MAGNO TEÓFILO MADEIRA DA SILVA EQUALIZAÇÃO AUTODIDATA BASEADA EM COMBINAÇÃO DE FILTROS ADAPTATIVOS

(1)

EQUALIZAC

¸ ˜

AO AUTODIDATA BASEADA EM

COMBINAC

¸ ˜

AO DE FILTROS ADAPTATIVOS

Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obten¸cão do t´ıtulo de Professor Livre-Docente junto ao Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos.

S˜ao Paulo 2013

(2)

EQUALIZAC

¸ ˜

AO AUTODIDATA BASEADA EM

COMBINAC

¸ ˜

AO DE FILTROS ADAPTATIVOS

Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obten¸cão do t´ıtulo de Professor Livre-Docente junto ao Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos.

´ Area:

Processamento de Sinais

S˜ao Paulo 2013

(3)

Equaliza¸cão autodidata baseada em combina¸cão de filtros adaptativos / M. T. M. Silva. −− São Paulo, 2013.

82 p.

Tese (Livre-Docência) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos.

1. Filtros elétricos adaptativos 2. Equaliza¸cão 3. Algoritmos 4. Com-bina¸cão de algoritmos. I. Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos II.t

(4)

(5)

Agradecimentos

Em primeiro lugar, agrade¸co à Profa. Maria D. Miranda por todas as discussões técnicas relevantes, pela orienta¸cão rigorosa da minha tese de doutorado, confian¸ca, apoio, amizade e por seguirmos trabalhando juntos em algoritmos adaptativos para equaliza¸cão desde 1999. Ao Prof. Max Gerken, in memorian, pelos conselhos, confian¸ca, incentivo, exemplos a serem seguidos e pelas orienta¸cões de inicia¸cão cient´ıfica, mestrado e fase inicial do doutorado. Ao Prof. V´ıtor H. Nascimento, com quem tenho trabalhado em combina¸cões de filtros adaptativos desde 2006, pelas inúmeras discussões técnicas, confian¸ca, apoio e permanente incentivo.

Ao Prof. Jerónimo Arenas Garc´ıa pelas ideias e discussões técnicas que foram fundamen-tais para o desenvolvimento deste trabalho. Agrade¸co também por fazer com que eu me sentisse em casa durante minha estância na Universidad Carlos III de Madrid no primeiro semestre de 2012. ¡Gracias amigo!

Aos meus alunos João Mendes Filho, Renato Candido e Ronaldo Abreu com os quais aprendi muito durante as orienta¸cões de seus trabalhos. Esta tese é dedicada a vocês!

Ao Prof. Marcio Eisencraft pela amizade, discuss˜oes t´ecnicas e trabalhos em conjunto. `

A Profa. Denise Consonni, pelo apoio, confian¸ca e exemplo de profissionalismo a ser seguido.

Agrade¸co também aos professores e colegas do LPS Miguel A. Ram´ırez, Flavio A. M. Cip-parrone e Mário Minami e também à secretária Dilma Alves da Silva pelo companheirismo, apoio e incentivo durante todos esses anos que trabalhamos juntos.

Aos demais professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos da EPUSP, em especial aos Profs. Marco I. Alayo Chavez e João A. Martino e à secretária Darlene Ricetti pelo apoio e incentivo.

`

A FAPESP e ao CNPq pelos aux´ılios concedidos.

Por último, mas não menos importante, à minha fam´ılia pelo carinho, compreensão e por tudo que representa para mim.

(6)

Resumo

Equalizadores autodidatas são usados em sistemas de comunica¸cão digital para remover a interferência intersimbólica introduzida por canais dispersivos. Eles evitam a transmissão de sequências de treinamento, possibilitando um uso mais eficiente da banda do canal. Usu-almente, depois de uma equaliza¸cão preliminar, esses equalizadores são chaveados para o modo de decisão direta (DD) a fim de reduzir o erro quadrático médio (MSE - mean-square

error ) em regime para n´ıveis aceit´aveis. O bom desempenho desse esquema depende da

sele¸cão de um limiar apropriado de MSE para o chaveamento entre os modos de treinamento cego e o modo de decisão direta. No entanto, essa não é uma tarefa fácil já que o n´ıvel de MSE adequado depende de vários fatores como constela¸cão, canal de comunica¸cão ou razão sinal-ru´ıdo. Neste trabalho, é proposto um esquema de equaliza¸cão autodidata que combina de forma adaptativa um equalizador cego com um equalizador de decisão direta funcionando em paralelo. A combina¸cão é adaptada de forma autodidata e consequentemente, o esquema proposto possibilita um chaveamento automático entre os filtros componentes, evitando a sele¸cão a priori de um n´ıvel de MSE para a transi¸cão. O desempenho do equalizador pro-posto é ilustrado de forma anal´ıtica e através de simula¸cões numéricas, que mostram suas vantagens com rela¸cão a esquemas de chaveamento abrupto e suave existentes na literatura.

Palavras-chave: processamento adaptativo de sinais; filtragem adaptativa; equalizadores autodidatas; algoritmo do módulo constante; algoritmo multimódulo; combina¸cão convexa; decisão direta; rastreio.

(7)

Abstract

Blind equalizers are used in digital communications systems to remove the intersymbol inter-ference introduced by dispersive channels. They avoid the transmission of training sequences, allowing a more efficient use of the channel bandwidth. Usually, after a first rough equaliza-tion is achieved, these equalizers are switched to a decision-directed (DD) mode to reduce the steady-state mean-square error (MSE) to acceptable levels. The good overall performance depends on the selection of an appropriate MSE threshold for switching between the blind and the DD modes. However, this is not an easy task, since the adequate MSE level depends on several factors such as the signal constellation, the communication channel, or the signal-to-noise ratio. In this work, we propose a blind equalization scheme that adaptively combines a blind and a DD equalizers running in parallel. The combination is itself adapted in a blind manner, and as a result the overall scheme can automatically switch between the component filters, avoiding the need to set the transition MSE level a priori. The performance of our proposal is illustrated both analytically and through a set of simulations, where we show its advantages with respect to existing hard- and soft-switching equalization schemes.

Keywords: adaptive signal processing; adaptive filtering; blind equalizers; constant-modulus algorithm; multimodulus algorithm; convex combination; decision-directed; tracking.

(8)

Sum´

ario

Lista de figuras . . . vi

Lista de tabelas . . . viii

Lista de abreviaturas . . . ix

Lista de s´ımbolos . . . xi

1 Introdu¸cão e formula¸cão do problema 1 1.1 A equaliza¸cão adaptativa . . . 1

1.1.1 Sobreamostragem . . . 4

1.1.2 Algoritmos para adapta¸c˜ao dos coeficientes do equalizador . . . 6

1.1.3 Transi¸c˜ao para o modo de decis˜ao direta . . . 14

1.2 A combina¸c˜ao convexa de algoritmos adaptativos . . . 15

1.3 Objetivos e justificativa . . . 22

1.4 Contribui¸c˜oes . . . 23

1.5 Organiza¸c˜ao da tese . . . 24

2 Chaveamento automático entre os modos cego e de decisão direta 25 2.1 Combina¸cão convexa do MMA com o LMS . . . 25

2.1.1 Adapta¸c˜ao do parˆametro de mistrura . . . 27

2.2 Um exemplo ilustrativo . . . 29

2.3 Conclus˜oes . . . 32

3 An´alise estat´ıstica em regime 34 3.1 Hip´oteses simplificadoras e indicadores de desempenho . . . 34

3.2 EMSE em regime da combina¸c˜ao . . . 37

(9)

3.4 Precis˜ao da an´alise . . . 41

4 Resultados de simula¸c˜ao 45 4.1 Algoritmos de chaveamento entre o modo cego e de decis˜ao direta . . . 45

4.2 Cenários de simula¸cão, parâmetros e medida de desempenho . . . 46

4.3 Cen´ario I: 256-QAM . . . 49

4.4 Cen´ario II: 64-QAM . . . 50

4.5 Cen´ario III: V.29 . . . 51

5 Conclus˜oes e perspectivas 53 5.1 Conclus˜oes . . . 54

5.2 Perspectivas . . . 55

Referˆencias Bibliogr´aficas 57

Apˆendices 67

A Vers˜oes do algoritmo de Shalvi-Weinstein 67

B Os algoritmos multim´odulo e de decis˜ao para sinais QAM 73

(10)

Lista de Figuras

1.1 Sistema de comunica¸cão simplificado com um equalizador adaptativo no modo de treinamento. . . 3 1.2 Equalizador adaptativo no modo de decisão direta. . . 3 1.3 Sistema de comunica¸cão simplificado com um equalizador autodidata.. . . 4 1.4 Sistema de comunica¸cão simplificado com um equalizador autodidata sobreamostrado. 5 1.5 Combina¸cão convexa de dois filtros adaptativos transversais para filtragem

supervisionada. . . 16 1.6 (a) EMSE para µ1-LMS, µ2-LMS, e sua combina¸c˜ao convexa; (b) m´edia de conjunto

de η(n); µ1 = 0, 1, µ2 = 0, 01, µα = 100 (adapta¸c˜ao n˜ao-normalizada), α+ = 4,

b= 0, 8; m´edia de 500 realiza¸c˜oes. . . 18

2.1 Combina¸cão convexa do MMA com o LMS. O filtro LMS opera no modo de decisão direta, sendo que seus coeficientes são atualizados utilizando a sa´ıda do decisor como sinal desejado. . . 26 2.2 MSE dos esquemas de combina¸cão para o Cenário I da Tabela 4.1: (a) MSE do

MMA, LMS, e da combina¸cão convexa proposta, estimado com uma média de conjunto de 1000 realiza¸cões; (b) MSE do MMA, LMS e de sua combina¸cão convexa usando (2.12); (c) Parâmetros de mistura considerando uma realiza¸cão dos algoritmos. 30 2.3 SER em regime em fun¸cão da SNR para o MMA, o LMS e suas combina¸cões

usando (2.10) e (2.12); primeiro canal do Cenário I da Tabela 4.1. . . 31 2.4 SER ao longo das itera¸cões para o Cenário I (Tabela 4.1) com SNR = 30 dB.

