CONTROLE CHAVEADO ROBUSTO DE SISTEMAS LINEARES DO TIPO LPV COM APLICAÇÃO EM FALHAS
LUIZFRANCISCOS. BUZACHERO∗†EDVALDOASSUNÇÃO†MARCELOC. M. TEIXEIRA†
∗UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus de Apucarana
Rua Marcílio Dias, no635, 86812-460 - Apucarana, PR, Brasil
†UNESP - Universidade Estadual Paulista Campus de Ilha Solteira
Departamento de Engenharia Elétrica Laboratório de Pesquisa em Controle
Avenida José Carlos Rossi, no1370, 15385-000 - Ilha Solteira, SP, Brasil
Email: luiz.buzachero@yahoo.com.br,edvaldo@dee.feis.unesp.br,marcelo@dee.feis.unesp.br
Abstract— In this paper concepts and practical applications for the design of robust switched controlers with decay rate re-strinctions are discussed. A powerful feature of the technique is the possibility of the uncertainty being time-varying (LPV), without measuring the uncertain parameter at each instant of time, along with the advantages already known for the performance of switched systems. A practical application in STII+AMDI system, wich simulates the security control of a building during an earthquake subject to structural failure appears to consolidate the technique.
Keywords— Robust switched control, Linear parameter varying (LPV), Structural Failures.
Resumo— Neste trabalho são abordados conceitos e aplicações práticas para o projeto de controladores robustos chaveados com restrição de taxa de decaimento. Uma característica marcante da técnica é a possibilidade de controle de sistemas com as incertezas podendo ser variantes no tempo, conhecidas como LPV, sem a necessidade de medir o parâmetro incerto a cada instante de tempo, além das vantagens de desempenho já conhecidas de sistemas chaveados. Uma aplicação prática no sistema STII+AMDI, que simula o controle de segurança de uma edificação durante um terremoto sujeito a uma falha estrutural é apresentado para consolidar a técnica.
Keywords— Controle chaveado robusto, Incertezas variantes no tempo (LPV), Falhas estruturais. 1 Introdução
A teoria de controle robusto tem apresentado nos últimos anos soluções para problemas de estabili-dade e desempenho de sistemas sujeitos a incertezas paramétricas do tipo politópicas sem solução conhe-cida até então. Trabalhos consolidados verificaram que muitas técnicas flexibilizadas de estabilidade ro-busta apenas garantem a estabilidade para incertezas invariantes no tempo, ou com taxa de variação muito pequena (Dahleh and Dahleh, 1991; Solo, 1994), o que acaba por restringir a aplicação prática da téc-nica, quando supõe-se que a incerteza possa variar no tempo. Uma forma de contornar esta proble-mática é a abordagem da teoria de sistemas chavea-dos (também conhecichavea-dos como sistemas híbrichavea-dos), em função dos importantes resultados na literatura, que viabilizam o projeto de controladores robustos (Geromel and Deaecto, 2009; Deaecto et al., 2011; Souza et al., 2013; Souza et al., 2014), considerando incertezas do tipo LPV, sem que limitações nas in-certezas e/ou na taxa de variação das mesmas se-jam impostas, quando os sistemas em questão são li-neares (Deaecto and Geromel, 2008), levando-se em conta a possibilidade de chaveamento entre subsis-temas (Branicky, 1998; Hespanha, 2004).
Em Geromel and Colaneri (2006) foram pro-postas técnicas eficazes para a estabilidade de sistemas lineares chaveados, entre as quais se apresentou uma
função Lyapunov-Metzler quadrática por partes, com uma função de chaveamento σ baseada na escolha do mínimo da função, viabilizando, em seguida, o projeto de controladores robustos para sistemas incer-tos e limitados por norma em Geromel and Deaecto (2009). Estas pesquisas culminaram em condições de estabilidade de sistemas sujeitos a incertezas politópi-cas do tipo LPV, garantindo que o sistema fosse glo-balmente assintoticamente estável como pode ser visto em Deaecto et al. (2011). Esta técnica inovadora possibilitou encontrar resultados menos conservadores e com um melhor desempenho global quando com-parada com as técnicas tradicionais. Em contrapartida, uma busca unidimensional deve ser realizada para que o problema possa ser trabalhado com condições LMIs, o que acaba por restringir um pouco a técnica.
