Séries de Tempo. José Fajardo. Agosto EBAPE- Fundação Getulio Vargas

S ´eries de Tempo

Introduc¸ ˜ao

Jos ´e Fajardo

1. Por quê o estudo de séries de tempo

é importante?

• Primeiro, porque muitos dados econômicos e financeiros aparecem na forma de séries de tempo, como PIB, inflação, taxa de câmbio, taxa de juros, preços de ativos, etc.

• Segundo, porque com séries de tempo

podemos estimar modelos dinâmicos, o que com dados em cross-section não é possível dado que não existe a dimensão temporal.

2. A análise de dados em ST é diferente da

análise de dados em CS?

• Séries de tempo têm uma ordenação temporal que dados em cross-section não têm.

• Séries temporais têm propriedades muito

diferentes de dados em cross-section, como, por exemplo, a presença de tendência.

Exemplo: Preço do suco da Laranja, (Stock e Watson, 2006)

• A cidade de Orlando nos Estados Unidos é o centro do cultivo da laranja no estado da Flórida.

Normalmente, o clima na região é quente e ensolarado.

• Entretanto, de vez em quando a temperatura cai abaixo de zero o que faz com que as laranjas congelem acarretando em perdas na safra.

• Se a temperatura fica abaixo de zero por muito tempo, as árvores congelam e o dano é muito maior. Depois de uma temporada de mau tempo, a oferta do suco de laranja concentrado se reduz, e consequentemente o

• Entretanto, o timing do aumento de preços é complicado pelo fato do suco de laranja

concentrado ser um produto estocável em seu estado congelado.

• O preço do suco de laranja concentrado é

determinado pela sua oferta corrente e pela sua expectativa de oferta futura.

• Mau tempo no presente significa que a oferta futura de suco de laranja concentrado é

• Entretanto, como os estoques podem ser usados para abastecer o mercado hoje e no futuro, o

impacto imediato do mau tempo no preço do suco de laranja pode ser bastante reduzido, ou ainda o impacto no preço pode ocorrer com alguma defasagem.

• Saber precisamente qual é o tamanho do impacto no preço do suco de laranja concentrado quando o tempo é ruim é uma questão empírica, e para responder a essa pergunta vamos analisar o

t t t t t t t t Laranja t

u

FDD

FDD

FDD

FDD

FDD

FDD

FDD

P

+

+

+

+

+

+

+

+

=

∆

%

β

β

β

β

β

β

β

α

• Onde %ǻP_t é a variação % no preço real do suco de laranja concentrado.

• A variável FDD, “freezing degree days”, é calculada da seguinte forma: ela é a soma do número de graus

Fahrenheit que a temperatura mínima ficou abaixo de 32F (que corresponde a zero grau na escala Celsius) num dado dia do mês ao longo de todos os dias do mês. • A temperatura é medida na região do aeroporto de

Orlando. Por exemplo, em novembro de 1950, a

temperatura no aeroporto ficou abaixo de 32F nos dias 25 (31F) e 29 (29F).

• Então o valor de FDD em novembro de 1950 é calculado da seguinte forma: (32-31)+(32-29)=4. Isto é, o número de dias-grau onde a temperatura ficou abaixo da

3. Características Básicas de Séries de

Tempo

• Definição: Uma série de tempo é um conjunto de observações ordenadas temporalmente.

• Podemos escrever uma série de tempo da seguinte forma:

População vs. Amostra

• Como podemos pensar em aleatoriedade com dados em séries de tempo?

– A série de tempo pode ser vista como uma variável aleatória. Quem sabe a inflação do mês que vem?

• População vs. Amostra: Quando coletamos dados em séries de tempo, obtemos uma

• Um processo estocástico é um conjunto de

variáveis aleatórias ordenadas temporalmente.

• O conjunto de todas as possíveis realizações de uma série de tempo faz o papel da

população.

4. Equações em Diferenças Finitas

• A característica fundamental de uma série de tempo é a sua ordenação temporal.

• A sua dependência explícita na variável tempo calendário faz com que o estudo de séries de tempo se inicie naturalmente com o estudo de equações em diferenças finitas.

• Uma equação em diferenças finitas (EDF) é uma expressão que relaciona uma variável y_t com

• Por exemplo, a equação abaixo é uma EDF de primeira ordem.

• A equação acima é uma EDF linear de primeira-ordem.

• É de primeira ordem porque apenas a primeira defasagem de y_t aparece, e é linear porque y_t é

t

t

t

y

Resolvendo uma EDF de 1º ordem

• Uma forma de resolver uma EDF de 1º ordem é através de substituições recursivas.

(

)

y

y

=

φ

φ

+

ε

+

ε

(

)

y

y

=

φ

φ

+

ε

+

φε

+

ε

y

y

=

φ

+

φ

ε

+

φ

ε

+

...

+

φε

+

ε

Multiplicadores Dinâmicos

y

y

=

φ

+

ε

y

∂

y

y

+

+

+

+

+

+

=

ε

φε

ε

φ

ε

φ

ε

φ

φ

...

• O multiplicador dinâmico depende somente de j, o período de tempo que separa o choque İ_t e o valor observado de y_t+j.

• O multiplicador não depende de t, ou seja, não depende da data das observações. Isso é verdade para qualquer equação de diferenças finitas

linear.

• Diferentes valores de ij geram diferentes padrões dos multiplicadores.

