Comutação em Sistemas de Fibra Óptica
Daniel Filipe Ferreira dos Anjos
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia
Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes
Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Vogal: Prof. Doutora Maria Hermínia da Costa Marçal
iii
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos aqueles que me ajudaram ao longo da realização desta tese de mestrado e também deste modo prestar homenagem a todos aqueles que se cruzaram comigo neste meu percurso académico no Instituto Superior Técnico.
Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao professor António Topa pelo apoio e orientação ao longo da realização deste trabalho, demonstrando uma disponibilidade total para o esclarecimento de todas as dúvidas que apareceram durante este trajecto.
Gostaria também de agradecer a toda a minha família, em especial aos meus pais, irmão e avó, por todo o apoio e confiança ao longo dos anos em especial durante a minha estadia em Lisboa.
Por ultimo uma palavra para todos os meus amigos, dentro e fora do Instituto Superior Técnico, por todos os momentos passados juntos. Em especial para os meus colegas de tese, Luís Marques e Miguel Alves, pelo seu companheirismo e ajuda sempre que esta se revelou necessária. Não correndo o risco de omitir alguém no meio de tantos amigos aos quais gostaria de agradecer, uma palavra para os meus amigos de Caldas assim como todos aqueles que conheci ao longo dos 6 anos neste curso.
v
RESUMO
Nesta dissertação de mestrado é abordado um dos principais aspectos relacionados com os sistemas de comunicações por fibra óptica: a comutação óptica.
Em primeiro lugar é analisada a propagação do sinal em regime linear e deste modo é analisado o efeito da dispersão de velocidade de grupo assim como o efeito do parâmetro de chirp. Para este objectivo foi deduzido e utilizado um método de análise numérica de forma a simular a propagação de vários tipos de impulsos ao longo de uma fibra óptica.
Como próximo passo será estudado uma forma de gestão da dispersão, através dos aspectos não-lineares associados a propagação pela fibra. Assim será estudado o comportamento de impulsos do tipo solitão, sinal com características muito específicas, a propagar-se ao longo da fibra. Para este fim foi criado um modelo iterativo com uso do SSFM que permite analisar o impulso à saída da fibra através das suas condições inicias. Através deste modelo serão estudados o solitão fundamental, mas também o de 2ª e 3ª ordem. Outros dois pontos com relevância que serão analisados são a interferência provocada pela interacção de solitões e o caso específico do solitão médio.
Por último é estudada a comutação de impulsos entre duas fibras idênticas, para isso são demonstradas as equações de acoplamento de agregados e ,através destas, os coeficientes de transmissão, sendo estudados esses coeficientes para um acoplador half-beat. De seguida será estudado como se processa a comutação em regime linear através das equações que descrevem esse fenómeno. Será analisado o comportamento em regime não-linear com a dedução das equações não não-lineares de acoplamento e um novo método de cálculo dos coeficientes de transmissão entre as duas fibras. Neste último capítulo será analisada a influência na comutação do sinal da dispersão intermodal tanto em regime linear como em não linear.
Palavras-chaves- Fibra óptica, chirp, dispersão de velocidade de grupo, solitão, SSFM,
vii
ABSTRACT
This thesis addresses one of the keys aspects of optical communications systems: optical switching. Pulse propagation in a linear regime and the effect of group velocity dispersion are analyzed. A numerical analysis method to simulate the propagation of several types of pulses along an optical fiber is developed.
Dispersion management, through the use non-linearity is addressed. The behavior of solitons, pulses with very specific characteristics, is studied when propagating along the fiber. An iterative model has been developed using the SSFM which allows get the signal output based on their initial conditions. With this model the fundamental, 2nd and 3rd order solitons are studied. Two other relevant points are studied: the interference generated by interaction between solitons and the mean soliton.
Finally, optical switching is discussed. The coupling equations are derived and the transmission coefficients are obtained, being, and a half-beat coupler is studied.
Optical switching is analyzed both in the linear and the nonlinear regimes. The nonlinear coupling equations and a new method for calculation of the transmission coefficients between the two fibers is presented. The influence of intermodal dispersion on the pulse switching is considered in the linear and the nonlinear regime.
Index Terms- Optical switching, chirp, group velocity dispersion, soliton, SSFM, transmission
coefficients, coupling, half-beat.
ix
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS.………..………..….……….…….iii RESUMO………..……….………….………....…...v ABSTRACT………..…………..………vii ÍNDICE………...………..ix LISTA DE FIGURAS………..……….………...xi LISTA DE SÍMBOLOS………...………...xv LISTA DE ACRÓNIMOS……….………...….xix CAPITULO 1-INTRODUÇÃO………. ………..………11.1-Enquadramento ... 1
1.2-Perspectiva Histórica ... 2
1.3-Objectivos ... 4
1.4-Estrutura ... 5
1.5-Contribuições Principais ... 6
CAPITULO 2-PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS EM REGIME LINEAR ... 7
2.1-Equação de propagação em regime linear ... 7
2.2-Resolução numérica ... 12
2.2.1-Normalização de variáveis: espaço e tempo ... 13
2.3 Simulação em Matlab ... 16
2.3.1-Impulso Exponencial ... 16
2.3.2-Impulso gaussiano... 18
2.3.3-Débito binário ... 20
2.3.4-Impulso supergaussiano ... 23
2.3.4.1-Influencia do chirp ... 25
2.3.5-Impulso secante hiperbólica ... 29
CAPITULO 3-PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS EM REGIME NÃO-LINEAR ... 31
3.1-Equação de propagação em regime não-linear ... 31
3.2-Efeito óptico de Kerr ... 33
3.3-Auto-modulação de fase ... 36
3.4-Solitão fundamental ... 38
3.5-Método Split Step Fourier (SSFM) ... 40
3.6-Simulações ... 42
x
3.6.2-Solitão de segunda ordem ... 43
3.6.3-Solitão de terceira ordem ... 44
3.7-Interacção entre solitões ... 45
3.7.1-1ºcaso: =0, =1 e =3.5 ... 46
3.7.2-2ºcaso: =0, =1 e =6 ... 47
3.7.3-3ºcaso:
, =1 ... 48
3.7.4-4ºcaso:
, =1 ... 49
3.7.5-5ºcaso: , =1.1 ... 50
3.8-Impulso gaussiano ... 51
3.9-Solitão médio ... 53
CAPITULO 4-COMUTAÇÃO ÓPTICA ... 57
4.1-Acoplamento entre duas fibras ópticas ... 57
4.2-Comutação fotonica em regime linear ... 62
4.2.1-Simulação numérica das equações de acoplamento ... 62
4.2.2-Interpretação dos resultados ... 66
4.3-Comutação fotónica em regime não linear ... 67
4.4-Acoplador no domínio da frequência ... 70
4.5-Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda ... 72
4.6-Influência da dispersão intermodal na comutação de solitões em diferentes
comprimentos de onda. ... 75
4.6.1-Regime linear sem dispersão ... 75
4.6.2-Regime linear com dispersão ... 76
4.6.3-Regime não linear sem dispersão ... 77
4.6.4-Regime não linear com dispersão ... 78
CAPITULO 5- CONCLUSÃO ... 81
5.1- Principais Conclusões ... 81
5.2- Perspectivas de trabalho futuro ... 82
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1- Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra óptica………...16
Figura 2.2- Evolução do impulso exponencial no tempo e ao longo da fibra (3D)………17
Figura 2.3- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso exponencial……….…17
Figura 2.4- Impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra óptica……….18
Figura 2.5- Evolução do impulso gaussiano no tempo e ao longo da fibra (3D)………...…19