Com base nessa teoria, aborda-se neste artigo um ponto crítico no projeto de controladores chaveados para sistemas robustos. O ponto abordado neste tra-balho é o fato de que o tempo de duração do transitório pode ser maior do que as especificações de projeto. Para resolver este problema, propõem-se LMIs para limitar a taxa de decaimento, garantindo que os au-tovalores do sistema realimentado estejam a esquerda de um escalarα, mesmo estando o sistema sujeito a incertezas.
Fazem-se implementações no sistema STII+AMDI da Quanser (Quanser, 2012a), que tem a função de simular uma edificação durante
um terremoto, com uma massa de compensação controlada por um motor no piso superior para aliviar a deflexão das paredes da edificação durante a ocorrência do mesmo. O sistema foi implementado considerando uma falha no motor modelada como incerteza politópica.
Utilizam-se os seguintes símbolos e notações no texto: M > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0) indica que M é
simétrica positiva (negativa, positiva-semi, negativa-semi) definida;(′) indica transposição de um vetor ou
matriz;(−1) indica a inversa de uma matriz; Sym{M}
indica M+ M′; diag(·, ·, . . ., ·) indica uma matriz
dia-gonal de dimensões adequadas e indica o final de demonstração.
2 Chaveamento entre subsistemas Suponha um sistema composto por uma planta com incertezas politópica, onde a estabilidade deste sis-tema será verificada através do chaveamento conve-niente entre funções de Lyapunov quadráticas por partes. Esse sistema pode então ser denominado como sistema politópico chaveado, tendo como van-tagem a possibilidade do sistema ser variante no tempo (Deaecto et al., 2011). A abordagem apre-sentada a seguir é apenas introdutória. Concebem-se aqui, condições de estabilidade para o sistema in-certo através de funções de Lyapunov quadráticas por partes, para que se formule, nas próximas seções, o chaveamento entre sistemas realimentados com res-trição de taxa de decaimento
Desta forma, considere o sistema híbrido ˙
x(t) = Aλσx(t), x(0) = x0, (1)
sendo definido para todo t ≥ 0 para algumσ(x(t)) ∈ K, com K= {1, 2, ..., N}, onde N é o número de
vér-tices do politopo de incertezas, eλ pertence ao sim-plex unitárioΛconforme definido em (2):
Λ= {λ∈ RN:λj≥ 0,
N
∑
j=1λj= 1}. (2)
O vetor dos estados é x(t) ∈ Rn e a matriz A
λσ dada por Aλσ= N
∑
j=1 λjAjσ, (3)sendo que o primeiro índice de Ajσ refere-se ao
vér-tice do politopo e o segundo à regra de chavea-mento, que será responsável pela escolha que verifi-cará a estabilidade do sistema incerto. Definindo a função de Lyapunov quadrática por partes (Geromel and Colaneri, 2006): v(x) := min i∈Kx ′(t)P ix(t) = min λ∈Λ ( N
∑
i=1 λix′(t)Pix(t)), (4)sendo {P1,P2, ...,PN} ∈ Rn×n. Verifica-se que (4) não
é diferenciável para todo x(t) ∈ Rn. Para este aspecto,
definiu-se o conjunto I(x(t)) : Rn
→ N, tal que: I(x(t)) = {i : v(x) = x′(t)P
ix(t)}, (5)
sendo v(x) solução de (4) e desta forma I(x) pode
possuir mais de um elemento cuja função (4) não é diferenciável, ou seja, a solução do mínimo não é única.
Desta forma, conceberam-se condições para que a regra de chaveamento dada por
σ(t) = min I(x(t)), (6)
faça com que a origem do sistema (1) seja globalmente assintoticamente estável.
