413 Exercícios de Algebra Elementar - Ivan Monteiro.pdf

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR

© 2012 Bubok Publishing S.L. 1ª edição

ISBN: DL:

Impresso em Portugal / Printed in Portugal

Dedicatória

DE D I C O E S T Á O B R A A O S M E U S A V Ó S M A T E R N O S HI L T O N SI L V A (I N M E M O R Y) E MA R I A LO U R D E S D E BA R R O S SI L V A (I N M E M O R Y) .

F

U N D A M E N T O S D A

T

E O R I A D O S

C

O N J U N T O S

1. Um médico me disse: “De 100 crianças que eu examino, 65 têm gripe e 45 têm gripe e outra doença”. Quantas dessas 100 crianças examinadas pelo médico têm outras doenças?

2. Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é flamengo?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem e Internacional?” 28 levantaram o braço. Quantos alunos são, ao mesmo tempo, Flamengo e Internacional ?

3. Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames para Escola Técnica e 12 para o Colégio Naval. Só um deles não fez nenhum exame. Quantos fizeram exames só para o Colégio Naval?

4. De um total de 800 pessoas examinadas por um grupo de médico pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doença A, 200 tinham sintomas de outra doença B e 130 tinham sintomas das duas doenças. Quantas não tinham sintomas nem da doença A nem da B ?

5. Numa pesquisa realizada entre 500 pessoas, 318 gostavam de uma mercadoria A, 264 de uma mercadoria B e 112 gostavam das duas mercadorias. Quantas não gostavam da mercadoria A e nem da B ?

6. Numa turma de 30 alunos, 6 escrevem com a mão esquerda e dois com as duas mãos. Quantos escrevem com a mão direita?

7. Numa turma de 42 alunos, 35 gostam de futebol, 18 de basquete e 12 gostam dos dois . Quantos não gostam nem de futebol e nem de basquete?

8. De 24 carros que estavam no estacionamento, 17 eram “Volkswagens” e 10 eram de 1977. Quantos carros eram “Volkswagens” de 1977?

9. Em 100 jogadores de futebol, 32 jogam também futebol de salão, 18 jogam também basquete e 11 praticam os três esportes. Quantos jogam só futebol?

10. Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as novelas B e C, 30 as novelas A e C e 10 as três novelas. Quantos não assistem essas novelas?

11. Tenho 6 canetas. 4 escrevem em azul e 4 escrevem em vermelho. Quantas escrevem tanto em azul como em vermelho?

12. O Serviço de Orientação Educacional de uma escola verificou, num questionário apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que não gostam de futebol nem de cinema é:

a) 670 b) 230 c) 100 d) 30

e) Não pode ser determinado, pois o enunciado é absurdo.

13. Dos 42 alunos de uma turma. 8 foram reprovados em matemática. 6 em Português e 5 em Ciências. 4 foram reprovados em Português e matemática, 3 em matemática e Ciências e 2 em Português e Ciências. Sabendo que 2 alunos foram reprovados nas três matérias, diga quantos não foram reprovados em nenhuma dessas matérias. 14. De 18 alunos que estão em recuperação, 6 fazem Português e Ciências; 5 fazem

Português e Matemática; 9 jazem matemática e Ciências; 2 fazem essas 3 matérias; ninguém faz só Português ou só Ciências. Quantos farão recuperação só de Matemática?

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 80 2) 22 3) 7 4) 230 5) 30 6) 26 7) 1 8) 3 9) 61 10) 10 11) 2 12) b 13) 30 14) 2

P

O L I N Ô M I O S

1. Calcular o valor numérico de :

a)

4

,

3

0

2

6

0

₌

₋

₌

₊

₌

+

+

b

a

a

b

x

a

x x

para

e

(Col. Pedro II – 2º. Série Ginasial – P. Parcial – 1953)

b)

3

1

2

3

₌

₌

+

−

b

a

b

a

e

para

( E.P.C. do Ar – Concurso – 1951) c) 3₋

( )

_{− =}2−1 ₌₋2 b a b ab para e d) 2 1 2 2 3 0 3 3_{−a b−a −} b _{a=− b=−} ab para e

2. Calcular o valor numérico de

( )

3 2 2 2 − − − − − − b a ab ba para a=−2 e b=−1 (E.N.C.D. – 1951)

3. Calcular o valor numérico do polinômio

( )

2 1 1 3 1 5 3 ,_{y =−x}2_{+ x− xy+ xy}2 _{x =− y =−} x

P para e (E.P.C. do Exército – 1953)

4. Classificar as expressões: a) 2 ₋ −2₊1 x x b) 3 _{2 2} 1 2 − + • + x x 5. Classificar a expressão: 4 2 5 3 2 3_{− + +} + x x x x (C.N. – 1959) 6. O polinômio, em _{x y mx}3₊2_x2₊3_x−2_y+1 ; e é do 2º grau se m....

7. O polinômio, em _x, _x4 ₊3_x3_+mx2₋2_x+5 _{é completo se m....} 8. O polinômio, em _{x e y}, _x2 _+y2 ₊3_xy+m−1 _{é homogêneo se m....}

9. Calcular m e p para que o polinômio, em x e y,

(

m−1

)

x3 +x2 +xy+

(

p−2

)

y2 seja homogêneo completo.

10. Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numérico de : a) _x3_+x2_y+2xy2_−y3₋

(

_3x2_y+4xy2 _+x3_−7y3

)

_{para x=−1 e y =2}

(Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

b) Da soma de 7a+5b−9c e 13b−12c subtrair o polinômio 5a−7b−3c.

(Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

c) Sendo _P=−3a2_+5ab−14b2 2 2 ₆ 9a ab b Q=− − + 2 2 _{5 8} 6a ab b R= + − Calcule − p+

(

−Q+R

)

(I.E. – 1951)

d) Qual a diferença entre: 2_x2₋5_x+3 _e 2_x2 ₋6_x+2 _?

e) Qual o monômio que devo somar a 2_x3 ₋3_x2 _{+ x−}1 _{para obter um Trinômio do 2º} grau ?

11. Efetuar a multiplicação

(

_x2₋5_x+9

)

(

_x+3

)

_{(C.N. – 1952)} 12. Efetuar o produto

(

_x2 ₊2_−x

)(

_x2₋1

)

_{dando a resposta ordenada segundo as}

potências decrescentes de x.

13. Desenvolvendo e ordenando, crescentemente em relação a x, a expressão:

(

x x

) (

bx x

)

x a

x

a2 −₂ 2 − ₁− 2 +₃ 2 − _{, o último termo terá como coeficiente...}

(E.N.S.K. – 1959) 14. Efetuar a)

(

8_x3₋6_x2 ₊4_x+2

)

:2 b) x x x 2 2 6 3₋ 2 c)

(

x

m+1

₋

x

m

₋

x

m−1

)

_:

x

15. Qual o quociente da divisão de 6_x3₋2_x2₋7_x+4 _{por 3x}2_{− x−2 ?}

16. Calcule o resto da divisão de: _x2_{− x}3 2 ₊4 _por

(

_x−2

)

_. 17. Efetuar a)

(

_−2xm+1

)

2 b) 3 3 1 3 1       x c)

( )

2 5 , 0 x 18. Calcular os valores de : a) B−

[

A+

(

B−C

) (

− A−B

)

]

para 8 3 7 3 17 15 5 ₋ 3_{+ = −} 2_{+ = −} 2 ₊ = x x B x x C x x A , e b) 5_A−

[

_B−6

(

_B−A

)

]

_A=5_x2₊10_x−16 _{B= x}2 ₊2_x−3 e para .

c) Calcular 2x−3

[

x−2

(

x−y−1

)

]

+6

(

y+1

)

+y para

2 2 _{a 2 y 10 5a 5a}

a

x= − − e = + − .

d) Calcule o valor da expressão

(

)

[

]

1; 1 2; 1

2 _{− B− Ba−C +B A=a+ B = −a−a C =a−}

Aa sendo .

e) Calcular o valor numérico para x=1 e y =−1 e z =2, do polinômio que se deve somar a 5x−6y+3z para se obter 11x+4y−8z.

