Fractais e Percolação na Recuperação de Petróleo

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUA ¸

C ˜

AO EM F´ISICA

Fractais e Percola¸

c˜

ao na Recupera¸c˜

ao de Petr´

oleo

Tese apresentada como requisito parcial para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.

Autor: Roosewelt Fonseca Soares Orientador: Liacir dos Santos Lucena

(2)

Cataloga¸cão da Publica¸cão na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET.

Soares, Roosewelt Fonseca.

Fractais e percola¸cão na recupera¸cão de petróleo / Roosewelt Fonseca Soares. -Natal, RN, 2007.

148 f. : il.

Orientador : Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica.

1. Fractais - Tese. 2. Percola¸cão - Tese. 3. Recupera¸cão de petróleo - Tese. 4. Formas geométricas - Tese. I. Lucena, Liacir dos Santos. II. T´ıtulo.

(3)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUA ¸

C ˜

AO EM F´ISICA

BANCA EXAMINADORA

Orientador:

Liacir dos Santos Lucena

Examinadores externos:

Joaquim Elias de Freitas

Murilo Pereira de Almeida

Examinadores internos:

Gilberto Corso (Co-orientador)

(4)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Natal, 17 de dezembro de 2007

Autor: Roosewelt Fonseca Soares

T´ıtulo: Fractais e Percola¸cão na Recupera¸cão de Petróleo Departamento: Departamento de F´ısica Teórica e Experimental

Grau: Dr.

Data da defesa: 17 de dezembro de 2007

Roosewelt F onseca Soares

(5)

Agradecimentos

Gostaria de expressar meus sinceros agradecimentos a todos aqueles que me aju-daram, de uma forma ou de outra, a desenvolver e realizar este trabalho.

Em particular, e de modo especial, agrade¸co ao colega e grande amigo Joaquim Elias de Freitas pela id´eia e iniciativa de trabalharmos juntos. Isto foi o come¸co de tudo.

Ao professor Liacir dos Santos Lucena pela orienta¸c˜ao segura, incentivo e entusiasmo constantes e, principalmente, pelas condi¸c˜oes que criou para que eu pudesse conhecer e interagir com pessoas e centros do mais alto n´ıvel na atualidade.

Ao professor Gilberto Corso pela co-orienta¸cão e pela participa¸cão sempre descon-tra´ıda e de fundamental importância nos estudos que desenvolvemos.

Ao colega De´ılson Tavares cujas palavras de apoio e incentivo muito me ajudaram em momentos dif´ıceis.

`

A FINEP, PETROBRAS e FUNPEC, que através do projeto Estudo da Inje¸cão Alter-nada de Água e Gás para Recupera¸cão de Petróleo, Projeto WAG, possibilitaram conhecer e estudar alguns modelos novos de distribui¸cão de po¸cos de produ¸cão no Center for Poly-mer Studies na Boston University, com os professores Gerry Paul e H. E. Stanley.

Ao professor Luciano Rodrigues da Silva que foi pe¸ca decisiva para nossa ida ao CPS-BU e essencial para o nosso entendimento com todo o grupo liderado pelo professor Stanley.

Ao professor Carlos Chesman e seu orientando Charlie Salvador que fizeram várias e várias tentativas de reproduzir a propaga¸cão de um fluido em um meio poroso usando minúsculas esferas de vidro com o objetivo de digitalizar as imagens. Nada foi em vão, nada.

Ao Departamento de Matem´atica pelo apoio recebido.

Por fim agrade¸co `a minha fam´ılia pela paciˆencia e confian¸ca que todos sempre de-monstraram.

(6)

Dedico este trabalho aos meus pais Rui Soares Filgueira e Ana

Nanú Fonseca Soares, ao meu irmão Rudson, à minha mulher

Isis, aos meus filhos Mar´ılia, L´ıvia e M´arcio, meu genro Marinho

(7)

Sum´

ario

Abstract xv

Resumo xviii

Apresenta¸c˜ao xx

1 Fractais 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 1

1.2 Fractais Auto-similares e Auto-afins . . . 2

1.3 Dimensionalidade de Conjuntos . . . 23

1.4 Dimens˜ao Topol´ogica . . . 30

1.5 Dimens˜oes Fractais . . . 31

1.6 Dimens˜ao de Hausdorﬀ . . . 32

1.7 Dimens˜ao de Contagem de Caixas . . . 36

1.8 Dimens˜ao de Escala . . . 39

1.9 Fractais Aleat´orios . . . 42

1.10 Um Conjunto de Cantor Aleat´orio . . . 43

1.11 Medidas Multifractais . . . 45

2 Percola¸c˜ao 51 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 51

(8)

2.3 Percola¸cão por Liga¸cões e Percola¸cão Cont´ınua . . . 57

2.4 Parˆametro de Ordem . . . 60

2.5 Dimens˜ao Fractal do Aglomerado Infinito . . . 64

3 Percola¸c˜ao em um Multifractal 69 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 69

3.2 O Objeto Multifractal Qmf . . . 71

3.3 O Algoritmo de Percola¸c˜ao e o Espectro Multifractal . . . 74

3.4 Simula¸c˜oes Num´ericas . . . 78

3.5 Anisotropia e Limiar de Percola¸c˜ao no Suporte Multifractal Qmf . . . 84

3.6 Conclus˜oes . . . 91

4 F´ısica Estat´ıstica e Caminhos M´ınimos na Recupera¸cão de Petróleo 93 4.1 Introdu¸cão . . . 93

4.2 Caminhos M´ınimos . . . 97

4.3 Fun¸c˜oes de Distribui¸c˜ao . . . 100

4.4 O Ansatz de Escala para Caminhos M´ınimos . . . 101

5 Distribui¸cão de Caminhos M´ınimos em Múltiplos Po¸cos 103 5.1 Introdu¸cão . . . 103

5.2 O Caso Sim´etrico . . . 106

5.3 Os Casos Assim´etricos . . . 110

5.3.1 Assimetria Interna . . . 110

5.3.2 Assimetria Externa . . . 113

5.4 Observa¸c˜oes Finais . . . 115

Conclus˜oes e Perspectivas 120

(9)

A Fundamenta¸cão Matemática para o Espa¸co Métrico dos Fractais 123

A.1 Introdu¸c˜ao . . . 123

A.2 Espa¸cos M´etricos . . . 128

A.3 Espa¸cos Topol´ogicos . . . 132

A.4 O Espa¸co M´etrico (H ₍_X₎_{, h}_{) . . . 134}

B Medida e Dimensão de Hausdorff 136 B.1 Medida de Hausdorff . . . 136

B.2 Dimens˜ao de Hausdorﬀ . . . 138

C Teoria das Probabilidades 140 C.1 Introdu¸c˜ao . . . 140

C.2 Probabilidade Condicional . . . 142

(10)

Lista de Figuras

1.1 Constru¸cão de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C0, chamado de ini-ciador e C1 chamado de gerador. Observamos que CE e CD, as partes da esquerda e da direita, são réplicas de C escaladas pelo fator 1₃. . . 3

1.2 Constru¸cão da Curva de Koch F, desde F0, chamado de iniciador, e F1, chamado de gerador. Em cada estágio, o ter¸co do meio de cada intervalo é substitu´ıdo pelos outros dois lados de um triângulo eqüilátero. . . 7

1.3 Curva de Koch conhecida como Fractal Floco de Neve. F0, um triângulo eqüilátero, é o estágio zero, F1 com uma itera¸cão, é o estágio um, F2, com duas itera¸cões, é o estágiodois,F3, com três itera¸cões, é o estágiotrês,F4, com quatro itera¸cões é o estágio quatro eF é a curva Floco de Neve. . . 8

1.4 Constru¸c˜ao do Triˆangulo de Sierpinski E, desdeE0, chamado deiniciador, eE1, chamado degerador. Este conjunto apresenta duas das caracter´ısticas comuns aos fractais: simetria e auto-similaridade. . . 10

1.5 Tapete de Sierpinski. . . 11

1.6 A Esponja de Menger ´e obtida a partir do iniciador, M0 = [0,1]×[0,1]× [0,1], e do geradorM1. No limite, obtemos M. . . 14

1.7 Constru¸c˜ao de uma ‘Poeira de Cantor’ P. . . 15

1.8 Constru¸c˜ao de uma ‘Poeira de Cantor’. . . 16

(11)