2.1 Matrizes Metzler
Para a compreensão do teorema a seguir, considere a matriz de Metzler denotada por M (Luenberger, 1979; Geromel and Colaneri, 2006), consistindo de todas as matrizesΠ∈ RN×N, tais que
πji≥ 0, ∀ j 6= i, N
∑
j=1πji= 0, ∀i. (7)
O ponto chave para a obtenção das condições de estabilidade é utilizar uma matriz Metzler dependente do parâmetro desconhecido, isto é,Π(λ) :Λ→ KN×N
(Geromel and Deaecto, 2009) cujos elementos são definidos por πji:= γλ j , j 6= i γ(λi− 1) , j= i , (8) comγ≥ 0.
Pode-se verificar que eles constituem uma matriz de MetzlerΠ(λ) ∈ M para todoλ∈Λ. De fato, pela
definição (8) todos os elementos fora da diagonal prin-cipal são não negativos e as identidades
N ∑ j=1πji (λ) = ∑N j=1 j6=i γλj+γ(λi− 1) = γ(∑N j=1λj− 1) = 0, (9)
são verificadas para cada i ∈ K e todoλ∈Λ.
Além disso, utilizandoΠ(λ) ∈ M , temos que as
igualdades N ∑ j=1πji (λ)Pj = N ∑ j=1 j6=i γλjPj+γ(λi− 1)Pi = γ ∑N j=1λj Pj−γPi = γ ∑N j=1λj (Pj− Pi), (10)
são verdadeiras para cada i ∈ K e todoλ∈Λ. Este é
um resultado fundamental para o projeto de controle robusto em questão e que tornou possível a obtenção das condições de estabilidade robusta que serão vistas na sequência.
2.2 Condições para estabilidade robusta
De posse dos conceitos introduzidos, o Teorema 1 a seguir foi adequado a partir do apresentado em (Deaecto, 2010) e será estendido para inclusão da taxa de decaimento.
Teorema 1. (Deaecto, 2010) Sendo {Q1,Q2, ...,Qn} um conjunto de matrizes simétricas semidefinidas positivas, se existir um conjunto de matrizes simé-tricas definidas positivas {P1,P2, ...,Pn} e Π ∈ M satisfazendo as seguintes desigualdades de Lyapunov-Metzler
A′
jiPi+ PiAji+γ(Pj− Pi) + Qi<0, (11) então a lei de controle
σ(t) = min I(x(t)), (12)
faz com que o sistema (1) seja globalmente assintoti-camente estável.
Reproduziu-se a prova do Teorema 1 aqui para ser útil nas demostrações dos próximos teoremas.
Prova: (Deaecto, 2010) Assuma que as matrizes simétricas Pi para todo i ∈ K são soluções das
de-sigualdades (11) para algum γ≥ 0. Logo, multipli-cando o resultado por λj ≥ 0 e somando para todo
j= 1, 2, ..., N, obtém-se A′ λiPi+ PiAλi+γ N
∑
j=1 λj(Pj− Pi) + Qi<0. (13)Uma vez que (13) vale para todoλ ∈Λ, utilizando o resultado apresentado em (10), verifica-se que o mesmo ocorre para
A′ λiPi+ PiAλi+ N
∑
j=1 πji(λ)Pj+ Qi<0, (14) com i ∈ K,Π(λ) ∈ M eλ∈Λ.Como (4) não é diferenciável para todo x(t) ∈ Rn,
utiliza-se a derivada de Dini (Garg, 1998) à direita de (4) que, por definição, é dada por
D+v(x(t)) = lim h→0+
supv(x(t + h)) − v(x(t))
h . (15)
Supondo a regra de chaveamento dada por σ(t) = I(x(t)) = i, utilizando o Teorema de Danskin (Lasdon,
1970) tem-se que D+v(x(t)) = lim h→0+ supv(x(t)+hAλix(t))−v(x(t)) h = min l∈I(x(t)) x′(t) (Aλ i′Pl+ PlAλi) x(t) ≤ x′(t) (Aλi′Pi+ PiAλi) x(t), (16)
em que a desigualdade assegura o fato de que i ∈ I(x(t)).
