Controle robusto chaveado de sistemas lineares variantes no tempo com aplicação em falhas estruturais

Ilha Solteira

Ilha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

Campus de Ilha Solteira - SP

LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO

CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS

LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO

EM FALHAS ESTRUTURAIS

LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO

CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS

LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO

EM FALHAS ESTRUTURAIS

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Ilha Solteira - UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica.

Especialidade: Automação.

Prof. Dr. Edvaldo Assunção Orientador

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação.

Buzachero, Luiz Francisco Sanches.

B991c Controle robusto chaveado de sistemas lineares variantes no tempo com aplicação em falhas estruturais / Luiz Francisco Sanches Buzachero. - Ilha Solteira : [s.n.], 2014

120 f.:il.

Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014

Orientador: Edvaldo Assunção Inclui bibliografia

AGRADECIMENTOS

Dedico meus sinceros agradecimentos:

– A Deus, pela misericórdia e amor incondicional;

– Ao meu orientador, professor Dr. Edvaldo Assunção, pelos ensinamentos, pelo incentivo, pela confiança, paciência e amizade, pelos agradáveis momentos de convivência, exemplo de homem de bem, em cuja atuação pretendo me espelhar na vida pessoal e profissional;

– Aos professores Doutores Marcelo C. M. Teixeira e Rodrigo Cardim, pelos diálogos cons-trutivos e descontraídos durante estes anos, pelo acompanhamento e pelas sugestões, extrema-mente valiosas para este trabalho;

– À minha esposa Elisabete, à minha mãe Rosa Maria e à minha avó Remedios, por terem me ensinado o verdadeiro significado da palavra "amor" e pelo apoio moral, imprescindível para o desenvolvimento deste trabalho;

– Aos meus amigos e companheiros dos laboratórios LPC e LCPC: Emerson, Wallysonn, Manoel, Victor, Herbert, Luiz Antônio, Edson, Gisele, Fernando, André e Jefferson pelos mo-mentos felizes de convivência que lembrarei para sempre e aos demais amigos e colegas que de forma direta ou indireta me ajudaram;

– À UNESP, que me possibilitou realizar o sonho de cursar a graduação, o mestrado e o doutorado em engenharia elétrica;

– Ao IFSP, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus de Birigui, por ter-me concedido o afastamento integral para finalizar este doutorado;

– À FAPESP (Processo no_{. 2011/17610-0), CAPES e CNPq por darem suporte financeiro}

para o desenvolvimento deste trabalho;

– Aos desenvolvedores doABNTEX, um pacote de classes LA_{TEX para a criação e formatação}

“Bem-aventurados os humildes de espírito, porque deles é o Reino dos Céus! Bem-aventurados os que choram, porque serão consolados! Bem-aventurados os mansos,

porque possuirão a terra! Bem-aventurados os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados!

Bem-aventurados os misericordiosos, porque alcançarão misericórdia! Bem-aventurados os puros de

coração, porque verão Deus! Bem-aventurados os Defensores da Paz, porque serão chamados filhos de

Deus!” (Mateus, 5:3-9)

“Se toda a literatura espiritual da Humanidade perecesse, e só se salvasse o Sermão da Montanha, nada

estaria perdido.”

RESUMO

Nesta tese apresentam-se resultados para a estabilidade robusta de sistemas lineares sujeitos a incertezas paramétricas do tipo politópicas, variantes no tempo (do inglês Linear Parameter Varying- LPV). De início, expõe-se um método aprimorado para o projeto com otimização da norma de controladores robustos via desigualdades matriciais lineares (do inglêsLinear Matrix Inequalitites- LMIs), com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Esta nova formu-lação foi manipulada utilizando o lema de Finsler, e permitiu encontrar melhores resultados de factibilidade com o acréscimo de matrizes extras e redução do número de LMIs. Neste novo equacionamento houve a inclusão do índice de desempenho da taxa de decaimento, responsável por diminuir o tempo de duração do período transitório, e também da otimização da norma dos controladores, responsável por menores ganhos mantendo a mesma eficiência dos requisi-tos de projeto. Devido a importantes resultados da literatura para o projeto de controladores robustos com incertezas variantes no tempo, optou-se por explorar o projeto de controladores dinâmicos chaveados, inovando-se no tocante ao acréscimo da taxa de decaimento e à otimiza-ção da norma dos controladores chaveados, o que possibilitou encontrar melhores resultados de implementação. Por fim, foram propostos critérios menos conservadores para a análise de estabilidade e projeto de controladores chaveados, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes do tipo mínimo. A vantagem desse procedimento está no aumento dos parâmetros de relaxação porém, concebido através de formulações baseadas em desigualdades matriciais bilineares (do inglêsBilinear Matrix Inequalitites- BMIs), nos quais os termos e se encontram no produto entre variáveis escalares de otimização e matrizes, que também são variáveis do procedimento de otimização. Apresentam-se, no corpo do texto, exemplos numéricos e simu-lados a fim de ilustrar a eficiência das metodologias propostas em relação às demais existentes. Ainda, implementaram-se os controladores projetados usando-se essas novas propostas em um helicóptero de bancadaThree Degrees Of Freedom(3-DOF) ou no sistemaShake Table II(STII) +Active Mass Dumper - One Floor (AMD-1), com o objetivo de validar na prática as teorias propostas.

ABSTRACT

This thesis presents results for robust stability of linear systems subject to polytopic time-varying parametric uncertainties (LPV). To start with, an improved method for the optimal gain design of robust controllers via Linear Matrix Inequalities (LMI), based on Lyapunov stability theory is presented. This new formulation was manipulated using the Finsler lemma, which en-abled finding better feasibility results with the addition of extra matrices and reducing the num-ber of LMIs. In this new equation it was included the decay rate performance index, responsible for reducing the transitional period time, as well as the controllers norm optimization, respon-sible for lower gains while maintaining the same project requirements efficiency. Then, due to important results in literature regarding the design of robust controllers with time-varying un-certainties, the design of switched dynamic controllers was explored by including the decay rate index and the optimization of the switched controllers norm in the equation, which allowed find-ing better implementation results. Finally, less conservative criteria were proposed for stability analysis and design of switched controllers using minimum-type piecewise quadratic Lyapunov functions. The advantage of this procedure lies in the increase of relaxation parameters, how-ever, designed through formulations based on Bilinear Matrix Inequalities (BMIs), where the bilinear terms are in the product between optimization scalar variables and matrices, which are also variables on the optimization procedure. Numerical examples are presented and simulated to illustrate the efficiency of the proposed methodologies in relation to other existing through-out the text. The designed controllers were implemented using these new proposals in a Three Degrees Of Freedom (3-DOF) helicopter or in the Shake Table II (STII) + Active Mass Dumper - One Floor (AMD-1) system, in order to validate in practice the proposed theories.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta. . . 29

