Open As desigualdades de BohnenblustHille e HardyLittlewood

(1)

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

As Desigualdades de Bohnenblust–Hille e

Hardy–Littlewood

Jonathas Phillipe de Jesus Almeida

(2)

Programa de P´

os–Gradua¸c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

As Desigualdades de Bohnenblust–Hille e

Hardy–Littlewood

por

Jonathas Phillipe de Jesus Almeida

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino

Disserta¸cão apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Para´ıba como re-quisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

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(4)

A447d Almeida, Jonathas Phillipe de Jesus.

As desigualdades de Bohnenblust-Hille e Hardy-Littlewood/ Jonathas Phillipe de Jesus Almeida.- João Pessoa, 2016. 60f.

Orientador: Daniel Marinho Pellegrino Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Operadores absolutamente somantes. 3. Desigualdade de Bohnenblust-Hille. 4. Desigualdade de Hardy-Littlewood.

(5)

(6)

Primeiramente a Deus pelo dom da vida, e por fazer de cada amanhecer fonte de luz e esperan¸ca.

A minha mãe, Rosemeire de Jesus, por estar incondicionalmente ao meu lado, com demonstra¸cões de amor desmedidas. Ao meu pai, Jackson Almeida, por todo o apoio. Aos meus irmãos, Ewerton de Jesus e Jamerson Almeida, pelo companheirismo, confian¸ca e carinho.

A minha madrinha, Jucilene Santana Queiroz, pelas palavras encorajadoras, pelo carinho, confian¸ca.

A todas as pessoas de minha fam´ılia que est˜ao em Barrocas e em Feira de Santana, que sempre acreditaram que eu poderia chegar aqui.

Ao meu orientador Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino, por todo ensinamento, paciˆencia e disponibilidade em me atender.

Aos professores de gradua¸cão e pós-gradua¸cão. Especialmente a Everaldo Medei-ros, Uberlândio Severo, Pedro Venegas, Aurélio Menegon, Maur´ıcio Ferreira, Fab´ıola Pedreira e Jean Fernandes .

A todos os meus amigos de gradua¸cão e pós-gradua¸cão. Em especial, Aline Moreira, Elisângela Alves, Edna Fonseca, Elianai Viana, Camila Marques, Renato Bezerra, Sally Andria, Isabelly, Lisiane Rezende e Djair Paulino.

(7)

No presente trabalho abordaremos duas desigualdades clássicas, a saber, a Desigual-dade de Bohnenblust-Hille e a DesigualDesigual-dade de Hardy- Littlewood. A primeira, surgiu como ferramenta para o estudo de problemas relacionados a séries de Dirichlet e é uma generaliza¸cão para formas multilineares da Desigualdade 4/3 de Littlewood. A segunda consiste de uma generaliza¸cão da Desigualdade de Bohnenblust-Hille, produzida pela substitui¸cão de c0 por ℓp.

(8)

In this study we show two classical inequalities, namely Bohnenblust-Hille inequality and Hardy-Littlewood inequality. The first one, conceived as a tool for the study of problems related to Dirichlet series, is a generalization of Littlewood‘s 4/3 inequality to multilinear forms. The second is a generalization of Bohnenblust-Hille inequality, produced by the replacement of c0 with ℓp.

(9)

Introdu¸c˜ao 2

1 Preliminares 4

1.1 Desigualdades cl´assicas: H¨older e Minkowski . . . 4

1.1.1 Para integrais . . . 4

1.1.2 Para sequˆencias . . . 6

1.2 Operadores multilineares cont´ınuos . . . 7

1.3 Operadores absolutamente somantes . . . 8

1.4 A desigualdade de Khinchin para m´ultiplos ´ındices . . . 10

1.5 A desigualdade de Hölder para espa¸cos ℓp e procedimento de interpola¸cão 17 2 Desigualdade de Bohnenblust-Hille 24 2.1 Contexto Histórico . . . 24

2.2 A Desigualdade de Bohnenblust-Hille . . . 25

3 Desigualdade de Hardy-Littlewood 36 3.1 A Desigualdade de Hardy–Littlewood Multilinear . . . 36

3.2 Otimalidade do expoente da Desigualdade de Hardy–Littlewood . . . . 44

(10)

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• R _{denota o conjunto dos n´}_{umeros reais;}

• C _{denota o conjunto dos n´}_{umeros complexos;}

• K _denotaR _ouC_;

• X eY denotam espa¸cos vetoriais ou espa¸cos vetoriais normados;

• E, F, Ei, Fi denotam espa¸cos de Banach sobre o corpoK;

• ℓp(E) denota o espa¸co das sequˆencias absolutamente p–som´aveis que tomam

va-lores em E

• ℓ_∞(E) denota o espa¸co das sequˆencias limitadas de E;

• Para 1≤p≤ ∞, ℓN

p :={(xn)∞n=1 ∈ℓp; xn = 0 para todon≥N + 1}; • Parap = (p1, . . . , pm)∈[1,∞]m e um espa¸co de Banach X,

ℓp(X) := ℓp1(ℓp2(. . .(ℓpm(X)). . .));

• BX denota a bola fechada do espa¸co normado X com centro na origem e raio 1;

• X′ _{denota o dual topol´ogico do espa¸co normado X;}

• Usaremos o termo ”operador”com o mesmo sentido de fun¸c˜ao;

(11)

• L(E1, . . . , En;F) denota o espa¸co vetorial sobre K dos operadores multilineares

cont´ınuos deE1×. . .×En em F;

• L(n_E_;_F_{) denota o espa¸co}_L₍_{E, . . . , E}

| {z }

n

;F);

• L(n_E_;_F_{) denota o espa¸co} _L₍_{E, . . . , E}

| {z }

n

;F);

• Denotamos por q∗ _{o conjugado de} _q_∈_[1_,₊_∞_{], isto ´e,} _q∗ ₌ q q−1;

• A,_B denotam sigma-´algebras sobre um conjunto X ₆=_∅;

• µ, ν denotam medidas numa sigma-´algebra;

• R _{denota a reta estendida, isto ´e,} R_{∪ {−∞} ∪ {}₊_∞}_;

(12)

Em 1930, o matem´atico britˆanico John Edensor Littlewood provou que existe uma constanteLK ≥1 tal que

n

X

i,j=1

|T(ei, ej)|4/3

!3/4

≤LKkTk, (1)

para toda forma bilinear T :ℓn

∞×ℓn∞ −→Ke para todo inteiro positivo n.

Esse resultado foi rapidamente estendido para estruturas mais gerais. O primeiro passo foi dado por Fredérick Bohnenblust e Einar Hille, que em 1931 publicaram uma generaliza¸cão do resultado para formas multilineares (veja [7]) apresentando a seguinte versão: para cada inteiro positivom ≥1, existe uma constante Bmult

K_,m ≥1 tal que

n

X

j1,...,jm=1

|T(ej1, . . . , ejm)| 2m m+1

!m+1 2m

≤BKmult_,mkTk, (2)

para cada formam–linear cont´ınuaT :ℓn

∞×. . .×ℓn∞ −→Ke para todo inteiro positivo

n.

Trˆes anos depois, em 1934, G.H. Hardy e J.E. Littlewood (veja [13]) provaram uma vers˜ao da desigualdade (1) para espa¸cosℓp e, em seguida, Praciano–Pereira estudou em

[19] o efeito produzido pela substitui¸c˜ao deℓn

∞ porℓp na desigualdade de

Bohnenblust-Hille, obtendo uma generaliza¸c˜ao deste resultado para formas multilineares sobre ℓp,

conhecida como Desigualdade de Hardy–Littlewood, a qual nos garante que, para cada inteiro m_≥2 e 2m_≤p_{≤ ∞}, existe uma constante CK

m,p ≥1 tal que

n

X

j1,...,jm=1

|T(ej1, . . . , ejm)| 2mp mp+p−2m

!mp+p−2m

2mp

≤Cm,pkK Tk, (3)

para toda formam-linear cont´ınuaT :ℓn

p ×. . .×ℓnp −→K e cada inteiro positivon.

(13)

2mp

mp+p−2m =

2m m+ 1,

recuperamos a desigualdade de Bohnenblust–Hille.

