Cota inferior para autovalores de hipersuperfícies mínimas mergulhadas na esfera euclidiana

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

CURSO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

Tiago Mendon¸ca Lucena de Veras

Cota inferior para autovalores de hipersuperf´ıcies m´ınimas

mergulhadas na esfera Euclidiana.

Tiago Mendon¸ca Lucena de Veras

Cota inferior para autovalores de hipersuperf´ıcies m´ınimas

mergulhadas na esfera Euclidiana.

Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, da Universidade Federal do Cear´a, como requisito para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica.

´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

mergulhadas na esfera Euclidiana/ Tiago Mendon¸ca Lucena de Veras.- Fortaleza, 2011.

50 f.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros. ´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica

Disserta¸c˜ao (Mestrado) - Universidade Federal do Cear´a,

Centro de Ciˆencias, Departamento de Matem´atica, Fortaleza, 2011.

Dedico este trabalho aos meus paisPedro Fernando

Lucena de Veras e Ozani Ferreira Mendon¸ca

Agrade¸co aos Meus pais e meu irm˜ao que nunca mediram esfor¸cos para me ajudar. Agrade¸co `a Minha av´o Ivone Lucena, aos meus tios e tias, em especial Orlando, Ozinete, Oswaldo, Ozilene, Cristina e Cl´audia. Minhas primas Pollyana, Fernanda e Roberta; e ao meu primo J´unior. Agrade¸co aos saudosos Issac Veras e Idalice Mendon¸ca.

Agrade¸co tamb´em ao professor Abdˆenago Alves de Barros, pela orienta¸c˜ao. Agrade¸co `as minhas professoras da UFRPE Maria Eul´alia de Morais Melo, M´arcia Pragana Dantas e Mait´e Kulesza por sempre acreditarem e incentivarem meu cami-nho, este voto de confian¸ca jamais ser´a esquecido. Ao professor Adriano Regis pela palavras de incentivo e por toda ajuda, ele foi minha referˆencia de que tudo isso era poss´ıvel.

Aos amigos da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFC, Jo˜ao Filho, Kelton, Adam, Hallyson, Manoel Vieira, Fl´avio Cruz, Raimundo Bastos, Francisco Calvi , Dami˜ao J´unio, Chaves, Thiarlos Cruz, Jo˜ao Vitor e Davi.

Agrade¸co em Especial a Ana Shirley, Vˆania, Priscila Alcantara, Rondinelle Mar-colino, Wilson, Nazareno Gomes, Ernani J´unior, Thadeu e Edinardo que muito me ajudaram nos meus dias de estudo.

A Andr´ea Dantas, secret´aria da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da UFC, quero parabeniz´a-la por toda sua competˆencia e prontid˜ao na assistˆencia a todos os alunos da P´os-gradua¸c˜ao.

RESUMO

Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana fechada orientada e x : M}n

→ Sn+1 _⊂ Rn+2 _{uma imers˜ao m´ınima de M}n _{na esfera unit´aria Euclidiana. Sabemos, pelo}

Teorema de Takahashi que

∆x+nx= 0,

com x(p) = (x1(p), . . . , xn+2(p)) e ∆x(p) = (∆x1(p), . . . ,∆xn+2(p)) onde ∆ denota o Laplaciano em M na m´etrica induzida por x, veja [11]. Segue que n ´e uma cota superior para o primeiro autovalor λ₁ de ∆. Quandox´e um mergulho, em 1982 foi conjecturado por Yau em [12] que primeiro autovalor do Laplaciano, denotado por λ₁, ´e igual a n. O primeiro resultado global na dire¸c˜ao de tal problema foi obtido por Choi e Wang em [4] onde foi provado que λ1 > n₂. No artigo [2] Barros e Bessa mostraram que λ1 > n₂ +C(Mn, x), onde C(Mn, x) ´e uma constante positiva que depende deMn ex.

Let M be a closed oriented Riemannian manifold and x : Mn

→ Sn+1 _⊂ Rn+2

a minimal immersion Mn in the Euclidean unit sphere. We know by Takahashi’s Theorem

∆x+nx= 0,

where x(p) = (x1(p), . . . , xn+2(p)) and ∆x(p) = (∆x1(p), . . . ,∆xn+2(p)) where ∆ denotes the Laplacian on M the induced metric for x, see [11]. It follows that n is an upper bound for the first eigenvalueλ₁ of ∆. Whenxis a embedded in 1982 was conjectured by Yau in [12] that the first eigenvalue of the Laplacian, denoted byλ₁, is equals n. The first global result in the direction of such problem was obtained by Choi and Wang in cite Choi where it was proved that λ1 > n₂. In the article [2] Barros and Bessa showed that λ1 > n₂ +C(Mn, x), where C(Mn, x) is a positive constant which depends onMn and x.

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 2

1 Preliminares 5

1.1 O Gradiente de uma fun¸c˜ao . . . 5

1.2 A Divergˆencia de um campo vetorial . . . 6

1.3 O Laplaciano de uma fun¸c˜ao . . . 7

1.4 O Hessiano de uma fun¸c˜ao . . . 8

1.5 Tensores e curvaturas . . . 9

2 Resultados Importantes 11 2.1 Sobre uma hipersuperf´ıcie mergulhada em Sn _{. . . . 11}

2.2 C´alculo do espectro de Sn_{(1) . . . . 12}

3 Resultados Principais 27 3.1 Itera¸c˜ao do problema de Dirichlet . . . 37

INTRODUC

¸ ˜

AO

Sejam Mn _{uma variedade Riemanniana fechada orientada e x : M}n

→ Sn+1 _⊂

Rn+2 _{uma imers˜ao m´ınima de M}n _{na esfera unit´aria Euclidiana. Sabemos, pelo} Teorema de Takahashi que

∆x+nx= 0,

com x(p) = (x1(p), . . . , xn+2(p)) e ∆x(p) = (∆x1(p), . . . ,∆xn+2(p)) onde ∆ denota o Laplaciano em M na m´etrica induzida por x, veja [11]. Segue que n ´e uma cota superior para o primeiro autovalor λ1 de ∆. Quando x ´e um mergulho, foi conjec-turado por Yau em [12] que λ1 = n. O primeiro resultado global na dire¸c˜ao desse problema foi obtido por Choi e Wang em [4] onde foi provado queλ₁ > n

2. No artigo [2] Barros e Bessa mostraram que a igualdade n˜ao pode ocorrer no resultado anterior, mais precisamente mostraram queλ₁ > n

2 +C(M

n_{, x), onde C(M}n_{, x) ´e uma} cons-tante positiva que depende de Mn _{e x. Ressaltamos que λ}

1 = n para alguma classe de hipersuperf´ıcies isoparam´etricas bem como hipersuper´ıcies homogˆeneas, veja [8] e referˆencias l´a contidas. Antes de enunciar nosso reultado principal estabeleceremos algumas nota¸c˜oes.

Primeiramente, usamos o teorema de Jordan-Brower o qual assegura que o mer-gulhox:Mn _{→ S}n+1 _{de uma variedade Riemanniana orientada fechada, onde} iden-tificaremosx(Mn_{) comM}n_{, divide S}n+1 _{em duas componentes conexas Ω}

1 e Ω2 tais

que ∂Ω1 = ∂Ω2 = Mn. Posteriormente consideraremos uma fun¸c˜ao harmˆonica u que estende a primeira autofun¸c˜ao ϕ do Laplaciano de Mn _{para um dos dom´ınios} Ωi, i = 1,2. Mais ainda, tamb´em consideraremos a fun¸c˜ao harmˆonica g que a pri-meira autofun¸c˜ao ϕ do Laplaciano de Mn _{tal que ∆g = tu, para algum parˆametro} realt. Denotaremos por _R(f) o quociente de Rayleigh def bem como _∇2_{f denotar´a} seu Hessiano.

Sem perda de generalidade podemos supor R_Mnh(∇ϕ,∇ϕ)dM ≥ 0 , onde ∇ϕ denota o gradiente deϕna m´etrica induzida porxeh´e a segunda forma fundamental de Mn_{. Para simplificar a nota¸c˜ao faremos} R

Mnh(∇ϕ,∇ϕ)dM =

R

Mnh. Com isto, vamos enunciar nossos resultados.

Lema 1. Suponha queMn _⊂Sn+1 _{´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima mergulhada. Dada} f _∈C∞

ϕ (Ω) tal que

R

∂Ωϕ ∂f

∂ν = 0, os itens abaixo s˜ao v´alidos.

