CONSTRUÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS

CONSTRUÇÃO DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS

VINÍCIUS MORELLI

1. Introdução

Neste texto, vamos construir a função exponencial de basea, onde aé um número real estritamente positivo e diferente de1. Na realidade, faremos apenas o caso a >1; o caso 0< a <1 pode ser construído de forma análoga ou, de modo mais simples, obtido através da propriedade

a^x= 1

a ^−x

,∀x∈R.

Começamos recordando as denições de potência com expoente natural, inteiro e racional. No decorrer deste texto, assumiremos semprea >1.

2. Preliminares Denimos inicialmente

a⁰= 1.

Em seguida, dado n∈N, denimos recursivamente

aⁿ⁺¹=aⁿ·a.

Denimos também

a⁻ⁿ= 1 aⁿ e, paran≥1,

aⁿ¹ = √ⁿ a.

Note que potências com expoente inteiro já estão denidas. Finalmente, dado r ∈ Q, podemos escrever r = ^m_n, ondem∈Zen∈N, n≥1, e denir

a^r=a^mn = √ⁿ a^m.

É simples provar, a partir destas denições, as propriedades operatórias usuais de potências. Também é fácil provar que sen∈N, n≥1, então aⁿ>1ea¹ⁿ >1. Recordamos ainda quea^r>0, para todor∈Q.

Vamos precisar estudar o limite lim

n→+∞a¹ⁿ. Isso será feito nos lemas a seguir.

Lema 1. Set >0, então lim

n→+∞(1 +t)ⁿ= +∞. Demonstração. Pelo Teorema do Binômio,

(1 +t)ⁿ=

n

X

j=0

n j

t^j.

Para todon≥1, a soma acima possuin+ 1termos positivos e, portanto, é maior ou igual à soma dos dois primeiros termos:

n

X

j=0

n j

t^j≥

1

X

j=0

n j

t^j= n

0

+ n

1

t= 1 +nt.

Como lim

n→+∞(1 +nt) = +∞, concluímos que lim

n→+∞(1 +t)ⁿ = +∞.

Lema 2. lim

n→+∞aⁿ¹ = 1.

1

Demonstração. Vamos usar a denição de limite de sequência. Fixado ε > 0, desejamos encontrar um número naturalN ≥1tal que

n≥N =⇒ |a¹ⁿ−1|< ε.

Pelo Lema 1, sabemos que existeN ≥1 satisfazendo

n≥N =⇒ (1 +ε)ⁿ> a.

Isto implica que

1 +ε > a¹ⁿ, ou seja,

aⁿ¹ −1< ε.

Por outro lado, sabemos que

a >1 =⇒ aⁿ¹ >1 =⇒ aⁿ¹ −1>0.

Combinando estas desigualdades, obtemos

|a¹ⁿ−1|< ε,∀n≥N,

como queríamos.

3. Construção da função exponencial

Recordamos, na seção anterior, a denição de potências com expoente racional. Podemos considerar, então, a funçãof :Q→Rdada por

f(q) =a^q,∀q∈Q.

Nosso objetivo, agora, é construir uma extensão contínua def, denida emR. A construção é feita em etapas:

Proposição 3. A função f(r) =a^r é estritamente crescente em Q, isto é, ser, s∈Q, s < r, então a^s< a^r. Demonstração. Sejamr, s∈Qtais ques < r. Escrevendor= ^p_q es= ^m_n, ondep, m∈Zeq, n∈N, q, n≥1, temos

s < r =⇒ m n < p

q =⇒ mq < pn =⇒ pn−mq >0.

ComoN =pn−mqé um número natural estritamente positivo ea >1, sabemos que a^N >1. Deste modo, a^pn−mq>1 =⇒ a^pn

a^mq >1 =⇒ a^pn> a^mq =⇒ (a^pn)^qn1 >(a^mq)^qn1 =⇒ a^pq > a^mn,

isto é,a^r> a^s.

Proposição 4. Dadox∈R, o conjunto

A(x) ={a^r:r∈Q, r < x}

é limitado superiormente.

Demonstração. Pela Propriedade Arquimediana, podemos xar um número naturalm tal quem≥x. Ser é um número racional tal quer < x, entãor < m e, pela Proposição 3,

a^r< a^m.

Provamos, portanto, que o conjuntoA(x)é limitado superiormente pora^m. Convém observar que a denição deA(x)só envolve expoentes racionais!

