FENÔMENOS DE TRANSPORTE TERMODINÂMICA

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

TERMODINÂMICA

CICLO DE POTÊNCIA E DE REFRIGERAÇÃO

CALOR E TRABALHO

Prof. Roberto Vieira Pordeus

Figura 1 - Exemplo de trabalho efetuado pelo movimento de fronteira de um sistema num

processo quase-estático

CICLO DE POTÊNCIA E DE REFRIGERAÇÃO

Os ciclos de geração de potência retiram calor de uma fonte à alta temperatura. Consideremos como sistema o gás contido num cilindro com êmbolo, como mostrado na Fig 1. Vamos tirar um dos pequenos pesos do êmbolo

provocando um movimento para cima deste, de uma distância dx. Podemos considerar este pequeno

deslocamento de um processo quase-estático e calcular o trabalho, dW, realizado pelo sistema durante este processo. A força total sobre o êmbolo é P. A, onde P é a pressão do gás e A é a área do êmbolo.

Portanto o trabalho dW é:

δ W = P.A.dx ( 1 )

δ

W

=

PdV

( 2 )

1- A relação entre P e V é dada em termos de dados experimentais ou na forma gráfica (como, por exemplo, o traço em um osciloscópio) Neste caso podemos determinar a

integral da Eq.1, por integração gráfica ou numérica.

2- A relação entre P e V é tal que seja possível ajustar uma relação analítica entre eles, e podemos então, fazer diretamente a integração.

Um exemplo comum desse segundo tipo de relação é o caso de um processo chamado politrópico, no qual PV n _{= constante, através de todo o processo. O expoente} "n" pode tomar qualquer valor entre -∞ e +∞ dependendo do processo particular sob análise. n n n n n n n n

V

V

P

V

V

P

V

te

tan

cons

P

V

P

V

P

te

tan

cons

PV

=

=

_{1 1}

=

_{2 2}

→

=

=

1 1

=

2 2

Para esse tipo de processo, podemos integrar a Eq. 2, resultando em:

(

−

)

=

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

=

− + − −

∫

∫

n n n n

V

V

n

te

cons

n

V

te

cons

V

dV

te

cons

PdV

11 1 2 2 1 2 1 2 1 1

1

tan

1

tan

tan

∫

=

₋

−

→

−

−

− − 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2

1

1

n

V

P

V

P

PdV

n

V

V

P

V

V

P

n n n n

( 3 )

Note-se que este resultado, Eq. 2, é válido para qualquer valor do expoente n, exceto n = 1. No caso onde n = 1, tem-se;

PV = Constante = P1V1 = P2V2 , e portanto,

∫

=

∫

=

2 1 2 1 ₁ 2 1 1 1 1

V

V

ln

V

P

V

dV

V

P

PdV

( 4 )

O processo politrópico conforme já descrito, expõe uma relação funcional especial entre P e V durante um processo. Há muitas relações possíveis, algumas das quais serão examinadas nos problemas apresentados no final deste capítulo.

Exemplo 1. Considere como sistema o gás contido no conjunto

cilindro - êmbolo mostrado na figura abaixo. Observe que vários pesos pequenos estão colocados sobro o êmbolo. A pressão inicial é igual a 200 kPa e o volume inicial do gás é 0,040 m3_.

a) Coloquemos um bico de Bunsen embaixo do cilindro e deixemos

que o volume do gás aumente para 0,1 m3_{, enquanto a pressão}

permanece constante. Calcular o trabalho realizado pelo sistema durante esse processo. Como a pressão, neste caso é constante, concluímos pela Eq. 2;

(

V

V

)

W

200

kPa

x

(

0,1

0,04

)

m

12,0

kJ

P

dV

P

W

2 _{1 2} 3 1 2 1 2 1

=

∫

=

−

→

=

−

=

b) Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais e finais, porém, ao

mesmo tempo que o bico de Bunsen está sob o cilindro e o êmbolo se levanta, removamos os pesos deste, de tal maneira que durante o processo a temperatura se mantém constante.

Se admitirmos que o gás se comporta como gás ideal, obtemos:

PV = mRT

e notamos que este processo é politrópico com o expoente n = 1, pois a massa, m, do sistema é constante, R é a constante do gás e sendo T constante, mRT = constante. Da nossa análise anterior, concluímos que o trabalho é dado pela Eq. 4, Portanto

:

∫

=

=

=

=

2 1 3 1 2 1 1 2 1

7

33

04

0

1

0

x

04

0

x

200

kPa

,

kJ

,

,

ln

m

,

V

V

ln

V

P

dV

P

W

c) Consideremos o mesmo sistema, porém, durante a troca de calor removamos os

pesos de tal maneira que a expressão PV 1,3 _{= constante, descreva a relação entre a} pressão e o volume durante o processo. Novamente o volume final é 0,1 m3_{. Calcular o} trabalho.

