DOTAÇÃO DE CAIXA

Fortaleza - Ce 1994

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO,

ATUÁRIA E CONTABILIDADE - FEAAC CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS

MODELOS DE

DOTAÇÃO DE CAIXA

MARIA ALEXSANDRA NUNES FRAGA

MODELOS DE DOTAÇÃO DE CAIXA

Autora: Maria Alexsandra Nunes Fraga Orientador: Emílio Recamonde Capelo

Monografia apresentada para obtenção da graduação no Curso de Administração de Empresas da Universidade Federal do Ceará.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC

FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO, ATUÁRIA E CONTABILIDADE - FEAAC

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS FORTALEZA - CEARÁ

1994

Esta monografia foi submetida como parte dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Bacharel em Administração de Empresas, outorgado pela Universidade Federal do Ceará, e encontra-se a disposição dos interessados na Biblioteca da referida Universidade.

A citação de qualquer trecho dessa monografia é permitida, desde que seja feita de.conformidade com as normas da ética científica.

MARIA ALEXSANDRA NUNES FRAGA

Prof. EMÍLIO R CAMONDE CAPELO

Pr.'Mlor Mat.: 21,155

À DEUS

À MEUS PAIS

À MEUS IRMÃos

AGRADECIMENTOS

Durante os meses em que me dediquei à elaboração desta monografia, deparei-me com muitas dificuldades, que graças a meu esforço e dedicação consegui superar. Não menos importante foi o auxílio que recebi de várias pessoas, que indiretamente ou não, contribuiram para a conclusão deste trabalho, entre elas:

Meus pais e irmãos que me deram seu apoio incondicional, e por muitas vezes toleraram e compreenderam os incovenientes impostos;

o Professor Emílio Recamonde Capelo que dedicou-se a leitura deste trabalho em meio às suas inúmeras ocupações, além de sua orientação incomparável e única;

Os colegas e amigos que participaram de cada avanço e me ajudaram a superar os obstáculos;

Os funcionários do Departamento de Desenvolvimento Industrial-DESIN do Banco do Nordeste do Brasil S/A que me incentivaram a prosseguir mesmo diante das dificuldades;

Os integrantes da Probus Suporte Empresarial que sempre me receberam com educação e presteza.

Deus, que me orientou e guiou todo o tempo;

Todos aqueles a quem cabe parte do mérito que possa haver nesse trabalho, cujos nomes, eventualmente, não me recorde agora.

c

v

SUMÁRIO

Pág.

INTRODUÇÃO 01

1- MODELO DO CICLO DE ATIVIDADE 03

2 - MODELO DE BAUMOL 13

3 -

MODELO DE SASTRY

20

4 - MODELO DE BERANEK 29

4.1 - Definição dos Fatores de Decisão 31

4.1.1 - Comportamento e Magnitude dos Fluxos de Caixa... 31 4.1.2 - Retornos e Custos de Transação Associados com

os Papéis de Mercado 34

4.1.3 - Duração do Período de Planejamento do Saldo

de Caixa 35

4.1.4 - Tamanho do Saldo Mínimo Crítico 36

4.2 - Modelos de Certeza 37

4.3 - Modelos de Risco 39 4.3.1 - A Distribuição de Probabilidade do Saldo de Caixa 40 4.3.2 - A Função do Custo de Quebra de Caixa 45

4.3.3 - A Função Retomo 47

4.3.4 - Solução por Enumeração 48

4.3.5 - Análise para Um Único Período 51

4.3.6 - Solução para a Obtenção do Ponto Ótimo 55 5 - MODELO ESTOCÁSTICO DE MIL LER E ORR 57

6 - MODELOS ESTATÍSTICOS DE CAIXA 75

6.1 - Modelo Estatístico 1: Modelo das Entradas e Saídas Dependentes

sem Carry-over" 78

6.2 - Modelo Estatístico 2: Modelo das Entradas e Saídas Dependentes

com segregação do Excedente 82

6.3 - Modelo Estatístico 3: Modelo das Entradas e Saídas Independentes

sem "Carry-over" 86

6.4 - Modelo Estatístico 4: Modelo das Entradas e Saídas Independentes

com segregação do Excedente 89

6.5 - Resumo dos Modelos Estatísticos 91

7 - CONCLUSÃO. 95

8 - APÊNDICE. 98

9 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 116

LISTA DE FIGURAS

Pág.

CAPÍTULO 1

FIGURA 1.1 - ilustração da Diferença entre Ciclo Operacional e Ciclo

de Caixa . 05

CAPÍTULO 2

FIGURA 2.1 - Comportamento dos Estoques no Tempo 15

CAPÍTULO 3

FIGURA 3.1 - Demonstração do Modelo de Sastry 23

CAPÍTULO 4

FIGURA 4.1 - Classificação das Transações de Caixa nº 1 32 FIGURA 4.2 - Classificação das Transações de Caixa nº 2 33 FIGURA 4.3 - Caracterização das Possibilidades dos Fluxos de Caixa 34 FIGURA 4.4 - Distribuição Conjunta das Cobranças no Dia 10 41 FIGURA 4.5 - Distribuição Conjunta dos Recebimentos de Caixa 42 FIGURA 4.6 - Distribuição de Probabilidade das Drenagens Líquidas

de Caixa no Dia 10 43

FIGURA 4.7 - Função Quebra de Caixa Hipotética 47

FIGURA 4.8 - Gráfico da Função Retomo Líquido 48

FIGURA 4.9 - Solução do Modelo de Risco - Caso (a) 49

FIGURA 4.10 - Solução do Modelo de Risco - Caso (b) 50

CAPÍTULO 5

FIGURA 5.l - Comportamento dos Saldos de Caixa no Tempo 58 FIGURA 5.2 - Comportamento dos Saldos de Caixa no Modelo de Miller

e Orr 73

CAPÍTULO 6

FIGURA 6.l - Definição dos Modelos Estatísticos 76

FIGURA 6.2 - Curva Normal do Saldo Simples de Caixa 81

FIGURA 6.3 - Curva Normal do Saldo Acumulado de Caixa 85

FIGURA 6.4 - Curva Normal do Saldo Simples Independente 89

LISTA DE QUADROS

CAPÍTULO 4

QUADRO 4.1 - Distribuição Básica de Probabilidade do Saldo de Caixa

no dia 10 de Novembro 52

QUADRO 4.2 - Distribuição Básica de Probabilidade Deslocada para a

Direita em $2 53

QUADRO 4.3 - Resumo dos Valores dos Custos Líquidos Esperados

para cada Possível Saldo Inicial de Caixa 54

CAPÍTULO 6

QUADRO 6.1 - Valores Históricos do Caixa da Empresa XYZ para o

Modelo 1 79

QUADRO 6.2 - Valores do Caixa da Empresa XYZ para o Modelo 2 83

APRESENTAÇÃO

iÍ

o ^{estudo da} Administração de Caixa permite aos interessados uma multiplicidade de aspectos a serem explorados em uma pesquisa, assim sendo, o presente trabalho tentará mostrar alguns aspectos do

assunto Dotação de Caixa. .

Inicialmente, definiremos o conceito de Dotação de Caixa e os fatores considerados pelos modelos para o cálculo do seu valor. O capítulo 1 tratará de um modelo para o cálculo do valor da Dotação, considerando os aspectos relacionados com o ciclo de atividade da empresa. O capítulo 2 trará o desenvolvimento do Modelo de Bamnol que é baseado no modelo do lote econômico de administração de estoques.