Como o conjuntoA(x)é não-vazio e limitado superiormente, a Propriedade do Supremo garante queA(x)admite supremo. Fica denida, desta forma, a funçãof˜:R→Rdada por

f˜(x) = supA(x).

Em outras palavras, a funçãof˜associa a cada número real xo supremo do conjunto A(x). Vamos mostrar quef˜ é a função que procuramos.

Proposição 5. A função f˜coincide com a exponencial emQ. Mais precisamente, ser∈Q, então f˜(r) =a^r.

Demonstração. Fixemos um número racionalr. Sesé um número racional tal ques < r, temos, pela Proposição 3, quea^s< a^r. Isto signica quea^r é um limitante superior deA(r). Como o supremo é o menor limitante superior, temos

f˜(r) = supA(r)≤a^r.

Mostremos, agora, a desigualdade contrária. Dadoε >0, pelo Lema 2 existe um número naturalN ≥1tal que a^N1 −1< ε

a^r. Note que

a^r−a^r−N1 =a^r

1−a^−N1

=a^r

1− 1 a^N1

=a^r a^N1 −1 a^N1

! .

Agora, comoa^N1 >1,

a^r−a^r−N1 =a^r a^N1 −1 a^N1

!

< a^r

a^N1 −1

< a^r ε a^r =ε, ou seja,

a^r< a^r−N1 +ε.

Observe que r−_N¹ é um número racional estritamente menor do quer; pela denição do conjuntoA(r), sabemos que

a^r−N1 ≤f˜(r).

Combinando estas duas últimas desigualdades, obtemos

a^r<f˜(r) +ε.

Comoε >0 foi escolhido arbitrariamente, concluímos que¹ a^r≤f˜(r)

e a demonstração está completa.

Proposição 6. A função f˜é estritamente crescente em R.

Demonstração. Sejamx, y∈Rtais quex < y. Podemos escolher dois números racionaisr₁, r₂ tais que x < r1< r2< y.

Note primeiramente que seré um número racional tal quer < x, entãor < r₁e, pela Proposição 3,a^r< a^r1. Isto prova quea^r1 é um limitante superior deA(x)e, portanto,

f˜(x)≤a^r1.

Agora, comor2 é um número racional estritamente menor do quey, já sabemos que a^r2 ≤f˜(y).

Aplicando novamente a Proposição 3, temos ainda que a^r1 < a^r2.

Decorre das desigualdades acima quef˜(x)≤a^r1< a^r2≤f˜(y). Proposição 7. Para todox∈R, temosf˜(x)>0.

Demonstração. Dado r um número racional tal que r < x, as Proposições 5 e 6 implicam imediatamente que f˜(x)>f˜(r) =a^r>0.

Proposição 8. A função f˜é contínua em R.

1Se a desigualdadea^r≤f(r)˜ não fosse satisfeita, teríamosa^r>f˜(r), ou seja,a^r−f˜(r)>0. Tomandoε=a^r−f(r)˜ , o que ocorre?

Demonstração. Fixado p ∈ R, vamos mostrar, por denição, que f˜é contínua em p. Dado ε > 0, desejamos determinarδ >0tal que

|x−p|< δ =⇒ |f˜(x)−f˜(p)|< ε =⇒ f˜(p)−ε <f˜(x)<f˜(p) +ε.

Observe primeiramente quef˜(p)>0. Pelo Lema 2, existe um número naturalN ≥1 satisfazendo

(1) a^N1 −1< ε

2 ˜f(p).

Escolhaδ= _N¹; vamos mostrar que esteδ faz o serviço. Dadox∈(p−δ, p+δ), temos dois casos a considerar:

1º caso: p−δ < x≤p.

Pela Proposição 6, já sabemos que

f˜(x)≤f˜(p).

Agora, sejasum número racional tal ques < p e denar=s−δ. Note quer também é racional e, além disso, r=s−δ < p−δ < x.

Observe também que

a^s−a^r=a^s−a^s−δ =a^s 1−a^−δ

=a^s

a^δ−1 a^δ

.

