Módulo 4
Atividades Adicionais
Matemática
1. (UFGO) A tabela a seguir foi extraída da Pesquisa Na-cional por Amostra de Domicílio/2001, do IBGE. Ela mostra as classes de rendimento mensal no Estado de Goiás e o número de pessoas de 10 anos de idade ou mais, em cada classe.
Classes de rendimento mensal
Pessoas de 10 anos de idade ou mais
Total Homens Mulheres
Até 1 2 salário mínimo 210 438 62 010 148 428 Mais de 1 2 a 1 salário mínimo 696 875 299 431 397 444 Mais de 1 a 2 salários mínimos 816 385 498 301 318 084 Mais de 2 a 3 salários mínimos 354 673 251 875 102 798 Mais de 3 a 5 salários mínimos 257 695 172 865 84 830 Mais de 5 a 10 salários mínimos 186 355 125 954 60 401 Mais de 10 a 20 salários mínimos 75 830 55 911 19 919 Mais de 20 salários mínimos 41 446 33 409 8 037 Sem rendimento 1 501 999 505 691 996 308 Total 4 141 696 2 005 447 2 136 249
Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa.
I. O número de pessoas que ganham mais de 5 salá-rios mínimos é inferior a 8% do total de pessoas. II. A razão entre o número de mulheres e de homens
que ganham até 1 salário mínimo é maior que a razão entre o número de mulheres e de homens com rendimentos superiores a 1 salário mínimo.
III. Mais de 60% das pessoas sem rendimento são mulheres.
IV. Mais da metade das pessoas não possuem rendi-mento ou ganham até 1 salário mínimo.
2. (ENEM) Segundo um especialista em petróleo (O Estado de S. Paulo, 05.03.2000), o consumo total de energia mundial foi estimado em 8,3 bilhões de toneladas equivalentes de petróleo (TEP) para 2001. A porcen-tagem das diversas fontes da energia consumida no globo é representada no gráfico.
fontes de energia outr os hidr elétr ica nuclear % da ener gia mundial gás car vão petr óleo 50 0 40 30 20 10
Segundo as informações apresentadas, para substituir a energia nuclear é necessário, por exemplo, aumen-tar a energia proveniente do gás natural em cerca de a) 10%.
b) 18%. c) 25%. d) 33%. e) 50%.
3. (PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspon-dente a esse candidato?
a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°
4. (UNICAMP) O gráfico a seguir, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32 000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular.
Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão. Pergunta-se:
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta. 5. (UFPI) O histograma a seguir apresenta as alturas de
30 atletas de uma equipe de futebol. no de atletas 10 1,50 8 6 3 altura (em metros) 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
Com esses dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas é aproximadamente:
a) 1,58 d) 1,81
b) 1,65 e) 1,92
c) 1,74
6. (UEPA) O professor Joelson aplicou uma prova de Matemática a 25 alunos, contendo 5 questões, va-lendo 1 ponto cada uma. Após fazer a correção, o professor construiu o gráfico a seguir, que relaciona o número de alunos, às notas obtidas por eles.
Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a me-diana das notas obtidas pelos 25 alunos correspon-dem, respectivamente, a: a) 2,0 e 3,0. b) 2,0 e 4,0. c) 2,0 e 5,0. d) 3,0 e 4,0. e) 3,0 e 5,0.
7. (UFU) O Departamento de Comércio Exterior do Banco Central possui 30 funcionários com a distribuição sa-larial em reais mostrada na tabela a seguir.
No de funcionários Salário (em R$)
10 2 000,00
12 3 600,00
5 4 000,00
3 6 000,00
Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 de-vem ser demitidos para que a mediana desta distri-buição de salários seja de R$ 2 800,00?
a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7
8. (UFSE) Suponha que a Prefeitura de Aracaju deseje estudar o número de extintores de incêndio com de-feito nos principais prédios de porte médio na Capi-tal. Para isso, foi escolhida uma amostra de 85 pré-dios, encontrando-se os dados da tabela seguinte:
Números de extin-tores com defeito
por prédio
0 1 2 3 4 5 6
Frequência 14 8 10 15 15 16 7
Entre as sentenças a seguir aponte a falsa:
a) O número médio de extintores com defeito por prédio é igual a 3,2.
b) Se a cidade tem 860 prédios desse tipo, então a estimativa do número total de extintores com de-feito é 2 580.
c) O desvio padrão em torno do número médio é menor que 1,8.
