An expert is someone who has made all the mistakes.

Docente responsável: Prof. Carlos Paiva

Ano Lectivo: 2006/2007 • Exame de 21 de Junho de 2007

1.ª DATA

An expert is someone who has made all the mistakes.

Hans Albrecht Bethe

1. No problema variacional da braquistócrona determine a relação

τ

_min

τ

_recta para L= −

π

2 e

2

H

=

.

Resolução:

É necessário resolver em ordem a a e a Θas equações

( )

( )

sin 1 cos L a H a ⎧ = ⎡Θ − Θ ⎤ ⎪ ⎣ ⎦ ⎨ = ⎡ − Θ ⎤ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩

supondo que L e H são conhecidos. Resolvendo ambas as equações em ordem a

a

e

igualando, obtém-se

( )

( )

( )

1 cos

( )

sin

( )

0 sin 1 cos L H f L H = ⇒ Θ = ⎡_⎣ − Θ −⎤_⎦ ⎡_⎣Θ − Θ =⎤_⎦ Θ − Θ − Θ

.

Para

L= −

π

2 e

H

=

2

a solução é Θ =

π

2. Daqui se infere que a=2. Mas então

(

)

(

)

min min 2 2 2 _{2 recta} recta

2

0.9646

2

4

8

2

₄

₈

a

g

g

L

H

g H

g

π

τ

τ

π

τ

_π

_π

π

π

τ

= Θ

=

⇒

=

=

−

+

+

₋

₊

=

=

.

2. Os processos de interacção entre fotões e átomos numa cavidade óptica provocam flutuações no

número de fotões em cada modo de oscilação. Sendo n =10 o número médio de fotões à temperatura absoluta

T

, determine a probabilidade P n

(

=8

)

da distribuição de Planck. Para

300 K

T

=

D

Resolução:

A distribuição de Planck fornece a probabilidade

( )

(

)

1 1 n n n P n n + = +

.

Para

n =10 e n=8, obtém-se P=0.0424. Por outro lado, tem-se

1

1

1

exp

1

B

ln 1

B

h c

n

k T

k T

n

λ

ω

=

⇒

=

⎛

⎞

⎛

⎞

−

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

_⎝

_⎠

=

. Para

T

=

300 K

D e n =10, obtém-se

λ

=

0.50319 mm

. Nota: Tem-se

c

=

2.99792458 10 m/s

×

8 ,

h

₌

6.62606876 10

_×

−34

Js

_e

_{1.3806503 10}

23

_J/K

B

k

₌

_×

− _.

3. Um feixe gaussiano de comprimento de onda

λ

=

10.6µm

(emitido por um laser de CO2)

apresenta larguras

w

₁

=

1.699 mm

e

w

₂

=

3.380 mm

em dois pontos separados por uma distância

d

=

10cm

. Determine a cintura

w

₀ do feixe gaussiano.

Resolução:

Para resolver este problema são apenas necessárias as expressões

( )

0 2 22 22 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 2 z w z w z w z w z k w w z z

π

w

λ

λ

π

⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟} ⇒ = + ⎝ ⎠ = = ⇒ =

Assim, vem sucessivamente, fazendo

z

₂

= +

z

₁

d

,

2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 2 1 0 0 0.8555m 1 1 w z w w z z z w z z z z

π

π

λ

λ

= = ⎛ ⎞ = − ⇒ = _⎜ − _⎟ ⇒ ⎝ ⎠ _{= −} A A

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 1 2 2 25.3040 2 0 . 2 w w z z d z d z d w w z z z d w z z z d w w d f z z z z d z z d

π

λ

π

α

λ

α

α

− + − + − ₌ − _{= = ⇒ = +} − = = ∴ ⇒ = − − − = = + A

A solução para

z

₀ obtém-se encontrando a raiz de f z

( )

₀ =0. Vem então

z

₀

=

11.857 mm

. Daqui se tira que a cintura do feixe é

w

₀

=

0.2 mm

. Note-se que vem, também,

z

₁

=

10 cm

e

z

₂

=

20 cm

.

