Universidade Federal do ABC. Evolução dos Conceitos Matemáticos

(1)

Bacharelado em Ciˆencia e Tecnologia

Evolu¸c˜

ao dos Conceitos Matem´

aticos

Daniel Miranda

Roque Caiero

2008 - terceiro trimestre

Question´ario II

Método de exaustão, simbolismo algébrico e primórdios do cálculo

Exerc´ıcio 1 Objetivando estudar algumas caracter´ısticas do denominado método de exaustão, considere o enunciado da Proposi¸cão XII, 2, Elementos de Euclides:

C´ırculos estão entre um para o outro como os quadrados sobre os diâmetros. Segue de modo aproximado a respectiva demonstra¸cão conforme os Elementos:

C´ırculos estão para si assim como os quadrados dos diâmetros destes c´ırculos. Sejam os c´ırculos ABCD, EF GH e seus respectivos diâmetros BD e F H. Afirmamos que, assim como o c´ırculo ABCD está para o c´ırculo EF GH, o quadrado de BD está para o quadrado de F H.

Figura 1:

Pois, se o quadrado de BD não está para o quadrado de F H assim como o c´ırculo ABCD está para o c´ırculo EF GH, e como o quadrado de BD está para o quadrado de F H, então o c´ırculo ABCD está para alguma área menor do que o c´ırculo EF GH, ou uma maior. Primeiro, suponhamos que está para uma área menor S. Inscrevamos o quadrado EF GH no c´ırculo

EF GH; vemos que o quadrado inscrito ´e maior do que a metade do c´ırculo EF GH, al´em disso,

se tra¸camos tangentes ao c´ırculo pelos pontos E, F , G, H, o quadrado EF GH é a metade do quadrado que circunscreve o c´ırculo, e o c´ırculo é menor do que o quadrado circunscrito; então, o quadrado inscrito EF GH é maior do que a metade do c´ırculo EF GH. Dividamos ao meio os arcos de circunferências EF , F G, GH, HE nos pontos K, L, M , N , e sejam os segmentos EK,

KF , F L, LG, GM , M H, HN , N E; portanto, cada um dos triângulos EKF , F LG, GM H, HN E é também maior do que a metade do segmento do c´ırculo no qual está inscrito; além

disso, se tra¸camos tangentes ao c´ırculo nos pontos K, L, M , N e completamos os paralelogramos sobre os segmentos de retas EF , F G, GH, HE, cada um dos triˆangulos EKF , F LG, GM H,

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HN E ser´a a metade do paralelogramo que o cont´em, enquanto que o segmento do c´ırculo em

questão é menor do que o parale1ogramo; então, cada um dos triângulos EKF , F LG, GM H,

HN E ´e maior do que a metade do segmento de c´ırculo que os circunscreve. Assim, utilizando

esse processo de bisse¸cão dos arcos de circunferências restantes e ligando os pontos obtidos por segmentos de retas, continuamente, deixamos alguns segmentos do c´ırculo que serão menores do que a diferen¸ca entre o c´ırculo EF GH e a área S. Pois provou-se no primeiro teorema do décimo livro que se temos duas grandezas distintas, e da maior subtrairmos uma outra, maior do que sua metade, e desta que restou subtrairmos uma outra maior do que sua metade e assim sucessivamente, obteremos alguma grandeza que será menor do que a menor grandeza em questão. Sejam deixados setores como descrevemos, e sejam os setores do c´ırculo EF GH subtendidos por

EK, KF , F L, LG, GM , M H, HN , N E menores do que a diferen¸ca entre o c´ırculo EF GH

e a área S. Logo, o pol´ıgono EKF LGM HN restante é maior do que a área S. Inscrevamos também no c´ırculo ABCD o pol´ıgono AOBP CQDR semelhante ao pol´ıgono EKF LGM HN ; como o quadrado de BD está para o quadrado de F H, então o pol´ıgono AOBP CQDR está para o pol´ıgono EKF LGM HN (proposi¸cão XII, 1). Mas o quadrado de BD está para o quadrado de

F H, então também o c´ırculo ABCD está para a área S; assim também, como o c´ırculo ABCD

está para a área S, o pol´ıgono AOBP CQDR está para o pol´ıgono EKF LM HN (proposi¸cão V, 11). Logo, como o c´ırculo ABCD está para o pol´ıgono inscrito nele, então a área S está para o pol´ıgono EKF LGM HN (proposi¸cão V, 16). Contudo, o c´ırculo ABCD é maior do que o pol´ıgono inscrito nele, portanto a área S é maior do que o pol´ıgono EKF LGM HN . A área S verifica-se também menor. Logo, é imposs´ıvel. Portanto, como o quadrado de BD está para o quadrado de F H; e, então o c´ırculo ABCD não está para nenhuma área menor do que o c´ırculo

EF GH. Analogamente, podemos provar que o c´ırculo EF GH não está para nenhuma área

menor do que o c´ırculo ABCD e tampouco o quadrado de F H está para o quadrado de BD. Afirmamos que o c´ırculo ABCD não está para qualquer área maior do que o c´ırculo EF GH e o quadrado de BD não está para o quadrado de F H. Pois, se poss´ıvel, suponhamos que ele ???? assim esteja relacionado a uma área maior, S. Logo, inversamente, como o quadrado de

