MODELOS DE RISCO

Quando os fluxos de caixa possuem um comportamento probabilístico, o saldo de caixa pode ser visto como um estoque que existe para minimizar as imperfeições de sincronismo entre as entradas e saídas de caixa. Observemos, no entanto, que há uma distinção marcante entre o problema de estoques e o problema dos saldos de caixa. No

primeiro, as saídas são marcadamente probabilísticas e as entradas são controláveis. Já com relação ao saldo de caixa, essas condições se invertem, as entradas de caixa são preponderantemente probabilísticas enquanto as drenagens, ou saídas, são controláveis.

Estaremos agora voltados para modelos que considerarão a distribuição de probabilidade das saídas líquidas de caixa. Estes modelos proporcionam um compromisso mais efetivo entre os elementos conflitantes que são: 1) os custos de quebra de caixa e 2) os retornos associados à manutenção de papéis de mercado.

Os elementos requeridos para este tipo de análise são: 1) as distribuições de probabilidade das saídas líquidas de caixa que refletem o conjunto dos fluxos de todas as outras transações operacionais, 2) a função do custo de quebra de caixa, e 3) a função que caracteriza os retornos futuros a partir da manutenção do investimento em papéis durante todo o período de planejamento do saldo de caixa. A partir do conhecimento dessas informações, o procedimento consiste em escolher um saldo de caixa inicial para o período -Dotação de Caixa - que minimize os custos totais.

4.3.1. A Distribuição de Probabilidade do Saldo de Caixa

O pnmeiro passo para a escolha de um saldo inicial ótimo é o desenvolvimento do conceito de distribuição de probabilidade das saídas líquidas de caixa. O conceito se refere aos possíveis fluxos efetivos líquidos, no fim do período de planejamento, dos vários fluxos de caixa probabilísticos. As saídas líquidas de caixa possíveis podem ser todas positivas, todas negativas ou a combinação de positivos e negativos.

a

s»

Usaremos um conjunto de condições simples para estimar a distribuição de probabilidade do saldo de caixa. No 1º dia de um determinado mês, anteciparemos a distribuição de probabilidade do saldo de caixa por volta do 10º dia deste mesmo mês. Para isso, sabemos que, no mês anterior, as vendas a prazo aos clientes A e B foram respectivamente, $100 e $200. Esses clientes têm direito a um desconto de 2% se os pagamentos forem feitos por volta do dia IOdo mês corrente. Historicamente sabemos que o cliente A aproveita o desconto com probabilidade de 1/2, enquanto o'Cliente B faz uso do desconto com probabilidade de 1/4.

o

comportamento das cobranças no dia 10, dos clientes A e B, é dado pela distribuição conjunta que está reproduzida na Figura 4.4.

FIGURA 4.4

Distribuição Conjunta das Cobranças no Dia 10

Cliente A - $100 Cliente B - $200 Probabilidade Possíveis das Cobranças Cobranças - S

pagar

118 294

3/8 98

1/8 196

3/8

o

Suponha que a distribuição de probabildade das vendas à vista, que é suposta independente do comportamento das vendas a crédito é dada por $50 com probabilidade de

1/2 e $100 com probabilidade de 1/2. A distribuição conjunta dos recebimentos de caixa das cobranças e das vendas à vista está representada na Figura 4.5.

FIGURA 4.5

Distribuição Conjunta dos Recebimentos de Caixa

Probabilidade Posíveis Probabilidade Possíveis Probabilidade Possíveis das Cobranças das Vendas Vendas dos Recebim. Recebim.

Cobranças à^vista àvista de Caixa de Caixa

1/2 ⁵⁰ 1116 3~~

29~

1/2 ₁₀₀

1116 39~

-112 50 3116 1~8

1/2 ₁₀₀

3116 198

50 1116 2~6

1116 296

O 112 50 3116 50

112 100

3116 100

Suporemos ainda que não há outras receitas de carxa probabilísticas no nosso exemplo. No entanto, se existissem outras fontes independentes de receitas, com distribuições de probabilidade conhecidas, elas deveriam ser combinadas com a distribuição conjunta já existente para formar a distribuição conjunta das receitas de caixa probabilísticas.