(11)

3.1 EMSE teórico (teo) e experimental (exp) em fun¸cão do passo de adapta¸cão do LMS (µ); ρ = 10−₆

; 64-QAM, Canal H2(z) de [L ´AZARO et al., 2005, Eq. (29)],

ausência de ru´ıdo, implementa¸cão na taxa de s´ımbolos, M = 12, média de conjunto de 1000 realiza¸cões; (a) ambiente estacionário e (b) ambiente não-estacionário com Q_{= 8 × 10}−9I. . . 42

4.1 MSE ao longo das itera¸cões para o Cenário I e parâmetros dos algoritmos especifi-cados na Tabela 4.1. . . 49 4.2 MSE ao longo das itera¸cões para o Cenário II e parâmetros dos algoritmos

especi-ficados na Tabela 4.1. . . 50 4.3 MSE ao longo das itera¸cões para o Cenário III e parâmetros dos algoritmos

especi-ficados na Tabela 4.1. . . 51

B.1 Parte real do erro do RMA em fun¸c˜ao de yR(n) para 64-QAM. Os erros nas

coor-denadas dos s´ımbolos da constela¸c˜ao s˜ao indicados por ◦; fator de escala K = 245. 74 B.2 Parte real do erro do SBD para 64-QAM; fator de escala K = 7. Os erros nas

coordenadas dos s´ımbolos das constela¸cões são indicados por ◦. . . 76 B.3 Regiões da parte real de uma constela¸cão 64-QAM; o centro da região Ak é

(12)

Lista de Tabelas

1.1 Sumário do algoritmo LMS aplicado à equaliza¸cão. . . 8

1.2 Sum´ario do CMA. . . 10

1.3 Sum´ario do MMA. . . 12

1.4 Sum´ario da combina¸c˜ao convexa de dois filtros LMS. . . 20

2.1 Sum´ario da combina¸c˜ao convexa do MMA com o LMS, considerando (2.10). . . . 28

3.1 Expressões anal´ıticas para o EMSE e EMSE cruzado em regime dos filtros MMA e LMS em um ambiente não-estacionário. . . 41

4.1 Cenários de simula¸cão e parâmetros dos algoritmos. . . 48

A.1 Sum´ario do SWA. . . 69

A.2 Sum´ario do DM-SWA. . . 70

A.3 Sum´ario do DM-LSWA. . . 72

B.1 Sum´ario do RMA. . . 75

(13)

Lista de Abreviaturas

A seguir são listadas as principais abrevia¸cões usadas na tese. No caso de siglas consagradas na literatura internacional, optou-se por manter as mesmas em inglês.

AWGN additive white Gaussian noise (ru´ıdo gaussiano branco e aditivo)

CMA constant-modulus algorithm (algoritmo do m´odulo constante)

DD decision-directed (decis˜ao direta)

DM-LSWA dual-mode lattice Shalvi-Weinstein algorithm (algoritmo de

Shalvi-Weinstein em treli¸ca com dois modos de opera¸c˜ao) DM-CMA dual-mode constant-modulus algorithm (algoritmo do m´odulo

constante com dois modos de opera¸c˜ao)

DM-SWA dual-mode Shalvi-Weinstein algorithm (algoritmo de Shalvi-Weinstein

com dois modos de opera¸c˜ao)

EMSE excess mean-square error (erro quadr´atico m´edio em excesso)

FIR finite Impulse Response (resposta ao impulso finita)

HOS high-order statistics (estat´ısticas de ordem superior)

iid independente e identicamente distribu´ıdo

ISI intersymbol interference (interferˆencia intersimb´olica)

LMS least mean squares

LTE linear transversal equalizer (equalizador linear transversal)

MMA multimodulus algorithm (algoritmo multim´odulo)

MSE mean-square error (erro quadr´atico m´edio)

NLMS normalized least mean squares

(14)

RDE radius-directed equalization (equaliza¸c˜ao guiada por raios)

RLS recursive least squares

RMA regional multimodulus algorithm (algoritmo multim´odulo regional)

SBD symbol-based decision (algoritmo de decis˜ao baseada nos s´ımbolos)

SER symbol error rate (taxa de erro de s´ımbolo)

SNR signal-to-noise ratio (raz˜ao sinal-ru´ıdo)

(15)

Lista de S´ımbolos

Nesta tese, matrizes são indicadas por letras maiúsculas em negrito, por exemplo, R. Vetores coluna são indicados usando-se letras minúsculas em negrito, por exemplo, w e u. Escalares são representados por letras minúsculas ou maiúsculas em itálico, por exemplo, M , Nh, µ e

y. A seguir, s˜ao listados os principais s´ımbolos utilizados.

S´ımbolos gerais

n instante de tempo ( · )T

transposi¸c˜ao de vetores ou matrizes ( · )∗

complexo conjugado

( · )H _{hermitiano (transposi¸c˜ao do complexo conjugado) de vetores ou matrizes}

E{ · } operador esperan¸ca matem´atica kxk norma euclidiana ou ℓ2 do vetor x

Tr( A ) tra¸co (soma dos elementos da diagonal principal) da matriz A (·)I parte imagin´aria

(·)R parte real

∇wJ vetor gradiente da fun¸c˜ao custo J

σ2

x variˆancia do sinal x

O(·) ordem do custo computacional de um algoritmo (opera¸c˜oes por itera¸c˜ao) a s´ımbolo transmitido

H(z) _{transformada z da sequˆencia {h}k}Nh −₁ k=0

fun¸cão de transferência do canal Nh número de coeficientes do canal

(16)

u sinal de entrada do equalizador ∆ atraso em n´umero de amostras ν ru´ıdo branco gaussiano

u vetor de entrada do equalizador w vetor de coeficientes do equalizador

vetor de coeficientes combinados M n´umero de coeficientes do equalizador y sinal de sa´ıda do equalizador

sinal de sa´ıda global da combina¸c˜ao convexa e erro de estima¸c˜ao de algoritmos supervisionados

erro global da combina¸c˜ao convexa T per´ıodo de transmiss˜ao dos s´ımbolos

H0(z) e H1(z) fun¸c˜ao de transferˆencia dos sub-canais (sobreamostragem)

u₀ e u1 vetores regressores de entrada dos sub-equalizadores (sobreamostragem)

β constante que distingue o caso complexo do real

Algoritmo LMS e solu¸

c˜

ao de Wiener

JMSE fun¸cão custo do erro quadrático médio

wWIE solu¸c˜ao de Wiener

R matriz de autocorrela¸c˜ao do sinal de entrada p∆ vetor de correla¸c˜ao cruzada

µ passo de adapta¸c˜ao do LMS

λmax maior autovalor da matriz de autocorrela¸c˜ao R

˜

µ passo de adapta¸c˜ao do NLMS

δ constante positiva pequena usada para evitar divis˜ao por zero no NLMS

Algoritmo do m´

odulo constante

JCM fun¸c˜ao custo do m´odulo constante

(17)

̺ passo de adapta¸c˜ao ε erro de estima¸c˜ao

Algoritmo multim´

odulo

JMM fun¸c˜ao custo multim´odulo

r constante de dispersão ρ passo de adapta¸cão c erro de estima¸cão

Combina¸

c˜

ao convexa

η parâmetro de mistura da combina¸cão y1 e y2 sa´ıdas dos filtros da combina¸cão

w1 e w2 vetores de coeficientes dos componentes da combina¸c˜ao

e1 e e2 erros de estima¸c˜ao de uma combina¸c˜ao de dois filtros LMS

c1 e e2 erros de estima¸c˜ao da combina¸c˜ao do MMA com o LMS

µ1 e µ2 passos de adapta¸c˜ao dos componentes de uma combina¸c˜ao de dois filtros LMS

ρ e µ passos de adapta¸cão dos componentes MMA e LMS ϕ[·] fun¸cão de ativa¸cão não-linear da combina¸cão convexa sgm[x] fun¸cão sigmoidal

α vari´avel auxiliar da combina¸c˜ao convexa ϕ′

[·] derivada de ϕ[·]

α+ _{valor m´aximo permitido para |α|}

µα passo de adapta¸c˜ao de α (MSE)

ρα passo de adapta¸c˜ao de α (MMA)

p estimativa da potˆencia de [y1− y2]

λp fator de esquecimento

sign[x] fun¸cão sinal dec[x] fun¸cão de decisão

(18)

An´

alise em regime

ea1e ea2 erros a priori dos filtros componentes da combina¸c˜ao

ea erro a priori da combina¸c˜ao

e

w1 ewe2 vetores de erro dos coeficientes dos filtros componentes

wo solu¸c˜ao ´otima

v ru´ıdo complexo iid

ζ1 e ζ2 EMSE em regime dos filtros componentes

ζ12 EMSE cruzado entre os filtros componentes

ζ EMSE da combina¸c˜ao

Chaveamento abrupto

ξ estimativa do erro quadrático médio de decisão λe fator de esquecimento

(19)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao e formula¸

c˜

ao do problema

Neste cap´ıtulo, aborda-se inicialmente o problema da equaliza¸cão adaptativa e em seguida, descreve-se a combina¸cão convexa de filtros adaptativos. Por fim, os objetivos, a justificativa, as contribui¸cões e a estrutura do trabalho são apresentados.

1.1 A equaliza¸

c˜

ao adaptativa

Em sistemas de comunica¸cão digital, os sinais portadores de informa¸cão, transmitidos entre locais remotos, são afetados por interferência intersimbólica (ISI - intersymbol interference) e ru´ıdo introduzidos por canais dispersivos. Exemplos de canais dispersivos incluem cabo coaxial, fibra óptica ou cabo de par tran¸cado em comunica¸cões com fio e a atmosfera ou o oceano em comunica¸cões sem fio [JOHNSON JR. et al., 1998]. Para remover os efeitos da distor¸cão do canal, é comum usar equalizadores adaptativos, que procuram recuperar a sequência de s´ımbolos transmitida, mitigando os efeitos da ISI [DING; LI, 2001; HAYKIN,

2002; JOHNSON JR. et al., 1998; QURESHI, 1985; TREICHLER; FIJALKOW; JR., 1996; SILVA, 2005].

