Mathematical model applied to biological control
Modelo matemático aplicado ao controle biológico
Modelo matemático aplicado al control biológico
ABSTRACT
Objective: This review aimed to disseminate the Lotka-Volterra model classic aiming to contribute with research on the functionality and applicability of the model and also encourage the use of the model in biological pest control programs. Methodology: we started the study making an approach on mathematical modeling and mathematical models applied to the simulation of prey and predator. We finish introducing the Lotka-Volterra model and a brief history of your appearance. Results: Thus, it was possible to observe that the mathematical modeling, when employed in biological pest control programs, such as the Lotka-Volterra type models, allows you to gather, do simulations predict environmental and economic impacts in addition to evaluating the possibility of possible strategies in pest control for your predator. Final considerations: Before the above, we conclude that mathematical models of interaction between prey and predator, as the Lotka-Volterra model, allows us, starting from an analysis of the simulation between species, predict results and collaborate with decision-making as for the biological control of pest. Still, it is necessary to further research on the applicability of the model, so that we have a more effective analysis on the functionality of it. RESUMO
Objetivo: A presente revisão bibliográfica teve como objetivo difundir o modelo de Lotka-Volterra clássico almejando contribuir com pesquisas sobre a funcionalidade e a aplicabilidade do modelo e também incentivar o uso do modelo em programas de controle biológico de pragas. Metodologia: Iniciamos o estudo fazendo uma abordagem sobre a modelagem matemática e os modelos matemáticos aplicados a simulação de presa e predador. Finalizamos apresentando o modelo de Lotka-Volterra e uma breve história do seu surgimento. Resultados: Assim, foi possível observar que a modelagem matemática quando empregada em programas de controle biológico de pragas, como modelos do tipo Lotka-Volterra permite reunir, fazer simulações, prever impactos econômicos e ambientais além de avaliar a possibilidade de possíveis estratégias no controle da praga pelo seu predador. Considerações finais: Diante do exposto, concluímos que modelos matemáticos de interação entre presa e predador, como o modelo de Lotka-Volterra, nos permite, partindo de uma análise da simulação entre as espécies, prever resultados e com isso, colaborar com tomadas de decisão quanto ao controle biológico da praga. Ainda assim, faz-se necessário mais pesquisas sobre a aplicabilidade do modelo, para que tenhamos uma análise mais efetiva sobre a funcionalidade do mesmo.
RESUMEN
Objetivo: Esta revisión procuró difundir el Lotka-Volterra modelo clásico con el objetivo de contribuir con la investigación sobre la funcionalidad y aplicabilidad del modelo y también fomentar el uso del modelo en los programas de control biológico de plagas. Metodología: Iniciamos el estudio haciendo un acercamiento a la modelización matemática y modelos matemáticos aplicados a la simulación de presa y depredador. Terminamos presentando el modelo de Lotka-Volterra y una breve historia de su aparición. Resultados: Así, fue posible observar que la modelación matemática al empleado en programas de control biológico de plagas, tales como los modelos de tipo Lotka-Volterra te permite reunir, hacen simulaciones predicen impactos ambientales y económicos, además de evaluar la posibilidad de posibles estrategias de control de plagas para su depredador. Consideraciones finales: Antes de lo anterior, se concluye que los modelos matemáticos de la interacción entre presa y depredador, como el modelo de Lotka-Volterra, nos permite, a partir de un análisis de la simulación entre especies, predecir resultados y colaborar con la toma de decisiones en cuanto al control biológico de plagas. Aún así, es necesario más investigación sobre la aplicabilidad del modelo, para que tengamos un análisis más eficaz sobre la funcionalidad de la misma.
Viviane de Lima Noronha
1Rosana da Paz Ferreira
21 Mestre em ciências. UEZO – Centro Universitário Estadual da Zona Oeste, Rio de Janeiro, RJ. Brasil.
E-mail. Vivi_lima_noronha@hotmail.com
2Doutorado em Modelagem Computacional. UEZO – Centro Universitário Estadual da Zona Oeste, Rio
REVISÃO / REVIEW / REVISIÓN
Descriptors mathematical modeling, Lotka-Volterra model, classical biological
control. Descritores modelagem matemática, modelo de Lotka-Volterra clássico, controle biológico. Descriptores modelación matemática, el modelo
de Lotka-Volterra, el control biológico clássico.
