¸cões podem induzir a danos mecânicos nas forma¸cões rochosas. A primeira ocorre na perfura¸cão do po¸co que altera o estado de tensões no seu entorno. Esta mudan¸ca do estado de tensões causa uma deforma¸cão na rocha que pode induzir a uma perda significativa da permeabilidade. A outra condi¸cão ocorre durante a produ¸cão, que provoca uma queda de poropressão, aumentando a tensão efetiva o que consequentemente produz deforma¸cões na rocha reduzindo a sua permeabilidade. O conhecimento destas rela¸cões tensão-deforma¸cão-permeabilidade de uma rocha produtora de petróleo pode ser uma informa¸cão importante para a ado¸cão de uma pol´ıtica de explota¸cão adequada a fim de se obter um maior fator de recupera¸cão final de hidrocarbonetos de um campo (Soares, 2007).

O objetivo desta tese é desenvolver uma ferramenta numérica com aco-plamento fluidomecânico (mono e bifásico) para problemas na escala do poro e

(14)

da part´ıcula sólida. Esta ferramenta pode ser vista como um laboratório virtual para testar/verificar leis constitutivas, e que aliada a dados experimentais po-derá melhorar o entendimento de mecanismos básicos envolvidos nos processos de dano mecânico de forma¸cão e de produ¸cão de sólidos.

1.2

Organiza¸c˜ao

Este documento está organizado da seguinte maneira. O Cap´ıtulo 2 des-creve os métodos utilizados no sistema fluidomecânico acoplado. São apresen-tados o método do Elemento Discreto, utilizado na simula¸cão dos processos mecânicos, o método de lattice-Boltzmann para a simula¸cão do fluxo mono e bifásico no n´ıvel do poro, e o esquema de acoplamento entre estes dois métodos. No Cap´ıtulo 3 são apresentadas as principais caracter´ısticas da implementa¸cão da ferramenta numérica, enquanto que no Cap´ıtulo 4 são apresentados os re-sultados das simula¸cões realizadas. Foram realizadas simula¸cões de verifica¸cão dos métodos e da implementa¸cão e simula¸cões relacionadas aos problemas de dano de forma¸cão e produ¸cão de sólidos. E finalmente no Cap´ıtulo 5 são dis-cutidos os resultados obtidos e apresenta-se as conclusões e as sugestões para futuros desenvolvimentos e aplica¸cões da ferramenta numérica desenvolvida.

(15)

2.1

Introdu¸c˜ao

A modelagem num´erica na escala da part´ıcula e do poro pode ser uma

ferramenta ´util no estudo dos mecanismos fundamentais de fenˆomenos como

o dano de forma¸cão e a produ¸cão de sólidos. Esta modelagem pode ser feita através do acoplamento de um método que trate do movimento das part´ıculas e a intera¸cão entre elas, com um método que considere o fluxo de fluidos nos poros deste sistema de part´ıculas. Para a simula¸cão do movimento e intera¸cão das part´ıculas o método dos elementos discretos (Discrete Element Method -DEM) (Cundall e Strack, 1979) é amplamente empregado para estudo de solos e rochas.

O acoplamento do fluxo com um modelo discreto de part´ıculas pode ser feito de diversas formas. A maneira mais simplificada utiliza um mo-delo de fluxo baseado na lei de Darcy para um meio poroso cont´ınuo su-perposto a um modelo de part´ıculas discretas. Algumas implementa¸cões deste acoplamento foram utilizadas para o estudo de produ¸cão de areia ou de fraturamento hidráulico (O’Connor et al, 1997, Dorfmann et al., 1997, Preece et al., 1999, Bruno et al., 2001, Li et al, 2006). Uma outra abordagem resolve as equa¸cões de Navier-Stokes através de uma técnica de média lo-cal desenvolvida por Anderson e Jackson (Anderson e Jackson, 1967). Neste método as variáveis de fluxo são resolvidas numa célula que contém várias part´ıculas sólidas e as intera¸cões fluido-part´ıculas são consideradas através de rela¸cões semi-emp´ıricas. Este método tem sido aplicado em estudos de flui-diza¸cão (Xu e Yu, 1997, Di Renzo e Di Maio, 2007).

A principal caracter´ıstica destas duas abordagens é que o movimento das part´ıculas e o fluxo nos poros são tratados em escalas diferentes. Enquanto que a parte mecânica é considerada no n´ıvel da part´ıcula de forma discreta, o fluxo é tratado numa escala macroscópica considerando um meio poroso cont´ınuo. Desta forma os detalhes do fluxo nos poros e sua influência no movimento das part´ıculas são desconsiderados.

(16)

O fluxo nos poros pode ser simulado numa rede de poros (Blunt e King, 1991). Uma rede de poros é uma representa¸cão simplificada do meio poroso constitu´ıda de poros conectados por condutos. As maiores dificuldades relacionadas a rede de poros são a cria¸cão da geometria da rede de poros (poros-condutos) a partir da geometria real do meio poroso, e a determina¸cão dos parâmetros de condutância necessários para a simula¸cão de fluxo na rede de poros. Li (Li, 2002) estudou a varia¸cão da permeabilidade absoluta com o estado de tensões usando um modelo de part´ıculas acoplado a uma rede de poros.

A simula¸cão do fluxo nos poros com sua real geometria exige a solu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes neste dom´ınio. Hu (Hu, 1996) e Maury (Maury, 1999) apresentaram simula¸cões de acoplamento de movimento de part´ıculas e fluxo de fluido utilizando o método dos elementos finitos, para problemas a duas dimensões, com fra¸cão de sólidos baixa, e sem intera¸cão entre part´ıculas. Esta abordagem parece ser pouco eficiente visto que é necessário que a malha seja refeita ao longo da simula¸cão devido o movimento das part´ıculas. A técnica da fronteira imersa (Fogelson e Peskin, 1988, Hofler, 2000) e o método do dom´ınio fict´ıcio (Glowinski et al., 1999) não apresentam esta des-vantagem e parecem ser métodos eficientes para o estudo de acoplamento de fluxo monofásico com o movimento de part´ıculas sólidas.

Um método alternativo para a solu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes é o método de lattice-Boltzmann (McNamara e Zanetti, 1988, Qian et al, 1992). Este método tem sido utilizado em simula¸cões de fluxo em geometrias comple-xas e tem se mostrado mais eficiente computacionalmente, nestas condi¸cões, do que os métodos tradicionais (Bernsdorf et al., 1999, Geller et al., 2006). Nourgaliev et al. (Nourgaliev et al., 2003) sugerem que o método de lattice-Boltzmann (Lattice-lattice-Boltzmann Method - LBM) pertence à classe dos resol-vedores (“solvers”) pseudocompress´ıveis das equa¸cões de Navier-Stokes para fluxo incompress´ıvel e, como tal, o LBM possui as vantagens (simplicidade do algor´ıtimo e a ausência da solu¸cão da equa¸cão de Poisson) e as desvantagens (intervalo de tempo pequeno e compressibilidade artificial) caracter´ısticas da classe. Segundo Nourgaliev et al. (Nourgaliev et al., 2003), o LBM seria com-putacionalmente comparável ao método de “compressibilidade artificial”para

fluxos em geometrias complexas com n´umero de Reynolds alto e moderado,

e superior em fluxos com n´umero de Reynolds baixo, como fluxo em meios

porosos.

