Which of the following GARCH models will take the shortest time to revert to its mean? a

Gabarito Lista 1 - 2011

1. Escolha um caso de perdas financeiras e faça um pequeno resumo sobre os acontecimentos (cerca de 2 ou 3 páginas). Não esqueça de contextualizar os fatos no ambiente econômico, relatar as falhas que levaram aos problemas, as medidas que poderiam ter sido tomadas para evitar as perdas e descrever os tipos de risco.

2. Ex. 14.4 pg. 342 Financial Risk Management Handbook – Jorion Exemplo 14.4: FRM EXAM 2004 – Questão 3

Let ht be the variance at t and r²t-1 the squared return at t-1. Which of the following GARCH models will take the shortest time to revert to its mean?

a. ht = 0.02 + 0,06 r²t-1 + 0,93 ht-1

b. ht = 0.03 + 0,04 r²t-1 + 0,94 ht-1

c. ht = 0.04 + 0,05 r²t-1 + 0,95 ht-1

d. ht = 0.05 + 0,01 r²t-1 + 0,96 ht-1

No modelo GARCH, a dinâmica da variância é dada por:

2 1 2

1 2



 



 _{t t}

t  r 



Observe que α controla a sensibilidade da volatilidade com relação a choques no retorno. E β controla a persistência da volatilidade condicional.

Se tomarmos o valor esperado para o período t+1 baseado em informações até a data t, obtemos a seguinte relação para a previsão da variância 1 período à frente:

2 2 2

1 t t

t  r 

 _   

Realizando a previsão para j períodos à frente, temos que o valor esperado do retorno ao quadrado é a própria variância (supondo que a média do retorno é zero). Assim, obtemos a seguinte relação para a previsão da variância j períodos à frente:

 

2





_j    _{t j}

t    



No estado estacionário, teremos a variância de longo prazo. Neste estado, a previsão da variância não muda ao avançarmos um período no tempo.

Igualando a variância no período t+j à do período t+j-1, temos o seguinte:

 

















 







  1

2

2 2

2

L

L L

j t

V

V V

onde V_L² é a variância de longo prazo.

Assim, vemos que, quanto menor o termo (α + β), mais rápida será a convergência para a Vol de longo prazo.

Obtemos o menor valor para este termo no item D, onde (α + β), = 0,97.

3. Ex. 14.5 pg. 344 Financial Risk Management Handbook - Jorion EXAMPLE 14.5: FRM EXAM 2002 – QUESTION 13

The GARCH model is useful for simulate asset returns. Which of the following statement about this model is false?

a. The Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) approach of RiskMetrics is a particular case of a GARCH process.

b. The GARCH allows for time-varying volatility.

c. The GARCH can produce fat tails in the return distribution.

d. The GARCH imposes a positive conditional mean return.

A) Verdadeiro.

O modelo GARCH(1,1) é dado por:

2 1 2

1 2



 



 _{t t}

t  r 



Se escolhermos α = (1 – λ) , β = λ , ω = 0 , teremos

 

2 1

2  _t  1 _t

t   r



que é exatamente a especificação do modelo EWMA.

B) Verdadeiro. A variância condicional muda de acordo com a dinâmica

2 1 2

1 2



 



 _{t t}

t  r 

 .

C) Verdadeiro. Como o modelo GARCH consegue capturar episódios de clusters de volatilidade, assim ele consegue produzir distribuições que com caudas mais largas (curtose elevada) do que a distribuição normal.

D) Falso. O modelo GARCH não coloca restrição sobre a média condicional do retorno. Normalmente supomos média zero apenas para facilitar as contas, mas podemos também estimar o modelo supondo uma média não nula, sem restrição de sinal.

4. Ex. 14.6 pg. 344 Financial Risk Management Handbook – Jorion EXAMPLE 14.6: FRM EXAM 1999 – QUESTION 103

The current estimate of daily volatility is 1.5 percent. The closing price of an asset yesterday was $30.00. The closing price of the asset today is $30.50. Using EWMA model with λ = 0.94, the updated estimate of volatility is:

e. 1.5096 f. 1.5085 g. 1.5092 h. 1.5083

O modelo EWMA é dado por:

 

2 1

2  _t  1 _t

t   r



Substituindo os valores dados na questão, temos:

 ²   ²

2

30 5 , ln 30 94 , 0 1 015 , 0 94 ,

0 

 



 



 



 



t 



% 5096 ,

1

t

5. Ex. 14.7 pg. 344 Financial Risk Management Handbook – Jorion EXAMPLE 14.7: FRM EXAM 1999 – QUESTION 72

Until January 1999 the historical volatility for the Brazilian real versus the U.S.

dollar had been very small for several years. On January 13, 1999, Brazil abandoned the defense of currency peg. Using data from the close of business on January 13^th, which of the following methods for calculating volatility would have shown the greatest jump in measured historical volatility?

a. 250-day equal weight

b. Exponentially weighted with a daily decay factor of 0.94 c. 60-day equal weight

d. All of the above

O modelo EWMA atribui um peso de (1 – λ) = 0,06 para a última observação do retorno. Este peso é maior do que o peso de ^0,004

250 1  do modelo do item A . E também é maior do que o peso de ^0,0167

60

1  do

modelo do item C. Logo, a resposta é letra B.

