10.16,31log xC  2!1!1!2)!12!.(1!2

RESUMO PARA A 3ª CERTIFICAÇÃO – 2009 – MAT 1 e MAT 2 – 2ª SÉRIE – GABARITO

1) Com dez jogadores de futebol de salão, dos quais 2 só podem jogar no gol e os demais só podem jogar na linha, determine de quantas maneiras podemos formar um time com um goleiro e quatro jogadores na linha?

Solução. O número de jogadores é 10. Se 2 são goleiros, então 10 – 2 = 8 jogam na linha. Para formar times com 1 goleiro e quatro jogadores, devemos selecionar os elementos dentro de suas naturezas: apoiar ou não apoiar.

A ordem das escolhas de nomes não importa. São 5 elementos, onde 1 será goleiro e 4 serão jogadores de linha.

i) Selecionando 1 goleiro: ¹2 _1!.(2^2! _1)!_1!^2!_1!²

  C x

ii) Selecionando 4 jogadores de linha: 8⁴ _4!.(8^8! _4)! ^{8 7} _4!⁶_4!^{5 4!}⁷⁰









 

  C

Logo, há C¹₂C₈⁴ 270140 maneiras diferentes.

2) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa eletrônico de um banco, mas na hora de digitar, esqueceu-se da senha.

Ela lembra que a senha é formada por 4 algarismos distintos retirados do telefone da sua casa 3891-0524, que começa por 5 e que tem o 8 em alguma posição. Qual é o número máximo de tentativas para descobrir a senha?

Solução. Os algarismos serão escolhidos entre os utilizados no número do telefone. Há oito disponíveis. Pelas restrições da senha o algarismo 5 não muda de posição e o algarismo 8 aparece sempre, seja na 2ª, 3ª ou 4ª ordem. Temos:

i) iniciando por 5 e 8 na 2ª posição: 1 x 1 x 6 x 5 = 30

ii) iniciando por 5 e 8 na 3ª posição: 1 x 6 x 1 x 5 = 30

iii) iniciando por 5 e 8 na 4ª posição: 1 x 6 x 5 x 1 = 30

Logo, há 30 + 30 + 30 = 90 possibilidades de senha.

3) O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H3O⁺ por litro de solução. Uma solução é dita “ácida” se tiver pH < 7 (7 é o pH da água pura, dita de pH “neutro”) e “básica” se tiver pH > 7. A Coca-cola possui concentração de H3O⁺ de aproximadamente 3,16.10^-3 mol/litro. Calcule o pH da Coca-cola e diga se é ácido, neutro ou básico. (Dados: log 2 = 0,3 e log 79 = 1,9)

Solução. Pela informação o pH procurado é dado por ₃ 10 . 16 , 3

log 1 _ . Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos:

5 , 2 5 5 , 2 ) 5 9 , 1 6 , 0 ( ] 5 9 , 1 ) 3 , 0 ( 2 10 [

. 16 , 3 log 1

) 10 log 5 79 log 2 log 2 10 (

. 16 , 3 log 1

) 10 log 79 log 2

10 (log . 16 , 3 log 1

) 10 . 79 . 2 log(

) 10 . 316 10 log(

. 16 , 3 log 1

) 10 . 10 . 316 log(

0 ) 10 . 16 , 3 log(

1 10 log

. 16 , 3 log 1

3 3

5 2

3

5 2

5 3

3 2 3

3















































































Logo, 2,5 < 7. Coca-cola é ácido.

4) Resolva, em IR, a equação log (₃ x10) log ( ₃ x4) 3 :

5 8

1p os

1p 6p 5p

5 8

1p os

6p 1p 5p

5 8

1p os

6p 5p 1p

Solução. Antes da resolução, precisamos estabelecer as condições de solução.

i) x + 10 > 0. Logo, x > - 10 ii) x + 4 > 0. Logo, x > - 4

Para que a solução satisfaça ambas as condições, o valor de x deverá ser maior que –4. Identificando a propriedade do produto de logaritmos de mesma base, temos:

3 )]

4 ).(

10 [(

log

3 ) 4 ( log ) 10 ( log

3

3 3













 x x

x

x . Pela definição de logaritmos, vem:

 









 





























13 0 1

) 13 )(

1 ( 0 13 14 2

27 40 10 4

3 )4 ).(

10 (

2 2

3

x x x

x x

x

x x x

x x

. Pelas condições estabelecidas, a solução é x = - 1.