Uma vantagem do LBM é sua capacidade de simular fluido bifásico em geometrias complexas, e ele tem sido muito utilizado em simula¸cões de fluxo mono e bifásico em meios porosos como solos e rochas. Sua

(17)

principal aplica¸cão nesta área tem sido a determina¸cão de permea-bilidades absoluta e relativa de rochas (Gunstensen e Rothman, 1993,

Ferreol e Rothman, 1995, Martys e Chen, 1996, Olson e Rothman, 1997,

Hazlett et al., 1998, Keehm, 2003, Kutay et al., 2006, Ramstad et al, 2009). A determina¸cão de rela¸cões satura¸cão x pressão capilar tembém tem sido es-tudada com este método (Pan, 2004, Schaap et al., 2006, Porter et al., 2009). Ladd (Ladd, 1994) propôs a aplica¸cão do LBM na análise de part´ıculas sus-pensas em fluido acoplando o LBM ao movimento de part´ıculas sólidas que não interagem entre si. Cook e Noble (Cook e Noble, 2004) acoplaram o LBM ao método dos elementos discretos para estudo de erosão de leito a duas dimensões. Boutt et al. (Boutt et al., 2007) aplicaram o sistema acoplado LBDEM à modelagem do problema de fraturamento hidráulico natural.

Dadas as caracter´ısticas dos problemas de interesse neste trabalho (fluxo mono e bifásico no meio poroso - geometria complexa - e acoplamento de movimentos das part´ıculas com o fluxo), a literatura parece indicar que o LBM é, atualmente, o método mais adequado para se atingir os objetivos pretendidos.

Um problema associado ao LBM convencional na solu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes para fluidos incompress´ıveis é o efeito de compressibilidade (He e Luo, 1997). Este efeito se torna relevante principalmente quando se utiliza a condi¸cão de diferencial de pressão imposta nos contornos, que é a condi¸cão de contorno adequada a estudos de produ¸cão de sólidos, por exemplo. Neste trabalho será utilizada a formula¸cão proposta por He e Luo (He e Luo, 1997), acoplada ao DEM, que reduz o efeito de compressibilidade no LBM, o que permite a aplica¸cão de diferenciais de pressão maiores do que o LBM convencional.

Um aspecto que parece ser relevante no processo de produ¸cão de sólidos e que tem sido pouco abordado na simula¸cão na microescala é a for¸ca capilar entre grãos. Gili e Alonso (Gili e Alonso, 2002) criaram um modelo acoplado utilizando o DEM e uma rede de poros onde a for¸ca capilar é calculada

a partir da geometria estabelecida do menisco entre duas esferas. Iba˜nez

(Iba˜nez, 2008) utilizou uma abordagem semelhante para estudos relacionados

a solos residuais. Estes dois trabalhos tratam de dom´ınios bidimensionais e têm sua aplica¸cão voltada a estudos de solos não saturados. Grof et al. (Grof et al., 2009) usaram uma solu¸cão aproximada para a for¸ca capilar entre duas esferas numa simula¸cão acoplada utilizando o DEM e a solu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes no regime permanente pelo método dos volumes finitos num dom´ınio tridimensional.

Neste cap´ıtulo s˜ao apresentados os m´etodos utilizados do

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(18)

mento do sistema fluidomecânico acoplado. Inicialmente será descrito o método dos elementos discretos que trata da movimenta¸cão e intera¸cão das part´ıculas sólidas, em seguida será apresentado o método de lattice-Boltzmann que resolve o fluxo mono e bifásico que ocorre nos poros do meio geológico, e finalmente será apresentado o esquema de acoplamento entre estes dois métodos.

2.2

M´etodo dos Elementos Discretos

O movimento e a intera¸cão entre part´ıculas sólidas são modelados, neste trabalho, utilizando o método dos elementos discretos (Discrete Element Method - DEM). O DEM foi introduzido por Cundall (Cundall, 1971) para a análise de problemas de mecânica das rochas e depois aplicado a materiais granulares por Cundall e Strack (Cundall e Strack, 1979).

No DEM, a intera¸cão entre as part´ıculas sólidas (discos em 2D e esferas em 3D) é tratada como um processo dinâmico. As for¸cas dos contatos e desloca-mentos de um conjunto de part´ıculas são determinados pelo acompanhamento dos movimentos de part´ıculas individuais. Os movimentos são resultados da

propaga¸cão, através de um sistema de part´ıculas, dos distúrbios causados por

um movimento ou for¸ca impostos `as paredes ou part´ıculas. Este ´e um processo

dinâmico onde a velocidade de propaga¸cão do distúrbio depende das

proprie-dades f´ısicas do sistema discreto. Admite-se que este comportamento dinˆamico pode ser solucionado desde que se escolha um intervalo de tempo t˜ao pequeno

de forma que o distúrbio em uma part´ıcula não se propague além das part´ıculas

vizinhas imediatas. Desta forma, em qualquer tempo as for¸cas resultantes em cada part´ıcula podem ser determinadas exclusivamente a partir da intera¸c˜ao desta part´ıcula com as part´ıculas que fazem contato com ela. Como a

veloci-dade de propaga¸cão do distúrbio é fun¸cão das propriedades f´ısicas do sistema

discreto, o intervalo de tempo deve ser escolhido para satisfazer esta condi¸c˜ao. O uso de um esquema num´erico expl´ıcito, no lugar de um impl´ıcito,

torna poss´ıvel a simula¸cão do comportamento não-linear de um grande número

de part´ıculas sem a exigência de memória excessiva ou a necessidade de um procedimento iterativo. Os cálculos do DEM alternam a aplica¸cão da lei de Newton às part´ıculas e a lei for¸ca-deslocamento nos contatos (fig. (2.1)).

(19)

Figura 2.1: Ciclo de c´alculo do DEM

A segunda lei de Newton do movimento é usada para descrever o movimento de uma part´ıcula individual. A equa¸cão que governa o movimento translacional de uma part´ıcula é:

mdv dt = Fa+ nc X j=1 Fc,j+ mg (2.1)

onde m e v s˜ao, respectivamente, a massa e a velocidade da part´ıcula, e nc ´e o

n´umero de contatos da part´ıcula. As for¸cas envolvidas s˜ao a for¸ca aplicada Fa

(que pode ser, por exemplo, a for¸ca de fluxo), a for¸ca gravitacional mg, e as

for¸cas nos contatos entre esta part´ıcula e as que fazem contato com ela, Fc,j.