Por outo lado lembrando que x′(t)P
jx(t) ≥ x′(t)P ix(t) = v(x) obtém-se de (14) que D+v(x(t)) < x′(t)(− N ∑ j=1πji Pj− Qi)x(t) = x′(t)(− ∑N j=1 j6=i πjiPj−πiiPi− Qi)x(t) ≤ x′(t)(− N ∑ j=1 j6=i πjiPi−πiiPi− Qi)x(t) = −( N ∑ j=1πji )x′(t)Pix(t) − x′(t)Qix(t) = −x′(t)Qix(t) ≤ 0. (17)
Logo (17) prova que a origem do sistema (1) é globalmente assintoticamente estável.
Para fins de implementação prática é possível re-alizara a escolha da regra de chaveamento através da escolha conveniente deσ(t) = min I(x(t)), dado que
no instante seguinte a escolha desta função, será sem-pre escolhida a função mínima.
Adicionalmente, abordar-se-á a inserção do índice de desempenho da taxa de decaimento, de acordo com Boyd et al. (1994) e utilizando-se a derivada de Dini (Garg, 1998): D+v(x(t)) ≤ −2αv(x(t)).
3 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento
O objetivo nesta seção é determinar uma regra de chaveamento estabilizante para sistemas politópicos realimentados conforme se apresentou na Figura 1, su-jeitos a taxa de decaimento maior ou igual a um es-calarα, descritos pela seguinte equação em espaço de estado
Figura 1: Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta. x(t) u(t) Sistema Incerto K1 K2 KN σ(t)
Fonte: Adaptado de Geromel and Deaecto (2009)
˙
x(t) = (Aλ+ BλKσ)x(t), x(0) = x0. (18)
Para isso, propõe-se o seguinte teorema.
Teorema 2. Se existirem matrizes simétricas Si,
ma-trizes Yipara todo i ∈ K um escalarγ≥ 0 e um escalar α ≥ 0 satisfazendo as desigualdades de
Lyapunov-Metzler Sym{AjSi+ BjYi} −γSi+ 2αSi γSi γSi −γSj <0, (19) i, j ∈ K então a regra de chaveamentoσ(x(t)) = min I(x(t)) =
min arg mini∈Kx(t)′S
i−1x(t) e os ganhos de
realimen-tação Ki= YiSi−1 para todo i ∈ K fazem com que a
origem x= 0 do sistema em malha fechada seja um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente es-tável e o sistema estará sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα.
Prova: Assuma que as matrizes simétricas Sipara
todo i ∈ K são soluções das desigualdades (19) para algumγ≥ 0 eα≥ 0. Multiplicando ambos os lados da desigualdade por diag{Si−1,I} e, então, aplicando
o complemento de Schur à segunda linha e à segunda coluna de (19), obtém-se:
Sym{Pi(Aj+ BjKi)} +γ(Pj− Pi) + 2αPi<0. (20)
Multiplicando o resultado porλj≥ 0 e somando
para todo j= 1, 2, ..., N obtém-se
Sym{Pi(Aλ+ BλKi)} +γ N
∑
j=1 λj(Pj− Pi) + 2αPi<0. (21) Uma vez que (21) vale para todoλ ∈Λ, utilizando o resultado apresentado em (10), verifica-se que o mesmo ocorre paraSym{Pi(Aλ+ BλKi)} + N
∑
j=1 πji(λ)Pj<−2αPi, (22) com i ∈ K,Π(λ) ∈ M eλ∈Λ.Assim sendo, a prova decorre do Teorema 1. Lembrando que x′(t)P jx(t) ≥ x′(t)Pix(t) = v(x) obtém-se de (11) que D+v(x(t)) < x′(t)(− N ∑ j=1πji Pj− 2αPλ)x(t) ≤ −( N ∑ j=1πji)x ′(t)P ix(t) − 2αx′(t)Pix(t) = −2αx′(t)P ix(t) < 0.