F H está para o quadrado de DB, então a área S está para o c´ırculo ABCD; assim também,

como o quadrado de F H está para o quadrado de DB, então o c´ırculo EF GH está para alguma área menor do que a do c´ırculo ABCD (proposi¸cão V, 11), que demonstramos não ser poss´ıvel. Portanto, como o quadrado de BD está para o quadrado de F H; e, então, o c´ırculo ABCD não está para nenhuma área maior do que o c´ırculo EF GH. Provamos que nenhum relaciona-se com uma área menor do que o c´ırculo EF GH, conclu´ımos que o quadrado de BD está para o quadrado de F H, logo o c´ırculo ABCD está para o c´ırculo EF GH. Então, ....

Quanto ao argumento dedutivo para a Proposi¸c˜ao XII, 2, levando em aten¸c˜ao sistema de

defini¸c˜oes, postulados e axiomas dos Elementos:

a) Explicite o esquema l´ogico do argumento dedutivo utilizado (ou demonstra¸c˜ao)

b) Elabore uma análise dos motivos lógico-matemáticos (e.g., quais as limita¸cões da demons-tra¸cão, impossibilidades de realizar uma prova direta) e das condi¸cões para o recurso ao chamado método da exaustão e, também, método de redu¸cão ao absurdo.

c) Não raro, afirma-se que o método da exaustão tem a redu¸cão ao absurdo como caracter´ıstica

intr´ınseca, portanto parte constituinte do próprio método da exaustão. Elabore uma análise

cr´ıtica da afirma¸cão precedente. Nesta a análise leve em aten¸cão a possibilidade genérica de estudar e comparar magnitudes correspondentes a pol´ıgonos por meio da decomposi¸cão em triângulos e a utiliza¸cão do método da exaustão.

d) Identifique algumas das caracter´ısticas da chamada ´algebra geom´etrica grega e, em especial, destaque:

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1. a concep¸cão de número e de rela¸cões entre números; 2. a linguagem e seu poder expressivo;

3. o status dos esquemas pict´oricos (ou diagramas).

Exerc´ıcio 2 Habitualmente, o conteúdo da proposi¸cão IX, 14, dos Elementos de Euclides, é reconhecida como o teorema fundamental da aritmética. Nas palavras dos Elementos tem-se:

Se um número é o menor que é medido por números primos, este número não será medido por qualquer outro número primo exceto aqueles números primos que o medem originalmente.

A prova segue-se.

Seja o n´umero A o menor n´umero que ´e medido pelos n´umeros primos B, C e D; Diz-se que

A não é medido por qualquer número primo exceto B, C e D. Supõe-se que seja poss´ıvel A ser medido por um n´umero primo E; e E não é o mesmo que qualquer dos números primos B, C e D. Com efeito, E mede A, então seja a medida de acordo com F ; logo, E pela multiplica¸cão de F resulta A. E A é medido pelos números primos B, C e D. Contudo, se dois n´umeros pela multiplica¸cão de um por outro resultam em algum número, e qualquer número primo mede o produto, então este número primo mede algum daqueles números originais [proposi¸cão, VII, 30]. Então, B, C e D medem um dos dois números E ou F . E, logo, não medem E. Portanto, B, C e D medem F , o qual é menor que A; contudo, é imposs´ıvel para o número A, por suposi¸cão A é o menor n´umero medido por B, C e D. Portanto, nenhum número primo mede A exceto B, C e D.

Levando em aten¸cão uma formula¸cão do teorema fundamental da aritmética no contexto

conceitual e lógico da matemática atual e a versão contida nos Elementos, estabele¸ca uma análise

destacando os seguintes aspectos:

a) Explicite os termos conceituais presentes em cada formula¸c˜ao; e identifique aqueles termos primitivos.

b) Quanto às axiomáticas, identifique as diferen¸cas e, sobretudo, quanto à concep¸cão de número. Por exemplo, a natureza interpretativa, em termos intuitivos, entre as duas provas (e, de fato, teoremas) seriam diferentes e, se for o caso, em qual sentido? Qual a distin¸cão em termos de conceitos matemáticos e fundamentos? De outro lado, se em ambos os casos é poss´ıvel reconhecer o mesmo conte´udo, então qual a continuidade, qual a permanência, e.g., de caráter

matem´atico?

c) Em ambos os casos, os sistemas lógicos não são explicitados. Podemos admitir que os sistemas lógicos subjacentes às duas provas tenham caracter´ısticas em comum de sorte a considerá-los no uso da questão como bastante próximos. Descreva a estrutura das provas, por exemplo, uso de redu¸cão ao absurdo, propriedade do terceiro exclu´ıdo.

d) O significado de realizar aritm´etica restrito a um sistema conceitual de geometria1 _{e a uma} concep¸c˜ao de prova (e, logo, de rigor) correspondente ao sistema conceitual de geometria.

