Óptica Prisma
Nesta seção, estudaremos a refração da luz em um dispositivo óptico bastante simples. Ele é constituído de mais de uma superfície plana para refratar a luz.
A despeito da sua aparente simplicidade, tal dispositivo é bastante empregado em sistemas ópticos. Os prismas são úteis, por exemplo, na constituição de diversos sistemas ópticos (câmera fotográficas, binóculos e periscópios, por exemplo) voltados para a produção de imagens. Nesse caso, utilizamos sua alta capacidade de refletir a luz (como um espelho). Eles são ainda empregados em função da sua propriedade de exibir a dispersão da luz ou, finalmente, quando queremos polarizar a luz. Podemos utilizar ainda tal dispositivo para tratar do fenômeno da interferência da luz. Essa última propriedade será abordada no capítulo versando sobre a interferência óptica.
Esses exemplos apontam para a complexidade dos fenômenos ocorrendo em sistemas aparen- temente simples quando o problema é tratado à luz da teoria ondulatória. Dentro do contexto da óptica geométrica, tratamos apenas do efeito do desvio da luz. A análise aqui apresentada está, assim, longe de estar completa.
Um prisma óptico é constituído por um número de dióptros planos (consideramos até mesmo cinco dióptros planos). Denominamos de dióptro plano uma superfície plana, polida e que é constituída por um meio que permita a luz se propagar por meio dele. Trataremos apenas de prismas regulares.
Outros prismas, como aquele da figura abaixo, feito de cristal de rocha, têm apenas uso ornamental.
Tipos de Prismas
1. Prismas para a Dispersão da luz
A utilização dos prismas no estudo da dispersão da luz remontam à época de Newton. Ele concluiu, a partir das suas próprias experiências, que a luz branca se decompunha num amplo espectro de cores ao passar por um prisma. Ou seja, ela decompunha a luz em seus constituintes com variadas frequências, resultando, assim, em um verdadeiro arco-íris. Newton então teve a ideia de utilizar uma lente e um segundo prisma para recompor a luz branca.
Figura 1
Para entendermos a dispersão da luz, consideremos um prisma triangular e o caminho do ralo luminoso. Para tal, faremos uso da figura abaixo.
No caso do esboço acima, a luz incide na primeira face, sofre uma refração, propaga-se no meio material do qual o prisma é composto, incide na segunda face, experimentando uma segunda refração e finalmente retorna ao meio do qual veio antes de atravessar o prisma. Damos o nome de desvio, representado na figura por Δ, ao ângulo entre a luz refratada pela segunda superfície e a luz incidente.
A luz solar (luz branca) é composta por ondas harmônicas dos mais variados comprimentos de onda. À luz composta por ondas harmônicas de apenas um comprimento de onda, damos o nome de luz monocromática. Uma luz branca, composta por ondas harmônicas de vários comprimentos de onda é uma luz policromática. Esse é o caso da luz solar.
O índice de refração de um determinado meio depende da frequência da onda monocromática.
A essa dependência do índice de refração damos o nome de dispersão. De uma maneira geral, escrevemos:
( 1 )
Como resultado, o índice de refração acaba sendo diferente para cada componente da luz. Por exemplo, a luz violeta é aquela em que, num meio como o vidro, tem o maior índice de refração de todo o espectro luminoso. No outro extremo do espectro, a luz vermelha é aquela que tem o menor índice de refração. Como consequência, a luz solar, ao incidir sobre um dioptro plano, sofrerá uma dispersão. Isso porque, ao incidir na superfície de separação de dois meios, cada luz monocromática (violeta, anil, azul, verde, amarela, alaranjada e vermelha), que compõe a luz solar, tomará direções diferentes dentro do vidro (ou de outro meio do qual o prisma é composto). Assim, o desvio depende do comprimento de onda. Como resultado, temos uma decomposição da luz em diversas componentes monocromáticas que a constitui. Esse é o fenômeno e a explicação para o fenômeno da dispersão da luz.
De quando a luz se desvia? Ou seja, qual a taxa de desvio para cada frequência? Já vimos que a taxa varia de acordo com a frequência. Assim, escrevemos:
( 2 )
Figura 2
n = n(ω)
d d
d dn
dn d
∆ λ ∆
λ
λ λ
λ
( )
=( ) ( )
Essa relação é bastante geral. O primeiro termo do lado direito depende da geometria do prisma.
O segundo termo depende do material.