9. (FGV) (No gráfico a seguir está representado, no eixo das abscissas, o número de fitas de vídeo alu-gadas por semana numa videolocadora e, no eixo das ordenadas, a correspondente freqüência (isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o corres-pondente número de fitas).
número de fitas 1 2 3 4 5 6 30 25 20 15 10 5 fr equência 0
a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais fitas?
b) Se cada fita é alugada por R$ 4,00, qual a receita semanal da videolocadora?
10. (UFPE) O consumo anual de café em estabeleci-mentos comerciais no Brasil, de 1999 a 2002, está ilustrado no gráfico a seguir.
Consumo de café (em milhões de sacas)
Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa.
I. O consumo cresceu linearmente de 2000 a 2002. II. Entre 2000 e 2002 o crescimento percentual foi
superior a 6%.
III. O crescimento percentual em 2001 foi igual ao crescimento percentual em 2002 (crescimento relativo ao ano anterior).
IV. Em 2001 o crescimento percentual (em relação a 2000) foi inferior a 4%.
V. A média anual de consumo foi superior a 13 mi-lhões de sacas.
11. (UnB) A tabela a seguir apresenta o levantamento das quantidades de peças defeituosas para cada lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de produção de autopeças durante um período de 30 dias úteis.
Dia Ndefeituosaso de peças Dia Ndefeituosaso de peças
1 6 16 7 2 4 17 5 3 3 18 6 4 4 19 4 5 2 20 3 6 4 21 2 7 3 22 6 8 5 23 3 9 1 24 5 10 2 25 2 11 1 26 1 12 5 27 3 13 4 28 2 14 1 29 5 15 3 30 7
Considerando S a série numérica de distribuição de freqüências de peças defeituosas por lote de 100 unidades, verifique se as sentenças a seguir são ver-dadeiras ou falsas.
I. A moda da série S é 5.
II. Durante o período de levantamento desses da-dos, o percentual de peças defeituosas ficou, em média, abaixo de 3,7%.
III. Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levan-tamento geram uma série numérica de distribui-ção de freqüências com a mesma mediana da série S.
12. (UFPE) Uma pesquisa sobre o consumo de bebida alcoólica de um grupo de 20 estudantes, em um pe-ríodo de 30 dias, produziu o seguinte resultado:
Unidades de bebida alcoólica Número de estudantes que consumiram De 0 a 10 12 De 11 a 20 8 Acima de 20 0
Qual o valor máximo que a média do número de unidades alcoólicas consumidas pelos estudantes no período pode atingir?
13. A tabela de frequência a seguir representa as dis-tâncias, em quilômetros, percorridas por um mara-tonista em cada um de um total de 50 dias de trei-namento. Distância Frequência 0
7 4 7
14 19 14
21 12 21
28 11 28
35 4a) Calcular a média x– e o desvio-padrão s das dis-tâncias percorridas.
b) Construa o histograma e calcule a mediana. c) Qual a percentagem de observações maiores
que x– + s?
14. Quer-se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se os números de erros por página dados na tabela seguinte:
Erros Frequência 0 25 1 20 2 3 3 1 4 1
a) Qual o número médio de erros por página? b) E o número mediano?
c) Qual é o desvio-padrão?
d) Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperado no livro?
15. Foi realizada uma pesquisa apurando a renda anual dos 20 500 moradores do bairro A. Infelizmente, os resultados da pesquisa foram perdidos. Sabe-mos somente que, sendo xi a renda média do mo-rador i, em salários mínimos, temos ∑ xi = 1 503 000 e ∑ xi2 = 490 650 000.
a) Calcule a média e o desvio-padrão das rendas.
b) O bairro B tem média de 7,2 salários mínimos e desvio-padrão de 15,1 salários mínimos. Em qual dos bairros a população é mais homogênea quanto à renda?
16. (UnB) Dados do Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) revelam que, por dia, os acidentes de trânsito no Brasil matam cerca de 100 pessoas e fe-rem outras 1 000, muitas vezes deixando sequelas irreversíveis. Os gastos decorrentes da violência no trânsito chegam a mais de R$ 10 bilhões por ano.