1_{A questão reporta-se ao discurso lógico-teórico dos Elementos e geometria significa estritamente}

geometria expressada e representada nos Elementos, quanto ao conteúdo conceitual, à forma de conceber e expressar fatos matemáticos e, por fim, quanto ao modo de justificá-los segundo um padrão de rigor e inteligibilidade aceitos. Recordamos que o padrão de rigor, a inteligibilidade e os métodos de justifica¸cão, em certo sentido, condicionam a matemática de uma época. Não obstante, não a limitam e tampouco a determinam seja como prática e descoberta e tampouco seja como um corpo estabelecido e como constru¸cão social e intelectual.

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Exerc´ıcio 3 Nos Elementos de Euclides, destaca-se um axioma, ora designado A-I.5: O todo

é maior que as partes. A afirma¸cão deste axioma impõe-se ao sistema conceitual da geometria

euclidiana e, por conseguinte ao método de exaustão e sua aplica¸cão. De fato, o conteúdo do axi-oma A-I.5 parece sobretudo intuitivo e correto quanto aos objetos, às circunstâncias e às rela¸cões do mundo concreto e da matemática. Esta última, seja referida a interpreta¸cões e significados intuitivos ou seja concebida como dom´ınio abstrato. Sabemos que a matemática greco-helênica tinha preocupa¸cões conceituais e lógicas a respeito da no¸cão de infinito e, logo, finito. Não obs-tante, de um ponto de vista heur´ıstico utilizassem aparentemente alguma concep¸cão operacional e informal de infinito, por exemplo, associado a expressões indefinidamente, sem fim, subtra¸cões

sucessivas de sorte que o segmento de linha (i.e., magnitude) restante é menor (i.e., é medido em magnitude) que um determinado segmento de linha dado, adi¸cão sucessiva sem fim de magnitudes menores.

Há um decurso histórico, consideremos o último quartel do século XVI e o século XVII, o contexto e momento conceitual dos primórdios do cálculo, no sentido a saber: desenvolvimento de um simbolismo e no¸cões de opera¸cões e rela¸cões de caráter algébrico e métodos que utiliza-vam as no¸cões de indivis´ıveis, infinitesimais, infinitos. Naquele contexto e momento conceitual, aparentemente, aceitava-se impl´ıcita ou explicitamente a concep¸cão que o Todo é maior que as

partes e, associado, que não há uma distin¸cão lógica e conceitual entre considerar o finito e o

infinito face à matemática praticada. Incorrendo eventualmente em abuso e informalidade, po-demos considerar para as circunstâncias da questão que todo significa também totalidade, e.g., referida a uma cole¸cão. Interroga-se:

a) Considere os denominados paradoxos de Zenão de Elea, quais o conte´udo e o caráter dos paradoxos? Por exemplo, considerando que o movimento f´ısico concreto, cotidiano, não é uma mera ilusão, qual o sentido dos paradoxos?

b) Grosso modo, a filosofia e a matemática greco-helênica têm dois conceitos de infinito, deno-minados potencial (ou em potência) e atual (ou completo). Exponha os conceitos de modo a torná-los distintos e elabore uma correspondência com os paradoxos de Zenão.

c) Esclare¸ca a rela¸cão entre o chamado método de exaustão e o axioma A-I.5. Esclare¸ca, se for o caso de existir, qual rela¸cão há entre os conceitos de infinito e o método de exaustão? d) Levando em conta o denominado método do indivis´ıveis de B. Cavalieri, se houver, explicite

a distin¸cão entre este método e o método da exaustão. Com efeito, quanto ao método dos

indivis´ıveis – e, de fato, outros similares –, identifique quais conceitos de infinitos est˜ao em

uso. Sobretudo, elucide se os conceitos de infinitos relativamente à utiliza¸cão operacional atendem ao axioma A-I.5 e se não há distin¸cão entre a concep¸cão de opera¸cões em termos de finito e infinito.

e) No final do século XIX e in´ıcio do século XX, a matemática experimenta um contexto e momento conceitual extremo quanto ao rigor e a elucida¸cão de alguns temas. Há destaca-das modifica¸cões seja em termos de conceitos e seja em termos de método. Os esfor¸cos de fundamentar e de estabelecer o conceito de número real, e.g., relativamente ao cálculo e a

álgebra, permitem que a preocupa¸cão a respeito do infinito ofere¸ca resultados insuspeitos. Entre alguns desses resultados, descobrem-se teoremas da teoria de conjuntos e, em especial, alguns que contradizem o axioma O todo é maior que a partes. Resultados que evidenciam a sutileza em conceber e utilizar o infinito em dom´ınios abstratos, em perceber que a intui¸cão intelectual e conceitual do finito e dos dom´ınios concretos pode relevar-se equivocada em outros dom´ınios do pensamento.

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1. Levando em conta a cole¸cão, ou totalidade, dos n´umeros naturais, de modo bastante intuitivo espera-se que o número de números naturais seja maior que o número de

números pares. Com efeito, parece razoável e intuitivo que uma parte da totalidade é menor que a totalidade; ou seja, em palavras informais, a parte é menor que o todo. Contudo, não é o caso. Descreva as cole¸cões em termos da teoria de conjuntos ingênua e prove a proposi¸cão que existem quantos números pares quantos números naturais.

