Transformada inversa de Laplace

(1)

Transformada inversa de Laplace

Já foi atrás apresentada a expressão que define a transformada inversa de Laplace. Esse integral pode ser de resolução complicada. Existem métodos expeditos de obter a transformada inversa. Vamos aqui apresentar um baseado na expansão em fracções simples.

Método da expansão em fracções simples

Assume-se que a transformada de Laplace está representada por uma razão de polinómios, o que ocorre sempre para as funções que nos interessam no âmbito da engenharia.

(

)(

) (

)

1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ... ... ( ) ( ) ( ) ... ... m m m m m m m m n n n n n b s b s b s b b s b s b s b N s X s D s s a s a s a s p s p s p − − − − − − − + + + + + + + + = = = − − − + + + +

(2)

Pólos são todos diferentes (p_i≠_p_j_{se i≠j).}

Em geral n>m isto é há mais pólos que zeros pelo que X(s) pode ser escrito como uma soma de termos em cujo denominador apenas existe um pólo (fracções simples):

( ) (

1 1

) (

2 2

)

(

)

... n A A An X s s p s p s p = + + + − − − Ak é o resíduo de X(s) no pólo pk.

(

)

( )

k k k s p

N s

A

s p

D s

₌

=

−

Das tabelas: k p tk TL k k A A e s p ←→ −

(3)

Exemplo: Obter x(t) a partir da sua transformada de Laplace X(s)

( ) ( )( )( )

5 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A s A A X s s s s s s s + = = + + + + + + + +

Os resíduos nos pólos {-1;-2;-3} obtém-se da seguinte maneira:

( ) 1 1 A = s+ ( ) ( ) 5 3 1 s s + + ( )( ) ( )( ) 1 5 3 1 1 2 1 3 2 3 s s s =−   _{− +}   = = − − + − +  + +   

(

)

(

)(

)

2 2 5 3 ₇ 7 1 3 1 s s A s s =−  +  − = _ _ = = + + −   ( ) ( )( ) 3 3 5 3 ₁₂ 6 1 2 2 s s A s s ₌₋  +  − = _ _ = = − + +  

Então X(s) expandido em fracções simples e a sua transformada inversa são:

( )

1 7 6 1 ₂ ₃ ( ) 7 6 ( ) 1 2 3 TL t t t X s x t e e e u t s s s − ₋ ₋ ₋ − − _ _ == + + → = −_ + − _ + + +

(4)

Pólos de ordem múltipla

Caso existam pólos de ordem superior à primeira (vários pólos iguais) aparecem no denominador da função termos do tipo (s+si)r.

Exemplo: ( ) ( )( )( ) 1 2 ( 1 ) ( 2) 1 ( ) 1 2 3 1 2 3 3 3 ( ) ... r r r r N s A A B B B X s s s s s s s s s s s s s s s s s −   = = + + + + +  + + + + + + _ + + _

O pólo com multiplicidade r tem r resíduos que se calculam da seguinte forma:

(

)

3 1 ( ) 3 r s s B X s s s =−   = _ + _ _{Notar que} _{( )(} _{) ( )(} ) 3 1 2 ( ) r N s X s s s s s s s + = + +

(

)

3 2 ( ) 3 r s s d B X s s s ds =−   = _ + _

(

)

3 2 3 ₂ 3 1 ( ) 2 r s s d B X s s s ds =−   = _ + _ ...