(1) R_Ω(∆f)2 _=nR

Ω|∇f|2+

R

Ω|∇2f|2+

R

∂Ωh;

(2) R_Ω|∇2_f|2_>R

Ω|∇f|2;

(3) (n₋λ)R_Ω|∇u_|2+R_∂Ωh= ₋R_Ωh∇2_f,∇2_ui=−R

3

(4) λR_Ω|∇u_|2 =R_Ω|∇2_u|2₋R

Ωh∇2f,∇2ui.

Como consequˆencia desse lema, deduzimos o seguinte teorema.

Teorema 1. Sejam M uma varidade Riemanniana fechada orientada e x : Mn _→

Sn+1 _⊂ Rn+2 _{um mergulho m´ınimo. Seja f ∈ C}∞

ϕ (Ω) tal que

R

∂Ωϕ ∂f

∂ν = 0. Ent˜ao

valem os seguintes resultados

(1) Suponha que R_Ωh∇2_f,∇2_{ui >0, ent˜ao o primeiro autovalor do Laplaciano de}

M satisfaz λ=n; (2) R_Ω|∇2_{f − ∇}2_u|2 _>R

Ω|∇2u|2;

(3) R_Ω|∇2_f|2_>n−λ 2λ−n

2R

Ω|∇2u|2;

(4) Se R_Ω|∇2_u|2_>R

Ω|∇

2_f|2 _{ent˜ao λ>} 2n 3 .

Considerando o mergulho m´ınimo de uma hipersuperf´ıcie compacta Mn

⊂Sn+1_,

escolhemos Ω como acima e definimos dois conjuntos n˜ao vazios

A=_{g _∈C_ϕ∞(Ω) : ∆g= tu,

Z

Ωh∇

2_u,

∇2g_i= 0_} e

B= _{g _∈C_ϕ∞(Ω) : ∆g =tu,

Z

∂Ω

ϕgν = 0}. Dessa forma, deduziremos o seguinte teorema.

Teorema 2. Para um mergulho m´ınimo de uma hipersuperf´ıcie compacta Mn _na

esfera Sn+1_{, se existe uma g ∈ A ∩ B ent˜ao o primeiro autovalor do Laplaciano ´e}

λ=n.

Por fim, usando os resultados obtidos provamos o seguinte teorema.

Teorema 3. Seja Mn uma variedade Riemanniana fechada e considere x :Mn _→

Sn+1 _{um mergulho m´ınimo de M}n _{na esfera Euclidiana unit´aria S}n+1_{. Ent˜ao o}

primeiro autovalor do Laplaciano satisfaz

λ1

Z

Ω|∇

u_|2 =n

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

Ωh∇

2_u,

∇2g_i+

Z

Mn h,

Como consequˆencia desse teorema obtemos o seguinte corol´ario.

Corol´ario 1. Seja Mn _{uma variedade Riemanniana orientada fechada. Considere} x : Mn

→ Sn+1 _{um mergulho m´ınimo de M}n _{na esfera Euclidiana unit´aria S}n+1 _e

escolha t=_−R(u). Ent˜ao temos (1) λ1 =n se, somente e se,

R

Ωh∇

2_u,∇2_gi+R

Mnh= 0;

(2) Se _∇2_g= t

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1

O Gradiente de uma fun¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo, apresentamos operadores diferenciais para uma hipersuperf´ıcie, assim como alguns conceitos relativos `a teoria de variedades Riemannianas.

Defini¸c˜ao 1. Dadas uma hipersuperf´ıcieNn _{e um sistema de coordenadas local φ:} V _⊂Rn _{→ N}n_{, definimos uma m´etrica Riemanniana como uma correspodˆencia que}

associa a cada ponto p_∈N um produto interno (que ´e uma forma bilinear, positiva definida) por

gp :TpN_×TpN _→R_.

No sistema de coordenadas φas fun¸c˜oesgij(x) =g_φ(x)(_∂xi∂φ,_∂xj∂φ), com 16i, j60, s˜ao diferenci´aveis em V; Conhecidas como a express˜ao da m´etrica Riemanniana no sistema de coordenadasφ. Denotaremos porg = (gij) a matriz da m´etrica no sistema de coordenadas φ e sua inversa ser´a denotada por g−1 _{= (g}ij_).

Sejam φ:V _⊂Rn _→Nn _{um sistema de coordenadas na variedade Riemanniana}

Nn e f :N _→R_{uma fun¸c˜ao diferenci´avel, ent˜ao temos a seguinte}

Defini¸c˜ao 2. O gradientedef, denotado por_∇f, ´e o campo vetorial diferenci´avel definido sobre Nn _por

h∇f, X_i=X(f), _∀X_∈ X_(N).

Proposi¸c˜ao 1. Sejam f : Nn _→ R _{uma fun¸c˜ao diferenci´avel e {e1, . . . , en} um}

referencial ortonormal em uma vizinhan¸ca U _⊂N, ent˜ao

∇f = n

X

i=1

ei(f)ei.

Demonstra¸c˜ao. Como_∇f = n

X

i=1

aiei temos,

h∇f, ej_i = n

X

i=1

ai_hei, ej_i

= n

X

i=1

aiδij =ai.

Portanto,

∇f = n

X

i=1

h∇f, eiiei= n

X

i=1

ei(f)ei.

Em coordenadas, temos a seguinte express˜ao para

∇f = n

X

i,j=1 gij ∂f

∂xj ∂f ∂xi

.

1.2

A Divergˆ

encia de um campo vetorial

Defini¸c˜ao 3. Seja X um campo vetorial diferenci´avel emN. A divergˆencia do campo X, denotado por divX, ´e a fun¸c˜ao diferenci´avel div:N _→R _{definida por:}

(divX)(p) =tr_{v_{→ ∇}vX(p)},∀v∈TpN.

Proposi¸c˜ao 2. Seja X um campo vetorial diferenci´avel emN e considere_{e1,. . . ,en}

um referencial ortonormal em uma vizinhan¸ca aberta U _⊂N. Se X = aiei em U, ent˜ao

divX = n

X

i=1

ei(ai)_{− h∇}eiei, Xi

7

Demonstra¸c˜ao. Observe que, por um lado n

X

i=1

ei_hX, ei_i= n

X

i=1

h∇eiX, eii+ n

X

i=1

hX,_∇eieii

e por outro lado n

X

i=1

eihX, eii= n

X

i=1 eih

n

X

j=1

ajej, eii= n

X

i,j=1

ei(ajδij) = n

X

i=1 eiai.

Portanto, pela defini¸c˜ao de divergˆencia temos

divX = n

X

i=1

ei(ai)_{− h∇}eiei, Xi

.

Em coordenadas, temos a seguinte express˜ao para

divX = √ 1

detg n

X

i=1 ∂ ∂xi

(pdetgai).

1.3

O Laplaciano de uma fun¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao 4. Seja f : N _→ R _{uma fun¸c˜ao diferenci´avel. O Laplaciano de f,}

denotado por ∆f, ´e uma fun¸c˜ao ∆f :N _→R _{dada por}

∆f =div(_∇f).

Proposi¸c˜ao 3. Seja f :N _→R_{uma fun¸c˜ao diferenci´avel e {e}

1, . . . , en}um

referen-cial ortonormal em U _⊂N, ent˜ao

∆f = n

X

i=1

ei(ei(f))₋(_∇eiei)f

.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, temos que _∇f = n

X

i=1

ei(f)ei em U e pela defini¸c˜ao de Laplaciano de uma fun¸c˜aof, temos

∆f = n

X

i=1

ei(ei(f))_{− h∇}eiei,∇fi

= n

X

i=1

ei(ei(f))₋(_∇eiei)f

Em particular, se o referencial for geod´esico em p_∈U temos

∆f(p) = n

X

i=1

ei(ei(f))(p).

Em coordenadas, temos a seguinte express˜ao para

∆f = √ 1

detg n

X

i,j=1 ∂ ∂xi

(pdetggij ∂f ∂xj

)

1.4

O Hessiano de uma fun¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao 5. Seja f : N _→ R _{uma fun¸c˜ao suave.O Hessiano f ´e um campo de}

operadores lineares definido por:

(Hessf)p :TpN → TpN

v _→ (Hessf)p(v) =∇v∇f.

Segue das propriedades de conex˜ao Riemanniana que se X ´e qualquer extens˜ao de v a uma vizinhan¸ca de pem N, ent˜ao

(Hessf)p(v) = (_∇X∇f)(p).

Proposi¸c˜ao 4. Se f : N _→ R _{´e uma fun¸c˜ao suave e p ∈ N, ent˜ao temos que}

(Hessf)p :TpN →TpN ´e um operador autoadjunto.