Um sistema de comunica¸cão simplificado com um equalizador adaptativo é mostrado na Figura 1.1. A sequência transmitida a(n) é em geral não-gaussiana, independente e identi-camente distribu´ıda (iid). O sistema H(z) representa não só o canal f´ısico de transmissão, mas também o sistema de transmissão/modula¸cão e o sistema de recep¸cão/demodula¸cão, efetivamente presentes em qualquer sistema de comunica¸cão prático. Assim, denomina-se aqui como canal um modelo de tempo discreto para o sistema de transmissão, o canal f´ısico

(20)

e o sistema de recep¸cão. Em geral, as distor¸cões decorrentes do canal são bem modeladas por um filtro FIR (finite impulse response), cuja fun¸cão de transferência é dada por

H(z) = NXh−1 k=0 hkz −_k , (1.1)

sendo Nh o n´umero de coeficientes hk, k = 0, 1, 2, . . . , Nh− 1 da resposta impulsiva do canal.

Devido à memória de H(z), o sinal u(n) no receptor contém contribui¸cões não somente de a(n) mas também dos s´ımbolos anteriores a(n − 1), a(n − 2), . . . , a(n − Nh+ 1), ou seja,

u(n) = ∆−1 X k=0 hka(n − k) | {z } pr´e-ISI +h∆a(n − ∆) + NXh−1 k=∆+1 hka(n − k) | {z } p´os-ISI +ν(n). (1.2)

em que ∆ é o atraso da associa¸cão em série dos sistemas canal e equalizador e ν(n) é um ru´ıdo aditivo, assumido branco e gaussiano (AWGN - additive white Gaussian noise) com média nula e variância σ2

ν. O papel do equalizador ´e mitigar os dois somat´orios em (1.2),

mitigando dessa forma a ISI e encontrando uma aproxima¸c˜ao y(n) para a(n − ∆). Neste trabalho, vamos abordar apenas o equalizador linear transversal (LTE - linear transversal

equalizer ), cujos vetores de entrada e de coeficientes, ambos de dimens˜ao M , s˜ao dados

respectivamente por

u_{(n) = [ u(n) u(n − 1) · · · u(n − M + 1)]}T

(1.3)

e

w_{(n − 1) = [ w}₀_{(n − 1) w}₁_{(n − 1) · · · w}_{M −1}_{(n − 1) ]}T

, (1.4)

sendo que (·)T

indica transposi¸c˜ao. Usando esses vetores, a sa´ıda do equalizador ´e calculada como

y(n) = uT

(n)w(n − 1). (1.5)

O equalizador no esquema da Figura 1.1 funciona no chamado modo de treinamento, já que uma versão atrasada da sequência transmitida a(n − ∆) (sequência de treinamento) é conhecida previamente no receptor. Durante o modo de treinamento, o equalizador adapta seus coeficientes usando o erro de estima¸cão e(n) = a(n − ∆) − y(n) e um algoritmo adapta-tivo. Quando a informa¸cão é efetivamente transmitida, o receptor não terá acesso a a(n−∆).

(21)

equalizador adaptativo canal a(n − ∆) z−_∆ ν(n) e(n)

a(n) u(n) y(n)

H(z)

Figura 1.1: Sistema de comunica¸c˜ao simplificado com um equalizador adaptativo no modo de treinamento.

Nesse caso, como esquematizado na Figura 1.2, o sinal de treinamento a(n−∆) ´e substitu´ıdo por sua estimativa ˆ_{a(n − ∆) obtida na sa´ıda do decisor, o que caracteriza o chamado modo}

de decis˜ao direta (DD - decision-directed ). Cabe observar que o equalizador retorna ao

trei-namento sempre que houver inclusão de um novo elemento na rede, quando ocorrer falta de energia, ou quando varia¸cões do canal de comunica¸cão impuserem um novo ajuste aos coeficientes do filtro utilizado. Esse mecanismo implica paradas previstas e não previstas e, principalmente, perda de banda dispon´ıvel, já que parte da banda deve ser alocada para a transmissão da sequência de treinamento [MENDES FILHO, 2011].

equalizador adaptativo decisor ˆ a(n − ∆) e(n) u(n) y(n)

Figura 1.2: Equalizador adaptativo no modo de decis˜ao direta.

A fim de usar a banda do canal de comunica¸cão de forma mais eficiente, em vez de transmitir uma sequência previamente conhecida no receptor, estat´ısticas de ordem superior a dois (HOS - high-order statistics) do sinal transmitido podem ser utilizadas para se calcular o erro de estima¸cão e(n) no modo de treinamento [DING; LI, 2001; JOHNSON JR. et al., 1998;

HAYKIN, 2002]. Em outras palavras, o equalizador “conhece” as estat´ısticas do sinal que se pretende transmitir e então ajusta permanentemente os coeficientes com base em um algoritmo que avalia o quão distante estão as estat´ısticas do sinal de sa´ıda do equalizador

(22)

das do sinal transmitido [BENVENISTE; GOURSAT; RUGET, 1980]. Essa solu¸c˜ao ´e conhecida

como equaliza¸cão autodidata, cega ou não-supervisionada (blind equalization), cujo esquema está mostrado na Figura 1.3.

filtro adaptativo algoritmo autodidata HOS de a(n) canal ν(n) e(n)

a(n) u(n) y(n)

H(z)

Figura 1.3: Sistema de comunica¸c˜ao simplificado com um equalizador autodidata.

´

E comum realizar o processamento dos sinais no receptor com uma taxa maior que a de transmiss˜ao dos s´ımbolos, usando uma t´ecnica conhecida como sobreamostragem, descrita brevemente a seguir.

1.1.1 Sobreamostragem

O equalizador pode realizar o processamento dos sinais na taxa de s´ımbolos (1/T ) ou com sobreamostragem. Neste caso, o equalizador trabalha numa taxa maior que a dos s´ımbolos, sendo comum se considerar o dobro dessa taxa, i.e., 2/T . Os equalizadores fracionários ou sobreamostrados são amplamente considerados na literatura já que possibilitam a equaliza¸cão perfeita sob certas condi¸cões bem conhecidas, entre elas a ausência de ru´ıdo [TREICHLER; FIJALKOW; JR., 1996;DING; LI, 2001; MAI; SAYED, 2000; SILVA, 2005].

Quando o receptor é implementado para funcionar com o dobro da taxa de s´ımbolos, as amostras do modelo de tempo discreto do canal correspondem à uma amostragem do modelo de tempo cont´ınuo com essa taxa maior. Dessa forma, o modelo equivalente de tempo discreto do sistema de comunica¸cão com um equalizador fracionário com taxa 2/T é composto por dois sub-canais e dois sub-equalizadores em paralelo, como mostrado na Figura 1.4, considerando a adapta¸cão autodidata.

(23)

w₀_{(n − 1)} w1(n − 1) algoritmo autodidata HOS de a(n) ν0(n) ν1(n) e(n) a(n) u0(n) u1(n) y(n) H0(z) H1(z)

Figura 1.4: Sistema de comunica¸c˜ao simplificado com um equalizador autodidata sobreamostrado.

Se a resposta impulsiva do canal tiver 2Nh coeficientes, obtidos da amostragem com o

dobro da taxa de s´ımbolos, i.e,

H(z) = h0+ h1z −₁ + h2z −₂ + · · · + h2Nh−2z −_(2N_h−₂₎ + h2Nh−1z −_(2N_h−₁₎ , (1.6)

as respostas impulsivas dos sub-canais ser˜ao dadas por

H0(z) = h0+ h2z −₁ + h4z −₂ + · · · + h2Nh−4z −_(N_h−₂₎ + h2Nh−2z −_(N_h−₁₎ (1.7) e H1(z) = h1+ h3z −₁ + h5z −₂ + · · · + h2Nh−3z −_(N_h−₂₎ + h2Nh−1z −_(N_h−₁₎ . (1.8)

Considerando que cada sub-equalizador tenha M/2 coeficientes (com M par), os vetores regressores de entrada ser˜ao

u0(n) = [ u0(n) u0(n − 1) · · · u0(n − M/2 + 1)]T (1.9)

e

u1(n) = [ u1(n) u1(n − 1) · · · u1(n − M/2 + 1)]T. (1.10)

Por fim, concatenado esses dois vetores no vetor u(n), ou seja,

u(n) = [ uT 0(n) u T 1(n) ] T , (1.11)

(24)

a sa´ıda do equalizador pode ser calculada como y(n) = uT

(n)w(n − 1), sendo w o vetor correspondente `a concatena¸c˜ao dos coeficientes dos dois sub-equalizadores.

Dessa forma, a adapta¸cão dos dois sub-equalizadores em paralelo pode ser realizada considerando um único vetor de coeficientes w com dimensão M . Assim, para adapta¸cão de um equalizador fracionário, a única coisa que deve ser alterada nos algoritmos de equaliza¸cão descritos a seguir é o vetor de entrada do equalizador, que deve ser como (1.11) [SILVA, 2005].

1.1.2 Algoritmos para adapta¸

c˜

ao dos coeficientes do equalizador

Nesta se¸cão, são descritos brevemente alguns algoritmos adaptativos de equaliza¸cão supervi-sionada e autodidata para atualiza¸cão do vetor w(n−1). Inicialmente, revisita-se o algoritmo LMS (least mean squares) usado em equaliza¸cão supervisionada e em seguida são descritos o algoritmo do módulo constante (CMA - constant modulus algorithm) e o algoritmo mul-timódulo (MMA - multimodulus algorithm) usados em equaliza¸cão autodidata.