6. Hull – 17.2 pg. 389

17.2 What is the difference between the exponentially weighted moving average model and the GARCH(1,1) model for updating volatilities?

O modelo GARCH(1,1) é dado por:

2 1 2

1 2



 



 _{t t}

t  r 



Se escolhermos α = (1 – λ) , β = λ , ω = 0 , teremos

 

2 1

2  _t  1 _t

t   r



que é exatamente a especificação do modelo EWMA. Ou seja, o EWMA é um caso particular do GARCH.

No modelo GARCH, a variância de longo prazo é dada por ^{VL2 }_1^_ . Como no modelo EWMA temos que α+β = 1, o denominador da última fração seria igual a zero. Ou seja, no modelo EWMA não converge para uma variância de longo prazo, pois o processo da variância não é estacionário. A estrutura a termo da previsão das volatilidades do modelo EWMA é plana (a estimativa EWMA corrente da volatilidade é a previsão da volatilidade para todos os horizontes de risco), e no modelo GARCH a previsão muda para cada prazo, sendo que no longo prazo a volatilidade será igual ao VL da fração acima (caso α+β < 1).

7. Hull – 17.3 pg. 389

17.3 The most recent estimate of the daily volatility of an asset is 1.5% and the price of the asset at the close of trading yesterday was $30.00. The parameter λ in the EWMA is 0.94. Suppose that the price of the asset at the close of trading today is $30.50. How will this cause the volatility to be updated by the EWMA model?

O modelo EWMA é dado por:

 

2 1

2  _t  1 _t

t   r



Substituindo os valores dados na questão, temos:

 ²   ²

2

30 5 , ln 30 94 , 0 1 015 , 0 94 ,

0 

 



 



 



 



t 



% 5096 ,

1

t

8. Hull – 17.4 pg. 389

17.4 A company uses a EWMA model for forecasting volatility. It decides to change the parameter λ from 0.95 to 0.85. Explain the likely impact on the forecasts.

O termo λ controla a resposta a novas informações de retorno. Um lambda menor implica num maior peso (1 - λ) ao termo do retorno ao quadrado na equação do EWMA. Nesta situação, um retorno elevado afeta rapidamente a estimativa de volatilidade.

9. Hull – 17.6 pg. 389

17.5 A company uses GARCH(1,1) model for updating volatility. The three parameters are ω, α and β. Describe the impact of making a small increase in each of the parameters while keeping the others fixed.

O modelo GARCH(1,1) é dado por:

2 1 2

1

2   _t  _t

t  r 



O termo ω está associado à volatilidade de longo prazo VL, dada por:









  1

2

VL

Logo, um aumento em ω irá aumentar a volatilidade de longo prazo, que é o valor para o qual a previsão converge conforme aumenta o prazo da previsão.

O termo α mede a sensibilidade da volatilidade a choques no retorno. Um aumento neste termo torna o modelo mais sensível a informações recentes de retorno.

O termo β controla a persistência da volatilidade condicional. Quanto maior este termo, mais persistente será a volatilidade.

10. Hull – 17.8 pg. 389

17.8 Assume that S&P 500 at close of trading yesterday was 1,040 and the daily volatility of the index was estimated as 1% per day at that time. The parameters in a GARCH(1,1) model are ω = 0.000002, α = 0.06 and β = 0.92.

If the level of the index at close of trading today is 1.060, what is the new volatility estimate?

O modelo GARCH(1,1) é dado por:

2 1 2

1 2



 



 _{t t}

t  r 



Substituindo os valores, temos:





92 , 1040 0

ln 1060 06 , 0 000002 ,

0 ²

2



 



 



 



 



 

t 



11. Hull – 17.9 pg. 390

17.9 Suppose that the current daily volatilities of asset A and asset B are 1.6% and 2.5%, respectively. The prices of the asset at close of trading yesterday were

$20 and $40 and the estimate of the coefficient of correlation between the returns on the two assets made at that time was 0.25. The parameter λ used in EWMA model is 0.95.

a. Calculate the current estimate of the covariance between the assets.

b. On the assumption that the prices of the assets at close of trading today are $20.5 and $40.5, update the correlation estimate.