4. Considere o problema quântico de uma partícula numa caixa

(unidimensional). Admita que o estado quântico inicial

ψ

( )

x

é o representado na Fig. 1. Determine a constante

A

em termos da largura a da caixa e calcule a probabilidade de uma medida da energia dar o valor próprio

2 2 2 1

=

π

=

2 m a

E

.

Sugestão:

∫

x

sin

( )

x d x

=

sin

( )

x

−

x

cos

( )

x

.

Resolução:

Comecemos por notar que

( )

,

0

2

1

,

2

x

a

A

x

a

x

x

a

A

x a

a

ψ

⎧

< <

⎪⎪

= ⎨

⎛

⎞

⎪

_⎜

₋

_⎟

_{< <}

⎪ ⎝

⎠

⎩

sendo

ψ

( )

x =0 para x<0 e para x a> . Para normalizar a função de onda é necessário ter-se

( )

2 ₂ 2 2 ₂ 2 2 0 0 2

1

1

a a a a

x

x

x d x A

d x A

d x

a

a

ψ

=

+

⎛

_⎜

−

⎞

_⎟

=

⎝

⎠

∫

∫

∫

de forma que 2 3 3 2 2 2 2 2 0 2

1

3

3

a a a

x

x

x

A

A x

a

a

a

⎡

⎤

⎡

⎤

+

+

−

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

2

₁

12

12

a

A

A

a

∴

=

⇒

=

.

Pretende-se calcular o coeficiente

c

₁.

0 a 2 a 2 A x

( )

x

ψ

Figura 1

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 ₀ 1 ₀ 2 0 2 2 2 2 ₀ 2 ₀ 2 2 ₀ 2 2 0 2

2

sin

24

sin

1

sin

24

sin

sin

2 24

sin

2 24

sin

cos

2 24

a a a a a

x

c

u x

x d x

x

d x

a

a

x

x

x

x

d x

d x

a

a

a

a

a

a

a

x

_y

_{y d y}

_z

_{z d z}

y

_a

a

x

z

_y

_{y d y}

a

y

y

y

π π π π

π

ψ

ψ

π

π

π

π

π

π

_π

π

π

π

∗

⎛

⎞

=

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎡

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎤

=

_⎢

_{⎜ ⎟}

_⎜

_⎟

+

_⎜

−

_⎟

_⎜

_⎟

_⎥

⎝ ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎣

⎦

⎡

⎤

=

+

=

_⎢

_⎥

⎣

⎦

→

= −

₌

=

⎡

_⎣

−

⎤

_⎦

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

A probabilidade desejada é então

2 1 1 4

96

98.6 %

p

c

π

=

=

≈

.

5.

Mostre que numa fibra óptica monomodal, operada em regime linear, o produto

B

₀

L

é

constante desde que

LL_D C

. Admita que

B

₀

=

1 4

σ

. Calcule esse produto em

(

Gb/s

)

⋅km

. Considere:

C

= − ; ps

6

τ

₀

=

1

;

2 2

20 ps / km

β

= −

;

3

3

0.1 ps / km

β

=

. Suponha

lasers semicondutores monomodais (i.e., com

V 1

).

Resolução:

(

)

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 0 0 0 0

1

1

1

1

2

2

2

4

L

L

L

V

σ

C

β

β

C

β

σ

σ

σ

σ

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⇒

_⎜

_⎟

= +

_⎜

_⎟

+

_⎜

_⎟

+

+

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠



(

)

(

)

2 2 2 2 ₂ 2 2 0 2 3 2 3 2 0 0 0

1

1

1

2

2

4

D

L

L

L

L

C

C

C

C

τ

σ

β

β

β

σ

σ

σ

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

=

⇒

_⎜

_⎟

= +

_⎜

_⎟

+

+

_⎜

_⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠



(

)

(

)

2 2 0 _{2 2 2 2 2} 2 0 3 4 0 0 0 0 1 4 _{1 1} 8 1 2 1 2 B C C B L

σ

β τ

β

τ

τ

σ

= ⎛ ⎞ _{⎡ ⎤} ⇒ _{⎜ ⎟} = _⎢ + + + _⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ =

(

)

(

)

(

)

2 0 0 ₂ 0 2 2 2 2 2 2 0 3 2.91 Gb/s km 8 1 2 1 B L B L C C

τ

β τ

β

∴ = ⇒ = ⋅ + + + .