Esse processo é politrópico, no qual n = 1,3. Analisando o processo, concluímos novamente que o trabalho é dado pela Eq. 3, assim:

kPa

77

60

1

0

04

0

200

3 1 3 1 2 1 1 2

,

,

,

V

V

P

P

, ,

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

∫

=

−

−

=

−

−

=

=

2 1 1 1 2 2 2 1

6

41

3

1

1

04

0

x

200

1

0

x

77

60

1

,

,

kJ

,

,

,

n

V

P

V

P

dV

P

W

d) Consideremos o sistema e o estado inicial dado nos três primeiros exemplos, porém

mantenhamos o êmbolo preso por meio de um pino, de modo que o volume permaneça constante. Além disso, façamos com que o calor seja transferido do sistema para o meio até que a pressão caia a 100 kPa. Calcular o trabalho.

Como dW= P.dV, para um processo quase-estático, o trabalho é igual a zero porque, neste caso, não há variação do volume, isto é, dV=0.

O processo em cada um dos quatro exemplos está mostrado na Figura abaixo. O processo 1-2a é um processo a pressão constante e a área 1-2a-f-e-1 representa o respectivo trabalho.

Analogamente, a linha 1-2b representa o processo em que PV = constante, a linha

1-2c representa o processo em que PV1,3 _{= constante e a linha 1-2d representa o} processo a volume constante. O estudante deve comparar as áreas relativas sob cada curva com os resultados numéricos obtidos acima.

EXERCICIOS DE APLICAÇÃO

4.1. Problema 1. Um cilindro, provido de um êmbolo sem atrito, contém 5 kg de vapor

de refrigerante R-134a a 1000 kPa e 140 ºC. O sistema é resfriado a pressão constante, até que o refrigerante apresente um título igual a 25%. Calcular o trabalho realizado durante esse processo.

Solução:

P = constante e trabalho de fronteiras

(

_{2 1}

)

(

_{2 1}

)

2 1 2 1

W

=

∫

PdV

=

p

V

−

V

=

m

p

v

−

v

, pois

V

m

v

m

V

v

=

⇒

=

(

0

00566

0

031495

)

129

175

kJ

1000

5

x 2

1

W

=

,

−

,

=

−

,

(realizado sobre o sistema)

4.9. Problema 2. O conjunto cilindro-pistão, mostrado na Figura abaixo, contém,

inicialmente, 0,2 m3 _{de dióxido de carbono a 300 kPa e 100ºC. Os pesos são, então,} adicionados a uma velocidade tal que o gás é comprimido segundo a relação pV1,2 ₌ constante. Admitindo que a temperatura final seja igual a 200ºC, determine o trabalho realizado durante esse processo.

Solução: Da equação 4.4 p/

1)

(n

constante

≠

=

n

PV

temperatura variou

∫

=

₋

−

=

2 1 1 1 2 2 2 1

1 n

V

P

V

P

PdV

W

Assumindo um gás ideal:

T

PV

mR

mRT

PV

=

⇒

=

(

)

n

T

T

mR

n

mRT

mRT

W

−

−

=

−

−

=

1

1

1 2 1 2 2 1

, mas,

m

,

,

,

T

V

P

mR

0

16

3

373

2

0

300

x 1 1 1

₌

₌

=

(

)

kJ

,

,

,

,

,

W

80

40

2

1

1

3

373

3

473

1608

0

2 1

₋

=

−

−

=

4.11. Problema 3. Um conjunto cilindro-pistão contém, inicialmente, 0,1 m3 _{de um gás} a 1 MPa e 500ºC. O gás é então expandido num processo onde pV = constante. Admitindo que a pressão final seja igual a 100 kPa, determine o trabalho envolvido neste processo.

Solução:

Como PV = constante, então é válido: PVn _{= cte. (politrópico) à T = cte. ⇒ n = 1}

∫

=

∫

=

=

− 1 2 1 2 1

V

V

ln

C

dV

V

C

PdV

W

3 x 2 2 1 1 2 2 2 1 1

1

100

1000

1

0

m

,

V

P

P

V

V

V

P

V

P

=

⇒

=

⇒

=

=

kJ

,

,

ln

,

V

V

ln

V

P

W

230

3

1

0

1

1

0

1000

x 1 2 1 1 2 1

=

=

=

4.15. Problema 4. O espaço localizado acima do nível d’água num tanque fechado de

armazenamento contém nitrogênio a 25ºC e 100 kPa. O tanque tem um volume total de 4 m3 _{e contém 500 kg de água a 25ºC. Uma quantidade adicional de 500 kg de água é} então lentamente forçada para dentro do tanque. Admitindo que a temperatura permaneça constante no processo, calcular a pressão final do nitrogênio e o trabalho realizado sobre o mesmo durante o processo.