No capítulo 3 é desenvolvido o Modelo de Sastry que generaliza o modelo de Bamnol e inclui custos não considerados no modelo apresentado no capítulo 2. O capítulo 4 resmne os principais aspectos apresentados por Beranek no desenvolvimento de modelos de certeza e de risco para a administração do saldo de caixa

O capítulo 5 trata do Modelo de Miller e Orr que foi desenvolvido com base na teoria do controle, e que nega alguns aspectos considerados pelo Modelo de Bamnol como o comportamento não-aleatório dos fluxos de caixa. Já o capítulo 6 trata do desenvolvimento de quatro Modelos Estatísticos de caixa que se diferenciam pela combinação de dois aspectos: 1) a dependência ou independência das entradas e saídas de caixa e 2) pela forma de se retirar o excedente de caixa. Por fim apresentaremos algmnas conclusões obtidas com o presente trabalho.

Gostaríamos de ressaltar que todos os erros existentes neste

trabalho deverão ser atribuídos unicamente à autora.

INTRODUÇÃO

A conta Caixa pode ser vista como o centro nervoso da'empresa, pois ela se interliga com praticamente todas as contas de seu Plano Contábil.

Com o Passivo ela se relaciona recebendo valores de novas fontes de financiamento e remunerando e amortizando esses créditos.

Com o Ativo ela intervém na aquisição de bens destinados ao uso e destinados à fabricação e às vendas, bem como comparece no processo de liquidação de todos os ativos, através dos mecanismos de recuperação de capital.

A Dotação de Caixa, por sua vez, é um certo montante de dinheiro que, ao ser colocado no Caixa no início do período de análise, permite à empresa pagar suas obrigações no prazo estipulado com uma probabilidade especificada de sucesso.

A idéia básica contida no conceito de Dotação de Caixa estabelece que o Caixa deve manter-se em equilíbrio ao longo do período de operação mencionado apenas com a entrada de um determinado montante - a Dotação de Caixa - não sendo a ele permitido acumular os "excedentes" (lucros e recuperações de capital) provenientes de operações bem sucedidas.

Com base neste conceito, serão desenvolvidos modelos para o cálculo da Dotação de Caixa. Estes modelos serão simplificações da realidade e se apoiarão em aspectos específicos relacionados com a empresa e com as outras características de sua Administração de Caixa

2

CAPÍTULO 1

MODELO DO CICLO DE ATIVIDADE

A administração de caixa tem como atribuição principal, manter a liquidez necessária para financiar as atividades normais da empresa. A empresa tem no saldo de caixa um valor que não lhe fornece nenhum retomo, mas é este valor que lhe dará o suporte necessário para enfrentar a incerteza associada às entradas e saídas de seu caixa.

Pode-se enumerar três motivos básicos que levam as empresas a manterem um determinado nível de caixa:

- motivo transação :o montante que deve ser destinado ao CaIXa decorrente deste motivo, justifica-se pela necessidade que a empresa tem de liquidar seus débitos nos prazos

estipulados a fim de manter as suas atividades normais;

- motivo precaução: a justificativa para se manter caixa por este motivo, reside no fato de que as empresas estão sujeitas a despesas imprevistas decorrentes da sua própria atividade.

O volume desse montante está diretamente ligado à flexibilidade da empresa para captar recursos nos momentos em que as mencionadas despesas ocorrerem, então quanto maior a flexibilidade menor será a necessidade de manter valores em caixa por este motivo; e

- motivo especulação: este motivo é explicado pelas possíveis oportunidades financeiras que o mercado possa vir a oferecer à empresa se esta dispuser de recursos sobrantes para aplicações especulativas.

Para se demonstrar a importância das estratégias para uma boa administração de caixa, é interessante definirmos os conceitos de ciclo e giro de caixa. O ciclo de caixa é o intervalo de tempo compreendido entre o ponto em que a empresa faz o desembolso para comprar matéria prima até o ponto em que o dinheiro das vendas é recebido pela empresa.

O giro de caixa é definido como o número de vezes que o caixa da empresa se reveza ou gira em um determinado período, um ano, por exemplo.

A Figura 1.1 demonstra a diferença entre o ciclo de carxa e o ciclo operacional de uma empresa, onde este é definido como o período que vai desde a emissão do pedido de compra da matéria prima até o recebimento das vendas.

Conforme o observado na Figura 1.1, podemos definir matematicamente o ciclo e o giro de caixa:

CC = !ME + PMC - PMP

onde, CC = ciclo de caixa

IME = idade média do estoque PMC = período médio de cobrança PMP = período médio de pagamento

GC= NDA

onde

CC '

GC =giro de caixa

NDA =número de dias do ano CC =ciclo de caixa

FIGURA 1.1

ilustração da Diferença entre Ciclo Operacional e Ciclo de Caixa

CICLO OPERACIONAL (oito meses)

Emissão do pedido

Recepção da m.prima comprada a prazo

Período médio Período de transporte da de pagamento matéria prima dos forneced.

Transporte da mat.prima

Pagamento Produção da

mat.prima

Armazenagem de produtos acabados

Venda Receb.

dos das

produtos vendas

Período de produção

Período de Período armazenagem médio de dos produtos cobrança

Período de estocagem das matérias primas

2 meses

I

^1mês

1 mês 1mês 1 mês

Idade média dos estoques

CICLO DE CAIXA (cinco meses) (Necessidade de Recursos)

Numericamente, baseados nos dados da Figura 1.1,teremos,

GC

150 d + 60 d - 60 d

=

150 dias 360 = 2 4

150 '

CC

Para determinar a Dotação de Caixa de uma empresa, segundo o seu ciclo de atividade, deve-se aplicar a seguinte fórmula:

DC=-- DTA

onde

GC '

DC =dotação de caixa

DT A ⁼desembolsos totais anuais GC =giro de caixa

A expressão DC = DT A/GC é obtida a partir da existência da seguinte fórmula:

GC= DTA SMC

,onde

GC =giro de caixa

DT A =desembolsos totais anuais SMC ⁼saldo médio de caixa

Donde, SMC

=

DT A/GC, fazendo SMC

=

DC, têm-se:

DC= DTA

GC

Exemplificando, se DTA =$24.000.000,00, então,

DC = 24.000.000 = 10.000.000

2,4

Significa dizer que se no início do período a empresa puser no seu caixa o valor de DC, deverá ter recursos suficientes para saldar suas obrigações no vencimento, durante o período considerado.

Para manter o valor da Dotação de Caixa, a empresa incorre em um custo de oportunidade determinado em função dos rendimentos oferecidos pelo mercado em aplicações financeiras alternativas.