Figura 2 Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. 47 Figura 3 Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF. . . 48 Figura 4 Implementação prática do controlador projetado por estabilidade

pro-jetiva com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012). . . 52 Figura 5 Implementação prática do controlador projetado por estabilidade

es-tendida com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012). . . 52 Figura 6 Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação

de estabilidade estendida com o método de otimização. . . 53 Figura 7 Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos

gerados aleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Quadrática e Proposta. . . 53 Figura 8 Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos

gerados aleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Estendida, Projetiva e Proposta. . . 54 Figura 9 Sistema massa-mola-massa. . . 64 Figura 10 Nuvem de autovalores paraα=0,4 do sistema massa-mola-massa

var-rendoλ(t)para 63 partições det entre(0,2₁₀π)realimentado tanto com K1como comK2. . . 65

Figura 11 Simulação do sistema realimentado projetado comα =0,4. . . 66

Figura 12 Sinal de controle e controlador ativo paraα =0,4. . . 66 Figura 13 Nuvem de autovalores paraα =1 do sistema massa-mola-massa

var-rendoλ(t)para 63 partições det entre(0,2₁₀π)realimentado tanto com

K1como comK2. . . 67

Figura 14 Simulação do sistema realimentado projetado comα =1. . . 67 Figura 15 Sinal de controle e controlador ativo paraα =1. . . 68

Figura 16 Esquemático do controle chaveado para a planta do helicóptero 3-DOF. 69

Figura 19 Zoom no chattering para o controlador ativo (0<t <9s) - falha de

30% eα =0,5. . . 71 Figura 20 Implementação prática dos controladores projetados para falha de 90%

eα=0,4. . . 72

Figura 21 Sinais de controle e controlador ativo projetado para falha de 90% e

α =0,4. . . 72 Figura 22 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 30% e

α =0,5. . . 74

Figura 23 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 30% e α =

0,5. . . 74

Figura 24 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 90% e

α =1. . . 75 Figura 25 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 90% eα =1. 76 Figura 26 Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 1 para LMIs do

Teo-rema 12. . . 85

Figura 27 Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦) e critério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o). . . 86

Figura 28 Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e

critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lya-punov quadrática por partes - Teorema 13 (x). . . 86

Figura 29 Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e

critério de estabilidade generalizado com M =4 conforme Teorema 14 (x). . . 87

Figura 30 Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e

for-mulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x). . . 87

Figura 31 Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 2 para LMIs do Teo-rema 12. . . 89

Figura 32 Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática (♦) e Estabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12

Figura 33 Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e

critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lya-punov quadrática por partes - Teorema 13 (x). . . 90

Figura 34 Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critério

menos conservador generalizado comM=4 conforme Teorema 14 (x). 90

Figura 35 Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)

for-mulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x). . . 91

Figura 36 Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. . 99

Figura 37 Modelo esquemático do AMD-1. . . 100

Figura 38 Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em 1994 e reproduzi-dos com o STII. . . 104

Figura 39 Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chavea-dos com formulação via BMIs. . . 105

Figura 40 Diferença entre as oscilações no piso superior (xf(t) [m]) e o

deslo-camento do piso inferior (xs(t)[m]) do AMD-1 para os controladores

chaveados - formulação via BMIs. . . 105

Figura 41 Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formu-lação via BMIs. . . 106

Figura 42 Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chavea-dos com formulação via BMIs com generalização das funções. . . 107

Figura 43 Diferença entre as oscilações no piso superior (xf(t) [m]) e o

deslo-camento do piso inferior (xs(t)[m]) do AMD-1 para os controladores

chaveados - formulação via BMIs com generalização das funções. . . 107

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Parâmetros do helicóptero 3-DOF . . . 49

ABREVIATURAS E ACRÔNIMOS

LMI Linear Matrix Inequalities

BMI Bilinear Matrix Inequalities

LPV Linear Parameter Varying

MatLabr _{MATrix LABoratory}

T-S Takagi-Sugeno

gevp generalized eigenvalue minimization

3-DOF Three Degrees Of Freedom

AMD-1 Active Mass Dumper - One Floor

STII Shake Table II

CQLF Common Quadratic Lyapunov Function

PDLF Parameter-Dependent Lyapunov Functions

FLF Funções de Lyapunov Fuzzy

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 27

2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS 33

2.1 Estabilidade quadrática 34

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento 35

2.2.1 Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF 37

2.3 Lema de Finsler 37

2.3.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 38

2.3.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema de Finsler 40

2.4 Lema da projeção 40

2.4.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de decaimento 41

2.4.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema da projeção 42

3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA

DE FINSLER 43

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 43

3.2 Helicóptero 3-DOF 47

3.2.1 Implementação das diferentes técnicas de projeto ótimo no Helicóptero 3-DOF 50

3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização 51

3.4 Conclusões parciais 54

4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS 55

4.1.2 Condições para estabilidade robusta 57

4.1.3 Projeto robusto de controladores chaveados 59

4.2 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento 61

4.3 Otimização da norma de controladores chaveados 62

4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa 63

4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 68

4.5.1 Implementação com restrição de taxa de decaimento 69

4.5.2 Implementação com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma de K 73

4.6 Conclusões parciais 76

5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS

CHAVEA-DOS 77

5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler 77

5.2 Novos resultados utilizando uma função de Lyapunov mínima e quadrática por partes 80

5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes 81

5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler 82

5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 84

5.5.1 Exemplo numérico 1 84

5.5.2 Exemplo numérico 2 88

5.6 Conclusões parciais 91

6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES

CHAVEA-DOS 93

6.2 Projeto robusto chaveado com flexibilização extra via BMIs 96

6.3 Exemplo Numérico 97

6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 98

6.4.1 Implementação das técnicas de controle flexibilizadas 102

6.5 Conclusões parciais 108

7 CONCLUSÕES 111

7.1 Perspectivas Futuras 112

REFERÊNCIAS 113

27

1

INTRODUÇÃO

Entre as diversas técnicas de projeto de controladores desenvolvidas durante a história da engenharia de controle, o projeto de controladores robustos (ou projeto de controladores por es-tabilidade quadrática) usando LMIs destacou-se por resolver problemas envolvendo incertezas paramétricas, sem solução conhecida até então, utilizando pacotes computacionais especializa-dos (GAHINET et al., 1995). Em consequência do potencial da técnica, as pesquisas e publi-cações envolvendo a teoria de controle com soluções via LMIs cresceram muito nas últimas décadas. A teoria retratada em (BOYD et al., 1994) se tornou um marco na história das LMIs, abrindo um leque muito grande para diversas abordagens, como análise de estabilidade robusta de sistemas lineares (LEITE et al., 2004), abordagens de otimização por meio de LMIs (WANG et al., 2008), controle robustoH₂ouH_∞(CHILALI; GAHINET, 1996; APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001; GEROMEL; OLIVEIRA, 2001; MA; CHEN, 2006; ASSUNÇÃO et al., 2007a; GEROMEL; KOROGUI, 2008) e outros, projeto de controladores robustos de sistemas sujeitos a incertezas com realimentação das derivadas dos estados (ASSUNÇÃO et al., 2007b; CARDIM et al., Saint Petersburg; SILVA et al., 2011, 2012) e projeto ótimo de controladores robustos de sistemas sujeitos a incertezas com realimentação dos estados, em que um caso par-ticular pode ser visto como falha estrutural (BUZACHERO et al., 2010, 2012).