Solução: 3 2 3 1 3 x 1

997

2

5015

0

4985

3

4985

3

5015

0

0

4

5015

0

001003

0

500

2 2 2

m

,

,

,

V

m

,

,

,

V

m

,

,

V

N N O H

=

−

=

=

−

=

=

=

Considerando gás ideal T = constante

,

kPa

,

,

P

_N

116

7

997

2

4985

3

100

x 2 2

=

=

kJ

W

V

V

V

P

dV

P

W

N N N N

1

,

54

4985

,

3

997

,

2

ln

4985

,

3

100

ln

x x 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 _{2 2 2}

−

=

=

=

=

∫

4.2. Problema 5. O conjunto cilindro-pistão mostrado na figura abaixo, contém ar e

inicialmente está a 150 kPa e 400ºC. O conjunto é então resfriado até 20ºC. Pergunta-se:

a ) O pistão está encostando nos esbarros no estado final? Qual é a pressão final no ar?

b ) Qual o trabalho realizado no processo?

Solução P1 = 150 kPa; T1 = 400ºC = 673,3 K T2 = T0 = 20ºC = 293,3 K a ) Se o pistão para em 2;

2

2

1

2

1

1 x 1 1 2 1 1 1 2

=

→

→

=

V

V

V

V

V

V

Considerando gás ideal:

x x ₁ 1 2 x 2 1 x 1 2 2 2 2 1 1 1

₁₃₀

₇

3

673

3

293

2

150

,

kPa

P

,

,

T

T

V

V

P

P

T

V

P

T

V

P

<

=

=

=

⇒

=

O pistão esbarra no final, pois, se P2 > P1 ⇒ a pressão externa P1, responsável pelo movimento do pistão não seria suficiente para movimentá-lo.

b ) O trabalho realizado quando o pistão está se movendo a Pext = constante = P1

(

)

∫

=

−

=

2 1 1 2 1 2 1

W

Pext

dV

P

V

V

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1

2

1

2

1

P

T

R

m

V

V

V

T

mR

P

mRT

V

P

=

=

=

∴

=

1 -1 2 1 1 1 1 1 1 2 1

kg

kJ

6

,

96

2

1

3

,

673

287

,

0

1

2

1

2

1

2

1

x x x

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

=

RT

m

W

RT

V

V

V

T

R

W

4.17. Problema 6. Um conjunto cilindro-pistão contém 3 kg de ar a 20ºC e 300 kPa. O

conjunto é então aquecido em um processo a pressão constante até 600 K. a. Determine o volume final.

b. Trace um gráfico da linha do processo em um diagrama P-v. c. Determine o trabalho no processo

Problema 7. Um cilindro com êmbolo móvel, como mostrado na

figura, contém 3 kg d’água no estado de vapor úmido com título igual a 15% e pressão de 2,0 bar (estado 1). Esse sistema é aquecido à pressão constante até se obter o título igual a 85% (estado 2).

Pede-se:

a) Representar o processo em um diagrama P-V.

b) Calcular o trabalho realizado pelo vapor durante o processo.

Resposta a)

Resposta b)

Da definição de Trabalho termodinâmico devido ao movimento de fronteira, e sendo a massa do sistema constante, temos:

Assim, para calcularmos o 1W2 precisamos determinar o valor do volume específico 1 e 2. Considerando a tabela de propriedades da água saturada para P = 2,0 bar temos:

VL = 0,0010605 m3 kg-1 VV = 0,8857 m3 kg-1

Da definição de título e da relação entre título e uma propriedade qualquer na região de vapor úmido temos:

V 1 = 0,0010605 + 0,15 ( 0,8857 - 0,0010605 ) V 1 = 0,133756 m3 kg-1

V 2 = 0,0010605 + 0,85 ( 0,8857 - 0,0010605) V 2 = 0,7530 m3 kg-1

Substituindo na expressão do trabalho, Eq.(1) temos: 1W2 = 2,0.105 x 3 x (0,7530 - 0,133756) [ J ]

1W2 = 3,715.105 [ J ] ou 1W2 = 371,5 [ kJ ]

Problema 8.Um cilindro com êmbolo móvel, como mostrado na

figura, contém 5 kg d’água no estado de vapor úmido com título igual a 20% e pressão de 5,0 bar (estado 1). Esse sistema é aquecido à pressão constante até se obter a temperatura de 200ºC (estado 2). Pede-se:

a) Representar o processo em um diagrama P-V b) Determinar o trabalho realizado pela substância de trabalho contra o êmbolo, em kJ

Solução

Resposta a) ⇒

b) O trabalho devido ao movimento de fronteira é:

=

∫

2 1 2 1

W

PdV

como P = constante, então

=

∫

2

=

(

−

)