Note que não chegamos ainda a distribuição das drenagens líquidas de caixa.

Suponha que quaisquer gastos de caixa pertencentes ao conjunto de todas as outras transações operacionais, relativas ao período de planejamento, serão feitas exatamente no dia 10 e são conhecidas com certeza. Sabendo que a soma das saídas determinísticas é $150

ffAC

⁴²

e o valor das entradas determinísiticas é $25, a diferença entre esses dois fluxos é -$125.

Este valor é adicionado com seu sinal negativo a todas as possíveis receitas de caixa probabilísticas da Figura 4.5, resultando a distribuição de probabilidade das drenagens líquidas de caixa, conforme o apresentado na Figura 4.6.

FIGURA 4.6

Distribuição de Probabilidade das Drenagens Líquidas de Caixa no Dia 10

Probabilidade Possíveis Probabilidade Valores Probab. Valores dos Receb. Recebim. das Saídas das Sai. das das de caixa de caixa determínist. determo DLCs DLCs

344 1

-125 1116 219 1

-125 1116 269 1

-125 3116 23

1 -125 3116 73

1 -125 1116 121

1 -125 1116 111

1 -125 3116 -15

1 -125 3116 -25

A distribuição das drenagens líquidas de caixa pode ser vista como a distribuição do saldo de caixa que existiria no fim do príodo se a) todas as outras transações fossem somente aquelas já consideradas e b) a Dotação de Caixa fosse zero. Em virtude das proposições acima, sugere-se que a Dotação de Caixa no início de cada período de análise do saldo, quando adicionada a cada possibilidade de drenagem líquida de caixa, produzirá a distribuição do saldo de caixa no fim do período. A distribuição de probabilidade das drenagens líquidas de caixa é, assim, um caso especial de distribuição do saldo de caixa no fim do período, quando o saldo inicial, isto é, Dotação de Caixa é zero.

A distribuição das drenagens líquidas de caixa deverão, a partir de agora, ser referidas como distribuição de probabilidade básica para saldos de caixa de fim de período.

Podemos influenciar a distribuição de probabilidade do saldo de caixa de fim de período e/ou valores esperados, adicionando-se dinheiro ao saldo de caixa inicial até que uma situação desejada do saldo de fim de período seja alcançada.

Suponhamos que os critérios de decisão especifiquem O'valor esperado para a conta de caixa no final do período. Se o valor esperado da probabilidade básica é M e se o valor esperado desejado é V, então o saldo de caixa ótimo para o início do período é V -M. Isto decorre do fato de que adicionando-se uma constante a uma variável aleatória, altera-se o valor esperado da distribuição pelo valor dessa mesma constante. O resultado mantém-se apenas se V > M, porque se V < M, isto significaria uma redução e não uma elevação do saldo de caixa.

Considere-se um outro critério de decisão, que nos manda escolher um saldo inicial, tal que a probabilidade de ficar sem caixa, ou seja, de ficar abaixo do mínimo crítico no final do período, seja zero ou alguma probabilidade tolerável especificada. Façamos CM e CL representarem, respectivamente, o saldo mínimo crítico e o mais baixo saldo de caixa possível da distribuição básica. Se não pudéssemos tolerar a existência de violação do mínimo crítico, então o saldo de caixa inicial ótimo será dado por:

CM se CL ~ O e (CM - CL) se CL < O.

"

44

Por exemplo, se CM ⁼ O e considerando-se a distribuição básica da Figura 4.6, teremos CL = $-75. O saldo de caixa inicial ótimo será $75, porque esta quantidade, quando adicionada a distribuição da Figura 4.6, faz com que o mais baixo saldo de caixa da distribuição seja zero.