Demonstra¸c˜ao. Se v, w _∈TpN eV,W denotam, respectivamente, extens˜oes de v, w a campos definidos em uma vizinhan¸ca de p_∈N, ent˜ao

h(Hessf)p(v), w_i = _h∇V∇f, Wip

= (V_h∇f, W_i)(p)_{− h∇}f,_∇VWip = (V(W f))(p)_{− h∇}f,_∇WV + [V, W]ip

= (W(V f))(p) + ([V, W]f)(p)_{− h∇}f,_∇WV + [V, W]ip = (W(V f))(p)_{− h∇}f,_∇WVip

9

Proposi¸c˜ao 5. Se f :N _→R _{´e uma fun¸c˜ao suave, ent˜ao:}

∆f =tr(Hessf).

Demonstra¸c˜ao. Para cada pontop_∈N, sejaU _⊂N uma vizinhan¸ca deponde esteja definido um referencial ortonormal m´ovel_{e₁, . . . , en}. Ent˜ao

tr(Hessf)p = _h(Hessf)p(ei), ei_i = _h∇ei∇f, eii = div(_∇f)(p) = ∆f(p).

1.5

Tensores e curvaturas

Defini¸c˜ao 6. A curvatura de Riemann denotada por R, de uma variedade Rieman-nianaN ´e uma correspondˆencia que associa a cada parX, Y _∈X_{(N), uma aplica¸c˜ao}

R(X, Y)Z =_∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,

com Z_∈X_{(N)e ∇´e a conex˜ao Riemanniana de N.}

Definida a curvatura de Riemann, temos que a mesma satisfaz

R(X, Y)Z+R(Y, Z)X +R(Z, X)Y = 0, conhecida como Primeira identidade de Bianchi.

Considereenum vetor unit´ario emTpN e seja{e1, . . . , en−1}uma base ortonormal do hiperplano deTpN ortogonal a en.

A curvatura de Ricci na dire¸c˜ao en em p ´e dada por

Ricp(en) = 1 n₋1

X

i

hR(en, ei), en, eii

com i= 1, . . . , n₋1.

Defini¸c˜ao 7. Um tensor covariante T de ordem r em uma variedade Riemanniana ´e uma aplica¸c˜ao multilinear T :X_(N)×X_{(N)×. . .×}X_(N)

| {z }

r−vezes

→ D(N) tal que dados

Y₁, . . . , Yr ∈ X(N), T(Y1, . . . , Yr) ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em N, onde D(N)

Usando a defini¸c˜ao de tensores em variedades Riemannianas obtemos:

Exemplo 1.

O tensor m´etrico g :X_(N)×X_{(N)→ D(N) ´e definido por}

g(X, Y) =_hX, Y_i, X, Y _∈X_(N).

Exemplo 2.

O tensor curvatura R:X_(N)×X_(N)×X_(N)×X_{(N)→D(N) ´e definido por}

R(X, Y, Z, W) =_hR(X, Y)Z, W_i, X, Y, Z, W _∈X_(N),

o qual ´e um tensor de ordem 4. O tensor curvatura de Riemann satisfaz `as seguintes propriedades:

(1) R(X, Y, Z, W) =₋R(Y, X, Z, W) =R(Y, X, W, Z); (2) R(X, Y, Z, W) =R(Z, W, X, Y);

Exemplo 3.

O tensor curvatura de Ricci, Ric :X_(N)×X_{(N)→ D(N), ´e definido por}

Ric(X, Y) =tr_{Z_→ R(X, Z)Y_}, onde X, Y, Z _∈X_(N).

Em particular tomando uma base ortonormal _{e1, . . . , en}de TpN temos

Ric(v, w) = n

X

i=1

R(v, ei, w, ei) = n

X

i=1

R(w, ei, v, ei) =Ric(w, v),

e, portanto, o tensor de Ricci ´e uma forma bilinear sim´etrica.

Exemplo 4.

Seja f _∈D(N). O tensor Hessiano de f, denotado por D2_{f :X(N)×X(N)→} D(N) ´e definido por

D2f(X, Y) =_h∇X∇f, Yi

Cap´ıtulo 2

Resultados Importantes

2.1

Sobre uma hipersuperf´ıcie mergulhada em

S

Nesta se¸c˜ao, mostraremos que o mergulho de uma hipersuperf´ıcie M compacta, co-nexa e orient´avel na esferaSn_{,divide a esfera} Sn _{em duas componentes conexas, que}

tˆem M como fronteira em comum. Para tal prova, ser´a necess´ario o uso do seguinte teorema.

Teorema 4(Teorema de Jordan-Brouwer para hipersuperf´ıcies orient´aveis).

Seja M _⊂ Rn _{uma hipersuperf´ıcie fechada, conexa e orient´avel. Ent˜ao o}

comple-mento Rn _{−M possu´ı duas componentes conexas, que tˆem M como fronteira em}

comum.

Seja φ : Mn−1 _{→ S}n _{o mergulho de uma hipersuperf´ıcie compacta, conexa e} orient´avel. Considere p _∈ Sn _{de tal forma que p n˜ao perten¸ca φ(M). Al´em disso,}

Considere a proje¸c˜ao estereogr´afica π :Sn_{− {p} →}Rn_{, que ´e um difeomorfismo. ´E}

f´acil ver que ψ = π_◦φ´e um mergulho. Pelo Teorema de Jordan-Brouwer, ψ divide

Rn _{em duas componentes conexas, as quais tˆem M como fronteira comum. Logo o}

mergulhoφdivide oSn_{−{p}em duas compoentes conexas, caso contr´ario o mergulho}

ψ n˜ao teria duas componentes conexas. Portando, φ : Mn−1 _{→ S}n_{− {p} tem duas} componentes conexas. Seja Ω1a componente tal quep∈Ω1. Se adicionarmos o ponto p`a Ω1 ela continuar´a sendo conexa. Dessa forma o mergulho de uma hipersup´erficie compacta, orient´avel e conexa M na esferaSn_{divide a esfera}Sn_{em duas componentes}

conexa cujas fronteiras s˜ao M.

2.2

C´

alculo do espectro de

S

₍₁₎

Nesta se¸c˜ao, apresentamos o c´alculo do espectro da esfera

Sn_={x∈Rn+1_;||x||2 _{= 1}}

munida da m´etrica canˆonica na qual possui curvatura seccional igual a 1.

Sejam P : Rn+1 _→ R _{um polinˆomio e seja p = P|S}n a restri¸c˜ao de P `a esfera

Sn_{. Considere i = (i1, . . . , in+1) onde ik ∈} Z+ _{s˜ao multi-´ındices, dados um vetor}

x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 e um multi-´ındice i ∈ Z+ formamos um monˆomio xi fazendo xi_{= x}i1

1 . . . x in+1

n+1.

Denotemos por ai =ai1...in+1 eµ=|i|= i1+. . .+in+1. Deste modo, o polinˆomio

de grau mem Rn+1_{´e da forma}

P(x) = X µ6m

aixi.

Teorema 5. Seja P : Rn+1 _→ R _{e considere sua restri¸c˜ao p= P|S}n. Suponha que

p(x) =X µ6m

aixi, temos ent˜ao

∆p=₋X µ6m

µ(n+µ₋1)aixi+ ∆◦P,

onde ∆◦ =

n+1

X

k=1 ∂2 ∂x2

k

denota o Laplaciano em Rn+1_{. Portanto, para um polinˆomio}

homogˆeneo harmˆonico de grau m teremos ∆◦P = 0e µ= m.

Corol´ario 2. Seja P(x) = X µ6m

aixi um polinˆomio harmˆonico homogˆeneo de grau m

em Rn+1 _{e p=P|}

Sn, ent˜ao

∆p+m(n+m₋1)p= 0.

Defini¸c˜ao 8. O Espectro deSn_{, denotado por Spec(∆) ´e definido por:}

Spec(∆) =_{λ_∈R_{; ∆f +λf = 0},}

13

Neste caso, os valores de λ s˜ao conhecidos como os autovalores do Laplaciano da f e as fun¸c˜oes f que satisfazem ∆f +λf = 0 s˜ao conhecidas como as autofun¸c˜oes associadas a λ. Nosso objetivo ´e calcular o primeiro autovalor do Laplaciano de Sn_.

As seguintes defini¸c˜oes podem ser encontradas em [6].

Defini¸c˜ao 9. Seja β _⊂C(X,R_{). Dizemos que β ´e um conjunto que separa pontos}

se _∀x, y _∈X, com x₆= y, existef _∈β tal quef(x)₆=f(y).

Defini¸c˜ao 10. Dizemos queβ´e uma ´algebra seβ´e um subespa¸co vetorial deC(X,R₎

tal que f.g_∈β.