A equa¸c˜ao que governa o movimento rotacional da part´ıcula ´e:

Idω dt = Ta+ nc X j=1 Tc,j (2.2)

onde ω e I s˜ao, respectivamente, a velocidade angular e o momento de in´ercia

da part´ıcula, Tc,j ´e o torque gerado pelas for¸cas de contato entre esta part´ıcula

e as que fazem contato com ela, e Ta ´e o torque aplicado na part´ıcula. As

equa¸cões do movimento (2.1) e (2.2) são integradas usando um procedimento de diferen¸cas finitas centrais. A velocidade translacional, v, e a velocidade angular, ω, são calculadas no centro do intervalo de tempo, enquanto que acelera¸cões, deslocamento, for¸ca e momento são calculadas nos seus extremos. Desta forma calcula-se as velocidades no tempo (t + ∆t/2):

v(t+∆t/2) = v(t−∆t/2)+ F t m + g ∆t (2.3) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(20)

ω(t+∆t/2) _{= ω}(t−∆t/2)₊T t

I ∆t (2.4)

sendo F e T a for¸ca e torque resultantes (devidos às for¸cas aplicadas e às for¸cas dos contatos). E com as velocidades obtém-se a posi¸cão do centróide e a rota¸cão da part´ıcula:

x(t+∆t) = xt+ v(t+∆t/2)∆t (2.5)

θ(t+∆t)_{= θ}t_{+ ω}(t+∆t/2)_∆t _(2.6)

Sistemas dinâmicos naturais contém algum grau de amortecimento das vibra¸cões que ocorrem, caso contrário o sistema ia oscilar indefinidamente quando submetido a carregamentos. Vários tipos de amortecimentos são pro-postos para a solu¸cão de problemas pelo DEM. Detalhes sobre estes tipos de amortecimentos utilizados no DEM são apresentados e discutidos por Figueiredo (Figueiredo, 1991) e no manual do software comercial PFC2D (Itasca, 2002). Para os problemas quasi-estáticos, como os abordados neste tra-balho, o amortecimento local não-viscoso é indicado (Itasca, 2002). No amor-tecimento local um termo de amoramor-tecimento é adicionado às equa¸cões de mo-vimento (eqs. (2.1) e (2.2)) de forma que as velocidades passam a ser dadas por: v(t+∆t/2) = v(t−∆t/2)+ F t m + g + Fdt m ∆t (2.7) ω(t+∆t/2) _{= ω}(t−∆t/2)₊ T t I + Tdt I ∆t (2.8)

onde as for¸cas de amortecimento, Fd e Td, s˜ao expressas como:

Fd= −α|F|sign(v) (2.9)

T_d= −α|T|sign(ω) (2.10)

onde α ´e o coeficiente de amortecimento local.

O comportamento geral de um material é simulado no DEM através de modelos constitutivos (lei for¸ca-deslocamento) simples associados a cada contato. Com o modelo constitutivo é calculada a for¸ca de contato entre duas part´ıculas e entre uma part´ıcula e uma parede. A figura (2.2) mostra uma

(21)

representa¸cão gráfica de um modelo constitutivo de rigidez linear elástico com escorregamento.

Figura 2.2: Representa¸cão gráfica do modelo de contato entre part´ıculas. À

esquerda na dire¸cão normal e à direita na dire¸cão cisalhante.

O vetor da for¸ca de contato Fc pode ser decomposto nas componentes

normal e cisalhante:

F_c = FN

c + FSc (2.11)

A for¸ca normal ´e dada por:

FN_c = KNUNn (2.12)

onde KN ´e a rigidez normal do contato, n ´e o vetor normal ao plano de contato

e UN ´e a sobreposi¸c˜ao entre as duas entidades (fig.(2.3)):

UN =

(

R1+ R2− d se contato entre part´ıculas 1 e 2

R1− d se contato entre part´ıcula e parede

(2.13)

A for¸ca cisalhante é calculada de forma incremental. Quando um contato é formado, a for¸ca cisalhante de contato é nula, e subsequentes deslocamentos cisalhantes resultam em incrementos desta for¸ca:

∆FS_c = kSvcS∆t (2.14)

sendo vS

c a velocidade relativa cisalhante no contato e kS ´e a rigidez cisalhante

do contato. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(22)

Figura 2.3: Nota¸c˜ao usada para descrever os contatos

O modelo de cimenta¸c˜ao entre part´ıculas adotado neste trabalho ´e

definido por três parâmetros: a resistência à compressão, σcC, a resistência

à tra¸cão, σcT, e a resistência ao cisalhamento, τc. Se as for¸cas normal de

compress˜ao, tra¸c˜ao ou de cisalhamento excederem as for¸cas resistentes dadas por: FC r = σcC(R1+ R2)2 FT r = σcT(R1+ R2)2 FS r = τc(R1+ R2)2 (2.15)

a cimenta¸cão no contato é rompida tornando-se inativa. Quando a ruptura é por compressão ocorre também a quebra dos grãos. Este processo de quebra de grãos tem sido modelado de diversas maneiras no DEM. Holt et al. (Holt et al., 2008) usaram o conceito de superpart´ıculas onde um grão pode ser formado por diversos elementos discretos e a resistência da cimenta¸cão entre contatos destes elementos é maior do que entre as superpart´ıculas. Esta é uma abordagem interessante, principalmente por permitir a cria¸cão de grãos sólidos de formas diversas, entretanto o seu custo computacional é muito

grande devido o grande número de part´ıculas necessárias para a forma¸cão de

um grão. A quebra de grãos foi simulada por Ibañez (Ibañez, 2008) utilizando

uma abordagem inspirada no ensaio brasileiro. Quando a resistência à tra¸cão da part´ıcula é alcan¸cada, devido as for¸cas de compressão geradas pelas part´ıculas vizinhas, esta se quebra em duas de forma que a massa seja conservada . De maneiras mais simplificadas Marketos e Bolton (Marketos e Bolton, 2007) e Wang et al. (Wang et al., 2008) também implementaram a quebra de grãos. A abordagem utilizada neste trabalho se assemelha a descrita por Wang et al. (Wang et al., 2008), na qual quando a resitência à compressão de um contato é alcan¸cada a cimenta¸cão é rompida e os raios das part´ıculas que formavam este contato são diminuidos por uma fra¸cão (1% do raio da part´ıcula). Esta diminui¸cão de raio representa a fra¸cão da part´ıcula que é esmigalhada pelo

(23)

processo de quebra.