Por exemplo, se uma aplicação no mercado financeiro oferecer 8% ao período de retomo sobre os investimentos, a empresa terá um custo de oportunidade de manter a Dotação nesse mesmo período de:

c = 1. 000. 000 x 0,08 = 80.000

Para minimizar o custo de manter a Dotação de Caixa pode-se utilizar três estratégias básicas, de forma isolada ou combinadas:

1) retardar os desembolsos de CaIXa:a empresa só deve fazer os pagamentos de suas

obrigações no fim do dia do vencimento buscando usufruir ao máximo dos recursos de

terceiros. No caso específico do financiamento de fornecedores, a empresa deve negociar

com os seus fornecedores os prazos mais elásticos possivéis. Em ocasiões especiais a

empresa pode pleitear junto aos fornecedores o atraso no pagamento das duplicatas. Uma, é

quando o fornecedor da empresa é dependente desta para vender a maior parte da sua

produção. Outra, quando a empresa está em fase de implantação e o fornecedor permite o

atraso como forma de estímulo para que no futuro a empresa aumente suas compras. O mais

importante é não comprometer o conceito de crédito da empresa no mercado, prejudicando- a em futuros negócios;

2) aumentar o giro dos estoques: a empresa pode aumentar o giro dos seus estoques utilizando técnicas de controle específicas para cada tipo de estoque. Para aumentar o giro das matérias-primas, a empresa deve calcular o lote de compra adequado para a produção em um determinado período, preocupando-se em não deixar faltar matéria-prima a fim de não parar a produção. Para aumentar o giro dos produtos em elaboração, a empresa deve reduzir o seu ciclo de produção através da utilização de novas tecnologias. Já para aumentar o giro dos produtos acabados, a empresa deve planejar conjuntamente as suas previsões de demanda e de produção tentando fazê-Ias coincidir. Esta estratégia deve ser utilizada sem que haja prejuízos para a produção e para as vendas da empresa; e

3) acelerar o processo de recebimento: a empresa pode conseguir acelerar os recebimentos através do uso de políticas mais agressivas de cobrança e mais restritivas de crédito, sem que isto venha a comprometer as suas vendas.

Exemplificando numericamente cada estratégia, teremos o exemplo abaixo:

Exemplo - Supondo que a empresa "K" possua a seguinte estrutura: 1) !ME

= 110 dias, 2) PMC ⁼ 80 dias, e 3) PMP ⁼40 dias. Calculando-se o ciclo de caixa e o giro de caixa da empresa teremos,

CC = lME + PMC - Plv1P CC = 110+80- 40

=

150dias

8

GC=NDA

CC

GC = - 360 = 2, 4

vezes

150

Sabendo-se que os desembolsos operacionais durante o ano serão de

$18.000.000,00 e que o custo de manter caixa é de 10%a.a, temos para a Dotação de Caixa,

DC= DTA

CC

DC

=

18.000.000

=

7.500.000

e

2,4

C.Oport = 7.500.000 x 0,1 = 750.000.

Fazendo uso da estratégia nº 1,a empresa "K" consegue elastecer seu prazo de pagamento em 15 dias, provocando os seguintes efeitos nos valores da Dotação e do custo de oportunidade originais:

CC

=

IME + PMC- PMP CC

^{1 =}

110+80- 55

⁼

135 GC= NDA

CC

GC = 360 = 2 667

1

135 '

DC=NDA

CC

DC = 18.000.000 = 6.750.000

1

2,667

CiOport, = 6.750.000 x 0,1= 675.000

Com a redução do valor da Dotação em $750.000,00, a empresa economiza

$75.000,00, que é a diferença entre o custo de oportunidade original e o novo custo calculado após a implementação da estratégia nº 1.

Utilizando os conceitos da estratégia nº 2, a empresa consegue reduzir a idade média dos estoques em 20 dias,portanto

CC=IME+PMC-PMP CC

²

= 90+80- 40 = 130 GC=NDA

CC

GC = 360 = 2 7692

2

130 '

DC= DTA

CC

De = 18.000.000 = 6.500.000

2

2,7692

CiOport, = 6.500.000 x 0,1= 650.000

Com a estratégia nº 2, a empresa consegue economizar $100.000,00 com relação ao valor original calculado.

Aplicando a estratégia nº 3, a empresa "K" consegue reduzir seu período médio de cobrança em 1

°

dias, provocando as seguintes alterações:

CC=lME+PMC-PMP CC

³

= 110+ 70- 40 = 140 GC= NDA

CC

GC = 360 =25714

3

140 '

DC= DTA CC

De = 18.000.000 = 7.000.000

3

2,5714

C.Oport

³

= 7.000.000 x 0,1 = 700.000

Na estratégia nº 3, a empresa "K" economiza $50.000,00, com relação ao valor original. A economia sería maximizada quando fossem combinadas as três estratégias.

Fazendo uso dessa hipótese, teremos:

CC=lME+PMC-PMP CC

⁴

= 90+70-55= 105 GC= NDA

CC

GC = 360 = 3 4286

4

105 '

DC= DTA CC

DC = 18.000.000 = 5.250.000

4

3,4286

C.Oport

⁴

= 5.250.000 x 0,1= 525.000

Combinando as três estratégias, a empresa "K" fará uma econorma de

$225.000,00.

o modelo do Ciclo de Atividade admite as seguintes críticas:

- o modelo pressupõe que as entradas se igualam às saídas de caixa, não havendo portanto lucro. Na realidade, em empresas solventes, as entradas deverão ser maiores que as saídas;

- o modelo supõe que todos os pagamentos, desembolsos de caixa, ocorram no mesmo período em que se pagam as

matérias-primas,

Na verdade, o valor da matéria-prima é agregado ao produto em vários estágios da produção e das vendas. Devido a esta suposição a Dotação de Caixa tende a ser superestimada;

- o modelo supõe que as operações de compra, produção e vendas ocorram a um ritmo constante ao longo do período; e

- o modelo, a fim de simplificar a análise, não leva em conta o grau de incerteza e de variabilidade das entradas e saídas de caixa ao calcular o valor dessa Dotação.

Portanto, o Modelo do Ciclo de Atividade poderá ser aplicado a empresas

onde estejam definidos com certo grau de precisão 1) os momentos de ocorrência das

entradas e saídas, 2) os prazos de pagamento dos fornecedores e dos recebimentos das

vendas e 3) o período de produção e estocagem das matérias-primas, produtos em

elaboração e de produtos acabados.

CAPÍTULO 2

MODELO DE BAUMOL

•••

o

modelo de administração de caixa de Baumol' está fundamentado no

modelo do lote econômico de administração de estoques. Portanto, para melhor entendimento deste modelo de caixa descreveremos primeiramente o modelo de estoques.

o

modelo do lote econômico está fundamentado nas seguintes hipóteses:

- Procura por bens constante;

- Comportamentos determinísticos da procura e dos custos;

- Tempo de espera nulo entre a emissão de um pedido e o seu recebimento; e

1William lBaumol, "The Transactions Demand for Cash: an Inventory Theoretic Approach", Quartely Journal ofEconomics, LXV (novembro, 1952), p. 545-56.

F A

- Saldos de caixa ilimitados para investir em estoques.

Supondo que:

D ⁼procura, em unidades, durante o período considerado;

s =custo unitário de pedir;

=custo financeiro intensivo em estoques para o período considerado;

p ⁼custo unitário do bem analisado;

CT =custo total do sistema de estoques; e Q ⁼quantidade ótima a pedir.

o

número de pedidos em todo o período será dado por D/Q, assim sendo, o custo global de pedir será dado por s.D/Q.

Considerando que a procura é constante, a quantidade encomendada de Q unidades se reduzirá a um ritmo uniforme, ou seja, o estoque médio será de Q/2 unidades entre dois pedidos consecutivos, como o mostrado na Figura 2.1. Repetindo-se o ciclo, podemos dizer que o estoque médio de todo o período será também de Q/2 unidades.

Assim o custo de investimento será de i.p.Q/2. E o custo total "CT" será a soma do custo global de pedir e do custo extensivo de manter estoques, ou seja

CT = s.D + i.p.Q

Q 2

^Eq.2.1

o

objetivo é minimizar CT e determinar Q, para isso derivamos a Eq. 2.1 em relação a Q e igualamos a expressão obtida a zero, obtendo

dCT

=

-s. D + i. P

=

o

dQ Q2 2

Q2. .l.p =2 .s. DOQ2=2.S.DoQ

^{o o •}

=p.S.D

^{o o •}

l.p l.p

Eq.2.2

onde Q=a quantidade ótima por pedido.