2. Explicite a no¸c˜ao de infinito associada ao resultado imediatamente precedente.

3. Sabemos que é comum empregarmos expressões similares a tender para o infinito, tão

grande quanto se desejar, t˜ao pequeno quanto se desejar. H´a alguma diferen¸ca entre a

referência ao conceito de infinito nestas expressões e ao conceito de infinito relativo a uma totalidade, ou cole¸cão (e.g., o conjunto dos n´umeros naturais)?

Exerc´ıcio 4 Nos Elementos, a Proposi¸cão 20, Livro IX, em palavras informais, enuncia que o número de números primos é infinito. Vejamos a proposi¸cão e sua correspondente prova:

N´umeros primos s˜ao mais que qualquer assinalada multitude2 _{de n´}_{umeros primos.}

Sejam A, B e C os n´umeros primos da multitude assinalada, dizemos que existem mais n´umeros primos que A, B e C. Consideremos o menor número primo medido por A, B e C, designado DE. Seja DF a unidade adicionada a DE. Então, EF ou é um n´umero primo ou não é um número primo. Primeiramente, supõe-se que EF seja um número primo, então os números primos A, B, C e EF descobrem-se mais que A, B e C. De outro lado, supõe-se que EF não seja um número primo. Logo, é medido por algum número primo [proposi¸cão 31, Livro VII]. Seja

EF medido pelo número primo G; e G é distinto de quaisquer números primos A, B e C. Os n´umeros A, B e C medem DE, então G mede também DE; e G mede EF . Portanto, G é um número distinto dos n´umeros primos A, B e C e, por hipótese, é primo. Portanto, descobrem-se que os n´umeros primos A, B, C e G são mais que os n´umeros primos assinalados na multitude de A, B e C.

Indagamos:

a) Descreva a estrutura da prova referente à Proposi¸cão 20, Livro IX apresentada por Euclides. b) Nos Elementos não há men¸cão à no¸cão de infinito, por conseguinte em qual sentido pode

asseverar-se que a Proposi¸cão 20, Livro IX enuncia que existem infinitos números primos? c) Consideramos os contextos conceituais e lógicos da matemática dos Elementos e o atual, as

correspondentes versões da proposi¸cão asseveram a existência de números primos relativa-mente ao respectivo contexto. Estabele¸ca uma compara¸cão conceitual e de método entre as duas versões, por exemplo, destacando só termos conceituais utilizados, as axiomáticas, a no¸cão de número, os modelos.

d) Asseverar que existem infinitos n´umeros primos seria equivalente a afirmar que existe algum n´umero primo?

A seguir esclarecemos parcial e minimamente o sentido de contexto conceitual e l´ogico da

matem´atica atual. Implicitamente, adotamos uma linguagem formal apropriada (e.g., s´ımbolos

de variáveis, de igualdade, de conectivos, de constantes, de predicados) e um sistema lógico clássico (e.g., as regras de inferência, a caracteriza¸cão da nega¸cão). A caracteriza¸cão da igualdade segue-se:

2_{Em termos dos Elementos, a express˜ao multitude pode ser entendida como uma cole¸c˜ao de unidades,}

ou números; ou, também, uma quantidade de unidades, ou a partir da no¸cão que um número é uma cole¸cão de unidades.

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ig₁ ∀x(x = x)

ig₂ x = y → (α[x, x] → α[x, y]), em que a fórmula α[x, y] é obtida a partir da fórmula α[x, x]

pela substitui¸cão de alguns ocorrências da variável x por y, tal que a substitui¸cão não origina confusão de variáveis.

ig₃ ∀x∀y((x = y) → (y = x))

ig4 ∀x∀y∀z((x = y) → ((y = z) → (x = z))) A nega¸c˜ao da igualdade x = y denota-se x 6= y.

Os axiomas pr´oprios da teoria da aritm´etica dos n´umeros naturais, e.g., termos primitivos c e s, seguem: ar1 c 6= sx ar2 (x = y) → (sx = sy) ar3 (sx = sy) → (x = y) ar4 x + c = x ar5 x + sy = s(x + y) ar6 x.c = c

ar7 x.(sy) = (x.y) + x

ar8 para qualquer fórmula α[x], α[c] → (∀x(α[x] → α[sx]) → ∀xα[x]) Vejamos uma apresenta¸cão informal para ilustrar a axiomática precedente: inar1 0 é um número natural.

inar2 Se x ´e um n´umero natural, existe um outro n´umero denotado por sx, chamado o sucessor de x, por exemplo, s0 ´e 1.

inar3 para qualquer x, 0 6= sx. inar4 Se sx = sy, ent˜ao x = y.

inar5 Se Q é uma propriedade que pode, ou não pode, manter-se para os números naturais e se 1. 0 tem a propriedade Q e

2. qualquer n´umero natural x tem a propriedade Q, então sx tem a propriedade Q, então todos os números naturais têm a propriedade Q.