Índice de mortos por 10 mil veículos/ano Distrito Federal, 1995-2003
Segundo o diretor do Denatran, entre os principais fatores que colaboram para o aumento de acidentes nas vias urbanas e rodoviárias estão dois velhos co-nhecidos: o uso de álcool e o excesso de velocidade. Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou falsa:
I. As informações contidas no gráfico são suficien-tes para que se possa concluir que o número de vítimas fatais de acidentes de trânsito no DF foi maior em 1999 que em 2002.
II. No DF, se a frota de veículos em 1996 fosse 10% menor que a frota de veículos em 2000, então o número de mortos em acidentes de trânsito em 2000 teria sido inferior a 60% do número de mor-tos em acidentes de trânsito em 1996.
III. A média aritmética da sequência numérica for-mada pelos índices correspondentes aos anos de 1995, 1996, 1997, 1998 e 1999 é superior a 10,7. IV. Considere a seguinte situação: x representa o
nú-mero de veículos no DF em 2001 e y o núnú-mero de mortos em acidentes de trânsito no DF nesse mesmo ano. Nessa situação, de acordo com os da-dos do gráfico, a seguinte sentença é verdadeira:
x . 500 000 ⇒ y . 320
V. O desvio-padrão da sequência numérica formada pelos índices correspondentes aos anos de 1996, 1997 e 1998 é superior a 2,2.
17. (FGV) Resolva a equação sen 3x ⋅ cos 3x = sen x ⋅ cos x: a) S = 123 123 x = kπ 2 | k ∈ Z ∪ 123 123 x = π 8 + kπ4 | k ∈ Z b) S = 123 123 x = – π 8 + kπ2 | k ∈ Z c) S = 123 123 x = π 3 + kπ| k ∈ Z d) S = 123 123 x = π 2 + kπ| k ∈ Z ∪ 123 123 x = 3π 4 + kπ| k ∈ Z e) S = 123 123 x = kπ 2 | k ∈ Z
18. (PUC) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = cos π
6 ⋅ cos 2x – sen π6 ⋅ sen 2x. Determine:
a) o período de f.
b) as soluções da equação f(x) = 0, no intervalo [0; 2π]. 19. (UFC) Determine o valor de S
π, sabendo que S é soma, em radianos, de todas as soluções da equação cos x + cos5 x + cos (7x) = 3, contidas no intervalo [0; 14π].
20. (CESGRANRIO) Se 0 x π
2, a equação sen 1x = 0: a) tem uma infinidade de soluções.
b) não tem solução.
c) tem somente uma solução. d) tem exatamente quatro soluções.
e) tem um número finito, maior do que quatro, de soluções.
21. (SANTA CASA) Se x ∈ [0; 2π], a soma dos valores de x que satisfazem a equação
|
sen(
π 2 + x)
|
+ | cos (π – x) | = 1 é: a) 0. b) 7π 3 . c) 2π. d) 4π.e) impossível de ser determinada.
22. (MACK) A equação sen3 x ⋅ cos x – sen x ⋅ cos3 x = 1 4, no intervalo [0; 2π], tem p soluções. Então p vale:
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3
23. (ITA) Quais os valores de x que satisfazem a equação cos x – cos x 2 = 2? a) – π 2 < x < π2. b) x = kπ, k inteiro qualquer. c) x = (k + 1)π, k inteiro qualquer. d) x = (2k + 2)π, k inteiro qualquer. e) x = (4k + 2)π, k inteiro qualquer.
24. (FAAP) Achar os possíveis valores de α real, com 0 < α < 2π, para os quais a equação
x2 – x ⋅ 2 – cos α = 0 admite uma raiz dupla. 25. (FCC) No universo ]–π; π[ o conjunto solução da
ine-quação sen x ⋅ tg x > 0 é: a)
[
0; π 2[
b) [0; π] c)]
π2; π]
d) [–π; π] e)]
–π 2; π 2[
26. (MACK) Em 0 < x < 2π, o conjunto solução do sistema
123
cos2 x 1 2 tg 2x < 0 é: a) ∅ b) 123 123 x ∈ R | π 3 x < π2 c) 123 123 x ∈ R | π 2 < x 3π4 d) 123 123 x ∈ R | 3π 4 x π e) n.d.a.27. Assinale a alternativa falsa: a) arc cos 1 2 = π3. b) arc cos
(
– 3 2)
= 5π 6 . c) tg(
arc cos 3 2)
= 3 3 . d) sen(
arc cos(
– 22
))
= 22 .
