Física II Profs Ricardo e Amauri 1

PROPRIEDADES E PROCESSOS TÉRMICOS

Quando um corpo recebe ou perde energia térmica, pode ser que ocorram diversas modificações em suas propriedades. Nesta parte do curso estudaremos algumas propriedades térmicas da matéria e alguns processos importantes que envolvem energia térmica. O endereço eletrônico a seguir mostra um interessante applet sobre a mudança de estado de todos os elementos químicos devido à mudança de temperatura:

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/period/phase.htm

Veja também as configurações eletrônicas dos elementos químicos no seguinte endereço: http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/a2.html

Expansão Térmica

Quando a temperatura de um corpo se eleva, é comum que este corpo se expanda (cuidado com as exceções!). Consideremos uma barra de comprimento

L

com temperatura

T

. Se a temperatura se altera de

T

∆

, o comprimento se altera de

∆

L

segundo a equação abaixo: T L L= ∆

∆

α

(1)

O fator

α

é o coeficiente de expansão linear, definido como a razão entre a variação relativa do comprimento e a variação de temperatura:

T

L

L

∆

∆

=

α

(2)

A unidade deste coeficiente é o inverso do grau Celsius

( )

_o

C

1

_{que coincide com o inverso do} kelvin. Este coeficiente não varia muito para sólidos e líquidos com a pressão, no entanto, variam significativamente com a temperatura. A equação (2) nos dá um valor médio sobre um o intervalo de temperatura. Determina-se o coeficiente de expansão linear numa certa temperatura através de:

dT

dL

L

T

L

L

T

L

L

T T

1

lim

1

lim

0 0

∆

=

∆

=

∆

∆

=

→ ∆ → ∆

α

(3)

Visite o site abaixo para ver uma simulação referente ao assunto:

http://www.upscale.utoronto.ca/IYearLab/Intros/ThermalExpans/Flash/ThrmlExpans.html

O coeficiente de expansão volumar

( )

β

é definido como a razão entre a variação relativa de volume e a variação de temperatura (a pressão constante):

dT

dV

V

T

V

V

T

1

lim

0

∆

=

∆

=

→ ∆

β

(4)

A Figura 1 mostra os valores médios de

α

e

β

para diversas substancias. Relação entre

α

e

β

Consideremos um paralelepípedo de dimensões

L

1

,

L

2

e

L

3. O seu volume à temperatura

T

será:

3 2 1

L

L

L

V

=

A variação de volume será dada por:

dT dL L L dT dL L L dT dL L L dT dV 1 3 2 2 3 1 3 2 1 + + =

Dividindo a equação anterior pelo volume obtemos:

)

5

(

3

1

1

1

₁ 1 2 2 3 3 1 3 2 1 3 2 2 3 2 1 3 1 3 3 2 1 2 1

α

β

=

⇒

⇒

+

+

=

+

+

=

dT

dL

L

dT

dL

L

dT

dL

L

dT

dL

L

L

L

L

L

dT

dL

L

L

L

L

L

dT

dL

L

L

L

L

L

dT

V

dV

De maneira análoga pode-se mostrar que o coeficiente de expansão superficial será o dobro do coeficiente de expansão linear. O endereço eletrônico a seguir pode ajudar a ampliar seus conhecimentos: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/thexp.html

Fig. 1 – Valores aproximados dos coeficientes térmicos de expansão de diversas substancias.

Exceção da água a 4° C

A maior parte das substancias se expande ao ser aquecida. A água é uma exceção importante. A Figura 2 mostra o volume ocupado por 1 g de água em função da temperatura. O volume é mínimo, e, portanto, a densidade é máxima, a 4° C. Isto significa que quando aquecemos água em temperaturas abaixo de 4°C ocorre contração ao invés de expansão. Esta propriedade tem conseqüências importantes na ecologia dos lagos em países com inverno rigoroso (onde há congelamento dos lagos). Em temperaturas mais elevadas do que 4° C, a água do lago, ao se resfriar, torna-se mais densa, e afunda. Porém, se a água se resfria abaixo de 4° C, torna-se menos densa e tende a flutuar. Por este motivo, o gelo se forma primeiramente na superfície do lago e, sendo menos denso do que a água flutua na superfície e atua como um isolante térmico para água que fica em baixo. Se isto não ocorresse, o gelo afundaria e haveria congelamento de mais água na superfície e os lagos congelariam do fundo para superfície, o que provocaria o congelamento completo, extinguindo os peixes e toda forma de vida aquática.