Teorema 6(Teorema de Stone-Weierstrass). SejaX um espa¸co compacto Haus-dorff. Se β ´e uma sub´algebra fechada de C(X,R_{) que separa pontos, ent˜ao β =}

C(X,R_{) ou β={f ∈C(X,}R_{);f(x0) = 0}, para algum x0 ∈X.}

Corol´ario 3. Suponha β uma sub´algebra de C(X,R_{) que separa pontos. Se existir}

umx0 ∈Xtal quef(x0) = 0, ∀f ∈β, ent˜aoβ´e denso em{f ∈C(X,R);f(x0) = 0}.

Caso contr´ario, β ´e denso em C(X,R_).

Considere o caso particular em que X = Sn_{, portanto compacta e Hausdorff, e} sendoβ o conjunto dos polinˆomios p(x), harmˆonicos homogˆeneos restritos `a Sn_.

Observe que ao tomarmos a, b _∈ Sn _{tais que na coordenada i tenhamos que} a= (x1, . . . , y, . . . , xn, xn+1) eb= (x1, . . . , z, . . . , xn, xn+1), comy 6=z ∈R, portanto a ₆= b _∈Sn_{. Logo, considere o polinˆomiop(x) ∈β tal que, para x ∈}Sn_{, p(x) =xi.}

Assim, p(a) ₆= p(b), logo β ´e um conjunto que separa pontos. Observe tamb´em que dados quaisquer dois polinˆomios pi, pk _∈ β temos que pi + pk _∈ C(Sn_,R_{) e}

pi.pk _∈C(Sn_,R_{), logo β ´e uma ´algebra fechada de C(}Sn_,R_).

Pelo Teoreoma de Stone-Weierstrass, o caso β = _{f _∈ C(Sn_,R_{);f(x0) = 0} n˜ao}

pode acontecer, pois teremos p(x0) = 0 para todop∈β se e s´o se x0 = (0,0, ...,0). Masx0n˜ao pertence `aSn, portanto pelo corol´ario 2 temos queβ´e denso em C(Sn,R). Dessa forma, podemos concluir que de fato a restri¸c˜ao dos polinˆomios harmˆonicos, homogˆeneos definidos emSn_{nos fornecem todas as autofun¸c˜oes do Laplaciano de}Sn_,

pois pelo corol´ario, toda autofun¸c˜aof :Sn _→R_{possui uma sequˆencia de polinˆomios}

emβ convergindo paraf. Dessa forma temos

Spec(∆) =_{λm_∈R_{;λm= m(n+m−1);m∈}Z+_}.

Em particular (λm) forma uma sequˆencia tal que 0 =λ₀< λ₁< . . . <_{ր ∞}.

Para um sistema de coordenadas conforme numa hipersuperf´ıcieSn_⊂Rn+1_{, tome}

Considere em Sn _{um sistema de coordenadas dado pela proje¸c˜ao estereogr´afica}

via p´olo norte, isto ´e,

φ(x) =φ1(x), . . . , φn+1(x)

= 2x 1 +_|x_|2,

|x_|2₋1 1 +_|x_|2

,

onde x= (x1, . . . , xn).

Seja 2λ−1 _{= 1 +|x|}2_{, segue que 2(λ}−1_{−1) =|x|}2_{−1. Assim, podemos escrever}

φ(x) = (λx,1₋λ) e note que

∂ ∂xi

(λ) = ∂ ∂xi

( 2 1 +_|x_|2) =

−2(2xi)

(1 +_|x_|2₎2 = −λ 2_x

i. Obtemos assim,

∂φ ∂xi =

n

X

j=1 (∂λ

∂xixj+λ ∂xj ∂xi)ej−

∂λ ∂xien+1

= n

X

j=1 (∂λ

∂xixj +λδij)ej − ∂λ

∂xien+1 (2.1)

onde ei denota o i-´esimo vetor canˆonico no Rn+1_.

Dessa forma, por (2.1), temos

∂φ ∂xi

= n

X

j=1

(₋λ2xixj+λδij)ej+λ2xien+1 = n

X

j=1

λ2(λ−1δij −xixj)ej+λ2xien+1.

Logo, para i= 1, . . . , n, temos ∂φi ∂xj

=λ2(λ−1δij−xixj) e para i=n+ 1

∂φn+1 ∂xj

15

h∂φ

∂xi , ∂φ

∂xji

=λ2δij.

Para isto, veja que _h∂xi∂φ,_∂xj∂φ_i

= _hλ2 n

X

l=1

(δilλ−1−xixl)el+λ2xien+1, λ2 n

X

k=1

(δjkλ−1−xjxk)ek+λ2xjen+1i

= _hλ2 n

X

l=1

(δilλ−1−xixl)el, λ2 n

X

k=1

(δjkλ−1−xjxk)eki+λ4xixj

= λ4 n

X

k=1

(δikλ−1₋xixk)(δjkλ−1₋xjxk)ek) +λ4xixj

= λ4(λ−2 n

X

k=1

δikδjk− n

X

k=1

δikλ−1xjxk − n

X

k=1

δjkλ−1xixk+ n

X

k=1

xixjx2k) +λ4xixj

= λ4(λ−2_δ

ij−2λ−1xixj+xixj|x|2) +λ4xixj = λ4xixj(1−2λ−1+|x|2) +λ2δij.

Como (1₋2λ−1_+|x|2_{) = 0, a express˜ao acima torna-se:}

h∂φ

∂xi , ∂φ

∂xji

=λ2δij.

Portantoφ:Rn _→Sn _{´e um sistema de coordenadas conforme cobrindo} Sn _menos

o p´olo norte, analogamente obtemos um sistema de coordenadas cobrindoSn _menos

o p´olo sul.

Nesse sistema de coordenadas temos

gij =λ2δij, e, consequentemente

∇f = n

X

i,j=1 gij ∂f

∂xj ∂ ∂xi = n X i,j=1 λ−2δij

∂f ∂xj

∂ ∂xi

= λ−2 n X i,j=1 δij ∂f ∂xj ∂ ∂xi . Al´em disto,

∆f = _√ 1 detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

(pdetggij ∂f ∂xj

)

= p 1

det[λ2_δij] n X i,j=1 ∂ ∂xi( q

det[λ2_δij]λ−2_δij ∂f ∂xj) = 1 λn n X i,j=1 ∂ ∂xi

(λn_λ−2_δ ij ∂f ∂xj ) = 1 λn n X i,j=1 ∂ ∂xi(λ

n−2_δij ∂f ∂xj) =

1 λn n X i=1 ∂ ∂xi(λ

n−2∂f ∂xi) = 1 λn n X i=1

(n₋2)λ−3∂λ ∂xi ∂f ∂xi + 1 λn n X i=1 λn−2∂

2_f ∂x2 i )

= (n₋2)λ−3_h∇λ,_∇f_i+λ−2 n

X

i=1 ∂2f ∂x2 i .

Portanto,

∆f =λ−2X i

∂2f

∂x2_i + (n−2)λ

−3

17

Agora, paraX = n

X

i=1 ai ∂

∂xi temos

divX = _√ 1 detg

n

X

i=1 ∂ ∂xi

(pdetgai) = p 1

det[λ2_δ ij]

n

X

i=1 ∂ ∂xi

(

q

det[λ2_δij]ai)

= 1 λn

n

X

i=1 ∂ ∂xi

(λnai),

portanto,

divX = 1 λn

n

X

i=1 ∂ ∂xi

(λnai).

Lema 2. Sejaφ(x) = (φ1(x), . . . , φn+1(x)) = (₁₊2x_|x|2,

|x|2

−1

1+|x|2)o sistema de coordenadas dadas previamente em Sn _{e X}

j = _∂xj∂φ. Ent˜ao, as seguintes rela¸c˜oes s˜ao verdadeiras:

(a) _∇φi =λ−2 n

X

j=1

(λδij−φiφj)Xj para i= 1, . . . , n;

(b) _∇φn+1=λ−1 n

X

j=1 φjXj;

(c) _h∇φi,∇φji=δij−φiφj, para algum i, j. Em particular, temos n+1

X

i=1

|∇φi|2 =n;

Demonstra¸c˜ao.

(a)

∇φi = λ−2 n

X

j=1 ∂φi ∂xj

Xj

= λ−2 n

X

j=1

λ2(δijλ−1−xixj)Xj

= λ−2 n

X

j=1

(δijλ−λ2xixj)Xj

= λ−2 n

X

j=1

(δijλ₋φiφj)Xj.

(visto queλxi =φi) (b)

∇φ_n+1 = λ−2 n

X

j=1 ∂φn+1

∂xj Xj

= λ−2 n

X

j=1

λ2xjXj

= λ−1 n

X

19

(c) Dividimos esse item em 3 casos.