6. Na propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não-linear é usual definir o parâmetro 2

D NL

N

=

L L

. Explique fisicamente a razão pela qual o solitão fundamental corresponde a

1

N = . Para

τ

₀

=

10 ps

, 2 2

1 ps km

β

= −

e

_γ

₌

_{2 W km}

−1 −1 _{(fibras de dispersão modificada),}

calcule: (i) a potência de pico

P

₀ do solitão fundamental; (ii) a correspondente potência média

P

_s

do sistema RZ para um débito binário

B

=

10 Gb/s

. Qual deve ser a variação longitudinal do coeficiente

β

₂ da DVG para que o solitão fundamental se propague sem perturbação quando existem perdas? Justifique fisicamente a sua resposta.

Resolução:

Um solitão fundamental é um impulso que resulta do equilíbrio perfeito entre as acções antagónicas da dispersão da velocidade de grupo (efeito linear) e da auto-modulação de fase (efeito não-linear). Esse equilíbrio perfeito traduz-se na equação

L

_D

=

L

_NL a que corresponde

2 2 2 0 0 2 0 0

1

P

P

β

τ

_γτ

β

=

γ

⇒

=

.

A potência de pico

P

₀ do solitão fundamental é

2 0 2 0

5 mW

P

β

γ τ

=

=

.

Por outro lado

0 0 0 0

1

1

5

2

2

B

q

q

τ

B

τ

=

⇒

=

=

A potência média do sistema RZ (return to zero) é, considerando os dois símbolos («0» e «1») equiprováveis,

(

) (

)

0 0 0 0 0 0 1 2 2 0.5 mW 4 2 s s P P B P q q

τ

τ

⎛ ⎞ = = _{⎜ ⎟}= = ⎝ ⎠ E .

Quando existem perdas tem-se P z₀

( )

=P₀

( )

0 exp

(

−

α

z

)

. Logo, para que

γτ

₀2

=

constante

, deverá ter-se

β

₂

( )

z =

β

₂

( )

0 exp

(

−

α

z

)

, de modo a que

( )

( )

2 2 0 0

0

constante

0

P

β

γτ

=

=

.

7. Mostre que, no âmbito da álgebra geométrica

CA

₃, se tem a b c∧ ∧ = ⋅ ×

(

a b c e

)

₁₂₃ em que

3

, ,

∈

a b c \

e e₁₂₃∈

∧

3 \3 com

e

₁₂₃2

= −

1

. Explique por que razão é que não existe ambiguidade na escrita do produto misto a b c⋅ × sem recorrer a quaisquer parêntesis. Interprete geometricamente o produto misto. Para

a e

= +

₁

e

₃,

b

=

2

e

₁ e

c

=

2

e

₁

+

2

e

₂, calcule:

(i) a b c⋅ × ; (ii) a

:

(

b c∧

)

; (iii)

a b c

; (iv) exp b

( )

; (v) exp

(

a b∧

)

.

Resolução:

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

123 123 123 123

1

2

⋅ × = − ⋅

⎡

_⎣

∧

⎤

_⎦

= −

⎡

_⎣

∧ +

∧

⎤

_⎦

= − ∧ ∧

∴

∧ ∧ = ⋅ ×

a b c

a

b c e

a b c

b c a e

a b c e

a b c

a b c e

Não existe ambiguidade na escrita de a b c⋅ × porque esta expressão só faz sentido se interpretada na forma a b c⋅ ×

(

)

; a expressão

(

a b⋅ ×

)

c carece de significado.

A interpretação geométrica é a do volume do paralelepípedo gerado pelos três vectores

a b c \

, ,

∈

3.