O modelo de escorregamento é definido pelo coeficiente de atrito no contato, µ, e somente é ativo se a cimenta¸cão no contato estiver inativa. Neste caso não é permitida a for¸ca de tra¸cão no contato, então:

se UN < 0

ent˜ao FN

c = FSc = 0 (2.16)

O modelo de escorregamento limita a for¸ca cisalhante a um valor m´aximo:

FmaxS = µ|FNc | (2.17)

E se |FS

c| > FmaxS o escorregamento pode ocorrer, fazendo:

FS_c = FS_c F S max |FS c| (2.18)

As equa¸cões de movimento são integradas usando um esquema de dife-ren¸cas finitas centrais. A solu¸cão destas equa¸cões só é estável se o intervalo de tempo não exceder um intervalo de tempo cr´ıtico. Uma forma simplificada de encontrar este intervalo de tempo cr´ıtico é considerar um sistema massa-mola unidimensional descrito por uma massa m e uma mola de rigidez k. O movi-mento desta massa é governado pela equa¸cão −kx = mx. O intervalo cr´ıtico correspondente ao esquema de diferen¸cas finitas de segunda ordem para esta equa¸cão é dada por (Bathe e Wilson, 1976):

∆tcrit = 2 r m k (2.19)

Entretanto, como nas simula¸c˜oes realizadas com o DEM est˜ao presentes

v´arias part´ıculas, calcula-se o ∆tcrit para cada part´ıcula e adota-se o menor

valor entre eles. E para considerar a intera¸c˜ao entre as v´arias part´ıculas,

o que torna o sistema mais r´ıgido, aplica-se um fator, geralmente tf rac =

0.1 (Figueiredo, 1991), para se chegar ao intervalo de tempo utilizado nas simula¸c˜oes:

∆t = tf rac∆tmincrit (2.20)

(24)

2.3

M´etodo de Lattice-Boltzmann

2.3.1

Hist´orico

O método de lattice-Boltzmann (LBM) tem sua origem no modelo de lattice-Gas (Frisch et al., 1986). O lattice-Gas é constru´ıdo como um modelo molecular dinâmico fict´ıcio simplificado onde o espa¸co, o tempo e velocidades das part´ıculas são discretos. O modelo de lattice-Gas consiste em uma rede regular com part´ıculas residindo nos nós. Um conjunto de variáveis Booleanas

ni(x, t) (i = 1, ..., b) que descrevem a ocupa¸c˜ao da part´ıcula ´e definido para a

rede, onde b é o número de dire¸cões de velocidade da part´ıcula em cada nó. A

partir de uma configura¸cão inicial, a evolu¸cão das part´ıculas à cada intervalo de tempo envolve duas etapas: a propaga¸cão, onde cada part´ıcula se move para o nó mais próximo na dire¸cão de sua velocidade; e a colisão, que ocorre quando duas part´ıculas chegam no mesmo nó e mudam sua velocidade de acordo com regras simples de colisão que conservam massa e quantidade de movimento. Apesar de simples este modelo é capaz de reproduzir o comportamento macroscópico do fluxo (Rothman e Zaleski, 2004). Entretanto, os modelos de lattice-Gas apresentam algumas desvantagens, tais como ru´ıdo estat´ıstico, e alguns comportamentos f´ısicos indesejáveis (Qian et al, 1992).

Para resolver as dificuldades dos modelos de lattice-Gas surgiram os métodos de lattice-Boltzmann. O primeiro foi proposto por McNamara e Za-netti (McNamara e ZaZa-netti, 1988) que usaram a popula¸cão média de part´ıculas

no lugar das vari´aveis Booleanas (ni passa a ser uma vari´avel real

en-tre 0 e 1 no lugar de 0 ou 1). Este procedimento eliminou o ru´ıdo es-tat´ıstico. Uma simplifica¸cão importante no LBM foi proposta por Higuera e Jiménez (Higuera e Jimenez, 1989) que linearizaram o operador de colisão assumindo que a distribui¸cão é próxima ao estado de equil´ıbrio local. Em 1990, Qian (Qian, 1990) sugeriu uma versão mais simples do operador de

colisão que utiliza um único tempo de relaxa¸cão. O LBM proposto por

Qian (1990) se tornou o mais utilizado pela sua simplicidade e eficiˆencia (Succi, 2001, Chen e Doolen, 1998).

2.3.2

Fluxo Monof´asico

O fluxo macroscópico é resultado da intera¸cão de várias part´ıculas (moléculas) no n´ıvel microscópico. Considerando, no tempo t, um pequeno vo-lume dx na vizinhan¸ca da posi¸cão x pode-se definir as variáveis macroscópicas

(25)

do fluxo (velocidade de fluxo, u e densidade do fluido, ρ) em x e t de acordo com (Chen, 1993): ρ(x, t)dx = mn(x, t) (2.21) u(x, t) = 1 n(x, t) n(x,t) X i=1 vi (2.22)

onde m ´e a massa da part´ıcula (adotando aqui a mesma massa para todas

as part´ıculas), n(x,t) ´e o n´umero de part´ıculas (∼ 1023_{) no volume dx no}

tempo t, e vi ´e a velocidade da part´ıcula. Das eq. (2.21) e (2.22)

percebe-se que as variáveis macroscópicas do fluxo podem percebe-ser expressas como médias no volume dx. Logo, conhecendo-se a dinâmica destas part´ıculas, que pode ser descrita pelas equa¸cões clássicas de Newton, poderia-se conhecer o fluxo no

n´ıvel macroscópico. Entretanto este cálculo é impraticável por causa do número

tão grande de part´ıculas interagindo. Porém as quantidades f´ısicas observáveis tais como velocidade e densidade são resultado de uma média estat´ıstica da

dinˆamica de um grande n´umero de part´ıculas (Succi, 2001).

Desta forma, ao invés de seguir o movimento de cada uma destas part´ıculas pode-se agrupá-las de acordo com suas posi¸cões e velocidades. As poss´ıveis velocidades de uma part´ıcula formam um espa¸co de velocidade, e uma velocidade particular define um ponto neste espa¸co. O produto direto dos espa¸cos de posi¸cão e velocidade é chamado de espa¸co fase. Pode-se dividir o espa¸co fase em pequenos volumes dxdv. Uma part´ıcula num volume centrado em (x, v) tem sua posi¸cão na vizinhan¸ca de x e sua velocidade na vizinhan¸ca de

v. A partir disto define-se como f (x, v, t)dxdv o n´umero prov´avel de part´ıculas

na posi¸cão x, no tempo t, com a velocidade v. A quantidade f (x, v, t) é conhecida como fun¸cão de distribui¸cão. As variáveis macroscópicas do fluido são relacionadas a f (x, v, t) por:

ρ(x, t) = m Z

f (x, v, t)dv (2.23)

u(x, t) = R vf(x, v, t)dv

R f(x, v, t)dv (2.24)

onde tomou-se o limite dxdv → 0. Com as eqs. (2.23) e (2.24) as variáveis macroscópicas do fluido podem ser calculadas se f (x, v, t) é conhecido.