a sua aplicação prática. Além disso, quando associada à otimização da norma dos controladores (BUZACHERO et al., 2010), as funções do tipo PDLF acabam por inserir LMIs extras, podendo tornar mais difícil a busca de soluções. Outras publicações sobre o assunto encontraram resul-tados interessantes em se tratando de factibilidade (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997; LEITE et al., 2004; BUZACHERO et al., 2012), porém nessas metodologias garantem apenas a estabilidade para incertezas invariantes no tempo, ou com taxa de variação muito pe-quena (DAHLEH; DAHLEH, 1991; SOLO, 1994).

Pelo motivo exposto, buscaram-se formulações aprimoradas utilizando-se uma função de Lyapunov quadrática (Common Quadratic Lyapunov Function(CQLF)) com uma técnica de adição de matrizes extras na formulação das LMIs, reduzindo assim o número de LMIs para garantir a estabilidade do sistema. Com o objetivo de se obterem ganhos menores de contro-ladores robustos, conservando o mesmo desempenho dinâmico optou-se por otimizar a norma dos controladores, impondo também ao sistema realimentado um período transitório mais curto através da inserção da taxa de decaimento (BOYD et al., 1994) na formulação das LMIs, agora com a possibilidade de tratar incertezas do tipo LPV.

Em razão do conservadorismo existente nas condições de estabilidade quadrática, uma vez que uma única matriz de Lyapunov é imposta a todos os subsistemas quando se utiliza uma CQLF, optou-se, neste trabalho, pela abordagem da teoria de sistemas chaveados (tam-bém conhecidos como sistemas híbridos), em função dos importantes resultados, na literatura, que viabilizam o projeto de controladores robustos, considerando incertezas do tipo LPV (DE-CARLO et al., ; LIN; ANTSAKLIS, 2005; LIBERZON, 2003; SHORTEN et al., 2007), quando os sistemas em questão são lineares (DEAECTO; GEROMEL, 2008), levando-se em conta a possibilidade de chaveamento entre subsistemas (BRANICKY, 1998; HESPANHA, 2004).

Um método eficaz para o projeto de controladores robustos foi proposto por (SKAFIDAS et al., 1999), com base na determinação de uma regra de chaveamento estabilizante a qual pro-move o chaveamento entre um certo número de controladores com realimentação estática da saída, porém, também utilizando CQLF, tendo, como consequência, resultados conservadores. Outros pesquisadores abordaram o mesmo problema (JI; WANG; XIE, 2005), entretanto, os controladores de realimentação dos estados e a regra de chameamento foram projetados simul-taneamente. O traço comum entre esses artigos é o fato de trabalharem com um sistema in-certo cuja realização depende linearmente da incerteza, impondo a todos os subsistemas reali-mentados uma função de Lyapunov única, como uma consequência natural das condições de estabilidade propostas por (WICKS; PELETIES; DECARLO, 1994).

téc-1 INTRODUÇÃO 29

nicas eficazes para a estabilidade de sistemas lineares chaveados, entre as quais se apresentou uma função Lyapunov-Metzler quadrática por partes, com uma regra de chaveamentoσbaseada na escolha do mínimo da função energia, viabilizando o projeto de controladores robustos para sistemas incertos e limitados por norma (GEROMEL; DEAECTO, 2009). Estas pesquisas cul-minaram em condições de estabilidade de sistemas sujeitos a incertezas politópicas do tipo LPV, garantindo que o sistema fosse globalmente assintoticamente estável (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). Esta técnica inovadora possibilitou encontrar resultados menos conser-vadores e com um melhor desempenho global quando comparada com as técnicas tradicionais. Em contrapartida, uma busca unidimensional deve ser realizada para que o problema possa ser trabalhado com condições LMIs, o que acaba por restringir a quantidade de variáveis de folga do problema.

Com base nessa teoria, abordam-se nesta tese dois pontos críticos no projeto de contro-ladores chaveados para sistemas robustos. O primeiro ponto trabalhado é a problemática dos altos ganhos dos controladores projetados que influenciam na aplicação prática da técnica e, portanto, tornam interessante uma otimização para viabilizar a implementação (otimização da norma dos controladores chaveados). O outro ponto é o fato de que o tempo de duração do transitório pode ser maior do que as especificações de projeto. Para resolver este problema, propõem-se LMIs para limitar a taxa de decaimento. Ilustra-se essa estratégia de chaveamento na Figura 1.

Figura 1 - Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta.

x(t)

u(t) Sistema Linear Incerto

K1

K2

KN

σ(t)

Fonte: Adaptado de (GEROMEL; DEAECTO, 2009)

de modelos lineares locais descrevendo o comportamento do sistema em diferentes pontos de operação no seu espaço de estados (TANAKA; IKEDA; WANG, 1998), fazendo assim a es-colha da melhor estratégia de controle por meio de funções de pertinência. Como consequên-cia do sucesso desta técnica surgiram publicações sobre controle sistemas Fuzzy chaveados (TANAKA; IWASAKI; WANG, 2000a, 2000b; YANG; DONG, 2010; SOUZA et al., 2013) ditando a regra de chaveamento conforme as variáveis premissas.

Assim como para o caso linear, a busca por condições menos conservadoras de estabilidade também foi largamente explorada nos sistemas Fuzzy T-S. Em trabalhos muito conceituados da literatura foram propostas condições mais relaxadas de estabilidade utilizando Funções de Lya-punov Fuzzy (FLF) (TANAKA; HORI; WANG, 2003; TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR, 2003; MOZELLI et al., 2009), garantido a estabilidade assintótica através da interpolação de funções quadráticas segundo as mesmas funções de pertinência dos modelos Fuzzy T-S. Porém foi em (ESTEVES, 2011), satisfazendo condições de estabilidade global e utilizando Funções de Lyapunov Fuzzy-Metzler (FLFM) resolvidas através de LMIs que se obteve a flexibilização das mesmas, ficando apenas por solucionar a problemática de uma busca unidimensional que deveria ser realizada, mantendo uma dificuldade na solução do problema.