O algoritmo LMS

Algoritmos do gradiente estocástico buscam minimizar o erro quadrático médio (MSE), definido como

JMSE(n), E{|e(n)|

2

},

em que E{·} representa o operador esperan¸ca matemática e e(n) = a(n − ∆) − y(n). O MSE é uma fun¸cão custo convexa, cujo m´ınimo depende do atraso ∆ e é dado pela solu¸cão de Wiener wWIE = R −₁ p_∆, em que R = E{u∗ (n)uT

(n)} ´e a matriz de autocorrela¸c˜ao do sinal de entrada, p∆ =

E{u∗

(n)a(n − ∆)} ´e o vetor de correla¸c˜ao cruzada entre o vetor regressor de entrada e o sinal transmitido e (·)∗

representa o complexo conjugado [FARHANG-BOROUJENY, 1998; HAYKIN, 2002; SAYED, 2008; NASCIMENTO; SILVA, 2013].

A solu¸c˜ao de Wiener pode ser encontrada pelo algoritmo do gradiente exato (steepest

(25)

oposta ao gradiente de JMSE(n), i.e.,

w_{(n) = w(n − 1) + µ [p}∆− Rw(n − 1)] ,

em que µ é um passo de adapta¸cão e w(−1) é um chute inicial para o m´ınimo de JMSE(n).

A menos que algum conhecimento prévio esteja dispon´ıvel, w(−1) é usualmente feito igual ao vetor nulo, i.e., w(−1) = 0. Com uma escolha adequada para µ, este algoritmo atinge exatamente a solu¸cão de Wiener. No entanto, o gradiente exato requer um conhecimento prévio de R e p∆, o que não é fact´ıvel para equaliza¸cão. É importante observar que em muitas

situa¸cões práticas, o canal varia no tempo, u(n) é não-estacionário e consequentemente, R e p∆ não podem ser estimados em cada instante de tempo.

Para solucionar esse problema, o algoritmo LMS foi proposto. Em vez de usar o gradiente exato, o LMS usa uma aproxima¸c˜ao instantˆanea, i.e.,

∇wJMSE(n) ≈ −2a(n − ∆)u

∗

(n) + 2u∗

(n)uT

(n)w(n − 1) = −2e(n)u∗

(n), (1.12)

o que leva à seguinte equa¸cão de atualiza¸cão:

w_{(n) = w(n − 1) + µe(n)u}∗(n), (1.13)

com w(−1) = 0 e µ sendo o passo de adapta¸cão. As opera¸cões do algoritmo LMS estão mostradas na Tabela 1.1. O LMS é o filtro adaptativo mais popular devido ao seu baixo custo computacional [O(M)], robustez, facilidade de implementa¸cão e muitos resultados anal´ıticos. A partir de uma análise de segunda ordem, é poss´ıvel mostrar que ele converge na média quadrática para a solu¸cão de Wiener se [FARHANG-BOROUJENY, 1998;NASCIMENTO; SILVA,

2013] 0 < µ < 2 βλmax < 2 βM σ2 u , (1.14)

sendo β = 2 (resp., β = 3) para sinais complexos (resp., reais), λmax o maior autovalor de R

e σ2

u a variˆancia do sinal de entrada u(n).

Devido à aproxima¸cão (1.12), o algoritmo LMS varia em torno da solu¸cão de Wiener, não a atingindo exatamente. A distância entre o valor m´ınimo de JMSE(n) e a potência de erro

obtida efetivamente com o LMS é chamada de erro quadrático médio em excesso (EMSE

-excess mean-square error ) e a raz˜ao entre o EMSE e o valor m´ınimo de JMSE(n) ´e conhecida

(26)

Tabela 1.1: Sumário do algoritmo LMS aplicado à equaliza¸cão. Inicializa¸cão: w_{(−1) = 0} Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule y(n) = uT (n)w(n − 1) e(n) = a(n − ∆) − y(n) w_{(n) = w(n − 1) + µe(n)u}∗

(n) Fim

comporta aproximadamente igual ao algoritmo do gradiente exato. Entretanto, um passo de adapta¸cão pequeno também significa convergência lenta. Esse compromisso existe para todos os algoritmos adaptativos e tem sido assunto de intensa pesquisa nas últimas décadas: muitos algoritmos tem sido propostos para permitir uma convergência mais rápida sem aumentar o desajuste.

Diante disso, um problema do algoritmo LMS é a escolha do passo de adapta¸cão. Quão grande deve ser o passo para possibilitar uma convergência rápida, proporcionar um desajuste aceitável e ainda assegurar a estabilidade? Uma poss´ıvel solu¸cão para esse problema é obtida com o algoritmo LMS normalizado (NLMS - normalized least-mean squares), que usa um passo de adapta¸cão variante no tempo, ou seja,

µ(n) = µ˜

δ + ku(n)k2, com 0 < ˜µ < 2, (1.15)

sendo que δ é uma constante positiva usada para evitar divisão por zero e k · k representa a norma euclidiana. Assim, a equa¸cão de atualiza¸cão do NLMS é dada por

w_{(n) = w(n − 1) +} µ˜

δ + ku(n)k2e(n)u ∗

(n). (1.16)

O passo de adapta¸cão de (1.15) depende inversamente da potência instantânea do vetor de entrada u(n), o que possibilita o NLMS acompanhar melhor varia¸cões na estat´ıstica do sinal. Outros algoritmos que merecem destaque são os da fam´ılia RLS (recursive least-squares). Embora o algoritmo RLS convencional tenha um custo computacional elevado [O(M2_{)], ele}

(27)

NLMS para um mesmo valor de desajuste. É bem conhecido na literatura que o compro-misso entre velocidade de convergência e custo computacional tende a ser menos cr´ıtico para versões rápidas do RLS, i.e., versões que apresentam um custo computacional que crescem linearmente com o comprimento do filtro [O(M)] [HAYKIN, 2002]. Entre os membros da

fam´ılia dos algoritmos RLS r´apidos, merece destaque o algoritmo EF-LSL (error feedback

least-squares lattice) modificado [MIRANDA; GERKEN; SILVA, 1999], que é numericamente bem comportado em precisão finita, embora nenhuma prova de sua estabilidade numérica seja conhecida.

A literatura de filtros adaptativos é vasta e esse assunto ainda desperta interesse na comunidade cient´ıfica, sendo uma área de intensa pesquisa. Há vários livros sobre esse assunto, sendo [HAYKIN, 2002; SAYED, 2003, 2008; DINIZ, 2008; FARHANG-BOROUJENY, 1998;APOLIN ÁRIO JR. (Ed.), 2009] os de maior destaque. Cabe mencionar também o cap´ıtulo [NASCIMENTO; SILVA, 2013], que abrange os fundamentos de filtragem adaptativa e aborda

diversos t´opicos sobre a pesquisa atual na ´area.

O algoritmo do m´odulo constante

O CMA foi proposto independentemente em [GODARD, 1980] e [TREICHLER; AGEE, 1983] e busca minimizar a fun¸c˜ao custo do m´odulo constante definida como

JCM(n) = E

n

κ − |y(n)|22o, (1.17)

sendo κ = E{|a(n)|4_}/E{|a(n)|2_{} uma constante de dispersão, que contém informa¸cão}

so-bre as estat´ısticas de ordem superior do sinal transmitido a(n) e y(n) = uT

(n)w(n − 1) é a sa´ıda do equalizador. Essa fun¸cão penaliza desvios no módulo do sinal equalizado que ficam distantes da constante de dispersão κ. Diferente da fun¸cão custo do erro quadrático médio usada em filtragem adaptativa supervisionada, JCM(n) não é convexa em rela¸cão aos

coeficientes do equalizador. Em outras palavras, ela apresenta m´ınimos locais e algoritmos baseados no módulo constante podem ficar parados nessas solu¸cões sub-ótimas.

O CMA é obtido a partir de uma aproxima¸cão instantânea para o vetor gradiente de JCM(n) em rela¸cão a w. Dessa forma, definindo o “erro” de estima¸cão

(28)

a equa¸c˜ao de atualiza¸c˜ao do CMA pode ser escrita como

w_{(n) = w(n − 1) + ̺ε(n)u}∗(n), (1.19) sendo ̺ um passo de adapta¸cão. Diferente dos algoritmos de equaliza¸cão supervisionada, o vetor de coeficientes do CMA não pode ser inicializado com o vetor nulo pois nesse caso w(n) = 0 para todo n. Por isso, é comum inicializá-lo com o vetor “pino” [DING; LI, 2001], ou seja,

w_{(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]}T

. (1.20)

As opera¸c˜oes do CMA est˜ao mostradas na Tabela 1.2.

Tabela 1.2: Sum´ario do CMA.

Inicializa¸c˜ao: w_{(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]}T κ = E{|a(n)|4_}/E{|a(n)|2_} Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule y(n) = uT (n)w(n − 1) ε(n) = [κ − |y(n)|2_]y(n) w_{(n) = w(n − 1) + ̺ε(n)u}∗ (n) Fim

Como o CMA é um algoritmo do gradiente estocástico, a similaridade de (1.19) com a equa¸cão de adapta¸cão do LMS [Eq. (1.13)] não é surpreendente. Por isso, o CMA é interpre-tado como a versão autodidata do algoritmo LMS [PAPADIAS; SLOCK, 1997]. Dessa forma, como no caso do LMS, o custo computacional aumenta linearmente com o comprimento do filtro, i.e., O(M), e passos de adapta¸cão pequenos levam a um desajuste pequeno e a uma convergência lenta. Entretanto, a similaridade com o LMS para por a´ı. A multimodalidade de JCM(n) torna dif´ıcil a análise do comportamento do CMA. Por exemplo, a análise de

esta-bilidade que permite obter o intervalo do passo de adapta¸cão do CMA depende de inúmeras hipóteses simplificadoras não muito realistas, como a inicializa¸cão próxima da solu¸cão ótima [NASCIMENTO; SILVA, 2008].