Como o n´umero total de part´ıculas deve ser conservado, as part´ıculas

que originalmente ocupam o volume dxdv centrado em (x, v) v˜ao ocupar um

volume dx′

dv′

centrado em (x′

, v′

) no tempo t + ∆t. Ent˜ao tem-se:

(26)

f (x′

, v′

, t + ∆t)dx′

dv′

= f (x, v, t)dxdv (2.25)

Considerando que as part´ıculas n˜ao interagem e que a dimens˜ao do volume

n˜ao varia (dxdv = dx′

dv′

), a eq.(2.25) fica reduzida a:

f (x′ , v′ , t+ ∆t) = f (x, v, t) (2.26) onde: x′ = x + v∆t (2.27) v′ = v + F m∆t (2.28)

sendo F uma for¸ca externa. Por causa de colis˜oes que ocorrem, algumas part´ıculas originalmente no volume dxdv podem ser exclu´ıdas antes de alcan¸car o novo volume, e algumas part´ıculas originalmente fora podem ser inclu´ıdas neste volume. Ent˜ao a eq. (2.26) deve ser modificada por um termo adicional,

δc (varia¸cão da fun¸cão distribui¸cão por unidade de tempo), que considera as

varia¸c˜oes em f devido as colis˜oes:

f (x′

, v′

, t + ∆t) = f (x, v, t) + δc(x, v, t)∆t (2.29)

Fazendo ∆t → 0, a eq. (2.29) pode ser escrita como a seguinte equa¸c˜ao diferencial: ∂ ∂t+ v · ∇x+ F m · ∇v f (x, v, t) = δc(x, v, t) (2.30)

A eq. (2.30) é a forma geral da equa¸cão de Boltzmann. Da solu¸cão da equa¸cão de Boltzmann pode-se obter as quantidades macroscópicas do fluido a partir

das eq. (2.23) e (2.24). O termo de colis˜ao da eq. (2.30), δc, deve ser consistente

com as leis b´asicas de conserva¸c˜ao (massa e quantidade de movimento) e

depende da dinˆamica detalhada das part´ıculas. No geral, a forma de δc ´e

complexa e leva a equa¸c˜ao de Boltzmann a uma forma integro-diferencial n˜ao-linear (Salinas, 1997). A forma mais simples (mas ainda assim complexa) de

δc foi dada por Boltzmann para um g´as diluto onde part´ıculas sofrem somente

colis˜oes el´asticas de curto alcance.

Portanto, a solu¸cão direta da equa¸cão de Boltzmann não é um meio eficiente de analisar o fluxo de fluidos. Um problema é que o termo de colisão

(27)

tem que ser definido explicitamente para determinar inteiramente a equa¸cão de Boltzmann. Um outro problema é que a fun¸cão de distribui¸cão é uma fun¸cão de x e v, enquanto que as variáveis macroscópicas são fun¸cões somente de x. Após resolver a equa¸cão para f (x, v, t) ainda é necessária a integra¸cão em v para se obter as variáveis macroscópicas pelas eq. (2.23) e (2.24) .

Considerando que grande parte dos detalhes das intera¸cões entre as part´ıculas não influencia significantemente os valores das variáveis ma-croscópicas, expressões mais simples para o termo de colisão foram propostas. O operador de colisão deve ser tal que as condi¸cões de conserva¸cão de massa e quantidade de movimento sejam satisfeitas. O modelo de colisão mais co-nhecido e muito adotado é o modelo de aproxima¸cão BGK sendo expresso por (Bhatnagar et al., 1953, Wolf-Gladrow, 2000):

δc =

1

τ (f

eq_{(x, v, t) − f (x, v, t))} _(2.31)

onde τ é o tempo de colisão e feq _{é a fun¸cão de distribui¸cão de equil´ıbrio. A}

aproxima¸cão BGK expressa o fato de que as colisões tendem a relaxar a fun¸cão distribui¸cão para um valor de equil´ıbrio (Bhatnagar et al., 1953). Esta fun¸cão de distribui¸cão de equil´ıbrio é a de Maxwell-Boltzmann, visto que a equa¸cão de Boltzmann (2.30) no estado de equil´ıbrio, que corresponde ao limite t → ∞, deve recuperar a distribui¸cão de Maxwell-Boltzmann (Salinas, 1997).

Simplificando o termo de colisão através da ado¸cão da aproxima¸cão BGK, a parte de velocidade do espa¸co fase pode ser considerada a principal causa da ineficiência na solu¸cão da equa¸cão de Boltzmann. Para reduzir a sua dimensão, considera-se um sistema artificial no qual as part´ıculas podem residir somente nos nós de uma rede (discretiza¸cão do espa¸co) e seus movimentos se dão de um nó para outro em intervalos de tempo definidos (discretiza¸cão do tempo). A dire¸cão da velocidade é determinada pela dire¸cão das liga¸cões que conectam um nó a outro (fig.(2.4)) e a magnitude da velocidade é dada pela distância entre cada par de nós da rede dividida pelo intervalo de tempo (discretiza¸cão da velocidade). Consequentemente, a dimensão do espa¸co fase associado a uma rede (“lattice”) é significantemente menor do que no espa¸co fase cont´ınuo.

Uma vez que o espa¸co fase discreto é definido, pode-se construir a equa¸cão de lattice-Boltzmann para a evolu¸cão de f (x, v, t). Como em uma rede só há

um n´umero discreto de valores de velocidades pode-se substituir v por um

conjunto de valores poss´ıveis de vα (α = 1,...,b; onde b ´e o n´umero total de

valores de velocidades) e escrever a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao discreta como fα(x, t).

Nem todas as configura¸c˜oes de rede s˜ao capazes de reproduzir o fluxo

(28)

macroscópico. A rede deve apresentar simetria suficiente para isto. A rede mais utilizada em duas dimensões é denominada D2Q9 (2 dimensões, 9 velocidades, sendo uma das velocidades nula) (fig. (2.4)), e para três dimensões são muito utilizadas as redes D3Q15 e D3Q19 (Wolf-Gladrow, 2000).

Figura 2.4: Rede D2Q9 - duas dimens˜oes, nove velocidades

Os diversos métodos de lattice-Boltzmann (que utilizam a discretizacão de velocidades) se diferenciam pelo tipo de modelo de colisão que adotam. O LBM que utiliza a aproxima¸cão de BGK, também conhecido como LBGK, é um dos mais utilizados pela sua simplicidade e eficiência (Succi, 2001). A equa¸cão de lattice-Boltzmann, similar à eq. (2.29), utilizando a aproxima¸cão de BGK é dada por:

fα(x + vα∆t, t + ∆t) = fα(x, t) − ∆t τ (fα(x, t) − f eq α (x, t)) (2.32) sendo feq

α a fun¸cão de distribui¸cão discreta de equil´ıbrio. A fun¸cão de

distri-bui¸cão discreta de equil´ıbrio deve ser fun¸cão das variáveis macroscópicas, u e ρ, locais. Para as redes D2Q9 e D3Q19 ela é definida como (Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000): f_αeq(x, t) = wαρ " 1 + 3(vα· u) c2 + 9 2 (vα· u)2 c4 − 3 2 u2 c2 # (2.33)

onde vα s˜ao as velocidades da rede e wα s˜ao coeficientes que dependem da

rede, e est˜ao presentados no apˆendice A, e c = ∆x_∆t, sendo ∆x o espa¸camento

da rede e ∆t o intervalo de tempo.