Algumas defini¸cões e propriedades m´ınimas são necessárias para a caracteriza¸cão da no¸cão de número primo e a demonstra¸cão, a saber:

i. sejam x, y naturais, diz-se que y divide x, denotado y|x, quando existe um n´umero natural

z tal que y.z = x;

ii. para todo x, 0|x se, e s´o se, x = 0; iii. para todo x, 0.x = 0;

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v. y ≥ 2, todo x pode ser escrito de modo ´unico na forma

x = rn.yn+ rn−1.yn−1+ ... + r1.y + r0,

em que n ≥ 0, r 6= 0, para todo i, 0 ≤ i ≤ n tem-se que 0 ≤ ri < y;

vi. um n´umero natural x denomina-se primo se, e s´o se, tem exatamente dois divisores 1 e x; vii. todo n´umero natural x, com x > 1 pode ser escrito como produto de n´umeros primos.

Conhece-se a caracteriza¸cão da rela¸cão de igualdade. Todavia, as rela¸cões menor que ou igual

a e maior que ou igual a n˜ao se descobrem definidas.

n.1. Elabore uma caracteriza¸c˜ao para cada uma das duas rela¸c˜oes designadas respectivamente

< e ≤, menor que e menor que ou igual a;

n.2. Selecione uma entre as duas, ent˜ao, conforme a escolha, prove as propriedades de irrefle-xividade, assimetria e transitividade.

n.3. Seja um arbitr´ario x, prove que existe um ´unico c, tal que c 6= sx e x + c = x. n.4. Prove que ssc + ssc = ssssc.

n.5. Sejam x e y quaisquer, prove que x + y = y + x.

Exerc´ıcio 5 Pierre de Fermat, em certo sentido, manteve-se pr´oximo ao modo de provar

geo-m´etrico e criticava aqueles autores que se distanciam deste estilo de prova e deste padr˜ao de

rigor e clareza. Fermat n˜ao utiliza expl´ıcita e diretamente quaisquer no¸c˜oes de indivis´ıveis e

infinitésimos. Não obstante, aparentemente, não se esquiva da utiliza¸cão de alguma no¸cão de infinito. Examinemos a quadratura de hipérboles infinitas utilizando uma cole¸cão de retângulos

inscritos cujas áreas relacionam-se por uma progressão geométrica (i.e., propor¸cão continuada).

Figura 2:

Dada uma progressão geométrica cujos termos decrescem indefinidamente, a diferen¸ca entre dois termos consecutivos desta progressão está para o menor deles assim como o maior está para a soma de todos os termos seguintes. Utilizando este resultado, discutiremos o problema da quadratura de hipérboles: definamos hipérboles como curvas tendendo ao infinito, as quais, como DSEF , possuem a seguinte propriedade. Sejam RA e AC ass´ıntotas que podem ser estendidas indefinidamente; tracemos as EG, HI, N O, M P , RS, etc. paralelas às ass´ıntotas. Temos uma razão igual entre uma dada potência de AH e a mesma potência de AG por um

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lado, e uma potˆencia de EG (a mesma ou diferente da precedente) e a mesma potˆencia de

HI por outro. Por potências, dizemos não apenas quadrados, cubos, quartas potências, etc.,

expoentes 2, 3, 4, etc., mas também ra´ızes simples com expoente unitário. Afirmamos que todas essas hipérboles infinitas, exceto a de Apolônio3_{, ou a primeira, são quadráveis pelo método de} progressão geométrica, segundo um procedimento uniforme e geral. Consideremos, por exemplo, as hipérboles definidas pelas propriedades AH2

AG2 = EG_HI e AO 2

HI2 = _{N O}HI, etc. Dizemos que a área indefinida da região limitada pela curva ES, pela ass´ıntota GOR e com base EG é igual a uma certa área retil´ınea. Consideremos uma progressão geométrica com termos decrescentes. Seja

AG o primeiro termo, AH o segundo, AO o terceiro, etc. Suponhamos que esses termos estejam

suficientemente próximos entre si, de tal modo que possamos usar o método de Arquimedes de acordo com Diofanto, isto é, aproximar o paralelogramo retil´ıneo GE × GH ao quadrilátero

GHIE; e, tamb´em, devemos supor que os primeiros intervalos GH, HO, OM , etc., dos termos

consecutivos são suficientemente próximos de tal modo que possamos usar o método de exaustão de Arquimedes, inscrevendo e circunscrevendo pol´ıgonos. É suficiente fazer esta observa¸cão uma vez e não precisamos repeti-lá e insistir muito sobre um precedente bem conhecido dos matemáticos. Com efeito, temos AG

AH = AHAO = AMAO, ent˜ao AHAG = GHHO = OMHO, para os intervalos.

Entretanto, para os paralelogramos:

EG×GH

HI×HO = ON ×OMHI×HO.

Na realidade, a raz˜ao

EG×GH HI×HO

dos paralelogramos consiste das raz˜oes EG

HI e GHHO, mas como indicamos GHHO =AHAG; e, logo, a

raz˜ao

EG×GH HI×HO

pode ser decomposta nas raz˜oes EG

HI e AHAG. Por outro lado, por constru¸c˜ao, EGHI = AH 2 AG2 ou AO

AG, por causa da proporcionalidade dos termos. Portanto, a raz˜ao EG×GH

HI×HO

decomp˜oe-se nas raz˜oes AO

AG eGHAG; eAHAO decomp˜oe-se nas mesmas raz˜oes. Consequentemente,

encontramos

EG×GH

HI×HO = AOAH = AHAG.