(Col. Pedro II – 2ª Série Ginasial – P. Parcial – 1954)

f) Se o valor numérico da expressão _{5x −}2 _2y2_{é 27 e x e y são iguais e negativos,}

qual será o valor de x e y ?

g) Calcular c para que o valor numérico de −k+ k2−c _{seja igual a 5, para k =−1.} h) Calcular o valor de a para que o valor numérico de _a2 _{+ a+}1 _{seja o mesmo que o}

valor de _a2_.

i) A expressão 2 3

3 2

3ab − ab tem para valor numérico –13, para b=−2 numérico de a é: (a) 4 3 − (b) 4 3 (c) 20 39 − (d) 20

39 (e) nenhum dos

resultados anteriores (I.E. – 71/72)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) a)-2,5 b)0 c)-6 d)-4 2) 12 7 3) 12 79 − 4) a) Racional fracionária.

b) Racional inteira do 3º grau, não homogênea, incompleta, reduzida e ordenada. 5) Racional fracionária. 6) m=0 7) m≠0 8) m=1 9) m=1 e p≠2 10) a) 52 b) 2a+25b−18c c) a2 ₊ab 18 d) x+1 e) _−2x3

x 27 1 11) _x3₋2_x2₋6_x+27 12) _x4_−x3_+x2_+x−2 13) _{b −2a}2 14) a) 4_x3₋3_x2 ₊2_x+1 _{b) 3x −}2 _{x c)} m₋ m−1₋ m−2 x x x 15) x2 16) 0 17) a) 4_x2m₊2 _{b) c)x} 18) a)1 b)1 c)0 d)1 e)-26 f)-3 g)-15 h)-1 i)a

P

P

r

r

o

o

d

d

u

u

t

t

o

o

s

s

n

n

o

o

t

t

á

á

v

v

e

e

i

i

s

s

1. Efetuar: 1. (x + 5) (x + 2) 2. (x - 5) (x - 4) 3. (x + 8) (x - 3) 4. (x + l) (x -1) 5. (2x + 3) (2x -3) 6.       ₊       ₋ 2 1 5 2 1 5_x3_y2 _x3_y2 7. (a + 3) (3 - a) 8. (-x -2) (-x + 2) 9. (a + b + 1) (a + b -1) 10. (x + 3y + 2z) (x -3y + 2z) 11. (a + b - c) (a -b + c) 12. (x + 5)(x + 5) 13. (x3 + 3)2 14. (2x3ym + 3x2y)2 15. (ab2 - 1)(ab2 - 1) 16. 2 2 1 ₂ 2 1       − ₋ x y x 17. (2x -3y)2 18. (a + b) (a2- ab + b2) 19. (x + 1)(x2 - x + 1) 20. (x - y) (x2+ xy + y2) 21. (x2 - 2) (x4 + 2x2 + 4) 22. (x2 + 2)3 23. (xm _{+ 2y}3₎3 24. (3a2 - 2b)3 25. (0,5x2y--1 - 2xy2)3

26. O produto de 3 2_{a +}2 b _por 3 2_{a +}2 b _{é... (I.E. -1956} )

27. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 é verificada para o seguinte valor de b2: (a) 0 (b)

(

₂

)

₂ 2 c a c a + + (c) ac2 (d)_{4 ca}2 2 (e)2 ac (I.E. – 71/72) 28. Acrescentando à expressão 4 1 2 4_{y +} x o termo...obtém-se o quadrado de 2 1 2_y+ x .

(Seleção 3ª Série - Ginásio E. Guanabara -1961)

29. Desenvolver (a8b5+ c3d6)3 (E.N.C.D. -1948)

30. Quanto devemos subtrair de (a -2)3 para obter (a + 3)3?

31. Elevando x ao quadrado obtemos a2+ 2ob + b2. Podemos afirmar que x é igual a:

a) (a + 2b)2 b) (a + b)2

c) (2a + b)2

d)

(

a +b

)

2

e) (a +b) (a -b)

(Concurso Professores 5ª a 6ª Serie -1976)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) x2 + 7x + 10 2) x2 -9x + 20 3) x2 + 5x –24 4) x2 –1 5) 4x2 –9 6) 2 1 25_x6_y4 ₋ 7) 9 - a2 8) x2 -4 9) (a + b)2 –1 10) (x + 2z)2 - 9y2 11) a2 - (b - c)2 12) x2 + 10x + 25 13) x6 + 6x3 + 9 14) 4x6y2m + 12x5ym+l + 9x4y2 15) a2b4 - 2ab2 + 1 16) ₂ 4 ₂ 2 ₄ 2 4 1 x y y x− − + 17) 4x2 –12xy + 9y2 18) a3 + b3

19) x3 + 1 20) x3 -y3 21) x6 –8

22) x6 + 6x4 + 12x2 + 8

23) x3m + 6x2my3 + 12xmy6 + 8y9 24) 27a6 – 54a4b+ 36a2b2 - 8b3

25) 6 3 5 ₆ 4 3 ₈ 3 ₈ 3 6 2 3 8 1 y x x y x x y x − − + − − 26) 9 3 4 4_a4 _{+ a}2_b+b2 27) c 28) x2y 29) a24bl5 + 3a16bl0c3d6 + 3a8b5c6dl2 + c9dl8 30) –15a2 –15a -35 31) d

F

A T O R A Ç Ã O

1. Fatorar 12a5b8 - 6a6b7 + 180a8b6 - 9a7b9 (E.N.C.D. -1948)

2. Fatorar 8z(x -y) - 3(x -y) (C.N. -1952)

3. 81x2 - y16 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960)

4. Transforme a seguinte expressão num produto de fatores do primeiro grau:

y a y x2 3 ₂₅ 2 9 4 ₋ (I.E. -1954) 5. Decomponha em três fatores 16x4 - 1 (C.N. -1954)

6. Escrever todos os fatores do binômio: 256y8 - z8 (E.N.C.D. -1951)

7. Fatorar: y3 - x3 (E.P.C. do Ar -1958) 8. Fatore: 9y2 - 42y + 49 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960)

9. Decomponha o trinômio x2 - 7x - 30 em um produto de fatores binômios do primeiro grau. (I.E. -1951)

10. Fatore: x2 - x - 56 (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960)

11. Fatorando-se 3x2 - 6xy + 3y2 obtém-se... (I.E. -1956)

12. Decompor: (x + y - 1)2 - 5(x + y - 1) - 6 num produto de dois fatores.

(Curso C. Metropolitano -1960)

13. Fatore: mx + 5y + xy + 5m . (P. Parcial -C. Pedro 11 -1960)

14. Fatorar ab - ac + b2 - bc (E.N.C.D. -1948)

15. Decomponha num produto de dois fatores binômios e polinômios: 2 - b - 2a + ab

(I.E. -1951)

16. Decomponha em fatores do 1º grau a expressão seguinte: y = x3 + x2 – x – 1

(C.N. -1958)

17. Decomponha em fatores do primeiro grau a expressão: x – xy - 1 + y2

19. Decomponha em fatores do primeiro grau a expressão: a(a - 1) - b(b + 1)

(E.N.C.D. -1955)