1.10 Constru¸cão de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A0, chamado iniciador, é dividido em 3_×4 = 12 partes retangulares iguais e as duas partes centrais são descartadas, formando A1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos 10 retângulos sólidos de A1, para obter A2, e

assim por diante. . . 20

1.11 Constru¸cão de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A0, chamado iniciador, é dividido em 4×3 = 12 partes retangulares iguais. A metade dos retângulos se mantém e a outra metade é descartada, de modo que não haja dois retângulos com lados comuns em A1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos 6 retângulos sólidos de A1, para obter A2, e assim por diante. . . 21

1.12 Constru¸cão de um conjunto fractal auto-afim. Um quadrado sólido, A0, chamado iniciador, é dividido em 6_×3 = 18 partes retangulares iguais. Oito desses retângulos se mantêm enquanto os outros dez são descartados do modo como mostrado na figura, para formar A1, o gerador. Repete-se o processo em cada um dos oito retângulos sólidos de A1, para obter A2, e assim por diante. . . 22

1.13 Est´agio um da Curva de Peano chamado de iniciador. . . 24

1.14 Est´agio dois da Curva de Peano chamado de gerador. . . 25

1.15 Terceiro est´agio da Curva de Peano. . . 26

1.16 Quarto est´agio da Curva de Peano. . . 27

1.17 Quinto est´agio da Curva de Peano. . . 28

1.18 Sexto est´agio da Curva de Peano. . . 29

1.19 Gráfico da Medida s-dimensional de Hausdorff do Conjunto de Cantor C, Hs₍_C_), _versus _s_{. A Dimensão de Hausdorff de} _C_{, dimH}_C_{, é o valor de} s = ln 2/ln 3 = 0,6309 no qual Hs₍_C_{), ‘salta’ de} _infinito _para _zero_{. . . 34}

(12)

1.21 Três maneiras distintas de encontrar a Dimensão de Caixa de um subcon-junto Ω do Rn. (a) o menor número de bolas fechadas de raio δ que cobre Ω; (b) o menor número de cubos de lado δ que cobre Ω; e (c) o número de cubos da δ-malha que intercepta Ω. . . 37

1.22 Em (a) um segmento de reta unitário com duas réplicas,N = 2, em (b) um quadrado unitário com quatro réplicas, N = 4, e em (c) um cubo unitário com oito réplicas, N = 8, todas com fator de escala de amplia¸cão b= 2. . . 40

1.23 Constru¸cão de umConjunto de Cantor Aleatório C_{. As razões dos}

compri-mentos Ii₁_,...,_i_k_,₁

/

Ii₁_,...,_i_k

tˆem a mesma distribui¸c˜ao estat´ıstica para cada

i1,...,ik, e similarmente para

Ii₁_,...,_i_k_,₂

/

Ii₁_,...,_i_k

. . . 44

1.24 Constru¸c˜ao da Medida Auto-similar do Conjunto de Cantor C_{. A massa}

em cada intervalo de C_k _{na constru¸c˜ao do Conjunto de Cantor, indicada}

pela área do retângulo, é dividida na propor¸cão p1 : p2. Neste exemplo tomamos p1 = 1₃ e p2 = 2₃, ou seja, usamos a propor¸cão 1₃ : 2₃, entre os dois subintervalos de C_k_{+1. Continuando, este processo produzimos uma}

Medida Auto-similar no Conjunto de Cantor. . . 47

1.25 Os primeiros passos da constru¸c˜ao de um fractal dependente de uma pro-babilidade p. Neste exemplo,p= 0,6. . . 49

2.1 Rede quadrada 10×10. Em (a),p= 0, todos os s´ıtios estão vazios. Em (b) e (c), os s´ıtios roxos são ocupados com, p= 0,2 ep= 0,4, respectivamente, e estão isolados ou formam pequenos aglomerados. Em (d), p = 0,6, os s´ıtios amarelos formam um aglomerado percolante. . . 55

2.2 Aglomerados finitos de percola¸cão por liga¸cões em uma rede quadrada 10×10. 58 2.3 Percola¸cão Cont´ınua, modelo Queijo Sui¸co. . . 59

2.4 A magnetiza¸cão espontânea, m, é o parâmetro de ordem em um sistema magnético. Abaixo de Tc o sistema encontra-se em uma fase ordenada,

m = 0. Acima deTc o sistema encontra-se em uma fase desordenada,m = 0. 61 2.5 P_∞ _{´e a probabilidade de um s´ıtio pertencer ao aglomerado infinito. ´}_{E o}

parˆametro de ordem em sistemas de percola¸c˜ao. Para p < pc, P_∞ _{= 0 e}

para p > pc, 0<P

(13)

2.6 S é o número médio de s´ıtios de um aglomerado finito. . . 63

2.7 χ ´e a susceptibilidade magn´etica. . . 63

2.8 Os s´ıtios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada 400 ×400. Os s´ıtios coloridos formam aglomerados finitos. Mesmo con-siderando os efeitos de tamanho finito o aglomerado percolante apresenta uma auto-similaridade estat´ıstica. . . 65

2.9 Esta figura ´e uma amplia¸c˜ao de uma parte da figura anterior. Podemos observar uma auto-similaridade estat´ıstica. . . 66

3.1 Esta figura mostra os quatro primeiros passos na forma¸c˜ao do multifractal

Qmf. (a) Um segmento de reta vertical secciona o quadrado em duas partes,

r _{= 2 e} s _{= 3, cuja razão entre suas áreas é} _ρ ₌ r_/s _{= 2}_/_{3. (b) Dois}

segmentos de retas horizontais dividem os retângulos na mesma razão ρ. (c) Indica o terceiro passo. (d) Indica o quarto passo. Em cada passo são mostradas as áreas dos blocos correspondentes. . . 73

3.2 Esta figura mostra o multifractal, Qmf, com um quadrado assinalado no

centro. Tomamos n= 12 e (s_,r_{) = (3}_,_{2). . . 75}

3.3 Uma amplia¸c˜ao do quadrado assinalado na figura anterior. . . 76

3.4 Espectro das dimens˜oes fractais Dk de Qmf para n= 400 e (s_,r_{) = (3}_,_{2). . 77}

3.5 Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupa¸c˜ao p

para os casos (s_,r_{) = (1}_,_{1), (}s_,r_{) = (2}_,_{1), (}s_,r_{) = (4}_,_{1) e (}s_,r_{) = (6}_,_{1). As}

´areas sob as curvas est˜ao normalizadas com a unidade. . . 78

3.6 Esta figura mostra, para os mesmos valores de (s_,r_{) da Figura 3.5, um}

gráfico da fra¸cão das redes percolantes RL versus p. Foram usadas 40.000 redes para se tomar a média. . . 80

3.7 Histograma das redes percolantes versus a probabilidade de ocupa¸c˜ao p

para diferentes tamanhos da rede. O gr´afico mostra os picos em corcova que se aproximam quando n cresce. Nesta figura (s, r) = (6,1) e 8 < n < 18. Foram usadas 40.000 redes para se tomar a m´edia. . . 82

(14)

3.9 Apresentamos pc versus 1/L para ρ = 2/3 (linha s´olida) e ρ = 1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem apb

c e os valores abaixo

corres-pondem a pe

c. Usamos 4≤n ≤10. . . 87

3.10 Apresentamos pc versus 1/L para ρ = 2/3 (linha s´olida) e ρ = 1/4 (linha tracejada). Os valores acima correspondem apb

c e os valores abaixo

corres-pondem a pe

c. Usamos 4 ≤ n ≤ 10. Gr´afico de pcmed versus 1/L para os mesmos dados. . . 88

3.11 Gr´afico de pc_med versus ρ. Os valores escolhidos de ρ est˜ao indicados na figura. A linha reta corresponde ao melhor ajuste linear. . . 89

4.1 Dimensões t´ıpicas de reservatórios de petróleo e de amostras. . . 95

4.2 Reservat´orio Girassol em Angola. Fonte: World Oil . . . 96

4.3 Os s´ıtios pretos formam um aglomerado percolante em uma rede quadrada 50_× 50. Os s´ıtios coloridos formam aglomerados finitos. A linha mar-ron horizontal é a distância euclidiana, r, entre dois s´ıtios do aglomerado percolante e a linha vermelha é um caminho m´ınimo, l, entre eles. . . 98