Recentemente, propuseram-se condições baseadas em uma classe particular de BMIs, uti-lizando funções de Lyapunov quadrática por partes (CHEN et al., 2012), resolvidas pelo método

path-following (HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). Essa solução contornou a problemática da busca unidimensional citada anteriormente e alcançou melhores resultados de factibilidade, pos-sibilitando uma flexibilização ainda maior, porquanto os escalares de relaxação que aparecem na multiplicação de matrizes variáveis podem se adaptar convenientemente durante o método, na busca por factibilidade. De posse destes resultados, propuseram-se métodos mais gerais para sistemas Fuzzy chaveados (SOUZA, 2013; SOUZA et al., 2014), em que os ganhos de otimiza-ção são escolhidos em dois estágios. O primeiro estágio segue a mesma regra de (CHEN et al., 2012), selecionando a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes. O segundo estágio ocorre através da escolha de uma função auxiliar que minimiza a derivada temporal da função de Lyapunov, escolhendo, assim, o ganho adequado a cada instante de tempo.

1 INTRODUÇÃO 31

Lyapunov-Metzler, apresentadas neste trabalho, se basearam nas existentes em (GEROMEL; COLANERI, 2006; DEAECTO, 2010; CHEN et al., 2012), porém, agora, com uma generaliza-ção das funções, com a vantagem da facilidade de tratamento de sistemas linearizados, tornando esta técnica mais viável para implementação.

Utilizam-se os seguintes símbolos e notações no texto:

Notações: M>0 (<0, ≥0, ≤0) indica que M é simétrica positiva (negativa,

positiva-semi, negativa-semi) definida; (′) indica transposição de um vetor ou matriz; (′−1) indica a inversa de uma matriz transposta; Sym{M} indica M+M′; (∗) indica termos transpostos em

uma matriz simétrica; diag(·,·, . . . ,·)indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas e

indica o final de demonstração.

A estrutura do texto é organizada da seguinte forma:

• Capítulo 2: Apresentam-se conceitos básicos, propriedades e resultados já conhecidos da literatura, necessários para o desenvolvimento teórico do trabalho e para a comparação com as técnicas propostas.

• Capítulo 3: Propõe-se uma técnica para o projeto e a otimização da norma de contro-ladores robustos de sistemas dinâmicos lineares incertos, utilizando realimentação dos estados. As técnicas de projeto utilizadas se baseiam em LMIs formuladas com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov, utilizando o Lema de Finsler. As LMIs uti-lizadas tiveram o acréscimo da restrição da taxa de decaimento, responsável por diminuir o tempo de duração do transitório dos sistemas realimentados. Realizaram-se compara-ções qualitativas e quantitativas entre os métodos de projeto com otimização da norma dos controladores, visando alternativas de controladores com menor custo e melhor de-sempenho que atendam às restrições do projeto. Uma implementação laboratorial ilustra a eficiência da proposta.

esquerda da reta Re{s}<−α, no plano complexo. A outra ferramenta importante uti-lizada é a otimização da norma dos controladores que visa reduzir os ganhos e facilitar sua implementação prática. Para verificar a eficiência da técnica proposta, realizou-se uma implementação prática no Helicóptero 3-DOF da Quanser, sujeito a uma falha estrutural no motor traseiro, caracterizada como uma incerteza politópica.

• Capítulo 5: Apresenta-se, neste capítulo, uma nova estratégia que proporciona uma flexi-bilização na análise de factibilidade para a estabilidade de sistemas lineares com in-certezas do tipo LPV, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes. A es-tratégia foi inspirada em uma formulação para projeto de controladores Fuzzy chaveados com base em uma classe particular de BMIs, que podem ser resolvidas pelo método path-following, tendo o termo bilinear o produto de escalares de relaxação e matrizes variáveis. Na formulação proposta houve um acréscimo de matrizes e escalares consequentemente diminuindo o conservadorismo na formulação. Foi também proposta uma formulação utilizando-se o lema de Finsler com o mesmo intuito. Comparações envolvendo factibili-dade de sistemas foram feitas utilizando exemplos conhecidos na literatura.

• Capítulo 6: Neste capítulo são apresentadas as técnicas de projeto de controladores chavea-dos baseadas nas formulações do Capítulo 5. Os controladores projetachavea-dos foram imple-mentados no sistema STII + AMD-1 validando na prática a técnica proposta.

• Em seguida, apresentam-se as conclusões e estabelecem-se as perspectivas futuras para a continuidade deste trabalho.

33

2

PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS

Para a obtenção dos resultados propostos, utilizam-se, ao longo do texto, as Propriedades 1 e 2, sendo a primeira utilizada para verificação da possibilidade de inversão de matrizes não simétricas e a segunda conhecida na literatura como complemento de Schur (BOYD et al., 1994).

Propriedade 1. Para toda matriz M não simétrica (M6=M′_{), se M+M}′_{<0, então M é}

in-vertível.

Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994).

Propriedade 2. Uma matriz simétrica M=

"

M1 M2 M′

2 M3 #

é definida positiva se e somente se:

1. M1>0e M3−M₂′(M1)−1M2>0, ou

2. M3>0e M1−M2(M3)−1M₂′ >0.

Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994).

Parte deste estudo visa obter melhores resultados para o projeto de controladores robustos com otimização da norma, por meio de LMIs de sistemas com incertezas do tipo LPV e taxa de decaimento. Para tanto, a formulação proposta será comparada à teoria de projeto ótimo com estabilidade quadrática e taxa de decaimento (Teorema 1). Adicionalmente, com a intenção de alcançar melhores resultados para a norma dos controladores ótimos, comparar-se-á a formu-lação proposta com as formulações apresentadas na literatura (BUZACHERO et al., 2012) para sistemas com incertezas invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente peque-nas que são: o projeto com estabilidade estendida (Teorema 3) e o projeto com estabilidade projetiva (Teorema 5), ambos com otimização da norma e taxa de decaimento.

2.1 Estabilidade quadrática

Considere o sistema linear incerto abaixo:

˙

x(t) =A_λx(t), x(0) =x0, (1)

definido para todot≥0, sendo x0a condição inicial,λ ∈Λ, x(t)∈Rno vetor de estado eAλ, matriz que representa a dinâmica do sistema incerto, definida como

A_λ =

N

∑

j=1

λjAj, (2)

sendo que o índice j se refere ao vértice do politopo e N o número de vértices. Ainda, Λ é definido pelo seguinte simplex unitário:

Λ={λ ∈RN:λ_j≥0_, N

∑

j=1

λj=1}. (3)

Assim tem-se

˙

x(t) =

∑

j=1

λjAjx(t). (4)

Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (1) é dada pela existência de uma matriz de LyapunovP=P′_∈Rn×n_{tal que as LMIs}

A′

λP+PAλ <0, (5)

P>0, (6)

sejam verificadas (BOYD et al., 1994). Esta condição de estabilidade é conhecida como estabili-dade quadrática e pode ser facilmente verificada na prática devido à convexiestabili-dade da desigual-dade de Lyapunov que faz com que as condições (5) e (6) tenham como condição suficiente a verificação da existência deP=P′_∈Rn×n_{tal que}

A′

jP+PAj<0, (7)

P>0, (8)

para todo j∈K, sendo o conjuntoK₌{1_,2_{, ...,}N}.