1o

caso:16i, j6n

h∇φi,_∇φj_i = _hλ−2 n

X

k=1

(λδik₋φiφk)Xk, λ−2 n

X

l=1

(λδjl₋φjφlXl)_i

= λ2[λ−4 n

X

k=1

(λδik−φiφk)(λδjk−φjφk)]

= λ−2 n

X

k=1 [λ2_δ

ikδjk−λδikφjφk−λδjkφiφk+φiφjφ2k] = λ−2[λ2δij−2λφiφj+φiφj(1−φ2n+1)]

= δij−2λ−1φiφj+φiφjλ−2(1−φ2n+1) = δij+φiφj(₋2λ−1+λ−2(1₋φ2_n+1)) = δij+φiφj(−2λ−1+λ−2(1−(1−λ)2)) = δij+φiφj(₋1)

= δij−φiφj. 2o

caso: i, j=n+ 1

h∇φ_n+1,_∇φ_n+1i = _hλ−1 n

X

j=1

φjXj, λ−1 n

X

j=1 φjXji

= λ2λ−2 n

X

i=1 φ2_i =

n

X

i=1 φ2_i

= 1₋φ2_n+1

3o

caso: 16i6n, j =n+ 1

h∇φi,∇φn+1i = hλ−2 n

X

k=1

(λδik−φiφk)Xk, λ−1 n

X

j=1 φjXji

= λ−2λ−1λ2 n

X

k=1

(λδik−φiφk)φk

= λ−1 n

X

k=1

λδikφk₋λ−1 n

X

k=1 φiφk2

= n

X

k=1

δikφk−λ−1 n

X

k=1 φiφk2

= φi−λ−1φi(1−φn+12) = φi−λ−1φi+λ−1φiφn+12 = λxi−xi+xi(1−λ)2 = λxi₋xi+xi(1₋2λ+λ2) = λxi−xi+xi−2λxi+xiλ2 = ₋λxi+xiλ2 =−λxi(1−λ) = ₋λxiφn+1=δi,n+1−φiφn+1.

Em particular, n+1

X

i=1

|∇φi|2 =n. De fato,

n+1

X

i=1

|∇φi|n+1 = n+1

X

i=1

h∇φi,∇φii= n+1

X

i=1

(δij−φiφi)

= n+1

X

i=1

21

(d) Dividiremos esse item em 2 casos.

1o

Caso: 06i6n ∆φi = div(∇φi)

= divλ−2 n

X

j=1

(λδij −φiφj)Xj

= div

_Xn j=1

(λ−1δij ₋λ−2φiφj)Xj = div

n

X

j=1

(λ−1δij −xixj)Xj

= λ−n n

X

j=1 ∂ ∂xj(λ

n_(λ−1_δij

−xixj))

= λ−n n

X

j=1 ∂ ∂xj

(λn−1δij−λnxixj)

= λ−n n

X

j=1

[(n₋1)λn−2 ∂λ

∂xjδij −nλ n−1∂λ

∂xjxixj −λ n_δ

ijxj−λnxi]

= n

X

j=1

[(n₋1)λ−2 ∂λ ∂xj

δij −nλ−1 ∂λ ∂xj

xixj−δijxj−xi].

Substituindo a express˜ao ∂λ

∂xj =−λ 2_x

j, temos

= n

X

j=1

[₋(n₋1)λ−2λ2xjδij +nλ−1λ2xix2_{j −}δijxj₋xi]

= ₋ n

X

j=1

[(n₋1)xjδij−nλxix2j +δijxj+xi]

= ₋ n

X

j=1

[nxjδij₋xjδij ₋nλxix2_j+δijxj +xi]

= ₋2nxi+nλxi_|x_|2 = ₋2nxi+

₂

1 +_|x_|2

nxi.|x|2

= 2nxi( |x| 2

1 +_|x_|2 −1) = ₋ 2nxi

1 +_|x_|2 = ₋nλxi = ₋nφi.

Portanto, ∆φi+nφi = 0 parai= 1, . . . , n. 2o

Caso: para i=n+ 1

∆φn+1 = div(∇φn+1) = div

λ−1 n

X

j=1 φjXj

= div n

X

j=1

λ−1φjXj

= λ−n n

X

j=1 ∂ ∂xj(λ

n_λ−1_φj)

= λ−n n

X

j=1 ∂ ∂xj

(λn−1φj)

= λ−n n

X

j=1 ∂ ∂xj(λ

n_xj)

= λ−n n

X

j=1

(nλn−1∂λ ∂xj

xj+λn)

= n

X

j=1

(nλ−1 ∂λ ∂xj

xj+ 1)

= n

X

j=1

23

= n

X

j=1

(1₋nλx2_j)

= n₋nλ_|x_|2 = n(1₋λ_|x_|2) = n1₋ 2

1 +_|x_|2|x|

2

= n

_{1− |x|}2 1 +_|x_|2

= ₋nφn+1. Portanto, ∆φn+1+nφn+1= 0

Proposi¸c˜ao 6. Sejam f1, . . . , fm fun¸c˜oes diferenciaveis denifidas na variedade N,

ent˜ao o gradiente e o Laplaciano da fun¸c˜ao produto

m

Y

i=1

fi = f1. . . fm satisfazem `as

seguintes rela¸c˜oes:

(I) _∇(f1. . . fm) =

X

16i6m

f1. . .∇fi. . . fm.

(II) ∆(f1. . . fm) =

X

16i6m

f1. . .∆fi. . . fm+ 2

X

16i<j6m

h∇fi,∇fjif1. . .fbi. . .fbj. . . fm.

Demonstra¸c˜ao.

(I)

∇(f1. . . fm) = n

X

i,j=1 gij ∂

∂xj

(f1. . . fm) ∂ ∂xi

= n

X

i,j=1 gij

∂f₁ ∂xj

f2. . . fm+. . .+f1. . . fm−1 ∂fm

∂xj

∂ ∂xi

= n

X

i,j=1 gij∂f1

∂xj ∂ ∂xi

f₂. . . fm+. . .+ n

X

i,j=1

gijf₁. . . fm−1 ∂fm

∂xj ∂ ∂xi = (_∇f1)f2. . . fm+. . .+f1. . . fm−1(∇fm)

= X

16i6m

(II)

∆(f1. . . fm) = 1 √ detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gij ∂ ∂xj

(f1. . . fm)]

= _√ 1 detg n X i,j=1 ∂ ∂xi[ p

detg gij(∂f1

∂xjf2. . . fm+. . .

+√1

detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gijf₁. . . fm−1 ∂fm

∂xj ]

= _√ 1 detg n X i,j=1 ∂ ∂xi[ p

detg gij∂f1

∂xjf2. . . fm] +. . .

+√1

detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gijf₁. . . fm−1 ∂fm

∂xj ]

= _√ 1 detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gij∂f1 ∂xj

f2. . . fm] +. . .

+√1

detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gijf₁. . . fm−1 ∂fm ∂xj ] = n X i,j=1 gij∂f1

∂xj ∂ ∂xi

(f2. . . fm) +. . .+ n

X

i,j=1

gij∂fm ∂xj

∂ ∂xi

(f1. . . fm−1)

+√1

detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gij∂f1 ∂xj

]f2. . . fm+. . .

+_√1 detg n X i,j=1 ∂ ∂xi

[pdetg gij∂fm ∂xj

]f1. . . fm−1

= n

X

i,j=1 gij∂f1

∂xj ∂f2 ∂xi

f₃. . . fm+. . .+ n

X

i,j=1 gij∂f1

∂xj ∂fm

∂xi

f₂. . . fm−1+. . .

= n

X

i,j=1

gij∂fm ∂xj

∂f₁ ∂xi

f2. . . fm−1+. . .

+ n

X

i,j=1

gij∂fm ∂xj

∂fm−1 ∂xi

f1. . . fm−2

25

= 2 X 16i<j6m

h∇fi,∇fjif1. . .fbi. . .fbj. . . fm+

X

16i<j6m

f1. . .∆fi. . . fm.

Corol´ario 4. Considerando fi = f, ∀ i = 1, . . . , n, ficaremos com as seguintes

express˜oes:

(A) _∇fm _=mfm−1_∇f

(B) ∆fm _=mfm−1_{∆f +m(m−1)f}m−2_h∇f,∇fi.

Demonstra¸c˜ao.

(A)

∇(fm_{) =∇(f . . . f) =} X 16i6m

f . . ._∇f . . . f =mfm−1_∇f.

(B)

∆(fm_{) = div(}

∇fm) = div(mfm−1_∇f)

= mfm−1div(_∇f) +_h∇f,_∇(mfm−1)_i = mfm−1∆f +_h∇f, m(m₋1)fm−2

∇f_i = mfm−1∆f +m(m₋1)fm−2_h∇f,_∇f_i.