5) A câmara de vereadores de um município é composta por exatamente 20 vereadores, sendo que 12 apóiam o prefeito e os outros são contra ele. Determine o número de maneiras diferentes de se formar uma comissão de 5 vereadores com exatamente 2 oposicionistas ao prefeito.

Solução. O número de vereadores é 20. Se 12 apóiam o prefeito, então 20 – 12 = 8 não apóiam. São de oposição.

Para formar comissões com exatamente 2 oposicionistas, devemos selecionar os elementos dentro de suas naturezas: apoiar ou não apoiar. A ordem das escolhas de nomes não importa. São 5 elementos, onde 2 serão de oposição e 3 que apóiam o prefeito.

i) Selecionando 2 vereadores oposicionistas: 8² _2!.(8^8! _2)!⁸_2!⁷₆⁶_!^!²⁸

 

x x C x

ii) Selecionando 3 vereadores não oposicionistas: 12³ _3!.(12^12! _3)!^{12 11}_{3! 9}¹⁰_! ^9!²²⁰

 

x x x C x

Logo, há C₈²C₁₂³ 282206160 maneiras diferentes.

6) Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e sapatos. O organizador do desfile afirma que 3 modelos de saia, 5 de blusa, 3 pares de sapato e um certo número de bolsas permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Para que a afirmação do organizador seja verdadeira, qual deve ser o número mínimo de bolsas?

Solução. As possibilidades de traje são:

saia blusa sapato bolsa Número de trajes

3 possibilidades 5 possibilidades 3 possibilidades x possibilidades 3.5.3.x = 45x Como o organizador afirmou haver mais de 200. O número mínimo de bolsas deverá ser tal que:

4 , 45 4 200 200

45x x  . Logo, o número inteiro x > 4,4 é 5. O número mínimo de bolsas.

7) Se sen x = 3

2 e

 



2 x

, calcule o valor de cos x.

Solução. Com a relação fundamental, temos:

9 1 4 cos

1 3 cos

1 2

cos ²

2 2

2      



 







 x x x

x

sen .

Como o intervalo é do 2º quadrante, temos:

3 5 9

cosx 5  .

8) A expectativa de vida, em anos, de uma pessoa que nasceu no ano x (x > 1900), em uma região, é dada pela expressão E(x) = 7(200logx651). Qual a expectativa de vida de uma pessoa que nasceu em 2000? (log 2= 0,3) Solução. O problema resume-se em calcular E(2000). Temos:

63 ] 9 [ 7 ) 2000 (

] 651 660 [ 7 ) 2000 ( ] 651 ) 3 , 3 ( 200 [ 7 ) 2000 ( ] 651 ) 3 3 , 0 ( 200 [ 7 ) 2000 (

] 651 ) 10 log 3 2 (log 200 [ 7 ) 2000 ( ] 651 ) 10 log 2 (log 200 [ 7 ) 2000 (

) 651 ) 10 . 2 log(

200 ( 7 ) 2000 ( ) 651 2000 log 200 ( 7 ) 2000 (

3

3



























































E

E E

E

E E

E E

9) Resolva, em IR, a equação log (2₂ x10) log ( ₂ x 1) 6 :

Solução. Antes da resolução, precisamos estabelecer as condições de solução.

i) 2x + 10 > 0. Logo, x > -5 ii) x + 1 > 0. Logo, x > -1

Para que a solução satisfaça ambas as condições, o valor de x deverá ser maior que –1. Identificando a

propriedade do produto de logaritmos de mesma base, temos:

6 )]

1 ).(

10 2 [(

log

6 ) 1 ( log ) 10 2 ( log

2

2 2













 x x

x

x .

Pela definição de logaritmos, vem:

 







 





































3 0 9

)3 )(

9 ( 0 27 6 0

54 12 2

64 10 10 2 2

2 )1 ).(

10 2(

2 2

2

6

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

Pelas condições estabelecidas, a solução é x = 3.

10) (MACK) Quantos polígonos de k lados (k múltiplos de 3) podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura?

Solução. Os polígonos com lados múltiplos de 3 são triângulo, hexágono e eneágono, que são construídos com agrupamentos dos pontos 3 a 3, 6 a 6 e 9 a 9. Como cada dois pontos determinam um

lado, temos uma combinação já que o lado 12 e o 21 representam o mesmo.

i) Número de triângulos: 84

1 2 3

7 8 9

! 6

! 3

! 6 7 8 9

! 6

!.

3

!

3 9

9    

x x

x x x

x C x

ii) Número de hexágonos: 84

1 2 3

7 8 9

! 3

! 6

! 6 7 8 9

! 3

!.