Assim, o desvio, dependerá de uma propriedade do material que compõe o prisma, que é sua capacidade de dispersar a luz. A dispersão da luz, como veremos depois, é a dependência do índice de refração com o comprimento de onda da luz (ou da frequência). Essa dependência será analisada posteriormente. Admitindo, no momento, uma dispersão da forma:
( 3 )
Com B sendo uma constante positiva, a taxa com que ocorre o desvio depende do comprimento de onda. Uma expressão aproximada para essa taxa, será, portanto:
( 4 )
O significado do sinal menos nessa fórmula aponta que o desvio decresce com o aumento do comprimento de onda e esse decréscimo varia com o cubo do comprimento de onda.
Um prisma pode se converter em ingrediente importante de um instrumento científico voltado à análise da decomposição da luz. O nome desse instrumento é espectroscópio. A espectroscopia é uma área científica de grande interesse. Considere uma substância qualquer ou um aglomerado de matéria. Ao analisarmos o espetro de emissão das substâncias, podemos aprender muito sobre os seus constituintes.
Considere o caso de uma estrela distante. Como sabemos sobre a composição química de uma estrela se não nos aproximamos dela? A ideia é bastante simples. Analisamos o seu espectro de emissão. Ao decompormos a luz, vamos observar as cores do espectro. A partir daí podemos inferir sobre sua composição, uma vez que átomos dessa estrela emitem luz, mas luz associada ao espectro de emissão de cada átomo.
n B n B
( )λ ( ) c
λ ω ω
=
→ =
1
2
2 2
d
d Bd
dn
∆ λ ∆
λ
λ λ
( )
= −( )
13
Figura 3: A triangular prism, dispersing light Dispersive prisms are used to break up light into its constituent spectral colors because the refractive index depends on frequency; the white light entering the prism is a mixture of different frequencies, each of which gets bent slightly differently. Blue light is slowed down more than red light and will therefore be bent more than red light.
Um espectroscópio simples pode ser construído a partir do seguinte arranjo: uma fonte de luz (uma fenda iluminada) emite raios em todas as direções (aquela que se quer analisar o espectro).
Uma lente, cujo comprimento focal é igual à distância da fonte até a lente, é então utilizada para fazer com que os raios incidam paralelamente sobre a face do prisma. Este arranjo se constitui num colimador. Em seguida, a luz sai formando um feixe de raios paralelos, mas separados pelas diversas cores; assim, faz-se esse feixe convergir para um determinado ponto e, de preferência, nesse último estágio podemos fazer uso de uma lente ocular de um telescópio, a qual é colocada a girar em diferentes ângulos.
Figura 4
Figura 5: Production of spectrum of good quality.
2. Prismas Refletivos
Dependendo do ângulo de incidência, pode ocorrer uma reflexão total no interior de um prisma.
Isso torna os prismas muito úteis e, para desviar a luz, com vantagens em relação aos espelhos. Isso porque, no caso de uma reflexão total, toda a luz é refletida, pois não há qualquer possibilidade de ocorrer a refração. É nesse sentido que ele substitui espelhos com uma certa vantagem.
Alguns exemplos de prismas refletivos são apresentados abaixo.
Consideremos o caso do pentaprisma. De acordo com a figura abaixo, ele desvia de 90° sem inversão ou reversão.
O caso do prisma triangular e as propriedades de inversão das imagens são apresentados abaixo.
Figura 6
Figura 7
3. Prismas Polarizadores
Os prismas polarizadores, como o nome indica, podem ser utilizados para polarizar a luz.
Alguns prismas têm a propriedade de separar um feixe de luz em dois feixes, cada um deles com polarizações distintas. Usualmente, eles são feitos de materiais birrefringentes. A birrefringência representa um tipo de anisotropia de um material. É uma anisotropia óptica. Isto é, as proprieda- des ópticas são diferentes ao longo de diferentes direções.
O primeiro polarizador a ser construído utilizando prismas foi o Prisma de Nicol, inventado por William Nicol, em 1828, em Edimburgo. Ele consiste de duas partes de um prisma, feito de um material conhecido como calcita, em um corte que forma um ângulo de 68°. As duas partes são unidas com o bálsamo do Canadá, justapondo-se, assim, uma parte à outra. Um feixe de luz incidente se divide em dois como resultado da birrefringência do material.
Figura 8
Figura 9
Prisma de Nicol
Right-Angle prisms are commonly used to achieve a 90° or 180° light path bend. Depending on prisms orientation, images will be inverted, but correct left-to-right. If the prism is rotated 90°, images viewed through the prism will be erected, but reversed left-to-right. This prism can also be used in combination for image/beam displacement applications.