4.4 O quadrado preto vazio representa um po¸co injetor, o quadrado preto cheio representa um po¸co produtor, considerado comocaso padrão. A linha mar-ron horizontal é a distância euclidiana,r, e a linha vermelha é um caminho m´ınimo de comprimento, l, entre eles. . . 99

5.1 Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos, P₍_l_|_r_{), no limiar de}

percola¸c˜ao para o caso padr˜ao de um po¸co injetor e um po¸co produtor. . . 104

5.2 Em (a) a distribui¸c˜ao conhecida como “five-spot” e em (b) a distribui¸c˜ao conhecida como “nine-spot”. . . 105

(15)

5.4 Um po¸co injetor no centro de uma distribui¸cão simétrica de po¸cos de pro-du¸cão. Os po¸cos produtores estão em um c´ırculo de raioR. Dois caminhos t´ıpicos estão indicados: Ω1 é um caminho curto que não sai do c´ırculo e Ω2 é um caminho muito longo que sai do c´ırculo onde se encontram os po¸cos produtores. . . 108

5.5 Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos,P₍_l_|_A_),_versus_l/Rdmin,

no limiar de percola¸c˜ao para os arranjos da Figura 5.3. Nas simula¸c˜oes

L = 500 e R = 64. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados na figura. . . 109

5.6 Assimetria interna. Um po¸co injetor, c´ırculo vazio, deslocado do centro, c´ırculo sombreado, e uma distribui¸c˜ao sim´etrica de po¸cos produtores, c´ır-culos cheios. (a) Dois po¸cos produtores; (b) Quatro po¸cos produtores; (c) Oito po¸cos produtores; (d) Dezesseis po¸cos produtores. . . 112

5.7 Assimetria interna. O centro da distribui¸cão está representado pelo c´ırculo sombreado, o injetor está deslocado do centro e quatro produtores distribu´ı-dos simetricamente sobre um c´ırculo de raio R. As distâncias euclidianas

ri, 1 ≤i≤4 estão indicadas por setas. . . 113 5.8 Gráfico log-log da distribui¸cão de caminhos m´ınimos,P₍_l_|_A_),versusl/Rdmin,

L = 500, R = 64 e R1 = 32. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados na figura. . . 114

5.9 Assimetria externa. Um po¸co injetor,c´ırculo vazio, é exterior à distribui¸cão simétrica de po¸cos produtores, c´ırculos cheios. O c´ırculo sombreado repre-senta o centro da distribui¸cão. (a) Dois po¸cos produtores; (b) Quatro po¸cos produtores; (c) Oito po¸cos produtores; (d) Dezesseis po¸cos produtores. . . 116

(16)

5.11 Gr´afico log-log da distribui¸c˜ao de caminhos m´ınimos,P₍_l_|_A_),versusl/Rdmin,

L = 500, R = 16 e R1 = 16. Cinco casos correspondentes a 1, 2, 4, 8 e 16 po¸cos produtores est˜ao indicados na figura. . . 117

A.1 Um conjunto A e sua δ-vizinhan¸ca Aδ. . . 124

A.2 (a) Um conjunto aberto - existe uma bola contida no conjunto centrada em cada ponto do conjunto. (b) Um conjunto fechado - o limite de qual-quer seqüência convergente de pontos do conjunto está no conjunto. (c) A fronteira do conjunto em (a) ou (b). . . 126

A.3 Um caminho f0 que conecta os pontos x e y ´e deformado continuamente, enquanto permanece fixado em x e y, para tornar-se um segundo caminho

f1. . . 132

A.4 Em um espa¸co multiplamente conexo não existem caminhos que possam ser continuamente deformados a partir do caminho f0 até coincidir com o caminho f1. Existe uma espécie de “buraco” entref0 e f1. . . 133

B.1 Conjuntos reescalados por um fator λ, o comprimento cresce pelo fator

λ, (comprimento _×λ); a ´area por um fator λ2_{, (´}_area_×_λ2_{); e a medida}

s-dimensional de Hausdorﬀ por um fatorλs_{, (}_Hs_×_λs_{). . . 137}

B.2 Gráfico de _Hs₍_F₎ _versus _s _{para um conjunto}_F_{. A dimensão de Hausdorff}

(17)

Lista de Tabelas

2.1 Limiares de percola¸c˜ao para v´arios tipos de redes selecionados. Em todos os casos, somente primeiros vizinhos formam aglomerados. . . 59

2.2 Valores exatosa _{e melhores estimativas num´ericas}b _{para os expoentes}

cr´ıti-cos em modelos de percola¸c˜ao e magnetismo. . . 64

3.1 Valores de pc, df, e β para v´arios multifractais caracterizados pelos dife-rentes pares (s_,r_{). . . 79}

3.2 Estimativa de ∆pmax e [s/(s+r)]n para v´arios passos n. . . 84

(18)

Abstract

The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study.

In this thesis we present theSpace of Fractals and the methods ofHausdorﬀ-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set.

In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way.

The central object of our analysis is a multifractal object that we callQmf. In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling.

We identify some diﬀerences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these diﬀerences.

The first is related to the coordination number,c, which changes along the multifrac-tal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal aﬀects the percolation cluster.

We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probabilityp.

Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks.

We observe that the probability of occupation at the percolation threshold,pc, for the multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponentβ.

Despite the topological diﬀerences, we find that the percolation in a multifractal sup-port is in the same universality class as standard percolation.

The area and the number of neighbors of the blocks of Qmf show a non-trivial beha-vior. A general view of the object Qmf shows an anisotropy.

The value of pc is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between pc and the average number of neighbors of the blocks as well as the

anisotropy ofQmf.

(19)

In oil recovery terminology, the given single point can be mapped to an injection well (injector) and the multiple other points to production wells (producers).

In the previously standard case of one injection well and one production well separated by Euclidean distance r, the distribution of shortest paths l, P₍_l_|_r_{), shows a power-law}

behavior with exponentgl = 2.14 in 2D. Here we analyze the situation of one injector and an array A of producers.

Symmetric arrays of producers lead to one peak in the distributionP₍_l_|_A_{), the}

proba-bility that the shortest path between the injector and any of the producers isl, while the asymmetric configurations lead to several peaks in the distribution.

We analyze configurations in which the injector is outside and inside the set of pro-ducers. The peak in P₍_l_|_A_{) for the symmetric arrays decays faster than for the standard}

(20)

Resumo

O comportamento complexo de uma ampla variedade de fenômenos que são de inte-resse de matemáticos, f´ısicos, qu´ımicos e engenheiros é caracterizado quantitativamente por meio de idéias de distribui¸cões de fractais e multifractais, que correspondem de modo ´

unico à forma geométrica e a propriedades dinâmicas dos sistemas em estudo.

Nesta tese apresentamos oEspa¸co dos Fractais e os métodos deHausdorff-Besicovitch, deContagem de Caixas e de Escala, para calcular aDimensão Fractal de um Conjunto.

Estudamos também fenômenos de percola¸cão em objetos multifractais constru´ıdos de maneira simples. O objeto central de nossas análises é um objeto multifractal que chamamos de Qmf. Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geométrica. Identificamos algumas diferen¸cas entre percola¸cão nos multifractais que pro-pusemos e percola¸cão em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferen¸cas. A primeira está relacionada com o número de coordena¸cão, c, que muda ao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada célula no mul-tifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantesversus a probabilidade de ocupa¸cãop. Dependendo de um parâmetro,ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos.

Observamos que a probabilidade de ocupa¸c˜ao no limiar de percola¸c˜ao,pc, para o

mul-tifractal, em suported= 2, é menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimensão fractal do aglomerado percolante e o expoente cr´ıticoβ. A despeito das diferen¸cas topológ-icas, encontramos que a percola¸cão em um suporte multifractal está na mesma classe de universalidade da percola¸cão padrão.

A ´area e o n´umero de vizinhos dos blocos de Qmf apresentam um comportamento

não-trivial. Uma visão geral do objetoQmf mostra uma anisotropia. O valor depc é uma fun¸cão de ρ que está relacionada com esta anisotropia. Analisamos a rela¸cão entre pc e o número médio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Qmf.

Nesta tese estudamos também a distribui¸cão de caminhos m´ınimos em sistemas per-colativos no limiar de percola¸cão em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que come¸cam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos.

Na terminologia da indústria do petróleo, ao ponto inicial dado associamos um po¸co de inje¸cão (injetor) e aos outros pontos associamos po¸cos de produ¸cão (produtores).