6

!

6 9

9    

x x

x x x

x C x

iii) Número de eneágonos: 1

! 0

!.

9

!

9 9

9  

C Logo há 84 +84 + 1 = 169 polígonos.

11) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é:

Solução. Se há 10 pessoas e somente 4 são advogados, conclui-se que as 6 restantes não são advogados. Como o júri é formado por 7 pessoas e é preciso pelo menos 1 advogado, as possibilidades de formação são:

i) 1 advogado: 4 1 4

! 0

! 6

! 6

! 3

!.

1

!

6 4

6 1

4   x 

x x xC

C ii) 2 advogados: 6 6 36

! 1

! 5

! 6

! 2

!.

2

!

5 4

6 2

4   x 

x x xC

C

iii) 3 advogados: 4 15 60

! 2

! 4

! 6

! 1

!.

3

!

4 4

6 3

4   x 

x x xC

C iii) 4 advogados:

20 20

! 1 3

! 3

! 6

! 0

!.

4

!

3 4

6 4

4   x 

x x xC

C

Logo, há 4 + 36 + 60 + 20 = 120 formas de compor o júri.

12) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoantes. Calcule os valores de x e y .

Solução. Calculamos para cada caso:

i) Anagramas iniciando por vogal: x = 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 possibilidades vogal

2p 4p 3p 2p 1p

ii) Anagramas iniciando e terminando por consoantes: y = 3 x 3 x 2 x 1 x 2 = 36 possibilidades

cons cons

3p 3p 2p 1p 2p

13) Resolva as equações:

a) log₃(x25)log₃(11x)5

Solução. Estabelecendo as condições de existência, temos:

i) x + 25 > 0. Logo x > - 25. ii) 11 – x > 0. Logo x < 11.

Aplicando a propriedade do produto, temos:

5 )]

11 ).(

25 [(

log

5 ) 11 ( log ) 25 ( log

3

3 3















x x

x

x . Pela definição de logaritmo, vem: ^{(x25).(11x)35}

Desenvolvendo o produto e a potência, calculamos o valor de x.

 



 



 

 



 

 

 

 





 













 



























2 2 18 14

2 16 18 14 2

324 14 2

128 196 14 )1

(2

) 32 )(1 (4 ) 14 ( ) 14 (

0 32 14 243

25 275 11

3 ) 11 ).(

25 (

2

2 2

5

x x x

x x x

x x x

x

Os valores estão no intervalo – 25 < x < 11. Logo S = {-16, 2}.

b) log2log(x1)logx1

Estabelecendo as condições de existência, temos:

i) x + 1 > 0. Logo x > - 1. ii) x > 0.

Aplicando a propriedade do produto e do quociente, temos:

) 1 1 ( log2

1 log )]

1 ( 2 log[

 





 x x

x x

e pela definição de logaritmo, vem: 2( 1) 10¹

  x x

Desenvolvendo a expressão, calculamos o valor de x.

4 2 1

8 10

2 2 ) 10

1 (

2   ₁      

x x

x x x

x

O valor está no intervalo x > 0. Logo S = { 4 1 }.

c)

   

2 1 1 log 1 3

log₂ x  ₄ x 

Estabelecendo as condições de existência, temos:

i) 3x - 1 > 0. Logo x >

3

1 . ii) x + 1 > 0. Logo x > - 1.

Representando os logaritmos na base 2, temos:

     

2 1 4 log

) 1 ( 1 log 3 2 log

1 1 log 1 3 log

2 2 2

4

2        x 

x x

x . O valor de log 2 4 = 2.

Logo,

 

2.log



3 1



log ( 1) 1

2 1 2

) 1 ( 1 log 3

log₂   ² x   ₂ x  ₂ x 

x .

Utilizando a propriedade da potência e do quociente, temos:

 

1

1 ) 1 3 log ( 1 ) 1 ( log 1 3 log . 2

2 2

2

2 



 







 x

x x

x . Finalmente pela definição de logaritmos, vem:

2 1 2

2 2

1 ) 1 3 1 ( 1

) 1 3

log ( 



 

 



x x x

x . Desenvolvendo a expressão encontramos o valor para “x”:

 



 





 



 



 

 

 











 



















 



9 1 18

10 8

18 1 10 8 18

10 8 18

36 64 8 )9

(2

)1 )(

9(

4 )8 ( )8 (

0 1 8 9 2 2 1 6 9 1 2

)1 3(

2

2 2

1 2

x x x

x x x

x x x

x

O valor x = 1 >

3

1 satisfaz a condição, mas x = 9

 1 < -1 <

3

1 , não satisfazendo. Logo S = {1}.