20. Fatorar x2 – 2xy + y2 - a2 (C.N. -1951)

21. Decomponha em um produto de fatores do 1º grau a expressão: x2 - y2 + 2yz - z2

(I.E. -1951)

22. Fatorar 4a2 + 9b2 - 25 -12ab (E.N.C.D. 1951)

23. Fatorar os polinômios: a2 + 6a -7 e x4 – 2x3 + x2 - 8x + 8

(E.P.C. do Exército - Janeiro, 1953 –3º Ano)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 3a5b6 (4b2 - 2ab + 60a3 - 3a2b3) 2) (x - y) (8z - 3) 3) (9x + y8) (9x – y8) 4)      ₋       _{xy+ a xy a} y 5 3 2 5 3 2 5) (4x2 + 1) (2x + 1)(2x -1)

6) (16y4 + z4) (4y2 + z2) (2y + z) (2y - z) 7) (y - x) (y2 + xy + x2) 8) (3y - 7)2 9) (x - 10) (x + 3) 10) (x - 8) (x + 7) 11) 3(x - y)2 12) (x + y - 7) (x + y) 13) (x + 5) (m + y) 14) (b - c) (a + b) 15) (2 - b) (1 - a) 16) (x + 1)2 (x - 1) 17) (1 - y) (x - y - 1) 18) (a + b) (a -b -1) 19) (x - y + a) (x - y - a) 20) (x + y - z) (x - y + z) 21) (2a - 3b + 5) (2a - 3b - 5) 22) (a + 7) (a - 1) e (x - 1) (x3 - x2 - 8)

M

Í N I M O

M

Ú L T I P L O

C

O M U M

( m m c )

E

M

Á X I M O

D

I V I S O R

C

O M U M

( m d c )

D E P O L I N Ô M I O S 1. O m.d.c. de 5xy2, 15x3 e 17x5y4 é ... (C.N. -1956) 2. Calcular o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + 6 e ab - 2a 3. Calcular o m.d.c. entre a + 2; a2 - 4 e ax + 2x

4. Determinar o m.d.c. das expressões: x2 - 1 e x2 + 2x - 3 (C.N. -1953)

5. Fatorar: a3 – a2b – ab2 + b3; a3 - b3 e a3 - 2a2b + ab2 e, a seguir, dizer qual o m.d.c. desses polinômios.

6. Calcular o m.d.c. dos polinômios: x2 + 2x + 1 e x3 + 1

(E.P.C. do Exército – Janeiro, 1953)

7. Achar o m.d.c. entre: (x3 + 2x2 -3x) e (2x3 + 5x2 –3x) (C.N. -1959)

8. Determinar o m.d.c. de 4x4 - x2 + 2x -1 e 2x3 - x2 -2x + 1

(E.P.C. do Exército -1952 –3º Ano)

10. Calcular o m.m.c. entre a2 - b2 e a2 - 2ab + b2.

11. Calcular o m.m.c. entre ax - a; x2 - 2x + 1 e a2x2 - a2.

12. Calcular o m.m.c. dos polinômios: 2x2 - x -1 e 2x3 + 2x2 - 2x - 2

(E.P.C. do Exército -1953 –3º Ano)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) x 2) b - 2 3) a + 2 4) x - 1 5) a - b 6) x + 1 7) x(x + 3) 8) (2x - l) (x + 1) 9) 48x6y4z3 10) (a - b)2 (a + b) 11) a2(x + 1)(x -1)2 12) 2(x+ 1)2 (x -1) (2x + 1)

F

R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S I. Simplificar: 1. 1 2 2 3 2 2 + − + − x x x x 2. 2 1 2 2 − + − x x x 3. x x x x x 9 6 3 2 3 4 − − + 4. xy y x xy y x − − 2 5 5. 5 5 5 + + + + a b ab a 6. y xy y x + + + + 5 7 5 35 (E.N.C.D.-1948) 7. Simplificando a fração 50 18 9 15 2 ₋ − x x obtêm-se ... (E.N.C.D.-1959) 8. Reduza a fração 4 4 2 3 2 2 + − + − a a a a

a expressão mais simples e, a seguir, calcule o valor numérico para 3 2 = a . (E. Aeronáutica -1948) 9. 9 6 9 2 2 + + − x x x 10. _{3 2 2 3} 4 4 b ab b a a b a + + + − 11. _{2 2 2} 2 2 2 2 2 a c b ab c b a ab + − − − + + (E. Aeronáutica – 1945)

12. 18 9 2 6 2 3 2 + − − − + x x x x x (I.E. – 1945) 13. 1 2 2 2 2 3 − + − − x x x x (C.N.-1958) 14. Simplificando a fração 9 6 12 7 2 2 + + + + a a a a encontramos: a) 3 4 + + a a b) 9 12 c) 15 19 d) 6 7 + + a a e) 3 4

(Supletivo – Rio de Janeiro)

15. Simplifique a fração: 2 3 2 1 4 4 2 2 − + + − x x x x a) 2 2 1 + − x x b) 1 1 + − x x c) 2 1 2 − − x x d) 2 1 2 + − x x e) 2 4 − − x x

(E. Técnica – Rio de Janeiro – 1971)

16.

₍

(

₎

₍

_{2 2}

)

(

₂

)

₎

2 2 2 2 2 b ac c a c b a c b a bc c b a − − + + + − + − − − (C.N.-1959) II. Efetuar 17. x x x x x x x 5 3 9 15 2 2 2 2 2 − − • − − − 18. x bx ax bx ax b a

x

x

− − + + + + 2 2 1

:

19.

(

)

(

)

2 2 y x y x y x y x − + − +

:

(E.N.C.D. – 1948) 20. y x a a y x a 3 3 2 3 1 2 2 2 2 + + − − −

:

(I.E. – 1951) 21. xy x x x x x x y xy x y x − • − − − • + + − 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 6 22. x x x x x x x x x x x 16 4 3 64 9 9 6 12 7 2 3 2 3 3 2 2 2 + + + − − • + − + −

:

23. _      •       − − − − 4 21 1 2 3 1 7 2 3 143 z y x z x y

(C.P.O.R – Seleção – Novembro 1950)

24. Efetue e simplifique:

(

_{2 2}

)

2

(

4 2 2 4

)

12 4 4 2x y y x y x y x _{− +} + −

:

(C.N.-1957) III - Efetuar 25.

(

)

(

₍

) (

₎₍

₎

)

b a b a b a b a b a b b a + + + + − • − − + 4 3 4 7 2 4 2 4 2 2 3 4 26.

₍

(

₎₍

)

₎

(

₍

)

₎₍

(

₎

)

1 2 1 3 1 1 1 1 2 2 + − − − − • + − + − a a a a a a a a 27.

(

)

₍

₎₍

(

)

₎

2 1 2 4 2 1 2 2 _{− −} − + • − − − a a a a a a a 28.

(

₍

₎

)

₍

(

₎

)

a b a b b a a b a b b a 2 3 2 3 3 2 • − − • − − + − 29.

(

)

(

)

(

a

)

b a b a b a b b a a b a b a − + − − + − • + − − 3 3 3 2 2 4

:

30.