Do mesmo modo provamos que

HI×HO

N O×M O = AHAO.

Contudo, as retas AO, AH, AG, que formam as razões dos paralelogramos, definem, por constru¸cão, uma progressão geométrica. Então, os infinitos paralelogramos EG×GH, HI ×HO,

N O × OM , etc formarão uma progressão aritmética cuja razão será AH_AG. Portanto, de acordo com o teorema básico do nosso método, GH, a diferen¸ca entre dois termos consecutivos estará para o menor termo AG, assim como o primeiro termo da progressão, a saber: o paralelogramo

GE × GH, estar´a para a soma de todos os outros paralelogramos. De acordo com Arquimedes,

esta soma ´e a figura infinita limitada por HI, a ass´ıntota HR e a curva estendida infinitamente,

IN D. Se multiplicamos os dois termos por EG, obtemos

GH

AG = EG×GHEG×AG,

em que EG × GH está para a área infinita cuja base é HI assim como EG × GH está para

EG×AG. Portanto, o paralelogramo EG×AG é adequado à figura em questão; se acrescentarmos

a ambos os lados o paralelogramo EG × GH, o qual, devido ao n´umero infinito de subdivisões, desaparecerá, chegamos à conclusão de que será fácil confirmar por meio de uma demonstra¸cão mais longa utilizando os argumentos de Arquimedes, a saber, que para este tipo de hipérbole o

3_{A chamada hipérbole de Apolônio é a hipérbole retangular,} y a =

b

x. Tamb´em, notamos que a

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paralelogramo AE é equivalente á área limitada pela base EG, a ass´ıntota GR e a curva ED estendida infinitamente. Não é dif´ıcil estender esta ideia a todas as hipérboles definidas acima, exceto para aquela que já mencionamos.

a) Elabore uma an´alise da prova oferecida por Fermat de modo a destacar sua estrutura, os termos e procedimentos que a entrela¸cam conceitual e metodologicamente com os prim´ordios

do c´alculo diferencial e integral, por exemplo, as no¸c˜oes utilizadas, o modo de proceder, os

fundamentos conceituais.

b) Conquanto os argumento de Fermat apresentem-se de modo geométrico, a concep¸cão do problema e a prova precedente relevam-se estritamente geométricos? Por exemplo, há a necessidade de uns configura¸cão geométrica, i.e., uma curva e argumentos acerca da curva? Justifique a resposta.

c) De acordo com a resposta imediatamente anterior, caracterize os objetos e as rela¸cões ma-temáticos que se descobrem intrincados no problema e na prova, e.g., seriam tão-somente geométricos em termos dos Elementos?

d) Nos primórdios do cálculo, não existe o conceito de fun¸cão, utilizam-se as no¸cões amb´ıguas de

equa¸cão, incógnita, raiz desconhecida, quantidade variável; e, com efeito, estuda a varia¸cão

de variáveis e sua dependência. Elucide a no¸cão de equa¸cão, por exemplo, seria uma rela¸cão geométrica, uma fórmula, uma cole¸cão de n´umeros? Qual o sentido de variável e equa¸cão no problema e na prova de Fermat?

e) Se for o caso de Fermat empregar alguma no¸cão de infinito, então esclare¸ca a no¸cão utilizada. f) No contexto da matemática contemporânea, elabore um esquema de prova relativo à prova de Fermat, de sorte a indicar o uso da no¸cão de fun¸cão, limite de fun¸cão, continuidade, integral. De um ponto de vista algébrico, i.e., utilizando uma linguagem e operadores como se fosse uma geometria algébrica, elabore um esquema detalhado da prova.

g) Uma prova per se, suposta correta em um sentido suficiente para a questão, pode legitimar conceitos matemáticos4_{(e.g., acerca de objetos, rela¸cões)? Uma prova, suposta correta, pode} ser fundamento de si própria? E, então, dos conceitos matemáticos que a elaboram? Se a resposta for em um sentido negativo, tente identificar alguns pressupostos que deveriam ser aceitos e justificados para legitimar a prova.

Exerc´ıcio 6 Indagamos, de qual modo distinguir se um objeto, ou uma rela¸cão matemática é leg´ıtima? Na verdade, se houver sentido, qual a no¸cão de legitimidade matemática? Seriam as imagens mentais de colheres, dedos, fadas e dragões, elétrons e genes entidades matemáticas de igual modo que fun¸cões, rela¸cões de ordem, espa¸cos topológicos, conjuntos, um número natural? Exerc´ıcio 7 Na ilustra¸cão a seguir, pode compreender-se algumas dificuldade relativas aos primórdios do cálculo. Considere aproximadamente, fluente pode ser entendido como a va-ria¸cão da quantidade x (i.e., variáveis que aumentam ou diminuem com o tempo); e, também, a no¸cão de fluxão a varia¸cão da quantidade associada a x relativa a varia¸cão da quantidade x (ou a varia¸cão da quantidade x relativa à varia¸cão do tempo). Notamos que podemos entender

o como um per´ıodo de tempo infinitamente pequeno. Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ao acerca

do m´etodo das flux˜oes tomado a I. Newton:

4_{Necessitamos admitir uma circunstância estranha, a corre¸cão da prova (e, logo, a identifica¸cão de}

teoremas) poderia acontecer relativo a uma sistema lógico, tal que esta lógica seria neutra epistêmica, metodológica e ontologicamente quanto aos objetos, às rela¸cões e aos fatos matemáticos próprios.