Introduziremos agora um procedimento que busca chegar a uma decisão de saldo ótimo de caixa pela reconciliação do conflito entre incorrer em' custo de quebra de caixa e perder os retornos futuros dos papéis de mercado. O procedimento é primeiro desenhado graficamente seguido pelo desenvolvimento de um método para a solução do problema por enumeração.

4.3.2. A Função do Custo de Quebra de Caixa

Se a distribuição básica de probabilidade de saldos de caixa fica toda a direita do saldo mínimo crítico, o custo de ficar sem caixa é zero. Diferentemente, suponha que essa distribuição básica não esteja inteiramente acima do mínimo crítico. Podemos associar a probabilidade de cair abaixo do mínimo crítico com o custo de quebra de caixa.

Imagine-se que o tesoureiro pode atribuir uma medida monetária definitiva para os custos de quebra de caixa. Como explicado anteriormente, os elementos centrais dos custos de quebra de caixa são a) a quantidade de descontos de caixa perdidos e b) a deterioração dos padrões de crédito. No modelo de risco, o custo de quebrar caixa não dependerá apenas da probabilidade de quebrar caixa, mas também de qual parte da distribuição reside abaixo do mínimo crítico. Normalmente. quanto maior a probabilidade de quebrar caixa maior será o custo de quebra de caixa.

A função custo de quebra de caixa é a relação entre os custos de quebra de caixa e o saldo de caixa inicial do período. Isto é derivado como segue. No problema a mão, a distribuição básica tem uma probabilidade positiva de ficar sem caixa e também um valor para o custo de ficar sem caixa. Se adicionarmos uma unidade monetária ao saldo de caixa inicial do período, a distribuição do saldo de fim de período se deslocará para a direita em $1, reduzindo a probabilidade de ficar sem caixa. De uma maneira semelhante, adicionando-se sucessivas unidades monetárias ao saldo inicial de caixa, poderá se obter um inteiro relacionamento entre o custo de ficar sem caixa e todos os possíveis valores dos saldos iniciais de caixa, e isto é a função de custo de quebra de caixa.

Observe as seguintes características do resultado acima: 1) a adição de uma constante a distribuição básica não altera a forma da distribuição, mas fará declinar o custo de quebra de caixa; e 2) já que o valor esperado da distribuição do saldo de caixa é aumentado de $1 para cada $1 adicionado ao saldo inicial de caixa, então existe um relacionamento implícito entre o custo de quebra de caixa e o valor esperado do saldo de caixa.

A Figura 4.7 ilustra uma função de quebra de CaIXa hipotética. O eixo horizontal representa os saldos de caixa iniciais, C. Suponhamos que ao tesoureiro seja dada a soma de k moedas, a qual deve ser dividida entre o saldo inicial de caixa e a aplicação em papéis de mercado. Na situação I, a alocação da soma k para a conta caixa não é suficiente para zerar o custo de quebra de caixa. O caso Il, entretanto, indica uma situação onde é possível eliminar totalmente o custo de quebra de caixa dentro dos limites da soma k

FIGURA 4.7

Função Quebra de Caixa Hipotética

Caso I

Quebra de Caix

o

k

C

Caso II

Quebra de Caix

o

^k

C

4.3.3. A Função Retomo

A função retomo é definida como os retornos líquidos obtidos após as deduções dos custos de transação, com a manutenção de papéis de mercado pelo período de planejamento do saldo de caixa. Obviamente, estes retornos dependem da quantidade investida nos papéis de mercado.

A Figura 4.8 mostra o gráfico da função retomo. Como na Figura 4.7, o eixo horizontal representa os saldos iniciais de caixa, C. Se o saldo inicial é zero, então a soma monetária k foi investida totalmente em papéis de mercado. Nessa situação, os retornos líquidos a partir da posse de papéis de mercado está no seu ponto máximo, como indicado no eixo vertical. Com menos dinheiro investido, e portanto mais dinheiro no saldo inicial de caixa, o retomo declina. Portanto a curva de retomo declina com o aumento do saldo inicial de caixa até que o montante de k seja colocado nesse saldo inicial, como pode ser visto também na Figura 4.8.