Figura 2.6- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso gaussiano………....19
Figura 2.7- Evolução da largura dos impulsos ao longo da fibra……….………..……..21
Figura 2.8- Influencia do chirp no produto ………...……….22
Figura 2.9- Impulso supergaussiano à entrada e à saída da fibra óptica………...……23
Figura 2.10- Evolução do impulso supergaussiano no tempo e ao longo da fibra (3D)….……..24
Figura 2.11- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano…………...24
Figura 2.12- Impulso supergaussiano (C=2) à entrada e à saída da fibra óptica………..25
Figura 2.13- Evolução do impulso supergaussiano (C=2) no tempo e ao longo da fibra (3D)…25 Figura 2.14- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano (C=2)…….26
Figura 2.15- Relação entre a velocidade de grupo e a frequência………..………26
Figura 2.16- Impulso supergaussiano (C=-2) à entrada e à saída da fibra óptica……….…27
Figura 2.17- Evolução do impulso supergaussiano (C=-2) no tempo e ao longo da fibra (3D)..28
Figura 2.18- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano (C=-2)…...28
Figura 2.19- Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra óptica………...29
Figura 2.20- Evolução do impulso secante hiperbolica no tempo e ao longo da fibra (3D)….…29 Figura 2.21- Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso secante hiperbólica……….30
Figura 3.1- Diagrama de passos do método SSFM………...41
Figura 3.2- Solitão fundamental (vista 3D)………...……42
Figura 3.3- Solitão de segunda ordem (vista 3D)………..……….43
xii
Figura 3.5- Interacção entre solitões (vista 3D do primeiro caso)………...………….…46
Figura 3.5- Interacção entre solitões (vista superior do primeiro caso)………..…….46
Figura 3.6- Interacção entre solitões (vista 3D do segundo caso)………...47
Figura 3.7- Interacção entre solitões (vista superior do segundo caso)………..47
Figura 3.8- Interacção entre solitões (vista 3D do terceiro caso)……….48
Figura 3.9- Interacção entre solitões (vista superior do terceiro caso)………48
Figura 3.10- Interacção entre solitões (vista 3D do quarto caso)………...….….49
Figura 3.11- Interacção entre solitões (vista superior do quarto caso)………49
Figura 3.12- Interacção entre solitões (vista 3D do quinto caso)……….50
Figura 3.13- Interacção entre solitões (vista superior do quinto caso)………...50
Figura 3.14- Impulso gaussiana à entrada e à saída da fibra óptica………...………51
Figura 3.15- Impulso gaussiano com efeitos não-lineares (vista 3D) ………...…51
Figura 3.16- Função ………....54
Figura 4.1- Acoplamento entre duas fibras idênticas……….57
Figura 4.2- Coeficientes de transmissão para a frequência de portadora …………...….59
Figura 4.3- Coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat para s=10……....………...60
Figura 4.4- Coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat para s=8………..…60
Figura 4.5- Coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat para s=5………..61
Figura 4.6- Representação do sinal na fibra 1………..………..……64
Figura 4.7- Representação do sinal na fibra 1 (vista superior)………...……..64
Figura 4.8- Representação do sinal na fibra 2……….65
Figura 4.9- Representação do sinal na fibra 2 (vista superior)………...……….….65
Figura 4.10- e para fibra com núcleos idênticos em regime linear………71
Figura 4.11- Coeficiente de transmissão T em função da potência normalizada do pico de entrada p para diferentes valores de contabilizando a dispersão intermodal de acordo com as equações (4.45) e (4.46)……….72
Figura 4.12- Coeficientes de transmissão T em função da potência normalizada do pico de entrada p para e 1.58 m obtido através do modelo antigo, equações (4.36) e (4.37), e através do novo modelo que considera a dispersão intermodal, equações (4.53) e (4.54)……73
xiii
Figura 4.13- Coeficientes de transmissão T como função do comprimento de onda para dois valores distintos da potência normalizada do pico de entrada (p=3 e p=9) com o efeito dadispersão intermodal………74
Figura 4.14- Sinal de saída |u1| em regime linear sem dispersão intermodal………75
Figura 4.15- Sinal de saída |u2| em regime linear sem dispersão intermodal………76
Figura 4.16- Sinal de saída |u1| em regime linear com dispersão intermodal………76
Figura 4.17- Sinal de saída |u2| em regime linear com dispersão intermodal………77
Figura 4.18- Sinal de saída |u1| em regime não linear sem dispersão intermodal………77
Figura 4.19- Sinal de saída |u2| em regime não linear sem dispersão intermodal………78
Figura 4.20- Sinal de saída |u1| em regime não linear com dispersão intermodal………78
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
Frequência angular da portadora Raio do núcleo da fibra óptica
Constante de propagação transversal no núcleo Constante de atenuação na bainha
Frequência normalizada
Índice de refracção do núcleo Índice de refracção na bainha
Comprimento de onda
Constante de propagação no vácuo
Frequência angular
Campo Eléctrico
Funções modais elementares do modo Distribuição longitudinal do campo eléctrico Impulso que se propaga na fibra
Constante longitudinal do modo fundamental
Desvio de frequência
Termos de ordem superior da serie de Taylor Constante longitudinal no ponto
Coeficiente da dispersão da velocidade de grupo Velocidade de grupo
Constante de atenuação
Tempo característico da duração do impulso Comprimento de dispersão
Atraso de grupo
Variável de tempo normalizada Variável espacial normalizada
xvi
Frequência normalizada
Parâmetro de Chirp
Largura efectiva do impulso
Largura espectral normalizada de fonte Largura espectral efectiva da fonte Comprimento da fibra óptica
Bit-slot
Débito binário
Coeficiente de alargamento dos impulsos Constante de propagação linear
̅ Índice de refracção modal Constante dieléctrica relativa
Campo fictício
Parâmetro de não-linearidade
Intensidade óptica
Área efectiva
Potência óptica
Área efectiva do campo
Fase não-linear
Comprimento efectivo Desvio de frequência
Metade da separação temporal normalizada entre solitões Relação de amplitude entre solitões
Diferença de fase entre solitões Coeficiente de atenuação
Numero total de amplificadores Espaçamento entre amplificadores
Ganho de potência
Variações rápidas de amplitude Solitão médio
xvii
Envolvente complexa normalizada do campo eléctricoRitmo de transmissão
Separação entre eixos das fibras ópticas Coeficiente de acoplamento
Comprimento de acoplamento
Relação entre separação entre eixos e raio das fibras Comprimento de onda central
Coeficiente de acoplamento para a frequência da portadora Coeficiente de acoplamento de primeira ordem
Coeficiente de acoplamento de segunda ordem Coeficiente de transmissão normalizado
Energia total
Potência normalizada do pico de entrada Operador de dispersão no domínio temporal Operador de dispersão no domínio espacial
Função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem m Função de Bessel de primeira espécie de ordem m
Comprimento half-beat Comprimento full-beat
Ordem do solitão
Coeficiente de auto-transmissão Coeficiente de transmissão cruzada
xix
LISTA DE ACRÓNIMOS
TAT Transatlantic Telecommunication Cable TPC Trans-Pacific Cable
EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier WDM Wavelength-Division Multiplexing AMF Auto-modulação de Fase
DVG Dispersão de Velocidade de Grupo SSFM Split Step Fourier Method
FFT Fast Fourier Transform NLS Nonlinear Schrödinger IST Inverse Scattering Transform XPM Cross-Phase Modulation IMD Intermodal Dispersion
1
CAPITULO 1- INTRODUÇÃO
1.1-Enquadramento
Desde o início da civilização o homem teve a necessidade de comunicar entre si, sendo a comunicação à distância um das áreas com os maiores desenvolvimentos tecnológicos. Na actualidade, os principais meios de comunicação são: telemóvel, televisão e Internet.