Dados:

0124 , 40 0

5 , ln 40

0247 , 20 0

5 , ln 20 95 , 0

25 , 0

025 , 0

016 , 0

1 ,

1 ,

1 ,

1 ,

1 ,





 



 





 



 



















n B

n A

n AB

n B

n A

r r









A covariância entre os ativos será:

0,0160,025 0,0001 25

, 0

cov_n1  _AB,n1_A,n1_B,n1  

O modelo EWMA para covariâncias é dado por:

¹  ^0,95^0,0001 ^0,05^0,0247^0,0124 ^0,00011

cov

cov_n  _n1  r_A,n1r_B,n1   

Atualizando também as medidas de variância, temos:

1  ²_{, 1 ,} 0,950,016² 0,050,0247² 0,01654

2 1 , 2

,n  An   An  An   

A   r 



Da mesma forma, _B,_n ^0,02452

Assim, a correlação atualizada será:







00011 , cov 0

, ,

,   

n B n A

n n

AB  



12. Hull – 17.11 pg. 390

17.11 Suppose that the current daily volatilities of asset X and asset Y are 1.0% and 1.2%, respectively. The prices of the assets at close of trading yesterday were

$30 and $50 and the estimate of the coefficient of correlation between the returns on the two assets made at this time was 0.50. Correlations and

volatilities are updated using GARCH(1,1) model. The estimates of the model’s parameters are α = 0.04 and β = 0.94. For the correlation ω = 0.000001, and for the volatilities ω = 0.000003. If the prices of the two assets at close of trading today are $31 and $51, how is the correlation estimate updates?

O modelo GARCH para covariâncias é dado por:

1 1

1 cov

cov_n _c x_n y_n  _n

onde xn é o retorno do ativo x no período n, yn o retorno do ativo y no período n.

Da mesma forma, temos as seguintes dinâmicas GARCH para as variâncias de cada ativo:

2 1 , 2

1 2

,

2 1 , 2

1 2

,





















n y n

v n y

n x n

v n x

y x

















onde

0198 , 50 0 ln 51

0328 , 30 0 ln 31

000003 ,

0

000001 ,

0 94 , 0

04 , 0

00006 , 0 cov 5

, cov 0

012 , 0

01 , 0

1 1

1 1

, 1 ,

1 1

1 ,

1 ,





 



 





 



 































 





n n v c

n n

y n x

n n

n y

n x

y x











 





Aplicando as fórmulas acima, encontramos as seguintes respostas:

% 77 , 56

% 24 , 1

% 18 , 1

, ,







n n y

n x







13. Hull – 17.17 pg. 391 – (Se preferir troque a base por IBOVESPA – 3 anos de dados ou uma ação qualquer líquida).

17.7 An Excel spreadsheet containing 500 days of daily data on a number of different exchange rate and stock indices can be downloaded from the author’s Web site:

www.rotman.utoronto.ca/~hull

Choose one exchange rate and one stock index. Estimate the value of λ in the EWMA models that minimizes the value of:

Σ

where vi is the variance forecast made at the end of day i-1 and βi is the variance calculated from data between day i and day i + 25. Use the Solver tool in Excel. Set the variance forecast at the end of the first day equal to the square of the return on that day to start the EWMA calculations.

Utilizei dados da VALE5 do período entre 02/01/2001 e 08/04/2008.

Para a estimação, segui o seguinte procedimento.

Obtive os retornos em log a partir dos preços históricos de fechamento. Em seguida, utilizando o modelo EWMA dado por

 

2 1

2  _t  1 _t

t   r



criei uma coluna com a variância estimada pelo EWMA atribuindo um valor inicial escolhido ao acaso para o termo λ. Em seguida, criei uma coluna com a variância realizada, como sendo a variância amostral dos próximos 25 dias.

Em seguida, criei uma coluna para o desvio ao quadrado, como sendo a subtração entre as colunas da variância EWMA e da variância realizada, elevada ao quadrado. Por último, utilizei o solver do excel para minimizar o somatório dos resíduos ao quadrado, variando o lambda, e adicionei a restrição de que o lambda teria que estar entre 0 e 1, encontrando um lambda ótimo de 0,895519.

14. Use dados diários do Ibovespa entre 2001 e 2008.

a. Teste a existência de heterocedasticidade

b. Estime um modelo GARCH(1,1) para o Ibovespa, supondo que os retornos diários são normais com média nula.

Podemos analisar o correlograma dos resíduos ao quadrado de uma estimação MQO apenas contra uma constante.

Primeiro criamos a equação:

Em seguida, aplicamos o teste Ljung-Box Q-Statistics na seguinte opção:

Esta opção aplica o teste Ljung-Box Q-Statistics, onde a hipótese nula é que não existe autocorrelação até a ordem do lag que está sendo testado (conjuntamente, lag 1, lag 2, ... , até o lag que está sendo testado). A coluna Prob = 0.000 indica que você pode rejeitar a hipótese que não existe autocorrelação, ou seja, neste caso existe autocorrelação, indicando heterocedasticidade nos dados.

Podemos estimar o modelo GARCH escolhendo as seguintes opções em uma equação do Eviews:

Obtemos o seguinte resultado:

885466 ,

0

077450 ,

0 10 33 ,

1 ⁵

2 1 2

1 2

































x

r_{t t}

t