(

)

1 1 ( ) r r d B X s s s −   = +

(5)

Exemplo: Obter a transformada inversa de X(s) ( ) ( ) (3 ) 1 2 ( 1) (3 2) (2 3 ) 1 2 1 1 2 1 1 B A A B B X s s s s s s s s s = = + + + + + + + + + ( ) ( ) 1 ₃ 0 1 1 2 1 2 s A s s ₌   =   = + +     ;

(

)

2 ₃ 2 1 1 2 1 s A s s =−   =   = +     Pólo triplo S3=-1 ⇒

( )(

)

(

)

3 1 1 2 X s s s s + = + . Assim os resíduos B1, B2 e B3 viram: 1

(

)

1 1 1 1 2 _s 1 B s s ₌₋   = _ _ = = − + −   ( )

₍

₎

2 ₂ 2 1 1 1 (2 2) 0 0 2 _s ₂ 1 s d s B ds s s ₌₋ _s _s =−   ₋ ₊ = _ _ = = = +   + Notar que

(

)

2 1 1 2 2 s s + = s + s

(6)

(

)

₍

(

₎

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 3 ₂ ₂ 2 1 1 2 2 2 4 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ₂ s s s s d d B s s ds ds _s _s s s s s s s s s =− =− =−     _ − + _ = _ _ = _ _ = +   __ + __ ₋ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊    _{= −}  ₊     

A expansão em fracções simples e a transformada inversa vem:

(

) (

)

2 2 ( ) 1 2 1 2 1 ) ( 1 2 1 0 1 1 2 2 1 2 1 ) ( 2 2 2 3 1 t u e e t e t x s s s s s s X TL t t t     ₊ ₊ ₋ =  →  + − + + + + − + + + = − − − −

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Pólos de complexos conjugados

Pólos complexos conjugados ocorrem em pares complexos conjugados: S1⇒ S1* Na expansão em fracções simples, os resíduos A1 e A1* também são complexos conjugados:

[

]

( ) ) ( ) ( ) )( ( ) ( * 1 1 1 _* 1 1 * 1 * 1 1 1 * 1 1 t u e A e A s s A s s A s s s s s N _TL_→_ −st ₊ −s t + + + = + + −

(8)

Exemplo: s j s j s s s s s s s F ) 866 . 0 5 . 0 )( 866 . 0 5 . 0 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( ₂ − + + + + = + + + =       = − = − = − = − − ⇔ − − + − + = − ⇔ − − − = + − − ⇔    + + + + + = + + + + + = − − = − − = 0 1 866 . 0 866 . 0 866 . 0 5 . 0 5 . 0 5 . 0 ) 866 . 0 5 . 0 ( ) 75 . 0 866 . 0 25 . 0 ( 866 . 0 5 . 0 866 . 0 5 . 0 866 . 0 5 . 0 ) 866 . 0 5 . 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 866 . 0 5 . 0 2 2 866 . 0 5 . 0 2 1 2 2 1 α α α α α α α α α α α α α α j j j j j j s s s s s s s s A s s s s F j s j s 1 ) 1 ( ) 1 ( 2  =      + + + = s s s s s A

(9)

[

]

[

]

[

]

) ( ) 2 3 sin( ) 2 3 cos( ) ( ) ( 3 2 ) 5 . 0 ( 2 3 ) 5 . 0 ( 2 3 2 3 ) 5 . 0 ( 5 . 0 ) ( ) ( 4 / 3 ) 5 . 0 ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 5 . 0 5 . 0 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 t u e e t f t u s TL s s TL s F TL t u s s TL s F TL s TL s s s TL s F TL s s s s s F t t ₊ ₊ − = +                     −       + − +                     + − − − = = +       + − − = =     +     + + − = + + + − = − − − − − − − −

(10)

Resolução de equações diferenciais

Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais: Tomando a equação diferencial seguinte com as condições iniciais dadas:

   = ′ − = = + + 2 ) 0 ( 1 ) 0 ( ) ( 5 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 2 x x t u t x dt t dx dt t x d

Aplicando transformada de Laplace a ambos os membros: 2 _{( )} ₍₀₎ _{(0) 3} _{( ) 3 (0) 2 ( )} 5 S X S Sx x SX S x X S S ′ − − + − + = _⇔

(

)

S S S X S S2 + 3 + 2 ( ) = − −1+ 5 Então: ( )

(

2 ₃ 5₂

)

2 + + + − − = S S S S S S X

(11)

Representação de Fourier dos Sinais

O estudo de sinais e sistemas usando representação sinusoidal é designado por análise de Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830).