Pode-se observar que (5) pode ser obtida de (7) multiplicando a última porλj≥0 e somando

os termos de j=1 até j=N.

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento 35

positivaP, satisfazendo asNdesigualdades simultaneamente, geram-se resultados conservadores para a garantia de estabilidade do sistema incerto.

Sendo assim, com o objetivo de se obterem condições mais gerais do que a estabilidade quadrática, desenvolveu-se o conceito de controle chaveado, conforme se verá nos Capítulos 4 e 5.

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento

Considere o sistema incerto linear controlável e invariante no tempo descrito na forma de espaço de estados:

˙

x(t) =A_λx(t) +B_λu(t). (9)

Esse sistema pode ser descrito como combinação convexa dos vértices do politopo:

˙

x(t) =

∑

j=1

λjAjx(t) + N

∑

j=1

λjBju(t), (10)

sendoNo número de vértices do politopo,λj∈Λconforme (3) (BOYD et al., 1994),Aj∈Rn×n

eBj ∈Rn×m os vértices do politopo que representa a dinâmica do sistema incerto,x(t)∈Rn

o vetor de estado e u(t)∈Rm o vetor de entrada de controle. O projeto do controlador com

realimentação dos estados consiste em encontrar uma matrizK∈Rm×n, tal que o sistema (9)

realimentado com a entrada de controle (11),

u(t) =−Kx(t), (11)

seja assintoticamente estável, sendo o sistema realimentado representado por (12):

˙

x(t) = (A_λ −B_λK)x(t). (12)

Levando-se em conta o sistema controlado (9), a taxa de decaimento (ou maior expoente de Lyapunov) é definida como a maior constante positivaα, tal que

lim

t→∞e

αt_{||x(t)||=0, (13)}

e se mantenha para todas as trajetóriasx(t), t>0. Utiliza-se a função quadrática de Lyapunov

para estabelecer um limite inferior sobre a taxa de decaimento de (9), com

.

V(x(t))≤ −2αV(x(t)), (15)

para todas as trajetórias (BOYD et al., 1994).

De (14) e (12), tem-se que

.

V (x(t)) =x˙′_{(t)Px(t) +x}′_(t)Px(t)˙

=x(t)′(A_λ−B_λK)′Px(t) +x(t)′P(A_λ −B_λK)x(t). (16) Incorporando-se a restrição da taxa de decaimento (15) na equação (16) e realizando as simplificações apropriadas, tem-se:

(A_λ−B_λK)′_P+P(A

λ−BλK)<−2αP, (17)

P>0. (18)

Considerando o sistema incerto (10) e a teoria de Lyapunov existente para projeto de con-troladores, tem-se o seguinte teorema (BOYD et al., 1994):

Teorema 1. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes X=X′∈Rn×n

e G∈Rm×n, tais que

AjX−BjG+XA′j−G′B′j+2αX <0, (19)

X >0, (20)

com j=1, ...,r.

Sendo asLMIs (19) e (20) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema pode ser dada por

K=GX−1. (21)

Demonstração.Vide (BOYD et al., 1994).

Assim, pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em (9), sendo (19) e (20) condições suficientes para a estabilidade assintótica do politopo, para um sistema com realimentação dos estados com restrição de taxa de decaimento. Se, para o sistema incerto, a solução das LMIs for factível, a estabilidade do sistema estará garantida.

decai-2.3 Lema de Finsler 37

mento. Se o objetivo for somente a estabilidade, atribui-se, em (19),α =0.

2.2.1 Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF

Teorema 2. Dada uma constanteµ0>0, obtém-se um limitante para a norma da matriz K∈

Rm×n de realimentação dos estados, com K ₌GX−1, X ₌X′_>0, X _∈Rn×n e G_∈Rm×n

encontrando o valor mínimo deβ, β >0, tal que K′_K< β

µ0In. Pode-se obter o valor mínimo

deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a

"

X G′

G βIm

#

>0, (22)

X >µ0In, (23)

(LMI (19)) (24)

sendo que Ime Indenotam as matrizes identidades de ordem m e n respectivamente.

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012).

Note que a LMI (20) não é necessária, pois com as restrições (22) e (23), a LMI (20) será redundante.

2.3 Lema de Finsler

Utiliza-se o Lema de Finsler para expressar condições de estabilidade em termos de de-sigualdades matriciais, com vantagens sobre a teoria já existente de Lyapunov (BOYD et al., 1994), uma vez que introduz novas variáveisµ eX em condições que envolvem matrizes com estruturas particulares e com dimensões adequadasL,B eB⊥ (OLIVEIRA, 2004) conforme é visto no Lema 1.

Lema 1(Finsler). Considere w∈Rnx_{, L ∈}Rnx×nx _{e B∈}Rmx×nx _{com rank(B)<nx e B}⊥

uma base para o espaço nulo de B (isto é, BB⊥ ₌0). Então as seguintes condições são

equivalentes:

1. w′_{Lw<0,∀w6=0 :Bw=0;}

2. B⊥′L B⊥_<0;

4. ∃X _∈Rnx×mx_{:L+X B+B}′_X′_<0.

Demonstração.Vide (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) ou (OLIVEIRA;

SKEL-TON, 2001).

2.3.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de

decai-mento

Definindo w= [xx˙], B = [(Aλ−BλK) −I], B⊥ =

h _I

(A_λ−B_λK)

i

e L ₌h2α_PPλ Pλ

λ 0

i

, note que Bw₌ 0 corresponde ao sistema realimentado com K e w′Lw_<0 corresponde à restrição de estabilidade com taxa de decaimento formulada a partir da função quadrática de Lyapunov dada em (19) (BOYD et al., 1994). Neste caso, as dimensões das variáveis do Lema 1 são:

nx=2nemx=n.

Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler, que as Propriedades de 1 a 4 são equivalentes. Assim, podemos reescrever a Propriedade 4 da seguinte forma:

4. ∃X _∈R2n×n,P₌P′_>0 tais que

"

2αP_λ P_λ P_λ 0

#

+X h_{(Aλ−BλK) −I}i₊ "

(A_λ −B_λK)′ −I

#

X′_<0_, (25)

escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX ₌ Z

aZ, comZ∈Rn×nnão simétrica ea

uma constante de relaxação que tem a função de flexibilizar a matrizX na LMI (PIPELEERS et al., 2009). Pode-se obter esta constante adequadamente através de uma busca unidimensional. Aplicando a transformação de congruênciahZ−1 ₀

0 Z−1

i

à esquerda ehZ−1 ₀

0 Z−1

i′

à direita, na quarta propriedade e fazendoY =Z′−1_{;G=KY eQ}

λ =Y′PλY, encontraram-se as seguintes LMIs: "

A_λY+Y′_A′

λ−BλG−G′B′λ+2αQλ Qλ +aY′A′λ−aG′B′λ−Y

Q_λ+aA_λY−aB_λG−Y′ −aY−aY′

#

<0, (26)

Q_λ >0. (27)

sendoY ∈Rn×n,Y ₆₌Y′,G_∈Rm×neQ_{λ ∈}Rn×n.

Essas LMIs, quando factíveis, atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sis-tema com a realimentação de estado (11) e (21). A garantia de estabilidade resultante das LMIs deduzidas a partir do Lema de Finsler é comumente denominada estabilidade estendida (LEITE et al., 2004). A vantagem do uso desta formulação, mediante a utilização do Lema de Finsler para análise de estabilidade robusta é a liberdade de escolha da estrutura da função de Lyapunov que agora pode ser, por exemplo, uma PDLF, definida comoQ_λ = ∑N

j=1λjQj,

N

∑

2.3 Lema de Finsler 39

e j∈K. Sabendo que Q_λ depende de λ, o uso da matriz de Lyapunov adequa-se apenas a

incertezas politópicas invariantes no tempo ou permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena, em (BUZACHERO et al., 2010), apresenta-se o seguinte teorema:

Teorema 3. Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes Y ∈Rn×n, Q_j=Q_j′_∈Rn×n,

G∈Rm×ne um escalar a_>0, tais que

"

AjY+Y′Aj′−BjG−G′Bj′+2αQj Qj+aY′Aj′−aG′Bj′−Y

Qj+aAjY−aBjG−Y′ −aY−aY′

#

<0, (28)

Qj>0, (29)

com j∈K

Sendo as LMIs (28) e (29) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema, garantindo a taxa de decaimento maior ou igual aα, pode ser dada por

K=GY−1. (30)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010) ou (BUZACHERO et al., 2012).

Este resultado foi publicado em (BUZACHERO et al., 2012), tendo como foco a obtenção de menores valores para a norma dos controladores robustos com restrição da taxa de decai-mento.

Assim, pode-se realimentar o sistema incerto, sendo (28) e (29) condições suficientes para a estabilidade assintótica de todo sistema, com restrição de taxa de decaimento, com parâmetros pertencentes ao politopo.

Infelizmente, esta formulação contempla apenas incertezas politópicas invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente pequena, sendo inadequada para implementações onde a incerteza varia ao longo do tempo, conforme se verificará na Seção 3.2.1.

2.3.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema de

Finsler

Em (BUZACHERO et al., 2010), houve uma dificuldade para aplicar a teoria já existente de otimização da norma deK (ASSUNÇÃO et al., 2007b) à nova estrutura de LMIs. Isso ocorreu devido a matriz de síntese do controladorY não ser simétrica, condição necessária para o desen-volvimento das LMIs quando a matriz de síntese do controlador eraX =P−1_{. Para contornar}

a problemática utilizou-se a ideia do procedimento de otimização para reprojeto apresentado em (CHANG et al., 2002), propondo-se em (BUZACHERO et al., 2010) a adequação do novo método de otimização com a minimização de um escalar β, sendo a relação de minimização

K′_K<βP

jcomPj a função de Lyapunov referente a cada vértice:

Teorema 4. Obtém-se um limitante para a norma da matriz K ∈Rm×n de realimentação

dos estados, com K =GY−1e Qj=Y′PjY , sendo Y ∈Rn×n, G∈Rm×ne Pj=P′_j>0∈Rn×n

encontrando o valor mínimo deβ,β >0, tal que K′_K<βP

jcom j∈K. Pode-se obter o valor

ótimo deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a

"

Qj G′

G βIm

#

>0 (31)

(LMI (28)) (32)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010).

Essa forma de otimizar a norma de K revelou melhores resultados que a apresentada em (ASSUNÇÃO et al., 2007b). Entretanto, por estar vinculada às matrizes de Lyapunov Pj, a

relação de otimização ainda não apresenta os ganhos mínimos que seriam encontrados para atender os requisitos de projeto devido ao aumento do número de LMIs por acrescentar mais uma LMI para cada vértice do politopo.

Para melhorar o desempenho do procedimento de otimização, encontra-se uma alternativa para otimizar a norma do controladorK, diminuindo o conservadorismo das LMIs de projeto deK com uma manipulação conveniente mostrada na próxima subseção.

2.4 Lema da projeção

2.4 Lema da projeção 41

Lema 2(Projeção Recíproca). Considere P=P′>0uma matriz dada, matrizes simétricasψ e X, e matrizes não simétricas S, W e V . As seguintes afirmações são equivalentes

1. ψ+S+S′_<0,

2. A LMI abaixo é factível em relação a W

"

ψ+P−(W+W′_{) S}′_+W′

S+W −P

#

<0,

3. Desde que A seja Hurwits,∃V , X tais que



  

−(V+V′) V′A′+X V′

AV+X −X 0

V 0 −X



  

<0.

Demonstração.Vide (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001).

2.4.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de

decai-mento

A fim de verificar as vantagens da formulação proposta no Capítulo 3 desta tese, um outro exemplo de projeto ótimo deKapresentado em (BUZACHERO et al., 2012) foi utilizado para fim de comparação. Como no caso da estabilidade estendida, a vantagem de usar o Lema da Projeção Recíproca para análise de estabilidade robusta é o grau de liberdade da PDLF, agora definida comoP_λ = ∑N

j=1λjPj,

N

∑

j=1λj=1,λj≥0 e j∈

K. Tal como descrito anteriormente, o uso

deP_λ é adequado a incertezas politópicas invariantes no tempo, permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena. Para verificar isso, segue o Teorema 5.

Teorema 5. Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto(10) é a existência de matrizes V∈Rn×n, P_j=P_j′_∈Rn×ne Z_∈Rm×n, tal que aLMI (33) seja satisfeitas.



   

−(V+V′) V′A′_j−Z′B′_j+αV′+Pj V′

AjV−BjZ+αV+Pj −Pj 0

V 0 −Pj



   

<0 (33)

com j∈K.

Sendo a LMI (33) factível, uma matriz de realimentação dos estados que estabiliza o sistema pode ser dada por (34).