Agora fazendo f = φi em (B), temos ∆φm

i = mφmi −1∆φi+m(m−1)φmi −2h∇φi,∇φii. Como _h∇φi,∇φii= 1−φ2i e ∆φi =−nφi, temos:

∆φm

i = −mφmi −1nφi+m(m−1)φmi −2(1−φ2i) = ₋nmφm_{i −}m2φm_i +mφm_i +m(m₋1)φm_i −2 = ₋mφm_i (n+m₋1) +m(m₋1)φm−2

Observe que ∆xi_{= ∆(x}i1

1 . . . x in+1

n+1). Da´ı, ∆xi = X

16k6n+1 xi1

1 . . . x ik k . . . x

in+1

n+1

+2 X 16k<l6n+1

h∇xik k , x

il lix

i1

1 . . .xc ik k . . .xc

il l. . . . x

in+1

n+1.

Portanto, ∆φi =−µ(n+µ−1)xi+ ∆φ0xi, onde ∆oφ= n+1

X

k=1 ∂2 ∂φ2

k .

Assim, se P(x) = X µ6m

aixi ´e um polinˆomio em Rn+1 e p ´e a sua restri¸c˜ao a Sn ent˜ao,

∆p= X µ6m

Cap´ıtulo 3

Resultados Principais

Inicialmente escolheremos o dom´ınio Ω entre Ω1 e Ω2, considerado de tal forma que

R

Ωh>0. Com esta escolha denotaremos porCψ∞(Ω) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : Ω _→ R _{que estende ψ :∂Ω →} R_{. Usaremos a vers˜ao integral da f´ormula}

Ricci-Bochner-Lichnerowicz como principal ferramenta para obter o resultado desejado. Esta f´ormula foi provada por Reilly em [9] e afirma que para uma fun¸c˜aof _∈C_ψ∞(Ω) o seguinte resultado ´e v´alido:

Z

ΩL

f =

Z

∂Ω

h

2∂f

∂ν∆ψ+h(∇ψ,∇ψ) +nH

_∂f

∂ν

2i

, (3.1)

onde _Lf = (∆f)2_{−Ric(∇f,∇f)− |∇}2_f|2_{. Em particular se ψ=ϕ e pondo λ=λ} 1 n´os temos

Z

ΩL

f =

Z

∂Ω

h

−2λϕ∂f

∂ν +h(∇ϕ,∇ϕ) +nH

_∂f

∂ν

2i

. (3.2)

Quando o mergulho for m´ınimo, aplicando a f´ormula de Reilly (3.2) `a uma fun¸c˜ao uobtemos, por um lado, R_ΩLu=R_∂Ω−2λϕ∂u

∂ν +h

, pois H = 0. Considere ϕ= u ao longo do bordo, portanto: R_ΩLu = ₋2λR_∂Ωu∂u_∂ν +R_∂Ωh. Como R_Ωdiv(u_∇u) =

R

Ω|∇u|2+

R

Ωu.∆u, no caso particular em que ∆u = 0 em Ω, segue do Teorema da Divergˆencia que _Z

Ω

|∇u_|2 =

Z

Ω

div(u_∇u) =

Z

∂Ω u∂u

∂ν.

Portanto, _Z

ΩL

u=₋2λ

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω h.

Por outro lado, por defini¸c˜ao, R_ΩLu=₋R_ΩRic(_∇u,_∇u)₋R_Ω|∇2_u|2 _{. A} curva-tura de Ricci da esfera euclidiana Sn+1_⊂Rn+2 _{´e igual an logo,}

−

Z

Ω

Ric(_∇u,_∇u) =₋n

Z

Ω|∇

u_|2.

Portanto, _Z

ΩL

u=₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

Ω|∇

2_u

|2. Assim obtemos a seguinte identidade

(2λ₋n)

Z

Ω|∇

u_|2 =

Z

Ω|∇

2_u

|2+

Z

∂Ω

h. (3.3)

Seja ϕ : Mn _→ R _{a primeira autofun¸c˜ao do Laplaciano de M. De acordo com}

nossa escolha a fun¸c˜aou deve satisfazer o seguinte problema de Dirichlet:

∆u= 0, em Ω

u= ϕ, em ∂Ω. (3.4)

Denotaremos por ∆ e_∇o Laplaciano e o gradiente em Ω respectivamente; e por ∆ e_∇ o Laplaciano e o gradiente em∂Ω. Com a finalidade de auxiliar na prova de nosso resultado, estabelecemos um conjunto de lemas nessa se¸c˜ao.

Lema 3. Dada f _∈C∞

ϕ (Ω)temos:

(1) R_Ωh∇f,_∇u_i=R_Ω|∇u_|2;

(2) R_Ω|∇f_|2 =R_Ω|∇f _{− ∇}u_|2+R_Ω|∇u_|2;

(3) Em particular, se definirmos cosθf pela identidade

h∇f,_∇u_i= cosθf

qR

Ω|∇f|2

qR

Ω|∇u|2 entˆao

R

Ω|∇f|2 = 1 cos2_θ

f

R

Ω|∇u|2;

(4) Em adi¸c˜ao, se Mn

⊂ Sn+1 _{´e uma hiperfuperf´ıcie minimamente mergulhada}

ent˜ao(2λ₋n)R_Ω|∇f_|2₌R

Ω(∇2f)2−

R

Ω(∆f + 2λf)∆f +

R

29

Demonstra¸c˜ao.

(1)

R

Ωh∇f,∇ui=

R

Ωdiv(f∇u) =

R

∂Ωϕ ∂u ∂ν =

R

Ω|∇u| 2_.

(2)

Usando o Teorema da Divergˆencia, temos

Z

Ω

|∇f_|2+

Z

Ω

f∆f =

Z

Ω

div(f_∇f) =

Z ∂Ω f∂f ∂ν = Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν e _Z Ωh∇

u,_∇f_i+

Z

Ω

u∆f =

Z

Ω

div(u_∇f) =

Z ∂Ω u∂f ∂ν = Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν. Segue que Z Ω|∇

f_|2=

Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν − Z Ω

f∆f =

Z

Ω

u∆f +

Z

Ωh∇

u,_∇f_{i −}

Z

Ω f∆f.

Por outro lado,

Z

Ω

div((f ₋u)_∇(f ₋u)) =

Z

Ω

(f ₋u)∆(f ₋u) +

Z

Ω|∇

f _{− ∇}u_|2.

Comof =uem ∂Ω, temos

Z

Ω

div((f ₋u)_∇(f ₋u)) =

Z

∂Ω

(f ₋u)_h∇(f ₋u), v_i= 0.

Logo,

Z

Ω|∇

f _{− ∇}u_|2=

Z

Ω

(u₋f)(∆f ₋∆u) =

Z Ω u∆f ₋ Z Ω f∆f.

Portanto, usando o item (1), temos que

Z

Ω|∇

f_|2 =

Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν − Z Ω

f∆f =

Z

Ω

u∆f +

Z

Ωh∇

u,_∇f_{i −}

Z Ω f∆f = Z Ω|∇

f _{− ∇}u_|2+

Z

Ω|∇

(3)

Usando o item (1) deste lema obtemos,

Z

Ω|∇

u_|2= cosθf

sZ

Ω|∇

f_|2

Z

Ω|∇

u_|2 _⇒ 1 cosθ2

f

Z

Ω|∇

u_|22=

Z

Ω|∇

f_|2

Z

Ω|∇

u_|2.

Simplificando por R_Ω|∇u_|2 _{concluimos a prova do item.} (4)

Da prova do item (2) temos

Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν = Z Ω|∇

f_|2+

Z

Ω

f∆f. (3.5)

Substituindo a igualdade em (3.2) no caso ondeH = 0 temos

Z ΩL f = Z ∂Ω 2∂f

∂ν∆ϕ+h

=₋2λ

Z ∂Ω ϕ∂f ∂ν + Z ∂Ω h Z ΩL

f =₋2λ

Z

Ω

f∆f +_|∇f_|2

+ Z ∂Ω h Z Ω

Lf =₋2λ

Z

Ω

|∇f_|2+₋2λ

Z

Ω

f∆f +

Z

∂Ω h.

Por outro lado,

Z

Ω

Lf =

Z

Ω

(∆f)2_{−Ric(∇f,∇f)− |∇}2_f|2

Z

ΩL

f =

Z

Ω

(∆f)2₋n

Z

Ω|∇

f_|2₋

Z

Ω|∇

2_f

|2.