(21)

pro-du¸cão, separados por uma distância euclidiana r, a distribui¸cão de caminhos m´ınimos l,

P₍_l_|_r_{), apresenta um comportamento de lei-de-potˆencia com expoente} _g_l _{= 2}_,_{14 em 2D.}

Analisamos a situa¸c˜ao de um injetor e uma matrizA de produtores.

Configura¸cões simétricas de produtores levam a uma distribui¸cão, P₍_l_|_A_{), com um}

´

unico pico, que é a probabilidade que o caminho m´ınimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configura¸cões assimétricas levam a vários picos na dis-tribui¸cão P₍_l_|_A_{). Analisamos situa¸cões em que o injetor está fora e situa¸cões em que o}

injetor est´a no interior do conjunto de po¸cos produtores. O pico em P₍_l_|_A_{) nas}

(22)

Apresenta¸c˜

ao

Quando se trata do assunto fractais, é comum ouvirmos perguntas do tipo “O que são fractais?”, “O que é dimensão fractal?”, “Como podemos encontrar a dimensão de um fractal e o que isto significa?”, ou, “Como podemos aplicar matemática aos fractais?”.

Esta tese está dividida em cinco cap´ıtulos e três apêndices. O primeiro cap´ıtulo tenta responder alguns destes questionamentos sobre fractais e dá uma pequena no¸cão sobre a constru¸cão de fractais matemáticos conhecidos, trata da dimensionalidade de conjuntos, assim como, da dimensão topológica e dos métodos deHausdorff-Besicovitch,de contagem de caixas e de escala para encontrar a dimensão fractal de um conjunto. Mostramos também algumas propriedades geométricas dos fractais e estudamos conjuntos fractais auto-similares e auto-afins, exemplos da teoria dos números, da matemática pura e alguns fractais aleatórios.

Apresentamos no Apêndice A uma fundamenta¸cão matemática para oEspa¸co Métrico dos Fractais e no Apêndice B damos uma breve introdu¸cão sobreMedida de Hausdorff e Dimensão de Hausdorff.

No Cap´ıtulo 2 fazemos uma introdu¸cão à Teoria da Percola¸cão, onde definimos per-cola¸cão por s´ıtios em uma rede quadrada, perper-cola¸cão por liga¸cões e perper-cola¸cão cont´ınua. Tratamos também do parâmetro de ordem em sistemas magnéticos e em sistemas per-colativos, docomprimento de correla¸cão,ξ, dosexpoentes cr´ıticos β, ν eγ e da dimensão fractal do aglomerado infinito.

No Cap´ıtulo 3 estudamos fenômenos de percola¸cão em objetos multifractais constru´ı-dos de maneira simples e recursiva. O objeto central deste cap´ıtulo é um multifractal que chamamos deQmf.

No Cap´ıtulo 4 damos uma no¸cão de algumas aplica¸cões da F´ısica Estat´ıstica à indústria do petróleo através da utiliza¸cão das leis de escala da teoria da percola¸cão e apresentamos a probabilidade condicional,P₍_l_|_r_{), que dois s´ıtios em um aglomerado percolante,}

separa-dos por uma distˆancia euclidianar, estejam a uma distˆancia qu´ımica l.

No Apˆendice C falamos um pouco sobre Teoria das Probabilidades e Probabilidade Condicional.

(23)

Cap´ıtulo 1

Fractais

Uma geometria capaz de incluir montanhas e nuvens existe agora. Como tudo em ciˆencia, esta nova geometria tem ra´ızes muito ex-tensas e profundas.

Benoˆıt Mandelbrot

1.1 Introdu¸

c˜

ao

No passado a matemática era, quase que exclusivamente, associada a conjuntos e fun¸cões cujos métodos clássicos do cálculo podiam ser aplicados. Conjuntos ou fun¸cões que não fossem suficientemente regulares tendiam a ser ignorados como “patologias” e não eram dignos de estudo. Certamente eram considerados como curiosidades individuais e, apenas raramente pensados como pertencentes a uma classe à qual se pudesse aplicar uma teoria geral.

Esta atitude mudou nas últimas quatro décadas, houve a compreensão que vale a pena estudar a matemática dos objetos não regulares e muito progresso se obteve nesta área durante este tempo. Além disso, os conjuntos irregulares se mostraram muito mais adequados do que as figuras da geometria euclidiana clássica na representa¸cão de vários fenômenos naturais.

Ageometria fractal [1], tem uma estrutura muito mais abrangente para o estudo destes conjuntos irregulares chamados fractais.

(24)

tratando com alguns exemplos determin´ısticos.

Nas próximas se¸cões damos uma visão superficial sobre alguns exemplos mais simples e mostramos como construir um conjunto fractal apresentando algumas de suas caracte-r´ısticas principais e damos também uma no¸cão sobre algumas defini¸cões de dimensão de um fractal [2, 3, 4].

1.2 Fractais Auto-similares e Auto-afins

O primeiro exemplo de fractal que apresentamos, ´e o Conjunto de Cantor, (Georg Cantor, 1845-1918), que denotamos por C [5].

O conjunto C ´e um dos fractais mais conhecidos, um dos mais f´aceis de serem cons-tru´ıdos e foi obtido pela primeira vez em 1883 [6].

Para construir o conjunto C, come¸camos com um intervalo unit´ario fechado,

C0 = [0, 1], (1.1)

ver Figura 1.1.

Em seguida, retiramos de C0 o intervalo

₁

3, 2 3

, que ´e o ter¸co aberto do meio, e denotamos o conjunto fechado restante por C1. Consideremos os intervalos fechados,

C00=

0, 1

3

, C01=

1 3, 2 3

, C02=

2 3, 1

.

Temos que,

C1 =C00∪C02. (1.2)

Depois, retiramos de C1 os intervalos

₁

9, 2 9

e ₇

9, 8 9

, que s˜ao os ter¸cos abertos do meio de cada intervalo fechado de C1, e denotamos o conjunto fechado resultante por C2. Consideremos agora, os intervalos fechados,

C000 =

0, 1

9

, C001 =

1 9, 2 9

, C002 =

2 9, 1 3 ,

C020 =

2 3, 7 9

, C021=

7 9, 8 9

, C022=

8 9, 1

.

Ent˜ao,

(25)

0 1/3 2/3 1C 0 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 • • • C C D C E

0 1/3 2/3 1C

0 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 • • • C C D C E

Figura 1.1: Constru¸c˜ao de 1883 do Conjunto de Cantor C desde C0, chamado deiniciador e C1 chamado de gerador. Observamos que CE e

CD, as partes da esquerda e da direita, s˜aor´eplicas deC escaladas pelo fator 1

3.

Continuando este processo de retirada dos ter¸cos abertos do meio de cada intervalo fechado do estágio anterior, obtemos umaseqüência de conjuntos fechadosCk, onde cada um contém os seus sucessores, e Ck+1 é obtido retirando-se os ter¸cos abertos do meio de cada intervalo fechado deCk, ou seja,

C0 ⊃C1 ⊃C2 ⊃· · · ⊃Ck⊃ · · · .

Ent˜ao, Ck consiste de 2k _{intervalos de comprimentos 3}−k_{. Logo, o comprimento de,} Ck, ´e dado por,

L(Ck) =

2 3

k

, (1.4)

onde, k= 0,1,2,3, . . ..

Assim, o Conjunto de Cantor ´e definido por,

C =

∞

k=0

Ck. (1.5)

Deste modo, C pode ser considerado como o limite _{de uma seq¨uˆencia de conjuntos}

Ck, quandok tende a infinito, isto ´e,

(26)

onde, Ck ⊃Ck+1.

O conjunto C consiste, precisamente, de todos os números no intervalo, [0, 1], cuja expansão na base, 3, não contém o d´ıgito 1, o que significa dizer que são todos os números da forma,

a13−1₊_a₂₃−2₊_a₃₃−3₊_{· · ·} _,

com ai = 0 ou ai = 2, para cada i.

Observamos que, para obtermosC1 a partir de C0, removemos todos os n´umeros com

a1 = 1, ver (1.2). Para obtermos C2 a partir de C1, removemos todos os n´umeros com

a2 = 1, ver (1.3), e assim por diante. `

A primeira vista, pode parecer que removemos quase tudo do intervalo inicial C0 durante a constru¸c˜ao de C, e que quase nada sobrou do mesmo.