Os melhores limites superiores conhecidos para a constante em (3) eram da forma (√2)m−1_{. Em [5] foi mostrado que (}√₂₎m−1 _{pode ser melhorada para}

C_m,pR ≤√2

2m(m−1)

p

BRmult_,m

p−2m p _,

no caso real, e para

CC m,p ≤

2

√

π

2m(m−₁₎

p

BCmult,m

p−2m p _,

no caso complexo. Estas estimativas s˜ao muito melhores que (√2)m−1, pois de [6, 18],

Bmult

K_,m tem crescimento sublinear. Al´em disso, essas estimativas dependem de m, p e

considera informa¸c˜oes mais sutis.

No Cap´ıtulo 1, estudamos os principais resultados necessários para o desenvolvi-mento desta disserta¸cão, a saber: a desigualdade de Khinchin (caso linear e multi-linear), indispensável para o desenvolvimento da teoria dos cap´ıtulos subsequentes e introduzimos uma ferramenta poderosa no estudo das desigualdades, que é a desigual-dade de Hölder para espa¸cos ℓp, que embora remonta à década de 1960, só teve sua

importˆancia revelada muito recentemente.

OCap´ıtulo 2 é dedicado à desigualdade de Bohnenblust-Hille, a qual foi concebida por Fredérick Bohnenblust e Einar Hille como ferramenta para o estudo de problemas relacionados à séries de Dirichlet e uma generaliza¸cão da famosa desigualdade de Lit-tlewood 4/3. Abordamos ainda neste cap´ıtulo uma versão mais geral deste resultado, que pode ser encontrada em [4].

No Cap´ıtulo 3, estudamos um pouco sobre a desigualdade de Hardy-Littlewood, com enfoque principal na demonstra¸c˜ao deste resultado e em algumas estimativas su-periores para a constante associada. Neste mesmo cap´ıtulo estudamos a otimalidade do expoente da desigualdade de Hardy–Littlewood.

(14)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduzimos algumas estimativas fundamentais e suas respectivas nota¸cões, que serão necessárias para o desenvolvimento desta disserta¸cão. As principais referências para este cap´ıtulo foram [1], [2], [11] e [12].

1.1 Desigualdades cl´

assicas: H¨

older e Minkowski

1.1.1 Para integrais

Teorema 1.1(Desigualdade de H¨older). Sejam0< p <_∞ e (X,_A, µ) um espa¸co de medida. Se f ∈Lp =Lp(X,A, µ) e g ∈Lp∗, ent˜ao f g∈L1 e

Z

X

|f g|dµ≤ kfkpkgkp∗.

Demonstra¸cão. O caso _kf_kp = 0 ou kgkp∗ = 0 é simples. Suponhamos então que

kf_kp,_kg_kp_∗ ₆= 0. Primeiro ´e conveniente mostrar que dadosa e b positivos, temos

a1p ·b

1

p∗ ≤ a

p + b

p_∗. (1.1)

Para tanto, considere, para cada 0< α <1, a fun¸c˜ao f =fα : (0,∞)−→ R dada por

f(t) = tα ₋_αt_{. Note que} _f _{tem um m´aximo em} _t _{= 1 e, portanto,} _tα _≤ _αt_{+ (1}₋_α₎

para todo t > 0. Fazendo t = a

b e α =

1

p obt´em-se (1.1). Claramente, (1.1) continua

v´alida sea = 0 oub = 0. Tomando

a= |f(x)|

p

kf_kpp

e b = |f(x)|

p∗

kf_kpp∗∗

(15)

Corol´ario 1.2. Se f ∈Lp, ent˜ao

kfkp = sup

Z

|f g|dµ; kgkq ≤1

= sup

Z

f g dµ

; kgkq ≤1

,

e o supremo ´e atingido.

Demonstra¸c˜ao. O resultado ´e trivialmente satisfeito se f = 0. Agora, suponha que

f ₆= 0. Pelo Teorema 1.1, temos

Z

f g dµ ≤

Z

|f g_|dµ_{≤ k}f_kp_{· k}g_kq, onde 1

p+

1

q = 1.

Em particular, sekgkq ≤1, segue que

Z

f g dµ ≤

Z

|f g|dµ≤ kfkp,

e, portanto,

kf_kp _≥sup

Z

|f g_|dµ; _kg_kq _≤1

≥sup

Z

f g dµ

; kgkq ≤1

.

Agora, sejah=_|f_|p−1_sgn(_f_{), onde}

sgn(f) =

( _f

|f|, sef 6= 0;

0, se f = 0.

Comof ₆= 0, temos h=_|f_|p−1_{· |}_f_|−1_·_f_¯_{. Consequentemente,}

f h=|f|p−1_|_f_|−1_f_f_¯₌_|_f_|p−2_|_f_|2 ₌_|_f_|p_,

e

|h_|q = (_|f_|p−1_{· |}f_|−1_{· |}f¯_|)q =_|f_|q(p−1)_{· |}f_|−q_{· |}f_|q =_|fq(p−1)_|=_|f_|p.

Portanto,

f h=_|f_|p =_|h_|q,

e assim, _Z

|h_|qdµ=

Z

|f_|pdµ <_∞,

ou seja, h_∈Lq e

khkq =

Z

|f_|pdµ 1

q

= kfkp p

1/q

(16)

Definindog = _k_hh_k_q, temoskgkq = 1. Assim,

Z

f g dµ=

Z

|f g_|dµ=

Z

|f_|p kf_kp/qp

dµ= kfk

p p

kf_kp/qp

=_kf_kp.

Portanto,

kf_kp = sup

Z

|f g_|dµ; _kg_kq ≤1

= sup

Z

f g dµ

; kgkq ≤1

e o supremo ´e atingido.

Teorema 1.3 (Desigualdade de Minkowski). Sejam 1 ≤ p < ∞ e (X,A, µ) um espa¸co de medida. Se f, g∈ Lp(X,A, µ), ent˜ao f+g ∈ Lp(X,A, µ) e

kf+g_kp ≤ kfkp+kgkp. (1.2)

1.1.2 Para sequˆ

encias

Para cada n´umero real p_≥1, definimos

ℓp ={(ai)∞i=1 :ai ∈K para todo i∈N e

∞

X

i=1

|ai|p _<_∞}_.

Considerando o conjunto P(N_{) das partes de}N _{e a medida de contagem} _µ_c _em _P₍N_),

não é dif´ıcil verificar que ℓp é na verdade o espa¸co Lp(N,P(N), µc). Neste caso, as

opera¸cões usuais de fun¸cões se transformam nas opera¸cões usuais de sequências e a norma_{k · k}p se transforma em

k(ai)∞i=1kp =

∞

X

i=1

|ai|p

!1

p

.

Dessa forma, resulta que ℓp ´e um espa¸co de Banach com as opera¸c˜oes usuais de

sequˆencias e com a norma _{k · k}p (veja [20] e [10]). Particularmente, dos Teoremas

1.1 e 1.3, temos, respectivamente:

Proposi¸c˜ao 1.4 (Desigualdade de H¨older). Sejam p, q > 1 tais que 1

p +

1

q = 1.

Ent˜ao,

n

X

j=1

|ajbj| ≤ n

X

j=1

|aj|p

!1

p ·

n

X

j=1

|bj|q

!1

q

(17)

Proposi¸c˜ao 1.5 (Desigualdade de Minkowski). Para p≥1, temos

n

X

j=1

|aj +bj|p

!1

p ≤

n

X

j=1

|aj|p

!1

p

+

n

X

j=1

|bj|p

!1

p

para quaisquer n∈N _{e escalares} _a₁_{, . . . , a}_n_{, b}₁_{, . . . , b}_n_.

Para mais detalhes, consulte [8, p. 7].

1.2 Operadores multilineares cont´ınuos

Nesta se¸c˜ao, apresentaremos alguns conceitos e resultados b´asicos sobre operadores multilineares cont´ınuos entre espa¸cos de Banach.

Defini¸c˜ao 1.1. Sejam E1, . . . , Em e F espa¸cos vetoriais sobre um corpo K. Um

ope-rador T : E1 ×. . .×Em −→ F ´e dito multilinear (ou m-linear), se ´e linear em cada

uma das suas coordenadas, isto ´e,

T(x1, ..., xk+λyk, ..., xm) =T(x1, ..., xk, ..., xm) +λT(x1, ..., yk, ..., xm),

quaisquer que sejam xk, yk∈Ek, λ∈K ek = 1, . . . , m. O conjunto de tais operadores

ser´a denotado por L(E1, . . . , Em;F).

SeE1, ..., Em, F forem espa¸cos vetoriais normados, denotaremosL(E1, . . . , Em;F) o

subespa¸co vetorial deL(E1, ..., Em;F) formado pelos operadoresm-lineares cont´ınuos.

