Controlo de Sistemas Não-lineares

Controlo de Sistemas Não-lineares

J. Miranda Lemos

Professor Catedrático do IST 2012

Sumário

1.Modelo de estado de sistemas não lineares 2.Linearização

3.Segundo Método de Lyapunov 4.Controlo não linear

Modelo de estado de Sistemas Não-Lineares

Os sistemas lineares são muito importantes porque existe uma teoria muito completa sobre o seu funcionamento e projecto.

Isto é possível porque os sistemas lineares são definidos a partir de uma propriedade unificadora muito forte:

O Princípio de Sobreposição.

No entanto, há muitos exemplos de sistemas importantes em engenharia do controlo para os quais não é válido o Princípio de Sobreposição.

Para estes sistemas (não lineares), não é possível ter uma teoria tão completa e geral (porque falta uma propriedade unificadora), mas há resultados muito importantes que encontram aplicação crescente.

Exemplos de Sistemas não-lineares

 Campo de colectores solares

 Reactor Químico

 Braço robot

 Sistema de comunicação por modulação de fase

A estes exemplos poderiam ser acrescentados muitos outros, de interesse em Engenharia.

De um modo geral, sempre que há variações apreciáveis do ponto de trabalho, todos os sistemas se comportam como não-lineares.

Há sistemas cujo comportamento apenas pode ser compreendido tendo em conta o seu carácter não-linear.

Campo de colectores solares

u=caudal

y=temperatura

A dinâmica da relação entre o caudal de fluido e a temperatura à saída depende do caudal. A dinâmica varia consoante consoante o caudal médio, podendo pois variar.

Espelho Por um tubo situado no foco de um espelho que concentra a luz

solar, circula um fluido (‘oleo, capaz de se manter no estado líquido até 300ºC). A energia solar é armazenada neste fluído,

Dinâmica do campo de colectores solares

Pode ser aproximada pela equação às derivadas parciais (PDE):

)

(

)

,

(

)

(

)

,

(

T

z

t

R

t

z

t

u

t

z

T

t

















Modelo de estado não linear:



(

)

(

1

)



(

)

1

)

(

t

x

t

x

₁

t

R

t

u

dt

dx

i i i















_

i



1 

,

,

n

) ( ) (t x t y  _n

Reactor Químico (CSTR)

CSTR = Reactor químico contínuo, bem agitado (há homogeneidade no espaço, pelo que o sistema pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias)

dc

dt

F

V

c

c

k e

c

dT

dt

F

V

T

T

Jk e

c

kQ

A i Ai A E RT A i i o E RT A















 

(

)

(

)

/ / 0 Motor de agitação Água de refrigeração Entrada do reagente A com concentração c Saída de água de refrigeração Mistura bem agitada Concentração c Dá-s e uma reacção exotérmica A B Saída do reactor A B+calor Ai A

Há múltiplos pontos de equilíbrio no CSTR: A B C Temperatura do reactor, T Calor gerado pela

reacção

Calor extraído pelo refrigerante

T1 T2

T2' T3

Há três pontos de equilíbrio (A, B, C). Para estes, o calor gerado pela reacção é igual ao calor removidop pela água de refrigeração.

Os pontos A e C são estáveis. O ponto B é instável.

Partindo do ponto de equilíbrio B,suponhamos que há um ligeiro aumento de temperatura, que passa a ser T2’.

Neste caso, o calor gerado pela reacção é superior ao removido pelo refrigerante.

A temperatura vai aumentar cada vez mais, pelo que o ponto B é instável.

Algo de análogo sucede se a temperatura diminuir.

Braço Robot q q 1 2

T

q

g

q

q

C

q

q

H

(

)





(

,



)



(

)



Matriz 22 dos momentos de inércia do manipuilador

Forças de Coriolis Forças gravitacionais

Binários externos (entradas do sistema)

Repare-se que o momento de inércia “visto” pelo troço 1 do braço depende da posição do troço 2. O sistema é não-linear.