Todas estas formas de comunicação necessitam de uma rede física para serem implementadas, no caso de um sistema em fibra óptica é possível dividir a sua rede em 3 partes: o transmissor, onde é gerada a informação que será colocada num meio de comunicação, tipicamente um troço de cabo, que é responsável pela transmissão da informação por troços que podem ter curtas ou longas distâncias conforme o tipo de comunicação em causa. No caso de longas distâncias existe a necessidade de amplificação do sinal, a transmissão será o foco principal deste projecto, e neste também será estudada a comutação fotónica de sinal entre fibras ópticas que pode ser uma ferramenta importante no futuro das comunicações ópticas. E por último a informação é recolhida no receptor no fim da ligação.
O meio de comunicação mais usado em redes físicas no mundo neste momento é a fibra óptica, sendo poucas as redes que não são totalmente em fibra óptica e mesmo nessas a tendência é para serem completamente constituídas por este material no futuro. Neste trabalho será estudado o comportamento de vários sinais ao longo da sua propagação pela fibra óptica.
2
1.2-Perspectiva histórica
Em 1854, John Tyndall realizou as primeiras experiências relacionadas com condução de luz através da água. Em 1880, Alexander Graham Bell inventou o “fotofone” transmitindo sinais de voz através de um feixe de luz, obviamente este tipo de transmissão apresentava muitos problemas com interferência no sinal.[9][10]
Alguns anos mais tarde foi desenvolvido por William Wheeling um método denominado canal de luz, com este método através do uso de espelhos era possível distribuir luz em várias direcções usando apenas uma fonte. Esta teoria fracassou devido ao aparecimento da lâmpada desenvolvida por Thomas Edison.
Apenas em meados do Seculo XX se voltou a falar do uso de tecnologias ópticas como hipótese a considerar na transmissão de informação. Em 1950 foi desenvolvido o primeiro sistema com uso de fibra de vidro neste caso para transmissão de imagens.
Em 1956, o termo fibra óptica foi definido como um meio físico de transmissão em que a informação é transportada sob a forma de impulsos de luz. Apesar do desenvolvimento desta tecnologia, as primeiras experiências não foram bem-sucedidas devido as elevadas perdas existentes limitando o seu uso a curtas distâncias. Estes problemas foram minimizados com a introdução da bainha da fibra, camada exterior ao núcleo que permitia concentrar a luz neste reduzindo deste modo significativamente as perdas.
Outro avanço importante para o uso de transmissão óptica foi a invenção, em 1957, do Laser (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation), sendo este dispositivo uma fonte intensa de luz que produz radiação electromagnética monocromática (frequência bem definida) e coerente (fases bem definidas).
Em 1966, Kao e Hockman publicaram uma proposta de utilização de fibras ópticas como meio de transmissão do sinal óptico proveniente de um laser, no caso de se obter atenuações inferiores a 20dB/km. Infelizmente os resultados obtidos neste estudo revelaram que em grande parte devido as impurezas no vidro usado as atenuações eram na ordem dos 1000dB/km.
Com a evolução no fabrico de fibras ópticas conseguiu-se produzir em 1970, na empresa Corning Glass Works, uma fibra monomodal com a atenuação de 16 dB/km funcionando no comprimento de onda dos 633 nm.
Nas últimas décadas surgiram varias gerações de sistemas de comunicações por fibra óptica: a primeira, na década de 1980, usava fibras monomodais que operavam na primeira janela (800-900 nm), com débito binário de 45 MB/s e espaçamento entre repetidores de 10 km.
3
A segunda geração, ano de 1987, operava na segunda janela (1260-1360 nm), nessa janela a atenuação é inferior a 1 dB/km e a dispersão é mínima. Esta geração continuava a usar fibras monomodais, conseguindo débitos na ordem dos 1.7 GB/s com os repetidores espaçados em 50 km.O primeiro cabo submarino em fibra óptica foi instalado em 1988 com o nome TAT-8 (Transatlantic Telecommunication Cable), operava nos 1.3 m com repetidores a cada 70 km, este sistema tinha um debito binário de 0.28 Gb/s.
Em 1990 surge a terceira geração de sistemas de comunicação por fibra óptica (por exemplo usado no cabo submarino TAT-9) a operar na terceira janela (1500-1600 nm), com débitos binários até 10 Gb/s.
Um dos problemas desta geração de sistemas de comunicação prendia-se com a necessidade de repetidores a cada 70 quilómetros, os repetidores usados conhecidos por repetidores 3R’s tinham as seguintes funções: regeneração da amplitude do sinal (rescaling), regeneração da forma do impulso (reshaping) e regeneração temporal (retiming). De forma a minimizar a necessidade de passagem para o domínio electrónico inerente ao usa de repetidores foi muito importante o aparecimento dos amplificadores ópticos, este permitem a amplificação do sinal no domínio óptico permitindo a entrada dos sistemas de comunicação por fibra óptica na era da fotónica. O amplificador óptico que mais se destacou nesta geração foram as fibras amplificadoras dopadas, com destaque para as EDFA’s (erbium doped fiber amplifiers) que permitiram o aumento do espaçamento entre repetidores para 60-100 km.