Combinando esses dois resultados temos

(2λ₋n)

Z

Ω|∇

f_|2 =

Z

Ω

(_∇2f)2₋

Z

Ω

(∆f + 2λf)∆f +

Z

∂Ω h

31

Antes de continuarmos, relembremos o seguinte resultado: Se S, T :_{H → H} s˜ao dois operadores definidos sobre um espa¸co de Hilbert_H, definimos o produto interno entre os dois operadores por

hS, T_i=tr(ST∗), (3.6) onde tr denota o tra¸co e _∗denota a opera¸c˜ao adjunta.

Dada uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : Ω_→R_{, vamos considerar o operador de tra¸co}

nulo associado ao Hessiano de f definido por φf = ∇2f − _n+1∆fI, onde I denota a identidade emT(Ω). Consequentemente temos,

|φf|2 = hφf, φfi = _h∇2f ₋ ∆f

n+ 1I,∇ 2_f

− ∆f

n+ 1Ii = _|∇2f_|2₋2 ∆f

n+ 1

h∇2f, I_i+ ∆f n+ 1

2

hI, I_i

= _|∇2f_|2₋2 ∆f n+ 1

tr(_∇2f I∗) + ∆f n+ 1

2

tr(II∗)

= _|∇2f_|2₋2 ∆f n+ 1

tr(_∇2f) + ∆f n+ 1

2 tr(I)

= _|∇2f_|2₋2(∆f)

n+ 1(∆f) +

_∆f

n+ 1

2

(n+ 1)

= _|∇2f_|2₋2(∆f) 2

n+ 1 +

(∆f)2

(n+ 1)2(n+ 1),

ent˜ao temos a seguinte identidade

|φf|2 =|∇2f|2− (∆f)2

n+ 1. (3.7)

Lema 4. Suponha queMn

⊂Sn+1 _{´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima mergulhada. Dada} f _∈C∞

ϕ (Ω) tal que

R

∂Ωϕ ∂f

∂ν = 0, os itens abaixo s˜ao v´alidos.

(1) R_Ω(∆f)2 _=nR

Ω|∇f|2+

R

Ω|∇2f|2+

R

∂Ωh;

(2) R_Ω|∇2_f|2_>R Ω|∇f|

2_;

(3) (n₋λ)R_Ω|∇u_|2₊R

∂Ωh= −

R

Ωh∇2f,∇2ui=−

R

(4) λR_Ω|∇u_|2 =R_Ω|∇2_u|2₋R

Ωh∇2f,∇2ui.

Demonstra¸c˜ao.

(1)

Sabemos que

Z

Ω|∇

f_|2+

Z

Ω

f∆f =

Z

Ω

div(f_∇f) =

Z ∂Ω f∂f ∂ν = Z ∂Ω ϕ∂f

∂ν = 0. Da´ıR_Ωf∆f =₋R_Ω|∇f_|2. Pelo item (4) do 3 segue que

2λ

Z

Ω|∇

f_|2₋n

Z

Ω|∇

f_|2=

Z

Ω|∇

2_f

|2−

Z

Ω

(∆f)2+ 2λ

Z

Ω

f∆f +

Z ∂Ω h, donde obtemos Z Ω

(∆f)2=n

Z

Ω|∇

f_|2+

Z

Ω|∇

2_f

|2+

Z

∂Ω h.

(2)

De (3.7) deduzimos a seguinte desigualdade,

(n+ 1)

Z

Ω

|∇2_f|2 _>

Z

Ω

(∆f)2 _=n

Z

Ω

|∇f_|2+

Z

Ω

|∇2_f|2₊

Z ∂Ω h. Portanto, n Z Ω|∇ 2_f

|2 > n

Z

Ω|∇

f_|2+

Z

∂Ω h>n

Z

Ω| ∆f_|2

e podemos concluir ent˜ao R_Ω|∇2_f|2_>R

Ω|∇f|2. (3)

Note que f =uem ∂Ω e ∆u= 0 em Ω. Por (3.2) temos que R_ΩL(f ₋u) = 0. Consequentemente,

0 =

Z

Ω

∆f ₋∆u2₋

Z

Ω

Ric(_∇(f ₋u),_∇(f ₋u))₋

Z

Ω

33

Da´ı, _Z

Ω

(∆f)2= n

Z

Ω|∇

f _{− ∇}u_|2+

Z

Ω|∇

2_f

− ∇2u_|2.

Pelo item (1),

n

Z

Ω

|∇f_|2+

Z

Ω

|∇2_f|2₊

Z

∂Ω

h = n

Z

Ω

|∇f _{− ∇}u_|2+

Z

Ω

|∇2_{f − ∇}2_u|2

= n

Z

Ω|∇

f_|2₋2n

Z

Ωh∇

f,_∇u_i+n

Z

Ω|∇

u_|2

+

Z

Ω|∇

2_f

|2−2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+

Z

Ω|∇

2_u

|2.

Simplificando,

Z

∂Ω

h = ₋2n

Z

Ωh∇

f,_∇u_i+n

Z

Ω|∇

u_|2₋2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+

Z

Ω|∇

2_u

|2

= ₋2n

Z

Ω|∇

u_|2+n

Z

Ω|∇

u_|2₋2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+

Z

Ω|∇

2_u

|2

= ₋n

Z

Ω

|∇u_|2₋2

Z

Ω

h∇2_f,∇2_ui+

Z

Ω

|∇2_u|2_.

Portanto,

Z

∂Ω

h=₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+

Z

Ω|∇

2_u

|2. (3.8)

Usando a equa¸c˜ao (3.3) temosR_Ω|∇2_u|2 _{= (2λ−n)}R

Ω|∇u|2−

R

∂Ωh. Assim,

Z

∂Ω

h = ₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+ (2λ₋n)

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

∂Ω h

= ₋2

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+ 2(λ₋n)

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

∂Ω h

Z

∂Ω

h = ₋

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i+ (λ₋n)

Z

Ω|∇

Logo, (n₋λ)R_Ω|∇u_|2R_∂Ωh=₋R_Ωh∇2_f,∇2_{ui. Mas,}

hφf,∇2ui = h∇2f − ∆f n+ 1I,∇

2_f

i

= _h∇2f,_∇2u_{i −} ∆f n+ 1hI,∇

2_u

i

= _h∇2f,_∇2u_{i −} ∆f n+ 1∆u.

Integrando sobre Ω e lembrando que ∆u= 0 em Ω temos

(n₋λ)

Z

Ω

|∇u_|2+

Z

∂Ω h=₋

Z

Ω

h∇2_f,∇2_ui=−

Z

Ω

hφf,∇2ui.

(4)

Aplicando (3.3) ao item (3) deste lema temos

Z

Ωh−∇

2_f,

∇2u_i = (n₋λ)

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω h

= (n₋λ)

Z

Ω|∇

u_|2+ (2λ₋n)

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z Ω|∇ 2_u |2 = λ Z Ω|∇

u_|2₋

Z

Ω|∇

2_u

|2.

Logo,

Z

Ω|∇

2_u

|2+

Z

Ωh−∇

2_f,

∇2u_i=

Z

Ωh∇

2_u

− ∇2f,_∇2u_i= λ

Z

Ω|∇

u_|2. (3.9)

Aplicando a desigualdade de Cauchy em (3.9) temos

Z

Ω|∇

2_u

|2+ ǫ 2

2

Z

Ω|∇

2_u

|2+ 1 2ǫ2

Z

Ω|∇

2_f

|2 >λ

Z

Ω|∇

u_|2 (3.10) e ǫ2 2 Z Ω|∇ 2_u

− ∇2f_|2+ 1 2ǫ2

Z

Ω|∇

2_u

|2 >λ

Z

Ω|∇

u_|2. (3.11) onde ǫ´e um n´umero real positivo.

35

Teorema 7. Sejam M uma varidade Riemanniana fechada orientada e x : Mn _→

Sn+1 _⊂ Rn+2 _{um mergulho m´ınimo. Seja f ∈ C}∞

ϕ (Ω) tal que

R

∂Ωϕ ∂f

∂ν = 0. Ent˜ao

valem os seguintes resultados

(1) Suponha que R_Ωh∇2_f,∇2_{ui >0, ent˜ao o primeiro autovalor do Laplaciano de}

M satisfaz λ=n; (2) R_Ω|∇2_{f − ∇}2_u|2 _>R

Ω|∇

2_u|2_;

(3) R_Ω|∇2_f|2_>n−λ 2λ−n

2R

Ω|∇

2_u|2_;

(4) Se R_Ω|∇2_u|2_>R

Ω|∇2f|2, ent˜ao λ> 2n

3.

Demonstra¸c˜ao.

(1)

ComoR_Ωh>0 en ´e cota superior deλ temos que (n₋λ)

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω

h>0.