1 2 1 2 1

W

m

P

dv

m

P

v

v

Da tabela de propriedades de saturação, para o estado 1, P1 = 5,0 bar (500 kPa) obtemos

V

ls1

= 0,0010926 m

3

kg

-1

, V

vs1

= 0,3749 m

3

kg

-1

V

1

= V

ls1

+ X

1

( V

vs1

-V

ls1

) = 0,0010926 + 0,2 ( 0,3749 - 0,0010926)

V

1

= 0,0759 m

3

kg

-1

Da tabela de vapor superaquecido para P2 = 5,0 bar e T2 = 200oC, obtemos V2 = 0,4249 m3 kg-1

Assim o trabalho entre o estado 1 e 2 resulta

(

)

kJ

kg

m

kPa

Kg

W

5

,

0

500

0

,

4249

0

,

0759

872

3 2 1

=

x x

−

=

A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA PARA MUDANÇA DE ESTADO DE UM SISTEMA

A primeira lei da termodinâmica é comumente chamada de "lei da conservação da

energia". Nos cursos elementares de física, o estudo da conservação de energia dá

ênfase às transformações de energia cinética e potencial e suas relações com o trabalho. Uma forma mais geral de conservação de energia inclui os efeitos de transferência de calor e a variação de energia interna. Esta forma mais geral é chamada de "Primeira Lei

da Termodinâmica". Outras formas de energia podem também serem incluídas, tais

como: energia eletrostática, energia de campos magnéticos tensão superficial etc.

A idéia básica, aqui, é que a energia pode ser armazenada dentro de um sistema, transformada de uma para outra forma de energia e transferida entre sistemas. Para o

sistema fechado a energia pode ser transferida através do trabalho e da transferência

de calor. A quantidade total de energia é conservada em todas as transformações e transferências.

Primeira Lei para Um Sistema Percorrendo Um Ciclo

A primeira lei da termodinâmica estabelece que, durante um processo cíclico qualquer, percorrido por um sistema, a integral cíclica (somatório sobre todo o ciclo), do calor é proporcional à integral cíclica do trabalho, matematicamente

∫

δ

Q=J

∫

δ

W ( 1 ) Ou

∑

∑

= ciclo ciclo W J Q

A unidade de calor e trabalho, para o sistema internacional, SI, é o joule ou seus múltiplos. Outras unidades são freqüentemente usadas, tais como aquelas do sistema prático inglês e do sistema prático métrico, respectivamente, BTU (British thermal units) e a kcal (quilocaloria).

1 kcal = 4,1868 kJ 1 BTU = 1,05506 kJ 1 kcal = 3,96744 BTU

1 kw = 860 kcal = 3 412 BTU / h 1 hp = 641,2 kcal / h = 2 545 BTU / h

Primeira Lei para Mudança de Estado de um Sistema

A Eq. 1 estabelece a primeira lei da termodinâmica para um sistema operando em um ciclo. Muitas vezes, entretanto, estamos mais interessados a respeito de um processo que em um ciclo. Assim é interessante obter uma expressão da primeira lei da termodinâmica para um processo. Isto pode ser feito introduzindo-se uma nova propriedade, a energia total, a qual é representada pelo símbolo E.

Considere-se um sistema que percorre um ciclo, mudando do estado 1 ao estado 2 pelo processo A e voltando do estado 2 ao estado 1 pelo processo B. Este ciclo está mostrado na Fig. 1.

Da primeira lei da termodinâmica temos;

∫

δ

Q

=

∫

δ

W

Figura 1 considerando os dois processo que constituem o ciclo separadamente obtemos;

∫

∫

∫

+

∫

=

2

+

1 1 2 2 1 1 2 B A B A

Q

W

W

Q

δ

δ

δ

δ

( 2 )

Agora, consideremos outro ciclo, com o sistema mudando do estado 1 ao estado 2 pelo mesmo processo A e voltando ao estado 1 pelo processo C como indicado na Fig 1. Para este ciclo podemos escrever:

∫

∫

∫

+

∫

= 2 + 1 1 2 2 1 1 2 C A C A Q W W Q

δ

δ

δ

δ

Subtraindo a segunda (Eq. 2) destas equações da primeira, temos,

∫

∫

∫

−

∫

= 2 − 1 2 1 2 1 2 1 C B C B Q W W Q

δ

δ

δ

δ

ou reordenando temos,

(

)

_∫

(

)

∫

− = 2 − 1 2 1

δ

Q

δ

W B

δ

Q

δ

W C ( 3 )

Visto que B e C representam caminhos arbitrários entre os estados 1 e 2 concluímos que a quantidade (

δ

Q−

δ

W) é a mesma para qualquer processo entre o estado 1 e o

estado 2. Em conseqüência, (

δ

Q−

δ

W) depende somente dos estados inicial e final não

dependendo do caminho percorrido entre os dois estados. Isto nos faz concluir que a quantidade, (

δ

Q−

δ

W), é uma função de ponto, e, portanto, é a diferencial exata de

uma propriedade do sistema. Essa propriedade é a energia total do sistema e é representada pelo símbolo E. Assim podemos escrever.