Sources of funding: No Conflict of interest: No
Date of first submission: 2016-11-12 Accepted: 2017-01-19
Publishing: 2017-03-28
Corresponding Address Viviane de Lima Noronha. E-mail:
Vivi_lima_noronha@hotmail.com. UEZO – Centro Universitário Estadual da Zona Oeste, Rio de Janeiro, RJ. Brasil
INTRODUÇÃO
De acordo com o autor(1) “a modelagem matemática constitui um ramo próprio da matemática que tenta imitar situações reais para uma linguagem matemática, para que por meio dela se possa compreender, prever e fazer simulações ou, ainda, mudar determinadas vias de acontecimento, com estratégias de ação, acerca do ambiente ou objeto de estudo”. Segundo o autor(2) ela é utilizada para obter e ratificar modelos matemáticos.
A modelagem é uma importante ferramenta utilizada em pesquisas de problemas da agricultura(3). Em programas de controle de pragas, a modelagem matemática vem se mostrando de grande utilidade(2) pois propicia um conjunto de informações nas mais variadas áreas de conhecimento, realizar simulações, avaliar a viabilidade de possíveis estratégias entre as populações de praga e predador no manejo integrado de pragas(4) podendo pressupor os seus impactos econômicos e ambientais(5).
Segundo(4), modelos matemáticos de simulação de praga-parasitoide, que são desenvolvidos em programas computacionais, auxiliam na adoção de medidas biológicas. Mesmo não sendo muito usados no Brasil, em outros países são utilizados com constância(4). Ainda segundo o autor, a elaboração desses modelos depende de dados básicos sobre a praga e o parasitoide. Os modelos permitem à avaliação da influência das variáveis envolvidas no sistema orientando estudos futuros de controle biológico. Em pesquisas como o da autora(6) observamos a aplicabilidade do modelo no estudo do controle biológico de uma praga. Neste estudo, a autora observou que o modelo do tipo Lotka-Volterra mostrou-se capaz de descrever a interação de controle biológico aplicado entre a presa e o predador, além de auxiliar na compreensão dos principais fatores ecobiológicos que governam o sistema tratado.
Muitas vezes os sistemas são complicados e envolvem diversas variáveis, assim como sistemas agroecológicos(4,7), com isso, faz-se necessário à introdução das principais responsáveis por mudanças no sistema para diminuir a complexidade das análises(7),
como observamos em modelos como o de Lotka-Volterra clássico.
Mediante a isto, esta pesquisa tem como propósito abordar o modelo de Lotka-Volterra clássico, visando colaborar com pesquisas e programas de controle biológico de pragas.
O modelo de Lotka-Volterra clássico
A predação é um exemplo de interação entre duas populações que resulta em consequências negativas no crescimento e sobrevivência de uma população e em resultado benéfico na outra população(8). Nessa interação, a quantidade de indivíduos da população de presa depende diretamente do número de indivíduos de predadores num mesmo habitat e vice-versa.
Existem diversos modelos que descrevem a relação de predação. Entre eles destacamos o modelo de Lotka-Volterra clássico, também conhecido como modelo “presa-predador”. O modelo de Lotka-Volterra é um modelo matemático que se baseia na interação entre duas espécies, na qual a presa possui alimentos em grande quantidade e o predador, tem apenas a presa como alimento. Segundo o autor(9) esse modelo é apropriado para descrever as interações de predação. Em pesquisas como os dos autores(6, 10- 12) observa-se a eficiência de modelos matemáticos que simulam a interação entre espécies, sendo esses uma descrição do modelo de Lotka-Volterra.
O primeiro estudo de dinâmica de populações surgiu em 1798, pelo economista inglês, Thomas Robert Malthus(13) com a tentativa de descrever matematicamente o crescimento de uma população(14). O modelo de Malthus considera a variação da população constante, ele pode ser descrito como um modelo de crescimento exponencial, ao pressupor que a taxa segundo a qual a população de presa cresce em um determinado instante é diretamente proporcional à população total de presa naquele instante(15). Em 1836, o matemático belga Pierre François Verhulst construiu um modelo que é uma adaptação do modelo Malthusiano. O modelo em questão introduziu a equação de crescimento logístico onde a população aumenta até
o valor máximo, determinado em função da quantidade de recursos disponíveis e restrições do habitat(16).
Alfred Lotka, biólogo americano e Vito Volterra, matemático italiano, foram os pioneiros em estudos de modelos matemáticos de interação entre espécies. Estes modelos, que mais tarde se chamariam modelo de Lotka-Volterra, têm como base as informações iniciais do modelo de Verhulst e serviram como introdução para modelos matemáticos que surgiram posteriormente, criados para descrever a dinâmica de interação de sistemas do tipo presa – predador(17).
Devido à natureza contínua das taxas de crescimento das populações, o modelo prevê oscilações constantes entre as populações de presa e predador(17). A utilização dos modelos do tipo presa – predador permite analisar qualitativamente e quantitativamente a dinâmica de interação das populações, possibilitando avanços conceituais para o controle biológico(18).