Fig. 2 – Volume de 1 g de água, na pressão atmosférica, em função da temperatura. O valor mínimo do volume corresponde ao máximo de densidade que ocorre a 4° C.

A equação de Van der Waals (desvio do comportamento ideal) Utilizando o modelo de gás ideal para um mol de um gás, temos:

)

6

(

1

=

RT

PV

A equação (6), obtida experimentalmente para determinados valores de pressão e temperatura, foge do comportamento de gás ideal (veja Figura 3 e 4). Note que o desvio do comportamento de gás ideal é maior pra altas pressões e baixas temperaturas.

Fig. 3 – Comportamento de vários gases em função da pressão.

Note que quando a temperatura decresce abaixo de um valor crítico o desvio torna-se mais acentuado, isto corre porque o gás se condensa tornando-se líquido.

Johannes Van der Waals (1837-1923) desenvolveu uma equação (1873) que representava melhor o comportamento dos gases nestas situações. Esta equação leva em conta a atração molecular e o volume das moléculas.

Em altas pressões, o que implica em alta densidade, a distancia entre as moléculas tornam-se mais curtas, e conseqüentemente, as forças de atração entre as moléculas tornam-se mais significantes. Moléculas vizinhas exercem uma sobre as outras uma força de atração, isto reduz o momento transferido pelo gás às paredes do recipiente que o contém (veja Figura 5).

Fig. 4 – Comportamento do nitrogênio em função da pressão para três temperaturas diferentes.

Fig. 5 – Moléculas de um gás

Desta forma, a pressão observada é menor do que a determinada pela equação dos gases ideais. A correção é feita levando em consideração a atração molecular. A probabilidade de haver uma colisão é a probabilidade de duas moléculas estarem no mesmo lugar no mesmo tempo. A probabilidade da primeira molécula está no mesmo lugar da colisão é proporcional a densidade numérica

( )

V

n

_{. A probabilidade da} segunda molécula é a mesma

( )

V

n

_{. V e n representam o volume ocupado pelo gás e sua densidade,} respectivamente. Assim, a redução na pressão devido à atração molecular é proporcional a

( )

2 V n _. Considerando a constante de proporcionalidade a, a pressão dada pelo modelo de gás ideal será:

)

7

(

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

=

V

n

a

P

P

P

ideal real

Substituindo na equação dos gases ideais obtemos:

)

8

(

2

nRT

V

V

n

a

P

real

⎟

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

Como a pressão e a densidade aumentam, o volume das moléculas torna-se significante em relação ao volume do recipiente, ou seja, o volume ideal é menor (veja Figura 6). Para corrigir este efeito do

volume finito das moléculas, reconhecemos que o volume é o volume do gás menos o volume das moléculas: ) 9 ( nb V V_ideal = _rec −

onde bé a constante de proporcionalidade do volume das moléculas de um gás. Vrec representa o volume

do recipiente.