´

E importante observar que o CMA apresenta algumas desvantagens como a impossibili-dade de resolver as ambiguiimpossibili-dades de fase introduzidas pelo canal de comunica¸c˜ao, a poss´ıvel

(29)

convergência para m´ınimos locais indesejáveis e problemas de instabilidade [JOHNSON JR. et al., 1998; SILVA, 2005; MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a]. Além disso, o melhor desempenho do CMA ocorre para sinais de módulo constante, já que o fato de√κ não coin-cidir com o módulo dos s´ımbolos da constela¸cão gera um erro quadrático médio em regime não nulo. Na verdade, os algoritmos baseados no módulo constante só podem alcan¸car um erro quadrático médio em regime nulo para sinais de módulo constante em um ambiente estacionário, livre de ru´ıdo e se for adotada a sobreamostragem [MAI; SAYED, 2000; SILVA; MIRANDA, 2004;NASCIMENTO; SILVA, 2008]. Por isso, esses algoritmos apresentam um desa-juste relativamente grande, quando usados para recuperar sinais de módulo não-constante, como é o caso de sinais com modula¸cão QAM (quadrature amplitude modulation) de ordem elevada (e.g., 1024-QAM) [MENDES FILHO, 2011].

A questão da instabilidade do CMA foi abordada em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a], onde foi proposto um mecanismo para evitar a divergência em uma versão nor-malizada do algoritmo. O algoritmo proposto em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a], denominado dual-mode-CMA (DM-CMA), trabalha com dois modos de opera¸cão. No pri-meiro modo, ele funciona como o CMA normalizado e no segundo, rejeita estimativas não-consistentes do sinal transmitido. Uma análise estat´ıstica desse algoritmo foi feita posteri-ormente em [CANDIDO et al., 2010].

O algoritmo multim´odulo

Para mitigar o problema da ambiguidade de fase do CMA, o MMA foi proposto em [ WE-SOLOWSKI, 1992; OH; CHIN, 1995] e depois analisado em [YANG; WERNER; DUMONT, 2002].

O MMA é obtido a partir da minimiza¸cão estocástica da dispersão das componentes real e imaginária da sa´ıda do equalizador de forma separada, ou seja,

JMM(n) = E n r − y2R(n) 2o + En_{r − y}I2(n) 2o , (1.21) sendo y(n) = uT

(n)w(n − 1) = yR(n) + jyI(n) e yR(n) e yI(n) as partes real e imagin´aria de

y(n), respectivamente. A constante de dispersão também é calculada usando separadamente as partes real [aR(n)] e imaginária [aI(n)] do sinal transmitido a(n) = aR(n) + jaI(n), i.e.,

r = E{a 4 R(n)} E{a2 R(n)} = E{a 4 I(n)} E{a2 I(n)} (1.22)

(30)

para constela¸cões simétricas com s´ımbolos iid. O “erro” de estima¸cão do MMA é dado por

c(n) = cR(n) + jcI(n) = [r − y

2

R(n)]yR(n) + j[r − y

2

I(n)]yI(n). (1.23)

Usando essa defini¸cão em (1.19) em vez de ε(n), temos a equa¸cão de atualiza¸cão do algoritmo, isto é,

w_{(n) = w(n − 1) + ρc(n)u}∗(n), (1.24) sendo que ρ é o passo de adapta¸cão e w(n) o vetor de coeficientes que deve ser inicializado como (1.20). Cabe observar que para sinais reais r = κ, c(n) = ε(n) e o MMA coincide com o CMA. As opera¸cões do MMA estão mostradas na Tabela 1.3.

Tabela 1.3: Sum´ario do MMA.

Inicializa¸c˜ao: w_{(−1) = [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]}T r = E{a4 R(n)}/E{a 2 R(n)} Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule y(n) = uT (n)w(n − 1) cR(n) = [r − yR2(n)]yR(n) cI(n) = [r − y2I(n)]yI(n) c(n) = cR(n) + jcI(n) w_{(n) = w(n − 1) + ρc(n)u}∗ (n) Fim

Embora o MMA apresente uma melhor convergência que o CMA para sinais de módulo não-constante, ele ainda pode ocasionar rota¸cões de fase múltiplas de π/2 como comentado em [GARTH; YANG; WERNER, 2001]. Isso foi confirmado teoricamente em [YUAN; TSAI, 2005], que mostra que a fun¸cão custo do MMA apresenta pontos estacionários adicionais relacio-nados a rota¸cões de fase múltiplas de π/2 e próximos a esses pontos, ele apresenta uma convergência lenta antes de convergir para o m´ınimo desejado. Entretanto essa convergência ruim ocorre muito raramente em situa¸cões práticas. Ocasionalmente, o MMA também pode convergir para algumas solu¸cões indesejadas causadas por rota¸cões múltiplas de π/4 [YANG;

(31)

WERNER; DUMONT, 2002]. Porém, essas solu¸cões podem ser evitadas através de diferentes

técnicas, como mencionado em [YANG; WERNER; DUMONT, 2002, Se¸cão VIII]. Outros algoritmos de equaliza¸cão autodidata

Com o objetivo de melhorar o desempenho do CMA e MMA, diferentes algoritmos de equa-liza¸c˜ao autodidata tem sido propostos na literatura (veja, e.g., [DING; LI, 2001; SHALVI; WEINSTEIN, 1993; SILVA; GERKEN; MIRANDA, 2002, 2004; SILVA; MIRANDA; SOARES, 2005;

SILVA, 2005;MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b;MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c]

e suas referências). Dentre esses algoritmos, destaca-se o algoritmo de Shavi-Weinstein (SWA) proposto em [SHALVI; WEINSTEIN, 1993]. Em geral, o SWA converge mais rápido que o CMA e o MMA para um mesmo valor de EMSE em regime, às custas de um custo computacional maior [O(M2_{)]. Porém, um dos principais problemas do SWA convencional é}

que uma escolha inadequada do fator de esquecimento, uma inicializa¸cão distante da solu¸cão ótima e/ou uma razão sinal-ru´ıdo baixa podem levá-lo à divergência (i.e., a norma do vetor de coeficientes vai para infinito) ou à convergência para m´ınimos locais indesejáveis. Como no RLS convencional, o SWA também pode divergir devido à problemas numéricos no cálculo da estimativa da matriz de autocorrela¸cão inversa.

A questão da divergência do SWA foi abordada em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008b], onde foi proposta uma versão do algoritmo com dois modos de opera¸cão, denominada

dual-mode-SWA (DM-SWA). No primeiro modo, ele funciona como o SWA convencional e

no segundo, rejeita estimativas não-consistentes do sinal transmitido. Para evitar a causa de divergência devido à perda de positividade da estimativa da matriz de autocorrela¸cão, foi proposto um SWA em treli¸ca com dois modos de opera¸cão (DM-LSWA - dual-mode lattice

Shalvi-Weinstein algorithm), que é estável mesmo em aritmética de precisão finita e tem

um custo computacional relativamente baixo [O(M)]. Detalhes sobre essas vers˜oes do SWA podem ser encontrados no Apˆendice A.

Tamb´em merece destaque o algoritmo multim´odulo regional (RMA - regional

multimodu-lus algorithm) proposto em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012c] para equaliza¸cão de sinais QAM. Esse algoritmo foi obtido a partir de uma modifica¸cão na fun¸cão de erro do MMA, que faz com seu erro de estima¸cão seja igual a zero nas coordenadas dos s´ımbolos da constela¸cão. Dessa forma, o RMA pode ter um desempenho similar ao de

(32)

um algoritmo de equaliza¸cão supervisionada como o NLMS, mesmo quando são transmiti-dos sinais QAM de ordem elevada. Um outro algoritmo com caracter´ısticas similares foi proposto em [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012b] e denominado algoritmo de decisão baseada nos s´ımbolos (SBD - symbol-based decision). Esses algoritmos são revisitados no Apêndice B.

1.1.3 Transi¸

c˜

ao para o modo de decis˜

ao direta

Para finalizar esta se¸cão, é importante salientar que a transi¸cão entre os modos de treina-mento supervisionado ou cego e o modo de decisão direta depende em geral de um limiar de erro quadrático médio (MSE - mean-square error ) atingido pelo algoritmo adaptativo. Um bom desempenho global do equalizador depende da sele¸cão de um limiar de MSE adequado. No entanto, essa não é uma tarefa simples, já que depende fortemente de vários fatores como constela¸cão do sinal transmitido, canal de comunica¸cão, razão sinal-ru´ıdo (SNR -

signal-to-noise ratio), entre outros [JOHNSON JR. et al., 2000]. Uma sele¸cão inadequada do n´ıvel de MSE para o chaveamento tem um impacto significativo no desempenho da equaliza¸cão já que um valor de MSE muito elevado leva a uma convergência ruim ou à não-convergência para o algoritmo de decisão direta [MAZO, 1980;MACCHI; EWEDA, 1984]. Em contrapartida, um va-lor muito pequeno pode resultar em um atraso muito grande ou até em falha no chaveamento entre os modos. Para evitar a necessidade de se selecionar um limiar de MSE para o chave-amento abrupto (hard switching) entre os modos cego e de decisão direta, vários esquemas de chaveamento suave foram propostos na literatura (veja e.g [PICCHI; PRATI, 1987; WEE-RACKODY; KASSAM, 1994; CASTRO; CASTRO; ARANTES, 2001; CHEN, 2003]). Além disso, algoritmos de equaliza¸cão autodidata com bom desempenho no transitório e em regime tem sido propostos a fim de evitar o mecanismo de chaveamento para o modo DD (veja, e.g, [MENDES FILHO, 2011; MENDES FILHO; MIRANDA; SILVA, 2012b, 2012c] e suas referências). Entretanto, esses esquemas são tipicamente dif´ıceis de ajustar e o desempenho alcan¸cado ainda é muito dependente do ambiente particular em que são aplicados.

A seguir, revisita-se a combina¸cão convexa de algoritmos adaptativos, que será utilizada nos cap´ıtulos seguintes para propor um esquema que permite um chaveamento automático entre os modos cego e de decisão direta.