Logo prova-se que a origem do sistema (18) é glo-balmente assintoticamente estável e o sistema estará sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α, garantindo que a mínima função energia estará sempre ativa, lembrando que ˙v(t) ≤ −2αv(x), sendo v(x) =
min
i∈K(x
′(t)P
ix(t)).
Note que, se a restrição de taxa de decaimento for satisfeita, a estabilidade robusta também o será.
A implementação prática a seguir foi utilizada para verificar a eficiência do método com a inserção da taxa de decaimento.
4 Implementação no sistema STII + AMDI
O protótipo AMDI, apresentado na Figura 2, é com-posto por uma estrutura simulando uma edificação, tendo no piso superior um sistema de amortecimento ativo com uma massa móvel. Este experimento tem como foco o desenvolvimento de estudos para o pro-jeto de sistemas de controle que amorteçam vibrações causadas por terremotos ou por fortes ventos. O equipamento também possibilita investigar ações de controle em estruturas (Quanser, 2012a).
Figura 2: Protótipo STII + AMD-1 da Quanser perten-cente ao LPC da FEIS - UNESP.
Fonte: Elaborado pelo autor
O objetivo do experimento é atuar na massa móvel através de um motor, reduzindo assim os-cilações e vibrações indesejadas na estrutura. O sis-tema utilizado no deslocamento da base é chamado de STII e foi originalmente desenvolvido com o intuito de pesquisa ou ensino, envolvendo sistemas de vibração (Quanser, 2012b). Neste trabalho, utilizaremos este equipamento apenas para gerar registros de terremotos com os quais serão testadas as estratégias de controle. Considere o esquemático apresentado na Figura 3. O deslocamento do carro (xc) que simboliza a
massa móvel (Mc) é considerado positivo para a direita
quando vista pelo leitor, assim como o deslocamento do patamar superior (xf, que tem como massa Mf).
Para pequenas variações angulares do piso su-perior, o sistema pode ser tratado como um sistema massa-mola padrão de constante Kf a uma altura Hf
do chão, viabilizando assim uma aproximação coer-ente na modelagem do sistema.
Figura 3: Modelo esquemático do AMD-I. ˙ xc>0 xc Mc ˙ xf >0 xf Fc Kf Mf Hf
Fonte: (Quanser, 2012a)
Os parâmetros utilizados neste exemplo para o sistema AMDI são dados na Tabela 1.
Tabela 1: Parâmetros do sistema AMD-1
Resistência de armadura do motor (ω) Rm 2, 6 Constante de torque do motor (N.m/A) Kt 0, 00767
Eficiência eletromecânica do motor ηm 1 Constante de eficiência do motor (V.s/rad) Km 0, 00767
Eficiência do redutor planetário ηg 1 Altura do patamar superior (m) Hf 0, 5334 Massa do patamar superior (Kg) Mf 1, 38 Constante da mola para a modelagem (N/m) Kf 500, 9
Inércia do rotor (Kg.m2) J
m 3, 9 × 10−7 Massa total do carro (Kg) Mc 0, 65
Relação da engrenagem Kg 3, 71 Raio do pinhão (engrenagem) (m) rmp 6, 35 × 10−3 Coeficiente de amortecimento viscoso eq. (N.s/m) Beq 3
O modelo em espaço de estados que descreve o sistema AMDI é: . xc . xf .. xc .. xf = A xc x.f xc . xf + BFc, (23)
sendo que A e B são dadas por:
A= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Mcr2mpK f Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f2 − r2mpBeq(Mc+M f ) Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f2 0 0 − K f (Mcr 2 mp+JmKg )2 Mcr2mpM f +JmK2g Mc+JmKg M f2 McBeqr2mp Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 2g M f 0 e B= 0 0 r2mpBeq(Mc+M f ) Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 2g M f − Mcr2mp Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f2 . (24)
Nota-se, neste caso, que a entrada de controle é igual a força impressa pelo carro na aproximação massa-mola (u= Fc). Desta forma, com o intuito de
inserir uma incerteza na entrada do sinal de controle, optou-se por transformar a mesma na tensão do motor
que move o carro, ou seja, (u= Vm), dada a relação
existente entre Fce Vmapresentada abaixo:
Fc= − ηgKg2ηmKtKmx˙c(t) Rmrmp2 +ηgKgηmKtVm Rmrmp .