δ

Q

−

δ

W

=

d

E

ou

W

E

d

Q

δ

δ

=

+

( 4 )

Observe-se que, sendo E uma propriedade, sua diferencial é escrita dE. Quando a

Eq. 4 é integrada, de um estado inicial 1 a um estado final 2, temos

2 1 1 2 2 1

Q

=

E

−

E

+

W

( 5 )

onde, 1Q2 é o calor transferido para o sistema durante o processo do estado 1 para o estado 2, E1 e E2 são os valores inicial e final da energia total do sistema e 1W2 é o trabalho efetuado pelo sistema durante o processo.

O significado físico da propriedade E é o de representar toda a energia de um sistema em um dado estado. Essa energia pode estar presente em uma multiplicidade de formas, tais como; energia cinética, energia potencial, energia associada à estrutura do átomo, energia química, etc.

No estudo da termodinâmica é conveniente considerar-se separadamente as energias cinética e potencial, as demais formas de energia do sistema são agrupadas em uma única variável, já definida, a energia interna, representada pelo símbolo U. Assim,

E = U + EC + EP ( 6 ) Sendo

Z

g

m

EP

mV

EC

=

e

=

2

1

₂ ( 7 )

onde, m é a massa do sistema, V é a velocidade, g a aceleração gravitacional e Z a elevação em relação ao referencial adotado para o sistema termodinâmico.

A razão para trabalhar separadamente é que a energia cinética, (EC), e a energia potencial, (EP), estão associadas a um sistema de coordenadas que escolhemos, e podem ser determinadas pelos parâmetros macroscópicos de massa, velocidade e elevação. A energia interna U está associada ao estado termodinâmico do sistema. Como cada uma das parcelas é uma função de ponto, podemos escrever,

dE = dU + d(EC) + d(EP) ( 8 )

A primeira lei da termodinâmica para uma mudança de estado de um sistema pode, então, ser escrita como;

( ) ( )

EC

d

EP

W

d

dU

Q

δ

δ

=

+

+

+

( 9 )

Integrando a Equação 9 e admitindo que g é constante, obtemos

(

)

₍

₎

2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2

m

g

Z

Z

W

V

V

m

U

U

Q

=

−

+

−

+

−

+

( 10 )

EXEMPLO 1. Um automóvel, com massa igual a 1100 kg, se desloca com uma

velocidade tal que sua energia cinética é 400 kJ (veja Figura). Nesta condição, determine a velocidade do automóvel. Admita que o mesmo automóvel é levantado por um guindaste. A que altura o automóvel deve ser içado para que sua energia potencial se torne igual a energia cinética especificada no problema.

Considere que o campo gravitacional é o padrão.

Solução: A energia cinética do automóvel é definida por

kJ

400

2

1

₂

₌

= mV

EC

A velocidade do automóvel pode ser calculada a partir da energia cinética, ou seja,

1 -2 1 3 2 1

s

m

0

,

27

1100

10

400

2

2

x x

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m

EC

V

A energia potencial é definida por

H

g

m

EP

=

Admitindo que o valor da energia potencial é igual aquele fornecido para a energia cinética no enunciado do problema,

m x x 1 , 37 81 , 9 1100 10 400 3 = = = g m EC H

EXEMPLO 2. Um sistema inicialmente em repouso sofre um processo no qual recebe

uma quantidade de trabalho igual a 200 kJ. Durante o processo o sistema transfere para o meio ambiente uma quantidade de calor igual a 30 kJ. Ao final do processo o sistema tem velocidade de 60 m s-1 _{e uma elevação de 50 m. A massa do sistema é de 25 kg, e a} aceleração gravitacional local é de 9,78 m s-2_{. Determine a variação de energia interna} do sistema durante o processo, em kJ.

Solução:

Conhecemos: Um sistema de massa conhecida sofre um processo recebendo uma quantidade de trabalho e transferindo uma quantidade de calor conhecidos. O sistema está inicialmente em repouso e no estado final tem velocidade de 60 m s-1 _{e elevação de 50 m.}

Obter: Determinar a variação de energia interna do sistema.