Do item (3) do lema anterior, segue que R_Ωh∇2_f,∇2_{ui 6 0 e, pela hip´otese,}

R

Ωh∇

2_f,∇2_{ui= 0. Logo,}

(n₋λ)

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω h= 0

e portanto ambos os temos s˜ao nulos donde obtemosn=λ. (2)

Suponha queR_Ω|∇2_u|2 _>R

Ω|∇2f − ∇2u|2. Usando esse argumento em (3.11) temos que

ǫ2 2

Z

Ω|∇

2_u

|2+ 1 2ǫ2

Z

Ω|∇

2_u

|2 > λ

Z

Ω|∇

u_|2. (3.12)

Escolhendo ǫ2 = 1 em (3.12) temos R_Ω|∇2_u|2 _{> λ}R

(3)

De (3.3) temos (2λ₋n)R_Ω|∇u_|2 > R

Ω|∇

2_u|2 _{⇒ λ}R Ω|∇u|

2 _> λ

2λ−n

R

Ω|∇

2_u|2_. Portanto, por (3.10) temos

Z

Ω|∇

2_u

|2+ ǫ 2

2

Z

Ω|∇

2_u

|2+ 1 2ǫ2

Z

Ω|∇

2_f

|2 > λ

2λ₋n

Z

Ω|∇

u_|2. (3.13)

De (3.13) segue que

1 2ǫ2 2ǫ2 Z Ω|∇ 2_u

|2+ǫ4

Z

Ω|∇

2_u

|2+

Z

Ω|∇

2_f

|2> λ

2λ₋n

Z

Ω|∇

2_u

|2.

Desenvolvendo a desigualdade acima e simplificando alguns termos, temos

2(λ₋n)ǫ2+ǫ4(2λ₋n)Z

Ω|∇

2_u

|2+ (2λ₋n)

Z

Ω|∇

2_f

|2 >0.

Da´ı,

(2λ₋n)

Z

Ω

|∇2_f|2 _>2(n−λ)ǫ2_−ǫ4_(2λ−n)Z Ω

|∇2_u|2_.

Portanto, _Z

Ω|∇

2_f

|2>

_2(n−λ)ǫ2 2λ₋n −ǫ

4Z

Ω|∇

2_u

|2.

Parax =ǫ2_{, escreva p(x) =} 2(n−λ)x

2λ−n −x2. Assim, p

′

(x0) = 0 para x0 = _2λn−₋λ_n e p′′(x0)<0. Logo,x0 ´e um ponto de m´aximo de p(x).

Comop(x0) =

n−λ 2λ−n

2

, segue que

Z

Ω|∇

2_f

|2 >

_n−λ

2λ₋n

2Z

Ω|∇

2_u

|2. (3.14)

(4)

Suponha queR_Ω|∇2_u|2_>R

Ω|∇2f|2, ent˜ao de (3.14), temos

R

Ω|∇2u|2 >

n−λ 2λ−n

2R

37

Corol´ario 5. Seja M uma varidade Riemanniana fechada orientada e x : Mn _→

Sn+1_⊂Rn+2 _{um mergulho m´ınimo. Suponha que∇}2_{f =µI para algumaf ∈C}∞

ϕ (Ω)

tal que R_Ωϕ∂f_∂ν = 0. Ent˜ao o primeiro autovalor do Laplaciano de M ´e igual a n.

De fato, veja que

Z

Ωh∇

2_f,

∇2u_i=

Z

Ωh

µI,_∇2u_i=µ

Z

Ωh

I,_∇2u_i=µ

Z

Ω

∆u= 0.

Pelo item (3) do Lema 4 temos (n₋λ)R_Ω|∇u_|2 ₊R

∂Ωh = 0 e de forma similar `a prova do item (1) do Teorema 7 temosn =λ.

3.1

Itera¸

c˜

ao do problema de Dirichlet

Consideramos a seguir uma fam´ılia auxiliar de problemas de Dirichlet

∆v =tu, em Ω

v=ϕ, em ∂Ω. (3.15)

Onde udenota a extens˜ao harmˆonica deϕ sobre Ω, enquantot´e um parˆamentro real que ser´a escolhido posteriormente.

Sejam u e v pertencentes a C∞

ϕ (Ω). Usando o Lema 3 e o Teorema de Stokes, deduziremos o pr´oximo lema.

Lema 5. As solu¸c˜oes u e v do problema (3.15) satisfazem:: (1) R_∂Ωϕ∂u_∂ν =R_Ω|∇u_|2 ₌R

Ωh∇u,∇vi;

(2) R_∂Ωϕ∂v ∂ν =t

R

Ωu2+

R

Ω|∇u|2 =t

R

Ωuv+

R

Ω|∇v|2.

Demonstra¸c˜ao.

(1)

Para o primeiro caso temos,

Z

∂Ω ϕ∂u

∂ν =

Z

∂Ω v∂u

∂ν =

Z

Ω

div(v_∇u) =

Z

Ωh∇

v,_∇u_i=

Z

Ω|∇

(2)

Por um lado,

Z ∂Ω ϕ∂v ∂ν = Z ∂Ω u∂v ∂ν = Z Ω

div(u_∇v) =

Z

Ω u∆v

Z

Ωh∇

u,_∇v_i=t

Z

Ω u2+

Z

Ω|∇

u_|2.

Por outro lado temos

Z ∂Ω ϕ∂v ∂ν = Z ∂Ω v∂v ∂ν = Z Ω

div(v_∇v) =

Z

Ω v∆v

Z

Ωh∇

v,_∇v_i=t

Z

Ω uv+

Z

Ω|∇

v_|2

o que prova o Lema 5.

Aplicando a F´ormula de Reilly a uev, quandoMn _⊂Sn+1_{´e uma hipersuperf´ıcie}

m´ınima obtemos a seguinte rela¸c˜ao

Z

Ω|∇

2_u

|2 =₋(t2+ 2λt)

Z

Ω

u2+n

Z

Ω

(_|∇v_|2_{− |∇}u_|2) +

Z

Ω|∇

2_v

|2. (3.16)

De fato, aplicando a u temos

Z

ΩL

u = ₋2λ

Z ∂Ω ϕ∂u ∂ν + Z ∂Ω h

= ₋2λ

Z

Ω|∇

u_|2+

Z ∂Ω h e Z ΩL u = Z Ω

(∆u)2₋

Z

Ω

Ric(_∇u,_∇u)₋

Z

Ω|∇

2_v

|2

= ₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

Ω|∇

2_u

|2.

Temos ent˜ao que,

−2λ

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω

h=₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

Ω|∇

2_u

|2.

39

Z

ΩL

v = ₋2λ

Z ∂Ω ϕ∂v ∂ν + Z ∂Ω h

= ₋2λt

Z

Ω

u2₋2λ

Z

Ω|∇

u_|2+

Z

∂Ω h

= ₋2λt

Z

Ω

u2₋n

Z

Ω

|∇u_|2₋

Z

Ω

|∇2_u|2 e Z ΩL v = Z Ω

(∆v)2₋

Z

Ω

Ric(_∇v,_∇v)₋

Z

Ω|∇

2_v

|2

= t2

Z

Ω

u2₋n

Z

Ω|∇

v_|2₋

Z

Ω|∇

2_v

|2.

Segue que

t2

Z

Ω

u2₋n

Z

Ω|∇

v_|2₋

Z

Ω|∇

2_v

|2 =₋2λt

Z

Ω

u2₋n

Z

Ω|∇

u_|2₋

Z

Ω|∇

2_u

|2,

donde,

Z

Ω

|∇2_u|2 _=−(t2_{+ 2λt)}

Z

Ω

u2+n

Z

Ω

(_|∇v_|2_{− |∇}u_|2) +

Z

Ω

|∇2_v|2_{. (3.17)}

Em particular, usando o fatoR_Ω|∇2_v|2 _> 1 n+1

R

Ω(∆v)2 e a equa¸c˜ao (3.17) obtemos o seguinte lema.

Lema 6. Se Mn _⊂Sn+1_{´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima mergulhada ent˜ao, as fun¸c˜oes} u e v solu¸c˜oes do problema (3.15) satisfazem:

(1) Para t_∈[₋2λ,0], R_Ω|∇2_u|2 _>R

Ω|∇2v|2;

(2) R_Ω|∇2_u|2 _> λ2_(n+1)

n R Ωu 2_. Demonstra¸c˜ao. (1)

Pelo item (2) do Lema 3 R_Ω|∇v_|2 >R

Ω|∇v|2 e para t∈[−2λ,0], obtemos

−(t2_{+ 2λt)>0. Logo, pela equa¸c˜ao (3.17)}

Z

Ω|∇

2_u

|2 >

Z

Ω|∇

2_u