Além disso, para refor¸car mais ainda esta impressão, observamos que, o conjunto de Cantor é o conjunto de todos os pontos não exclu´ıdos do intervalo inicial, C0.

A propor¸cão do intervalo C0 que não é removida, pode ser encontrada através do comprimento total removido, que pode ser determinado pela série geométrica cujo primeiro termo é, a1 = 1₃, e cuja razão é, r= 2₃. Ou seja,

1 3 ∞ k=1 2 3

k−1 = 1

3

1 + 2 3+

4 9+

8 27+· · ·

= 1 3

1 1₋ 2

3

= 1. (1.7)

Portanto, ficamos com 1₋1 = 0.

Na realidade, o conjunto C é infinito e, certamente não enumerável, uma vez que contém infinitos números em cadavizinhan¸ca, de cada um de seus pontos.

Para ilustrar melhor esta afirma¸cão, consideremos os conjuntos cujos elementos são os extremos dos estágios C0,C1, C2, ..., Ck. Denotemos estes conjuntos por,

E(C0) = _{0,1_},

E(C1) =

0,1

3, 2 3,1

,

E(C2) =

0,1

9, 2 9, 1 3, 2 3, 7 9, 8 9,1

,

...

E(Ck) =

0,1

3k,. . . ,

3k₋₁

3k ,1

(27)

Observamos que o n´umero de elementos dos conjuntos E(Ck), ´e dado por,

n(E(Ck)) = 2k+1,

onde, k= 0,1,2,3, . . .. Temos que,

lim

k→∞n(E(Ck)) = limk→∞2

k+1 ₌

∞. (1.8)

Portanto, observamos que se considerarmos apenas os extremos dos intervalos que comp˜oem o conjuntoC, j´a temos um conjunto com infinitos pontos.

Além dos extremos dos intervalos, que têm sempre potências de três no denominador, existem infinitos números que não são extremos de nenhum intervalo, mas que pertencem aC.

Exemplos são 1₄ e ₁₂1 cujas representa¸cões ternárias são respectivamente, 0,020202. . .

e 0,00202020. . . e seus respectivos simétricos com rela¸cão a 1₂, que são 3₄ e 11₁₂ cujas representa¸cões ternárias são 0,202020. . .e 0,2202020. . .respectivamente. Fazemos ainda a observa¸cão que 1₃ = 0,1 = 0,022222. . .na nota¸cão ternária.

No Apêndice A, Se¸cão A.1, damos uma fundamenta¸cão matemática sobre Teoria dos Conjuntos e Topologia.

Apesar do conjunto de Cantor ser formado por infinitos pontos, o seu comprimento,

L(C), ´e nulo.

Das equa¸c˜oes (1.4) e (1.6) obtemos,

L(C) =Llim

k→∞Ck

=L lim k→∞ 2 3 k

= 0, (1.9)

onde k= 0,1,2,3, . . ..

Deste modo, das equa¸c˜oes (1.8) e (1.9), conclu´ımos que o conjunto C tem infinitos pontos e comprimento nulo.

Todas as caracter´ısticas encontradas no conjunto de Cantor são também encontradas em outros fractais, mostrando que são t´ıpicas destes objetos.

Algumas destas caracter´ısticas que podemos destacar são as seguintes: (i)Simetria: Todos os pontos do conjuntoC são simétricos ao ponto 1

2.

(ii) Auto-similaridade: O conjunto C ´e estritamente auto-similar, isto ´e, as partes de

C denotadas por CE e CD, nos 2k intervalos de Ck s˜ao geometricamente similares a C,

apenas reescaladas por fatores rk = 3−k_{, com} _k _{= 1}_,₂_{, . . .}_{. Em resumo, o conjunto de}

(28)

(iii) O conjunto,C, tem uma “estrutura fina”, isto é, contém detalhes em escalas arbitra-riamente pequenas, o que significa dizer que, quanto mais ampliarmos a sua figura mais intervalos vazios se tornarão vis´ıveis.

(iv) A defini¸c˜ao de C ´e bastante simples.

(v)Recursividade: O conjunto C é obtido através de um procedimentorecursivo. (vi) A geometria de C não é facilmente descrita em termos clássicos.

(vii) Não é conveniente descrever a geometria local de C, porque próximo a cada um de seus pontos se encontra um grande número de outros pontos, separados por intervalos de variados comprimentos.

(viii) EmboraC seja um conjunto infinito não enumerável, seu tamanho não é quantifi-cado por medidas usuais, como o comprimento, por exemplo.

O segundo exemplo de fractal que apresentamos, conhecido como Curva de Koch, (Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924), que denotamos porF, tem as mesmas carac-ter´ısticas do conjunto de Cantor.

Para obtermos este conjunto fractal consideramos novamente o intervalo unit´ario fechado,

F0 = [0, 1],

ver Figura 1.2.

O conjunto F1 consiste de quatro segmentos de comprimento, 1/3, obtidos quando removemos o ter¸co aberto do meio deF0 e o substitu´ımos pelos outros dois lados do triân-gulo eqüilátero com base no segmento retirado, de modo que, F1 tem comprimento 4/3.

Constru´ımosF2 pela aplica¸c˜ao deste mesmo procedimento a cada um dos quatro seg-mentos de F1, e assim por diante.

Deste modo, Fk é obtido quando substitu´ımos os ter¸cos abertos do meio de cada seg-mento deFk−1 pelos outros dois lados dos triângulos eqüiláteros com bases nos segmentos retirados.

Quando k tende a infinito, a seq¨uˆencia de curvas polinomiais Fk se aproxima de uma curva limite,F, chamada Curva de Koch.

A curva de Koch é muito irregular, por exemplo, ela é cont´ınua e não derivável em todos os seus pontos.

O comprimento de Fk ´e dado por,

L(Fk) =

4 3

k

(29)

0

1 _F

0

• • •

F

₁

F

₂

F

₃

F

₄

0

1 _F

0

• • •

F

₁

F

₂

F

₃

F

₄

(30)

F2 F1 F0 F F₄ F₃ F2 F1 F0 F F₄ F₃ F2 F1 F0 F F₄ F₃

Figura 1.3: Curva de Koch conhecida como Fractal Floco de Neve. F0, um triângulo eqüilátero, é o estágiozero,F1com uma itera¸cão, é o estágio um, F2, com duas itera¸cões, é o estágio dois, F3, com três itera¸cões, é o estágio três, F4, com quatro itera¸cões é o estágio quatro e F é a curva Floco de Neve.

Considerando que a curva F ´e o resultado do limite,

F = lim

k→∞Fk, (1.11)

ent˜ao o comprimentoL(F), ´e dado por

L(F) =Llim

k→∞Fk

=L lim k→∞ 4 3 k

=_∞, (1.12)

onde k= 0,1,2,3, . . ..

Isto significa que, a curvaF tem comprimentoinfinito, mas, ocupa áreazero no plano, de modo que nem o comprimento nem a área dão uma descri¸cão adequada e útil de sua dimensão.

A Figura 1.3 mostra a curva conhecida como Floco de Neve obtida quando juntamos trˆes curvas de Koch da maneira como apresentada.

(31)

Para calcular a ´area, A, limitada pela curva F, consideremos as ´areas,

A0 =A(F0), A1 =A(F1), . . . , Ak =A(Fk).

Temos que,

A0 =

√

3 4 , e, de modo geral,

AK =A0+

√

3 12

1 + 4 9 + 4 9 2 +· · ·+ 4 9

K−1

,

ou seja,

AK =

√ 3 4 + √ 3 12 k n=1 4 9

n−1

.

Fazendo, A=A(F), obtemos,

A= lim

k→∞Ak.

Logo,

A(F) = 2 5

√

3. (1.13)

Mais um exemplo de fractal constru´ıdo através da aplica¸cão de procedimentos recur-sivos é o Triângulo de Sierpinski, (Waclaw Sierpiński, 1882-1969), que denotamos porE. Para construir este fractal consideramosE0 o triângulo eqüilátero de lado unitário, em seguida removemos deE0 o triângulo eqüilátero invertido cujos lados são obtidos unindo-se os pontos médios dos lados deE0, e o resultado denotamos por E1, ver Figura 1.4.

Depois, repetimos o procedimento unindo os pontos médios dos lados dos três triân-gulos de E1 e removemos os triângulos eqüiláteros invertidos para obter E2.