Hipótese: 1- O sistema sob análise é um sistema fechado, constituído da massa de 25 kg

2- No estado final o sistema está em equilíbrio (velocidade uniforme) análise: a primeira lei da termodinâmica (balanço de energia) para o sistema fechado é

2 1 2

1

Q

=

Δ

E

+

W

ou 1

Q

2

=

Δ

U

+

Δ

EC

+

Δ

EP

+

1

W

2

a variação de energia cinética e potencial é:

(

)

(

25

kg

)

(

60

0

)

m

s

45

000

J

2

1

2

1

2 2 2 -2 1 2 2

−

→

Δ

=

−

→

Δ

=

=

Δ

EC

m

V

V

EC

EC

(

₂

−

₁

)

→

Δ

=

(

25

kg

)

(

9

,

78

m

s

-2

)

(

50

−

0

)

m

→

Δ

EP

=

12

225

J

=

Δ

EP

m

g

Z

Z

EP

substituindo os valores numéricos na expressão da Primeira Lei obtemos o valor de ΔU,

(

) (

) (

) (

)

kJ U U W EP EC Q U 775 , 112 200 225 , 87 200 225 , 12 0 , 45 30 2 1 2 1 = + − = Δ ⇒ − − − − − = Δ → − Δ − Δ − = Δ kJ kJ kJ

EXEMPLO 3. O fluido contido num tanque é movimentado por um agitador. O trabalho

fornecido ao agitador é 5 090 kJ e o calor transferido do tanque é 1 500 kJ. Considerando o tanque e o fluido como sistema, determine a variação da energia do sistema neste processo.

A primeira lei da termodinâmica é (Eq. 10)

(

)

₍

₎

2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2

m

g

Z

Z

W

V

V

m

U

U

Q

=

−

+

−

+

−

+

Como não há variação de energia cinética ou de potencial, essa equação fica reduzido a

2 1 1 2 2 1

Q

=

U

−

U

+

W

(

5090

)

3590

kJ

1500

1 2

− U

=

−

−

−

=

U

Energia Interna – Uma Propriedade Termodinâmica

A energia interna é uma propriedade extensiva, vista que ela depende da massa do sistema. As energias cinética e potencial, pelo mesmo motivo, também são propriedades extensivas.

O símbolo U designa a energia interna de uma dada massa de uma substância. Segundo a convenção usada para as outras propriedades extensivas, o símbolo u designa a energia interna por unidade de massa. Pode-se dizer que u é a energia interna específica, conforme fizemos no caso do volume específico.

vap liq

U

U

U

=

+

ou

m

u

=

m

_liq

u

_l

+

m

_vap

u

_v

Dividindo por m e introduzindo o título x, temos

(

x

)

u

l

x

u

v

u

= 1

−

+

lv l

x

u

u

u

=

+

EXEMPLO 4. A energia interna específica do vapor d’água saturado a pressão de

0,6 MPa e com título de 95% é calculada do seguinte modo:

(

1897

5

)

2472

5

kJ/kg

95

0

9

669

,

,

,

,

u

x

u

u

=

_l

+

_lv

=

+

=

A Tab. A.1.3 apresenta os valores de u para a região onde o vapor está superaquecido, a A.1.4 os valores referentes a região do líquido comprimido e a A.1.5 os valores referentes aos estados onde o sólido e o vapor coexistem em equilíbrio.

EXEMPLO 5. Determine, para a água e nos estados indicados, as propriedades que

faltam (p, T, x e v):

a). T = 300ºC, u = 2780 kJ kg-1

Solução: As propriedades fornecidas nos dois estados são independentes e, assim,

determinam completamente o estado termodinâmico. Observe que nós precisamos identificar a fase da água nos estados fornecidos e isto pode ser utilizado comparando-se as informações fornecidas com os valores de fronteira.

a. A Tab. A.1.1 indica que uv = 2563,0 kJ kg-1 quando T = 300ºC. A água no estado indicado no Exemplo se encontra como vapor superaquecido porque o valor de u especificado é maior do que aquele referente ao vapor saturado a mesma temperatura. A pressão neste estado deve ser menor do que 8581 kPa que é a pressão de saturação a 300 ºC. A Tabela A.1.3 indica que a energia interna específica da água é igual a 2781 kJ quando T = 300ºC e p = 1600 kPa. A mesma tabela indica que u = 2776,8 kJ kg-1 quando T = 300ºC e p = 1800 kPa. Interpolando linearmente,

p = 1648 kPa

Observe que o título não é aplicável neste estado e que o volume específico, calculado com uma interpolação linear na mesma tabela, é igual a 0,1542 m3 _kg-1

b. A Tab. A.1.2 indica ul = 906,4 kJ kg-1 e uv = 2600,3 kJ kg-1 quando a pressão é 2000 kPa. O valor fornecido para a energia interna específica no item é maior do que o de ul e menor do que o de uv. Assim, a água encontra num estado saturado líquido – vapor onde a temperatura é igual a 212,4ºC. O título pode ser calculado por

8

1693

4

906

0

2000

,

,

x

,

u

=

=

+

ou x = 0,6457 e o volume especifico é -1 3

kg

m

06474

,

0

09845

,

0

6456

,

0

001177

,

0

+

x

=

=

v

EXEMPLO 6. Considere 5 kg de vapor de água contida no interior do conjunto cilindro

pistão. O vapor sofre uma expansão do estado 1 onde P = 5,0 bar e T = 240o_{C para o} estado 2 onde P = 1,5 bar e T = 200o_{C. Durante o processo 80 kJ de calor é transferida} para o vapor. Uma hélice é colocada no interior do conjunto através de um eixo para homogeneizar o vapor, a qual transfere 18,5 kJ para o sistema. O conjunto cilindro pistão está em repouso. Determinar a quantidade de trabalho transferido para o pistão durante o processo de expansão.