(

₍

)

₎

₍

(

₎₍

)

₎

6 2 3 : 2 2 1 2 3 4 4 4 2 2 3 − − + − + − + − • + − + − x x x x x x x x x x x x x

31. O resultado mais simples da expressão

y x xy x y xy x y x − + + − − 2 2 2 2 2 : 2 e: a) x b) xy x y x + − 2 c)

(

)

y x y x x − + d) x 1 e)

₍

₎

y

x

x

−

2

2 (Exames Madureza – GB – 1971)

32. Efetuar, dando a resposta em sua expressão mais simples:

₍

_{) (}

_{) (}

_{) (}

_{) (}

_{) (}

₎

b c a c c a b c b b c a b a a − − + − − + − − (C.N. – 1959)

33. Reduzir a expressão mais simples:

₍

_{) (}

_{) (}

_{) (}

_{) (}

_{) (}

₎

b c a c c a b c b b c a b a a − − + − − + − − 3 3 3

G

G

AABBAARRIITTOO IIII IIII... 1) 1 2 − − x x 2) 2 1 + + x x 3) 3 2 2 − − x x x 4)

(

_x2 ₊1

)

(

_x+1

)

5) b+1 6) x+7 7) 10 6 3 + − x

8) 14 9) x x − + 3 3 10) a −b 11) c b a c b a + − + + 12) 3 1 − x 13) x−2 14) a 15) d 16) 1 IIII

IIIIIIIIIIII...

17) 1 18) 1 19) _{x −}2 _y2 20) y ay x ax a 2 2 3 3 + − − + 21) x+2 22) x 1 23) _x17_y356 24) ₂ 1 ₂ y x + 25) b a 4 2 1 − 26) ( 1 1 + − a a )2 27) 2 1 − + a a 28) b a a b 3 2 − − 29) 2 1 30) x 1 31) d 32) 0 33) a + b + c

E

Q U A Ç Ã O D O

1

º G R A U

1. Qual o valor de a na equação:

20 3 4 3 5 2a_{− =} a ? (E.P.C. do Ar -1951)

2. Calcule o valor de y na equação: n m

y

y+ =

(Col. Pedro 11 -3~ Série Ginasial -P. Parcial -1953)

3. Resolva em relação a a, a seguinte fórmula:

a b ka

C = −

(E.P.C. do Ar -1951)

4. Quantas raízes tem a equação . (a2– l )x = a + 1, quando a = -1 ? (C.N. -1957)

5. Quantas raízes tem a equação: (m – l)x = m2+ 1, quando m = 1? (C.N. -1957)

6. Determine os valores de m para que a equação abaixo tenha solução 2mx + 7 = 4x

(l.E. -1951)

7. A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 é uma identidade quando m ... e p...

8. Determine a a fim de que a equação (a –l )x = b seja determinada.

(C.N. -1958)

9. Para que a equação (2m –l )x = 3p - x - 2 não tenha solução devemos ter m ... e

p... (I.E.-1957)

10. Para que a equação 2x - 3 = ax + 1 seja impossível, devemos ter a = ...

(E.N.S.K. -1959)

11. Determine os valores de p e q para que a equação (5p -1) x + q - 3 = 0 seja impossível.

(I. Educação –2ª P. Parcial –3ª Série Ginasial -25/11/53)

12. Calcule o valor de k para que se torne impossível a equação: k2y - k2 =: 2k + 2ky

(E.P.C. do Exército -1955)

13. Discutir as soluções da equação px + q = O. (C.N. -1952)

14. Discutir a equação (b + a)x = b2. (Exame Aptidão - Portugal -1942) 15. Sabendo que a e b são números ímpares, resolva e discuta a equação:

2 − + = − − − a b b x b b x a a x (Pré-normal) 16. Se a ≠ 0 e a

≠

-b, a solução da equação

(

)

2 2 2 2 b a b a a ab ax + − = − , após as simplificações é. ... (E.N.C.D. -1958) 17. A solução da equação ax - b =.bx - a, (a ≠ b) é ... (I.E. -1956)

Resolver as equações : 18. 2 3 1 1 1 ₌ + + + + − a x a x (I.E.-1953) 19. 4 1 3 1 ₌ + + + + m y m y (E.N.C.D.-1953) 20. 1 _{2 2} b a a x a b a x b a b x − − − − − = − + + (E.N.C.D.-1955) 21. b a a x b a b x a b x b b a a x + − − + + = − + + − + 2 2 (I.E.-1955)

22. Dada a equação mx – k = km – m, podemos afirmar que: a) x = -1, qualquer que sejam m e k;

b) ela e impossível; c) ela e indeterminada; d) x = -1, se m

≠

k; e) x = 1, se m

≠

k.

(Concurso Professor – Município do Rio de Janeiro – 1976)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 3

2) 1 + m mn 3) c k b − 4) Uma infinidade. 5) Nenhuma 6) m

≠

2 7) m = 0, 3 1 − = p . 8) a

≠

1 9) 3 2 , 0 ≠ = p m 10) a = 2 11) , 3 5 1 _≠ = q p 12) K = 2 13) Determinada: p

≠

0. Indeterminada: p = q = 0 Impossível: q

≠

p = 0. 14) b

≠

-a: determinada; b = a = 0: indeterminada; b = -a

≠

0: impossível. 15) Sempre determinada e x = b. 16) b a b a + + 2 2 17) –1 18) a + 2 19) 2m - 1 20) a 21) 3 b 22) d SI S T E M A D E E Q U A Ç Õ E S D O 1º G R A U C O M D U A S I N C Ó G N I T A S. 1. O sistema    − = + − = − 8 6 4 4 3 2 y x y x

e indeterminado. Dê uma de suas soluções.

(C.N. -1951)

2. Calcule a para que o sistema abaixo admita infinitas soluções.    = + = + 1 1 ay x y ax

(Fac. Filosofia Ciências e Letras Santo André -1914)

3. Determine o valor de a para que o sistema tenha uma única solução.     = + = + 23 5 8 30 10 2 y x y ax (C.N. -1911) 4. O sistema    = + = + b y x y x 4 10 4 2 5

é impossível quando b ... (I.E. -1959)

5. O valor de k para o qual o sistema    = − = + 3 5 2 7 3 y x y kx

não tem solução é:

a) 2 b) 5 c) 3 d) –0,8 e) –1,2

(Matemática –Humanas - Univ. MACK -S.P. -1915)

   = + = − 1 5 3 4 y x by ax seja indeterminado.

(E.P.C. do Exército –Janeiro, 1953. 1º Ano)

7. O sistema    − = + = − 3 6 2 2 3 p y x y mx e indeterminado para m = ... e p = ... (I.E. -1957)

8. Para quais valores de a e b o sistema    = + = − 10 4 3 2 by x a y x será indeterminado? (C.N. -1951)

9. Calcular o valor de m para que o sistema    = + = + 9 26 13 7 2 y x y mx seja impossível. (C.N. -1955)

10. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja impossível:

₍

₎

   = + − + = + 1 2 6 4 4 2 3 y p x m y x (I.E.-1955)

11. Calcule m e p de forma que o sistema seguinte seja indeterminado:

(

)

   + = − = − + 1 2 9 4 1 6 p y x y m x (E.N.C.D.)

12. Se 51x + 49y = 35 e 49x + 51y = 65, então 2x é:

a) -14 b) -7 c) 7 d) 14 e) 35

(Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1916)

13. Determinar k. para que o sistema    = + = + 21 9 14 4 y kx ky x seja indeterminado.

(E.P.C. do Exército - Janeiro, 1953 e Seleção lº Científico -C. Militar -1954)

14. Determine m de modo que o sistema abaixo não admita solução.

(

₍

)

₎

₍

₎

   + − = + − − = + y x x y m y y x m 2 3 2 12 1 5 (I.E. -1953)

15. Determinar o valor de k para que o sistema seja indeterminado:    − = = 1 12 3 kx y ky x (C.N. -1952)

16. Determinar k e p para que o sistema

₍

₎

   + = + − − = − 3 4 2 4 3 5 6 k y x k p k y kx seja indeterminado. (E.P.C. do Exército -1955)

17. Determinar m, para que o sistema

₍

₎

   − = − + − = − m y m x m y mx 7 29 7 2 3 5 6

tenha uma infinidade de soluções.

