MAT5711 - CÁLCULO AVANÇADO
LISTA 2 Prof. Vera Carrara Monitor: Adam Rudnik
08/04/2019
Exercício 1.Sejaf :[0,1] × [0,1] →Rdada por
f(x,y)=
(0, sex ,y 1, sex =y Mostre que f é integrável e calcule´
[0,1]×[0,1]f. Exercício 2.Sejaf :[0,1] × [0,1] →Rdefinida por
f(x,y)=
(1, sex =n1 para n inteiro positivo, e 0, nos demais casos
Prove quef é integrável em[0,1] × [0,1]e calcule´
[0,1]×[0,1]f. Exercício 3.Prove que nenhum aberto tem medida nula emRN. Exercício 4.Prove queRN−1× {0}tem medida nula emRN.
Exercício 5.Prove que o conjunto dos irracionais em[0,1]não tem medida nula emR.
Exercício 6.Sejaf :[0,1] →Ruma função integrável. Prove que o gráfico de f tem medida nula emR2. Exercício 7.Sejaf :[0,1] →Ruma função real definida por:
f(x)=
(0, sex ∈R−Q
1/q, se x = p/q na forma irredutível Prove que f é integrável e calcule´
[0,1]f.
(Sugestão: dado n, veja quantos racionaispq existem comn1 ≤ pq ≤1 eq ≤ne use isto para mostrar que f é continua nos irracionais.)
Exercício 8. O conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função crescente f : [a,b] → Rtem medida nula (Sugestão:{x :◦(f,x) ≥ n1 é finito}.)
Exercício 8.∗(Consequência) Suponha que f : [a,b] → Ré não decrescente em [a,b]. Note que f é automaticamente limitada neste intervalo. Prove que f é integrável.
1 sim
sim
sim
sim Para simplificar, prove que um segmento horizontal,
tipo [0,1] X {0}, tem medida zero em R^2 sim
sim sim
Este exercício pode ser também encontrado no meu registro em pdf
prove também que f é descontiínua nos racionais
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visualizei os exercícios até aqui, 13.5.2020
Exercício 9.Sejamfi :[ai,bi] →Rfunções contínuas,i=1, ...,NeQ=[a1,b1] ×...× [aN,bN]. Denote porxi a variável no intervalo[ai,bi]. Mostre que
ˆ
Q f1(x1)...fN(xN)dx1...dx1=ˆ
[a1,b1]
f1(x1)dx1
...ˆ
[aN,bN]
fN(xN)dxN
Exercício 10.Mostre que sef eдsão integráveis sobre um retâmguloR ⊂R2então valem as proprieda- des:
a. f.дé integrável emR.
b. Suponhamosf positiva [isto é, f ≥0]. Então, temos´
Rf dxdy =0 se, e somente se, f é nula com a possível exceção do conjunto de medida nula constituído por seus pontos de descontinuidade.
Nota. Observe que estes exercícios emR2são imediatamente generalizáveis para oRn. Exercício 11.Sef,д:A⊂Rn →Rsão integráveis, prove a desigualdade de Schwarz:
hˆ
Af(x)д(x)dxi2
≤ ˆ
Af(x)2dx· ˆ
Aд(x)2dx.
Exercício 12.Calcule o limite:
n→∞lim
√n
e+√n
e2+...+√n en
n .
Dica. Considere uma partiçãoP ⊂ [0,1]denpartes iguais e uma soma superior para alguma função adequada.
Exercício 13.SejamS1eS2conjuntos limitados e J-mensuráveis emRN,S S1∪S1ef :S → Ruma função limitada. Se as restriçõesf
S
1 ef S
2são integráveis então f é integrável emSe emS1∩S2, e vale ˆ
Sf + ˆ
S1∩S2
f = ˆ
S1
f + ˆ
S2
f.
Exercício 14.Seja S um subconjunto limitado emRN e sejamf,д:S→Rintegráveis.
a. Mostre que, sef =дexceto, possivelmente, em um conjunto de medida nula emRN, então´
Sf =´
Sд.
b. Mostre que, sef ≤дem S e´
Sf =´
Sд, entãof =дexceto em um conjunto de medida nula emRN. Exercício 15.Prove que:
1. SeC ⊂ RN tem conteúdo nulo entãoC ⊂ Q para algum retângulo fechado deRN com os lados paralelos aos eixos coordenados. Além disso, C é J-mensurável e vale´
QχC =0.
2. Se C tem medida nula e se C é J-mensurável então´
QχC =0 para qualquer retângulo Q comC⊂Q.
3. Construa um exemplo de um conjunto de medida nula que não seja J-mensurável.
Exercício 16.SejaC ⊂RN um conjunto limitado. Seja Q um retângulo fechado como no exercício15. Se C tem medida nula e se a integral´
AχC existe, então´
AχC =0.
Exercício 17.Demonstre, para uma função contínuaf :[a,b] × [a,b] →R, que ˆ b
a
ˆ y
a f(x,y)dxdy= ˆ b
a
ˆ b
x f(x,y)dxdy.
2
Exercício 18.Mostre que um conjunto ilimitado não pode ter conteúdo nulo.
Exercício 19.Dê exemplo de um conjunto fechado de medida nula que não tem conteúdo nulo.
Exercício 20.Faça os exercícios de 9 à 13 da lista de revisão 2 e justifique os cálculos, citando os resultados usados.
Exercício 21.Seja S o tetraedro dado pelos(x1,x2,x3)tais quexi ≥0 ex1+x2+x3≤1.
a. Calcule o volume de S.
b. Calcule´
Sf paraf(x,y,z)=x2.
Justifique os cálculos citando os resultados usados.
Exercício 22.SejaS ⊂R4dado pelos(x1,x2,x3,x4)tais quexi ≥0 ex1+x2+x3+x4. Calcule o volume de S citando os resultados usados.
Exercício 23.Sejaf :[a,b] →Rintegrável e não negativa e sejaS ={(x,y):a ≤x ≤b0≤y ≤f(x)}.
Mostre que S é J-mensurável e que sua área mede´b
a f.
Exercício 24.(O Princípio de Cavalieri) SejamA,B ⊂R3J-mensuráveis, e sejaAc={(x,y,z):(x,y,c) ∈ A}eBcdefinido analogamente. Suponha queAceBcsejam J-mensuráveis, para cada c real, e que tenham e mesma área. Mostre que A e B tem o mesmo volume.
Exercício 25.Sejaλ:[0,1] →Rnuma curva de classeC1por partes. Então, a imagem deλtem conteúdo nulo emRn.
Definição. Um conjuntoX ⊂RN é conexo por caminhos se dados dois pontos arbitráriospeqambos emX então existe uma curva contínuaγ :[0,1] →X com ponto inicialγ(0)=pe ponto finalγ(1)=q.
Exercício 26. Seja f : A ⊂ RN → Rintegrável e contínua, comAconexo por caminhos e ∂Acom conteúdo nulo. Então, existep ∈Atal que
ˆ
Af(x)dx =f(p) ˆ
Adx
Exercício 27.Mostre que uma função contínua definida em um intervalo compacto deRdeve ser inte- grável.
3