Solução: - Esquema do problema e o esquema gráfico da solução no plano P-V

hipótese:

1- o vapor é o sistema termodinâmico fechado. 2- não há variação de energia cinética e potencial.

Análise:

O balanço de energia para o sistema fechado resulta

2 1 2

1

Q

=

Δ

U

+

Δ

EC

+

Δ

EP

+

W

, como dos dados do problema,

Δ

EC

=

Δ

EP

=

0

, então:

∑

+

Δ

=

_{1 2} 2 1

Q

U

W

( 1 )

onde,

∑

₁

W

₂

=

W

_helice

+

W

_pistão, substituindo na expressão (1)

(

2 1

)

2

1

Q

W

m

u

u

W

_pistão

=

−

_helice

−

−

(2)

Da tabela de propriedades superaquecidas do vapor de água obtemos para o estado 1 e 2.

u1 = 2707,6 kJ e u2 = 2656,2 kJ

substituindo os valores numéricos na expressão (2) temos:

(

80

kJ

) (

18

,

5

kJ

)

5

,

0

kg

(

2656

,

2

2707

,

6

)

kJ

W

_pistão

=

+

−

−

−

−

kJ

5

355,

W

_pistão

=

+

EXEMPLO. Um recipiente, com volume de 5,0 m3_{, contém 0,05 m}3 _{de água líquida} saturada e 4,95 m3 _{de água no estado de vapor saturado a pressão de 0,1 MPa. Calor é} transferido à água até que o recipiente contenha apenas vapor saturado. Determinar o calor transferido nesse processo.

Sistema: A água contida no recipiente.

Estada inicial: Pressão, volume líquido, volume de vapor. Assim o estado 1 está

determinado.

Estado final: Algum ponto sobre a curva de vapor saturado. A água é aquecida,

portanto p2 > p1.

Processo: Volume e massa constante; portanto, o volume específico é constante. (ver diagrama).

Modelo para a substância: Tabela de vapor d’água.

Análise: Primeira Lei:

(

)

₍

₎

2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2

m

g

Z

Z

W

V

V

m

U

U

Q

=

−

+

−

+

−

+

,

Como não há movimento a energia cinética é zero, há uma pequena variação no centro de massa do sistema, porém admitiremos que não há variação de energia potencial, como não há variação de volume, não há trabalho. Porém, neste caso a equação da Primeira Lei se reduz a,

1 2 2

1

Q

=

U

−

U

Solução: O calor transferido no processo pode ser determinado com a expressão

anterior. O estado 1 é conhecido, de modo que U1 pode ser encontrado. O volume específico do estado 2 é conhecido (considerando o estado 1 e o processo) e sabemos que o vapor é saturado. Deste modo o estado 2 está determinado (observe a Fig.) e podemos obter o valor de U2.

kg

,

,

,

v

V

m

l liq liq

47

94

001043

0

05

0

1

=

=

=

kg

,

,

,

v

V

m

v vap vap

2

92

6940

1

95

4

1

=

=

=

Portanto vap vap liq liq

u

m

u

m

U

₁

=

_{1 1}

+

₁

kJ

)

,

(

,

)

,

(

,

U

₁

=

47

94

417

36

+

2

92

2506

1

=

27

326

Para determinar a energia interna no estado final, U2, precisamos conhecer duas propriedades termodinâmicas independentes. A propriedade termodinâmica que conhecemos diretamente é o título (x2 = 100%) e a que pode ser calculada é o volume específico final (v2). Assim,

kg

,

,

,

m

m

m

=

_1liq

+

_1vap

=

47

94

+

2

92

=

50

86

kg

,

,

m

v

₂

0

09831

86

50

=

=

=

Na Tab. A.1.2 determinamos por interpolação que, na pressão de 2,03 MPa, o volume específico do vapor saturado é 0,09831m3 _kg-1_{. A pressão final do vapor é, então,} 2,03 MPa. Assim,

u2 = 2600,5 kJ kg-1 e U2 = mu2 = 50,86 (2600,5) = 132 261 kJ

Já podemos calcular o calor transferido, pois conhecemos as energias internas. Assim

kJ

U

U

Q

_{2 2 1}

132

261

27

326

104

935

1

=

−

=

−

=

A Propriedade Termodinâmica Entalpia

Ao se analisar tipos específicos de processos, frequentemente encontramos certas combinações de propriedades termodinâmicas que são, portanto, também propriedades da substância que sofre a mudança de estado. Considere um sistema que passa por um processo quase-estático a pressão constante. Admitimos também que não haja variações de energia cinética ou potencial e que o único trabalho realizado durante o processo seja aquele associado ao movimento de fronteira.