18. Determinar k, no sistema abaixo, de modo que as equações sejam incompatíveis

(

)

   + = − + = + − 14 12 2 7 8 10 5 13 8 k y x k y x k (E.Naval-1944)

19. Determinar k no sistema

₍

₎

   + = − + + = − 2 2 5 3 2 2 k y k x k y kx de modo que : 1º) as equações sejam incompatíveis;

2º) o sistema seja indeterminado.

20. Qual o valor a atribuir ao parâmetro m para que os sistemas    = + = + 2 3 1 2 my mx my mx e    − = = a y a x sejam equivalentes? (C.N. -1954) 21. Dado o sistema    = + − = − 11 3 2 1 6 y x k y kx

determinar k para que os valores de x e y sejam iguais. (C.N. -1959)

22. Para que o sistema

₍

(

₎

)

   = + + = − + 1 3 2 2 y x k k y k kx

seja indeterminado, devemos ter k igual a:

a) 4 b) –4 c) 1 d) –1 e) n.r.a. (Marinha Mercante -1972)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 2 e 0 2) a = -1 3) a

≠

4 4) b ≠ 8 5) e 6) a = 12, b = -20 7) m = -I, p = -1 8) a = 5, b = -6 9) m = 1 10) p = -6, 8 7 − ≠ m 11) 3 1 − = m , p = 5 12) a 13) k = 6 14) m = -1,5 15) Não há valor de k 16) k = 3 e p = 20 17) m = 3 18) 16 9 − = k 19) k = 6 e k = -1; não há valores 20) a 1 − 21) 6 61 = k 22) d IIII

IIIInnnnnnnneeeeeeeeqqqqqqqquuuuuuuuaaaaaaaaççççççççõõõõõõõõeeeeeeeessssssss ddddddddoooooooo 11111111ºººººººº ggggggggrrrrrrrraaaaaaaauuuuuuuu

1. Indique os valores de x que satisfazem a. inequação 2x - 3

>

3 (x - 2)

2. Dê o maior número inteiro que satisfaça a inequação: 2 -3x

>

7

(I.E. -1954)

3. O menor valor inteiro de x, para o qual a inequação 19x - 40

>

14x -16 é satisfeita é .

(E.N.C.D.-1959)

4. O maior valor inteiro de x que satisfaz a inequação − x− >x

4 1 3

e...

(E.N.C.D. -"1958) 5. Dar o menor número inteiro que satisfaz a inequação:

9 2 6 2 4 + < + − x x x

(I. Educação – 4º Série Ginasial –1º P. Parcial –25/6/51)

6. Resolvendo o sistema de inequações 4x + 8 > 0 e 3 -x < 0, obtém.se, como solução.

(I.E.-1959) 7. O menor, número inteiro que satisfaz simultaneamente as inequações -2x < 6 e

2x < 4 e ... (I.E. -1958)

8. O menor número inteiro que satisfaz simultaneamente as inequações : 3x > 9

- 5x < -46 e ... (I.E.-1957)

9. Determine os valores de x que verifiquem o sistema:       < − − − > − − 0 4 6 7 2 4 3 1 5 1 y y y y (I.E.-1954)

10. Quais os valores inteiros de y que verificam, simultaneamente, as desigualdades: x x x x 2 1 2 7 3 6 4 3 2 > − + > − − (E.N.C.D. -1951)

11. Quais os valores de y para que o sistema abaixo se verifique?

      < − − − > − − 0 4 6 7 2 4 3 1 5 1 y y y y (E.N.C.D. -1951)

12. Calcule os números inteiros que satisfaçam, simultaneamente, as desigualdades

x x x x 2 1 2 7 3 6 4 3 2 > − + > − − (I.E. -1951)

13. Determine os valores inteiros que verificam o sistema       − − < − − + < − 5 2 4 5 10 1 3 3 2 3 2 4 3 y y y y (E.P.C. do Exército -1955)

14. Qual o menor valor de x inteiro e positivo que satisfaz a condição: 1 1 2 3 _> − − x x (C.N. -1957)

15. Maior valor Inteiro e x que satisfaz a inequação e: 1 4 3 7 − _> − x x e: a) - 1 b) - 2 c) 0 d) 1 e) 2

(Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1976)

16. O conjunto de soluções inteiras do sistema       < − − − > − − 3 5 1 3 2 1 3 3 x x x x e: a) {-3, -2, -1, 1, 2} b) {-2, -1, 0, 1} c) {-3, -2, -1, 0, 1, 2} d) {-2, -1, 0,...} e) {-2, -1, 1}

17. O conjunto solução a inequação 1 1 7 4 _> − − x x e: a) {x ∈ Rx > 2} b) {x ∈ Rx < 1 ou x > 2} c) {x ∈ R1 < x < 2} d) {x ∈ Rx < 1 e x >2} e) ∅

G

G

AABBAARRIITTOO 1) x < 3 2) -2 3) 5 4) 0 5) -19 6) x > 3 7) –2 8) 10 9) Entre 4 e 6 10) 2, 3 e 4 11) y > 5 12) 4 13) 2,3 e 4 14) 2 15) a 16) b 17) b

E

E

QQUUAAÇÇÕÕEESS DDOO

2

2

ºº GGRRAAUU

I. Calcule o valor de x nas equações: a) 15x2 = 0 b) l4x2 + 7x = 0 c) 3 9 2 2 = + x (E.P.C. do Exército –1953)

d) 4x2 + 17x + 4 = 0 (Maratona Intelectual -1953) e) _x2 ₊ 2_x−4₌0 f) a4m2x2 - a6m4 = 0 g) x2 - 8ax + 15a2 = 0 h)

(

)(

)

x b a x b a 2 1 2 2 2 2 2 = + + − (Escola Naval) i) k2x2 - 2pkx + p2 - q2 = 0 (E.P.C. do Exército -1955) j) 2 3 2 1 1 1 ₌ − + − x x k) 6x-2 -17x-l + 12 = 0 (Escola de Aeronáutica) l) x x − − = 4 3 4 3 m)

₍

_{) (}

₎

1 2 3 1 3 2− − = − − − x x x x x (E.P.C. do Exército -1953) n) =−2 − + + − + b x b x a x a x (E.P.C. do Exército -1953)

II. Faça o que se pede ou responda ao que se pergunta:

1. Determine o valor da maior raiz da equação 3x2 + 4x - 2 = 0

(E.P.C. do AI -1951)

2. Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equação 2x2 + 3x -2 = 0 3. Calcular m na equação mx2 - 3x + m - 1 = 0 de modo que a unidade seja sua raiz. 4. Sabendo que

5 3

− é raiz da equação 5mx2 _{- 5x - 1 = 0, calcule o valor de m.}

5. Sem efetuar o produto dos primeiros membros das equações: (x -2) (x + 2) = 0 e (2x + 1) (3x - 5) = 0 , calcule as raízes.