Impondo condi¸cões iniciais e de contorno, a equa¸cão de lattice-Boltzmann é resolvida e as variáveis macroscópicas do fluxo de fluido podem ser obtidas

(29)

com as seguintes express˜oes: ρ(x, t) = m b X α=1 fα(x, t) (2.34) u(x, t) = m ρ(x, t) b X α=1 vαfα(x, t) (2.35)

Diferente da equa¸cão original de Boltzmann, a equa¸cão de lattice-Boltzmann envolve somente coordenadas espaciais, e o somatório em relacão a velocidade é feito de forma trivial.

Para se determinar o comportamento macroscópico do LBM utiliza-se o procedimento de Chapman-Enskog (ou procedimento multi-escala) (Wolf-Gladrow, 2000). Com este procedimento obtém-se as equa¸cões de con-serva¸cão de massa e de quantidade de movimento:

∇ · u = 0 (2.36)

∂u

∂t + u · ∇u = −∇P + ν∇

2_u _(2.37)

onde P = p/ρ, sendo p a pressão e ν a viscosidade cinemática do fluido. As equa¸cões acima são as equa¸cões de Navier-Stokes para fluido incompress´ıvel, entretanto duas condi¸cões são consideradas para se chegar a estas equa¸cões pelo procedimento multi-escala. A primeira diz que as varia¸cões de densidade

devem ser pequenas, ∆ρ/ρ ≪ 1, e a outra que o n´umero de Mach tamb´em

deve ser baixo, M a ≪ 1. O n´umero de Mach ´e definido por:

M a = umax

cs

(2.38)

onde umax ´e a velocidade de fluxo m´axima e cs a “pseudo-velocidade do som

no fluido”(Nourgaliev et al., 2003), que para as redes D2Q9 e D13Q19 ´e dada por(Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000):

cs=

r

c2

3 (2.39)

A press˜ao ´e expressa por (Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000):

(30)

p = ρc2_s (2.40)

que é a equa¸cão de estado de um gás ideal, e que é também adequada para l´ıquido se as flutua¸cões de densidade são pequenas, de forma que

∆p = c2

s∆ρ (Ladd e Verberg, 2001). A viscosidade cinem´atica ´e definida como

(Qian et al, 1992, Wolf-Gladrow, 2000):

ν = c 2 3∆t(τ ∗ − 0.5) (2.41) onde τ∗

= _∆tτ é o tempo de colisão adimensional. Através da equ. (2.41)

determina-se o tempo de colis˜ao adimensional em fun¸c˜ao da viscosidade do fluido.

A solu¸cão da equa¸cão de lattice-Boltzmann é geralmente obtida em duas etapas: Colisão: f_α′(x, t) = fα(x, t) − 1 τ∗ (fα(x, t) − f eq α (x, t)) (2.42) Propaga¸cão: fα(x + vα∆t, t + ∆t) = f ′ α(x, t) (2.43) onde f′

α é a fun¸cão distribui¸cão pós-colisão. A etapa de colisão redistribui as

part´ıculas no nó devido o efeito de colisão, e a etapa de propaga¸cão propaga as

part´ıculas para os nós vizinhos. A solu¸cão do esquema é estável para τ∗

> 0.5 (Wolf-Gladrow, 2000, Nourgaliev et al., 2003). Esta condi¸c˜ao tamb´em garante uma viscosidade positiva (eq. (2.41)).

Um aspecto importante no estudo do fluxo no meio poroso é o tratamento da condi¸cão de contorno nos sólidos do meio poroso. Na simula¸cão do fluxo, a presen¸ca do sólido em repouso é representada pela condi¸cão de contorno de não-escorregamento (“no-slip condition”) que especifica que o fluido não penetra o contorno e tem velocidade nula junto ao sólido. No LBM esta condi¸cão é obtida com a condi¸cão “bounce-back”que determina que as part´ıculas de fluido que encontram uma superf´ıcie sólida são refletidas na dire¸cão da qual vieram (Verberg et al, 2000). A etapa de propaga¸cão para o tratamento dos sólidos é modificada da seguinte forma:

Propaga¸cão: fα(x + vα∆t, t + ∆t) = ( f′ α(x, t) se x é fluido f−′_α(x + vα∆t, t) se x é sólido (2.44) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(31)

onde −α é definido de forma que vα = −vα. A condi¸cão do tipo “bounce-back”considera que a parede sólida está localizada em x + 0.5v∆t. Para considerar a parede sólida num ponto qualquer entre x e x + v∆t Bouzidi et al. (Bouzidi et al, 2001) sugerem esquemas de interpola¸cão.

As condi¸cões de contorno, relevantes para os objetivos deste trabalho, são as do tipo periódico, pressão prescrita e velocidade prescrita. O método para a imposi¸cão das condi¸cões de contorno de pressão e velocidade adotado neste trabalho é o sugerido por Zou e He (Zou e He, 1997). O apêndice B apresenta as equa¸cões referentes à condi¸cão de contorno de pressão prescrita. A condi¸cão de contorno periódico simula a situa¸cão apresentada na figura (2.5), ou seja, é simulada uma região de um dom´ınio que se repete na dire¸cão da condi¸cão de contorno periódico. No LBM esta condi¸cão de contorno é implementada fazendo com que, na etapa de propaga¸cão, as part´ıculas de fluido que saem por um lado entrem pelo lado oposto, como mostrado na figura (2.6).

Figura 2.5: Dom´ınio Peri´odico

Figura 2.6: Condi¸c˜ao de Contorno Peri´odico

(32)

2.3.3

LBM incompress´ıvel

Para simular corretamente a equa¸c˜ao de Navier-Stokes incompress´ıvel

com o LBM, deve-se garantir que o n´umero de Mach e a varia¸c˜ao de densidade

sejam pequenos. Entretanto, a ´unica maneira de impor um gradiente de

pressão para gerar o fluxo no LBM é mantendo um gradiente de densidade no sistema, porque a pressão não é uma variável independente (no LBM), sendo dada pela equa¸cão de estado de gás ideal (eq. (2.40)). Desta forma, a hipótese de densidade constante não é mais válida e a magnitude da varia¸cão de densidade pode ser significativa. Isto, inevitavelmente, trará erros nas simula¸cões das equa¸cões de Navier-Stokes incompress´ıvel pelo LBM. He e Luo (He e Luo, 1997) propuseram um LBM para a equa¸cão de Navier-Stokes incompress´ıvel (identificado neste trabalho como LBM incompress´ıvel) cuja idéia básica é eliminar explicitamente o efeito de compressibilidade, desprezando os termos de ordem elevadas de M a na fun¸cão distribui¸cão de equil´ıbrio (eq.(2.33)). Serão apresentadas neste trabalho as equa¸cões do LBM incompress´ıvel. Detalhes sobre a dedu¸cão e validade do método são descritas por He e Luo (He e Luo, 1997). A equa¸cão de evolu¸cão do LBM incompress´ıvel é dada por:

pα(x + vα∆t, t + ∆t) = pα(x, t) −

1

τ∗ (pα(x, t) − p

eq

α(x, t)) (2.45)

sendo que a fun¸cão distribui¸cão de pressão foi definida como:

pα ≡ c2sfα (2.46)

e a fun¸cão distribui¸cão de pressão no equilibrio é:

peq_α(x, t) = wα ( p + p0 " 3(vα· u) c2 + 9 2 (vα· u)2 c4 − 3 2 u2 c2 #) (2.47)

onde p0 = c2sρ0 e ρ0 é a densidade de referência. As variáveis macroscópicas

s˜ao dadas por:

p(x, t) = b X α=1 pα(x, t) (2.48) p0u(x, t) = b X α=1 vαpα(x, t) (2.49) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(33)