Quando F = K_{, escrevemos} _L₍_E₁_{, ..., E}_m_;K_{), e os elementos desse conjunto ser˜ao}

chamados de formas m-lineares cont´ınuas.

Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao dos operadoresm-lineares cont´ınuos:

Proposi¸c˜ao 1.6. [16, Proposi¸c˜ao 1.2] Sejam E1, ..., Em, F espa¸cos normados sobre K

eT _∈L(E1, ..., Em;F). As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) T ∈ L(E1, . . . , Em;F).

(b)T ´e cont´ınua na origem.

(c) Existe uma constanteC ≥0 tal quekT(x1, . . . , xm)k ≤Ckx1k. . .kxmk, quaisquer

que sejam xk ∈Ek, k= 1, . . . , m.

(d) sup_{kT(x1, . . . , xm)k; xk ∈BEk para todok = 1, . . . , m}<∞

Os itens (c) e (d) nos ensinam como normar o espa¸co _L(E1, . . . , Em;F) dos

(18)

Proposi¸c˜ao 1.7. [16, Proposi¸c˜ao 1.3] Para cadaT ∈ L(E1, . . . , Em;F), defina kT_k= sup_{kT(x1, . . . , xm)k; xk ∈Ek ekxkk ≤1 para todo k = 1, . . . , m}.

Ent˜ao,

(i) k · k define uma norma emL(E1, . . . , Em;F);

(ii) _kT(x1, . . . , xm)k ≤ kTk · kx1k. . .kxmkpara todo xk ∈Ek, com k = 1, . . . , m;

(iii) _kT_k= inf_{C;_kT(x1, . . . , xm)k ≤Ckx1k. . .kxmkcomxi ∈Ei, i= 1, . . . , m}

Observa¸c˜ao 1.1. Seja E um espa¸co vetorial normado. Dada uma forma bilinear cont´ınua A:E_×E _−→K_{, se definirmos para} _b_∈_E _fixo,

Tb : E −→ K

x _7→ Tb(x) =A(x, b),

ent˜ao

kTbk ≤ kAk · kbk.

Com efeito, sejax_∈E tal que _kx_{k ≤}1. Como A_{∈ L}(2_E,_K_{), temos}

|Tb(x)| = |A(x, b)| ≤ kA_{k · k}x_{k · k}b_k

≤ kA_{k · k}b_k.

Portanto,

kTbk= sup{|Tb(x)|;kxk ≤1} ≤ kAk · kbk.

1.3 Operadores absolutamente somantes

Defini¸c˜ao 1.2. Sejam E um espa¸co de Banach e 1_≤p_{≤ ∞}. Uma sequˆencia (xn)∞n=1

em E é dita fracamente p–somável se o sequência de escalares (ϕ(xn))∞n=1 está em ℓp

para todoϕ ∈E′_.

O espa¸co vetorial das sequências fracamente p–somáveis será denotado por ℓω p(E),

ou seja,

ℓω_p(E) = {(xn)∞n=1 ∈E ;

∞

X

n=1

(19)

Uma norma natural em ℓω

p(E) ´e dada por,

k(xn)∞n=1kω,p := sup

ϕ∈BE′

∞

X

n=1

|ϕ(xn)|p

!1

p

.

Sep=_∞, definimos

k(xn)∞n=1k∞,p:= sup ϕ∈B_E′

k(ϕ(xn))∞n=1k∞.

Assim, (ℓω

p(E),k · kω,p) é um espa¸co de Banach. As demonstra¸cões destas afirma¸cões

podem ser encontradas em [20, p. 41].

Observa¸c˜ao 1.2. ℓp(E)⊂ℓωp(E).

De fato, seja (xn)∞n=1 ∈ℓp(E). Ent˜ao, dado ϕ∈E′

∞

X

n=1

|ϕ(xn)|p ≤

∞

X

n=1

(kϕk · kxnk)p =kϕk ·

∞

X

n=1

kxnkp _<_∞_.

Logo, (xn)∞n=1 ∈ℓωp(E).

Defini¸c˜ao 1.3 (Operador absolutamente (p;q)–somante). Sejam 1_≤p, q <_∞ e

u: E −→ F um operador linear cont´ınuo entre espa¸cos de Banach. Dizemos que u ´e absolutamente (p;q)–somante (ou (p;q)–somante) quando o operador induzido

b

u : ℓω

q(E) −→ ℓp(F)

(xn)∞n=1 7→ (uxn))∞n=1

estiver bem definido e for linear e limitado.

Proposi¸c˜ao 1.8. Sejam 1 ≤ p≤ q <∞ e u :E −→ F um operador linear cont´ınuo. S˜ao equivalentes:

1. u ´e absolutamente (p;q)–somante;

2. Existe C _≥0 tal que

n

X

j=1

ku(xj)kp

!1

p

≤C·(xj)nj=1

ω,q, para todo n∈N e x1, ..., xn ∈E.

A demonstra¸c˜ao deste resultado pode ser encontrada em [20, p. 23].

(20)

Defini¸c˜ao 1.4. Sejam 1≤q ≤p < ∞ eA:E1×...×En−→F multilinear. Dizemos

queT ´e m´ultiplo (p;q)–somante se existeC _≥1 tal que

n

X

j1,...,jm=1

kT(x(1)_j₁ , ..., x(_jmm))kp

!1

p

≤C.(x(1)_j₁ )nj1=1

_ω,q·...·(x(_jmm))njm=1

_ω,q.

Mais detalhes sobre esta teoria podem ser encontrados em [21].

1.4 A desigualdade de Khinchin para m´

ultiplos ´ındices

As fun¸c˜oes de Rademacher s˜ao definidas por

rn : [0,1] −→ R

t 7→ rn(t) = sgn(sin 2nπt)

onde signdenota a fun¸c˜ao sinal, definida como dada por

sign:R_−→R_, _sgn(_x_{) =}

        

1, se x >0,

0, se x= 0,

−1, se x <0.

Um fato importante das fun¸cões de Rademacher é que elas têm a seguinte rela¸cão de ortogonalidade: para quaisquer inteiros positivos n1 < n2 < . . . < nk e p1, . . . , pk,

vale que

1

Z

0

rp1

n1(t). . . r

pk

nk(t)dt =

  

1, se cadapj ´e par,

0, caso contr´ario.

Uma consequência imediata é que (rn)n∈Nforma uma sequência ortonormal emL₂[0; 1],

e assim temos

Lema 1.9. Seja (rn)∞_n₌₁ a sequˆencia de fun¸c˜oes de Rademacher e a = (an)∞_n₌₁ ∈ ℓ2.

Ent˜ao,

Z 1 0

∞

X

n=1

anrn(t)

2

dt=

∞

X

n=1

|an|2.

Demonstra¸c˜ao. Seja (Sn)∞_n₌₁ uma sequˆencia, tal queSn= n

P

k=1

akrk. Ent˜ao, paran > m,

(21)

kSn−Smk2_L₂_[0_,_1]= n X

k=m+1

akrk

2

L2[0,1]

= Z 1 0 n X

k=m+1

akrk(t)

2 dt = Z 1 0 n X

i=m+1

airi(t)

! _n

X

j=m+1

ajrj(t)

! dt = Z 1 0 n X

i=m+1

airi(t)

! _n

X

j=m+1

ajrj(t)

! dt = Z 1 0 n X

i,j=m+1

aiajri(t)rj(t)dt

=

n

X

i,j=m+1

aiaj

Z 1 0

ri(t)rj(t)dt

=

n

X

k=m+1

|ak|2

Z 1 0

r_k2(t)dt

=

n

X

k=m+1

|ak|2.

Comoa= (an)∞_n₌₁ ∈ℓ2, obtemos

n

X

k=m+1

|a_k|2 _−→0_{⇒ k}Sn−Smk2L2[0,1] −→0

e assim, (Sn)∞_n₌₁ ´e uma sequˆencia de Cauchy emL2[0,1]. SendoL2[0,1] um espa¸co de

Banach, segue que (Sn)∞n=1 ´e convergente. Portanto,

∞

X

k=1

|ak|2 = lim

n→∞

n

X

k=1

|ak|2

= lim n→∞ n X k=1

akrk

2

L2[0,1]

= ∞ X k=1

akrk

2

L2[0,1]

= Z 1 0 ∞ X n=1

akrk(t)

2 dt,

finalizando a demonstra¸c˜ao.