Assim, modificando as matrizes A e B, con-siderando agora a entrada de controle do sistema como u= Vm, as mesmas são dadas por:
A= 0 0 0 0 0 Mcr2mpK f Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 2g M f 0 − K f (Mcr 2 mp+JmKg )2 Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f2 1 0 0 1 −−McηgK 2 gηmKt Km+McBeqRmr2mp+M fηgKg2ηmKt Km+M f BeqRmrmp2 Rm(Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f )2 0 Mc(ηgKg2ηmKt Km+BeqRmr2mp) Rm(Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 2g M f ) 0 , B= 0 0 ηgKgηmKt rmp(Mc+M f ) Rm(Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 2g M f ) − McηgKgηmKt rmp Rm(Mcr2mpM f +JmKg Mc+JmK2 g M f )2 . (25)
Inserindo então uma incerteza na nova entrada de controle do sistema, simbolizando uma falha por desgaste ou queima de componentes no módulo am-plificador que alimenta o sistema. Desta forma a potência do sistema será reduzida em 50%, e o sis-tema poderá ser representado como um politopo de in-certezas. Apresenta-se abaixo, os vértices, que através de uma combinação convexa geram o politopo:
Vértice 1 (100% do ganho de amplificação):
A1= "0 0 1 0 0 0 0 1 0 278,9341 −18,6497 0 0 −336,0626 5,9716 0 # e B1= " 0 0 2,9975 −0,9598 # . (26) Vértice 2 (50% do ganho de amplificação):
A2= "0 0 1 0 0 0 0 1 0 278,9341 −18,6497 0 0 −336,0626 5,9716 0 # e B2= " 0 0 1,4987 −0,4799 # . (27) Para o projeto dos controladores, obteve-se factibilidade comγ= 7, eα= 4 responsável pela taxa
de decaimento do sistema, obtendo, desta forma, os seguintes ganhos:
K1= [138,5469 −700,0255 21,3987 11,6276] , (28) K2= [125,2463 −623,7249 19,1661 10,9001] . (29) O parâmeroα = 4 responsável pela taxa de
de-caimento do sistema foi definido através de uma varredura para tentar definir os autovalores do sistema incerto realimentado próximos dos sugeridos pelo fa-bricante de modo a preservar o equipamento, dado que
um valor baixo deα não proporcionaria um desem-penho satisfatório e um valor alto poderia danificar o equipamento.
O sistema AMDI possibilita a implementação de dados gravados de terremotos reais, em escala labo-ratorial, aumentando assim a realidade do experi-mento. Para este trabalho, foram escolhidos os da-dos do terremoto ocorrido em 1994, tendo como epi-centro o distrito Northridge, em San Fernando Valley, região de Los Angeles (Quanser, 2012a). Na Figura 4, apresentam-se os dados deste terremoto, assim como sua reprodução utilizando o STII e na sequência do trabalho o deslocamento do piso inferior será chamado de xs(t) [m].
Figura 4: Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em 1994 e reproduzidos com o STII.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 −0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 A celer ação do pis o [m / s2 ] Pos ição do pis o [m ] dado real reproduzido t[s] t[s] Fonte: (Quanser, 2012b)
A implementação no AMDI foi separada em três etapas. Primeiramente, realizou-se o experimento por completo no modo passivo, onde não existe ação de controle e o motor que atua na massa móvel será res-ponsável apenas por não permitir que o carro deslize sobre o trilho simulando assim como se o sistema es-tivesse travado. Do contrário, estando solto, o carro poderia colidir com as extremidades causando danos ao sistema de controle. Em seguida, no instante 18s realizou-se o experimento novamente com a ação dos controladores chaveados sem falhas. No instante 36s inseriu-se uma falha de 50% no ganho de amplifi-cação, repetindo-se novamente o experimento com a ação dos controladores chaveado e possibilitando a vi-sualização do desempenho do sistema com e sem fa-lhas.