T

q

g

q

q

C

q

q

H

(

)





(

,



)



(

)



1 1

q

x



x

₂



q

₂

x

₃



q



₁

x

₄



q



₂

_u



_T

Equações de estado: 3 1

x

x





4 2

x

x







C

x

g

x

u



x

H

x

x





















_

)

(

)

(

)

(

1 4 3





Sistema de comunicação por modulação de fase

Um sistema de comunicação é constituído por uma Fonte, que gera a

mensagem m(t) a transmitir, por um modulador que gera a partir da

mensagem o sinal enviado pelo canal que permite a transmissão da

mensagem, resultando no sinal recebido y(t) e pelo receptor. O receptor

constrói uma estimativa mˆ t( ) da mensagem dadas observações do sinal

recebido.

Fonte Modulador Canal Receptor

Emissor

Fonte

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

t

Cx

t

m

t

Be

t

Ax

t

x

m m m









 t m(t)

Dado o espectro da mensagem, esta pode ser modelada como a passagem de ruído branco por

um filtro linear H(z) .

Este filtro pode ser representado pelo modelo de estado linear equivalente.

A partir da mensagem , o modulador de fase gera um sinal dado por

))

(

cos(



₀

t



m

t

em que



0 é a chamada frequência da “portadora”.

O canal pode ser modelado como a adição de ruído aditivo,



(t)

(eventualmente poseríamos limitar a banda do canal, complicando o modelo), pelo que

)

(

))

(

cos(

)

(

t

₀

t

m

t

t

y











O sistema de comunicação pode assim ser modelado pelas equações

)

(

)

(

)

1

(

t

Ax

t

Be

t

x

_m





_m



)

(

))

(

cos(

)

(

t

₀

t

Cx

t

t

y







_m





A primeira é uma equação de diferenças que modela a evolução de um estado. A segunda é uma equação algébrica que relaciona, em cada instante, as observações com o estado.

Um problema típico consiste em estimar recursivamente o estado (e a partir

Equações do modelo de estado não linear em tempo contínuo

)

,

( u

x

f

x





x

(

0

)

_dado

))

(

),

(

(

)

(

t

h

x

t

u

t

y



Equações do modelo de estado não linear em tempo discreto

))

(

),

(

(

)

1

(

k

f

x

k

u

k

x





x

(

0

)

_dado

))

(

),

(

(

)

(

k

h

x

k

u

k

y



Diferenças entre sistemas lineares e não lineares

Os sistemas não lineares apresentam características próprias que os sistemas lineares não apresentam:

 Possibilidade de não unicidade de solução;

 Múltiplos pontos de equilíbrio

 Dependência crítica dos parâmetros

Unicidade da solução

É condição suficiente para que a solução de

dx

dt  f x( ) x( )0  x0

seja única, que _f_x seja contínua numa vizinhança de x0 .

Nos sistemas lineares, a solução existe sempre e é única (Porquê?).

Nos sistemas não-lineares é possível encontrar exemplos em que _f

x não é

Um exemplo de não unicidade de solução

dx

dt



x

x



1

3

( )

0

0

Tem duas soluções:

x t( )   t    2 3 3 2 e x t( )  0 Repare-se que    f dx  x x x      1 3 1 23 3

Pontos de equilíbrio

Define-se ponto de equilíbrio como um ponto no espaqço de estado tal que, se o estado fôr iniciado nele, permanecerá constante no tempo.

Dada a equação

dx

dt



f x

( )

os pontos de equilíbrio correspondem a valores do estado constantes, os quais são por conseguinte dados pelas raízes da equação

Pontos de equilíbrio dos sistemas Lineares

Para um sistema linear

dx

dt  Ax

os pontos de equilíbrio são dados pelas raízes da equação algébrica linear

Ax



0

Se a matriz

A

não é singular, há um único ponto de equilíbrio, dado por x  0 .

Se a matriz

A

é singular, há uma infinidade de pontos de equilíbrio, que

formam um hiperplano que passa sempre pela origem. Osvectores deste

Pontos de equilíbrio múltiplos nos sistemas não-lineares

Quais os pontos de equilíbrio do sistema não linear seguinte?

dx

dt

  

x

x

3

(x escalar)

Os pontos de equilíbrio são dados pelas raízes da equação

x

(

 

1

x

)



0

Singularidades na solução

A solução da equação de estado dos sistemas lineares existe para todo o

tempo, entre o instante inicial e  . Nos sistemas lineares, a solução pode

tender para  , mas apenas quando o tempo tende para  .