A quarta geração utiliza amplificação óptica para aumentar o espaçamento entre amplificadores, transparência e multiplexagem no comprimento de onda (WDM), tornando-se deste modo na primeira geração verdadeiramente fotónica. Em 1996 apareceram os primeiros cabos submarinos a dar uso a essa tecnologia (TPC-5 Trans-Pacific Cable), utilizavam EDFA para amplificação e operavam a 1.55 m chegando aos débitos de transmissão na ordem dos 5.30 GB/s. Na actualidade os sistemas em uso são de quarta geração e devido ao uso de técnicas de WDM consegue atingir débitos na ordem dos terabits por segundos.
O próximo passo tecnológico será a chegada da quinta geração de sistemas de comunicações onde o principal problema a combater será a dispersão do sinal, uma vez que o problema com as perdas foi resolvido com a introdução de amplificadores ópticos. Para debelar este problema são consideradas vários tipos de soluções: compensação de dispersão- através do uso de pré-compensação e pós-compensação nos sistemas já existentes; gestão de dispersão- projecção de novos sistemas; sistemas com solitões- largamente abordados nesta tese de dissertação e uma solução com muito potencial para ser o passo revolucionário para a quinta geração.
4
1.3-Objectivos
O objectivo desta dissertação será o estudo sistemas de comunicações por fibra óptica. Será analisada a propagação de um sinal ao longo do seu percurso pela fibra, sendo observado o comportamento tanto em regime linear como em regime não-linear.
A propagação de um sinal em regime linear será estudada tendo por base a equação fundamental de propagação de um impulso, sendo enunciado o método de resolução numérica que permite a simulação do comportamento do impulso ao longo da fibra, através deste método será possível aferir a influência da velocidade de grupo na dispersão temporal verificada na propagação dos vários tipos de impulsos simulados. Será estudado também o seu efeito no débito binário obtido no final da fibra.
Será também analisada a propagação em regime não-linear. Onde será deduzida a equação de propagação neste regime, será também estudado o equilíbrio existente entre a Auto-Modulação de Fase (AMF) e a Dispersão de Velocidade de Grupo (DVG) que permite a propagação de solitões pela fibra óptica. No caso do regime não-linear será usado outro método de análise numérica (Split Step Fourier Method - SSFM) que permite a simulação de solitões ao longo da fibra. Através deste modo serão analisados os comportamentos do solitão fundamental, solitões de segunda e de terceira ordem e o impulso gaussiano. Para finalizar será estudado o comportamento dos solitões quando interagem entre si e o caso do solitão médio.
Por último será analisada comutação fotónica de informação em sistemas de comunicação por fibra óptica, para esse objectivo serão identificados os coeficientes de transmissão do acoplamento de duas fibras através da matriz de acoplamento, sendo observado o comportamento dos coeficientes para um acoplador half-beat. Será estudada a comutação em regime linear sendo para isso criada uma análise numérica que permite estudar esse fenómeno. Como passo seguinte será também estudado o comportamento em regime não-linear, sendo deduzidas as equações não lineares de acoplamento e um novo método de cálculo dos coeficientes de transmissão das duas fibras. Será abordada no final a influência da dispersão intermodal na comutação de solitões de forma a determinar a possibilidade da mesma ser desprezável.
5
1.4-Estrutura
Esta dissertação de mestrado encontra-se estruturada da seguinte forma de acordo com os objectivos pretendidos e enunciados anteriormente:
Capitulo 1: Neste capítulo para além da estrutura aqui discutida é feito o enquadramento ao
tema que dá relevância para a perspectiva histórica que fundamenta o estudo deste tema. São ainda identificados os objectivos propostos para este trabalho e enumeradas as principais contribuições identificadas no relatório final.
Capitulo 2: No segundo capítulo será abordada o tema da propagação de impulsos em regime
linear. Para esse efeito é formulada a equação de propagação de impulsos e deduzido o modelo com o qual é possível simular o comportamento de um impulso influenciado pelo fenómeno de dispersão de velocidade de grupo ao longo de uma fibra. São efectuadas simulações de comportamento de diversos impulsos em condições ideias. É também estudado a influência da dispersão de velocidade de grupo no débito binário do sinal.
Capitulo 3: No terceiro capítulo é realizado o estudo da propagação de impulsos em regime
não-linear, mais concretamente o estudo dos solitões. É deduzida a equação de propagação em regime não linear e descrito o efeito óptico de Kerr. Através do método Split-Step Fourier (SSFM) usado de forma iterativa são simulados o comportamento dos solitões a propagarem-se pela fibra individualmente assim como a interacção entre solitões na mesma fibra. É também estudado o comportamento do solitão médio.
Capitulo 4: Neste capítulo é estudada a comutação de impulsos a propagarem-se em fibras de
núcleos idênticos e paralelos, são calculados os coeficientes de transmissão entre as duas fibras, para isso são deduzidas as equações de acoplamento em regime linear. É também abordada a comutação fotónica em regime linear, sendo estudada uma forma alternativa de cálculo dos coeficientes de transmissão. Também é estudada a forma como a dispersão intermodal afecta a comutação de solitões.
Capitulo 5: No último capítulo foi reservado para as conclusões da tese assim como as
6
1.5-Contribuições Principais
As principais contribuições ao nível dos sistemas de comunicação por fibra óptica apresentadas nesta tese são as seguintes:
Capitulo 2: Estudo do comportamento de diversos impulsos sobre o efeito do fenómeno da
dispersão temporal, análise do débito binário possível dependendo do valor do parâmetro chirp.
Capitulo 3: Dedução do método iterativo para estudo do comportamento de solitões (SSFM),
estudo da interacção entre solitões e do solitão médio.
Capitulo 4: Dedução dos coeficientes de acoplamento e seu estudo, caracterização da
comutação fotónica em regime linear e não linear. Estudo da influência da dispersão intermodal na comutação de solitões.
7
CAPITULO 2- PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS EM
REGIME LINEAR
2.1-Equação de propagação em regime linear
Por forma a estudar o efeito da dispersão na propagação de um sinal pela fibra óptica será estudada a propagação de um impulso numa fibra monomodal em regime linear.
Deste modo importa explicar em que consiste a dispersão, esta consiste no alargamento temporal do impulso quando este se propaga pela fibra. Esta dispersão provoca interferência entre os símbolos que se propagam, dificultando deste modo a recuperação do sinal emitido pelo laser. [4]
Existem diversos tipos de dispersão, entre os quais dispersão de velocidade de grupo (DVG), da polarização e material. Importa então deduzir a equação que regula a propagação de um impulso.
Seja um impulso à entrada da fibra óptica, .