28. (MACK) O valor de tg
(
arc sen 22 3)
é: a) 2 b) 2 3 c) 32 d) 22 e) 32 229. (MACK) Lembrando que tg(α + b)
=
1 – tg α ⋅ tg btg α + tg b , temos arc tg 1 2 + arc tg 13 igual a: a) π 2 b) π 3 c) π 4 d) π 6 e) 5π 630. (PUC) O valor de sen
(
arc sen 35 + arc sen 23
)
é igual a: a) 5 – 8 16 b) 5 + 8 17 c) 5 – 8 14 d) 5 + 8 12 e) 35 + 8 15 31. (UFCE) Calcule:cos
(
2 arc sen 3 5)
32. (ESEG) Dada uma matriz
[
a bc d]
, o produto [1 1] ⋅ A ⋅[
11
]
representa: a) o determinante de A. b) a soma dos elementos de A.c) a soma dos elementos da diagonal principal de A. d) a soma dos elementos da diagonal secundária de A. e) a soma dos elementos da primeira linha de A.
33. (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usadas num restaurante: C = 13 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ arroz carne salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante:
P = 2 1 1 1 2 1 2 2 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
arroz carne salada
prato P1 prato P2 prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3 está indicada na alternativa: a) 79 8 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ b) 44 4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ c) 119 4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ d) 26 8 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ e) 22 4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
34. (UFMS) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)4 × 4, em que aij = 2i + j2. 35. (FCC) Se A = 0 1 1 0 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ , B = –3 1 2 1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ e C = 1 0 –1 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ , então a matriz A2 + B – C é igual a:
a) ⎛⎜–2 2 2 3 ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ b) –4 1 3 –1 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ c) ⎛⎜–1 1 1 4 ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ d) ⎛⎜–3 1 3 0 ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ e) 3 –1 –3 0 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝
36. (FUVEST) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múl-tiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3 × 3
A = 2 1 2 3 3a – b + 2c 1 6 b + c – 3a 1 2 c – 2a + b tem posto 1.
37. (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 × 3. Se tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações:
I. tr(At) = tr(A)
II. Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0.
III. tr(A + λB) = tr(A) + λtr(B), para todo λ ∈ R. Temos que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras; b) Todas as afirmações são falsas; c) Apenas a afirmação I é verdadeira; d) Apenas a afirmação II é falsa; e) Apenas a afirmação III é falsa. 38. (UFSC) Consideremos as matrizes
A = (aij)4 × 3 e B = (bij)3 × 4 tais que:
aij = i + j e bij = 2i + j
Considere a matriz C = (cij), tal que C = A ⋅ B. Calcule o valor de c32.
39. (FUVEST) Consideremos as matrizes 1) A = (aij), 4 × 7, definida por aij = i – j. 2) B = (bij), 7 × 9, definida por bij = i. 3) C = (cij), C = AB. O elementos c63: a) é –112. b) é –18 c) é –9. d) é 112. e) não existe.
40. (FEI) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At é sua transposta, determine A tal que A = 2At.
41. (MACK) Considere o sistema
123
mx + y = 1
x + y = 2, m ∈ R, x – y = m
e as afirmações:
I. Existe um único m para que o sistema seja possí-vel e determinado.
II. Existe um único m para que o sistema seja impossí-vel.
III. Não existe m para que o sistema apresente mais de uma solução.
Então:
a) somente I é verdadeira. b) somente II é verdadeira. c) somente III é verdadeira. d) somente I e II são verdadeiras. e) somente II e III são verdadeiras. 42. Discutir e resolver o sistema (U = R3):
ax + 2y + z = b
x + ay + 2z = b (a, b ∈ R) 2x + y + az = b
43. (ITA) Considere o sistema: (P) ≠ 14243 x + z + w = 0 x + ky + k2w = 1 x + (k + 1)z + w = 1 x + z + kw = 2
Podemos afirmar que (P) é possível e determinado quando:
a) k ≠ 0 d) k ≠ 0 e k ≠ –1
b) k ≠ 1 e) n.d.a.
c) k ≠ –1
44. (UFSC) Determine o valor de a de modo que o siste-ma a seguir seja impossível.