FIGURA 4.8

Gráfico da Função Retomo Líquido

Retorno Líquido

o c

4.3.4. Solução por Enumeração

Para conseguirmos solucionar esse problema, é preciso encontrar um método que combine o custo de quebra de caixa com os retornos liquidos dos papéis. Resolveremos o conflito da seguinte forma: 1) definindo uma função de custo líquido, a qual é precisamente "a função custo de quebra de caixa" menos a "função dos retornos liquidos dos papéis de mercado" e 2) encontrando um saldo inicial de caixa, C, que minimize este custo liquido.

Caso (a): Otesoureiro dispõe do montante k e a tomada de empréstimo está proibida. A Figura 4.9 contém o gráfico dessa relação. Façamos S e R denotarem as funções do custo de quebra de caixa e dos retornos líquidos dos papéis, respectivamente. Para cada valor de C, subtraimos o valor de R do valor correspondente de S, e graficaremos este resíduo como uma série de pontos N. Portanto, a curva N é a função do custo líquido.

Vê-se que Co é a abcissa da curva N onde os custos são minimizados, sendo, portanto, o valor do saldo inicial ótimo de caixa. Logo, k - CO, é a quantidade ótima para investir em papéis de mercado.

Neste modelo supõe-se, que os papéis de mercado são mantidos apenas durante o período de planejamento do caixa. Esta suposição foi feita apenas para simplificar a análise.

FIGURA 4.9

Solução do Modelo de Risco - Caso (a)

Retorno Líquido

c o

Caso (b): O caixa tem zero e os empréstimos estão permitidos. Como a empresa não dispõe de recursos em caixa, tomará dinheiro emprestado pagando um custo de

juros relativo a quantidade tomada emprestada. A fim de simplificarmos a análise suporemos que: 1) qualquer quantidade de dinheiro tomada emprestada está sujeita a uma taxa constante de juros por unidade de tempo, 2) o empréstimo pode ser repago sem nenhuma penalidade, a qualquer tempo, ao banqueiro e 3) o custo de juros excede os retornos líquidos obtidos com o investimento em papéis de mercado. O gráfico do custo de juros é dado na Figura 4.10, onde r indica a quantidade de juros relacionada com o saldo inicial de caixa. A função custo líquido, N, é agora a soma da função custo de quebra de caixa, S, com a função dos juros, r. No ponto onde o custo de quebra de caixa é zero, N deve se juntar à curva do r. A partir desse ponto, N e r se fundem numa única curva.

FIGURA 4.10

Solução do Modelo de Risco - Caso (b)

Retorno

Líquido r

o c

o

saldo de caixa inicial ótimo é o ponto do eixo horizontal correspondente ao mais baixo ponto da curva N, ou seja, Co. Como não se dispõe de nenhum recurso em caixa, a quantidade ótima para se tomar emprestada é também CO.

Agora que já foram explicados os fatores e os procedimentos para resolver os modelos de risco do saldo de caixa, iremos ilustrar as suas aplicações em um caso simplificado.

4.3.5. Análise para 1(um) Único Período

Solução por Enumeração - Suponhamos que se deve determinar o saldo inicial de caixa em 1º de novembro para um período de planejamento do saldo de caixa que se estende de 1º a 10de novembro. As vendas a crédito para os meses anteriores já foram feitas, da maneira explicada anteriormente. Temos, então, que desenvolver a distribuição básica para os saldos do dia 10de novembro.