̂ (2.1)
Com
(2.2)
Onde , é a frequência angular de uma portadora modulada pelo impulso e como é possível observar na expressão (2.1) o campo eléctrico está polarizado segundo x e a amplitude deste campo.
Visto estar na presença de um regime monomodal, representa a variação do modo fundamental .[1]
Sendo com , a coordenada transversal tem-se
{
( )
( )
(2.3)
Onde é o raio do núcleo da fibra óptica, nesta equação considera-se ainda as seguintes constantes normalizadas: é a constante de propagação transversal no núcleo e a constante de atenuação na bainha. Estas constantes adimensionais estão relacionados por
8
(2.4)
Sendo
√ (2.5)
Em que é o índice de refracção do núcleo, o índice de refracção na bainha e
é a constante de propagação no vácuo.
Para calcular o campo eléctrico num ponto qualquer da fibra, vai-se calcular a transformada de Fourier do campo no ponto inicial. Tendo
̃ ∫ (2.6) ̃ ∫ (2.7)
Sendo as transformadas inversas correspondentes
∫ ̃ (2.8) ∫ ̃ (2.9)
Então a solução de Fourier da equação (2.2) será
̃ ̃ (2.10)
Onde
̃ ∫
̃
(2.11)
Num ponto qualquer da fibra teremos então
̃ ̃ (2.12)
9
Onde é a constante longitudinal do modo fundamental. Então nesse ponto o campo eléctrico será(2.14)
Usando a transformada inversa de Fourier na equação (2.13)
∫ ̃
(2.15)
Substituindo na equação , sendo este o desvio de frequência em relação à portadora, temos
∫ ̃
(2.16)
O calculo deste integral que seria bastante complicada pode-se neste caso ser simplificado através do uso do desenvolvimento em série de Taylor de que é dado por
(2.17)
Onde é a constante longitudinal no ponto e representa os termos de ordem superior da serie e é assim igual a
∑
(2.18)
Pode-se então escrever
(2.19)
∫ ̃
(2.20)
Importa realçar que ) é uma função lentamente variável no tempo e uma função rapidamente variável no tempo. Tem-se | | logo ) varia com uma frequência bastante menor que ).
Os coeficientes representam
|
10
Sendo assim para e temos
(2.22) | (2.23)
Sendo o coeficiente da dispersão da velocidade de grupo (DVG) e a velocidade de grupo representada por
( )
(2.24)
Assim o campo eléctrico num ponto qualquer da fibra será dado por
(2.25)
Neste ponto é necessário calcular , e esse objectivo é conseguindo através de ∫ ̃ (2.26) (2.27) Da equação (2.20) ∑ (2.28) E tem-se que ∫ (2.29) ∫ (2.30) ∫ (2.31)
11
∫
(2.32)
Obtêm-se assim a equação geral
(2.33)
Considerando a existência de perdas na fibra
∑
(2.34)
Onde é o coeficiente de atenuação da fibra em questão.
Pode-se então calcular a partir de através da seguinte equação diferencial linear ∑ (2.35)
Voltando as coeficientes de ordem superior da serie de Taylor anteriormente calculada é razoável considerar
(2.36)
E desprezando os termos de ordem superior, isso é possível porque os impulsos são de banda estreita.
Considerando então apenas essas termos a equação diferencial reduz-se a
(2.37)
No caso de não se considerarem perdas, ou seja para se calcular deverá seguir-se os seguintes passos
∫ ̃ (2.38) ̃ ̃ (2.39) ∫ ̃ (2.40)
12
2.2-Resolução numérica
Para a simulação da propagação de impulsos em regime linear irá se recorrer ao MATLAB e a função FFT (Fast Fourier Transform), deste modo será possível verificar o comportamento de diferentes tipos de impulsos numa fibra óptica monomodal.
Desprezam-se os efeitos da atenuação e dispersivos de ordem superior, ou seja, para .
Assim no domínio de Fourier apenas se considera
Que tem como solução
(2.42) Tendo assim ∫ ̃ (2.43) Ou seja (2.44)
Deste modo é possível concluir que na ausência de de ordem superior o impulso propaga-se sem dispersão e tem como velocidade de grupo
(2.45)
Mas o desprezo dos ’s de ordem superior não é aceitável em situações praticas. Se definirmos o atraso de grupo como
(2.46)
Desta forma a equação (2.44) fica
(2.47)
É costume definir-se ainda o comprimento de dispersão como
| |
(2.48) ̃
̃
13
Onde é o tempo característico da duração de impulso e é o coeficiente da dispersão da velocidade de grupo.2.2.1-Normalização de variáveis: espaço e tempo
Usando as seguintes normalizações tanto no espaço como no tempo
(2.49)
(2.50)
Ao passarmos as variáveis reais para variáveis normalizadas temos (2.51) E (2.52)
Para cálculo da nova equação (2.37) neste domínio temos
( ) ( ) ( ) (2.53) ( ) ( ) (2.54) Substituindo na equação (2.55)
Multiplicando todos os factores por
14
Uma vez que | | temos
| | | | | | (2.57) Onde | | (2.58) | | | | (2.59)
Sendo o coeficiente de dispersão de ordem superior. A forma geral da equação será então
(2.60)
Usando também a frequência normalizada
(2.61)
Temos então duas novas equações de Fourier
̃ ∫ (2.62) ∫ ̃ (2.63)
Então a equação de (2.53) no domínio da frequência escreve-se ̃
[ ] ̃
(2.64)
Que tem a solução
15
Deste modo para a resolução numérica da equação (2.63) basta(i) ̃ [ ]
(ii) ̃ ̃ [ ] (iii) [ ̃ ]
16
2.3 Simulação em Matlab
2.3.1-Impulso Exponencial
O primeiro impulso que irá ser estudada será o impulso exponencial definido pela
seguinte expressão:
(
) [
] (
) [
]
(2.66)
Tendo como parâmetros da fibra: , , e . Assim teremos visto que | |
Figura 2.1-Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra óptica.
A figura acima apresenta a amplitude do impulso no tempo, neste é representado o impulso no ponto inicial da fibra e no fim da mesma. Como seria de esperar a amplitude diminui e ocorre também a dispersão do impulso temporalmente, esta dispersão numa fibra monomodal pode ser causada por diversos factores mas neste caso é simulada a dispersão da velocidade de grupo (DVG). Esta dispersão verifica-se devido ao facto das componentes
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso Exponencial Tempo A m p lit u d e Impulso Inicial Impulso Final
17
espectrais terem diferentes velocidades. Deste facto resulta o alargamento do impulso que é visível na figura. O mesmo efeito pode ser verificado nos gráficos em três dimensões das duas figuras abaixo.
Figura 2.2-Evolução do impulso exponencial no tempo e ao longo da fibra (3D).
Figura 2.3-Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso exponencial.
Na figura 2.3 pode-se observar a evolução das componentes espectrais ao longo da fibra, estas mantêm as suas características uma vez que estamos a trabalhar em regime linear.