123
x + 3y + 4z = 1 x + y + az = 2 x + y + 2z = 3
45. (FUVEST) O valor real de α para que o sistema
123
αx + y = 0αy + z = 0 8x + αz = 0
admita solução diferente de (0; 0; 0) é:
a) 8 d) –2
b) 2 e) –4
46. (ITA) Examinando o sistema a seguir
123
5x + 4y – 2z = 0 x + 8y + 2z = 0 2x + y – z = 0 podemos concluir que: a) o sistema é determinado.
b) o sistema é indeterminado com duas incógnitas arbitrárias.
c) o sistema é indeterminado com uma incógnita arbitrária.
d) o sistema é impossível. e) n.d.a.
47. (FUVEST) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y, z, w: 14243 2x + my = –2 x + y = –1 y + (m – 1)z + 2w = 2 z – w = 1
a) Para que valores de m o sistema tem uma única solução?
b) Para que valores de m o sistema não tem solução? c) Para m = 2, calcule o valor de 2x + y – z –2w. 48. (FATEC) Um raio luminoso parte do ponto A(0; 3) e,
ao incidir sobre o ponto B(x; 0), situado na superfí-cie de um espelho plano, é refletido, passando pelo ponto C(20; x + 8), conforme a figura a seguir.
Se α = θ, então x é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 49. (FUVEST) Os pontos M = (2; 2), N = (–4; 0) e P = (–2; 4) são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do segmento AB tem a equação:
a) x + 2y – 6 = 0 b) x – 2y + 2 = 0 c) 2x – 2y – 2 = 0 d) 2x + y – 6 = 0 e) –x + 2y + 6 = 0
50. (MACK) As retas de equação da forma ax + y + 8 = 0 têm um ponto comum A e as retas de equação da forma bx – 4y + 4 = 0 têm um ponto comum B. A equação da reta determinada pelos pontos A e B é: a) y = 0
b) x = 8 c) x = 4 d) x = 0 e) y = 2
51. (UNICAMP) Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3; 1) e forme com os eixos coordenados um triân-gulo de área igual a 6.
52. (MACK) A diagonal maior de um losango, cuja me-dida é o triplo da menor, está na reta x – y = 0. Se um vértice do losango é o ponto M(1; 0), então sua área vale: a) 2 b) 5 2 c) 3 d) 7 2 e) 4
53. (UNICAMP) As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir.
Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmé-tica dos coeficientes a e c:
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b;
b) determine a, b e c sabendo que a área do triângu-lo OPR é o dobro da área do triângutriângu-lo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.
54. (ESEG) Considere o quadrado OABC, de vértices O = (0; 0), A = (2; 0), B = (2; 2) e C = (0; 2). Sejam ainda
D o ponto médio de AB, E o ponto que divide o seg-mento OA na razão 1 : 2⎛⎜ ⎝ou seja, OE EA = 12 ⎛ ⎜ ⎝ e F a in-tersecção dos segmentos OD e CE.
a) Determine as coordenadas de D e E. b) Escreva uma equação da reta CE. c) Calcule a razão OF
FD.
55. (FUVEST) Em um plano é dada uma circunferência e um ponto A pertencente a ela. O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes da circunferên-cia e do ponto A é uma:
a) reta d) semireta
b) circunferência e) parábola c) elipse
56. (VUNESP) Num sistema de coordenadas cartesia-nas retangulares de origem O, considere os pontos A = (3; 0), B = (3; 5) e C = (0; 5). Seja r a reta pelo ponto M = (1; 2) e que corta OC e AB em Q e P, respectiva-mente, de modo que a área do trapézio OQPA seja metade da do retângulo OCBA. Determine a equa-ção de r.
57. (FEI) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os dois pon-tos da reta y = k que distam k unidades da reta y = x
k (k . 0).
58. São dadas, num plano, as duas retas r1, de equa-ção y = 1, e r2 com equações paramétricas
123
x = –2 + λ y = 1 + 2λ e o ponto A = (1; 2).
a) Entre as retas que passam por A, determinar as retas r para as quais as distâncias de A às suas in-tersecções com r1 e r2 são iguais.
b) Satisfeita a condição do item anterior, determinar a área do triângulo formado pelas três retas r, r1 e r2.