FIGURA 2.1

Comportamento dos Estoques no Tempo

unidades

o

0/2

____~---~L---~---~>

ciclos

o ^{1 2}

Existem ainda aspectos do modelo do lote econômico que, devido a sua importância, devem ser observados. São eles:

1) Relação entre a quantidade ótima e a procura: analisando a quantidade ótima como função apenas da procura, s, i,e p são constantes conhecidas. Verificamos então ser Q não uma função linear da procura, mas de sua raiz quadrada;

2) Análise de sensibilidade: a força de um modelo é determinada pela estabilidade que a solução ótima apresenta em consequência de erros nas estimativas dos parâmetros que são

1) as estimativas do nível de procura no período, 2) do custo unitário de pedir, 3) do custo financeiro intensivo e 4) do custo unitário do bem. A superestimação da procura ou do custo unitário de pedir aumentaria o nível do estoque médio pela raiz quadrada do operador multiplicativo do erro, enquanto a subestimação do custo financeiro intensivo e do custo unitário do bem levaria a um aumento semelhante do lote econômico e do nível médio de estoques. Essas observações indicam que superestimações de parâmetros do numerador da Eq.2.2 podem ser anuladas por subestimações de parâmetros do denominador, sem que se altere a solução que se buscava; e

3) Número ótimo de pedidos: é possível chegar-se à mesma equação 2.2, raciocinando em função de N, o número de pedidos; considerando todas as hipóteses sobre as características da procura e dos custos, desejamos determinar o número ótimo de pedidos; o tamanho ótimo de pedidos será D/N unidades e o estoque médio será de D/2N unidades. Portanto o custo extensivo de manter estoque e o seu custo global de pedir serão dados respectivamente, por

N.s i.D.p

2N

Portanto o custo total será dado por

custo global de pedir +custo extensivo de manter estoque

CT=N.s+ i. D. p

2N

^Eq.2.3

Derivando-se a equação 2.3 com relação a N, e igualando-se a expressão obtida a zero, obtêm-se

dCT= _i.D·p=O.2N' -·D =O.N=/·D.P dN

S

2N2 ..

.S I..p ..

2.s

Dividindo-se D por N chegaremos a eq. 2.2.

Q=D= D =D ..J2.S=~2.S.D' =t.S.D N l"D.P .Ji.D.p i.D.p i.p

2.s

Donde se conclui que determinando-se o valor da quantidade ótima de pedidos, obtêm-se consequentemente o número ótimo de pedidos.

Após as considerações sobre o modelo do lote econômico, pode-se partir para a exposição dos principais aspectos do modelo de Baumol.

A hipótese básica deste modelo é a de que uma empresa desembolsa numerário em um fluxo regular de transações, cujo valor durante o período é igual a "T"

unidades monetárias. O modelo admite ainda que:

- a firma pode obter caixa tanto através de empréstimo como a partir de desinvestimento de aplicações financeiras, sendo que ambas as formas possuem um custo de oportunidade igual a "i";

- a obtenção de recursos é instantânea e feita em lotes de

"e"

unidades monetárias, em espaços regulares durante o período; e

- a obtenção de um empréstimo ou o desinvestimento de aplicações implica em um custo fixo de "b" unidades monetárias, indepedente do montante envolvido na transação.

o

objetivo principal do modelo é determinar

e,·

o lote ótimo do desinvestimento ou do empréstimo.

o

custo total durante o período analisado, é dado por,

Eq.2.4

Onde o primeiro termo representa os custos fixos totais referentes às T

/e

operações de empréstimo ou desinvestimentos efetuados durante o período e o segundo termo é o custo de oportunidade decorrente da manutenção de um saldo médio de caixa no valor de e/2.

Derivando o C'T com relação a

e

e igualando a expressão obtida a zero, determina-se o nível ótimo de

e:

dCT _dC = -b.T _C

²

⁺ ~=O. _2. ^{. .} b.T _C

²

.i . ₂

^...1

C

²

·=2

^...•

b T' c=t· ^b.

_i

r

^Eq.2.5

18

A partir da expressão de C, pode-se concluir que, mantidos os outros parâmetros constantes:

- quanto mais elevado for o custo fixo, b, maior será o lote do empréstimo ou do desinvestimento; e

- quanto mais elevado for o custo de oportunidade dos recursos, i, menor será o lote do empréstimo.

o

modelo de Baumol comporta as seguintes críticas:

- as entradas e saídas de caixa são considerados no modelo como controláveis e não aleatórias, não refletindo a realidade da natureza desses fluxos nas empresas;

- os custos de oportunidade de manter caixa e de obtenção de recursos são considerados fixos, não levando-se em conta o volume transacionado em cada operação; e

- o motivo transação é o único considerado pelo modelo, sendo ignorados os motivos precaução e especulação.

o

modelo de Baumol é muito limitado, principalmente por considerar as

entradas de caixa como completamente controláveis, fato que implica a quase inutilização desse modelo. Um caso onde é viável a aplicação do modelo de Baumol é quando a empresa possui receitas contínuas e realiza desembolsos vultosos de forma irregular.

CAPÍTULO 3

MODELO DE SASTRY

A semelhança existente entre a administração de estoque e a administração de caixa, tem sido utilizada por vários economistas no desenvolvimento de modelos de análise das transações de demanda por dinheiro. O modelo de Baumol, por exemplo, é baseado no modelo do lote econômico apresentado por Whitin'. Esse modelo, no entanto, pressupõe que todos os pagamentos das obrigações são feitos quando elas se vencem.Este pressuposto implica que os custos resultantes da falta de dinheiro, "cash-out", para pagar as obrigações no momento em que elas maturam são infinitos. Mas esta suposição não é razoável já que os empréstimos concedidos às empresas têm custos finitos.

O objetivo de Sastry é desenvolver um modelo que generalize o modelo de Baumol e que inclua os custos da falta de dinheiro além de considerar os custos de

IWhitin, T.M, "!nventory ControI in Theory and Pratice", QuarteIy Journal ofEconomics (nov.1952), p.506-508.

conversão e de oportunidade, isto é, dos ganhos perdidos por dinheiro inativo. Antes de prosseguirmos com o desenvolvimento do modelo, é interessante fazer algumas observações a respeito do custo de "cash-out" e da disponibilidade de crédito. O custo de "cash-out" é composto 1) pela taxa de juros dos empréstimos pedidos pela empresa, custo tangível, 2) pela sacrificio da empresa em buscar preservar sua imagem fazendo seus pagamentos no prazo estipulado, custo intangível, e 3) pelos custos administrativos envolvidos em conseguir empréstimos. O custo de "cash-out" pode ser considerado .constante para cada empresa.

Supondo que:

M ⁼montante de títulos convertidos em caixa em cada venda de papéis de mercado;

S=valor inicial do caixa;

t⁼duração do ciclo;

T ⁼horizonte de planejamento do caixa;

tI =intervalo de tempo em que as obrigações são pagas imediatamente;

t2 = intervalo de tempo em que as obrigações são acumuladas para pagamento ao final do ciclo t;

C 1=custo de transação para cada conversão;

C2 =custo unitário de "cash-out", por cada unidade monetária faltante;

i=custo de oportunidade de manter caixa por cada unidade monetária e para o horizonte T,

A=volume de conversões de caixa no período T;

Q* =demanda média por dinheiro a longo prazo; e m=volume médio de transação de caixa por dia.

o

modelo admite que:

- a empresa tem dois tipos de ativos: os ganhadores de dinheiro novo, tais como aplicações financeiras e os não ganhadores de dinheiro novo, como o próprio saldo de caixa;

- a conversão de um tipo de ativo em outro é livre;

- o custo de conversão C} independe do volume transacionado;

- o tempo de espera é nulo e a obtenção de recursos é instantânea;

- todas as empresas podem ter um período de "cash-out", no qual a empresa acumula obrigações a um custo finito C2, até chegar ao valor de M - S ;esta falta de dinheiro não é permitida no modelo de Baumol o que equivale a impor um custo infinito a essa situação;

e

- os desembolsos de caixa são feitos a uma intensidade constante de m$ por dia.