Fig. 6 – a) volume real. b) volume ideal

A equação dos gases ideais com as duas correções é a equação de Van der Waals (Vrec = V e

P = Preal):

(

)

(10) 2 2 nRT nb V V n a P _⎟⎟ − = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

Diferente de da constante universal dos gases, as constantes de Van der Waals têm valores diferentes para diferentes gases:

Substancia a (L2 atm/mol2) b (L/mol)

He 0.0341 0.0237

H2 0.244 0.0266

O2 1.36 0.0318

H2O 5.46 0.0305

CCl4 20.4 0.1383

Veja no endereço eletrônico a seguir um applet para simular as curvas P x V para equação de Van der Waals:

http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/vanderwalls.html

A pressão que um líquido fica em equilíbrio com seu próprio vapor é denominada de pressão de vapor. A pressão de vapor depende da temperatura. A temperatura em que a pressão de vapor é igual a 1 atm é o ponto de ebulição da substancia. Por exemplo, a temperatura em que a pressão de vapor de água é 1 atm é 373K = 100°C, e esta temperatura é o ponto de ebulição da água. Consulte pressões de vapor de algumas substancia no site: http://www.s-ohe.com/vp_data.html

A Figura 7 é o gráfico da pressão contra a temperatura. Este gráfico é um diagrama de fase. A curva entre os pontos triplo e crítico é a curva da pressão de vapor em função da temperatura. Acima do ponto crítico não há distinção entre gás e líquido. O ponto triplo é o ponto onde coexistem em equilíbrio as fases de vapor, líquida e sólida de uma substancia.

Fig 7 – Diagrama de fase da água. (Figura fora de escala)

No endereço eletrônico a seguir você pode determinar o diagrama de fase para água através de uma simulação:

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/labs/labphase/lab.htm Transferência de energia térmica

A energia térmica pode ser trans ferida de um ponto para outro através de três processos: condução, convecção e radiação.

Condução

A energia térmica é transferida pelas interações dos átomos ou moléculas vizinhos, embora não haja transporte destes átomos ou moléculas. Por exemplo, quando a extremidade de uma barra é aquecida, os átomos desta extremidade vibram com maior energia do que os da outra extremidade. A interação destes átomos com os seus vizinhos é responsável pelo transporte de calor.

SÓLIDO

0,01

0,0

1 atm

LÍQUIDO

0,006 atm

218 atm

Pressão

Temp (°C)

100

374

Ponto Triplo

VAPOR

Ponto Crítico

Seja

∆

T

a diferença de temperatura num pequeno segmento da de espessura ∆x (Figura 8). Se

Q

∆

for a quantidade de energia térmica que passa por condução no intervalo de tempo ∆t, a taxa de condução da energia térmica

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

∆

t

Q

_{, é acorrente térmica. Experimentalmente, a corrente térmica é} proporcional ao gradiente de temperatura (variação da temperatura da barra por unidade de comprimento) e a área da seção reta:

)

11

(

x

T

kA

t

Q

I

∆

∆

=

∆

∆

=

onde a constante de proporcionalidade k é a condutividade térmica, que depende do material. A Figura 9 mostra as condutividades térmicas de alguns materiais.

Fig. 8 – a) Barra condutora com as duas extremidades em temperaturas diferentes. b) Segmento da barra com espessura ∆x.

Podemos escrever a equação (11) da seguinte forma:

)

12

(

IR

T

kA

x

I

T

=

∆

→

∆

=

∆

onde definimos

kA

x

Fig. 9 – Condutividades térmicas de diversos materiais.

Resistências térmicas em série

Consideremos duas placas condutoras de calor, com a mesma área de seção reta, de matérias diferentes e espessuras também diferentes. Seja T₁a temperatura da face de maior temperatura, T₂a temperatura na face comum das duas chapas e

T

₃ a temperatura na face de menor temperatura. Para condição de fluxo térmico permanente, a corrente térmica

I

é mesma nas duas chapas. Sejam R₁e R₂as resistências térmicas das chapas, assim, teremos:

⎩ ⎨ ⎧ = − = − 2 3 2 1 2 1 IR T T IR T T

Somando as duas equações obtemos:

(

R

R

)

IR

eq

I

T

T

T

=

−

=

+

=

∆

_{1 3 1 2}

sendo

R

eqa resistência equivalente. Desta forma, se as resistências térmicas estiverem em série, a

resistência equivalente é igual à soma das resistências:

)

13

(

...