Lembrando quea^s= ˜f(s)<f˜(p)e que _a¹δ <1, e usando a desigualdade (1), obtemos a^s−a^r<f˜(p) a^δ−1

<f(p)˜ ε 2 ˜f(p) = ε

2. Isto prova que

a^s< a^r+ε e, comor < x, 2

a^s<f˜(x) +ε 2. Comosfoi escolhido arbitrariamente, concluímos que

f˜(p)≤f˜(x) + ε

2 =⇒ f˜(p)−ε <f(x).˜ Provamos, portanto, que

f˜(p)−ε <f˜(x)<f˜(p) neste caso.

2º caso: p < x < p+δ. Já sabemos que

f˜(p)<f˜(x).

Agora, dadorum número racional tal quer < x, sejas=r−δ. Note questambém é racional e s=r−δ < x−δ < p =⇒ f˜(s)<f˜(p).

Observe ainda que

a^r−a^s=a^s+δ−a^s=a^s(a^δ−1) = ˜f(s)(a^δ−1)<f(p)(a˜ ^δ−1)<ε 2, onde a última desigualdade é consequência imediata de (1). Assim,

a^r< a^s+ε

2 <f˜(p) + ε 2. Comorfoi escolhido arbitrariamente, temos

f˜(x)≤f˜(p) +ε e, portanto, 2

f˜(p)<f˜(x)<f˜(p) +ε,

como desejado.

4. Considerações finais

Decorre das proposições acima quef˜é uma função contínua que estendef(r) =a^raR.² Chamamosf˜de função exponencial de base ae escrevemos

f˜(x) =a^x,∀x∈R.

Pela Proposição 7, a imagem da função exponencial está contida no intervalo aberto(0,+∞). Avançando um pouco mais no curso, teremos condições de provar que a imagem coincide com o intervalo(0,+∞).³

Como a função exponencial de base a > 1 é estritamente crescente e contínua em R, sua inversa também é estritamente crescente e contínua no intervalo(0,+∞). A inversa dea^x é denominada função logarítmica de base ae denotada porlog_a. De modo análogo, as funções exponencial e logarítmica de base0< a <1são estritamente decrescentes e contínuas, respectivamente, emRe em(0,+∞).

Encerramos este texto com uma demonstração das propriedades operatórias da função exponencial, que conhe- cíamos apenas para expoentes racionais.

Proposição 9. Dadosa, b >0 ex, y∈R, temos:

(i) a^x+y=a^xa^y; (ii) a^−x=_a¹x; (iii) (a^x)^y=a^xy;

(iv) (ab)^x=a^xb^x.

Demonstração. A demonstração será consequência das propriedades operatórias para expoentes racionais e da con- tinuidade da função exponencial. Começamos escolhendo(xn)n∈Ne(yn)n∈Nduas sequências de números racionais tais que

n→+∞lim xn =x e lim

n→+∞yn=y.

A existência de tais sequências decorre da densidade dos racionais. Tente justicar!

(i)Observe que

a^xn+yn=a^xna^yn,∀n∈N. Como lim

n→+∞(xn+yn) =x+ye a função exponencial é contínua, tomando o limite quandontende a+∞dos dois lados, obtemos

a^x+y=a^xa^y. (ii)De forma análoga ao item anterior,

a^−xn = 1

a^xn,∀n∈N. Tomando o limite novamente,

a^−x= 1 a^x. (iii)Sabemos que

(a^xn)^ym =a^xnym,∀m, n∈N. Fixadom∈N, temos

n→+∞lim a^xnym =a^xym e, por outro lado,

n→+∞lim (a^xn)^ym = (a^x)^ym, pois lim

n→+∞a^xn =a^x e a função h: (0,+∞)→R dada porh(t) =t^ym é contínua. Como as expressões dentro dos limites coincidem e o limite é único, concluímos que

a^xym= (a^x)^ym,∀m∈N. Agora, tomando o limite quandomtende a +∞, obtemos

a^xy= (a^x)^y.

2Na realidade,f˜é a única extensão contínua def. Para justicar este fato, mostre primeiro o seguinte: seh1, h2:R→Rsão duas funções contínuas tais queh1(r) =h2(r), para todo número racional r, entãoh1(x) =h2(x)para todox∈R.

3Uma maneira de fazer isso é estudar os limites da função exponencial quandoxtende a+∞e a−∞, e usar o Teorema do Valor Intermediário.

(iv)Mais uma vez, temos

(ab)^xn=a^xnb^xn,∀n∈N. Tomando o limite quando ntende a +∞, obtemos

(ab)^x=a^xb^x.

como queríamos.