A Figura 3.1 mostra o modelo proposto graficamente. A empresa inicia o periodo de planejamento T, com a quantia S no caixa e efetua o pagamento das obrigações durante o período tI. Durante o período t2, a empresa acumula obrigações impagas a um nível igual a m.t2 a um custo unitário de C2. No final do ciclo t, a empresa converte para o caixa papéis de mercado no valor de M, paga suas obrigações acumuladas m.t2 e começa o ciclo seguinte de operação com a quantia S.

22

FIGURA 3.1

Demonstração do Modelo de Sastry

s

t t

__________________ T~ ~~----

o

total dos custos de operação no período de planejamento T com este modelo, será o somatório dos custos 1) de oportunidade, 2) de "cash-out" e 3) de conversão. O objetivo da empresa é minimizar esses custos. Para isso determina-se as quantias ótimas de M e S,tratando os totais de maneira analítica.

Custo de oportunidade médio durante ti

-:« S

^-I

. 2

¹

Custo médio de "cash-out"

---C·t M-S ₂

2 2

A

Custo de conversão ⁼

M - C

¹

Total dos custos esperados (TCE) durante o período T:

(s

_·t

·i+ ^M-S ·C -t +C J .- ^A

2

¹

2

²²¹

M

^Eq.3.1

Da semelhança de triângulos, temos:

S

tI

S

-=-:.t =_·t

M t

¹

M

⁽¹⁾

M-S

^t

M-S

__ =..2..

t

⁼

·t

•• 2

M t M

⁽²⁾

A T T.M

-=-:.t=--

M t A

⁽³⁾

Substituindo (3) em (1) e (2), temos:

S T.M S.T t

^{=-. .}

t

^=-

1

MA··

¹

A

⁽⁴⁾

M-S T.M (M-S)·T

t

2 =

M . A :. t

2 =

A

⁽⁵⁾

Substituindo (4) e (5) na equação 3.1 vem:

S S. TA·

i

(M - S) (M - S) . TA· C A· C TCE =_._._+ . .

²

+

^{1 :.}

2AM 2 A M M

S2 . T.

i

(M - S)2 . T· C C· A

TCE = + 2 +---=-1_

2M 2M M

^Eq.3.2

Para determinar os valores ótimos de M e S, deriva-se a Eq. 3.2 com relação a M e S e iguala-se a expressão obtida a zero. Fazendo isso obtêm-se:

Derivando-se com relação a S,temos:

dTCE _d.S

=

2(Ti _2M + TC

²

Js - ^Te

⁼

o

2

s

⁼

^{.T C}

^{2 :.}

^S

⁼

^{T C}

^2•

^{M :. S}

⁼

^C

^{2 .}

^M

TI + T. C 2 Ti + T C 2 i + C 2

M

Derivando-se agora com relação a M, teremos

( T. i. S2 J ^{+ ( M. T. C2} J _ ^{T. C .S + ( T. C2. S2} J ^{+ C}.A}

2M 2

²

2M M

dTCE T.i.S

²

T.C

²

=

+--=-

dM 2M

²

2

T.C

²

·S

^{2 _}

A.C}

=

O 2M

²

M

²

-T.i.S

²

+ T.C

^2·

M

^{2 -}

T.C

²

·S

²

-2A.C} = O 2M

²

Substituindo o valor de S, temos

112 (

J1I2

M*

^{= (}

2 A.

^~l

J . ^{i + C}

²

r., ^C

²

Substituindo agora M na derivada de S teremos

112 ( J1I2

S

= .

C

2 • (

2 A.

^~l

J .

ⁱ

^{+ C}

²

1+ C

²

T.I C

²

2A,C

^{1 •}i

+C

²

T.i C

²

S2

= 2A.C

^1•

C

2

T.i i + C

²

S* = (2A. ~l J1I2 .( . ^C 2 J1I2

T.I I+C

²

Assim temos:

S * (A. ^{C J1I2 ( C J1I2}

Q*

=_= ^{1. 2}

2 2· r., i + C

2

Considerando que C2 é infinito, chegaremos ao mesmo valor encontrado por Baumol para o tamanho do lote de desinvestimento ou empréstimo. Vale ressaltar que Sastry buscou determinar a demanda média por dinheiro, Q, enquanto Baumol determinou o lote ótimo de desinvestimento ou do empréstimo.

o

objetivo de Sastry foi satisfeito, visto que, a expressão encontrada para valor da demanda média por dinheiro a longo prazo, Q*, conseguiu generalizar a expressão obtida por Baumol.

CAPÍTULO 4

MODELO DE BERANEK

Este capítulo será o resumo dos principais pontos abordados por William Beranek, no capítulo 11 - "The Cash Balance", do seu livro "Analysis for Financial Decisions" 1.

Segundo Beranek, cabe ao tesoureiro decidir sobre o valor que deve ser colocado no caixa no início do período de planejamento, isto é, a Dotação de Caixa, para que os objetivos da administração do saldo de caixa sejam satisfeitos.

o

tesoureiro se confronta com um dilema que é gerado pelo excesso ou pela

falta de dinheiro no caixa; no caso de excesso, está-se deixando de obter retornos sobre aplicações alternativas, enquanto que, no caso de falta de dinheiro, incorre-se num custo de

1Beranek, William. Analysis for Financial Decisions. Homewood, Ill:Richard D. Irwim, Inc., 1963, p. 345- 349.

29

quebra de caixa. Assim, o objetivo do tesoureiro é conciliar os desejos de retorno e o de evitar os custos de quebra de caixa.

o

saldo de caixa pode ser considerado como várias porções, correspondendo

cada uma delas a um diferente motivo. Esses motivos podem ser divididos em duas categorias:

- o motivo reserva que engloba dinheiros destinados aI) fazer frente a grandes dispêndios futuros, 2) aproveitar negócios especulativos e 3) para enfrentar saídas imprevisíveis de caixa, como, por exemplo, incêndios e acidentes; e

- o motivo operação que envolve todos os fluxos de caixa associados com a produção, distribuição ou prestação de serviços da empresa.

o

autor, no entanto, se referirá a saldo de caixa como um montante de recursos que resulta do motivo de operação.

Os fatores que darão suporte às decisões sobre os saldos de caixa são os seguintes:

- o comportamento e a magnitude dos fluxos de caixa;

- os retornos e custos de transação associados com os papéis de mercado;

- a duração do período de planejamento do saldo de caixa;

- o tamanho do saldo mínimo crítico; e

- a função do custo de quebra de caixa.

Os quatro primeiros fatores serão discutidos a seguir, enquanto que, a função do custo de quebra de caixa será desenvolvida apenas quando falarmos dos modelos de risco e certeza, desenvolvidos por Beranek.