O modelo de Lotka-Volterra clássico é um modelo simples de interação entre duas espécies que ocorre da seguinte forma: a presa possui alimento em grande quantidade e o predador tem a presa como a sua única e exclusiva fonte de alimento. Além disso, a presa possui um predador. Este modelo supõe que, num intervalo de tempo, o meio em que essas espécies habitam não deve mudar.
O modelo ainda defende que o encontro entre as duas espécies é ao acaso e, com isso, quanto maior for o número de presas, mais facilmente as mesmas serão encontradas e que, quanto maior o número de predadores, mais presas serão necessárias para alimentá-los. Logo, podemos considerar que o número de encontros entre as duas espécies é diretamente proporcional ao produto das duas populações. Podemos supor, portanto, que estes encontros tendem a aumentar o crescimento da população do predador e a diminuir o crescimento da população de presa(19). Com base nessas hipóteses, o modelo de Lotka – Volterra é descrito pelas seguintes equações não lineares de 1º ordem(2)
xy
x
dt
dx
(2.1)
xy
y
dt
dy
(2.2)A primeira equação está relacionada à dinâmica da presa e a 2º equação, à dinâmica do predador, onde segundo(2)
x = x(t), é a população da presa no instante t. y = y(t), é a população predador no instante t.
,
dt
dx
é a taxa de crescimento da população de presa.
,
dt
dy
é a taxa de crescimento da população de predador.
α é o coeficiente que representa a taxa de crescimento da população de presa na ausência de predadores.
β é o coeficiente que representa a taxa de mortalidade da população de presa devido ao encontro com predador.
δ é o coeficiente que representa a taxa de crescimento da população de predador por unidade de presa consumida (ou taxa de natalidade).
γ é o coeficiente que representa a taxa de mortalidade da população de predadores devido à ausência de presas. Sendo os valores dos coeficientes α, β, δ e γ, constantes positivas.
Enquanto a taxa de crescimento da população de predadores, isto é,
,
dt
dy
é aumentada pelo termo
xy
, a taxa de crescimento da população de presa,,
dt
dx
é diminuída pelo termo
xy
. Considerando a falta de presas (ausência de alimento), a população de predadores é reduzida exponencialmente pelo termo,)
(t
y
. Pela ausência da população de predadores, a população de presa é aumentada exponencialmente pelo termo
x
(t
)
. E, assim as variações dos tamanhos das populações se repetem, processo esse que continua em ciclos, chamados ciclos ecológicos(2).Contudo, o autor(19) salienta que basicamente pode ocorrer a coexistência entre as duas espécies ou a extinção do predador.
Ponto de equilíbrio do modelo de Lotka-Volterra clássico
O sistema do modelo de Lotka-Volterra está em equilíbrio quando a variação da população ao longo do tempo é nula, ou seja, quando
0
dt
dx
e
0
dt
dy
. Com isso, das equações de Lotka -Volterra, segue,0
xy
x
(2.3)0
xy
y
(2.4)Onde, consequentemente temos,
0
x
ou
y
.0
y
ou
x
.Se, e somente se,
0
x
ey
0
ou
y
e
x
. Assim obtemos dois pontos de equilíbrio, isto é, os pontos de estabilidade do sistema do modelo de Lotka-Volterra,)
0
,
0
(
1
P
e 2(
,
)
P
. O primeiro ponto demonstra um resultado que não têm sentido biológico, pois, é um ponto em que não existem presas e predadores. O segundo ponto é o de principal interesseecológico, pois é nesse ponto em que há a coexistência entre as populações(20).
De acordo com(19) a análise da estabilidade de um sistema tem como objetivo verificar se pequenas variações em suas condições iniciais, primeiro valor de número de indivíduos, levam a pequenas ou grandes variações em sua resposta antes da estabilidade do sistema. Os autores(11) observaram que quanto mais distante está a condição inicial do ponto de equilíbrio, maior é a variação no número de indivíduos, mostrando a instabilidade do sistema longe desse ponto. O contrário também é percebido pelos autores, isto é, quanto mais próxima está a condição inicial do ponto de equilíbrio, menor é a variação do número de indivíduos, assim, menos tempo o sistema leva para atingir a estabilidade.
CONCLUSÃO
Observamos que o modelo permite à análise da interação entre as espécies de presa e predador e, assim, pode auxiliar em decisões sobre o controle biológico da praga estudada. Entretanto, são necessárias pesquisas mais que estudem a aplicabilidade do modelo e/ou uma versão aprimorada do mesmo, conforme observado em estudos dos autores(4,6).
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