(22)

seguinte:

Teorema 1.10 (Desigualdade de Khinchin). Seja K ₌ R _ou C_{. Para cada} ₀ _<

p <_∞, existem constantes Ap e Bp tais que

Ap N

X

n=1

|an|2

!1 2

≤

Z

I

N

X

n=1

anrn(t)

p

dt !1

p ≤Bp

N

X

n=1

|an|2

!1 2

(1.3)

para todo inteiro positivo N e escalares a1, . . . , an.

Observa¸cão 1.3. As constantes ótimas da Desigualdade de Khinchin (essas constantes são devido a U.Haagerup [12]) são dadas por

Ap =

          

212− 1

p, sep∈(0, p

0]

212

Γ(p+1₂ )

√

π

1

p

, se p_∈(p0,2)

1, sep∈[2,∞)

e

Bp =

    

1, se p_∈(0,2]

212

Γ(p+1₂ )

√

π

1

p

, se p∈[2,∞)

A defini¸cão exata de p0 é a seguinte: p0 ∈(1,2) é o único número real que satisfaz

Γ

p0+ 1

2

=

√

π

2 ,

onde Γ denota a fun¸c˜ao gamma. Estas constantes s˜ao as menores–(as melhores)– constantes que satisfazem a desigualdade (1.3).

Lema 1.11 (Lema de Minkowski). Sejam (X,A, µ) e (Y,B, ν) espa¸cos de medida sigma finita. Suponha quef :X×Y −→R _{seja uma fun¸cão mensurável não negativa}

e 0< p_≤q <_∞. Ent˜ao

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

q p

dµ(x)

!1

q ≤

Z

Y

Z

X

f(x, y)qdµ(x)

p q

dν(y)

!1

p

(23)

Demonstra¸c˜ao. Sejar =q/p e r∗ seu expoente conjugado. Da´ı 1≤r <∞ e

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

q/p

dµ(x)

!1/q

=

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

r

dµ(x)

1

r·1p

=

"Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

r

dµ(x)

1

r#1/p

=

"Z

X

F(x)rdµ(x)

1

r#1/p

, (1.4)

onde F(x) =

Z

Y

f(x, y)pdν(y). ´E imediato que F ∈Lr(X). Pelo Corol´ario 1.2, temos

Z

X

F(x)rdµ(x)

1

r

= kFkr

=

Z

X

F(x)_|g(x)_|dµ(x)

=

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

|g(x)_|dµ(x) (1.5)

para alguma g ∈ Lr∗ com kgkr∗ ≤ 1. Da´ı, substituindo (1.5) em (1.4) e usando o

Teorema de Fubini, temos

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

q/p

dµ(x)

!1/q

=

Z

X

Z

Y

f(x, y)pdν(y)

|g(x)|dµ(x)

1/p

=

Z

Y

Z

X

f(x, y)p_|g(x)_|dµ(x)

dν(y)

1/p ≤

Z

Y

Z

X

f(x, y)prdµ(x)

1/r

kg_kr∗dν(y)

!1/p

≤

Z

Y

Z

X

f(x, y)qdµ(x)

p/q

dν(y)

!1/p

.

onde as duas últimas desigualdades seguem, respectivamente, da Desigualdade de Hölder e do fato que kgkr∗ ≤ 1. A hipótese das medidas serem sigma finitas é

in-dispens´avel para usarmos o Teorema de Fubini.

Corol´ario 1.12. Para qualquer 0< p _≤q <_∞e toda matriz escalar (aij)i,j∈N,

 

∞

X

i=1

∞

X

j=1

|aij|p

!q/p



1/q ≤

 

∞

X

j=1

∞

X

i=1

|aij|q

!p/q



1/p

(24)

Demonstra¸c˜ao. E uma aplica¸c˜ao imediata do Lema de Minkowski.´

Observa¸cão 1.4. SeX eY são como no Lema 1.11 e u:X×Y −→R_{é mensurável,}

ent˜ao, para r_≥1 teremos

Z

X

Z

Y |

u(x, y)|dν(y)

r

dµ(x)

1 r ≤ Z Y Z X|

u(x, y)|r_dµ₍_x₎

1

r

dν(y).

De fato, basta tomar q=r e p= 1 no Lema 1.11.

Teorema 1.13 (Desigualdade de Khinchin para m´ultiplos ´ındices). Sejam m, N _≥ 1 inteiros positivos, 0 < p < _∞ e (ai1,...,im)

N

i1,...,im=1 uma matriz de valores

em K_{. Ent˜}_{ao, existem constantes} _A_p _e _B_p _{tais que}

(Ap)m

N

X

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2

!1 2

≤

Z

[0,1]m

N X

i1,...,im=1

ri1(t1). . . rim(tm)ai1,...,im p

dt1. . . dtm

!1

p

≤ (Bp)m

N

X

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2

!1 2

. (1.6)

Demonstra¸c˜ao. Vamos provar o lado esquerdo da desigualdade (1.6). O caso m = 1 ´e exatamente a desigualdade de Khinchin. Suponhamos que o casom₋1 seja verdadeiro. Assim,

N

X

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2 !1 2 =    N X

i1=1  

N

X

i2,...,im=1

|ai1,...,im|

2 !1 2  2   1 2 ≤    N X

i1=1 

A−_p(m−1) Z

[0,1]m−1 N X

i2,...,im=1

ri2(t2). . . rim(tm)ai1,...,im p

dt2. . . dtm

!1 p  2   1 2

=A−p(m−1)

 

N

X

i1=1 Z

[0,1]m−1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) p

dt2. . . dtm

!2 p  1 2 .

Se 0< p≤2, temos 2_p ≥1. Da´ı, usando a Observa¸c˜ao 1.4,

 

N

X

i1=1 Z

[0,1]m−1 N X

i2,...,im=1

dt2. . . dtm

!2

p



p

(25)

≤

   Z

[0,1]m−1  

N

X

i1=1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm)

p·2

p



p

2

dt2. . . dtm

   1 p =    Z

[0,1]m−₁

 

N

X

i1=1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) 2  p 2

dt2. . . dtm

   1 p , e assim, N X

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2

!1 2

≤A−_p(m−1)    Z

Im−1  

N

X

i1=1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) 2  p 2

dt2. . . dtm

   1 p .

Agora, usando o Teorema 1.10, segue que

 

N

X

i1=1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) 2  p 2 ≤  A−_p1

Z

[0,1]

N X

i1=1 ri1(t1)

N

X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) p dt1 !1 p  p .

Usando o fato acima e o Teorema de Fubini,

N

X

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2

!1 2

≤A−_p(m−1)    Z

Im−1  

N

X

i1=1 N X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2). . . rim(tm) 2  p 2 dt    1 p

≤A−_p(m−1)  Z

Im−1  A−_p1

Z I N X

i1=1 ri1(t1)

N

X

i2,...,im=1

ai1,...,imri2(t2)...rim(tm) p dt1 !1 p  p dt   1 p

=A−_pm  Z

Im−1 Z I N X

i1=1 ri1(t1)

N

X

i2,...,im=1

(26)

≤A−pm "Z Im N X

i1,...,im=1

dt1·dt

#1

p

,

onde dt=dt2. . . dtm.

Sep > 2 o resultado ´e imediato, pois _{k · k}L2 ≤ k · kLp eAp = 1, para todop≥2.

Provemos agora o lado direito da desigualdade (1.6). O casom= 1, ´e precisamente a desigualdade de Khinchin. Suponhamos que o caso m−1 seja verdeiro. Considere

p≥2. Assim, como p₂ ≥1, da Observa¸c˜ao 1.4 e do Teorema 1.10

Z

[0,1]m

N X

i1,...,im=1

dt1. . . dtm

!1

p

=

 Z

[0,1]

Z

[0,1]m−1 N X

i2,...,im=1

ri2(t2). . . rim(tm)

N

X

i1=1

ri1(t1)ai1,...,im p

dt2 ·dtm

!1

p·p

dt1   1 p ≤    Z

[0,1]

  Bm_p −1

 

N

X

i2,...,im=1 N X

i1=1

ri1(t1)ai1,...,im 2  1 2   p dt1    1 p

=Bm−1

p

   Z

[0,1]

 

N

X

i2,...,im=1 N X

i1=1

ri1(t1)ai1,...,im 2  p 2 dt1    2 p· 1 2

≤Bm−1

p    N P

i2,...,im=1  Z

[0,1]

N X

i1=1

ri1(t1)ai1,...,im

2·p2 dt1   2 p   1 2

=Bm−1

p



 PN

i2,...,im=1 Z

[0,1]

N X

i1=1

ri1(t1)ai1,...,im p dt1 !1

p·2

 1 2

≤Bm−1

p



 PN

i2,...,im=1 Bp

_N

P

i1=1

|ai1,...,im|

2 1 2! 2  1 2

=Bm p

N

P

i2,...,im=1

_N

P

i1=1

|ai1,...,im|

2

!1

2

=Bm p

N

P

i1,...,im=1

|ai1,...,im|

2

!1 2 .