2 1 n eq

R

R

R

R

=

+

+

+

Resistências em Paralelo

A quantidade de calor que abandona uma sala pela condução, num certo intervalo de tempo, pode ser estimada pelo cálculo do calor que escapa pelas paredes, janelas, piso e teto. Neste caso, as resistências térmicas estão em paralelo. Em cada uma das possíveis vias de saída de calor, a diferença de temperatura é

a mesma, porém, as correntes térmicas são diferentes. A corrente total é soma de todas as correntes individuais: ) 14 ( 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 ... ... 2 1 2 1 2 1 2 1 Rn R R R R T Rn R R T Rn T R T R T I I I I eq eq n total + + + = ⇒ ∆ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ∆ = ∆ + + ∆ + ∆ = + + + =

Veja interessantes applets sobre condutividade nos seguintes endereços eletrônicos: http://www.engr.colostate.edu/~allan/heat_trans/page4/conduction/cond.html

http://www.agr.kuleuven.ac.be/vakken/ooi98-22/SimpleHeatClasses/indexh.htm http://www.jhu.edu/~virtlab/conduct/conduction.htm

Convecção

O calor é transferido pelo transporte direto de massa, ou seja, é o transporte de energia térmica pela movimentação do próprio meio. A convecção é responsável pelas grandes correntes oceânicas e também pela circulação geral da atmosfera. O caso mais simples é quando um fluido (gás ou líquido) é aquecido na parte inferior. A parte do fluido com temperatura maior se expande e eleva-se. O fluido de temperatura menor desce para parte inferior. A descrição matemática da convecção é bastante complexa, pois o fluxo depende da diferença de temperatura entre as diversas partes, e esta diferença é influenciada pelo movimento do fluido.

Circulação geral da atmosfera

A Figura 9 mostra a circulação geral da atmosfera, os principais processos que fazem parte desta circulação são: aquecimento da região equatorial, formação de células convectivas, a variação da velocidade angular da Terra que define as direções dos ventos, a formação de centros de alta e baixa pressão e produção de ventos.

Radiação

A radiação é transmissão de energia através de ondas eletromagnéticas que se movem com a velocidade da luz. A radiação térmica, as ondas de luz, as ondas de rádio, os raios x, são todos formas de radiação eletromagnética que se diferenciam pelos respectivos comprimentos de onda e freqüências no espectro eletromagnético. Veja nos sites a seguir como ocorre a emissão eletromagnética em um átomo de hidrogênio:

http://www.colorado.edu/physics/2000/quantumzone/lines2.html

http://physics.uwstout.edu/physapplets/javapm/java/atomphoton/index.html

Todos os corpos emitem e absorvem radiação eletromagnética. Quando um corpo está em equilíbrio térmico com as suas vizinhanças, emite e absorve taxas iguais de energia. A Figura 10 mostra o espectro eletromagnético.

Fig. 9 – Circulação geral da atmosfera

Lei de Stefan-Boltzmann

A taxa em que um corpo irradia energia é proporcional à área do corpo e à quarta potência da sua temperatura absoluta:

)

15

(

4

AT

e

P

_r

=

σ

onde Pré a potência irradiada, em watts,

A

é área superficial do corpo,

σ

é a constante universal de

Boltzmann

(

σ

=

5

,

66703

x

10

−8

W

/

m

2

K

)

e eé a emissividade, parâmetro que depende da superfície do corpo e tem um valor entre 0 e 1.

Taxa de absorção de energia radiante

)

16

(

4 0

AT

e

P

a

=

σ

Fig. 10 – Espectro eletromagnético

Potência líquida irradiada

A potência líquida irradiada por um corpo, na temperatura

T

, imerso num ambiente na temperatura

o

T

será:

(

T4 T₀4

)

(17) A e P_liq =

σ

−

Quando o corpo estiver em equilíbrio térmico com o ambiente

(

T

=

T

0

)

, o corpo emite e absorve radiação na mesma taxa.