14) A relação P = 64000.(1 - 2^-0,1t) descreve o crescimento de uma população de microorganismos, sendo P o número de microorganismos, t dias após o instante 0. Após quantos dias o valor de P é superior a 63000?

Solução. O problema pede que se calcule o valor de “t” para que P(t) > 63000. Resolvendo a inequação, temos:

64 1 63 64000 2

63000 ) 63000 21(

) 21 .(

64000 63000

)( _{1,0 1,0}

1,0      

 







 _{ }



t t

t

tP

.

Multiplicando a expressão por (-1), vem: ^{0,1 0,1} 2 ^0,1 2 ⁶ 64

2 1 64 1

2^{ t} 63  ^{ t}   ^{ t}  ^ . Como a base é maior que

1, essa inequação se verifica para ^{0,1t6t }₀⁶_,1^60. Logo após 60 dias a população P será superior a 63000 microorganismos.

15) Sendo cos  = ₁₃⁵ e ^3

2 <  < 2, calcule o valor de sen .

Solução. Pela relação fundamental sen²cos²1, temos:

13. 12 169 144 169

25 169 169

1 25 13 1

5 2

2

2          



 



  

 sen sen

sen

O ângulo pedido é do 4º quadrante, onde o seno é negativo. Logo, . 13

12

  sen

16) O número N de bactérias de uma cultura é dado, em função do tempo por N(t) = 10⁵.2^4t, t em horas. Calcule o tempo necessário para que o número inicial de bactérias fique multiplicado por 100. (log2 = 0,3)

Solução. Quando t = 0, N(0) = 10⁵. O problema pede que se calcule o tempo para que N(t) = 100.N(0) = 10⁷.

Igualando as expressões, temos:

10 2. 100 10. 2 100 . 10.

100 )(

2.

10

)( _{5 4 5 4}

5 4 5







 

 





 ^t _{t t}

tN tN

Expressando a potência (4t) como logaritmo

na base 2 e mudando para a base 10, encontramos:

3 . 12 3 5 3 . 4

20 3

4 20 3 , 0 4 2 2 log

100 4 log

100 log

4t ₂  t  t  t t  h h

Após 1 hora e 40 minutos, o valor inicial ficará multiplicado por 100.

17) Os 500 estudantes de um colégio responderam a uma pergunta sobre qual a área de conhecimento preferida, entre Exatas, Humanidades e Biológicas. As respostas foram computadas e alguns dados foram colocados na tabela.

a) Sabendo que cada estudante escolheu uma única área, complete a tabela com os dados que estão faltando.

b) Um estudante é escolhido ao acaso.

b-1) Determine a probabilidade de ele preferir Exatas e ser do sexo feminino.

Solução. O número de estudantes que preferem exatas e são do sexo feminino vale 80. O total de alunos é 500.

Logo,

500 ) 80 (EF 

P .

b-2) Determine a probabilidade ele preferir Humanidades ou ser do sexo masculino.

Solução. O número procurado é o de alunos que preferem Humanidades ou são do sexo masculino.

500. 345 500

45 500 265 500 ) 125 (

) ( ) ( )

(HM P H P M P HM     P

18) Qual o valor positivo de x que torna a sucessão 



 





8 , 9 2 ,

1 x uma PG?

Solução. Vamos usar a propriedade fundamental de uma PG para calcular o valor de "x".

4 3 16

9 8

. 9 2 8 1

9

2 1

2   



 







 







 x x

x

x . Como o exercício pede só o valor positivo, a resposta é

4 3 .

19) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 , calcule o valor de log 72 : Solução. Decompondo 72 em fatores primos, temos: 72 = 3².2³

log 72 = log (3².2³) = log (3²) + log (2³) = 2.log3 + 3.log2 = 2.(0,48) + 3.(0,30) log 72 = 0,96 + 0,90 = 1,86.

20) Calcule o valor da soma 1 1 1 1

1 ...

2 4 8 128

S     

Solução. Calculando “q”: .

2 1 1 .2 4 1 2 1 4 1 2 1 1 2 1











q .

Calculando “n” pela fórmula do termo geral: 1 7 8.

2 ) 1 2 ( 1 2)

)(1 1 28 (

1

1 7

1       

 ^n _n n n

Calculando a soma finita: .