Suponhamos que se tem um mínimo crítico de $2 e que tomar dinheiro emprestado não é possível. Os custos de quebra de caixa serão incorridos, portanto, pela posposição dos pagamentos. Deixando X significar o valor que estaria abaixo do mínimo crítico no fim do período de saldo de caixa se todas as obrigações fossem pagas, então X representa os pagamentos pospostos. Os custos de quebra de caixa são, portanto, uma função de X que se acredita estar dado pela seguinte equação:

S = O,02X +O,25X

² Eq.4.1

O termo linear da equação é a quantidade de descontos de caixa perdidos nas compras e o termo de 2º grau pode ser tomado como sendo o custo da deterioração do crédito. Em outras palavras, para cada unidade que tivermos de quebra de caixa, deveremos

perder 2 centavos de desconto de caixa e sofrer uma deterioração de crédito que representa uma perda estimada de 50 centavos.

o

retorno sobre os papéis de mercado para os 10 dias do período é O,IM ,

onde M é o montante investido. Supõe-se que quando o papel é adquirido, não pode ser vendido durante o intervalo de 10 dias. Portanto, cada unidade de caixa investida em papéis em 1º de novembro fica congelada até 11 de novembro. Sabendo que os custos de transação somam 10 centavos, a função retorno R para o período pode ser dada pela equação:

R = O,IM -0,1

Eq.4.2

o

^{Quadro 4.}1 apresenta a distribuição básica de probabilidade do saldo de

CaIXa em 10 de novembro. Para obter a solução por enumeração, experimentaremos somente valores inteiros para os saldos iniciais de caixa. Se k ⁼ $5, podemos encontrar uma alocação desta quantidade de caixa entre papéis e o saldo inicial de caixa, que minimize a expectativa de custos líquidos para o período de 1º a 10 de novembro. A função custo líquido, N, é S menos R, sendo então dada por:

S-R= 0,02X +0,25X

²

-(O,IM -0,1)

^Eq.4.3

QUADRO 4.1

Distribuição Básica de Probabilidade do Saldo de Caixa no dia 10 de Novembro

Probabilidade 3/8 3/8 1/8 1/8

Saldo de Caixa -$2 -$1 $0 $3

Fonte: Informações dadas pelo autor no referido capítulo.

Está claro que um saldo inicial de zero ou 1 violarão já no início do período o mínimo crítico. Portanto, as políticas a serem avaliadas, são aquelas que no instante zero satisfazem o mínimo crítico. Estas consistem de saldos iniciais de 2, 3, 4 e 5 unidades monetárias. Se colocarmos $2 no saldo inicial de caixa e aplicarmos $3 em papéis, deslocaremos em $2 para a direita a distribuição de probabilidade do saldo de caixa de fim de período apresentada no Quadro 4.1, resultando o Quadro 4.2.

QUADRO 4.2

Distribuição Básica de Probabilidade Deslocada para a Direita em $2

Probabilidade 3/8 3/8 1/8 1/8

Saldo de Caixa $0 $1 $2 $5

Fonte: Informações dadas pelo autor no referído capítulo.

Observando-se o Quadro 4.2, constatamos que os saldos que violam o mínimo crítico de $2 são $0 e $1, com probabilidade de 3/8 cada um. Como não podemos permitir que esses saldos ocorram, nós postergaremos os pagamentos de $2 e de $1 e incorreremos nos custos de quebra de caixa calculados pela equação 4.1, mostrados abaixo:

S=0,02x2+0,25x(2)2 = 1,04

,paraX=2,comprobabildadede3/8

S = 0,02

^X

2 + 0,25

^X

(1)2 ⁼ 0,27

^{,para X = 1,}com probabilidade de 3/8

Os valores da função S para cada uma das outras possíveis saídas do Quadro 4.2, isto é, saldos de caixa finais de $2 e $5 são zero. Assim, o valor esperado para o custo de quebra de caixa para um saldo inicial de $2 é dado por:

S = (3/8)

x

[0,02

x

2 + 0,25

^X

(2)2] + (3 /8)

x

[0,02

x

1+ 0,25

^X

(1)2]+

+(1/8)

x

0+ (l / 8)

x

O:.