(33)

1.2 A combina¸

c˜

ao convexa de algoritmos adaptativos

A combina¸cão convexa de dois ou mais filtros operando em paralelo foi proposta para melho-rar o desempenho de filtros adaptativos [MARTÍNEZ-RAM ÓN et al., 2002; ARENAS-GARCÍA, 2004; ARENAS-GARCÍA; G ÓMEZ-VERDEJO; FIGUEIRAS-VIDAL, 2005; ARENAS-GARCÍA; FI-GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006; ARENAS-GARCÍA et al., 2006; AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCÍA, 2008; SILVA; NASCIMENTO, 2008a; ARENAS-GARCÍA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2009; L ÁZARO-GREDILLA et al., 2010]. Esse método é relativamente simples e pro-porciona um desempenho global melhor ou igual ao de cada filtro individual operando in-dependentemente. Essa ideia tem gerado interesse, pois uma dificuldade no projeto de filtros adaptativos é escolher da melhor forma os parâmetros fixos do filtro, como o passo de adapta¸cão para algoritmos do tipo LMS ou o fator de esquecimento para algoritmos do tipo RLS. Cabe destacar que há diversos artigos que propõem o uso de algoritmos com passo variável [KWONG; JOHNSTON, 1992; ABOULNASR; MAYYAS, 1997; BILCU; KUOSMANEN; EGI-AZARIAN, 2002; NELATURY; RAO, 2002], mas o desempenho deles é pior do que o de um algoritmo com parâmetro fixo escolhido de maneira ótima, principalmente quando os sinais são estacionários. Como o desempenho de combina¸cões de filtros nunca é pior do que o de cada filtro individual, essa solu¸cão é mais interessante do que as que utilizam parâmetros variáveis em muitas situa¸cões práticas.

A ideia de se combinar as sa´ıdas de vários filtros adaptativos independentes para se obter um melhor desempenho do que o de cada filtro individual não é nova. Ela foi proposta inicialmente em [ANDERSSON, 1985] e posteriormente melhorada em [NIED´ZWIECKI, 1990, 1992]. Ideias similares também têm sido usadas na literatura de teoria da informa¸cão (veja, e.g., [KOZAT; SINGER; ZEITLER, 2007]). No entanto, o método de [ARENAS-GARCÍA; FIGUEI-RAS-VIDAL; SAYED, 2006] tem recebido mais aten¸cão devido à sua relativa simplicidade e à prova de que a combina¸cão é universal, i.e., considerando entradas estacionárias, a estimativa combinada é pelo menos tão boa quanto à do melhor filtro componente em regime.

A combina¸cão convexa de dois filtros adaptativos está esquematizada na Figura 1.5, onde se considera a filtragem supervisionada que pode ser usada para diferentes aplica¸cões, como identifica¸cão de sistemas, equaliza¸cão adaptativa, cancelamento de eco ou ru´ıdo etc. [HAYKIN, 2002; SAYED, 2003]. O sinal de sa´ıda global y(n) é obtido a partir da combina¸cão

(34)

linear das sa´ıdas y1(n) e y2(n) dos filtros individuais, ou seja,

y(n) = η(n)y1(n) + [1 − η(n)]y2(n), (1.25)

sendo η(n) o parˆametro de mistura. Os vetores de coeficientes de cada filtro w1(n − 1) e

w2(n − 1) s˜ao adaptados com seus respectivos erros

e1(n) = d(n) − y1(n) (1.26)

e

e2(n) = d(n) − y2(n), (1.27)

sendo d(n) a resposta desejada, que no caso da equaliza¸c˜ao supervisionada corresponde ao s´ımbolo a(n − ∆). u(n) d(n) e(n) e1(n) e2(n) y1(n) y2(n) y(n) η(n) 1 − η(n) w1(n − 1) w2(n − 1) w_{(n − 1)}

Figura 1.5: Combina¸c˜ao convexa de dois filtros adaptativos transversais para filtragem supervisionada.

Na mistura de dois algoritmos do tipo LMS com passos de adapta¸c˜ao µ1 e µ2, sendo

µ1 > µ2, a combina¸cão convexa tem uma interpreta¸cão intuitiva. No in´ıcio da convergência,

η(n) → 1 e a combina¸c˜ao se aproxima do filtro µ1-LMS, que converge mais rapidamente.

Em regime, η(n) → 0 e a combina¸c˜ao se aproxima do filtro µ2-LMS, que por ser mais lento,

(35)

em que 0 < η(n) < 1 e nesses casos, a combina¸cão pode apresentar um desempenho melhor do que o de cada um dos filtros quando considerados separadamente [ARENAS-GARCÍA; FI-GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. Esse comportamento pode ser observado nos resultados de simula¸cão mostrados na Figura 1.6, em que a combina¸cão convexa de dois filtros LMS com diferentes passos de adapta¸cão (µ1 = 0, 1 and µ2 = 0, 01) foi usada para identificar o sistema

h

0, 9003 −0,5377 0,2137 −0,0280 0,7826 0,5242 −0,0871 i

.

O regressor u(n) é obtido de um processo x(n), gerado com um modelo autoregressivo de primeira ordem, cuja fun¸cão de transferência é dada por √_{1 − b}2_{/(1 − bz}−₁

). Esse modelo é alimentado com um processo gaussiano iid, cuja variância é escolhida para que o tra¸co da matriz de autocorrela¸cão R seja igual a um. Além disso, um ru´ıdo aditivo iid v(n) com variância σ2

v = 0, 01 ´e adicionado para se obter o sinal desejado. Na Figura 1.6-(a), s˜ao

mostradas curvas de EMSE, estimadas a partir de uma média de conjunto de 500 realiza¸cões e filtradas por um filtro de média móvel com 128 coeficientes para facilitar a visualiza¸cão. Na Figura 1.6-(b), é mostrada a média do parâmetro de mistura ao longo do tempo. Pode-se observar que η(n) → 1 durante o in´ıcio da convergência e em regime, η(n) → 0.

Na combina¸cão convexa, o parâmetro de mistura η(n) fica restrito ao intervalo [ 0, 1 ] e por isso é modificado através de uma variável auxiliar α(n) que está relacionada com η(n) através da seguinte fun¸cão

η(n) = ϕ[α(n − 1)] = sgm[α(n − 1)] − sgm[−α +_] sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] , (1.28) sendo sgm[x] = 1 1 + e−_x (1.29)

a fun¸cão sigmoidal e α+ _{o máximo valor que |α(n)| pode assumir. A fun¸cão de ativa¸cão ϕ[·]}

foi proposta em [L ÁZARO-GREDILLA et al., 2010] e é uma versão deslocada e escalonada da fun¸cão sigmoidal. ´_{E importante notar que η(n) atinge os valores 1 e 0 para α(n − 1) = α}+

e α(n − 1) = −α+_{, respectivamente.}

Calculando a derivada do MSE global da combina¸c˜ao

JMSE(n) = E{|e(n)|

2

(36)

combina¸c˜ao µ2-LMS µ1-LMS E M S E (d B ) (a) 0 0 1 2 3 −10 −20 −30 −40 −50 E { η (n )} (b) 0 0 1 1 0, 5 ×104 2 3 Itera¸c˜oes

Figura 1.6: (a) EMSE para µ1-LMS, µ2-LMS, e sua combina¸c˜ao convexa; (b) m´edia de conjunto

de η(n); µ1 = 0, 1, µ2 = 0, 01, µα = 100 (adapta¸cão não-normalizada), α+ = 4, b = 0, 8; média de

500 realiza¸c˜oes.

com rela¸cão à α(n) e aproximando as esperan¸cas por seus valores instantâneos, obtém-se a seguinte regra para adaptar α(n):

α(n) = α(n − 1) + ˜µα(n) Re{[d(n) − y(n)][y1(n) − y2(n)] ∗ }ϕ′[α(n − 1)], (1.30) sendo ϕ′ [α(n − 1)] = dη(n) dα(n − 1) = sgm[α(n − 1)]{1 − sgm[α(n − 1)]} sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] (1.31)

e ˜µα(n) um passo de adapta¸cão. Na prática, α(n) fica restrita por satura¸cão ao intervalo

sim´etrico [−α+_{, α}+_{], j´a que o fator ϕ}′

[α(n − 1)] em (1.30) pararia a adapta¸cão se |α(n)| crescesse muito. Uma escolha comum na literatura é α+ _{= 4 [}_{ARENAS-GARCÍA;}

FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006; AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCÍA, 2008; L ´ AZARO-GREDILLA et al., 2010]. Quando se trata da combina¸cão convexa de dois algoritmos com passos de adapta¸cão diferentes, por exemplo, combina¸cão do µ1-LMS com o µ2-LMS, em

(37)

um comportamento semelhante ao do filtro rápido no in´ıcio da convergência. Entretanto, o desempenho da combina¸cão não é afetado significativamente se α(−1) for feito igual a um valor no intervalo [ −α+_{, α}+_{], já que λ(n) converge rapidamente para próximo de 1 quando}

o filtro µ2-LMS ainda não convergiu. Isso também ocorre quando há mudan¸cas abruptas no

canal de comunica¸c˜ao, por exemplo.

Embora seja poss´ıvel usar um valor constante para ˜µα(n), um comportamento melhor

pode ser obtido com uma regra normalizada. Reinterpretando a combina¸c˜ao como um filtro adaptativo de “segunda camada” [AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARC´IA, 2008] e notando que [y1(n) − y2(n)] faz o papel de sinal de entrada para essa segunda

camada, pode-se considerar

˜

µα(n) =

µα

p(n) (1.32)

sendo p(n) uma estimativa da potˆencia de [y1(n)−y2(n)], i.e,

p(n) = λpp(n − 1) + (1 − λp)|y1(n) − y2(n)|2 (1.33)

com p(−1) = 1. A regra normalizada é mais fácil de ajustar do que a não-normalizada, como observado em [AZPICUETA-RUIZ; FIGUEIRAS-VIDAL; ARENAS-GARCÍA, 2008;CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010]. Além disso, a sele¸cão do fator de esquecimento λp não é cr´ıtica

para um bom desempenho da combina¸c˜ao, sendo λp = 0, 9 uma escolha comum na literatura.