• Em particular, se |ij|<1 o multiplicador tende à zero com o tempo. Nesse caso, dizemos que o

-120000 -80000 -40000 0 40000 80000 120000

Choques permanentes vs. choques temporários • Acima analisamos o caso de um choque

temporário em İ_t, ou seja, assumimos que İ=1 no período t, e zero para todos os outros períodos.

• Entretanto, em alguns casos é de interesse saber o efeito de um choque permanente em İ. Isto é,

assuma que İ_t, İ_t+1, İ_t+2, ..., İ_t+j, aumentem em uma unidade.

• Qual é o impacto em y_t de um choque permanente de uma unidade em İ ?

1 ... ... 1 2 2 1 + + + + + = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ _{− −} + + + + + + + φ φ φ φ ε ε ε ε j j j j t j t t j t t j t t j t y y y y

[ ]

y

y

=

φ

+

φ

ε

+

φ

ε

+

φ

ε

+

...

+

φε

+

ε

Efeito acumulado de um choque temporário é igual ao efeito de longo prazo de um choque permanente

... 0 0 0 1 0 İ_t ... t+3 t+2 t+1 t t-1 tempo t t t

y

y

=

φ

+

ε

φ

¦

φ

Operador Defasagem

• Suponha que a partir de uma série de tempo x_t criamos uma outra série y_t cujo valor em cada tempo t é o mesmo valor de x no tempo t-1, ou seja, y_t=x_t-1.

• É assim que funciona o operador defasagem – ele mapeia y_t em x_t-1.Isto é,

Lx_t=x_t-1 L2_{x =x}

Equações em Diferenças Finitas e o

Operador Defasagem

y

y

=

φ

+

ε

Ly

y

=

φ

+

ε

L

y

ε

φ

−

=

1

1

¦

=

y

φ

ε

φ

Equações em Diferenças Finitas

de Ordem p

[

]

L

y

L

L

φ

φ

ε

φ

−

−

−

=

−

...

1

y

y

y

y

=

φ

+

φ

+

...

+

φ

+

ε

Resultado

• Os autovalores da EDF acima satisfazem a seguinte relação:

• A equação acima é chamada equação característica. Suas raízes são chamadas de autovalores ou raízes

0

...

−

−

−

=

−

φ

λ

φ

λ

φ

λ

y

y

y

y

−

φ

−

φ

−

...

−

φ

=

ε

• Se todos os autovalores estão dentro do

círculo unitário, isto é, |Ȝ

|<1, para

i=1,…,p, dizemos que a equação é

estacionária.

• Equivalentemente, a equação é estacionária se todos os valores de z que satisfazem a expressão abaixo estão fora do círculo unitário.

0

...

1

−

φ

z

−

φ

z

−

−

φ

z

=

[

]

L

y

L

L

φ

φ

ε

φ

−

−

−

=

−

...

1

Exemplo: EDF de 2ª ordem (estável) t t t t

y

y

y

=

0

.

3

+

0

.

4

+

ε

0

4

.

0

3

.

0

=

−

−

λ

λ

y

y

y

−

0

.

3

−

0

.

4

=

ε

Exemplo: EDF de 2ª ordem (estável) t t t t

y

y

y

=

0

.

3

+

0

.

4

+

ε

8

.

0

/

1

=

z

=

λ

0

4

.

0

3

.

0

1

−

z

−

z

=

2

,

25

.

1

=

⋅

z

=

−

z

[

−

L

−

L

]

y

=

ε

4

.

0

3

.

0

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Exemplo: EDF de 2ª ordem com raízes explosivas t t t t

y

y

y

=

1

.

2

−

0

.

2

+

ε

2

.

0

,

1

=

⋅

λ

=

λ

0

2

.

0

2

.

1

1

−

z

+

z

=

0

2

.

0

2

.

1

=

+

−

λ

λ

-2 0 -1 0 0 1 0 2 0 3 0

5. Transformações de Séries de Tempo

=

x

Lx

)

(

Lx

=

L

x

=

x

L

n

t

t

n

x

x

L

=

₋

Operador de primeiras-diferenças

1

−

−

=

∆

x

_t

x

_t

x

_t

₂

=

−

+

∆

−

∆

=

∆

x

x

x

x

x

x

L

−

=

∆

1

Taxa de Crescimento

• A primeira-diferença do logaritmo de Y é

aproximadamente igual a taxa de crescimento de Y. • Em termos percentuais, 1 1 1

log

log

−

≅

−

y

y

y

y

y

)

log

(log

*

100

log

*

100

%

∆

y

≅

∆

y

=

y

−

y

Modelo de Defasagens Distribuídas

• No modelo de defasagens distribuídas uma ou mais variáveis explanatórias aparecem com seus valores correntes e defasados.

• Por exemplo, a equação abaixo representa um MDD de ordem dois.

u

z

z

z

y

=

α

+

δ

+

δ

+

δ

+

• Assuma que z seja igual a uma constante c em todos os períodos com exceção do tempo t,

quando leva um choque de uma unidade, isto é, no tempo t temos que z=c+1.

• Nesse caso dizemos que sofreu um choque

temporário, dado que a variável retorna para o seu valor de equilíbrio um período após o

• O coeficiente į₀ dá o impacto imediato em y de uma mudança de uma unidade em z; į₁ dá o

impacto em y de uma mudança de uma unidade em z um período após o choque; e į₂ dá o

impacto em y de uma mudança de uma unidade em z dois períodos após o choque.

• Chamamos os coeficientes į de multiplicadores

dinâmicos ou multiplicadores de impacto.

Exemplo: Modelo de defasagens

distribuídas de ordem 6