59. (MACK) As coordenadas do ponto P da figura a seguir são tais que a2 + b2 – 6b = 0.
Então a área do círculo de centro C vale:
a) π d) 16π
b) 4π e) 36π
c) 9π
60. (FUVEST) A circunferência dada pela equação x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coorde-nados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.
O segmento M—N é paralelo ao segmento A—B e con-têm o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale:
a) π – 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8
61. (EN) O circuncentro do triângulo de vértices A(2; 6), B(4; 8) e C(8; 14) é o ponto: a) (–15; 25) b) ⎛⎜ ⎝ 14 3 ; 283 ⎛ ⎜ ⎝ c) (44; –22) d) (–10; 20) e) (5; 9)
62. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x2 + y2 = 5, o ponto P = (1; 3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência.
Assim sendo, determine:
a) a reta tangente à circunferência no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE. 63. (ITA) Uma circunferência, tangente às retas de equa-ções 2x – 3y + 9 = 0 e 3x – 2y + 1 = 0, tem o seu cen-tro sobre a reta x + 2y – 10 = 0. Encontre a equação dessa circunferência.
64. (PUC) A área do trapézio OABC é 11 vezes a área do triângulo OAC (veja a figura).
A abscissa de A é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
65. (FUVEST) Para cada número real α, considere a pa-rábola y = x2 – 2x cos α + sen α + cos2 α. Determine, em coordenadas cartesianas, a equação da curva que é o lugar geométrico dos vértices dessas pará-bolas.
66. (UFMG)
Na figura, A = (–1; 1), B = (1; 1) e C = (λ; 0), em que λ ∈ R. Mostre que o ortocentro do triângulo ABC está sobre a parábola de equação y = x2 quando λ varia em R.
67. (VUNESP) Considere a elipse de equação x2
25 + y
2
9 = 1.
Determine os vértices Q e R da elipse que perten-cem ao eixo das abscissas e calcule a área do triân-gulo PQR, sendo P = ⎛⎜
⎝3; 125 ⎛
⎜ ⎝ .
68. (UNICAMP) Uma elipse que passa pelo ponto (0; 3) tem seus focos nos pontos (–4; 0) e (4; 0). O ponto (0; –3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto ⎛⎜
⎝ 5 2 ; 135 ⎛ ⎜ ⎝ . Justifique suas respostas. 69. (FUVEST)
a) Defina elipse de focos F1 e F2. Considere no plano xy a elipse de focos F1 = (–1; 1) e F2 = (1; –1) e semieixo maior igual a 2.
b) Calcule o outro semieixo da elipse.
c) Determine a intersecção da elipse com a reta de equação x = 1.
70. (FATEC) A figura a seguir representa uma elipse e uma reta de equação x + y = 1.
Se A ≡ (xA, yA) e B = (xB, yB) são os pontos de intersec-ção da reta com a elipse, então xA⋅ xB vale:
a) – 120 17 b) – 100 17 c) – 80 17 d) – 60 17 e) – 40 17
71. (UFCE) A reta de equação y = ax + 1 intercepta a elipse de equação x2 + 4y2 = 1 em apenas um ponto. Determine o valor de a.
72. (UNICAMP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atin-ge a velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e maior proximidade da Terra, respectiva-mente, quando então essas velocidades são inver-samente proporcionais às distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade).
Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da ve-locidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo compri-mento do eixo maior).
73. (UNICAMP) Dada uma elipse de semieixos a e b, cal-cule, em termos desses parâmetros, a área do qua-drado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.
74. Determine o centro, o eixo real e o eixo imaginário das hipérboles de equações:
a) x2 – y2 + 4x – 6y + 5 = 0 b) x2 – 3y2 = 9
75. (FUVEST) Determine as equações das retas de plano que passam pela origem do sistema de coordena-das e que não interceptam a curva do plano dada pela equação x2