18
2.3.2-Impulso gaussiano
A forma geral para um impulso supergaussiano é a seguinte:
( )
(2.67)
Onde C representa o parâmetro de chirp do impulso e m representa a rapidez com que o impulso chega ao seu máximo. Se considerarmos um valor de m=1 estamos na presença de um impulso gaussiano.
( ) (2.68)
Tendo neste impulso o m=1 e C=0 temos
Figura 2.4- Impulso gaussiano à entrada e à saída da fibra óptica.
-30 -20 -10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso Gaussiano Tempo A m p lit u d e Impulso Inicial Impulso Final
19
Figura 2.5-
Evolução do impulso gaussiano no tempo e ao longo da fibra (3D).20
2.3.3-Débito binário
O alargamento dos impulsos devido à dispersão tem como consequência a limitação do débito binário permitido na fibra, uma vez que este encontra-se condicionado pela interferência inter-simbolica.
O alargamento dos impulsos depende de vários factores: a largura espectral do laser semicondutor, a largura inicial dos impulsos e a dispersão (com preponderância para a dispersão da velocidade de grupo).
Assim importa calcular a largura efectiva do impulso
[〈 〉 〈 〉 ] (2.69)
Onde os momentos são obtidos por
〈 〉 ∫ | | ∫ | |
(2.70)
Sendo A(z,t) é a envolvente do impulso que se propaga na fibra que é definido por (2.71) Onde é a frequência da portadora e é a constante transversal de propagação. A largura espectral normalizada de fonte pode ser definida por
(2.72)
Onde é a largura espectral efectiva da fonte (RMS), esta largura pode ser descrita da seguinte forma
(2.73)
Uma vez que
| |
(2.74)
Para impulso gaussianos temos então a seguinte expressão para o alargamento dos impulsos
21
( ) () ( ) ( )
(2.75)
Onde C é o parâmetro de chirp do impulso e L o comprimento da fibra óptica.
Quando se despreza o efeito da dispersão de ordem superior ( =0) e considerando (uma aproximação razoável para um laser monomodal de com pequena largura espectral) então esta equação fica resumida a
( ) (
) ( )
(2.76)
Figura 2.7-Evolução da largura dos impulsos ao longo da fibra.
O critério usado para evitar a interferência inter-simbolica consiste em garantir que
(2.77)
Onde é o bit slot sendo deste modo o debito binário igual a . O débito binário pode também ser definido como
(2.78)
22
(2.79)
É o coeficiente de alargamento dos impulsos.
Definindo | | | | podemos resolver em ordem a a equação (2.76)
(2.80) √ (2.81) E deste modo √ (2.82)
23
2.3.4-Impulso supergaussiano
Para simular o impulso supergaussiano considera-se o valor de m=3 e C=0, não
estando assim o impulso sobre a influência de chirp, sendo assim agora o impulso inicial
( ) (2.83)
Em relação a simulação anterior foi alterado o valor de para um valor no qual os
efeitos dispersivos sejam mais facilmente identificáveis.
Assim e deste modo
=2.24
Figura 2.10-
Evolução do impulso supergaussiano no tempo e ao longo da fibra (3D).Figura 2.11-
Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano.O impulso supergaussiano (C=0) sofre uma maior dispersão do que o impulso
exponencial, este impulso sofre um maior alargamento temporal devido à existência de uma
maior interferência entre frequência próximas que levará a uma maior interferência
inter-simbolica e consequentemente ao maior alargamento verificado.
25
2.3.4.1-Influencia do chirp
De forma a se verificar o efeito do parâmetro chirp na propagação do impulso irá agora
alterar-se o valor de C.
Então para C=2 temos a expressão
( ) (2.84)
Figura 2.12-
Impulso supergaussiano (C=2) à entrada e à saída da fibra óptica.26
Figura 2.14-
Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano (C=2).Uma conclusão importante que importa referir é a seguinte, sabendo que
(2.85)
Tendo em conta esta condição então
, assim teremos a velocidade de grupo a
depender linearmente da frequência
Figura 2.15- Relação entre a velocidade de grupo e a frequência.
Um impulso gaussiano na presença de efeito de chirp é representado pela seguinte
expressão
( )
( )
( ) (2.86)
Tendo
( )
teremos então
(
)
.
27
(2.87)
Para um teremos então a seguinte relação
(2.88)
Se tivermos um
, (caso em estudo neste exemplo) teremos numa
situação em que o efeito do chirp levará a uma compensação da dispersão da velocidade de
grupo por parte da efeito de chirp, este efeito é visível na fase inicial do impulso sendo o
alargamento do impulso contrariado pela presença de chirp positivo. Como é óbvio este efeito
está limitado a uma distância curta próximo da entrada da fibra, dai para a frente a DVG
torna-se de novo dominante, e como torna-se demonstrou, o alargamento dos impulsos é superior ao
existente num impulso sem chirp.
Para C=-2 temos o impulso inicial
( ) (2.89)
28
Figura 2.17-
Evolução do impulso supergaussiano (C=-2) no tempo e ao longo da fibra (3D).Figura 2.18-
Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso supergaussiano (C=-2).Como seria de esperar comparando com o impulso com chirp positivo, este impulso
com um chirp de valor negativo leva a um agravamento do fenómeno de dispersão de
velocidade de grupo (DVG), aumentando todos os problemas relacionados com esse
fenómeno.
29
2.3.5-Impulso secante hiperbólica
Este impulso é importante de estudar uma vez que será mais tarde usado no estudo de
solitões.
A equação deste impulso será
(
)
( ) (2.90)Com um parâmetro de chirp nulo.
Figura 2.19-
Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra óptica.30
Figura 2.21-
Evolução na frequência ao longo da fibra do impulso secante hiperbólica.Tal como no impulso gaussiano é possível ver a atenuação do impulso devido a dispersão do sinal uma vez que não existe atenuação do sinal, como seria de esperar ocorre um alargamento do sinal com a distancia percorrida uma vez que a energia total do sinal mantem-se inalterada.
31
CAPITULO 3- PROPAGAÇÃO DE IMPULSOS EM
REGIME NÃO-LINEAR
Apesar da existência de estudos sobre solitões anteriores apenas na década de 90 se começou a considerar atractivo o seu uso para modulação nos sistemas de comunicações ópticas.
Uma onda é considerada um solitão quando se propaga no tempo sem alterações de forma e imune a colisões, o que ocorre é um equilíbrio entre os efeitos dispersivos (que levam a um decréscimo de amplitude e alargamento da largura do impulso) com os efeitos não lineares (compressão da largura e aumento de amplitude).