4.1. DEFINIÇÃO DOS FATORES DE DECISÃO

4.1.1. Comportamento e Magnitude dos Fluxos de Caixa

Alguns dos fluxos de caixa que ocorrerão durante o período de planejamento do saldo de caixa refletirão decisões que não foram tomadas pelo tesoureiro, mas sim por outros decisores da empresa. Mesmo que o saldo de caixa caia abaixo de zero, o tesoureiro deverá honrar o pagamento das obrigações geradas pelos outros centros de decisão da empresa.

Essas obrigações, juntamente com as receitas da empresa, constituem uma categoria de transações sobre as quais o tesoureiro não tem controle. Admitiremos durante a análise que este tem controle sobre as seguintes categorias de transações: 1) os pedidos e os repagamentos dos empréstimos de curto prazo e 2) as transações de compra e venda de papéis de mercado.

Baseados no que foi apresentado, podemos classificar as transações da empresa em três classes distintas:

TE =tomar e repagar empréstimos de curto prazo;

PM =comprar e vender papéis de mercado; e OT =todas as outras transações da empresa.

A Figura 4.1 representa todas as possíveis transações de caixa da empresa e cada faixa representa uma das classes de transações acima. Observando a Figura 4.1, constatamos que os conjuntos não se interceptam. Essa constatação, indica que uma dada transação de caixa pertence somente a uma das classes, não havendo, portanto, transações que pertençam a duas classes ao mesmo tempo.

FIGURA 4.1

Classificação das Transações de Caixa nº 1

TE

OT

PM

Podemos ainda classificar as transações de CaIXa em determinísticas e probabilisticas. As transações que irão ocorrer com certeza durante o período são rotuladas de determinísticas. Já as transações probabilísticas são aquelas que possuem diferentes valores, associados a uma distribuição de probabilidade, que pode ser ou não conhecida.

32

Fazendo TP igual ao conjunto das transações probabilísticas e TD igual ao conjunto das transações determinísticas, teremos então a Figura 4.2 que representa esta nova classificação das transações.

FIGURA 4.2

Classificação das Transações de Caixa nº 2

TP

TO

Se combinarmos os conjuntos das figuras 4.1 e 4.2, teremos uma completa caracterização das possibilidades dos fluxos de caixa, conforme o apresentado na Figura 4.3.

Dos sers conjuntos apresentados na Figura 4.3, apenas os abaixo relacionados são considerados na análise do autor:

1) TE- TD = transações de tomada e repagamento de empréstimos de curto prazo deterministicas;

2) PM- TD ⁼ transações de compra e venda de papéis de mercado determinísticas;

3) OT -TP = todas as outras transações da empresa probabilísticas; e 4) OT -TD = todas as outras transações da empresa determinísticas.

FIGURA 4.3

Caracterização das Possibilidades dos Fluxos de Caixa

Classificação 1 Classificação 2

TP

Conjuntos interseção

TETP

TO TETO

TP PMTP

TO PMTO

TP

onp

TO

ono

4.1.2. Retornos e Custos de Transação Associados com os Papéis de Mercado

Há certos tipos de ativos que podem ser comprados e vendidos com relativa rapidez e facilidade e para os quais a probabilidade de perda de dinheiro é pequena, formando o conjunto de papéis de mercado, em que a empresa pode investir o seu saldo de caixa.

o

tesoureiro deve estar atento aos custos de transação de compra e venda desses papéis. Mesmo sabendo-se, que esses custos constituem apenas uma pequena

f A C

³⁴

percentagem do montante transacionado, podem vir a anular o retomo bruto sobre esses papéis, principalmente quando o papel for mantido por um curto período de tempo.

Os retornos desses papéis consistem de juros e de ganhos de capital, entretanto, neste contexto, será enfatizado apenas os retornos pactuados dos juros.

4.l.3. Duração do Período de Planejamento do Saldo de Caixa

Com relação a duração do período de planejamento do saldo de caixa, o tesoureiro terá que conciliar dois aspectos antagônicos, 1) a necessidade de estender o período a fim de que se reduza os custos de análise e 2) satisfazer o banqueiro com um período que se aproxime de l(um) dia, visto que, é ao final desse período que se impõe penalidades pela existência de déficit na conta do cliente.

Um método para determinar o período de planejamento do saldo de caixa é o de

estendê-lo

para alcançar a data em que se concentra todos os pagamentos do período.

Por exemplo, se a empresa pagar todas as suas obrigações no 5º dia útil de cada mês, então

o único fluxo de caixa probabilístico seria o relativo às receitas. Como será mostrado nos

modelos de risco, se a empresa conhecer a distribuição de probabilidade das receitas no

período, e se suas obrigações são controladas, ela poderá estender o período de

planejamento para que inclua o intervalo de tempo que contenha os custos e a distribuição

de probabilidade das receitas de caixa. A empresa poderá fazer isso, apesar de ter a

obrigação de prestar contas com o banqueiro ao fim de cada dia dentro do período

estipulado.

4.1.4. Tamanho do Saldo Mínimo Crítico

o

saldo mínimo crítico é aquele abaixo do qual a empresa incorre em um custo de quebra de caixa. As empresas devem determinar um mínimo crítico acima de zero devido a razões externas e internas, nas quais se incluem as seguintes:

- a manutenção de um saldo mínimo mais elevado favorece futuros empréstimos que a empresa venha a pleitear junto a seu banqueiro;

- a existência de um saldo mínimo considerável pode ser uma das claúsulas do contrato de empréstimo: se a empresa tomou dinheiro emprestado do seu banco sob essa condição deve manter um saldo mínimo acima de zero; e

- a atitude da empresa face ao risco de ter futuras quebras de caixa pode determinar a manutenção de um mínimo crítico positivo.

o

mínimo crítico pode mudar de período para período para se adaptar às mudanças de condições que porventura ocorram.

Existem duas formas de se violar o mínimo crítico, ou seja, de a empresa incorrer em um custo de quebra de caixa. A primeira ocorre quando o saldo de caixa cai realmente abaixo do mínimo crítico. Neste caso, a empresa sofre as penalidades decorrentes do ressuprimento do caixa. A outra se dá através da postergação das obrigações impagas que vencem durante o período de planejamento. Dessa forma, a empresa perderá descontos de caixa sobre suas compras e deteriorará sua imagem perante o mercado.

No desenvolvimento dos modelos de certeza e de risco, o mínimo crítico será violado apenas pela postergação dos pagamentos.

4.2. MODELOS DE CERTEZA

No desenvolvimento de modelos de certeza, aceita-se' como verdadeiro o comportamento determinístico de suas varíaveis relevantes, para se obter, assim, uma solução simplificada. Alguns dos conceitos desenvolvidos no decorrer deste

ítem

serão

-

também utilizados nos modelos de risco adiante.

Nos modelos de certeza, aqueles conjuntos que envolvem fluxos probabilísticos não existem. Assim, direciona-se a atenção para o conjunto não vazio formado pela interseção de todas as outras transações com os fluxos determinísticos. Em princípio, a análise de fluxos de caixa sob condições de certeza não é diferente do tratamento dado aos fluxos de caixa no orçamento operacional da empresa, mas há diferenças que merecem comentários especiais.

Nestes modelos se propõe um elenco de valores para as entradas e saídas

como os fluxos de caixa certos, nos montantes que forem adequados ao período. A

diferença entre esses dois fluxos será denominada de "movimento líquido de caixa". Não

deverá haver necessariamente uma perfeita coincidência entre os fluxos de entrada e de saída

para cada dia dentro do período de planejamento. Esta falta de coincidência leva a saldos

positivos em alguns dias e negativos em outros.

Concentrando os pagamentos referentes a todas as outras transações operacionais em certos dias, pode-se fazer o período de planejamneto do saldo de caixa corresponder ao intervalo de tempo entre esses pagamentos.