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Suponhamos que a quantidade x flua uniformemente. Encontre a flux˜ao de xn_{. No mesmo}

intervalo de tempo em que a quantidade x torna-se x + o pelo fluxo, a quantidade xn _torna-se

(x + o)n_{, quer dizer, pelo m´etodo das s´eries infinitas}

xn_{+ nox}n−1₊nn−n

2 ooxn−2+, ... e os aumentos o e noxn−1₊nn−n

2 ooxn−2+ ... est˜ao relacionados entre si como 1 e nxn−1+ +nn−n

2 ooxn−2+ ....

Fa¸ca aqueles aumentos desaparecerem e a sua ´ultima raz˜ao ser´a de 1 a nxn−1_{; portanto, a}

fluxão da quantidade x está relacionada à fluxão da quantidade xn _{como 1 a nx}n−1_.

Por meio de argumentos semelhantes e pelo método das primeiras e das últimas razões podemos obter, qualquer que seja o caso, as fluxões de linhas, sejam elas retil´ıneas ou curvadas como também as fluxões de áreas, de ângulos e de outras quantidades. Assim, formar um cálculo de quantidades finitas e investigar, consequentemente, as primeiras e as últimas razões das quantidades finitas que nascem ou desaparecem está de acordo com a geometria dos antigos; estava querendo mostrar que no método das fluxões não há necessidade de introduzir figuras infinitamente pequenas à geometria. Esta análise pode ser executada em figuras quaisquer, sejam elas finitas ou infinitamente pequenas, desde que possam ser imaginadas semelhantes a figuras ´ınfimas; também em figuras que podem ser consideradas infinitamente pequenas, mas você deve pro ce der com cuidado.

Encontrar os fluentes a partir das fluxões é o problema mais dif´ıcil e o primeiro passo da sua solu¸cão é equivalente à Quadratura de curvas[...]

No contexto conceitual do texto precedente, um incremento pequeno significa nascente, ou seja chegar a existir e as razões das fluxões seriam muito parecidas com a razão dos incrementos. As fluxões de quantidades estão relacionadas como as primeiras razões de quantidades finitas

nascentes, e.g., ˙x ˙

y, ou como as raz˜oes ´ultimas de quantidades ´ınfimas (ou evanescentes).

Interroga-se:

a) Há a percep¸cão de uma dificuldade, quando os incrementos pequenos (ou aumentos pequenos) são iguais a zero, então os incrementos não têm uma razão; e, no interior de um intervalo de

tempo (de valores de uma quantidade) finito, embora muito pequeno, a raz˜ao dos incrementos

não pode ser igual à razão das fluxões. Destaque e esclare¸ca o problema relativo à concep¸cão newtoniana das primeiras e últimas razões.

b) Em 1734, G. Berkeley enuncia diversas cr´ıticas ao chamado novo método, i.e., o cálculo em seus primórdios de infinitésimos, quantidades infinitamente pequenas distintas de zero,

incrementos nascentes, flux˜oes. Destacamos duas cita¸c˜oes:

Se com o objetivo de demonstrar uma proposi¸cão qualquer supõe-se um certo ponto, devido ao qual outros determinados pontos são atingidos; e se o ponto suposto for depois destru´ıdo ou rejeitado por uma suposi¸cão contrária. Neste caso, todos os outros pontos atingidos por meio deste e em consequência deste também devem ser destru´ıdos e rejeitados, de forma a não serem mais supostos e tampouco aplicados à demonstra¸cão.

Indagamos, com efeito, no método o é considerado primeiramente diferente de zero e, a partir de certo estágio da prova, considera-se igual a zero ou, simplesmente, pode aplicar alguma opera¸cão de desaparecimento de valores para variáveis e varia¸cões de variáveis. Qual a natureza de um poss´ıvel justificativa para o procedimento adotado e qual a natureza da cr´ıtica de Berkeley?

Na segunda cita¸cão, G. Berkeley menciona o denominado duplo erro presente no método, em palavras breves, a suposi¸cão de um valor diferente de zero e a ado¸cão do valor zero para uma variável. De um lado, uma prática associada às no¸cões vagas e amb´ıguas de infinitésimos,

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greco-helênica e a no¸cão de conhecimento. Esta ´ultima concebida em termos de proposi¸cões acreditadas e aceitas como verdadeiras, tal que há uma justifica¸cão para aceitá-las como verdadeiras e, de fato, são verdadeiras.

Se tivéssemos cometido somente um erro, não chegar´ıamos à verdadeira solu¸cão pra o pro-blema. Entretanto, em virtude de um duplo erro, chegamos à verdade, embora não à ciência. Pois, quando procedemos cegamente e chegamos à verdade sem saber como, ou por quais meios, não chegamos à ciência.