123 123 1 0 1 2 0 0 4 4 2 2 0 ∧ ∧ = = ⇒ ∧ ∧ = a b c e e a b c 1 2 3 3 2 0 0 4 2 2 0 × = = e e e b c e

(

)

2 3 3 1 1 2 3 1 31 1 0 1 2 2 2 0 0 ∧ ∧ ∧ ∧ = = ∧ = e e e e e e a b e e e ∧ a b a b c

volume do

paralelepípedo

= ∧ ∧ = ⋅ ×

a b c

a b c

(

1 3

) ( )

3

(

)

123 1 0 1 4 2 0 0 4 2 2 0 ⋅ × = + ⋅ = − ∧ ∧ = = a b c e e e a b c e

(

∧ = ⋅

) (

) ( )

− ⋅ =2 −2 =4 2 a

:

b c a b c a c b c b e

( ) (

) (

2 2 31

)

4

(

1 2 3 123

)

= = ⋅ + ∧ = + = + + + a b c a b c a b a b c e c e e e e

( )

( )

1

( )

exp b =cosh 2 +e sinh 2

(

)

(

31

)

( )

31

( )

exp a b∧ =exp 2e =cos 2 +e sin 2

8. Num cristal biaxial tem-se

ε

₁

=

2

,

ε

₂

=

2.5

e

ε

₃

=

4

. Determine o ângulo

φ

entre os eixos ˆd₁ e

2

ˆd da função dieléctrica D

( )

E e o ângulo

θ

entre os dois eixos ópticos

ˆc

₁ e

ˆc

₂ do cristal. Qual é a razão entre as constantes de propagação das duas ondas características quando se considera que a direcção de propagação é k cˆ =ˆ₁? Justifique fisicamente a sua resposta.

Resolução:

( )

3 2 1 3 1

2

1

cos

60

2

ε

ε

ε

φ

φ

ε ε

−

+

=

=

⇒

=

−

D

( )

1 1 3 2 1 2 2 3 1 3 3

1

0.5

2

1

0.4

cos

0.2

78.4630

78.5

1

0.25

η

ε

η

η η

η

θ

θ

ε

η η

η

ε

=

=

−

+

=

=

→

=

=

⇒

=

≈

−

=

=

D D 1 3 3 1 1

tan

tan

2 tan

tan

78.4630

78.5

2

2

2

ε

ε

θ

φ

_θ

φ

ε

−

ε

⎡

⎤

⎛ ⎞

₌

⎛ ⎞

_⇒

₌

⎛ ⎞

₌

_≈

⎢

⎥

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

_⎣

⎝ ⎠

_⎦

D D

Como k cˆ =ˆ₁ corresponde à propagação ao longo de um eixo óptico infere-se que as duas constantes de propagação das duas ondas características devem ser iguais.

9. Num cristal biaxial com

ε

₂

=

5

ε

₁ e

ε

₃

=

2

ε

₂ admita que, no referencial dos eixos dieléctricos principais, se considera a direcção

s

ˆ sin

=

( )

Θ

_⎣

⎡

cos

( )

Φ

e

₁

+

sin

( )

Φ

e

₂

_⎦

⎤

+

cos

( )

Θ

e

₃. Para

90

Θ =

D _e

_{Φ =}

₂₀

D _{calcule o ângulo}

_δ

_{do multivector}

_u

₌

_{E D}

₌

_Š

_exp

( )

_δ

_B

ˆ

_{. Note que}

( )

2

ˆ sin

u

= BŠ

δ

. Qual é o significado físico de

δ

? Determine os pares

(

Θ Φ,

)

para os quais

=

E D DE

. Justifique fisicamente a sua resposta.

Resolução:

Façamos

ζ ε ε

=

_{2 1} e

κ ε ε

=

_{3 2}. Vem sucessivamente

( )

( )

_{( )}

_{( )}

( )

1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ cos ˆ ˆ s s s

δ

ε

⋅ = + + → = s =s s s e e e s s D D D

( )

ˆs =

ε

1 1 1se +

ε

2 2 2s e +

ε

3 3 3s e =

ε

1

(

s1 1e +

ζ

s2 2e +

κζ

s3 3e

)

D

( )

2 ₂

(

_{2 2 2 2 2 2}

)

1 1 2 3

ˆ

ε

s

ζ

s

κ ζ

s

∴

D

s

=

+

+

( )

ˆ ˆ

( )

ˆ 1

(

s1 1 s2 2 s3 3

) (

s1 1 s2 2 s3 3

)