O casop < 2 ´e imediato, pois _{k · kLp} _{≤ k · kL}₂ eBp = 1, para todop≤2.

(27)

Teorema 1.14 (Desigualdade Kahane–Salem–Zygmund generalizada). Sejam m, n_≥1, p_∈[1,_∞] e definamos

α(p) :=

  

1 2 −

1

p, se p≥2 ;

0, caso contr´ario.

Ent˜ao, existe uma constante Cm >0 e uma aplica¸c˜ao m–linear A :ℓnp ×...×ℓnp −→K

da forma

A(z1, ..., zm) =

n

X

i1,...,im=1

±z_i1₁...z_imm com

kA_{k ≤}Cm·n

1

2+mα(p).

1.5 A desigualdade de H¨

older para espa¸cos

ℓ

p

e

pro-cedimento de interpola¸c˜

ao

Precisamos introduzir algumas nota¸cões. Para um número inteiro positivo m e um subconjunto não-vazioD_⊂N_{, denotamos o conjunto de multi-´ındices}_i_{= (}_i₁_{, . . . , i}_m_),

por

M(m, D) := _{i= (i1, . . . , im)∈Nm;ik∈D, k = 1, . . . , m}=Dm.

Tamb´em denotamos _M(m, n) :=_M(m,_{1,2, . . . , n_}).

Para p= (p1, . . . , pm)∈[1,∞]m e um espa¸co de Banach X, considere o espa¸co

ℓp(X) := ℓp1(ℓp2(. . .(ℓpm(X)). . .)),

uma matriz de vetores (xi)i_∈M(m,N₎∈ℓp(X) se, e somente se,

k(xi)ikp :=

    

∞

X

i1=1    

∞

X

i2=1   . . .

 

∞

X

im−1=1

∞

X

im=1

kxikpm

!pm−1

pm 



pm−2

pm−1 . . .

  

p₂ p₃

  

p₁ p2

    1

p₁

<_∞.

Quando X = K_{, escrevemos apenas} _ℓ_p _{em vez de} _ℓ_p₍K_{). Al´em disso, trabalhamos}

com o produto coordenada `a coordenada de duas matrizes escalaresa= (ai)i∈M(m,n) e

b= (bi)i∈M(m,n), isto ´e,

(28)

Teorema 1.15(Desigualdade de H¨older para espa¸cosℓp). Sejam r,q(1), . . . ,q(N)∈

[1,_∞]m _{tais que}

1

rj

= 1

qj(1)

+. . .+ 1

qj(N)

, j ∈ {1, . . . , m}

e seja ak, k = 1, . . . , N, uma matriz escalar m-quadrada. Ent˜ao

N

Y

k=1

ak

r

≤ N

Y

k=1

kakkq(k).

Veja mais detalhes em [1, p. 52], inclusive uma vers˜ao demonstrada do teorema acima para espa¸cos Lp.

Exemplo 1.1. Sejam r= (r1, r2),q(1),q(2),q(3)∈[1,+∞]2 tais que

1

rj

= 1

qj(1)

+ 1

qj(2)

+ 1

qj(3)

, j _{∈ {}1,2_}.

Lembrando que q(k) = (q1(k), q2(k)),k = 1,2,3, pelo Teorema 1.15 para qualquer

matriz 2-quadradaak, temos

ka1·a2·a3kr ≤ ka1kq(1)· ka2kq(2)· ka3kq(3),

isto ´e,

 

2

X

i=1 2

X

j=1

|a(1)_ij _·a(2)_ij _·a(3)_ij _|r2 !r₁

r₂

 1

r1

≤

  

2

X

i=1 2

X

j=1

|a(1)_ij _|q2(1) !q₁₍₁₎

q₂₍₁₎

  

1

q₁₍₁₎ ×

×

  

2

X

i=1 2

X

j=1

|a(2)_ij |q2(2) !q1(2)

q2(2)   

1

q1(2)

×

  

2

X

i=1 2

X

j=1

|a(3)_ij |q2(3) !q1(3)

q2(3)   

1

q1(3)

onde ak = (a(ijk)).

Exemplo 1.2(Desigualdade 4/3 de Littlewood). Para cada forma bilinear cont´ınua

T :ℓN

∞×ℓN∞ −→Ke cada inteiro positivo N, existe LK ≥1 tal que

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!3 4

(29)

De fato, usando o Teorema 1.10, N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2 ≤ N X i=1 √ 2 Z 1 0 N X j=1

rj(t)T(ei, ej)

dt

= √2

N X i=1 Z 1 0 N X j=1

rj(t)T(ei, ej)

dt

≤ √2

Z 1 0 N X i=1 T(ei,

N

X

j=1

rj(t)ej)

dt

≤ √2 sup

t∈[0,1]

N X i=1 T(ei,

N

X

j=1

rj(t)ej)

Afirma¸c˜ao 1.1. sup

t∈[0,1]

N X i=1 T(ei,

N

X

j=1

rj(t)ej)

≤ kTk.

De fato, para cadat fixo, defina

Ut:ℓN_∞−→K

Ut(x) = T(x, N

P

j=1

rj(t)ej).

Note que Ut está bem definida e é claramente linear. Da´ı, pela Observa¸cão 1.1, e pelo

Corol´ario1.12, temos

sup

t∈[0,1]

N X i=1 T(ei,

N

X

j=1

rj(t)ej)

= tsup∈[0,1]

N

X

i=1

|Ut(ei)|

= sup

t∈[0,1]k

Utk · N X i=1 U_kt_U(e_t_ki)

≤ sup

t∈[0,1]k

Tk ·

N X j=1

rj(t)ej

· N X i=1 U_kt_U(e_t_ki)

≤ sup

t∈[0,1]k

T_{k ·} N X j=1

rj(t)ej

·ksupϕk≤1

N

X

i=1

|ϕ(ei)|

= _kT_k sup

t∈[0,1]

N X j=1

rj(t)ej

· k(ei)

N i=1kω,1

= kTk.

Portanto, N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

(30)

Por simetria, N X j=1 N X i=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

≤√2_{· k}T_k.

Usando o Corol´ario 1.12, temos

  N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|

!2

 1 2 ≤ N X j=1 N X i=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

≤ √2_{· k}T_k. (1.8)

Agora, há pelo menos duas maneiras distintas de resolver o problema: a primeira é usando a desigualdade clássica de Hölder, e a segunda é usando o Teorema 1.15. Por motivos de compara¸cão, apresentaremos as duas solu¸cões aqui.

(i) Usando a desigualdade cl´assica de H¨older (1.4) duas vezes (a primeira com p= 3 e

q= 3₂), e a segunda com p= 3₂ e (q= 3), temos

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3 = N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|

2

3 · |T(e_i, e_j)|23 ! ≤ N X i=1   N X j=1

|T(ei, ej)|

2 3 3! 1 3 · N X j=1

|T(ei, ej)|

2 3 3 2 !2 3  = N X i=1   N X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 3 · N X j=1

|T(ei, ej)|1

!2 3  ≤    N X i=1   N X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 3  3 2   2 3 ·    N X i=1   N X j=1

|T(ei, ej)|

!2 3  3   1 3 =   N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2  2 3 ·      N X i=1 N X j=1

|T(ei, ej)|

!2

 1 2   2 3

≤ √2_kT_k 2 3

·√2_kT_k 2 3

= √2_kT_k 4 3

(31)

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!3 4

≤√2kTk.

(ii) Por outro lado, usando o Teorema 1.15 com r = (4/3,4/3), q(1) = (2,4), q(2) = (4,2) e os resultados (1.4) e (1.5) , temos

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!3 4

=

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

1 2 · |T(e

i, ej)|

1 2

4 3

!3 4

≤

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|

1 2·4

!1 4·2

 1 2

·

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|

1 2·2

!1 2·4

 1 4

=

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

 1 2

·

  

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|1

!2 1

 1 2

  1 2

≤ √2_kT_k 1 2

·√2_kT_k 1 2

=√2_kT_k,

(1.9)

Desta forma, o Teorema 1.15 proporciona uma solu¸c˜ao mais simples para o pro-blema.

