MAE0524 - An´alise Bayesiana de dados - primeiro semestre de 2016 Professora: M´arcia D’Elia Branco
Lista 4
1) Um professor resolveu comparar dois m´etodos de ensino. Para tal, agrupou os alunos em pares de modo a garantir um n´ıvel idˆentico de forma¸c˜ao b´asica e rendimento pr´evio. Um elemento de cada par foi escolhido aleatori- amente para formar a turma A, onde foi aplicado o m´etodo tradicional. Os restante formaram a turma B, onde uma nova metodologia foi introduzida.
As notas dos alunos s˜ao apresentadas a seguir.
M´etodo A 6 0 6 4 0 6 0 3 4 3 2 M´etodo B 7 1 5 5 4 7 8 0 7 9 0
Detemine um intervalo de credibilidade 0.90 para a m´edia de diferen¸ca entre os dois m´etodos. Podemos concluir que o rendimento m´edio dos estu- dantes em um dos dois m´etodos ´e superior ao outro? Indique as suposi¸c˜oes que devem ser consideradas para solu¸c˜ao do exerc´ıcio.
2) Dois m´etodos diferentes de medi¸c˜ao A e B foram avaliados para medir determinado objeto de pequena dimens˜ao. Como resultado de 15 medi¸c˜oes feitas pelo m´etodo A obteve-se a variˆancias2A = 7.533. Para 25 medi¸c˜oes com B, obteve-se s2B = 1.112. Obtenha um intervalo de credibilidade para raz˜ao das variˆancias com probabilidade 0.95. Indique as suposi¸c˜oes que devem ser consideradas para solu¸c˜ao do exerc´ıcio.
3) Os dados abaixo apresentam o comprimento do ovo de um determinado p´assaro, que possuem duas variedades diferentes: D e RW. As amostras foram obtidas independentemente.
D 22.0 23.9 20.8 23.8 25.0 24.0 21.7 23.8 22.8 23.1 RW 23.2 22.0 22.2 21.2 21.6 21.9 22.0 22.9 22.8
Compare os comprimentos m´edios dos ovos das duas variedades.
4) Num estudo a respeito do efeito de radia¸c˜ao em pacientes com cˆancer de pulm˜ao, formam considerados dois grupos. O primeiro com 308 pacientes
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foi submetido a radia¸c˜ao e o segundo com 246 pacientes foi considerado como placebo. Ap´os um ano de estudo observou-se o n´umero de sobreviventes em cada caso, resultando 56 e 34 sobreviventes, respectivamente, para o primeiro e segundo grupo.
a) Encontre a probabilidade aproximada de que o logaritmo da raz˜ao de chances de sobrevivˆencia seja positivo. Qual sua conclus˜ao ?
b) Calcule a probabilidade aproximada de que a chance de sobrevivˆencia dos pacientes submetidos a radia¸c˜ao seja pelo menos 0.01 vezes maior que a daqueles n˜ao submetidos.
5) Suponha que 197 animais s˜ao distribu´ıdos em 4 categorias com as seguintes frequencias:
Categoria 1 2 3 4
Frequencia 125 18 20 34
Assuma que as probabilidades das 4 categorias s˜ao dadas, respectiva- mente, por 12 +θ4 , (1−4θ) , (1−4θ) e θ4 ; com 0< θ <1.
(a) Considerando uma distribui¸c˜ao a priori uniforme para θ, obtenha o n´ucleo da densidade a posteriori para o logito η=log(θ/(1−θ)).
(b) Use a aproxima¸c˜ao normal da posteriori para obter o intervalo de credibilidade paraηcom probabilidade 0.95. A partir deste intervalo obtenha o intervalo de credibilidade para θ.
(c) Use simula¸c˜ao para obter o intervalo de credibilidade 0.95 para θ.
6) Um vendedor recebe pedidos de compra por telefone de duas ´areas geogr´aficas. Na primeira ´area os pedidos chegam a uma taxa λ1 por semana;
na segunda ´area a uma taxaλ2por semana. Assuma que a entrada de pedidos se comporta segundo uma distribui¸c˜ao de P oisson(λt), em quet ´e o n´umero de semanas. Uma s´erie de anuncios foi colocada nos jornais da primeira
´area por 4 semanas, resultando num total de vendas igual a 260 unidades (em 4 semanas). No mesmo periodo na ´area dois foi observado um total de 165 unidades vendidas. O vendedor deseja concluir sobre a efetividade dos anucios; para medir isso deve calcular P(λ1 >1.5λ2 |x1, x2).
(a) Considere as seguintes distribui¸c˜oesa priori : λ1 ∼Gama(144,2.4) e λ2 ∼Gama(100,2.5). Obtenha as m´edias e variˆancias a priori.
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(b) Mostre que a posterioriλ1 e λ2 s˜ao independentes e especifique suas distribui¸c˜oes, bem como suas m´edias e variˆancias.
(c) Usando simula¸c˜ao, obtenha um valor aproximado para a probabilidade desejada e conclua.
7) Seja X = (X1, X2) um vetor aleat´orio multinomial, cuja densidade ´e dada por
f(x1, x2 |θ1, θ2) = n!
x1!x2!(n−x1−x2)!θx1θx22(1−θ1−θ2)n−x1−x2 xi = 0,1, . . . , n i = 1,2 0≤x1+x2 ≤n.
(a) Obtenha a priori de Jeffreys para (θ1, θ2).
Se ao inv´es de trabalhar com (θ1, θ2) o estat´ıstico decide trabalhar com a reparametriza¸c˜ao λ= θ θ1
1+θ2 e ψ =θ1+θ2, determine:
(b) a densidade como fun¸c˜ao deλ eψ. Use a regra de Jeffreys para obter a priori n˜ao-informativa para (λ, ψ).
(c) Para cada uma das parametriza¸c˜oes anterioris, proponha uma priori conjugada e obtenha a densidade a posteriori.
8) Seja X |λ∼P oisson(λ) e λ∼Gama(a, b).
(a) Obtenha a aproxima¸c˜ao normal da distribui¸c˜ao a posteriori deλ.
(b) Considere a transforma¸c˜ao ψ = logλ. Obtenha as distribui¸c˜oes a posteriori exata e normal aproximada para ψ.
(c) Assuma que os dados abaixo representem os resultados de uma amos- tra com n = 15 observa¸c˜oes de uma Poisson. Fa¸ca a representa¸c˜ao gr´afica comparativa das distribui¸c˜oes a posteriori exatas e aproximadas. Qual ´e a melhor aproxima¸c˜ao?
n´umero de particulas 0 1 2 3 4 5
frequencia 2 4 4 3 1 1
Entrega: 24 de maio. Somente os exerc´ıcios: 1, 2, 6 e 7
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