128 255 1 .2 256 255 2

1 2256

1 256

2 1 1

256 1 1 2) (1 1

2) (1 1 ).

1 (

8

8  









 



  S

21) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é 10 vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15 % ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes

Solução.

i) 200 – 120 = 80 ii) 125 – 80 = 45 iii) 175 – 100 = 75 iv) 120 + 45 + 100 = 265 v) 80 + 80 + 75 = 235

nos próximos anos. Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a 1 ano.

Solução.

x = nº de habitantes da favela

10x = nº de habitantes dos subúrbios Hoje: x + 10x = 12100000

11x = 12100000 x = 1100000

Daqui a 1 ano: (1100000 x 1,15) = 1265000 de habitantes.

22) Determine para que valores de x a seqüência (x + 1, 2x + 6, 10x + 6) é uma P.G. crescente.

Solução. Aplicando a propriedade da média geométrica, temos:



 









 

 

 











 



































6 10 3 6

14 4 6

180 16 4 3.

2

) 15 )(

3(

4 )4 ( )4 (

0 15 4 3 0 30 8 6

6 10 6 10 36 24 4

)6 10 )(

1 ( )6 2 (

2 2 2

2 2

2

x x x

x x x

x

x x x x

x

x x

x

Como a PG é crescente, temos: (3+1, 2.3 + 6, 10.3 + 6) = (4, 12, 36) PG de razão q = 3 > 1.

O outro valor de x levará a q = - 4 < 1 (decrescente). Logo, x = 3 e q = 3 com a PG = (4, 12, 36)

23) Em um programa de TV, há 6 rodadas por noite. Na 1^a, o prêmio é de R$ 100,00. Sabendo que os valores dos prêmios aumentam segundo uma P.G., qual será o valor do prêmio na penúltima rodada, se na 3^a foi de R$ 225,00?

Solução. Numa P.G, o termo geral é dado por an = a1q^n-1. Temos: a1 = 100; a3 = a1q^3-1 = a1q² e n = 6.

Calculando a1 de acordo com o valor de a3 vem:

. 5 , 10 1 15 100

225 100

225

225 100

2

2 2

1 3























q q

q q

a a

Como os valores aumentam, q > 0. Logo consideraremos o valor q = 1,5.

O prêmio na penúltima rodada será: a₅  a₁q⁴ 100(1,5)⁴ 100(5,0625) R$506,25

24) Resolva, no conjunto dos números reais, a equação: ... 6 3 9 27

x x x

x    

Solução. i) “q”:

3 1 .1

3

3 

 





x x x

x

ii) soma infinita: 4

3 3 4 3

1 ) 3

3 ( 1 1 1

1 x x x x

q

S_n a  

 

 

 



Resolvendo a equação: 8

3 24 24

3 4 6

3x   x x 

V = { 8 }.

25) Em uma pesquisa feita com leitores de jornais, constatou-se que 15 lêem “O Globo”, 30 lêem “Jornal do Brasil”, 5 lêem os dois jornais e 20 lêem outros jornais. Qual a probabilidade de um leitor, escolhido ao acaso, ler:

a) Os dois jornais?

Solução. Lembrando as representações em conjuntos, temos que quem lê os dois jornais representa os leitores da interseção:

60 ) 5 (GJB  P

b) Um ou outro jornal?

Solução. Quem lê um ou outro jornal representa os leitores somente do Globo, somente Jornal do Brasil ou ambos. Isto é:

60 40 60

25 5 ) 10

(GJB     P

26) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, qual é a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9?

Solução. Observe o espaço amostral do lançamento de dois dados.

i) Espaço amostral: 6 x 6 = 36 possibilidades

ii) Faces com soma 7 ou 9: {(1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3); (3,6); (6,3); (4,5); (5,4)}

Como há 10 possibilidades, temos:

18 5 36 10

9

7  _soma  

soma P

P

27) Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença. Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos.

a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo.

Solução. Observe a tabela com as informações do problema.

SADIOS DOENTES

POSITIVOS 30 90

NEGATIVOS 170 10

TOTAL 200 100

b) Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.

Solução. Observe agora que o espaço ficou restrito aos positivos.

SADIOS DOENTES TOTAL

POSITIVOS 30 90 120

Resposta: Há 30 sadios positivos e 90 doentes

positivos. Logo 40%

5 2 10

4 300

120   

positivo

P .

Resposta: Há 90 doentes de um total de 120 positivos. Logo

% 4 75 3 120 ) 90 /

(_{doente positivo}   

P .