Nicol prism Wollaston prism Rochon prism Glan-Foucault prism Glan-Taylor prism Glan-Thompson
Prisma de Nicol
Elementos Básicos no Estudo dos Prismas
A intersecção das duas faces do prisma é a aresta do mesmo. O ângulo de refringência do prisma é o ângulo entre as duas faces polidas do mesmo (ângulo A).
Figura 10
Define-se ainda a seção principal do prisma como a seção por um plano perpendicular às suas faces.
Às vezes, uma face do prisma não é polida e não pode ser utilizada como superfície ótica, sendo usada como superfície para apoio, como indicado por S3 na figura.
Ao incidir sobre uma das faces do prisma, a luz constituída de um só comprimento de onda segue um trajeto análogo àquele mostrado nessa figura. Na primeira face, a luz experimenta uma refração.
A relação entre os ângulos de incidência (i1) e o ângulo de refração (r1) nessa primeira face é dada pela Lei de Snell-Descartes
( 5 )
Na segunda face, a luz experimenta outra refração e a relação entre o novo ângulo de incidência (i2) e o novo ângulo de refração será :
( 6 )
A partir do triângulo I1I2A, mostrado na figura abaixo, podemos agora notar que o ângulo α é soma dos ângulos r1 e i2. Pois, a análise da soma dos ângulos desse triângulo é:
( 7 ) Figura 11
Figura 12
n1 seni1= n2 senr1
n2 seni2= n1 senr2
Figura 13
a+ −r i
+ −
=
π π π
2 1 2 2
E, consequentemente
( 8 )
DESVIO ANGULAR – Δ
Define-se o desvio angular como o ângulo associado ao desvio da luz do seu trajeto quando da incidência no prisma.
Notemos que, se prolongarmos o raio incidente na primeira face e prolongarmos o raio refra- tado na segunda face, esses prolongamentos se encontrarão no ponto E. Para encontrarmos uma expressão para o desvio Δ em termos dos ângulos de incidência e refração, basta considerarmos o triângulo I1I2E. Obtemos da figura abaixo, que
( 9 )
Figura 14
α = r1 + i2
Figura 15
i r i r i r r i i r r i
1 1 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
(
−)
+(
−)
+(
−)
== − + −
= + −
(
+)
π ∆ π
∆
lembrando a relação (α = r1 − i2), obtemos que o desvio angular pode ser expresso em termos dos ângulos de incidência, refratado, e do ângulo de refringência:
( 10 )
Desvio angular mínimo
O desvio angular Δ depende do ângulo de incidência na superfície i1. Experimentalmente, vamos verificar que, para ângulos de incidência pequenos, o desvio é grande. À medida que aumentarmos o ângulo de incidência, vamos verificar que o desvio angular tende a se reduzir. No entanto, essa redução atinge um valor mínimo – desvio angular mínimo.
Um gráfico típico do comportamento do desvio angular é dado na figura a seguir. Nela se vê que, associado a um valor para o desvio angular, existem dois ângulos de incidência. Tal fato é facilmente explicado pelo princípio da reversibilidade da luz, pois, se a luz incidir pela outra face, revertida a direção da luz, teríamos o mesmo desvio. Portanto, se i1 é o ângulo de incidência associado ao desvio Δ, o outro ângulo, que daria o menor desvio angular, é aquele igual ao ângulo de refração na face dois.
Δ = i1 + r2 − α
FIgura 16
Note-se, agora, que, no desvio mínimo, o ângulo de incidência na primeira face é igual ao ângulo de refração na segunda face. Portanto,
( 11 )
Teremos, assim:
( 12 )
Diante disso, podemos concluir que, para a incidência de desvio mínimo,
( 13 )
e o desvio mínimo Δm será
( 14 )
i1 = r2 = i
r1 = i2 = r
Figura 17
r = A/2
Δm = 2i − A
Por meio da medida do ângulo associado ao desvio mínimo, podemos determinar o índice de refração da substância da qual o prisma é composto. De fato, de (000) segue que o ângulo de inci- dência e dado por:
( 15 )
A partir da lei de Snell-Descartes, concluímos que:
( 16 )
Inferimos, então, que o índice de refração é dado por:
( 17 )
Essa expressão tem duas aplicações.
Em primeiro lugar, a partir de uma medida muito simples (a medida do desvio mínimo), podemos determinar facilmente o índice de refração de uma substância.
No caso do desvio mínimo, a dependência do desvio com o índice de refração é:
( 18 )
Demonstrando, assim, que a dependência do desvio com o índice de refração depende da geometria do mesmo e, no caso, do ângulo de refringência.
i= ∆m+A 2
sini= n senr
n
A A
m
=
+
sen
sen
∆ 2 2
∆m( )n = arcsin n A A
−
2 sen 2