Repetindo este procedimento seguidas vezes para obter Ek e fazendo k tender a in-finito, obtemos o fractalE conhecido como triˆangulo de Sierpinski.

Considerando os per´ımetros dos contornos de E0, E1, ..., Ek, como

p0 =p(E0), p1 =p(E1), ..., pk=p(Ek),

com k = 0,1,2, . . .. Ent˜ao,

pk = 3

3 2

k

(32)

E

0

E

1

E

2

E

3

E

4

E

•••

E

0

E

1

E

2

E

3

E

4

E

•••

Figura 1.4: Constru¸c˜ao do Triˆangulo de SierpinskiE, desdeE0, chamado de iniciador, e E1, chamado de gerador. Este conjunto apresenta duas das caracter´ısticas comuns aos fractais: simetria e auto-similaridade.

Fazendo,

p= lim

k→∞pk, (1.14)

obtemos o per´ımetro p=p(E), como sendo,

p= 3 lim

k→∞

3 2

k

=∞. (1.15)

Por outro lado, se considerarmos as ´areas,

A0 =A(E0), A1 =A(E1), ..., Ak =A(Ek),

com k = 0,1,2, . . ., temos,

A0 =

√

3 4 , e, de um modo geral,

Ak =A0−

√

3 16

1 + 3 4+

9 16+

27

64 +· · ·+

3 4

k−1

.

Assim, obtemos a ´area,A =A(E), como,

A = lim

k→∞Ak=A0− √

3 16 klim→∞

k

3

4

n−1

(33)

T

3

T

0

T

1

T

2

T

4

T

•••

T

3

T

0

T

1

T

2

T

4

T

3

T

0

T

1

T

2

T

4

T

•••

Figura 1.5: Tapete de Sierpinski.

ou,

A(E) =

√ 3 4 − √ 3 16 ∞ k=1 3 4

k−1

= 0. (1.17)

Portanto, conclu´ımos que o Triˆangulo de Sierpinski tem per´ımetro infinito e ´area zero. No in´ıcio deste cap´ıtulo nos referimos ao conjunto de Cantor como sendo o exemplo mais simples de conjunto fractal auto-similar.

Outro exemplo também simples, chamadoTapete de Sierpinski, que denotamos porT, é considerado como uma extensão do conjunto de Cantor, apenas passando do intervalo unitário para o quadrado unitário,

T0 = [0,1]×[0,1], como mostrado na Figura 1.5.

Come¸camos com o quadrado s´olido,T0, que subdividimos em nove quadrados iguais. O quadrado aberto central ´e retirado e obtemosT1.

Aplicamos o mesmo procedimento a cada um dos oito quadrados de T1 para obter

T2. Continuando o processo ad infinitum, no limite, obtemos o fractal auto-similar, T, chamado Tapete de Sierpinski.

Considerando os per´ımetros dos contornos,

(34)

com k = 0,1,2, . . ., ent˜ao,

p0 = 4,

e, de modo geral,

pk =p0+ 1 2 k n=1 8 3 n . (1.18) Fazendo,

T = lim

k→∞Tk, (1.19)

obtemos o per´ımetro p=p(T), como,

p= lim

k→∞pk. (1.20)

Assim, de (1.18) e (1.20), obtemos

p=p0+ 1 2 ∞ n=1 8 3 n

=∞. (1.21)

Por outro lado, considerando as ´areas,

A0 =A(T0), A1 =A(T1), ..., Ak =A(Tk),

com k = 0,1,2, . . ., obtemos,

A0 = 1,

e, de maneira geral,

Ak=A0− 1 8 k n=1 8 9 n .

Assim, obtemos a ´area,A =A(T), como sendo,

A= lim

k→∞Ak. (1.22)

Ou seja,

A(T) = 1₋ 1 8 ∞ k=1 8 9 n

= 0. (1.23)

(35)

aEsponja de Menger, M, (Karl Menger, 1902-1985), mostrada na Figura 1.6.

A esponja de Menger é uma extensão tridimensional do conjunto de Cantor, C, e do Tapete de Sierpinski,T. Foi descrita pela primeira vez em 1926 e sua constru¸cão consiste em tomar um cubo unitário,

M0 = [0,1]×[0,1]×[0,1],

e dividir cada uma de suas faces em nove quadrados. Isto subdivide M0 em vinte e sete cubos.

Removemos o cubo aberto do meio de cada uma das faces e tamb´em o cubo aberto central de M0.

Deste modo obtemos, M1, com vinte cubos. Repetimos este procedimento em cada cubo de M1, e ent˜ao obtemos,M2, com quatrocentos cubos menores. Continuando recur-sivamente este processo ad infinitum, obtemos, no limite, o fractalM.

Este processo de retirada dos cubos abertos do meio de cada face e o cubo aberto central, do estágio anterior, gera uma seqüência de conjuntos fechados Mk, em que cada um deles contém os seus sucessores, ou seja,

M0 ⊃M1 ⊃M2 ⊃· · · ⊃Mk⊃ · · · .

Ent˜ao, Mk consiste de 20k cubos, cada um deles com aresta de comprimento 3−k.

Assim, a Esponja de Menger, ´e definida formalmente, da seguinte maneira,

M =

∞

k=0

Mk. (1.24)

Deste modo, M pode ser considerado como o limite de uma seq¨uˆencia de conjuntos

Mk, quando k tende a infinito, onde Mk_⊃Mk+1, possibilitando reescrever da seguinte forma,

M = lim

k→∞Mk. (1.25)

Se considerarmos, Sk =S(Mk), como a ´area da superf´ıcie de,Mk, e S =S(M) como

a área da superf´ıcie deM, observamos que, S, é uma área infinita, pois M tem infinitas faces. Por outro lado, considerando, Vk =V(Mk), como o volume de, Mk, e V =V(M) como o volume de M, obtemos

(36)

M

₀

M

1

M

₂

M

₀

M

1

M

₂

M

₀

M

1

M

₂

M

Figura 1.6: A Esponja de Menger ´e obtida a partir do iniciador,

(37)

P

0

P

1

P

2

P

3

P

4

P

0

P

1

P

2

P

3

P

4

P

Figura 1.7: Constru¸c˜ao de uma ‘Poeira de Cantor’P.

Fazemos a observa¸c˜ao que,Vk=₂₀

27

k

, de onde resulta que,

V = lim

k→∞

20 27

k

= 0, (1.27)

onde k= 0,1,2,3, . . ..

Portanto, a esponja de Menger tem a ´area de sua superf´ıcie infinita, S(M) = _∞, e tem volume zero, V(M) = 0.

Voltando aos fractais no plano, apresentamos mais alguns exemplos, dentre eles, dois an´alogos ao conjunto de Cantor, chamados de ‘Poeira de Cantor’, que denotamos porP, e est˜ao ilustrados nas figuras 1.7 e 1.8.

No primeiro caso, Figura 1.7, tomamos o quadrado unit´ario, P0, que ´e chamado de iniciador, e o dividimos em nove quadrados iguais. Em seguida descartamos os quadrados do meio de cada linha e de cada coluna, ficando apenas com os quatro quadrados dos cantos, e assim obtemos,P1, chamado degerador.

No segundo passo, repetimos o mesmo procedimento em cada um dos quadrados deP1 e, obtemos P2. No passo seguinte, com a repeti¸c˜ao do processo, obtemos P3, em seguida obtemos P4, etc.

(38)

P

0

P

1

P

2

P

3

P

0

P

1

P

2

P

3

Figura 1.8: Constru¸c˜ao de uma ‘Poeira de Cantor’.

de Cantor. Considerando,pk=p(Pk), como o per´ımetro dePk, obtemos

pk = 4

4 3

k

,

onde k= 0,1,2,3, . . .. Fazendo,

p= lim

k→∞pk,

obtemos,

p= lim

k→∞4

4 3

k

=_∞. (1.28)

Por outro lado, fazendo a ´areaAk =A(Pk), obtemos,

Ak =

4 9

k

,

onde k= 0,1,2,3, . . ..

Tomando, A=A(P), temos,

(39)

de onde obtemos,

A(P) = lim

k→∞

4 9

k

= 0. (1.29)

A constru¸cão do exemplo da Figura 1.8 consiste em dividir o quadrado unitário P0 em dezesseis quadrados iguais, dos quais doze são descartados e quatro permanecem no conjunto, do modo como mostrado na figura, assim obtemosP1.