ε

s = ⋅s D s =

ε

e + e + e ⋅ e +

ζ

e +

κζ

e

( )

(

2 2 2

)

1 1 2 3

ˆ

s

s

s

ε

ε

ζ

κζ

∴

s

=

+

+

( )

12 22 32 2 2 2 2 2 2 1 2 3 cos s s s s s s

ζ

κζ

δ

ζ

κ ζ

+ + = + + . Para

Θ =

90

D _é 3

0

s

=

e vem simplesmente

( )

( )

( )

( )

2 2 1 2 2 2

cos

sin

cos

cos

sin

ζ

δ

ζ

−

⎡

_⎢

Φ +

Φ

⎤

_⎥

=

⎢

Φ +

Φ

⎥

⎣

⎦

. Para

Φ =

20

D e

ζ

=

5

obtém-se então

(

,

)

41.21

δ

=

E D

→

δ

=

D

)

.

Este é o ângulo que, em geral, existe entre o campo eléctrico

E

e o deslocamento eléctrico

D

num meio anisotrópico. Só ao longo dos eixos dieléctricos principais é que, mesmo num meio anisotrópico, se tem

δ

=0. Quando

δ

=0 é

0

u=E D= E D =Š pelo que u u= , i.e.,

E D DE

=

. Assim,

=

E D DE

quando

δ

=0; ou seja, esta condição verifica-se nos três casos seguintes: (i)

Θ =

90

D

e

0

Φ = ; (ii)

Θ =

90

D

e

Φ =

90

D

10. Uma onda plana monocromática incide na interface x=0

da Fig. 2 proveniente do ar

(

x>0

)

. O meio que preenche a região x<0 é um cristal uniaxial positivo com

ε

_&

=

4

e

ε

_⊥

=

2

. Determine o ângulo

θ

_e da onda extraordinária. Suponha que o eixo óptico é

c e

ˆ

=

₃ e que o ângulo de incidência é

θ

_i

=

20

D_.

Resolução:

Pelas condições fronteira deverá ter-se

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 0 2 2 0 sin sin

sin sin sin

i i e e e e e k n n k

β

θ

θ

θ

β

θ

θ

θ

θ

= → = = k = .

Por outro lado o vector

k

da onda extraordinária é tal que

( )

( )

( )

2 2 2 0

ˆ

k

n

e

ˆ

ε ε

ε ε

θ

ε

ε

⊥ ⊥

=

⇒

=

k

k

k

& & .

Logo, igualando as duas expressões para n2

( )

θ

_e , obtém-se

( )

( )

( )

2 2 sin ˆ sin i e

ε ε

θ

θ

ε

⊥ ₌ k &

que deve ser resolvida em ordem a

θ

_e. Agora, notando que se tem

( )

( )

(

)

( )

2

(

)

( )

( )

( )

2 2 2

ˆ ˆ ˆ _ˆ ˆ _{sin sin cos}

e e e

ε

k = ⋅k D k =

ε

_⊥+

ε ε

&− _⊥ c k⋅ =

ε

_⊥+

ε ε

&− _⊥

θ

=

ε

&

θ

+

ε

_⊥

θ

infere-se que

( )

( )

( )

( )

2

2 2 2

sin

sin cos sin

i e e e

ε ε

θ

ε

θ

+

ε

⊥_⊥

θ

=

θ

& & . Fazendo x=sin2

( )

θ

_e , vem então

(

)

( )

(

( )

)

( )

2 2 2

sin

sin

0.0301

1

sin

i i i

x

x

x

x

ε ε

θ

ε

θ

ε

ε

ε ε

ε ε

θ

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

=

⇒

=

=

+

−

−

−

&

& & &

( )

1

sin

9.9953

10

e

x

θ

−

∴

=

=

D

≈

D_.

z

x e

θ

i

θ

θ

_r Figura 2

ˆc

Anexo

Problema do exame

Cotação (20)

Problema 1

1

Problema 2

1

Problema 3

2.5

Problema 4

3

Problema 5

2

Problema 6

2

Problema 7

2.5

Problema 8

1.5

Problema 9

1.5

Problema 10

3