S = 0,39 +0, 101 = ^0,491

Para chegarmos ao valor esperado do custo líquido, N, calcularemos o retomo R para M =3 e deduziremos este valor de S:

R = ^0,1

^X

^3-0,1 = ^0,2

N = S - R = 0,491 + 0,2 = 0,291

Fazendo uso dos passos descritos acima, calculamos os valores esperados dos custos líquidos para os outros possíveis saldos iniciais, ou seja, C

=

3, C

=

4 e C

=

5, e chegamos aos resultados apresentados no Quadro 4.3.

QUADRO 4.3

Resumo dos Valores dos Custos Líquidos Esperados para cada Possível Saldo Inicial de Caixa

Valor Valor

Esperado Esperado

C X S Probabilidade do Custo R dos

de Quebra Custos

de Caixa Líquidos

$2 2 1,04 3/8 0,390

1 0,27 3/8 ,101

O O 1/8 O 0,2 ,291

$3 1 0,27 3/8 0,101

O O 5/8 O 0,1 0,001

$4 O O 1 O O O

$5 O O 1 O O O

Fonte: Informações dadas pelo autor no referido capítulo.

Baseados nas condições especificadas para o problema, um saldo inicial de caixa de $4 ou de $5, minimiza os custos líquidos esperados.

4.3.6. Solução para a Obtenção do Ponto Ótimo

Este valor mínimo pode também ser obtido por um procedimento recursivo.

Com a particular função deste exemplo, a combinação de uma reta com uma parábola, é fácil verificar que começando com C = $0 e para um crescimento contínuo de C, a função do custo líquido primeiro declina continuamente, passa por um mínimo, e então cresce continuamente.

Suponhamos que se escolham dois valores possíveis para a dotação de caixa, digamos C 1 e C2 tais que C2 > C 1. Compute-se para ambos, o respectivo valor N para os custos líquidos e denotando-os por N 1 > N2 ou N2 > N 1 . Se N 1 > N2 então o valor mínimo de N está associado a um valor C > C 1, isto é, ele está entre C 1 e C2 ou é maior que C2. Usamos então um valor C3 > C2 e computaremos N3 .Se N3 > N2, o mínimo está entre C1 e C3· Se N3 >N2, o mínimo pode estar entre C2 e C3 ou estar adiante de C3·

Repetindo-se o procedimento descrito, pode-se aproximar o valor de C que minimiza N.

Se N 1>N2 procede-se de forma semelhante. Neste caso o C ótimo deverá ser menor que C2. Escolhe-se um valor C3 menor que C1 e se computa N3. Se N3 >N}, então o C ótimo está entre C3 e C2. Se N3 >N 1, então o mínimo pode estar entre C3 e C1 ou abaixo de C 1.Repetindo-se as tentativas, pode-se igualmente aproximar o mínimo de C que é a dotação de caixa ótima.

s

Outro procedimento numérico para se obter o mínimo de uma função

"piecewise" como a do exemplo, isto é, uma função composta por trechos de outras funções, é estabelecer a precisão desejada para o cálculo, digamos 1 centésimo da unidade de C, e fazer, com o auxílio de um computador uma varredura nessa "piecewise" pondo-se no trono de mínimo o valor de N e no trono de ótimo o valor de C. Ao fim da varredura, se houver um só minímo, ele estará identificado, com a precisão desejada, pelos valores encontrados nos dois tronos.

Um procedimento mais elegante sena o estudo algébrico de máximos e mínimos para cada um dos trechos da função "piecewise", através do qual se obtém o exato resultado, até o limite de precisão da máquina empregada no seu cálculo.

Em ciências sociais, devido as imperfeições das equações que retratam os comportamentos que analisam, precisões exageradas não são nem necessárias nem convenientes. A dotação inicial ótima de caixa não precisa ser calculada com centavo, sendo mesmo já pretencioso calculá-Ia a nível de uma unidade monetária.

No documento DOTAÇÃO DE CAIXA (páginas 50-68)