As opera¸cões da combina¸cão convexa de dois algoritmos LMS com passos de adapta¸cão diferentes e adapta¸cão normalizada estão mostradas na Tabela 1.4, em que

sign[x] =    −1, x < 0 1, x ≥ 0.

Cabe observar que em uma implementa¸cão prática, a fun¸cão ϕ[·] pode ser calculada com o aux´ılio de uma tabela (lookup table). Além disso, no caso de equaliza¸cão, não é necessário calcular o vetor de coeficientes da combina¸cão, ou seja,

w(n) = η(n + 1)w1(n) + [1 − η(n + 1)]w2(n), (1.34)

já que para essa aplica¸cão, o interesse está na estimativa obtida com a sa´ıda global combi-nada, i.e., y(n).

Os benef´ıcios de se utilizar a fun¸cão ϕ[·] para o cálculo de η(n) são dois. Primeiramente, ela serve para manter o parâmetro de mistura η(n) no intervalo [ 0, 1 ]. Em segundo lugar,

(38)

Tabela 1.4: Sumário da combina¸cão convexa de dois filtros LMS. Inicializa¸cão: w1(−1) = 0, w2(−1) = 0, α(−1) = α+, p(−1) = 1 Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule η(n) = ϕ[α(n − 1)] = sgm[α(n − 1)] − sgm[−α +_] sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] y1(n) = uT(n)w1(n − 1) y2(n) = uT(n)w2(n − 1)

y(n) = η(n)y1(n) + [1 − η(n)]y2(n)

e1(n) = d(n) − y1(n) e2(n) = d(n) − y2(n) e(n) = d(n) − y(n) ϕ′ [α(n − 1)] = sgm[α(n − 1)]{1 − sgm[α(n − 1)]}_sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] p(n) = λpp(n − 1) + (1 − λp)|y1(n) − y2(n)|2 α(n) = α(n − 1) + µα p(n)Re{e(n)[y1(n) − y2(n)] ∗ }ϕ′ [α(n − 1)] Se |α(n)| > α+ α(n) ← α+_sign[α(n)] Fim w₁(n) = w1(n − 1) + µ1e1(n)u ∗ (n) w2(n) = w2(n − 1) + µ2e2(n)u∗(n) Fim a derivada ϕ′

[α(n − 1)] que aparece em (1.30) assume um valor pequeno quando η(n) se aproxima dos limites inferior e superior, fazendo com que a velocidade de adapta¸c˜ao e o ru´ıdo do gradiente diminuam [ARENAS-GARC´IA; FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006; L ´ AZARO-GREDILLA et al., 2010].

A combina¸cão convexa tem sido utilizada para melhorar o desempenho de filtros adap-tativos e também como um esquema alternativo em diferentes aplica¸cões, destacando-se:

1. melhoria do desempenho do algoritmo LMS com comprimento vari´avel [ZHANG; CHAM-BERS, 2006];

(39)

2. melhoria da capacidade de tracking de filtros adaptativos [SILVA; NASCIMENTO, 2008a];

3. cancelamento de eco acústico, dereverbera¸cão e separa¸cão de fontes acústicas [ ARENAS-GARCÍA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2009;GONZALO-AYUSO et al., 2012;AZPICUETA-RUIZ et al., 2011; ZELLER et al., 2011;AZPICUETA-RUIZ, 2011];

4. equaliza¸c˜ao autodidata [ARENAS-GARC´IA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2006;SILVA; NASCIMENTO, 2008a;CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2009];

5. equaliza¸c˜ao espa¸co-temporal [CHAVES et al., 2011];

6. cria¸c˜ao de estimadores enviesados [L ´AZARO-GREDILLA et al., 2010];

7. processamento de sinais biol´ogicos [MANDIC et al., 2008; JELFS et al., 2010; XIA et al.,

2011; LI et al., 2012]; e

8. processamento adaptativo distribu´ıdo [CATTIVELLI; SAYED, 2011; TAKAHASHI; YA-MADA; SAYED, 2010; ABDOLEE; CHAMPAGNE, 2011;FERN ´ANDES-BES et al., 2012].

Usando a combina¸cão convexa como fonte de inspira¸cão, outras combina¸cões de algorit-mos foram propostas na literatura. Dentre essas combina¸cões, destacam-se a combina¸cão afim [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008;CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010; BER-MUDEZ; BERSHAD; TOURNERET, 2011] e a combina¸cão linear [KOZAT et al., 2010], descritas a seguir. A combina¸cão afim de dois filtros LMS foi proposta em [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008]. Nesse artigo, o parâmetro de combina¸cão é escolhido de forma ótima a

fim de minimizar o MSE em regime, não ficando restrito ao intervalo [ 0, 1 ]. Dessa forma, a sa´ıda global é uma combina¸cão linear das sa´ıdas dos filtros individuais e a combina¸cão convexa é um caso particular. Por isso, a combina¸cão afim de [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008] é uma generaliza¸cão da combina¸cão convexa de [ARENAS-GARCÍA; FI-GUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. O parâmetro de mistura pode assumir valores negativos, o que ocorre usualmente em regime. Os resultados de [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET,

2008] foram estendidos em [CANDIDO, 2009; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010], conside-rando entrada branca ou colorida e outros algoritmos na combina¸cão (não apenas o LMS). Além disso, foi apresentada uma análise do transitório da combina¸cão, levando-se em conta

(40)

a adapta¸cão dos filtros componentes e também a adapta¸cão do parâmetro de mistura adap-tado com o algoritmo η-LMS, proposto em [BERSHAD; BERMUDEZ; TOURNERET, 2008]. Os resultados da análise do transitório facilitaram o ajuste dos parâmetros livres do esquema e a obten¸cão de dois algoritmos normalizados para atualizar o parâmetro de mistura. Nas simula¸cões mostradas em [CANDIDO, 2009; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010], observa-se uma boa concordância entre os resultados anal´ıticos e os de simula¸cão. Dessa forma, os modelos teóricos são capazes de prever situa¸cões em que esses algoritmos podem alcan¸car um desempenho melhor, sendo útil para o projetista.

Na combina¸cão linear proposta em [KOZAT et al., 2010], não é imposta restri¸cão alguma ao parâmetro de mistura, ou seja, a soma dos pesos das sa´ıdas dos filtros componentes não é necessariamente igual a um como nas combina¸cões convexa e afim. Em [KOZAT et al., 2010], ainda são apresentados resultados de análises teóricas que confirmam o desempenho melhor da combina¸cão linear em rela¸cão aos filtros componentes. Diante dessas diferentes combina¸cões de algoritmos adaptativos, se faz necessária uma compara¸cão sistemática e extensiva, levando-se em conta diferentes cenários de simula¸cão e os resultados das análises teóricas.

1.3 Objetivos e justificativa

Desde a publica¸cão de [MARTÍNEZ-RAM ÓN et al., 2002], muitos resultados relacionados à

combina¸cão de algoritmos adaptativos foram publicados na literatura. No entanto, ainda há alguns problemas em aberto e esse assunto continua sendo uma linha de pesquisa ativa. Especificamente em equaliza¸cão autodidata, esquemas combinados foram explorados em [ARENAS-GARCÍA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2006; SILVA; NASCIMENTO, 2008a; CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010; ABU-SALEM; LUO; GONG, 2009]. Para melhorar o compromisso en-tre a velocidade de convergência e o MSE em regime, uma combina¸cão convexa de dois equalizadores CMA com diferentes passos de adapta¸cão foi proposta em [ARENAS-GARCÍA; FIGUEIRAS-VIDAL, 2006]. Posteriormente, em [SILVA; NASCIMENTO, 2008a] foi proposta uma combina¸cão convexa do CMA com o SWA para se obter um equalizador com melhor capaci-dade de rastreio (tracking). Combina¸cões afins de equalizadores CMA com diferentes passos foram exploradas em [CANDIDO, 2009;CANDIDO; SILVA; NASCIMENTO, 2010]. Embora todos

(41)

esses esquemas encontram um MSE em regime mais baixo que o de um simples CMA, eles estão baseados em componentes autodidatas, de forma que o chaveamento para o modo de decisão direta ainda é necessário na maioria dos casos e o problema de selecionar um limiar apropriado de MSE para a transi¸cão entre os modos persiste.

Neste trabalho, a combina¸cão convexa será abordada no contexto de equaliza¸cão auto-didata para permitir um chaveamento automático entre os modos de treinamento cego e de decisão direta. O esquema consiste na combina¸cão de um algoritmo de equaliza¸cão auto-didata que rege o modo cego com um algoritmo de equaliza¸cão supervisionada que rege o modo de decisão direta. A combina¸cão é também é adaptada de forma autodidata, o que permite um chaveamento automático entre os filtros componentes, evitando-se a sele¸cão de um limiar de MSE a priori. O desempenho do esquema proposto é ilustrado através de resultados anal´ıticos e de simula¸cões, que mostram sua vantagem em rela¸cão a esquemas de chaveamento abrupto e suave existentes na literatura.

Cabe observar que neste trabalho será abordada apenas a combina¸cão convexa de filtros adaptativos, já que os resultados aqui obtidos podem ser estendidos para outros tipos de combina¸cão, como as combina¸cões afim e linear.