A primeira que se considerou esta possibilidade foi em 1973 quando Hasegawa e Tappert idealizaram a utilização de solitões em comunicações ópticas através de uma demonstração onde defendiam que estes se propagariam de acordo com equação de Schrödinger.[2]
Na propagação em fibra óptica este compromisso é atingido entre a dispersão de velocidade de grupo (DVG) e a Auto-Modulação de Fase (AMF). Em separado os dois efeitos comprometerem a integridade do impulso. No entanto é possível, na região anómala de dispersão e na ausência de perdas, estes trabalharem em conjunto de forma a manter inalterada a forma do impulso.
3.1-Equação de propagação em regime não-linear
Considerando o termo não-linear na equação de propagação de impulsos este dá origem à equação
| |
Sendo esta a equação não-linear de Schrödinger (NLS) que descreve a propagação de um impulso óptico sobre o efeito das perdas, da dispersão de velocidade de grupo e da não linearidade da fibra.
Para valores de negativos estamos na zona de dispersão anómala e deste modo é possível a propagação de solitões.
32
Para descrever o solitão será considerado que a fibra óptica não tem perdas, e tal como no regime linear serão também desprezados os efeitos de dispersão de ordem superior, a equação fica então
| |
(3.2)
Fazendo a mesma mudança de variáveis já utilizada para o regime linear
(3.3) (3.4) Então teremos ( ) ( ) ( ) ( )
Substituindo na equação de propagação
| |
(3.5)
Tendo em conta que | | e | | | | (3.6) Considerando ainda e √ | | (3.7)
33
3.2-Efeito óptico de Kerr
O efeito de Kerr designa a variação do índice de refracção de um material devido ao campo aplicado nele. O efeito óptico de Kerr refere-se a variação do índice quando ocorre a interacção da luz com o material. Este fenómeno é responsável pelo fenómeno de auto-modulação de fase (AMF).[3]
Sendo a constante de propagação linear dada por
̅ (3.8)
Onde ̅ é o índice de refracção modal e é a constante de propagação no vácuo. No plano transversal (x,y) o índice de refracção da fibra relaciona da seguinte forma
(3.9)
Com a constante dieléctrica relativa ( ).
No regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever
[ ] (3.10)
Que em coordenadas rectangulares fica
(3.11)
Na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico admite-se que ̂ (3.12) Considerando (3.13) Onde (3.14)
Em que é a frequência angular da portadora e F(x,y) a função modal. Importante também relembrar que a função B(z,t) é de variação rápida e A(z,t) é de variação lenta.
34
Perturbando a constante dieléctrica de tal forma que
(3.15)
Sendo a nova constante de propagação longitudinal
(3.16) Em que 〈 〉 〈 〉 (3.17) Usando a notação 〈 〉 ∫ ∫ (3.18)
De acordo com a equação (3.9)
(3.19)
A equação (3.17) pode ser escrita
〈 〈 〉〉 (3.20)
Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que
| | (3.21)
Onde é um campo fictício introduzido tal que
| | | | (3.22)
Sendo [ ] representa a intensidade óptica uma vez que é uma admitância apropriada.
Assim têm-se
35
Admitindo então, que| | (3.24) Conclui-se da equação (3.20) 〈 〉 〈 〉| | (3.25)
Introduzindo uma nova amplitude
√〈 〉 (3.26)
Assim a equação (3.25) será então
| | (3.27)
Em que
(3.28)
Onde é a área efectiva dada por
〈 〈 〉〉 (∫ ∫ ) ∫ ∫ (3.29) Na aproximação gaussiana ( ) (3.30)
Deste modo e assim
36
3.3-Auto-modulação de fase
Os impulsos que se propagam numa fibra óptica estão sujeitos a efeitos não-lineares, ou seja a resposta varia com a sinal à entrada do sistema.
Deste modo para campos electromagnéticos de elevada intensidade, os materiais sujeitos a estes campos comportam-se de forma não-linear, desta forma os índices de refracção da fibra vão variar com a potência óptica dos lasers.
Assim os índices de refracção do núcleo (1) e da bainha (2) são
̅ (3.32) ̅ (3.33)
Onde ̅ é o coeficiente do índice não-linear, a potência óptica e a área efectiva do campo.
Deste modo também a constante de propagação está dependente da potência óptica
̅ (3.34) Igualando ̅ ̅
, a fase não-linear será dada por
∫ (3.35) Com então ∫ ( ) [ ] (3.36) Onde ( ) [ ].
A esta fase gerada pelo efeito de Kerr dá-se o nome de auto-modulação de fase (AMF), uma vez que é um fenómeno auto induzido.
O desvio da frequência provocada pela AMF é dada por
37
Assim ocorre o desvio para o vermelho na frente do impulso
(3.38)
E o desvio para o azul na cauda do impulso
38
3.4-Solitão fundamental
A equação NLS apenas tem solução em alguns casos específicos, nestes casos é possível utilizar o método inverse scattering transform (IST).Deste modo conclui-se que é solução desta equação não linear diferencial um impulso dado por
(3.40)
A propagar-se numa fibra a operar na região anómala o impulso mantem a sua forma inicial quando N=1, este caso designa-se por solitão fundamental onde a equação de propagação fica então
| |
(3.41)
Esta equação diferencial pode então ser resolvida assumindo uma solução do tipo
(3.42)
Deste modo substituindo na equação (3.41)
( )
(3.43)
Uma vez que V é independente de e a fase depende de mas é independente do tempo.
Nestas condições a função satisfaz a equação diferencial. A fase é então descrita .
(3.44)
Multiplicando por ( ) e integrando em ordem a temos
(
)
(3.45)
Aplicando as condições de fronteira em que V e
são iguais a 0 quando , C=0.E a condição de pico ocorre para sendo V=1 e .
39
Conhecendo os valores de C e de K é possível obter a solução para a equação (3.45) e integrando têm-se(3.46)
Finalmente substituindo todos os valores obtidos na equação (3.42) obtêm-se a equação do solitão fundamental será dada por
(3.47)
Pode-se observar que o impulso apesar de sofrer um desvio de fase de mantem a sua amplitude durante a propagação pela fibra óptica. Fica então demonstrado que os efeitos da dispersão de velocidade de grupo e da auto-modulação de fase se compensam mutuamente. Isto acontece devido ao facto de desprezarem-se as perdas.
40
3.5-Método Split Step Fourier (SSFM)
Para a simulação em Matlab do regime não linear será usado o método Split Step Fourier, este é o método mais usado para resolver as equações não lineares que modelam a propagação de impulsos em fibra óptica.