Embora o Teorema 1.15 remonte à década de 1960, toda sua importância nos pro-blemas clássicos que abordaremos nesta disserta¸cão foi percebida muito recentemente. Uma das últimas aplica¸cões deste resultado diz respeito à desigualdade de Hardy-Littlewood, abordada no cap´ıtulo 3, e um fato importante é que esse teorema propor-ciona melhoria significativa nas constantes associadas.

Observa¸c˜ao 1.5. Sejam a= (ai)i_∈M(m,n) uma matriz escalar e 0≤θ≤1), ent˜ao

kaθ_kq

θ =kak θ

q, onde q = (q1, ..., qm)∈[1,∞)m.

De fato,

kaθkq θ =

  

n

X

i1=1  . . .

n

X

im=1

kaθ_i₁_,...,imkqmθ

! 1

qm θ ·

qm−1

θ

. . .   1

q2

θ · q1

θ 

  1

(32)

=    n X

i1=1  . . .

n

X

im=1

kai1,...,imk

qm

!qm−1

qm

. . .  

q₁ q₂

  θ q₁ =        n X

i1=1  . . .

n

X

im=1

kai1,...,imk

qm

!qm−₁

qm

. . .  

q₁ q₂

  1

q₁

  

θ

= kakθ q.

Defini¸cão 1.5. SejaAum subconjunto de um espa¸co vetorial E. O conjunto conv(A), chamado de envoltória convexa de A, é definido como sendo

conv(A) =

( _n X

i=1

λixi : n

X

i=1

λi = 1, comλi ≥0, xi ∈A, i= 1, ..., n en ∈N

) .

Teorema 1.16(Procedimento de Interpola¸c˜ao). Sejamm, n, N inteiros positivos eq,q(1), . . . ,q(N)tal que(1

q1, . . . ,

1

qm)pertencem `a envolt´oria convexa de(

1

q1(k), . . . ,

1

qm(k)),

com k = 1, . . . , N. Ent˜ao, para toda matriz escalar a= (ai)i_∈M(m,n), temos

ka_kq≤

N

Y

k=1

ka_kθk

q(k),

isto ´e,    n X

i1=1  . . .

n

X

im=1

kai1,...,imk

qm

!qm−1

qm   q₁ q₂ . . .    1 q1 ≤ N Y k=1          n X

i1=1   . . . n X im=1

kai1,...,imk

qm(k)

!qm−₁₍k)

qm(k) . . .

  

q₁₍k)

q2(k)   

1

q₁₍k)     θk ,

onde θk s˜ao as coordenadas de (_q₁1₍_k₎, . . . ,_qm1₍_k₎) na envolt´oria convexa.

Demonstra¸c˜ao. Paraj = 1, . . . , m,

1

qj

= θ1

qj(1)

+. . .+ θN

qj(N)

= _qj1₍₁₎

θ1

+. . .+ _qj1₍_N₎

θN

(33)

Pela Observa¸c˜ao 1.5, kaθk_k

q(k)

θk =kak θk

q(k). Usando isto e o Teorema 1.15, temos

ka_kq=kaθ1+...+θkkq=

N

Y

k=1

aθk

q

≤ N

Y

k=1

kaθk_k

q(k)

θk = N

Y

k=1

ka_kθk_q₍_k₎.

Exemplo 1.3 (Desigualdade 4/3 de Littlewood). Além das duas solu¸cões apre-sentadas, a desigualdade de Littlewood 4/3 ainda pode ser resolvida usando-se o pro-cedimento de interpola¸cão. Com efeito, no exemplo 1.2, vimos que

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|1

!1 1·2

 1 2

≤√2_{· k}T_k. (1.10)

e

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

≤√2_{· k}T_k. (1.11)

Temos ent˜ao duas desigualdades mistas, a saber (1.10) e (1.11) com expoentes (1,2) e (2,1), respectivamente. Por interpola¸c˜ao destes comθ1 =θ2 = 1₂, obtemos o expoente

(q1, q2) = 4₃,4₃, isto ´e,

N

X

j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!1 4 3

=

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!1 4 3·

4 3

 1 4 3

≤

  

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|1

!1 1·2

 1 2

  1 2

·

  

 

N

X

i=1

N

X

j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2·1

 1 1

  1 2

≤(√2kTk)1/2·(√2kTk)1/2 =√2_kT_k.

(34)

Desigualdade de Bohnenblust-Hille

2.1 Contexto Hist´

orico

Em seu trabalho intitulado On the absolute convergence of Dirichlet séries, publi-cado em 1931, Fréderick Bohnenblust e Einar Hille conseguiram, além do resultado principal desse artigo, uma generaliza¸cão da famosa desigualdade de 4/3 Littlewood, conhecida como a desigualdade de Bohnenblust-Hille, a qual abordaremos ao longo deste cap´ıtulo.

Como vimos no cap´ıtulo anterior, a desigualdade de 4/3 Littlewood, publicada em 1930 pelo matem´atico britˆanico John Edensor littlewood em [15], afirma que para toda forma bilinearT :ℓN

∞×ℓN∞−→Ke para cada inteiro positivoN, existe uma constante

LK ≥1 satisfazendo a seguinte desigualdade

N

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!3 4

≤LKkTk.

Percebendo a importância desse resultado, das técnicas utilizadas para demonstrá-lo e o fato de que a generaliza¸cão deste lhes permitiria solucionar o problema1 _{em questão.}

Bohnenblust-Hille provaram em [7] que, paraK₌R_ouC_{e todo inteiro positivo}_m_≥_1,

existem constantesBmult

K,m ≥1 tais que

N

X

i1,...,im=1

|T(ei1, . . . , eim)| 2m m+1

!m+1 2m

≤BmultK,mkTk, (2.1)

para toda forma m–linear cont´ınuaT :ℓN

∞×. . .×ℓN∞−→K e todo inteiro positivoN.

Note que, fazendom = 2 obtemos o resultado de J.E. Littlewood.

1_{Qual a largura m´axima da faixa vertical L no plano complexo na qual uma s´erie de Dirichlet}

(35)

Desde a prova dada por H.F. Bohnenblust e E. Hille, sabe-se que o expoente _m2m₊₁ é ótimo no sentido em que, para cadam_∈N _{não podemos escolher um valor menor que}

2m

m+1 sem que a constante associada a BK,m perca a independˆencia do inteiro N.

Embora tenha sido concebida como ferramenta para o estudo de problemas rela-cionados à séries de Dirichlet, atualmente a desigualdade de Bohnenblust-Hille tem aplica¸cões em diferentes áreas da matemática, como na Análise Harmônica, Teoria de Operadores, Análise de Fourier e, até mesmo na Teoria da Informa¸cão Quântica. Tivemos como principais referências para este cap´ıtulo [4] e [17].

2.2 A Desigualdade de Bohnenblust-Hille

Teorema 2.1 (Desigualdade de Bohnenblust-Hille). Para todo m ≥ 1, existem escalaresBmult

K_,m ≥1tais que, para toda forma m-linear cont´ınua T :ℓ_∞n ×. . .×ℓn_∞ −→K

e todo inteiro positivon

n

X

i1,...,im=1

|T(ei1, . . . , eim)| 2m m+1

!m+1 2m

≤BKmult,mkTk,

onde kTk= sup

kz(1)_k₌_...₌_k_z(m)_k₌₁|

T(z(1)_{, . . . , z}(m)₎_|_.

Demonstra¸cão. Vamos provar por indu¸cão sobrem. O caso m= 1 é a observa¸cão 2.1. Suponhamos que a desigualdade seja válida param₋1. Da Desigualdade de Khinchin para im = 1, . . . , n, temos

n

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

2

!1 2

≤A−2(1m−1) (m−1)+1

 Z

I

n

X

im=1

rim(t)T(ei1, ..., eim)

2(m−1) (m−1)+1

dt  

(m−1)+1 2(m−1)

.