6. Sem resolver a equação 9x2 - 6ax + a2 - 4,= 0, diga se 3

2 −

a

é uma de suas raízes. 7. Determinar m e p de modo que sejam nulas as raízes da equação:

m(x2 - x + 1 + m) + px = x + 2 (E.P.C. do Exército -1953)

8. Que valores pode assumir o parâmetro k para que a equação abaixo tenha uma das raízes nulas? _x2 ₋6_x+k2 ₋3_k−4₌0

(E.P.C.doExército-1953)

9. Determinar k de sorte que a equação (x - k)2 + 3 (x - 2k) = 0 tenha uma raiz igual a zero. (Col. Militar - Seleção 1º Científico -1954)

10. Qual o valor de m para que a equação (m -1 )x2 + 3mx – 2m = 0 tenha uma só raiz não nula?.

11. Determinar os valores de m para que a equação abaixo tenha raízes iguais:

x2- (m - l)x + m - 2 = 0 (E.P.C. do Exército- Julho, ,1953)

12. Determinar m para que a equação x2 - m(x -1) = 2 - x tenha uma raiz dupla.

13. Determinar k de modo que as raízes da equação 5x2 + 9x + k = 0, sejam reais e desiguais. (E.P.C. do Exercito -1953)

14. Achar m para que a equação (2m + l)x2 + 4mx + 2(m -1) = 0 tenha duas raízes distintas.

15. Qual a condição para que as raízes da equação mx2 + nx + p = 0 sejam imaginárias?

(E.P.C. do Ar -1951)

16. Achar m para que a equação 4x2 - 4x + 2m - 1 = 0 não possua raízes reais.

17. Dada a equação 3x2 - 7x + 1 = 0, determinar x' + x" e x' •. x"; sem resolver a equação. (E.P.C. do Ar -1952)

18. Sem resolver as equações abaixo, determinar a soma e o produto das raízes: a) 2x2 + 6x-1 = 0

b) 4_x2 ₊3 2_x−12 2 ₌0

c) x2 – ax – x + a = 0

d) (m - 2)x2 + (m + 2)x – m2 + 4 = 0 19. Determine os valores de k para os quais a equação:

(9k -12)x2 - (2k + 7)x + k + 5 = 0 1º) tem raízes simétricas;

2º) tem uma só raiz nula.

(E.P.C. do Exército – 1955)

20. Calcule a soma dos quadrados das raízes da equação x2- 2x + 6 = O

(I. Educação -2~ P. Parcial -1953)

21. Sem resolver a equação 3x2 - 2x - 5 = 0, calcule a soma dos inversos de suas raízes. 22. Calcular h na equação (h + 3)x2 - 2(h + l)x + h -10 = 0 de modo que a soma dos

inversos da raízes seja 3 1

. (E. Aeronáutica -1942)

23. Dada a equação x2 - 5x + q = 0, achar q de modo que: a) uma das raízes seja 3;

b) a soma dos inversos das raízes seja 4 5

.

(Col. Militar - Admissão -1945)

24. Determinar k na equação x2+ kx + 36 = 0, de modo que entre as raízes x' e x" exista a relação: 12 5 " 1 ' 1 _{+ =} x x (E.P.C. do Ar -1957)

25. Sem resolver as equações abaixo diga qual o sinal de suas raízes: a) 2x2 - 8x + 5 = 0

b) 3x2 + 5x + 1 = 0 c) 5x2- 2x + 8 = 0

d) m2x2- 2x + 1 = 0 e) x2+ m2x + 1 = 0.

a) se as raízes têm o mesmo sinal; por quê? b) qual o sinal da maior raiz; por quê?

(E.P.C. do Ex. -1952)

27. Reconheça os sinais da seguinte equação: ax2 + a3x + a2+ b2= 0.

(E.P.C. do Exército -1955)

28. Calcular m na equação mx2 - 3x + 1 = 0 de modo que suas raízes sejam positivas. 29. Calcular o menor valor inteiro de m para o qual as raízes da equação mx2+ 3x -1 = 0

são positivas.

30. Calcular o valor inteiro de m para o qual a equação 2x2 + 3x + m = 0 tem raízes reais, desiguais e negativas.

31. Calcular m de modo que a equação. (m - 2)x2 + 2x -1 = 0 tenha raízes de sinais contrários sendo a maior, em valor absoluto, negativa.

32. Determine os sinais de xl e x2 (x1< x2), raízes da equação em x:

x2+ bx + c = 0 onde b > 0 e c < 0 (C.N. -1958)

33. Formar as equações cujas raízes são a) 2 e -5.

b) -0,5 e 0,4 (Col. Pedro 11 - Art. 91)

c) ±k

d) 2+ 3 e 2− 3. (Col. Pedro 11 -P. Parcial -1953)

34. Compor a equação do 2º grau cujas raízes são os valores absolutos de x e y no Sistema    = = + 1 3 3 2 2 xy y x

35. Estabelecer a equação do 2º grau cujo produto de suas raízes e 1 e a maior e 3

2 +

36. Qual o valor de k que torna equivalentes, no campo real, as equações:

(x2+ 1) • (x - k) = 0 e -7x + 2 = -3x ? (C.N. -1957)

37. Calcule a menor raiz da equação px2+ px + 2 = 0 sabendo que, se subtrairmos uma unidade do valor de p obteremos uma nova equação do 2º grau, cujas raízes são iguais. (E.N.C.D. -1958)

38. Determinar c na equação x2 -10x + c = 0, de modo que uma raiz seja o quádruplo, da outra.

39. Determinar c na equação, de modo que suas raízes sejam consecutivas:

x2 -7x + c = 0.

40. Determinar b na equação 2x2 + bx + 1 = 0 de modo que uma de suas raízes seja a metade da outra.

41. Calcular o menor de m na equação mx2 - (3m – l )x + m = 0 de modo que a razão entre suas raízes seja 1/4.

42. Calcular m de modo que as raízes da equação abaixo existam e sejam inversas. 2x2 + 5x + 2m - 3 = 0.

43. Os números a e b são raízes da equação em x: 10x2 + 3x + 10ab = 0; calcule a e b sabendo-se que o quíntuplo do inverso de a é igual ao simétrico do dobro do inverso de b. (C.N. – 1º Concurso - 1958)

44. Dada a equação 2x2 – 3x + 4 = 0, cujas raízes são x' e x", forme outra equação cujas raízes são " 1 ' 1 x x e .

45. Dada a equação x2 – 14x + 25 = 0, formar outra equação cujas raízes sejam, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica das raízes da equação dada.

46. Dada a equação x2 - 6x + 25 = 0 determinar a equação do 2º grau cujas raízes são as médias aritmética e geométrica das raízes da equação dada.

(C.N. – 1º Concurso - 1959).

47. Dada a equação x2 - 2px + q2 = 0, forme outra equação do 2º grau cujas raízes sejam, respectivamente; a média aritmética e a média geométrica das raízes da equação dada. (E.P.C. do Exercito -1955)

48. Determine c na equação 4x2 - 12x + c = 0 de modo que a diferença das raízes seja nove. (C. Naval -1956)

49. Completar:

a) A equação incompleta do 2º grau que tem uma raiz nula é da forma... = 0. b) Quando a soma das raízes da equação do 2º grau for nula, a equação é do tipo...= 0 c) Supondo a > 0 e sendo x' e x" as raízes de ax2 + bx + x = 0 quando x’

•

x" < 0

teremos

a c

− ... 0. (E.P.C. do Exército -1953) 50. A diferença das raízes da equação 4x2 - 15x + p = 0 é

4 9 . O valor de p é: (a) 9 (b) 3 (c) –9 (d) 4 15 (e) 15 4 (I.E. -1972)

51. Resolva equação: abcx2 - (a2b2+ c2)x + abc = 0 (a) ab c c ab e (b) a

(

b+c

)

e b

(

c+a

)

(c) cb a ca b e (d) abc e −abc (e) bc a ab e e (E. Técnica -1971)

52. Determinar k na equação x2 - 4x + k = 0 sendo R e S as suas raízes e sendo:

SS • RR • SR • RS = 256. (C.N.-1971)

53. Qua1 a resposta que você aceitaria de seus alunos para a expressão

b a

1

1 + , sendo a e

(a) 3 (b) –3 (c) 3 1 (d) 3 1 −

(e) Impossível calcular

(Concurso Professores Estado RJ - 1976)

54. Na equação x2- 4x + k = 0 onde a e b são suas raízes e aa • bb • ab • ba = 16, o valor de k2é:

(a)1 (b)9 (c)4 (d)16 (e)25

(Concurso Professores - Município do Rio de Janeiro -1976)

G

G

AABBAARRIITTOO IIII IIII... a) 0 e 0 b) 0 e 2 1 − c) ±5 d) –4 e 4 1 − e) 2 e −2 2 f) ±am g) 5a e 3a h) b a b a b a b a + − − + e i) k q p ± j) 3 e 3 4 k) 3 2 4 3 e l) 3 e 1

m) x = 3 (1 é raiz estranha, pois anula o

m.m.c.). n) 0 e 2 b a + IIII

IIIIIIIIIIII...