Modelo de corpo negro

Denominamos de corpo negro um corpo que absorve toda a radiação incidente sobre ele, ou seja, tem emissividade igual a 1. Um corpo negro também é um radiador ideal. Este conceito é importante em virtude das características da radiação emitida pelo radiador, que podem ser determinadas teoricamente. A Figura 11 mostra a intensidade da radiação de um corpo negro em função do comprimento de onda para três temperaturas diferentes.

Fig. 11 – Intensidade em função do comprimento de onda na radiação de um corpo negro. O comprimento de onda máximo varia inversamente com a temperatura absoluta do corpo negro.

Lei de Wien

O comprimento de onda em que a potência (intensidade) é máxima varia inversamente com a temperatura.

)

17

(

898

,

2

max

T

mmK

=

λ

A seguir apresentamos uma relação de endereços eletrônicos, nos quais apresenta simulações interessantes sobre radiação do copo negro e a lei de Wien.

http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html http://csep10.phys.utk.edu/guidry/java/wien/wien.html

http://webphysics.davidson.edu/alumni/MiLee/java/bb_mjl.htm

O espectro solar

A radiação solar total é quantitativamente definida como a quantidade de energia radiante em todos os comprimentos de onda recebidos por unidade de tempo e área no topo da atmosfera da terra, corrigida pela distância média do sol à Terra, e é expressa em watts por metro quadrado. O termo constante solar é também usado par denotar esta radiação. Mais de 70% da radiação solar (Figura 2) está concentrada no ultravioleta próximo, no visível e no infravermelho próximo. Desde que esta radiação atinge a superfície terrestre, uma grande fração desta energia entra na baixa atmosfera através da evaporação-precipitação do ciclo da água. Em torno de 2% da radiação solar aparece com ultravioleta e raios-x com comprimentos de onda menores do que 0,32 µm. Esta radiação é toda absorvida na alta atmosfera onde joga um papel importante na reações fotoquímica e na produção de ozônio. O restante aprece no infravermelho e em ondas de rádio maiores do 1 µm.

Fig. Esboço do espectro solar

Nos endereços a seguir é possível obter dados sobre o movimento do sol em relação à Terra e dados sobre a variabilidade do espectro solar e sua absorção pela atmosfera:

http://www.jgiesen.de/sunshine/index.htm

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/seasons/cd190b.htm http://science.nasa.gov/headlines/images/sunbathing/sunspectrum.htm Exercícios

1. Uma ponte de aço tem 1000 m de comprimento. De quanto ela se expande quando a temperatura passa de 0 para 30°?

2. Calcular a resistência térmica de uma barra de alumínio com área de seção reta de 15 cm2.

3. Que espessura de um elemento de prata proporcionaria a mesma resistência térmica que uma camada de ar com 1 cm de espessura, sendo iguais as áreas?

4. Duas barras metálicas, cada qual com 5 cm de comprimento e seção retangular de 2 cm por 3 cm, estão montadas (em série) entre duas paredes, uma mantida a 100° e a outra 0°. Uma barra é de chumbo e a outra de prata. Calcular a) a corrente térmica através das barras e b) a temperatura na superfície de contato das duas.

5. Se as duas barras da questão anterior são montadas em paralelo. Calcular a) a corrente térmica em cada barra, b) a corrente térmica total e c) a resistência térmica equivalente desta montagem.

6. a) A temperatura superficial do Sol é cerca de 6000 K. Se admitirmos que o Sol irradia como um

corpo negro, em que comprimento de onda

λ

max se localizará o máximo da distribuição espectral? b) calcular

λ

_maxpara um corpo negro na temperatura ambiente T =300K .

7. Calcular a perda líquida de energia de uma pessoa nua numa sala a 20° (293 K), admitindo que irradie como um corpo negro de área superficial de 1,4 m2, na temperatura de 33° C (306 K). A temperatura superficial d corpo é ligeiramente mais baixa que a temperatura interna de 37°, em virtude da resistência térmica da pele.