Através do procedimento de Chapman-Enskog, as equa¸cões deduzidas a partir do LBM incompress´ıvel são (He e Luo, 1997):

1 c2 s ∂P ∂t + ∇ · u = 0 (2.50) ∂u ∂t + u · ∇u = −∇P + ν∇ 2_u _(2.51)

onde P = p/ρ0. Deve-se observar que as equa¸c˜oes acima s˜ao as mesmas

usadas no método de “pseudo-compressibilidade”para a solu¸cão das equa¸cões de Navier-Stokes (Nourgaliev et al., 2003, He e Luo, 1997).

Duas condi¸cões devem ser satisfeitas para um fluido ser considerado incompress´ıvel (Landau e Lifshitz, 1959, He e Luo, 1997). A primeira é que a velocidade de fluxo deve ser pequena em rela¸cão à velocidade do som no fluido,

ou seja o n´umero de Mach deve ser baixo:

M a ≪ 1 (2.52)

Na prática, usualmente, a condi¸cão M a < 0.15 é mantida no LBM. Esta condi¸cão é suficiente somente para o regime permanente. Para o fluxo tran-siente outra condi¸cão deve ser satisfeita. Considerando T e L como o tempo

e o comprimento caracter´ısticos do problema, o tempo L/cs que um sinal

so-noro leva para percorrer a distância L deve ser pequeno comparada com o tempo T que o fluxo varia consideravelmente, de forma que a propaga¸cão de intera¸cões (por ondas de pressão ou flutua¸cões de densidade) no fluido possa ser considerada instantânea. Esta condi¸cão pode ser espressa como:

T ≫ L

cs

(2.53)

Logo, para satisfazer esta condi¸cão a varia¸cão temporal da pressão não deve ser muito rápida. No LBM incompress´ıvel a varia¸cão de pressão (ou varia¸cão de

densidade) no espa¸co fica limitada pela condi¸c˜ao de n´umero de Mach pequenos

somente, e n˜ao mais pela condi¸c˜ao ∆ρ/ρ ≪ 1 que precisa ser satisfeita no LBM convencional. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(34)

2.3.4

Fluxo Bif´asico

Existem algumas formula¸cões para o LBM multifásico, entre elas as mais utilizadas em meios porosos são a proposta por Gunstensen e Rothman (Gunstensen e Rothman, 1991) e a proposta por Shan e Chen (Shan e Chen, 1993). O primeiro método é baseado no modelo de lattice gas de Rothman e Keller (Rothman e Keller, 1988) e será identificado neste tra-balho como RKLBM. No RKLBM são atribu´ıdas cores às fun¸cões de distri-bui¸cão para distinguir entre as diferentes fases e é inclu´ıda uma perturba¸cão na fun¸cão de distribui¸cão que cria a tensão interfacial, separando as duas fases. No método proposto por Shan e Chen (SCLBM) é introduzida uma for¸ca de intera¸cão não-local entre as diferentes fases de nós vizinhos. No SCLBM, ape-sar da quantidade de movimento se conservar globalmente, não há conserva¸cão de quantidade de movimento local em cada nó da rede por causa da inclusão destas for¸cas de intera¸cão. Neste trabalho será utilizado o RKLBM como des-crito por Rothman e Zaleski (Rothman e Zaleski, 2004) com as modifica¸cões sugeridas por Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005).

No RKLBM em cada n´o da rede ´e poss´ıvel existir dois tipos de part´ıculas

de fluido: as vermelhas e as azuis. Assim define-se rα(x, t) como fun¸c˜ao

distribui¸cão de part´ıculas vermelhas e bα(x, t) como fun¸cão distribui¸cão de

part´ıculas azuis, de forma que fα(x, t) = rα(x, t) + bα(x, t). A id´eia principal

do método é separar a evolu¸cão da fun¸cão distribui¸cão em quatro etapas:

(i) Colis˜ao

Semelhante ao fluxo monofásico a etapa de colisão é dada por:

f′ α(x, t) = fα(x, t) − 1 τ∗ (fα(x, t) − f eq α (x, t)) (2.54)

(ii) Cria¸c˜ao da tens˜ao interfacial

A etapa de cria¸cão da tensão interfacial é baseada na defini¸cão mecânica da tensão interfacial (Rowlinson e Widom, 1982):

γ =

Z ∞

−∞

[pN − pT(z)] dz (2.55)

sendo pN a componente da press˜ao normal `a interface e pT a componente

tangencial próxima à interface, que inclui a tensão interfacial o que a torna

(35)

diferente da componente normal (fig. (2.7)).

Figura 2.7: Componentes da pressão nas proximidades da interface. Inicialmente é calculado o gradiente de cor local (fig. (2.8)), que é um vetor normal à interface entre as duas fases:

g(x, t) = b X i=1 vi c b X j=1 [rj(x + vi∆t, t) − bj(x + vi∆t, t)] (2.56)

Conhecido o gradiente de cor local, modifica-se as distribui¸cões no nó com a seguinte equa¸cão (fig. (2.8)):

f′′ α(x, t) = f ′ α(x, t) + 36wαA|g| (vα· g)2 c2_|g|2 − 1 2 (2.57)

A equa¸cão acima é válida para a rede D3Q19 e A é o parâmetro que regula a magnitude da tensão interfacial. Este termo de perturba¸cão é escolhido de forma que se remova massa da popula¸cão que se move paralelamente à interface e adicione massa à popula¸cão que se move na dire¸cão normal à interface (de forma que a massa e a quantidade de movimento no nó se conserve), criando desta forma a tensão interfacial. A partir da defini¸cão mecânica da tensão interfacial (eq. (2.55)) e do tipo de rede utilizada, determina-se o parâmetro A que regula a tensão interfacial (Rothman e Zaleski, 2004). Para a rede D3Q19 o parâmetro A é dado por:

A = γ ∆t 3 172ρτ∗ ∆x3 (2.58) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(36)

Figura 2.8: Etapa de cria¸cão da tensão interfacial no RKLBM. As cores azul e vermelha representam as duas fases e o cinza uma combina¸cão das duas.