1) 3 10 2 + − 2) –2 3) 2 4) 9 10 − 5) 2, -2 e 3 5 , 2 1 − 6) Sim 7) m = -2, p = -1 ou m = 1, p = 2 8) 4 ou –1 9) 0 ou 6 10) Não há valor de m 11) 3 12) 3 13) 20 81 < k 14) 2 1 1 ≠ − > m m e 15) n2 _<4mp 16) m > 1 17) 3 1 3 7 e 18) a) –3 e 2 1 − 19) -3,5 e -5 20) -8 21) -0,4 22) 5 16 − 23) 6 e 4

24) -15

25) a) Positivas; b) negativas; c) não tem raízes reais; d) positivas; e) negativas. 26) a) Não, porque o produto <0

a c

; b) maior raiz é positiva, porque um número positivo é maior do que um negativo; a maior raiz, em valor absoluto, é negativa porque a soma − <0

a b

.

27) Se a > 0 negativa; se a < 0, de sinais contrários, sendo a maior em valor absoluto negativa. 28) 4 1 2 0< m≤ 29) –2 30) 1 31) m > 2 32) x1 > 0 e x2 < 0 33) a) x2+ 3x -10 = 0 ; b)10x2+ x - 2 = 0; c) x2 – k2= 0; d) x2 - 4x + 1 = 0 34) 6x2 - 9x + 2 = 0 35) x2 - 4x + 1 = 0 36) 2 1 37) 3 2 − 38) 16 39) 12 40) ±3 41) 11 2 42) 2,5 43) 5 1 2 1 ₌ − = b a e 44) 4_x2 _{− x}3 ₊20₌0 45) x2 – 12x + 35 = 0 46) x2 – 8x + 15 = 0 47) x2 – (p + q)x + pq = 0 48) –72 49) ax2 + bx = 0; ax2 + c = 0; >0 − a c 50) a 51) a 52) 4 53) c 54) c

E

Q U A Ç Ã O

B

I Q U A D R A D A 1. Resolver: 5x4 = 0 2. Resolver: 4x4- 1 = 0

3. As raízes da equação 3x4- 6x2 = 0 são ... (I.E. e C.D. - 1957)

4. As raízes da equação x4- 5x2 + 4 = 0 são... (I.E. -1956)

5. Resolver: 4x4- 9x2 + 2 = 0

6. Resolver: 214 – 512 - 3 = 0 (F. Eng. S.P. -1975)

8. Resolva a equação: 9 10 1 1 2 2 =       + +       − x x x x (C.N. -1958) 9. Resolver: 5x-4 – 2x-2 - 3 = 0

10. A soma das raízes da equação 3x4 + x2+ 5 = 0 é igual a ... (I.E..- 1959)

11. Uma das raízes da equação x4 - bx2 + 36 = 0 é 3. Calcular as outras, sendo b constante. (C.N. -1959)

12. Calcule a média aritmética das raízes da equação: x4 – 5x2 + 4 = 0 (C.N. -1957)

Compor as equações de raízes: 13. ±2 e ± 3 14. a a 2 1 2 ± ± e 15. ±2m e ±m 16. ± 3+ 5 e ± 3− 5

17. Qual a equação biquadrada que possui uma raiz nula e uma. raiz igual a –2 ?

18. A equação biquadrada, de coeficientes inteiros e primos entre si, que apresenta as raízes -3 e +2 é ... (E.N.C.D. -1958)

19. Resolva a equação: x4- 8x2 + 9 = 0, transformando as raízes em radicais simples. Sem resolver as equações abaixo, dizer a natureza de suas raízes:

20. 2x4 - 3x2 + 5 = 0 21. x4 – 2x2 -15 = 0 22. 9x4 - 6x2 + 1 = 0 23. 4x4+ 4x2 + 1 = 0

24. Calcular m para que a equação tenha duas raízes nulas: x4 - 3x2 + m -1 = 0

25. A equação mx4+ (p + 1 )x2 + m2 + m = 0 tem todas as suas raízes nulas se ... 26. A equação x4 – 2x2 + m -3 = 0 tem duas raízes nulas e duas reais e simétricas se... 27. Para que a equação 2x4 + 3x2+ m + 1 = 0 tenha duas raízes nulas e duas imaginárias.

temos...

28. Para que a equação x4 + ax2+ 4 = 0 tenha raízes deveremos ter...

(E.N.S.K. - 1959)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) Todas nulas 2)

2

2

±

3) 0, 0, 2 e - 2 4) ±4 e ±1 5) 2 2 1 _± ± e 6) ± 3 7) c b ±

8) 2 1 ± 9) ± 1 10) 0 11) -3 e ±2 12) 0 13) x4 - 7x2 + 12 = 0 14) 4a2x4 - (8a3+ l)x2+ 2a = 0 15) x4 - 5m2x2+ 4m4= 0 16) x4 - 6x2+ 4 = 0 17) x4– 4x2 = 0 18) x4 - 13x2 + 36 = 0 19) ±

(

7 2+ 12

)

e ±

(

7 2− 12

)

20) Não tem raízes reais 21) Duas reais simétricas

22) Duas a duas reais e simétricas 23) Não tem raízes reais

24) m = 1 25) m = p = -1 26) m = 3 27) m = -1 28) a ≤ -4

E

Q U A Ç Ã O

I

R R A C I O N A L Resolver: 1. 2x2 −1= x 2. 3 3_x−1₌1 3. 1+ 3x−5= x 4. x x =2 5. x+7 +1=2x 6. 1+ x2 −1=x (I.E.-1956) 7. 2x=3+ x−1 (I.E.-1959) 8. 4x+7 − 2x+8 =0 9. x+7 =5− x+2 10. 6+x+ 2x+10 =1 (C.N.-1959) 11. x+3+ x−2 = 3x+7 12. x+1+ x−1= 2x+1 (C.N.-1959) 13. 2+x+ 3−x = 5 14. 2+ 2x−2 =2 15. 21−4 3x−6 =3 16. 3 3 2 ₌ − x x (I.E. e E.N.C.D.-1957)

17.

x

12+ x

(

+5

)

12=5 18. + 1 =2 x x 19. _{x− x}4 ₌6 20. 6 _{x+ x}3 ₌30

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 1 2) 3 2 3) 2 ou 3 4) 4 5) 2 6) 1 7) 2 8) 2 1 9) 2 10) –5 11) 6 12) 2 5 ± 13) 3 14) 3 15) 5 16) 9 17) 4 18) 1 19) 81 20) 15.625

S

I S T E M A S D E E Q U A Ç Õ E S

( P

A R T E

2 )

1. Calcule os valores reais x e y, que são soluções dos seguintes sistemas redutíveis ao 2º grau. 1.     = + − = − 31 16 2 2 2 2 xy y x y x 2.    = = − 3 10 2 2 xy y x 3.     − = − = + 8 3 4 17 2 9 2 2 2 2 y x y x

4.       = − = − 16 1 1 2 1 1 2 2 _y x y x 5.        = = − + y x y x y x 48 7 25 2 2 2 2 (E.Militar-1937) 6.