(2.2) Agora, pela desigualdade de Bohnenblust-Hille para a forma (m₋1)-linear,

n

P

i1,...,im−1=1

n

P

im=1

rim(t)T(ei1, . . . , eim)

2(m−1)

m

=

n

X

i1,...,im−1=1

T(ei1, . . . ,

n

X

im=1

rim(t)eim)

2(m−1) (m−1+1)

≤ (BKmult,(m−1))

2(m−1)

m

T(·,·, . . . ,

n

X

im=1

rim(t)eim)

2(m−1) (m−1+1)

≤ (BKmult,(m−1))

2(m−₁₎

m kTk

2(m−₁₎

m

= (BKmult_,₍_m₋₁₎kTk)

2(m−1)

(36)

Logo, considerando (2.2), temos

n

X

i1,...,im−1=1

n

X

im=1

|T(ei1, . . . , eim)|

2

!1 2·

2(m−1)

m

≤

n

X

i1,...,im−₁=1

A

−2(m−1)

m

2(m−₁₎

m Z I n X im=1

2(m−₁₎

m

dt

= A

−2(m−1)

m

2(m−₁₎

m

Z

I n

X

i1,...,im−₁=1

n X im=1

2(m−1)

m

dt

≤ A

−2(m−1)

m

2(m−1)

m

Z

I

(BKmult,(m−1)kTk)

2(m−₁₎

m dt

=

A−1

2(m−₁₎

m

Bmult

K,(m−1)kTk

2(m−1)

m . Portanto,   n X

i1,...,im−1=1

n

X

im=1

|T(ei1, . . . , eim)|

2

!1 2·

2(m−1)

m 



m

2m−2

≤A−2m1−2

m

BKmult,(m−1)kTk. (2.3)

Daqui, temosm equa¸c˜oes com expoentes

2m₋2

m , . . . ,

2m₋2

m ,2

, . . . ,

2,2m−2 m , . . . ,

2m₋2

m

.

Verifiquemos os dois primeiros casos.

Caso 1. [m= 2] Como   n X i=1 n X j=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

 1 1

≤A−₁1BKmult_,₁ kTk, (2.4)

por simetria, n X j=1 n X i=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

≤A−₁1BKmult_,₁ kTk. (2.5)

Agora, usando o Corol´ario 1.12 e (2.5), temos

  n X i=1 n X j=1

|T(ei, ej)|1

!2

 1 2 ≤ n X j=1 n X i=1

|T(ei, ej)|2

!1 2

(37)

Logo,   n X i=1 n X j=1

|T(ei, ej)|1

!2

 1 2

≤A−1

1 BKmult,1 kTk. (2.6)

Assim, temos duas desigualdades mistas, a saber (2.4) e (2.6), com expoentes (1,2) e (2,1) respectivamente. Por interpola¸c˜ao destes comθ1 =θ2 = 1₂, obtemos o expoente

(q1, q2) = 4₃,4₃, isto ´e,

n

X

i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3 !1 4 3 = n X i,j=1

|T(ei, ej)|

4 3

!3 4

≤A−11BKmult,1 kTk.

Caso 2. [m= 3] Por hip´otese temos que

   n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|2

!1 2·43

 3 4·43

  3 4

≤A−41 3

BKmult,2 kTk. (2.7)

Por simetria,   n X i=1   n X k=1 n X j=1

|T(ei, ej, ek)|2

!2 3  1  3 4

≤A−41 3

BmultK,2 kTk, (2.8)

e    n X j=1   n X k=1 n X i=1

|T(ei, ej, ek)|2

!1 2· 4 3  3 4· 4 3   3 4

≤A−41 3

BKmult,2 kTk. (2.9)

Pelo Corol´ario 1.12 com p= 4/3 e q = 2, temos

   n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3

!3 4·2

 1 2·43

  3 4 =    n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3 !2 4 3   1 2·43

  3 4 ≤   n X i=1   n X k=1 n X j=1

|T(ei, ej, ek)|2

!2 3  1  3 4 (2.8)

≤ A−41 3

(38)

Logo,    n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3

!3 4·2

 1 2· 4 3   3 4

≤A−41 3

BKmult_,₂ kTk. (2.10)

Por outro lado, novamente pela desigualdade de Minkowski,

   n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3 !3 4· 4 3  3 4·2

  1 2 =     n X i=1    n X j=1   n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3

!3 4



p=4 3

 

q p=42/3

   1

q=12

Lema 1.11 ≤     n X j=1   n X i=1   n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3 !3 4  2  4/3

2     1 4/3

=    n X j=1   n X i=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3

!3 4·2

 1 2· 4 3   3 4 =     n X j=1      n X i=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|p=

4 3

!q p=

2 4/3

 1 q= 1 2   4 3    3 4 Lema 1.11 ≤      n X j=1      n X k=1 n X i=1

|T(ei, ej, ek)|2

!4/3 2   3 4   4 3      3 4 =    n X j=1   n X k=1 n X i=1

|T(ei, ej, ek)|2

!1 2·43

 3 4· 4 3   3 4 (2.9)

≤ A−41 3

BKmult_,₂ kTk.

Portanto,    n X i=1   n X j=1 n X k=1

|T(ei, ej, ek)|

4 3 !3 4· 4 3  3 4·2

  1 2

≤A−41 3

(39)

Temos, agora trˆes desigualdades mistas, a saber (2.7), (2.10) e (2.11), com expoentes (4₃,4₃,2), (4₃,2,4₃) e (2,4₃,4₃) respectivamente. Por interpola¸c˜ao com θ1 = θ2 =θ3 = 1₃,

obtemos o expoente (q1, q2, q3) = ₂3,3₂,3₂, isto ´e,

n

X

i,j,k=1

|T(ei, ej, ek)|

3 2

!1 3 2

=

n

X

i,j,k=1

|T(ei, ej, ek)|3/2

!2/3

≤ (A−₄_/1₃BKmult,2 )1/3(A−4/13B mult

K,2 )1/3(A−4/13B mult

K,2 )1/3kTk

= A−₄_/1₃BKmult_,₂ kTk.

O caso para um inteiro m _≥ 1 qualquer, é análogo ao que foi feito nos dois casos usando-se simetria e em seguida o Corolário 1.12. Assim, encontramos m equa¸cões mistas com expoentes

2m−2

m , . . . ,

2m−2

m ,2

, . . . ,

2,2m−2 m , . . . ,

2m−2

m

.

Por interpola¸c˜ao destes comθ1 =θ2 =. . .=θm = _m1, obtemos o expoente (q1, . . . , qm) =

2m m+1, . . . ,

2m m+1

. Da´ı, usando (2.3), temos

n

X

i1,...,im=1

|T(ei1, . . . , eim)| 2m m+1

!m+1 2m

≤A−2m1−₂

m

BKmult,(m−1)kTk.

Observa¸c˜ao 2.1. Para o caso m= 1, temos Bmult

K,1 = 1.

De fato, seja T :ℓn

∞−→K um funcional cont´ınuo n˜ao-nulo, ent˜ao

n

X

j=1

|T(ej)|1

!1/1

= _kT_k

n

X

j=1

T

kTk(ej)

≤ kTk

n

X

j=1

T

kTk

kejk

= kTk n

X

j=1

kejk

= _kT_k sup

ϕ∈B₍_ℓn_∞₎′

n

X

j=1

|ϕ(ej)|

= _kT_k sup

(ϕj)j∈Bℓn₁ n

X

j=1

(40)

= kTk sup

(ϕj)j∈Bℓn₁

||(ϕj)j||ℓn

1

= 1· kTk.

onde as trˆes ultimas desigualdade decorrem, respectivamente, do fato que (ℓn

∞)′ =ℓn1 e

da carateriza¸c˜ao do espa¸co dual.

O próximo resultado, apresenta uma generaliza¸cão para o Teorema de Bohnenblust-Hille, e será de fundamental importância no próximo cap´ıtulo. Antes, temos o seguinte Lema:

Lema 2.2. Seja m_≥1 um inteiro positivo. Ent˜ao,

  

n

X

j1,...,jk=1  

n

X

jk+1,...,jm=1

|T (ej1, ..., ejm)|

2

  1 2k2+1k 

 

k+1 2k

≤A−2(km−k) k+1

BKmult_,k kTk,

para toda formam-linear cont´ınuaT :ℓn

∞×. . .×ℓn∞−→K e todo inteiro positivo n.