A soma de todos os movimentos líquidos de caixa no período de planejamento do saldo de caixa produzirá um saldo, que será igual ou estará acima ou abaixo do mínimo crítico. Quando este saldo estiver abaixo do mínimo crítico, a empresa incorrerá em um custo de quebra de caixa formado por dois elementos: 1) as perdas de desconto de caixa futuros e 2) a deterioração dos seus padrões de crédito perante o mercado.

A própria natureza do saldo mínimo crítico sugere que um montante em excesso no caixa é candidato para à conversão em papéis de mercado, enquanto, montantes abaixo do mínimo são repostos através da manipulação das variáveis controláveis que são:

a) tomada de empréstimos de curto prazo e b) venda de papéis de mercado possuidos pela empresa.

Não se deve considerar na análise a possibilidade de alteração do orçamento

operacional apenas para satisfazer uma deficiência no saldo de caixa. O tesoureiro deve

maxmuzar os seus objetivos na administração de saldos de caixa, adaptando-se ao

orçamento operacional já definido. Cumpre ressaltar as interações existentes entre as

decisões sobre o orçamento operacional e as relacionadas com a administração do saldo de

caixa. O tesoureiro pode e deve influenciar nas decisões sobre o orçamento, já que este

orçamento repercutirá na sua administração dos saldos de caixa. Portanto, o sucesso da

tesouraria baseia-se na sua habilidade de antecipar dois fatos, 1) o custo de obter dinheiro e

2) os dinheiros que serão requeridos pelo orçamento operacional. A revisão e a alteração do orçamento operacional é aceitável, sempre que haja erros ou perdas significativas e que os custos de revisão não sejam maiores que os retornos por ela gerados.

Presumiu-se até então que o estudo de fluxos de caixa é feito apenas para um período de planejamento de saldo de caixa. Isto foi feito somente para simplificar a análise.

Este estudo deve ser estendido para todos os períodos de planejamento dentro do intervalo de orçamento do caixa. As pricipais razões para esse aprofundamento da análise são, 1) tirar vantagens das mudanças antecipáveis sobre as condições de tomar dinheiro emprestado e 2) explorar mudanças esperadas nos preços dos papéis de mercado.

Finalmente, deve-se estar atento para a estabilidade das características determinísticas dos fluxos de caixa, fazendo os estudos de fluxos de caixa cobrirem apenas o período em que essas fluxos mantêm essas características. Quando isso não é possível, o tesoureiro terá que manejar fluxos ora determinísticos ora probabilísticos. Com os modelos de risco serão apresentadas análises que darão suporte às decisões sobre a administração dos fluxos probabilísticos.

4.3. MODELOS DE RISCO

Quando os fluxos de caixa possuem um comportamento probabilístico, o saldo de caixa pode ser visto como um estoque que existe para minimizar as imperfeições de sincronismo entre as entradas e saídas de caixa. Observemos, no entanto, que há uma distinção marcante entre o problema de estoques e o problema dos saldos de caixa. No

primeiro, as saídas são marcadamente probabilísticas e as entradas são controláveis. Já com relação ao saldo de caixa, essas condições se invertem, as entradas de caixa são preponderantemente probabilísticas enquanto as drenagens, ou saídas, são controláveis.

Estaremos agora voltados para modelos que considerarão a distribuição de probabilidade das saídas líquidas de caixa. Estes modelos proporcionam um compromisso mais efetivo entre os elementos conflitantes que são: 1) os custos de quebra de caixa e 2) os retornos associados à manutenção de papéis de mercado.

Os elementos requeridos para este tipo de análise são: 1) as distribuições de probabilidade das saídas líquidas de caixa que refletem o conjunto dos fluxos de todas as outras transações operacionais, 2) a função do custo de quebra de caixa, e 3) a função que caracteriza os retornos futuros a partir da manutenção do investimento em papéis durante todo o período de planejamento do saldo de caixa. A partir do conhecimento dessas informações, o procedimento consiste em escolher um saldo de caixa inicial para o período - Dotação de Caixa - que minimize os custos totais.

4.3.1. A Distribuição de Probabilidade do Saldo de Caixa

O pnmeiro passo para a escolha de um saldo inicial ótimo é o desenvolvimento do conceito de distribuição de probabilidade das saídas líquidas de caixa. O conceito se refere aos possíveis fluxos efetivos líquidos, no fim do período de planejamento, dos vários fluxos de caixa probabilísticos. As saídas líquidas de caixa possíveis podem ser todas positivas, todas negativas ou a combinação de positivos e negativos.

a

s»

Usaremos um conjunto de condições simples para estimar a distribuição de probabilidade do saldo de caixa. No 1º dia de um determinado mês, anteciparemos a distribuição de probabilidade do saldo de caixa por volta do 10º dia deste mesmo mês. Para isso, sabemos que, no mês anterior, as vendas a prazo aos clientes A e B foram respectivamente, $100 e $200. Esses clientes têm direito a um desconto de 2% se os pagamentos forem feitos por volta do dia IOdo mês corrente. Historicamente sabemos que o cliente A aproveita o desconto com probabilidade de 1/2, enquanto o'Cliente B faz uso do desconto com probabilidade de 1/4.

o

comportamento das cobranças no dia 10, dos clientes A e B, é dado pela distribuição conjunta que está reproduzida na Figura 4.4.

FIGURA 4.4

Distribuição Conjunta das Cobranças no Dia 10

Cliente A - $100 Cliente B - $200 Probabilidade Possíveis das Cobranças Cobranças - S

pagar

118 294

3/8 98

1/8 196

3/8

o

Suponha que a distribuição de probabildade das vendas à vista, que é suposta independente do comportamento das vendas a crédito é dada por $50 com probabilidade de

1/2 e $100 com probabilidade de 1/2. A distribuição conjunta dos recebimentos de caixa das cobranças e das vendas à vista está representada na Figura 4.5.

FIGURA 4.5

Distribuição Conjunta dos Recebimentos de Caixa

Probabilidade Posíveis Probabilidade Possíveis Probabilidade Possíveis das Cobranças das Vendas Vendas dos Recebim. Recebim.

Cobranças à^vista àvista de Caixa de Caixa

1/2 ⁵⁰ 1116 3~~

29~

1/2 ₁₀₀

1116 39~

-

112 50 3116 1~8

1/2 ₁₀₀

3116 198

50 1116 2~6

1116 296

O 112 50 3116 50

112 100

3116 100

Suporemos ainda que não há outras receitas de carxa probabilísticas no nosso exemplo. No entanto, se existissem outras fontes independentes de receitas, com distribuições de probabilidade conhecidas, elas deveriam ser combinadas com a distribuição conjunta já existente para formar a distribuição conjunta das receitas de caixa probabilísticas.

Note que não chegamos ainda a distribuição das drenagens líquidas de caixa.

Suponha que quaisquer gastos de caixa pertencentes ao conjunto de todas as outras transações operacionais, relativas ao período de planejamento, serão feitas exatamente no dia 10 e são conhecidas com certeza. Sabendo que a soma das saídas determinísticas é $150

ffAC

⁴²

e o valor das entradas determinísiticas é $25, a diferença entre esses dois fluxos é -$125.

Este valor é adicionado com seu sinal negativo a todas as possíveis receitas de caixa probabilísticas da Figura 4.5, resultando a distribuição de probabilidade das drenagens líquidas de caixa, conforme o apresentado na Figura 4.6.