Nos estágios seguintes de sua constru¸cão, cada quadrado que permanece no conjunto é dividido em dezesseis quadrados menores, em que quatro são mantidos, e os doze restantes são descartados obedecendo sempre à mesma regra de descarte.

O conjunto resultante deste processo de recorrˆencia, quando repetido infinitas vezes, ´e outro exemplo de poeira de Cantor.

Considerando novamente, pk =p(Pk), como o per´ımetro dePk, obtemos

pk = 4,

onde, k= 0,1,2,3, . . .. Fazendo,

p= lim

k→∞pk,

obtemos,

p= lim

k→∞4 = 4. (1.30)

Entretanto, a ´area Ak =A(Pk), ´e dada por,

Ak = 1 4 k ,

onde, k= 0,1,2,3, . . .. Tomando, A=A(P), temos,

A= lim

k→∞Ak,

de onde obtemos,

A(P) = lim

k→∞

1 4

k

= 0. (1.31)

(40)

B

0 B1

B

2 B3

B

0 B1

B

2 B3

(41)

e a área também é zero.

Outras maneiras de dividir os quadrados e o modo de descartá-los geram novos exemplos de poeiras de Cantor. Obviamente, tais exemplos têm propriedades similares àquelas mencionadas em rela¸cão ao conjunto de Cantor, C, da Figura 1.1 e à curva de Koch,F, da Figura 1.2.

Atrav´es de procedimentos recursivos podemos construir conjuntos fractais com dois fatores de similaridades diferentes.

Por exemplo, se dividirmos o quadrado unit´ario, B0, em dezesseis quadrados iguais e descartarmos os oito quadrados que tˆem lados comuns com os quatro quadrados dos cantos deB0, obtemos B1, como mostra a Figura 1.9.

Repetindo o mesmo procedimento com o quadrado central maior e os quatro quadrados menores de B1, obtemos B2. Continuando este processo indefinidamente obtemos um fractal auto-similar,B, com dois fatores de similaridade diferentes.

Como vimos até aqui, a auto-similaridade de um sistema fractal implica que sua estrutura é invariante sob uma reescala isotrópica de comprimentos, ou seja, todos os comprimentos em todas as dire¸cões são reescalados pelo mesmo fator de escala. No caso do exemplo da Figura 1.9, podemos ter fatores de escalas diferentes, mas, a diferen¸ca não se deve à mudan¸ca de dire¸cão.

Entretanto, existem fractais que preservam sua invariância de escala somente se os comprimentos nas diferentes dire¸cões forem reescalados por fatores que dependem das dire¸cões.

Ou seja, a invariância de escala é preservada, somente se, nas dire¸cões x, y e z, os fatores de escala forem,bx, by e bz, respectivamente, onde, em geral, estes fatores não são iguais.

Esta invariância de escala sob uma reescala dependente das dire¸cões implica que o fractal éanisotrópico e chamado de auto-afim.

Deste modo, os fractais auto-similares podem ser considerados casos particulares dos fractais auto-afins [7].

Três exemplos de conjuntos fractais auto-afins, estão mostrados nas Figuras 1.10, 1.11 e 1.12, gerados através de procedimentos recursivos.

No primeiro caso, Figura 1.10, tomamos um quadrado sólido unitário,A0, e o dividimos em, 3_×4 = 12, retângulos idênticos.

(42)

A

0 A1

A

2 A3

A

0 A1

A

2 A3

(43)

A₀ A

1

A

2 A3

A₀ A

1

A

2 A3

(44)

A

0 A

2 A

1 A

3 A

0 A

2 A

1 A

3

(45)

centrais. Continuando este processo ad infinitum obtemos, no limite, um fractal auto-afim.

No segundo caso, Figura 1.11, tomamos um quadrado sólido unitárioA0, e o dividimos em, 4×3 = 12, retângulos idênticos. Para obter A1, exclu´ımos a metade dos retângulos de tal maneira que, a outra metade que permanece não tem retângulos com lados comuns. Repetimos o processo com os retângulos de A1, para obter A2, e assim por diante.

Na Figura 1.12, temos um fractal obtido a partir do quadrado sólido unitário, A0, que dividimos em uma matriz, 6_×3, de retângulos de lados, 1/3, na dire¸cãoxe, 1/6, na dire¸cão

y. Selecionamos uma subcole¸cão com 8 destes retângulos para formar A1. Iterando esta constru¸cão infinitas vezes, mantendo o mesmo modo de sele¸cão dos retângulos, obtemos o fractalA.

Nas próximas se¸cões damos algumas no¸cões sobre a dimensionalidade de conjuntos de pontos e de alguns fractais vistos até aqui.

1.3 Dimensionalidade de Conjuntos

A no¸cão de dimensão é central para a geometria fractal. A grosso modo, a dimensão indica quanto espa¸co um conjunto ocupa próximo a cada um de seus pontos.

Todos nós temos uma no¸cão intuitiva de dimensionalidade que adquirimos nos primeiros ensinamentos. Muito cedo aprendemos que uma linha reta é um objeto unidimensional, o interior de um triângulo é bidimensional e um cubo sólido é tridimensional.

Devemos observar, no entanto, que as dimensões um e dois são abstra¸cões. Sabemos que uma linha reta tra¸cada com um lápis em uma folha de papel é idealizada como sendo unidimensional, mesmo que saibamos que o grafite que constitui a reta tenha uma certa espessura finita.

Uma folha de papel pode representar a id´eia que temos de um objeto bidimensional, embora saibamos que tenha tamb´em uma espessura finita.

No que diz respeito à F´ısica Clássica, todos os objetos reais têm três dimensões espaci-ais, porém, normalmente, quando fica claro que a espessura de um objeto é muito pequena comparada com as outras escalas de comprimento, podemos aceitar que a mesma seja zero. Do ponto de vista da Matemática, anteriormente à F´ısica, o problema sobre o que sig-nifica a dimensionalidade é mais sutil.

(46)

Figura 1.13: Est´agioum da Curva de Peano chamado de iniciador.

reais. Para nos fixar, vamos considerar o espa¸co R3, como sendo o espa¸co no qual os pontos s˜ao especificados por trˆes coordenadas reais (x, y, z).

Este espa¸co pode ser chamado de tridimensional pela simples razão quetrêsé o número de coordenadas reais independentes usadas para especificar a localiza¸cão de um ponto. A questão é, como podemos definir a dimensão de um subconjunto Ω do espa¸co R3?

Se Ω for um segmento de reta, um plano ou um cubo sólido, então não há dúvida sobre a sua dimensionalidade. Mas, se tomarmos subconjuntos de Ω, tais como os exemplos vistos na Se¸cão 1.2, o que dizer de suas dimensionalidades?

´

E muito tentador recorrer à idéia do número de coordenadas independentes necessárias para especificar a localiza¸cão de todos os pontos de Ω ou de seus subconjuntos.

Consideremos no espa¸co R3 a coordenada z = 0, isto é, o plano xy. Neste caso, podemos obter, por exemplo, todos os pontos sobre a circunferência de raioa centrada na origem, através da equa¸cão cartesianax2₊_y2 ₌_a2_.

Porém, fazendo a mudan¸ca para coordenadas polares, x =acosθ e y =asenθ, temos uma única coordenada, θ, variando no intervalo 0 ≤ θ < 2π. Então, podemos classificar a circunferência como unidimensional.

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

e y = rsenθ, com as duas coordenadas polares r e θ variando nos intervalos 0 ≤ r < a

e 0 _≤ θ < 2π. Ent˜ao, o interior do c´ırculo ´e, deste modo, apropriadamente chamado de bidimensional.

No entanto, o matemático italiano Peano, (Giuseppi Peano, 1858-1932), construiu uma curva que preenche espa¸cos. Por exemplo, ele encontrou uma maneira de aplicar o intervalo unitário [0,1] sobre o quadrado unitário [0,1]×[0,1].

As figuras 1.13 a 1.18 mostram os seis primeiros est´agios da constru¸c˜ao de um exemplo de uma curva de Peano.

Deste modo, para posicionar um ponto qualquer no quadrado, necessitamos apenas de uma coordenada. Assim, uma defini¸cão de dimensão baseada apenas no número de coordenadas independentes necessárias para especificar a posi¸cão de um ponto passou a ser não convincente.