A representação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A tabela apresentada abaixo mostra essa relação:

Tabela – Relações entre as propriedades no tempo dos sinais e a representação de Fourier adequada.

Propriedade

temporal Periódico Não Periódico

Continuo Série de Fourier Transformada _{de Fourier}

(12)

Transformada de Fourier (Sinais não periódicos em tempo contínuo)

Uma apresentação da transformada de Fourier pode ser feita como um limite das series de Fourier quando o período tende para infinito.

Definição de transformada de Fourier: ( ) ( ) jwt

X jw ∞ x t e− dt

−∞

=

∫

_{Transformada de Fourier (Eq. de análise)}

1 ( ) ( ) 2 jwt x t X jw e dw π ∞ −∞

=

∫

_{Transformada inversa de Fourier (Eq. de síntese)}

( )

TF

(

)

x t

←→

X jw

X(jw) descreve o sinal x(t) como uma função de frequência w e designa-se como a sua representação no domínio da frequência.

(13)

Condições de convergência: Condições para garantir que X(jw) é finito é que

x(t) seja de quadrado integrável (isto é que tenha energia finita): 2 ( ) x t dt ∞ −∞ < ∞

∫

Uma condição equivalente é estabelecida se x(t) for absolutamente integrável:

( )

x t dt

∞

−∞

< ∞

∫

e tiver um número finito de descontinuidades e de máximos ou mínimos locais em qualquer intervalo finito, e essas descontinuidades forem finitas.

(14)

Transformada de Fourier de sinais básicos Função exponencial:

a) x(t) = e-atu(t), a>0

( ) ( ) 0 0 1 ( ) ( ) , 0 a jw t at jwt a jw t e X jw e u t e dt e dt a a jw a jw − + ∞ ₋ ₋ ∞ _{− +} _∞ −∞ = = = − = > + +

∫

X(jw) é uma função complexa. Pode ser representado em módulo e fase:

( ) 1 2 2 1 (X jw) X jw e( ) j X jw , X jw( ) , X jw( ) tg w a a w ∠ −   = = ∠ = − _{ }   + x(t) |X(jw)| Fase de X(jw) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 0 1 2

(15)

-1 -0.5 0 0.5 1 0

0.5 1

b) x(t) = e-a|t|u(t), a>0 x(t)

0 ₍ ₎ ₍ ₎ 0 2 2 ( ) 1 1 2 , 0 a t jwt a jw t a jw t X jw e e dt e dt e dt a a a jw a jw a w ∞ ₋ ₋ ₋ ∞ _{− +} −∞ −∞ = = + = + = > − + +

∫

Neste caso X(jw) é real.

Nota: - Em (a) e (b), se a for complexo o resultado é o mesmo. Apenas a condição será Re{a} >0 .

Impulso de Dirac: x(t) = δ(t) ( ) ( ) jwt 1 X jw ∞ δ t e− dt −∞ =

∫

= t 0 1 δ(t) w 0 1 X(w)

(16)

Função rectangular: 1 1

1,

( )

0,

t

T

x t

t

T



<



= 

_>



(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) . ( ) 2 2 T _jwT _jwT jwt jwt T jwT jwT X jw x t e dt e dt e e jw sen wT e e sen wT T w j w wT ∞ ₋ ₋ ₋ −∞ − − = = = − − = − = =

∫

Sinc(w) = sen(w)/w

É uma função da forma

( )

sen x

x

, designada por sinc(x) Função rectangular na frequência:

0 0 1, ( ) 0, w w X jw w w  <  =  _>

 Aplicando a transformada de Fourier inversa: -15 -10 -5 0 5 10 15 -0.5 0 0.5 1 t -T1 1 x(t) T1

(17)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 . ( ) 1 1 1 . ( ) 2 jw t jw t jwt jwt w jw t jw t x t X jw e dw e dw e e jt w sen w t e e sen w t t j t w t π π π π π π ∞ ₋ −∞ − − = = = − = − = =

∫

Deve salientar-se aqui a dualidade entre as duas funções anteriores: Um rectângulo num domínio corresponde a uma função “sinc” no outro. É uma consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frente.