FIGURA 4.6

Distribuição de Probabilidade das Drenagens Líquidas de Caixa no Dia 10

Probabilidade Possíveis Probabilidade Valores Probab. Valores dos Receb. Recebim. das Saídas das Sai. das das de caixa de caixa determínist. determo DLCs DLCs

344 1

-125 1116 219 1

-125 1116 269 1

-125 3116 23

1 -125 3116 73

1 -125 1116 121

1 -125 1116 111

1 -125 3116 -15

1 -125 3116 -25

A distribuição das drenagens líquidas de caixa pode ser vista como a distribuição do saldo de caixa que existiria no fim do príodo se a) todas as outras transações fossem somente aquelas já consideradas e b) a Dotação de Caixa fosse zero. Em virtude das proposições acima, sugere-se que a Dotação de Caixa no início de cada período de análise do saldo, quando adicionada a cada possibilidade de drenagem líquida de caixa, produzirá a distribuição do saldo de caixa no fim do período. A distribuição de probabilidade das drenagens líquidas de caixa é, assim, um caso especial de distribuição do saldo de caixa no fim do período, quando o saldo inicial, isto é, Dotação de Caixa é zero.

A distribuição das drenagens líquidas de caixa deverão, a partir de agora, ser referidas como distribuição de probabilidade básica para saldos de caixa de fim de período.

Podemos influenciar a distribuição de probabilidade do saldo de caixa de fim de período e/ou valores esperados, adicionando-se dinheiro ao saldo de caixa inicial até que uma situação desejada do saldo de fim de período seja alcançada.

Suponhamos que os critérios de decisão especifiquem O'valor esperado para a conta de caixa no final do período. Se o valor esperado da probabilidade básica é M e se o valor esperado desejado é V, então o saldo de caixa ótimo para o início do período é V - M. Isto decorre do fato de que adicionando-se uma constante a uma variável aleatória, altera-se o valor esperado da distribuição pelo valor dessa mesma constante. O resultado mantém-se apenas se V > M, porque se V < M, isto significaria uma redução e não uma elevação do saldo de caixa.

Considere-se um outro critério de decisão, que nos manda escolher um saldo inicial, tal que a probabilidade de ficar sem caixa, ou seja, de ficar abaixo do mínimo crítico no final do período, seja zero ou alguma probabilidade tolerável especificada. Façamos CM e CL representarem, respectivamente, o saldo mínimo crítico e o mais baixo saldo de caixa possível da distribuição básica. Se não pudéssemos tolerar a existência de violação do mínimo crítico, então o saldo de caixa inicial ótimo será dado por:

CM se CL ~ O e (CM - CL) se CL < O.

"

44

Por exemplo, se CM ⁼ O e considerando-se a distribuição básica da Figura 4.6, teremos CL = $-75. O saldo de caixa inicial ótimo será $75, porque esta quantidade, quando adicionada a distribuição da Figura 4.6, faz com que o mais baixo saldo de caixa da distribuição seja zero.

Introduziremos agora um procedimento que busca chegar a uma decisão de saldo ótimo de caixa pela reconciliação do conflito entre incorrer em' custo de quebra de caixa e perder os retornos futuros dos papéis de mercado. O procedimento é primeiro desenhado graficamente seguido pelo desenvolvimento de um método para a solução do problema por enumeração.

4.3.2. A Função do Custo de Quebra de Caixa

Se a distribuição básica de probabilidade de saldos de caixa fica toda a direita do saldo mínimo crítico, o custo de ficar sem caixa é zero. Diferentemente, suponha que essa distribuição básica não esteja inteiramente acima do mínimo crítico. Podemos associar a probabilidade de cair abaixo do mínimo crítico com o custo de quebra de caixa.

Imagine-se que o tesoureiro pode atribuir uma medida monetária definitiva para os custos de quebra de caixa. Como explicado anteriormente, os elementos centrais dos custos de quebra de caixa são a) a quantidade de descontos de caixa perdidos e b) a deterioração dos padrões de crédito. No modelo de risco, o custo de quebrar caixa não dependerá apenas da probabilidade de quebrar caixa, mas também de qual parte da distribuição reside abaixo do mínimo crítico. Normalmente. quanto maior a probabilidade de quebrar caixa maior será o custo de quebra de caixa.

A função custo de quebra de caixa é a relação entre os custos de quebra de caixa e o saldo de caixa inicial do período. Isto é derivado como segue. No problema a mão, a distribuição básica tem uma probabilidade positiva de ficar sem caixa e também um valor para o custo de ficar sem caixa. Se adicionarmos uma unidade monetária ao saldo de caixa inicial do período, a distribuição do saldo de fim de período se deslocará para a direita em $1, reduzindo a probabilidade de ficar sem caixa. De uma maneira semelhante, adicionando-se sucessivas unidades monetárias ao saldo inicial de caixa, poderá se obter um inteiro relacionamento entre o custo de ficar sem caixa e todos os possíveis valores dos saldos iniciais de caixa, e isto é a função de custo de quebra de caixa.

Observe as seguintes características do resultado acima: 1) a adição de uma constante a distribuição básica não altera a forma da distribuição, mas fará declinar o custo de quebra de caixa; e 2) já que o valor esperado da distribuição do saldo de caixa é aumentado de $1 para cada $1 adicionado ao saldo inicial de caixa, então existe um relacionamento implícito entre o custo de quebra de caixa e o valor esperado do saldo de caixa.

A Figura 4.7 ilustra uma função de quebra de CaIXa hipotética. O eixo horizontal representa os saldos de caixa iniciais, C. Suponhamos que ao tesoureiro seja dada a soma de k moedas, a qual deve ser dividida entre o saldo inicial de caixa e a aplicação em papéis de mercado. Na situação I, a alocação da soma k para a conta caixa não é suficiente para zerar o custo de quebra de caixa. O caso Il, entretanto, indica uma situação onde é possível eliminar totalmente o custo de quebra de caixa dentro dos limites da soma k

FIGURA 4.7

Função Quebra de Caixa Hipotética

Caso I

Quebra de Caix

o

k

C

Caso II

Quebra de Caix

o

^k

C

4.3.3. A Função Retomo

A função retomo é definida como os retornos líquidos obtidos após as deduções dos custos de transação, com a manutenção de papéis de mercado pelo período de planejamento do saldo de caixa. Obviamente, estes retornos dependem da quantidade investida nos papéis de mercado.

A Figura 4.8 mostra o gráfico da função retomo. Como na Figura 4.7, o eixo horizontal representa os saldos iniciais de caixa, C. Se o saldo inicial é zero, então a soma monetária k foi investida totalmente em papéis de mercado. Nessa situação, os retornos líquidos a partir da posse de papéis de mercado está no seu ponto máximo, como indicado no eixo vertical. Com menos dinheiro investido, e portanto mais dinheiro no saldo inicial de caixa, o retomo declina. Portanto a curva de retomo declina com o aumento do saldo inicial de caixa até que o montante de k seja colocado nesse saldo inicial, como pode ser visto também na Figura 4.8.

FIGURA 4.8

Gráfico da Função Retomo Líquido

Retorno Líquido

o c

4.3.4. Solução por Enumeração

Para conseguirmos solucionar esse problema, é preciso encontrar um método que combine o custo de quebra de caixa com os retornos liquidos dos papéis. Resolveremos o conflito da seguinte forma: 1) definindo uma função de custo líquido, a qual é precisamente "a função custo de quebra de caixa" menos a "função dos retornos liquidos dos papéis de mercado" e 2) encontrando um saldo inicial de caixa, C, que minimize este custo liquido.