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012)

2.4.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema da

projeção

O Teorema 6 mostra a otimização da norma deK para a LMI (33). Pode-se verificar que apenas uma LMI é utilizada para otimizar a norma do controlador, diferentemente do procedi-mento apresentado no Teorema 4.

Teorema 6. Pode-se obter um limitante para a norma da matriz K∈Rm×nde realimentação

dos estados, com K=ZV−1_{, V ∈R}n×n_{e Z∈R}m×n _{encontrando o valor mínimo deβ,β >0,}

tal que K′_{K <βM, sendo M =V}′−1_V−1 _{e desta forma M=M}′_{>0. Pode-se obter o valor}

ótimo deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a





In Z′

Z βIm



>0

(35)

(LMI (33)) (36)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012)

Neste trabalho, realiza-se a solução numérica das LMIs em microcomputadores, utilizando osoftware MATrix LABoratory(MatLabr_{) com seusolver(resolvedor) padrãoLMIlabcontido}

43

3

PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS

UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER

Neste capítulo, apresenta-se uma formulação mais adequada à abordagem de controladores robustos ótimos em sistemas LPV e, consequentemente, à implementação prática desses con-troladores com restrição da taxa de decaimento baseada no Lema de Finsler, devido à utilização de uma CQLF.

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de

decaimento

Definindo as matrizesB_{= [}A′ _−I],_B⊥₌ I A′

eL ₌−BG−G′B′+2αX X

X 0

como parâmetros do Lema 1 e considerando queX é a matriz utilizada para a definição da função quadrática de Lyapunov, teremos a propriedade 2 do Lema de Finsler escrita como:

2. ∃X =X′_{>0 tal que}

"

I A′

#′"

−BG−G′_B′_{+2αX X}

X 0

# "

I A′

#

<0,

o que resulta, desenvolvendo o produto matricial, na condição equivalente para a estabilizabili-dade do sistema, incluindo o limitante para a taxa de decaimento:

2. AX−BG+XA′−G′B′+2αX <0.

Apesar desta formulação caracterizar estabilidade por meio de uma função de Lyapunov quadrática (V(x(t)) =x(t)′_{Px(t)), inserem-se novas variáveis no espaço de busca por meio de} uma escolha conveniente de matriz de variáveisX conforme abaixo.

4. ∃X _∈R2n×n,X₌X′_>0 tais que

"

−BG−G′_B′_{+2αX X}

X 0

#

+X h_A′ _−Ii₊

"

A

−I #

X′_<0_.

Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler (Lema (1)), que as propriedades 2 e 4 são equivalentes. Desta forma, escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX ₌hY_Y1

2

i , com

Y1eY2∈Rn×ne desenvolvendo a propriedade 4, tem-se: "

−BG−G′_B′_{+2αX X}

X 0

#

+

"

Y1A′ −Y1 Y2A′ −Y2 #

+

"

AY′

1 AY2′

−Y′

1 −Y2′ #

<0.

Assim, encontraram-se as seguintes LMIs sujeitas a taxa de decaimentoα: "

AY′

1−BG+Y1A′−G′B′+2αX X−Y1+AY2′ X−Y′

1+Y2A′ −Y2−Y2′ #

<0, (37)

X >0. (38)

sendoY1eY2∈Rn×n,Y16=Y₁′,Y26=Y₂′,G∈Rm×neX∈Rn×n,X=X′>0.

Essas LMIs atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sistema com a reali-mentação de estado. Verifica-se que o primeiro menor principal da LMI (37) possui a estrutura do resultado encontrado no teorema de estabilidade com taxa de decaimento. Não obstante, observa-se também relaxação do espaço de busca, conforme enunciado no Lema de Finsler, pois as matrizes variáveisY1eY2, que garantem a estabilidade do sistema, não precisam ser

simétri-cas e, para uma abordagem de estabilidade robusta, estas podem ser politópisimétri-cas:Y_1λ = ∑N

j=1λjY1j

eY_2λ = ∑N

j=1λjY2j,

N

∑

j=1λj=1,λj≥0 e j∈

K. Sendo assim, propõe-se o seguinte teorema:

Teorema 7. Para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de de-caimento maior ou igual aα é condição suficiente a existência de matrizes Y1j e Y2j ∈Rn×n,

X =X′_∈Rn×n_{e G∈R}m×n_{, tais que}

"

AjY₁′_j−BjG+Y1jA′j−G′B′j+2αX X−Y1j+AjY₂′_j

X−Y′

1j+Y2jA′j −Y2j−Y2′j

#

<0, (39)

j∈K

"

AjY₁′_k−BjG+AkY1′j−BkG+Y1kA′j−G′B′j+Y1jA′_k−G′B′_k+4αX

2X−Y₁′_j−Y₁′_k+Y2jA′_k+Y2kA′j

...

...2X−Y1j−Y1k+AkY

′

2j+AjY2′k

−Y2j−Y2′j−Y2k−Y₂′_k

#

<0,

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 45

j=1, ...,r−1;k= j+1, ...,r

X >0. (41)

Quando asLMIs (39), (40) e (41) são factíveis, uma matriz de realimentação de estado que estabiliza o sistema pode ser dada por

K=GX−1_{. (42)}

Demonstração.Assuma que as LMIs (39), (40) e (41) são factíveis. Considerandoλj>0

para j∈K, teremos: N

∑

j=1 λ2

j

"

AjY₁′_j−BjG+Y1jA′_j−G′B′_j+2αX X−Y1j+AjY₂′_j

X−Y′

1j+Y2jA′j −Y2j−Y2′j

#

+ (43)

N−1 ∑

j=1

N

∑

k=j+1λjλk "

AjY₁′_k−BjG+AkY1′j−BkG+Y1kA′j−G′B′j+Y1jA′_k−G′B′_k+4αX

2X−Y₁′_j−Y₁′_k+Y2jA′_k+Y2kA′j

...

...2X−Y1j−Y1k+AkY

′

2j+AjY2′k

−Y2j−Y2′j−Y2k−Y₂′_k

#

<0.

Sabendo que, genericamente

N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1 λj=

N

∑

j=1 λ2

j +2

N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλk, (44)

e consequentemente

N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1

λjHiRj= N

∑

j=1 λ2

jHjRj+ N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλk(HjRk+HkRj), (45)

tem-se que as seguintes igualdades são verdadeiras:

N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1

λjAiY1′j= N

∑

j=1 λ2

jAjY1′j+ N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλk(AjY1′k+AkY1′j), N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1

λjBjG= N

∑

j=1 λ2

jBjG+

N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλk(BjG+BkG), N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1

λjY1j= N

∑

j=1 λ2

jY1j+ N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλk(Y1j+Y1k), N

∑

i=1 λi

N

∑

j=1

λjY2j= N

∑

j=1 λ2

jY2j+ N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

e

∑

i=1 λi

N

∑

j=1 λjX=

N

∑

j=1 λ2

jX+2

N−1

∑

j=1

N

∑

k=j+1

λjλkX.