(

)

   = + + = + − + 31 48 2 2 xy y x y x y x (E.Militar-1940) 7.     = + = + 4 7 2 y x y x 8.     = + = + 3 3 2 2 2 y x y x

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 5 e 3; -5 e –3 2) 2 e 1 1 e 3 ± = ± = ± = ± = y x y x 3) x=±1 e y=±2 4) 3 1 e 5 1 5) 8 e 6; -8 e -6 6) 3 e 7; 7 e 3 7) x = 3, y = 1 8) 2 e 1; 3 e 0

P

R O B L E M A S

1

1

ªª

P

P

AARRTTEE

1. Qual é o número, cujos 5 2

mais os 7 3

, mais 54 é igual ao próprio número, mais 72?

(E.N.C.D. -1948)

2. Que horas são, se o que ainda resta para terminar o dia e 3 2

do que já passou?

3. As idades de João e Pedro somam 45 anos e há 5 anos a idade de João era quatro

vezes a de Pedro. Que idades têm agora João e Pedro? (E.P.C. do Ex. -1953) 4. Roberto tem 24 anos e Paulo 10. No fim de quantos anos a idade de Roberto será o

5. Dois indivíduos têm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anos a

idade do 2º será um quarto da idade do 1º ? (E.P .C. do Ex. -1954) 6. A soma das idades de A e B é 35. Daqui a 5 anos a idade de A será o dobro da de B.

Calcular as idades de A e B. (C.N. -1955)

7. Um pai tem 32 anos e o seu filho 14. Quando aconteceu ou acontecerá que a idade de um seja o triplo da do outro?

8. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade é 7 2

da minha e há 5 anos era 6 1

. Qual a idade do pai e qual a do filho? (E.P.C. do Ex. -1953)

9. Resolva o problema: Há 18 anos, a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em 9 anos a idade da primeira passou a ser

4 5

da segunda. Que idade têm as duas atualmente? (E.P.C. do Ex. -1952)

10. Uma pessoa possui 2 cavalos e uma sela que vale R$ 15,00. Colocando a sela no primeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo?

(Maratona Intelectual -1953)

11. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferíssemos, para a que tem menos água,

5 2

da água contida na outra, ficariam ambas com a mesma quantidade de água. Quantos litros contém cada vasilha? (E.N.S.K; -1959)

12. Tenho R$ 53,00 em notas de R$ 5,00 e de R$ 1,00. Sabendo que o total de notas é 21, calcular o número de notas de cada valor.

13. Têm-se galinha e carneiros, ao todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há de cada espécie? (Col. Pedro II - Artigo 91 -1949)

14. Resolver o seguinte problema: Num depósito, há viaturas de 4 e de 6 rodas, ao todo 40 viaturas e 190 rodas. Quantas viaturas há de cada espécie, no depósito? (A solução deve ser algébrica.) (E.P.C. do Exército - Julho, 1953, 1º Ano)

15. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra, sozinha, encheria o tanque? (C.N. -1952)

16. Uma torneira enche um tanque em 12 e outra em 18 horas. Em quantas horas e minutos as duas juntas encherão o tanque?

G

G

AABBAARRIITTOO 1) -105 2) 14h 24min 3) 33 e 12 4) Há 3 anos 5) Há 5 anos 6) 25 a 10 7) Há 5 anos 8) 35 e 10 anos 9) 24 e 21 10) R$ 60,00 e R$ 105,00 11) 30 e 60 12) 8 e 13 13) 17 e 4 14) 25 e 15 15) 560 16) 7h 12min

2

2

ªª

P

P

AARRTTEE

1. Determine dois números cuja soma seja (-2) e o produto seja (-15). Solução algébrica. (E.P.C. do Exército -1952)

2. Dois números inteiros estão entre si na razão 7 5

e a diferença entre seus quadrados excede de 5 centenas o quádruplo do menor. Calcular os números.

(E.P .C. do Exército -1953)

3. Qual o maior de dois números cuja soma é 2 e cujo produto é 4 3

?

(C.N. -1951)

4. A soma de dois números é 100 e o produto, 1.875. Determinar estes números.

(E.N.C.D. -1948)

5. A soma de dois números é 14 e a soma dos seus quadrados, 100. Quais são os números ? (E.P.C. do Exército - Julho, 1953)

6. Qual o menor dos dois números cuja soma é 2 e o produto é 9 5

?

7. A diferença de dois números é uma dezena. Qual o menor dos dois números, se ele excede a raiz quadrada do maior de 2 unidades.

8. A soma dos quadrados de dois números inteiros e positivos é 41. Achar esses números, sabendo-se que são consecutivos.

9. A diferença dos quadrados de dois números inteiros é 32. O triplo do menor excede o dobro do maior de 3 unidades. Achar os números.

10. A soma dos quadrados de dois números inteiros é 41. Três vezes um deles é igual ao dobro do outro mais duas unidades. Achar os números. (E.N.C.D. - 1950)

11. A soma de dois números é 7 e o primeiro mais a raiz quadrada do segundo é 5. Achar os números.

12. A soma de dois números é 13; o primeiro mais a raiz quadrada do 2º é 7. Calcular esses números. (C.N. –1953)

13. O produto dos dois algarismos de um número é 12. Trocando a posição dos algarismos, obteremos um outro número que excede o primitivo de 36 unidades. Qual o número?

14. Determinar um número de dois algarismos, tal que, dividindo-o pela soma dos algarismos. é igual ao quociente 4; e que o produto destes algarismos mais 52 é igual ao número, escrito em ordem inversa. (C.P.O.R. - Seleção -1950)

G

G

AABBAARRIITTOO 1) -5 e 3 2) 25 e 35 3) 1,5 4) 75 e 25 5) 6 e 8 6) 1/3 7) 6 8) 4 e 5 9) 7 e 9 10) 5 e 4 11) 3 e 4 12) 4 e 9

13) 26 14) 48

3

3

ªª

P

P

AARRTTEE

I. Resolva:

1. A soma de dois números é 48. Um deles é o dobro do outro. Calcule o menor. 2. João e Pedro têm juntos 44 anos, João tem o triplo da idade de Pedro. Calcule suas

idades.

3. Comprei um terno e uma camisa por R$ 800,00. O terno custou o triplo do preço da camisa. Qual o preço do terno?

4. A soma de dois números é 72 e o quociente exato da divisão desses números é 5. Quais são esses números ?

5. Eu sou. 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se é o triplo da de minha filha?

6. Um pai tem 30 anos e seu filho 6. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da do filho?

7. Eu tenho 37 anos e minha melhor aluna 15 anos. Há quantos anos eu tive o triplo de sua idade?

8. Um pai tem 37 anos e o filho 7. Quando aconteceu ou acontecerá da idade do pai ser o triplo da do filho?

9. Um pai tem 50 anos e os seus três filhos 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos os filhos, juntos, terão a mesma idade do pai?

Sugestão: é bom lembrar que, cada ano, a diferença entra a idade do pai e dos filhos, juntos, diminui de 2 anos.

G

G

AABBAARRIITTOO 1) 16 2) 33 e 11 3) R$ 600,00 4) 12 e 60 5) 39 6) 18 7) 4 8) Daqui a 8 anos 9) 14