Nota. A função “sinc”, numa formulação exacta, é definida da seguinte maneira:

(

)

( )

sen

sinc

θ

πθ

=

_.

(18)

Sinusóides: 0 0 0 0 0 1 sin( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 TF jw t jw t w t e e w w w w j π δj δ − = − ←→ − − + 0 0 0 0 0 1 cos( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 TF jw t jw t w t = e +e− ←→

π δ

w w− +

δ

w w+

Como é conhecido as funções sinusoidais contêm uma única frequência. Logo era de esperar que a sua representação em frequência desse conta desse facto. Em ambos os casos obtiveram-se Dirac’s localizados em ±w0 (apenas diferindo

na fase). w w0 π TF{cos(w0 t)} -w0

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Tabela – Transformada de Fourier de funções elementares Função temporal x(t) Transformada de Fourier X(jw) Notas

e-atu(t) ₍_{a jw}₊1 ₎ Re{a}>0

e-a|t| ₂2a ₂ a + w Re{a}>0 te-atu(t) 2 1 (a jw+ ) Re{a}>0 δ(t) 1 Delta de Dirac

δ(t-t0) exp(-jw t0) Delta atrasado

1 ( )

2 t rect

T 2T sinc(w T ) 1 1 Função rectangular 0 0 ( ) 2 w sinc w t π (2 0) w rect

(20)

sen(w0t) [ (w w0) (w w0)]

j

π δ − −δ + _{Função seno} cos(w0t) π δ[ (w w− 0)+δ(w w+ 0)] Função coseno

exp(jw0 t) 2πδ(w-w0) Exponencial complexa

Propriedades da transformada de Fourier

Usando funções simples cujas transformadas podem ser consultadas em tabelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem obter-se facilmente as transformadas de funções mais complicadas.

i.) Linearidade

TF{x(t)} = X(jw)

(21)

ii.) Deslocamento no tempo

TF{x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t-t0)} = exp(-jwt0)X(jw)

A demonstração é simples recorrendo a uma mudança de variável: τ = t-t0 :

0 0 0 ( ) 0 0 { ( )} ( ) jwt ( ) jw t jwt ( ) jw jwt ( ) TF x t t ∞ x t t e− dt ∞ x τ e− τ− dτ e− ∞ x τ e− τdτ e− X jw −∞ −∞ −∞ − =

∫

− =

∫

=

∫

=

iii.) Deslocação na frequência (Modulação)

TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t)exp(jw0t)}=X(j(w-w0))

O espectro do sinal que se encontrava em redor da origem é deslocado para w0.

Fazendo o produto for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obtém-se:

( )

{

0

}

(

0

)

(

0

)

1 ( )s 2 TF x t en w t X j w w X j w w j   = _ − − + _

( )

{

0

}

(

0

)

(

0

)

1 ( ) cos 2 TF x t w t = _X j w w− − X j w w+ _

(22)

iv.) Diferenciação e Integração TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x´(t)} = jwX(jw) e TF{x(n)(t)} = (jw)nX(jw) Também

{

( )

}

1

( )

0 ( ) t TF x d X jw X j w jw τ τ π δ −∞ = +

∫

v.) Escalonamento no tempo e em frequência

TF{x(t)} = X(jw) ⇒ TF x at

{

( )

}

= _a1 X _ jw_a _, a real não nulo. Fazendo a = -1, também se obtém: TF{x(-t)}=X(-jw)

Se a > 1 temos uma compressão na escala de tempo de que resulta um expansão na frequência e vice-versa.