1.4 Contribui¸

c˜

oes

O esquema proposto nesta tese estende os resultados em combina¸c˜ao de filtros adaptativos nos seguintes aspectos:

1. Combina¸c˜oes de filtros de diferentes fam´ılias foram previamente consideradas (veja, e.g., [SILVA; NASCIMENTO, 2008a; NASCIMENTO et al., 2010]). No entanto, o esquema

aqui proposto não somente considera a combina¸cão de dois filtros de diferentes tipos, mas seus modos de opera¸cão também são diferentes: um deles é baseado em um critério autodidata, enquanto o outro minimiza um custo supervisionado. Isso implica algumas mudan¸cas na configura¸cão da combina¸cão como um todo, i.e., os dois filtros não são adaptados de forma independente, já que a decisão global é realimentada para atualizar o componente supervisionado da combina¸cão;

(42)

con-vergência, capacidade de rastreio (tracking) e desempenho em regime, o objetivo aqui é proporcionar um mecanismo automático para se obter uma transi¸cão suave entre o modo de treinamento cego e o modo de decisão direta;

3. Uma nova regra de adapta¸cão é proposta. Tal regra é baseada na minimiza¸cão da fun¸cão custo do MMA e proporciona uma taxa de erro de s´ımbolo (SER - symbol error

rate) menor que a adapta¸c˜ao baseada no MSE;

4. Finalmente, embora o esquema proposto seja válido para combina¸cões de diferentes tipos de filtros adaptativos, será dada uma ênfase especial à combina¸cão do equalizador MMA com o filtro LMS. É apresentada uma análise teórica do desempenho da mesma em um ambiente não-estacionário, usando o método de análise baseado na conserva¸cão de energia [SAYED, 2008]. Essa análise requer o cálculo do EMSE cruzado entre os filtros, que é um desafio diante dos diferentes modos de opera¸cão.

Como resultado das contribui¸c˜oes desta tese, o seguinte trabalho foi aceito para pu-blica¸c˜ao:

SILVA, M. T. M.; ARENAS-Garc´ıa, J. A soft-switching blind equalization scheme via convex combination of adaptive filters. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013.

1.5 Organiza¸

c˜

ao da tese

Esta tese foi organizada em cinco cap´ıtulos. A combina¸cão convexa do equalizador MMA com o algoritmo LMS é apresentada no Cap´ıtulo 2, onde é introduzido um algoritmo baseado no MMA para atualiza¸cão do parâmetro de mistura. O Cap´ıtulo 3 contém uma análise estat´ıstica em regime para a combina¸cão, cuja precisão é verificada através de simula¸cões. No Cap´ıtulo 4, são apresentados resultados de simula¸cão com o objetivo de avaliar o esquema proposto e compará-lo com métodos de chaveamento entre os modos de treinamento cego e o de decisão direta existentes na literatura. Para finalizar, as conclusões e perspectivas do trabalho são apresentadas no Cap´ıtulo 5.

(43)

Cap´ıtulo 2

Chaveamento autom´

atico entre os

modos cego e de decis˜

ao direta

Neste cap´ıtulo, é proposto um esquema baseado na combina¸cão convexa de filtros adapta-tivos, que possibilita um chaveamento suave e automático entre os modos de treinamento cego e o de decisão direta. É proposto também um algoritmo autodidata para adapta¸cão do parâmetro de mistura. Depois de um exemplo ilustrativo, são apresentadas algumas conclusões do cap´ıtulo.

2.1 Combina¸

c˜

ao convexa do MMA com o LMS

O esquema proposto consiste na combina¸cão convexa de um equalizador autodidata com um equalizador de decisão direta, como mostrado na Figura 2.1. Como na combina¸cão convexa da Se¸cão 1.2 (página 15), a sa´ıda global do esquema é dada por

y(n) = η(n)y1(n) + [1 − η(n)]y2(n), (2.1)

sendo η(n) ∈ [ 0, 1 ] o parˆametro de mistura e yi(n) = uT(n)wi(n − 1) as sa´ıdas dos

equali-zadores autodidata e DD, respectivamente para i = 1, 2. Embora a configura¸c˜ao proposta possa ser usada com outros tipos de equalizadores, considera-se neste trabalho que y1(n) e

y2(n) s˜ao as sa´ıdas dos equalizadores MMA e LMS. A sa´ıda global ´e decodificada por um

decisor e a sequência decodificada, ˆ_{a(n − ∆), é usada como sinal desejado na adapta¸cão} do algoritmo LMS, que faz o papel de um algoritmo de decisão direta. Cabe observar que

(44)

a realimenta¸cão da decisão global para atualizar o componente LMS introduz um acopla-mento entre os filtros componentes. Especificamente para η(n) ≈ 1, a sa´ıda decodificada do componente MMA será usada como sinal desejado na adapta¸cão do filtro LMS.

u(n) w₁_{(n − 1)} w2(n − 1) y(n) y1(n) y2(n) η(n) 1−η(n) e2(n) ˆ a(n − ∆) MMA LMS decisor

Figura 2.1: Combina¸cão convexa do MMA com o LMS. O filtro LMS opera no modo de decisão direta, sendo que seus coeficientes são atualizados utilizando a sa´ıda do decisor como sinal desejado.

Para que a combina¸cão tenha um bom comportamento, é importante que os filtros com-ponentes sejam adaptados de acordo com suas próprias regras. O parâmetro de mistura η(n), por sua vez, deve ser adaptado para se obter um bom desempenho global [ARENAS-GARCÍA; FIGUEIRAS-VIDAL; SAYED, 2006]. Dessa forma, a combina¸cão pode unir os comportamentos

complementares dos filtros componentes, isto é, a capacidade de equaliza¸cão autodidata do MMA e o erro menor em regime do LMS no modo de decisão direta.

As equa¸cões de atualiza¸cão do MMA e do LMS foram apresentadas na Se¸cão (1.1.2) (página 6) e serão repetidas aqui por conveniência. A opera¸cão padrão do equalizador MMA consiste na minimiza¸cão estocástica de

JMM,1(n) = E n r − y1,2R(n) 2o + En_{r − y}_1,2I(n) 2o , (2.2)

sendo y1,R(n) e y1,I(n) as partes real e imagin´aria de y1(n) e r a constante de dispers˜ao

definida em (1.22). Sua equa¸cão de atualiza¸cão é dada

w1(n) = w1(n − 1) + ρ c1(n)u ∗ (n), (2.3) sendo c1(n) = c1,R(n) + jc1,I(n) = r − y1,2R(n) y1,R(n) + j r − y1,2I(n) y1,I(n). (2.4)

(45)

O algoritmo LMS no modo de decisão direta minimiza uma aproxima¸cão instantânea do erro quadrático médio de decisão, definido como

JMSE,2(n) = E

|ˆa(n − ∆) − y2(n)|2

. (2.5)

Sua equa¸cão de adapta¸cão é dada por

w₂(n) = w2(n − 1) + µe2(n)u ∗

(n), (2.6)

em que

ei(n) = ˆa(n − ∆) − yi(n), (2.7)

i = 1, 2 são erros de decisão. Embora somente e2(n) seja usado em (2.6), o cálculo de e1(n)

com a sa´ıda do equalizador MMA ´e empregado na defini¸c˜ao do erro global, i.e.,

e(n) = η(n)e1(n) + [1 − η(n)] e2(n)

= ˆ_{a(n − ∆) − y(n).} (2.8)

2.1.1 Adapta¸

c˜

ao do parˆ

ametro de mistrura

A fim de obter um equalizador totalmente cego, o parâmetro de mistura deve ser adaptado para minimizar uma fun¸cão custo também cega. Para isso, pode-se considerar a fun¸cão custo multimódulo para o sistema global, i.e.,

JMM(n) = E n r − y2R(n) 2o + En_{r − y}I2(n) 2o , (2.9)

e atualizar η(n) usando o método do gradiente estocástico. Dessa forma, considerando a variável auxiliar α(n) e a fun¸cão de ativa¸cão de (1.28) (página 17), basta calcular a deri-vada de (2.9) com rela¸cão à α(n) e aproximar as esperan¸cas por seus valores instantâneos. Seguindo esse procedimento, obtém-se a seguinte regra para adapta¸cão normalizada de α(n):

α(n) = α(n − 1) + ρα p(n)Re{c(n)[y1(n) − y2(n)] ∗ }ϕ′ [α(n − 1)], (2.10) sendo c(n) =_{r − y}R2(n) yR(n) + j r − y2I(n) yI(n), (2.11)

(46)

ρα um passo de adapta¸c˜ao, ϕ ′

[α(n − 1)] e p(n) definidos respectivamente em (1.31) e (1.33). Como anteriormente, a variável α(n) é restrita por satura¸cão ao intervalo simétrico [−α+_{, α}+_{] para garantir um n´ıvel m´ınimo de adapta¸cão em (2.10). As opera¸cões da}

com-bina¸cão convexa do MMA com o LMS estão mostradas na Tabela 2.1, onde dec[·] representa a fun¸cão do decisor.

Tabela 2.1: Sum´ario da combina¸c˜ao convexa do MMA com o LMS, considerando (2.10).

Inicializa¸c˜ao: w₁_{(−1) = w}₂_{(−1) = [0 · · · 0 1 0 · · · 0]}T_, α(−1) = α+_, p(−1) = 1, r = E{a4 R(n)}/E{a 2 R(n)} Para n = 0, 1, 2, . . . , calcule η(n) = ϕ[α(n − 1)] = sgm[α(n − 1)] − sgm[−α +_] sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] y1(n) = uT(n)w1(n − 1) y2(n) = uT(n)w2(n − 1)

y(n) = η(n)y1(n) + [1 − η(n)]y2(n)

ˆ a(n − ∆) = dec[y(n)] c1(n) = r − y2 1,R(n) y1,R(n) + j r − y2 1,I(n) y1,I(n) e2(n) = ˆa(n − ∆) − y2(n) c(n) = [r − y2 R(n)] yR(n) + j [r − yI2(n)] yI(n) ϕ′ [α(n − 1)] = sgm[α(n − 1)]{1 − sgm[α(n − 1)]}_sgm[α+_{] − sgm[−α}+_] p(n) = λpp(n − 1) + (1 − λp)|y1(n) − y2(n)|2 α(n) = α(n − 1) + ρα p(n)Re{c(n)[y1(n) − y2(n)] ∗ }ϕ′ [α(n − 1)] Se |α(n)| > α+ α(n) ← α+_sign[α(n)] Fim w₁(n) = w1(n − 1) + ρc1(n)u ∗ (n) w2(n) = w2(n − 1) + µe2(n)u∗(n) Fim