Sendo assim, implementaram-se os controladores chaveados (28) e (29) para os dados do terremoto de Northridge, cujos resultados são apresentados nas Fi-guras 5 à 7.
Nas Figuras 5 e 6, apresentam-se, respectiva-mente, a posição do piso superior (xf(t)) e a diferença
entre a posição do piso superior e a posição do piso inferior (xf(t) − xs(t)) em cada instante de tempo para
a implementação com e sem controle e antes e depois da falha.
Figura 5: Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 D es locam ento do pis o super ior [m ] x f (t) Instante da falha
Início da ação de controle Sem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 6: Diferença entre as oscilações no piso supe-rior (xf(t) [m]) e o deslocamento do piso (xs(t) [m])
do AMD-1 para os controladores chaveados.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Pos ição relati v a entr e xf (t )[ m ] e x s (t )[ m ] x f (t) − xs(t) Instante da falha
Início da ação de controle Sem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Na Figura 7, verifica-se a tensão de controle do motor (Vm(t)) e o controlador escolhidos a cada
ins-tante de tempo (K1e K2) conforme regraσ(t).
Figura 7: Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 50%. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 Instante da falha
Início da ação de controle Sem ação de controle
Vm(t) K1 ativo K2 ativo Sinais de contr ole [V ] e contr olador ati v o t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Pode-se verificar nas Figuras 5 e 6, que a ação dos controladores chaveados robustos resultaram em menores oscilações no piso superior do sistema AMD-I, sendo as diferenças de oscilações entre o piso su-perior e o piso inferior reduzidas consideravelmente, porém ainda existentes em função do atraso do sen-sor no piso superior em relação às oscilações do piso inferior.
Verifica-se também, conforme Figura 7, que houve um esforço de compensação no sistema para
suprir a queda de 50% de potência na entrada de con-trole do sistema, devido aos picos de tensão, que foram maiores após a falha, garantindo assim a estabilidade robusta e o desempenho adequado devido a taxa de decaimento (α= 4) do sistema.
Embora a técnica de controle tenha apresentado um chaveamento intenso entre os controladores, para este tipo de implementação não foram necessárias condições para a garantia de chaveamento suave, pois a própria inércia mecânica do sistema garantiu uma implementação satisfatória sem a ocorrência de os-cilações na saída do sistema.
5 Conclusões
Neste trabalho, apresentou-se uma técnica para o pro-jeto de controladores chaveados robustos para a garan-tia de estabilidade de sistemas lineares incertos, com restrição de taxa de decaimento, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes do tipo mínimo. A técnica foi formulada por meio de LMIs, e quando necessário realiza-se de uma busca unidimensional.
A técnica foi implementada em um protótipo laboratorial conhecido como STII+AMDI sujeito a uma falha estrutural de 50%, mostrando a aplica-bilidade da técnica de controle chaveado robusto, apresentada no Teorema 2, em cuja implementação houve um chaveamento intenso entre os controladores, levando a concluir que a nova técnica não apenas au-menta a factibilidade mas também melhora o desem-penho global do sistema, quando comparada com ou-tras técnicas de establilidade robusta que sintetizem um controlador único.
A técnica foi considerada satisfatória, porém em trabalhos futuros será abordada a técnica de controle
H∞adequada para amortecer as oscilações do sistema.
Agradecimentos
Os autores agradecem as agências de fomento FAPESP (Processo no. 2011/17610-0), CAPES e CNPq por darem suporte financeiro a esta pesquisa.
Referências
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