A partir da´ı, tornou-se inconceb´ıvel a defini¸cão de dimensãoa priori, sendo necessária a cria¸cão de novas defini¸cões e, desde então, muitas defini¸cões de dimensão foram feitas.

Estas diferentes defini¸cões geralmente associam o mesmo valor para a dimensão de conjuntos simples e este valor comum é sempre um inteiro.

Entretanto, para conjuntos mais complexos, duas defini¸cões diferentes de dimensão podem gerar diferentes valores e, um ou ambos, podem não ser inteiros. Este fenômeno se constituiu em um dos pontos de partida para a teoria dos fractais encontrada por Mandelbrot.

1.4 Dimens˜

ao Topol´

ogica

Uma maneira satisfat´oria de sair do dilema apresentado pelos exemplos anteriores, especialmente a curva de Peano, foi encontrada independentemente por Brouwer em 1913, (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966), e por Menger e Urysohn (Pavel Samuilovich Urysohn, 1898-1924), em 1922.

(53)

cortado. Esta caracteriza¸c˜ao de dimens˜ao parte de objetos n-dimensionais para objetos (n₋1)-dimensionais e termina com os conjuntos dispersos chamados, naturalmente, de 0-dimensionais.

A implementa¸cão deste esquema define um número chamado dimensão topológica do conjunto Ω, que denotamos por dimTΩ. O conjunto vazio, _∅, é definido como tendo dimensão topológica −1, isto é, dimT∅=−1.

A dimensão topológica de Ω, dimTΩ, é o menor inteiro, para o qual, todos os pontos de Ω têm vizinhan¸cas arbitrariamente pequenas e cujas fronteiras têm dimensão menor do que dimTΩ.

O número, dimTΩ, é sempre um inteiro, e para todo conjunto não vazio, Ω, satisfaz a desigualdade,

0_≤dimTΩ≤dimE, (1.32)

onde dimE é a dimensão de qualquer espa¸co euclidiano do qual Ω seja um subconjunto. A idéia básica de definir dimensão através do corte de um conjunto para criar objetos de dimensões menores foi sugerida por Poincaré, (Jules Henri Poincaré, 1854-1912), em 1912.

A dimensão topológica, mesmo sendo uma defini¸cão bastante satisfatória de dimensão, falha no sentido que não distingue certos conjuntos que têm caracter´ısticas muito diferentes entre si.

1.5 Dimens˜

oes Fractais

Na literatura existem muitas defini¸cões de uma grandeza teórica chamada dimensão fractal de um subconjunto Ω _⊂ Rn. As dimensões fractais são tentativas de quantificar um sentimento subjetivo que se tem sobre quão densamente um fractal ocupa o espa¸co métrico no qual está imerso e dão um significado objetivo para compara¸cões entre fractais. As dimensões fractais são importantes porque são definidas em conexão com dados do mundo real e podem ser medidas aproximadamente por meio de experiências. Por exemplo, pode-se medir a dimensão fractal do litoral de um pa´ıs. As dimensões fractais estão associadas a nuvens, árvores, penas, redes de neurônios no corpo, distribui¸cão de freqüências de luz refletida, cores emitidas pelos raios solares, e muitos outros objetos e fenômenos.

(54)

mundo real com modelos fractais produzidos recursivamente [8]. Nas próximas se¸cões apresentamos algumas destas defini¸cões.

1.6 Dimens˜

ao de Hausdorﬀ

Uma defini¸cão matematicamente conveniente é a dimensão de Hausdorff, (Felix Haus-dorff, 1868 - 1942). Seu valor numérico geralmente coincide com outros valores fornecidos por outras defini¸cões, mas, nem sempre isto ocorre [9].

Dado um subconjunto qualquer, Ω, de um espa¸co euclidiano, podemos definir um número que denotamos por, dimHΩ, chamado a dimensão de Hausdorff do conjunto Ω.

Pode-se mostrar que, para todos os subconjuntos Ω de um espa¸co euclidiano de di-mens˜ao dimE, tem-se a desigualdade,

dimTΩ≤dimHΩ≤dimE. (1.33)

A dimensão de Hausdorff ou dimensão de Hausdorff-Besicovitch, (Abram Samoilovitch Besicovitch, 1891 - 1970), apresentada em 1919, é baseada em uma constru¸cão que usa medidas de coberturas de conjuntos introduzidas em 1914 por Carathéodory, (Constantin Carathéodory, 1873 - 1950). Esta defini¸cão é a mais antiga, provavelmente a mais im-portante e tem a vantagem de ser aplicada a qualquer conjunto. Uma das principais desvantagens é que, geralmente, é dif´ıcil de ser calculada ou estimada através de métodos computacionais.

A dimensão de Hausdorff faz distin¸cão entre conjuntos que a dimensão topológica não faz e, na realidade, este foi um dos pontos de partida para a teoria matemática dos fractais.

Como exemplos, vamos calcular a dimens˜ao de Hausdorﬀ do conjunto de Cantor, C, da Figura 1.1 e da curva de Koch, F, da Figura 1.2.

Aplicando a equa¸c˜ao (B.4) (ver Apˆendice B),

Hs(F) = lim

δ→0H

s δ(F),

ao conjuntoC, obtemos

Hs₍_C_{) = lim} δ→0H

s

δ(C). (1.34)

(55)

Tomando os intervalos deCkcomo umaδ-cobertura deC, verApˆendice B,Defini¸c˜ao B.2, ondeδ = 3−k_{, temos uma 3}−k_{-cobertura de} _C_{. Resulta que,}

H3s−k(C) = 2k×3−ks. (1.35) Observamos que na Equa¸c˜ao (1.34), o limite quando δ _→ 0 pode ser substitu´ıdo por

k _{→ ∞}, e substituindo (1.35) em (1.34), obtemos,

Hs₍_C_{) = lim} k→∞

2k×3−ks

= lim

k→∞

2×3−sk

. (1.36)

Assim, pela Equa¸c˜ao (B.10), temos

Hs(C) =

⎧

⎨

⎩

∞, se 0_≤s <dimHC,

1, se 0_≤s= dimHC,

0, ses >dimHC.

Fazemos a observa¸c˜ao que,

Hs₍_C_{) =}

⎧

⎨

⎩

∞, se s <ln 2/ln 3,

1, se s= ln 2/ln 3,

0, se s >ln 2/ln 3.

(1.37)

Portanto, podemos concluir que a dimensão de Hausdorff do conjunto de Cantor C, ver Figura 1.19, é

dimHC = ln 2

ln 3 = 0,6309. . . . (1.38)

Para o exemplo da curva de Koch, F, da Figura 1.2, temos

Hs(F) = lim

δ→0H

s

δ(F). (1.39)

Cada est´agio,Fk, da constru¸c˜ao da curva de Koch, F, tem 4k _intervalos_k_{-n´ıvel, cada um}

de comprimento 3−k_.

Tomando novamente os intervalos de Fk, como uma δ-cobertura deF, onde δ = 3−k_,

temos uma 3−k_{-cobertura de}_F_{, de onde obtemos,}

Hs

3−k(F) = 4k×3−ks. (1.40) Aplicando o limite quandok _{→ ∞}na Equa¸c˜ao (1.39) e, substituindo (1.40) em (1.39), obtemos,

Hs₍_F_{) = lim}

4k×3−ks

= lim

4×3−sk

(56)

1 zero

0 s

=dim

_H

C

=0,6309

1 H

s

₍

_C

₎

infinito

s

.

1 zero

0 s

=dim

_H

C

=0,6309

1 H

s

₍

_C

₎

infinito

s

.

Figura 1.19: Gráfico da Medidas-dimensional de Hausdorff do Conjunto de Cantor C, Hs₍_C_), _versus _s_{. A Dimensão de Hausdorff de} _C_{, dimH}_C_,

´e o valor de s = ln 2/ln 3 = 0,6309 no qual _Hs₍_C_{), ‘salta’ de} _infinito

(57)

1 zero

0 s

=dim

_H

F

=1,2618

2 H

s

₍

_F

₎

infinito

s

.

1 zero

0 s

=dim

_H

F

=1,2618

2 H

s

₍

_F

₎

infinito

s

.

Figura 1.20: Gráfico da Medidas-dimensional de Hausdorff da Curva de Koch F, _Hs₍_F_), _versus _s_{. A Dimensão de Hausdorff de} _F_{, dimH}_F_{, é o}