Interroga-se:

b.1. Para G. Berkeley o método não descobre uma justifica¸cão em termos matemáticos para que os resultados alcan¸cados possam ser considerados ciência (ou conhecimento)? b.2. Qual a natureza da justifica¸cão em matemática?

b.3. Supõe-se aceita a cr´ıtica de Berkeley, então, qual o significado epistêmico e matemático relativo aos resultados alcan¸cados e procedimentos desenvolvidos?

b.4. Há legitimidade dos conceitos utilizados no método, i.e., seriam conceitos matemáticos, poder-se-ia considerar em algum sentido que existiriam os objetos matemáticos, as

rela¸cões matemáticas reportadas na linguagem e no novo método? Justifique a

res-posta.

Exerc´ıcio 8 A seguir apresentamos minimamente uma axiom´atica dos n´umeros reais R no

con-texto conceitual e l´ogico da matem´atica atual. Implicitamente, adotamos uma linguagem formal

apropriada (e.g., s´ımbolos de variáveis, de igualdade, de conectivos, de constantes, de predicados) e um sistema lógico clássico (e.g., as regras de inferência, a caracteriza¸cão da nega¸cão).

Os reais podem ser definidos como um conjunto munido de trˆes opera¸c˜oes, denotadas por + , ◦ e <satisfazendo Axiomas de Corpo a) ∀x, y, z : (x + y) + z = x + (y + z) b) ∀x, y : x + y = y + x c) ∃0 ∈ K, ∀x : x + 0 = x d) ∀x, ∃(−x) : x + (−x) = 0 e) ∀x, y, z : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) f) ∀x, y : x ◦ y = y ◦ x g) ∀x, ∃1 ∈ K, 1 6= 0, ∃x : x ◦ 1 = x h) ∀x, ∃x−1_{: x ◦ x}−1_{= 1} i) ∀x, y, z : x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z Axiomas de Ordem

Existe uma rela¸c˜ao de ordem > on R satisfazendo a) ∀a ∈ R : a 6= 0 → a > 0 ou 0 > a

b) ∀ a, b ∈ R, a, b > 0 → a + b > 0 c) ∀ a, b ∈ R : a, b > 0 → a.b > 0

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d) ∀a, b, c ∈ R : a > b → a + c > b + c

Seja A ⊆ R. Dizemos b ∈ R é uma ”cota superior” para A se :∀s ∈ A : s ≤ b Dizemos que s é o ”supremo” de A se s é cota superior de A, e se b é outra cota superior para A então s ≤ b. Mais formalmente: :(∀a ∈ A : a ≤ s) e (∀b ∈ R : ((∀a ∈ A : a ≤ b) =⇒ (s ≤ b))) Se existir, o supremo de um conjunto A são indicadas sup A .

Axioma de Completude

Se S ⊆ R é não-vazio e tem uma cota superior, então S tem supremo. Dentro desse contexto

a) Prove que 1 > 0.

b) Prove a propriedade arquimediana: Dado x, y ∈ R, ent˜ao existe um n´umero real n tal que

nx > y.

c) Prove que se x ∈ R tem a propriedade que 0 < x < b para todo n´umero real positivo b ent˜ao

x = 0. O que essa proposi¸cão implica sobre a existência de infinitésimos nessa axiomática dos

n´umeros reais?

d) Defina formalmente a afirma¸c˜ao que a fun¸c˜ao f (x) tende a L quando x tende a a, ou seja limx→af (x) = L.

e) Defina formalmente limx→∞f (x) = L

f) Prove usando o princ´ıpio de Arquimedes que limn→∞_n1 = 0

g) Defina formalmente o que significa a derivada de uma fun¸cão f num ponto a. Compare essa derivada com a derivada de Newton. Quais as principais semelhan¸cas e as diferen¸cas entre as duas em rela¸cão a utiliza¸cão do infinito potencial e atual, em rela¸cão a ideias intuitivas envolvidas?

h) Como o principio de Exaust˜ao pode ser enunciado, neste contexto, como uma propriedade dos n´umeros reais?

i) Prove o Teorema Fundamental do C´alculo.

Exerc´ıcio 9 Elabore uma teoria de infinitésimos, explicitando (intuitivamente ou formalmente) quais curvas pertencem ao seu dom´ınio de estudo (que deve ao menos incluir as rela¸cões polino-miais) e criando justificativas para as propriedades que atribuir aos infinitésimos. De posse desse arcabou¸co conceitual:

a) Defina nessa teoria o conceito de derivada de uma curva num ponto e calcule a derivada de

xn_.

b) Defina nessa teoria a ´area sobre uma curva e calcule a ´area entre xn _{e o eixo x entre 0 a 1.}

c) Crie uma demonstra¸c˜ao/justificativa para a validade do Teorema fundamental do c´alculo nessa teoria.

d) Apresente cr´ıticas a sua teoria de infinit´esimos.

e) Compare a demonstra¸cão anterior do TFC com a demonstra¸cão do TFC apresentada no exerc´ıcio anterior. Podemos dizer que esses dois teoremas fundamentais do cálculo são o mesmo teorema? Como podemos comparar o conhecimento dessas duas teorias do cálculo?