Considerando a equação de propagação
| |
(3.48)
Que pode ser escrita na forma
(3.49)
Com as seguintes variáveis definidas por
(3.50)
| | (3.51)
O impulso inicial definido por
(3.52)
Para explicar a propagação do impulso é considerado um passo longitudinal assim o impulso fica
(3.53)
O método SSFM consiste em dois passos consecutivos
(3.54)
(3.55)
Substituindo na equação (3.54)
| | (3.56)
41
̃ ∫
(3.57)
No domínio de Fourier temos a função
̃ ̃ (3.58)
Tendo neste domínio
(3.59)
Substituindo na equação (3.58)
̃ ̃ (3.60) Obtendo através da transformada inversa
∫ ̃
(3.61)
Este método é um processo iterativo e os seus passos estão sintetizados no diagrama
de blocos apresentado abaixo:
42
3.6-Simulações
3.6.1-Solitão fundamental
(3.62)
Figura 3.2-Solitão fundamental (vista 3D).
Pela observação do gráfico é possível verificar que o impulso mantem a sua forma ao longo da propagação pela fibra, não ocorrendo qualquer alteração na amplitude e largura do impulso, é possível então verificar que a DVG é totalmente compensada pela AMF.
43
3.6.2-Solitão de segunda ordem
(3.63)
Figura 3.3-Solitão de segunda ordem (vista 3D).
No caso do solitão de segunda ordem as características do impulso variam ao longo da propagação pela fibra.
Apesar desta variação periodicamente o impulso volta a sua forma inicial, neste caso o período do solitão é , a meio do período do solitão este tem um pico de amplitude e, como seria de esperar de acordo com o principio da conservação de energia, ocorre um estreitamento do impulso.
44
3.6.3-Solitão de terceira ordem
(3.64)
Figura 3.4-Solitão de terceira ordem (vista 3D).
Com características semelhantes ao solitão de segunda ordem, o período neste caso é metade daquele observado no solitão de segunda ordem, de restos as sua características são semelhantes. É possível observar que tanto neste caso como no solitão de segunda ordem é visível que a AMF e DVG não se compensam.
45
3.7-Interacção entre solitões
A interacção de entre solitões é uma situação que importa estudar uma vez que os impulsos não se propagam isoladamente pela fibra mas em sequência.
Para se analisar a interacção entre solitões no mesmo canal, ou seja com a mesma portadora, deve-se considerar como entrada o sinal
[ ] (3.65) Onde é metade da separação temporal normalizada entre solitões, é a relação de amplitude entre os solitões e a diferença de fase entre solitões. A distância de propagação normalizada usada foi .
Serão analisados diversas exemplos variando , e de forma a estudar o comportamento dos solitões .
46
3.7.1-1ºcaso: =0, =1 e
=3.5
Figura 3.5-Interacção entre solitões (vista 3D do primeiro caso).
Neste caso os dois solitões estão em fase e têm a mesma amplitude, pode-se concluir que periodicamente os solitões se sobrepõem originando picos de amplitude. Entre o período de sobreposição os solitões adquirem forma independente voltando depois a se atraírem periodicamente.
Em termos de telecomunicações, esta não é uma boa solução, uma vez que se pode perder informação, é possível ocorrer uma má interpretação do sinal nas zonas de sobreposição dos solitões.
47
3.7.2-2ºcaso: =0, =1 e
=6
Figura 3.7-Interacção entre solitões (vista 3D do segundo caso).
Nesta simulação é possível verificar que com esta separação entre os solitões não ocorre qualquer interacção entre eles, deste modo é possível a leitura sem erros da informação contida no impulso.
Figura 3.8-Interacção entre solitões (vista superior do segundo caso).
48
3.7.3-3ºcaso:
, =1
Figura 3.9-Interacção entre solitões (vista 3D do terceiro caso).
Considerando uma desfasagem de e a mesma amplitude dos sinais, ocorre uma aproximação dos sinais inicial mas depois a distancia entre os solitões aumenta à medida que estes se propagam pela fibra.
49
3.7.4-4ºcaso:
, =1
Figura 3.11-Interacção entre solitões (vista 3D do quarto caso).
Com um aumenta da desfasagem entre os solitões ( ) ocorre também um aumento do distanciamento entre solitões à medida que estes se propagam pela fibra.
As soluções com desfasagem entre solitões não se apresentam como viáveis uma vez num sistema real este afastamento progressivo dos sinais poderá originar interferência entre símbolos (ISI).
50
3.7.5-5ºcaso: , =1.1
Figura 3.13-Interacção entre solitões (vista 3D do quinto caso).
Neste exemplo em que não existe desfasagem mas os sinais tem amplitudes diferentes, os gráficos permitem verificar que os solitões não convergem nem se afastam indefinidamente. A variação na distância é tanto maior quanto maior é a diferença entre as amplitudes dos solitões.
Teoricamente esta será a solução mais adequada para implementar num sistema real.
51
3.8-Impulso gaussiano
Colocando o seguinte impulso gaussiano a propagar-se pela fibra
(3.66)
Figura 3.15-Impulso gaussiana à entrada e à saída da fibra óptica.
52
É facilmente observável que ao longo da propagação ocorre um alargamento temporal que atinge o seu máximo no final do comprimento da fibra da figura 3.15 ou seja para . Também a atenuação é crescente o que representa por consequência uma diminuição da amplitude do sinal, assim existe uma relação directa entre o alargamento temporal do espectro e a diminuição da amplitude do sinal, uma vez mais esse efeito deve-se ao princípio da conservação de energia.
Uma vez que a equação do impulso gaussiano não é periódica e como ocorre uma diminuição constante da amplitude do sinal esta solução não é viável como solitão, uma vez que não é possível voltar a obter os valores do sinal na entrada da fibra.
53
3.9-Solitão médio
As perdas não estão contabilizadas na equação NLS. Deste modo num sistema real não se propagam solitões, as soluções anteriormente estudadas só são possíveis quando não existem perdas, ou seja
Na existência de perdas existe a necessidade de amplificação óptica para propagação do sinal em longas distâncias, essa amplificação é tipicamente feita usando EDFA’s, apesar da existência de perdas e amplificação óptica periódica podem-se propagar solitões médios.
Na zona de dispersão anómala e desprezando a dispersão de ordem superior, obtemos a equação na forma
| |
(3.63)
Considerando a existência de amplificação de periódica
| | √ ∑
(3.64)
Onde é o numero total de amplificadores espaçados entre si e é o ganho de potencia dos amplificadores ópticos sendo igual a .
Para interpretar melhor a equação (3.64) vamos desprezar todos os efeitos à excepção da amplificação e apenas considerando o primeiro amplificador. Supondo também que o solitão tem fase nula temos
(√ )
(3.65)
Esta equação descreve o comportamento do impulso ao atravessar um amplificador, o somatório na expressão (3.64) aparece para incluir todos os incrementos de amplitude verificado nos amplificadores existentes no sistema.
Escrevendo a envolvente complexa normalizada do campo eléctrico como
(3.66)
Onde representa as variações rápidas de amplitude devido aos ciclos sucessivos de perdas e amplificação e representa o solitão médio, substituindo nas equações anteriores chegamos as duas seguintes equações diferenciais acopladas