Demonstra¸c˜ao. Usando a desigualdade de Khinchin para m´ultiplos ´ındices (Teorema 1.13), temos    n X

j1,...,jk=1

 

n

X

jk+1,...,jm=1

|T(ej1, ..., ejm)|

2   1 2 2k k+1

  k+1 2k ≤      n X

j1,...,jk=1

   A

−(m−k)

2k k+1    Z

Im−k

n X

jk+1,...,jm=1

rjk+1(tk+1)...rjm(tm)T(ej1, ..., ejm)

2k k+1 dt    k+1 2k 

  

2k k+1

    k+1 2k

=A−2(km−k) k+1    n X

j1,...,jk=1

Z

Im−k

T 

ej1, ..., ejk,

n

X

jk+1=1

rjk+1(tk+1)ejk+1, ...,

n

X

jm=1

rjm(tm)ejm

  2k k+1 dt    k+1 2k

=A−2(km−k) k+1

   Z

Im−k n

X

j1,...,jk=1

T 

ej1, ..., ejk,

n

X

jk+1=1

rjk+1(tk+1)ejk+1, ...,

n

X

jm=1

rjm(tm)ejm

  2k k+1 dt    k+1 2k

≤A−2(km−k) k+1

sup

t1,...,t∈I

  

n

X

j1,...,jk=1

T 

ej1, ..., ejk, n

X

jk+1=1

rjk+1(tk+1)ejk+1, ...,

n

X

jm=1

rjm(tm)ejm

  2k k+1

 

k+1 2k

≤A−2(km−k) k+1

sup

tk+1,...,tm∈[0,1] B_Kmult,k

T  _·, ..., _·, n X

jk+1=1

rjk+1(tk+1)ejk+1, ...,

n

X

jm=1

rjm(tm)ejm

 

≤A−2(km−k)B

mult

(41)

onde dt = dtk+1...dtm e as duas ´ultimas desigualdades decorrem, respectivamente do

Teorema 2.1 e da Observa¸c˜ao 1.1.

Observa¸c˜ao 2.2. No lema acima, fizemos uma estimativa para o expoente mais geral ( 2k

k+1, . . . , 2k

k+1,2, . . . ,2) (com 2k

k+1 repetido k vezes e 2 repetido (m−k) vezes). Para

k= 1, temos uma estimativa para o expoente (1,2, . . . ,2), isto ´e,

  

n

X

j1,...,jk=1  

n

X

jk+1,...,jm=1

|T (ej1, ..., ejm)|

2

  1 2

  1 1

≤A−₁(m−1)_kT_k, (2.12) pois, pela observa¸c˜ao 2.1,Bmult

K,1 = 1.

Usando a desigualdade de Minkowski e (2.12), temos, de acordo com o que foi feito no Teorema 1.16, a mesma estimativa para os expoentes

(2,1,2, ...,2), . . . ,(2,2, ...,2,1),

ou seja,

 Pn

jk=1

n

P

b

jk=1

|T (ej1, ..., ejm)|

2

!1 2

 1 2

≤A−₁(m−1)kTk,

...

 Pn

jk=1

n

P

b

jk=1

|T (ej1, ..., ejm)|

1

!1 1

 1 2

≤A−₁(m−1)kTk.

onde Pnjib=1 denota a soma sobre j1, ..., ji−1, ji+1, ..., jm. .

Teorema 2.3 (Generaliza¸cão da Desigualdade de Bohnenblust-Hille). Para cada m≥ 1, sejam q1,· · · , qm ∈[1,2]. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(1) Existe uma constante Cq1···qm ≥1 tal que 

   

∞

X

i1=1    

∞

X

i2=1   . . .

  X∞

im−1=1

∞

X

im=1

|T(ei1,· · · , eim)|

qm

!qm−₁

qm 



qm−2

qm−1 . . .

  

q2

q3   

q₁ q₂

    1

q1

≤Cq1···qmkTk

para toda forma m-linear cont´ınua T :c0×. . .×c0 −→K.

(2) 1

q1

+· · ·+ 1

qm ≤

(42)

A desigualdade de Bohnenblust-Hille ´e justamente o caso particular

q1 =· · ·=qm =

2m m+ 1.

Demonstra¸c˜ao. (1) =⇒(2) De fato, suponhamos que para todo inteiro positivo N

  

N

X

i1=1  ...

N

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q1

q2   1

q₁

≤Cq1...qmkT |.

Considerando a forma m-linear do Teorema 1.14, temos

|T(ei1, ..., eim)|=

N

X

j1,...,jm=1

±δi1j1...δimjm = 1.

Da´ı, usando indu¸c˜ao obtemos

  

N

X

i1=1  ...

N

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q₁ q₂

  1

q₁

=Nq1₁+...+qm1 _.

Assim,

Nq11+...+ 1

qm ≤_C

q1...qm·Cm·N 1

2+mα(p),

para todo inteiro positivoN, logo

1

q1

+...+ 1

qm ≤

1

2+mα(p).

Portanto,

1

q1

+...+ 1

qm ≤

m+ 1

2 , pois α(∞) = 1/2.

(2) =⇒(1) Vamos mostrar inicialmente o caso

1

q1

+· · ·+ 1

qm

= m+ 1 2 .

De fato, note que o expoenteq= (q1, ..., qm)∈[1,2]m pode ser obtido por interpola¸c˜ao

dos expoentes

(43)

com pesosθj = _q2_j −1, para todo j = 1, ..., N, pois

1

q1

, ..., 1 qm

=θ1

1 1,

1 2, ...,

1 2

+...+θm

1 2, ...,

1 2,

1 2

.

Pela Observa¸c˜ao 2.2, as constantes associadas aos expoentes em (2.13) s˜ao iguais a

A−₁(m−1), da´ı, usando o Teorema 1.16 conclu´ımos que

  

∞

X

i1=1  ...

∞

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q₁ q₂

  1

q1

:= _k(T ei)ik_q ≤

N

Y

k=1

k(T ei)ikθk_q₍_k₎ ≤

A−₁(m−1)_{· k}T_kθ1+...+θN =A−₁(m−1)_{· k}T_k.

Agora, se

1

q1

+· · ·+ 1

qm

< m+ 1

2 ,

escolha δ1 >0 tal que

r1 :=q1−δ1 ∈[1,2],

e

1

r1

+ 1

q2

+_{· · ·}+ 1

qm

= m+ 1 2 .

Note que isso ´e poss´ıvel, pois caso contr´ario, defina δ1 tal que r1 = 1. E observe que

1 1+

1

2+· · ·+ 1

2 = 1 +

m−1 2 =

m+ 1 2 .

Agora, comoqi ≤2 para todo i= 1, ..., m, temos _qi1 ≥ 1₂, da´ı

1 1+

1

q2

+_{· · ·}+ 1

qm ≥

m+ 1

.

o que ´e um absurdo. Logo, exister1 :=q1−δ1 ∈[1,2] com r1 ≤q1.

Como r1 ≤ q1, pela monotonicidade da norma em espa¸cos de sequˆencias, temos

k · kq1 ≤ k · kr1. Da´ı, usando o caso da igualdade, temos

  

∞

X

i1=1  ...

∞

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q₁ q₂

  1

(44)

=        ∞ X

i2=1  ...

∞

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q2

q₃

  1

q₂

  

∞

i1=1 q1 ≤        ∞ X

i2=1  ...

∞

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−1

qm

...  

q₂ q₃

  1

q2   

∞

i1=1 r1 =    ∞ X

i1=1  ...

∞

X

im=1

|T(ei1, ..., eim)|

qm

!qm−₁

qm

...   1

q2·r1    1

r1

≤ Cr1.q2...qmkTk.

Observa¸cão 2.3. E importante ressaltar que, como a desigualdade do item (1) é válida´ para toda forma m-linear cont´ınua T : ℓn

∞×. . .×ℓn∞ −→ K, permutando os limites,

o resulta continua válido. Com efeito, fa¸camos o caso m = 2, o caso geral é feito por racioc´ınio análogo. Suponhamos que

  n X i=1 n X j=1

|T(ei, ej)|s

!1

s·λ0

 1

λ0

≤C_{· k}T_k (2.14)

para toda forma bilinearT :ℓn

∞×ℓn∞ −→K. Mostremos que, com essas essas hip´oteses,

vale:   n X j=1 n X i=1

|T(ei, ej)|s

!1

s·λ0

 1

λ0

≤C_{· k}T_k. (2.15)

De fato, suponha que (2.14) seja verdade. Dada T :ℓn

∞×ℓn∞−→K cont´ınua, defina

S : ℓn

∞×ℓn∞ −→ K

(x, y) _7→ S(x, y) =T(x, y).

Ent˜ao, por (2.14) aplicado a S, temos

  n X i=1 n X j=1

|S(ei, ej)|s

!1

s·λ0

 1

λ0