2 1 1 2 2 1

Q

=

U

−

U

+

W

O trabalho pode ser calculado pela expressão

∫

=

2 1 2

1

W

pdV

Como a pressão é constante,

(

)

∫

=

−

=

2 1 2 1 2 1

W

p

dV

p

V

V

Portanto

(

_{2 2}

) (

_{1 1}

)

1 2 1 2 2 1

pV

U

pV

U

pV pV U U Q

+

−

+

=

− + − =

A transferência de calor durante o processo é igual a variação da quantidade

pV

U

+

entre os estados inicial e final. Temos uma nova propriedade extensiva chamada de entalpia,

pV

U

H

=

+

ou por unidade de massa

pv

u

h

=

+

Exemplo. Calculemos a energia interna específica do refrigerante R-134a superaquecido

a 0,4 MPa e 70°C.

pv

h

u

=

−

-1

kg

kJ

951

,

433

066484

,

0

400

545

,

460

−

x

=

=

u

Calcule a energia interna do mesmo refrigerante superaquecido a uma pressão de 0,6 MPa e 90°C, para uma massa de 0,85 kg.

A entalpia de uma substância, num estado de saturação e apresentando certo título, é determinado do mesmo modo que foi utilizado para o volume específico e para a energia interna. A entalpia do líquido saturado tem o símbolo hl, a do vapor saturado hv,

e o aumento de antalpia durante a vaporização hlv.

(

x

)

h

l

x

h

v

h

= 1

−

+

h

=

h

_l

+

x

h

_lv

Exemplo. Um cilindro provido de pistão contém 0,5 kg de vapor d’água a 0,4 MPa e

apresenta inicialmente um volume de 0,1 m3_{. Transfere-se calor ao vapor até que a} temperatura atinja 300°C, enquanto a pressão permanece constante. Determinar o calor transferido e o trabalho nesse processo.

Sistema: Água interna no cilindro.

Estado inicial: conhecidos: p1, V1 e m → v1 é determinado em tabela.

Estado final: T2 e p2 (região de vapor superaquecido)

Processo a pressão constante Análise:

Não há variação na energia cinética ou na energia potencial. O trabalho é feito pelo movimento de fronteira. (processo quase-estático). A pressão e constante, temos,

(

_{2 1}

)

(

_{2 2 1 1}

)

2 1 2 1 2 1

W

=

∫

PdV

=

P

∫

dV

=

P

V

−

V

=

m

P

v

−

P

v

Deste modo a 1ª lei da termodinâmica, em termo de Q, é

(

)

(

2₂ 1₁

)

1

(

₂2 _{2 1 1}

)

(

_{2 1}

)

2 1

h

h

m

v

P

v

P

m

u

u

m

W

u

u

m

Q

−

=

−

+

−

=

+

−

=

Solução: Existem vários procedimentos que podem ser seguidos. O estado 1 é

conhecido, assim v1 e h1 (ou u1) podem ser determinados. O estado 2 também é conhecido, assim, v2 e h2 (ou u2) podem ser obtidos. Calcular o calor e o trabalho.

Usando a entalpia, temos:

4614

0

001084

0

2

0

5

0

1

0

1 1

,

,

x

,

,

,

m

V

v

=

=

=

=

+

4311

0

4614

0

1989

0

,

,

,

x

=

=

7

1524

8

2133

4311

0

74

604

1

,

,

,

,

h

x

h

h

_{l lv}

=

+

=

+

=

x

8

3066

2

,

h

=

(

,

,

)

,

kJ

,

Q

₂

0

5

3066

8

1524

7

771

1

1

=

−

=

(

v

v

)

,

(

,

,

)

,

kJ

P

m

W

_{2 2 1}

0

5

400

0

06548

0

2

91

0

1

=

−

=

x

−

=

Portanto,

kJ

,

,

,

W

Q

U

U

₂

−

₁

=

_{1 2}

−

_{1 2}

=

771

1

−

91

0

=

680

1

O calor transferido poderia também se encontrado a partir de u1 e u2:

7

1444

3

1949

4311

0

31

604

1

,

,

,

,

u

u

u

_{l lv}

=

+

=

+

=

x

9

2804

2

,

u

=

e

(

,

,

)

,

,

kJ

,

W

U

U

Q

1

771

0

91

7

1444

8

2804

5

0

2 1 1 2 2 1

=

+

−

=

+

−

=