(23)

vi.) Conjugado Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{x* (t)} = X* (-jw), Note-se que :

( )

{

( )

}

* * * ( ) *

trocando por fica:

( ) * * , c.q.d. jwt jwt jwt X jw x t e dt x t e dt w - w X jw x t e dt TF x t ∞ ₋ ∞ −∞ −∞ ∞ ₋ −∞   = _ _ =   − = =

∫

- Propriedade do conjugado simétrico:

Se x(t) for real então x*(t) = x(t), X*(-jw) = X(jw). Ù X(-jw) = X*(jw). Consequência : |X(jw)| é uma função par e Fase[X(jw)] é impar:

X(-jw)= |X(-jw)|ejΦ(-w) e X*(jw)= |X*(jw)|e-jΦ(w)

Sendo X(jw) = X*(-jw) ⇒ |X(jw)|= |X*(-jw)| e Φ(-jw) = -Φ(jw) De igual modo se vê que Re{X(jw)} é par e Im{X(jw)} é impar.

(24)

Exemplo: Função real: x(t) = e-atu(t), a>0 ⇒ X jw( ) = _{a jw}₊1 portanto: 1 ( ) *( ) X jw X jw a jw − = = − , como se esperava. - Consequências da propriedade do conjugado simétrico (a) x(t) real e par então também X(jw) é real e par:

x(t) = x(-t) ⇒ X(-jw) = X(jw) (b) x(t) real e impar então X(jw) é imaginária pura e par:

x(t) = -x(-t) ⇒ X(-jw) = -X(jw) e X(jw) = Im[X(jw)]

(c) Separando x(t) nas suas componentes par e impar, atendendo a (a) e (b), teremos:

(25)

Exemplo: Função real e par: x(t) = e , a>0,

x(t) = 2Par[e-atu(t)] = 2{[e-atu(t)+ e atu(-t)]/2} , TF e u t

{

−at ( )

}

= _{a jw}₊1

logo

{

}

2 2 | | 1 2 2 [ at ( )] 2 Re[ ] a { a t} TF Par e u t TF e a jw a w − ₌ ₌ ₌ − + + c.q.d

vii.) Princípio da dualidade

Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{X(t)} = 2π x(-jw) Exemplo: Calcular 2 2 1 TF t    ₊    . Sabemos que:

{ }

| | 2 2 a t a FT e a w − ₌ + .

A nossa função no tempo assemelha-se a esta transformada com a=1 , isto é:

{ }

| | 2 2 1 t TF e w − ₌ + .

Pelo princípio da dualidade obtém-se: 2 2 2 1 w TF e t π −  _{ =}  ₊   

(26)

viii.) Convolução

Definição da convolução de x(t) com h(t): x t( )* ( )h t =

∫

_−∞t x( ) (τ h t −τ τ)d Esta propriedade estabelece que : TF{x(t)*h(t)} = X(jw)H(jw)

ix.) Relação de Parseval

Estabelece que a energia do sinal x(t) pode ser calculada a partir da sua transformada: 2

₁

2

( )

2 x t dt

X w dw

π

∞ ∞ −∞

=

−∞

∫

(27)

Tabela – Propriedades da transformada de Fourier Função temporal

x(t)

Transformada de Fourier

X(jw) Notas

a1x(t) + a2y(t) a1X(jw) + a2Y(jw) Linearidade

x(t-t0) exp(-jw t0)X(jw) Deslocamento no _tempo

x(at)       a a 1 jw X _{Escalamento no tempo} x*(t) X*(-jw) Conjugação x(-t) X(-jw) Reflexão no tempo

)

0

x(t

e

jw t X(j(w-w0) Modulação

( )

n n

d x t

dt

(jw) n_X(jw) _Derivação tx(t) j dX ( jw) Derivação na _frequência

(28)

( )

t

x

τ τ

d

−∞

∫

( ) X( j0) (w) jw jw X _π _δ + _Integração X(t) 2πx(-jw) Dualidade

x(t)*y(t) X(jw)Y(jw) Convolução no tempo

x(t)y(t) ₂1_π X(jw)*Y(jw) Convolução na _frequência 2 ( ) x t dt ∞ −∞

∫

1 ( ) 2 2π X w dw ∞ −∞

∫

Relação de Parseval