(iii) Redistribui¸c˜ao das cores

Para minimizar a difusão de uma cor na outra, as cores são redistribu´ıdas para que ocorra a separa¸cão das fases. Nesta etapa adotou-se o método proposto por Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005):

r′′ α(x, t) = ρr(x, t) ρr(x, t) + ρb(x, t) f′′ α(x, t) + ∆α (2.59) b′′ α(x, t) = ρb(x, t) ρr(x, t) + ρb(x, t) f′′ α(x, t) − ∆α (2.60)

onde ρr(x, t), ρb(x, t) e ∆α s˜ao definidos por:

ρr(x, t) = b X α=1 rα(x, t) (2.61) ρb(x, t) = b X α=1 bα(x, t) (2.62) ∆α = β ρr(x, t)ρb(x, t) (ρr(x, t) + ρb(x, t))2 f 0eq_αcosϕα (2.63)

sendo β o parˆametro que fornece a tendˆencia das duas fases se separarem, ϕα

é o ângulo entre o gradiente de cor g e a dire¸cão da velocidade vα, e f 0eqα é

dada pela eq. (2.33) considerando a velocidade de fluxo u nula. Estas equa¸cões fazem com que, no nó, as part´ıculas vermelhas se agrupem na dire¸cão dos nós vizinhos cuja concentra¸cão de part´ıculas vermelhas seja maior, e o mesmo ocorra com as part´ıculas azuis, conservando as massas totais de cada cor no

(37)

n´o e a massa total em cada dire¸c˜ao (fig. (2.9)).

Figura 2.9: Etapa de redistribui¸c˜ao das cores no RKLBM.

(iiii) Propaga¸c˜ao

E finalmente, é feita a etapa de propaga¸cão das fun¸cões de distribui¸cão para os nós vizinhos:

rα(x + vα∆t, t + ∆t) = r ′′ α(x, t) (2.64) bα(x + vα∆t, t + ∆t) = b ′′ α(x, t) (2.65) Molhabilidade

A molhabilidade do fluido no sólido é controlada por um único parâmetro

p que mede a fra¸cão de part´ıculas vermelhas nos nós sólidos. No ´ınicio da

simula¸cão é atribu´ıda uma cor (ou seja valores de ρr e ρb que são mantidos

constantes durante a simula¸cão) nos sólidos com o objetivo de se calcular o gradiente de cor local nos nós vizinhos aos sólidos. Se o fluido vermelho é completamente molhante p = 1, se é parcialmente molhante 1 < p < 0, e se os dois fluidos têm a mesma molhabilidade p = 0 (fig. (2.10)). Latva-Kokko e Rothman (Latva-Kokko e Rothman, 2005) demonstram que p = cosθ, sendo θ o ângulo de contato. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA

(38)

Figura 2.10: Molhabilidade dos s´olidos no RKLBM.

2.4

Acoplamento Fluidomecˆanico

O acoplamento do fluxo calculado pelo LBM com o movimento de part´ıculas sólidas foi proposto inicialmente por Ladd (Ladd, 1994) com o objetivo de estudar part´ıculas em suspensão. No trabalho desenvolvido por Ladd o contato entre part´ıculas não é modelado, assim como no trabalho de Aidun e Lu (Aidun e Lu, 1995) que sugeriram uma abordagem alterna-tiva ao método de Ladd. Cook e Noble (Cook e Noble, 2004) implementa-ram um sistema bidimensional acoplando o DEM ao LBM utilizando, para tratar o acoplamento fluidomecânico, o esquema de fronteiras móveis imer-sas (“immersed moving boundary scheme”) proposto por Noble e Torczynsky (Noble e Torczynsky, 1998). O acoplamento do fluxo de fluido com o movi-mento das part´ıculas sólidas envolve duas etapas, no que se refere ao fluxo:

1. Defini¸cão da condi¸cão de contorno imposta ao fluido pelas part´ıculas sólidas em movimento;

2. C´alculo da for¸ca de arraste de fluxo nas part´ıculas s´olidas.

Em rela¸cão ao movimento das part´ıculas, o efeito do fluxo é incorporado através da for¸ca e torque aplicados nas part´ıculas que aparecem nas equa¸cões de movimento (eqs. (2.1) e (2.2)), respectivamente.

Para simular as intera¸cões hidrodinâmicas entre as part´ıculas sólidas e o fluxo de fluido a equa¸cão de lattice-Boltzmann deve ser modificada para incorporar a condi¸cão de contorno do sólido em movimento. A condi¸cão de contorno na superf´ıcie sólida é a condi¸cão de não-escorregamento (“no-slip”), ou seja, o sólido é impermeável e o fluido adjacente à superf´ıcie sólida se move na mesma velocidade do sólido. Neste trabalho será usado o esquema proposto por Noble e Torczynsky (Noble e Torczynsky, 1998), que modifica a equa¸cão de lattice-Boltzmann para for¸car a condi¸cão de não-escorregamento nos nós da rede cobertos pelas part´ıculas, juntamente com o LBM incompress´ıvel. A equa¸cão de lattice-Boltzmann incompress´ıvel (eq. (2.45)) se torna:

(39)

pα(x + vα∆t, t + ∆t) = pα(x, t) − 1

τ∗(1 − B) (pα(x, t) − p

eq

α(x, t)) + BΩsα (2.66)

sendo B uma fun¸c˜ao-peso dada por:

B(x, t) = ε(x, t)(τ

∗

− 0.5)

1 − ε(x, t) + (τ∗

− 0.5) (2.67)

onde ε é a fra¸cão de sólido, definida pela fra¸cão do volume da célula ocupada pela part´ıcula sólida (fig. (2.11)). Observa-se que para as células onde não há sólidos (B = 0) a eq. (2.66) repõe a eq. (2.45).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Figura 2.11: Exemplo de campo de fra¸c˜ao de s´olidos

Na eq. (2.66), Ωs

αé o termo adicional de colisão que modifica as fun¸cões de

distribui¸cão de pressão para tratar dos obstáculos sólidos. Este termo adicional é baseado no conceito de “bounce-back”da parte de não-equil´ıbrio da fun¸cão de distribui¸cão e é dado por (Noble e Torczynsky, 1998):

Ωs_α(x, t) = p−_α(x, t) − p_α(x, t) + p

eq

−α(p, vp) − p

eq

−α(x, t) (2.68)

onde vp ´e a velocidade da part´ıcula na posi¸c˜ao x, no tempo t, e −α representa

a dire¸cão contrária à dire¸cão α.

A for¸ca que é transferida para um sólido pode ser calculada a partir da varia¸cão da quantidade de movimento que ocorre por causa da colisão das part´ıculas do fluido com o sólido, sendo dada então por:

∆q = ∆x 3 c2 s b X α=1 (BΩs_α) vα (2.69)

Logo, a for¸ca de fluxo exercida numa part´ıcula ´e dada por:

(40)

F_f = − np X n=1 ∆qn ∆t = − ∆x3 c2 s∆t np X n=1 Bn b X α=1 Ωs_αv_α (2.70)

sendo np o número de nós cobertos pela part´ıcula. O torque em rela¸cão ao

centro de massa da part´ıcula, xp, ´e dado por:

Tf = − ∆x3 c2 s∆t np X n=1 " Bn b X α=1 Ωs_αvα× (xn− xp) # (2.71) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410749/CA