4 – y
2
Respostas das Atividades Adicionais
Matemática
1. I. V III. V II. V IV. V 2. d 3. e 4. a) 5 120.b) Não, pois foi 2,9.
5. c 6. d 7. d 8. a 9. a) 31,25%. b) R$ 940,00. 10. I. V IV. V II. V V. V III. F 11. I. F II. V III. V 12. 14 13. a) x– = 16,38 km; s ≠ 7,71 km. b) A mediana é aproximadamente 15,17 km. c) 20,28%. 14. a) 0,66 c) 0,84 b) 0,5 d) 330 erros
15. a) Média = 73,3 salários mínimos; desvio-padrão = 136,2
sa-lários mínimos. b) Bairro A. 16. I. F IV. V II. F V. F III. F 17. a 18. a) π b) π 6, 2π 3, 7π 6 e 5π 3 19. 56 31. 7 25 20. a 32. b 21. d 33. a 22. d 34. 50 23. e 35. d 24. α = 2π 3 ou α = 4π 3 36. a = 1; b = 3; c = 2 25. e 37. d 26. e 38. 94 27. e 39. e 28. d 40. 0 0 0 0 29. c 41. c 30. e
42. Sistema possível e determinado ⇔ a ≠ –3 e b ∈ R
⇔ V = 123 123 ⎛ ⎜ ⎝ b a + 3; b a + 3; b a + 3 ⎛ ⎜ ⎝ .
Sistema possível e indeterminado ⇔ a = –3 e b = 0 ⇔ V = {(α; α; α) ∈ R3 t.q. α ∈ R}. Sistema impossível ⇔ a = –3 e b ≠ 0 ⇔ V = ∅. 43. e 44. 2 45. d 46. c 47. a) m ≠ 2 e m ≠ 1 b) m = –1 c) 2x + y – z – 2w = –4 48. b 49. a 50. d 51. a = 1; b = 3 52. c 53. a) P = ⎛⎜ ⎝– ba; 0 ⎛ ⎜ ⎝ , Q = (0; b) R = ⎛⎜ ⎝+ b 2(b – a); b(2b – a)2(b – a) ⎛ ⎜ ⎝ b) a = –8; b = 4; c = 16.
54. a) D = (2; 1), E = ⎛⎜ ⎝ 2 3; 0 ⎛ ⎜ ⎝ . b) 3x + y – 2 = 0. c) 2 5. 55. d 56. x – y + 1 = 0 57. (k2; k) 58. a) x + 2y – 5 = 0 ou x – 3y + 5 = 0. b) 5. 59. c 60. b 61. a 62. a) y = – 1 2x + 5 2. b) (1 + 23 ; 0). 63. (x – 6)2 + (y – 2)2 = 225 13 ou (x – 2)2 + (y – 4)2 = 1 13. 64. c 65. x2 + y2 = 1
66. A altura do DABC relativa ao lado B—C está contida na reta
que é perpendicular a B←→C e passa por A, isto é, a reta dada
por
y – 1 = 1
1 – 0 1 – λ
(x – (–1) ⇔ (λ – 1)x – y + λ = 0.
Assim, o ortocentro do DABC é a intersecção da reta dada por x = λ, que contém a altura relativa ao lado A—B, e a reta dada por (λ – 1)x – y + λ = 0, ou seja, é a solução do sistema
x = λ
(λ – 1)x – y + λ = 0 ⇔ x = y = λλ2
que são equações paramétricas da parábola dada por
y = x2.
67. Q = (–5; 0), R = (5, 0), 12. 68. A elipse admite equaçãox2
25+ y2 9 = 1. Como 02 25+ (–3) 2
9 = 1, (0; 3) pertence à elipse; como
⎛ ⎜ ⎝ 5 2 ⎛ ⎜ ⎝ 2 25 + ⎛ ⎜ ⎝ 13 5 ⎛ ⎜ ⎝ 2 9 . 1, ⎛ ⎜ ⎝ 5 2; 13 5 ⎛ ⎜ ⎝ é exterior à elipse.
69. a) Elipse de focos F1 e F2 é o conjunto de todos os pontos de um plano (que contém F1 e F2) tais que a soma das distâncias de cada um deles a F1 e F2 é constante maior do que F1F2. b) 2 . c) (1; 1) e⎛⎜ ⎝1; – 5 3 ⎛ ⎜ ⎝ . 70. b 71. ±3 2 72. 1 3 73. 4a2b2 a2 + b2 74. a) (–2; –3); 210 ; 210 . b) (0; 0); 6; 23. 75. 14243 y = ax, com a < – 3 2 ou a > 3 2 x = 0