Desta forma, (43) pode ser escrita como

N

∑

i=1λi

N

∑

j=1λj "

AiY₁′_j−BjG+Y1iA′_j−G′B′_j+2αX X−Y1j+AiY₂′_j

X−Y′

1j+Y2iA′j −Y2j−Y2′j

#

<0, (46)

e consequentemente     N ∑

i=1λiAi

N

∑

j=1λjY

′

1j− N

∑

j=1λjBjG+

N

∑

i=1λiY1i

N

∑

j=1λjA

′

j−G′ N

∑

j=1λjB

′

j+2αX

X− ∑N

j=1λjY

′

1j+ N

∑

i=1λiY2i

N

∑

j=1λjA

′

j

...

(47)

...

X− ∑N

j=1λjY1j+

N

∑

i=1λiAi

N

∑

j=1λjY

′

2j

− ∑N

j=1λjY2j−

N

∑

j=1λjY

′ 2j    

<0.

Então (47) pode ser reescrita como

"

A_λY′

1λ−BλG+Y1λA′λ−G′B′λ+2αX X−Y1λ +AλY2′λ

X−Y′

1λ+Y2λA′λ −Y2λ−Y2′λ #

<0, (48)

sendoY_1λ = ∑N

j=1λjY1j e Y2λ =

N

∑

j=1λjY2j, com

N

∑

j=1λj=1, λj≥0 e j∈

K.

Verifica-se uma vantagem na utilização da nova formulação (39) e (40) utilizando o Lema de Finsler em relação a (28) para a otimização da norma do controlador, que se deve à inserção de duas matrizes politópicasY1jeY2j, relaxando o sistema quando comparado com a formulação

(28) que utiliza apenas a matriz de Lyapunov politópicaQj e desta forma aumenta o número

de LMIs de otimização, já que Qj entra na composição destas (vide Teorema 4). Além disso,

tal como descrito no Capítulo 2, o uso de Q_λ é adequado a incertezas politópicas invariantes no tempo, permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena, ao contrário desta nova formulação em que a matriz de Lyapunov X não é politópica, permitindo variações de λ ao longo do tempo, ou seja, sistema LPV.

3.2 Helicóptero 3-DOF 47

(23) em conjunto com as LMIs (39) e (40), apresentando melhores resultados para minimização dos módulos dos ganhos do controlador dada a utilização de um menor número de LMIs para tal, como se verá na Seção 3.2.1.

3.2 Helicóptero 3-DOF

Considere o modelo esquemático mostrado na Figura 3 do helicóptero 3-DOF da Quanser mostrado na Figura 2. Este equipamento é um patrimônio do LPC da FEIS - UNESP. Dois motores DC estão montados nas extremidades de uma haste retangular e acionam duas hélices propulsoras. Os eixos dos motores são paralelos e o vetor de impulsão é normal à haste retangu-lar. A estrutura do sistema é suspensa por uma articulação montada próximo à extremidade do braço de sustentação, tornando o mesmo livre para se deslocar em torno do centro. Na extremi-dade oposta do equipamento, existe um contrapeso utilizado para aliviar o esforço dos motores para elevar todo o sistema.

Figura 2 - Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP.

Fonte: Elaborado pelo autor

vetor impulsão resulta no deslocamento do corpo (ângulotravel(θ) do braço). O objetivo deste experimento é elaborar um sistema de controle que consiga regular os ângulos de elevação e de deslocamento do helicóptero 3-DOF (QUANSER, 2002).

Figura 3 - Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF.

mw.g

Contra-peso lw

Eixoelevation

ε≥0

θ≥0

Eixo

travel

lh

lh

la

mfxg

mhxg

mbxg

Motor traseiro Fb

Eixopitch

ρ≥0

Ff Motor dianteiro

Sup. de sustentação

Fonte: (QUANSER, 2002)

O modelo em espaço de estado que descreve o helicóptero é (QUANSER, 2002):

                  ˙ ε ˙ ρ ˙ θ ¨ ε ¨ ρ ¨ θ ˙ ξ ˙ α                   =A                   ε ρ θ ˙ ε ˙ ρ ˙ θ ξ α                   +B " Vf Vb # . (49)

3.2 Helicóptero 3-DOF 49 A=      

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 2m f la−mwlwg

2_{m f la}2+2_{m f lh}2+_{m f lw}2 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

     

e B=

        0 0 0 0 0 0

lak f1

mwl2w+2_{m f l}2_a

lak f2

mwlw2+2_{m f la}2 1

2_{m f lh}k f1 −12_{m f lh}k f2

0 0 0 0 0 0         . (50)

Os valores das parâmetros utilizadas no projeto robusto, que aparecem descritos na Tabela 1, foram os mesmos utilizados no projeto do fabricante para a implementação do controlador original, mantendo assim fidelidade ao modelo do fabricante.

Tabela 1 - Parâmetros do helicóptero 3-DOF

Constante da força de propulsão da hélice dianteira kf1 0,1188

Constante da força de propulsão da hélice traseira kf2 0,1188

Massa do corpo do helicóptero (Kg) mh 1,15

Massa do contra-peso (Kg) mw 1,87

Massa do conjunto da hélice dianteira (Kg) mf mh/2

Massa do conjunto da hélice traseira (Kg) mb mh/2

Distância: eixo de pitch - cada motor (m) lh 7x0,0254

Distância: eixo de elev. - helicóptero (m) la 26x0,0254

Distancia: eixo de elev. - contra-peso (m) lw 18,5x0,0254

Constante gravitacional (m/s2) g 9,81

A fim de verificar a eficiencia das técnicas de controle robusto, implementou-se uma queda de 30% da potência do motor traseiro, simulando uma falha física nos rolamentos dos motores em um helicóptero real, sendo esta formulada como uma incerteza na constante da força de propulsão da hélice traseira (0,08312≤kf2≤0,1188). A falha foi implementada fisicamente

através da inserção de uma chave temporizada conectada a um amplificador com ganho no sinal controle de 0,7 diretamente na tensão de atuação sobre o motor. Assim, constitui-se um

politopo de dois vértices com uma incerteza na matriz de entrada do sistema do helicóptero, atuando sobre a tensão traseira entre 0,7Vb e Vb. Os vértices do politopo são descritos na

sequência.

Vértice 1 (kf2=0,1188):

A1= 

   

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−1,2304 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0



   

e B1=      0 0 0 0 0 0

0,0858 0,0858 0,5810−0,5810