Considere-se no entanto a equação não linear:

dx_dt  x2 x( )0  x0

Esta equação pode ser facilmente integrada por separação de variáveis:

dx x dx t x t x x t x x t 2 0 0 1 ( ) ( )



   x t x t ( )   1 1 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t y Simulação com x0 0 2.

A solução só existe para t

x

 1

Dependência crítica dos parâmetros

Nos sistemas não lineares, a estrutura das soluções pode variar de modo drástico com um parâmetro do sistema.

Exemplo de dependência dos parâmetros.

dx dt x x x dx dt x 1 1 2 1 3 2 1     



Para cada  o carácter das soluções é diferente:

Para   1  0 _{todas as soluções tendem para zero quando} t  

0 10 20 30 40 50 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 0 10 20 30 40 50 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 20 40 60 80 100 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4



 

0 1

,



 

01

.

Dependência crítica das condições iniciais 0 5 10 15 20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 dx dt y x dy dt rx y zx dz dt z xy         10 8 3 ( ) Equações de Lorenz.

Representam um modelo simples para a dinâmica da atmosfera.

Fazendo o parâmetro r=28, a solução apresenta uma forte dependência das condições iniciais.

As duas soluções ao lado foram obtidas com condiçlões iniciais, respectivamente x(0)=5,000 y(0)=5 z(0)=5 (figura de cima) e x(0)=5,005 y(0)=5 z(0)=5 (figura de baixo).

Ao fim de algum tempo as soluções são completamente diferentes.

No entanto, há uma regularidade: Todas as soluções estão “próximas” de um conjunto denominado atractor estranho

Na Mecânica Analítica (obra em que não havia figuras mas apenas raciocínios algébricos, como fazia notar o seu autor), Lagrange fez uma síntese monumental da Mecânica Física, seguindo uma metodologia baseada em equações diferenciais.

Laplace, um dos grandes matemáticos do séc XVIII, refere que um ser capaz de conhecer todas as equações que modelam os

elementos do universo, e as suas condições iniciais seria como um deus, já que o passado e o futuro lhe seriam perfeitamente conhecidos. A única complexidade adviria neste caso apenas da enorme dimensão do problema.

O exemplo anterior de sensibilidade às condições iniciais nas equações de Lorenz, mostra que, mesmo conhecendo todas as equações e condições iniciais, o deus de Lagrange não poderia determinar o futuro com precisão.

A partir dos anos 60, mas sobretudo nos últimos 20 anos, multiplicaram-se os exemplos semelhantes, em que sistemas de ordem reduzida, e descritos por equações aparentemente simples, apresentam comportamentos extremamente complexos.

Joseph-Louis Lagrange 1736-1813

Ciclos limite

Dá-se o nome de ciclo limite a uma trajectória fechada no plano de estado. Um ciclo limite estável é tal que, para condições iniciais perto dele, a trajectória de estado tende a aproximar-se do ciclo limite. Caso contrário o ciclo limite diz-se instável.

Os ciclos limite estáveis correspondem a oscilações de amplitude e frequência que tendem a manter-se constantes, mesmo na presença de perturbações.

Exemplo: A equação de Van der Pool

Um modelo de osciladores electrónicos de diversos tipos: d y dt y dy dt y 2 2 2 1 0





(  )   _{sendo  um parâmetro real.}

Definindo variáveis de fase

x

1



y

,

_dt

dy

x

₂



obtêm-se as equações de estado não lineares

dx dt x dx dt x x x 1 2 2 1 2 2 1 1  



(  ) 

-3 -2 -1 0 1 2 3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 A B

Ciclo limite na equação de Van der Pool para =0.1

O ciclo limite corresponde à trajectória fechada.

Partindo de uma amplitude um pouco superior, por exemplo do estado marcado A, a trajectória do estado tende a aproximar-se do ciclo limite.

O mesmo sucede se partirmos de uma trajectória um pouco inferior (ponto B).

O ciclo limite corresponde a oscilações de amplitude e frequência constante. 0 10 20 30 40 50 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 10 20 30 40 50 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 10 20 30 40 50 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Partindo de um ponto sobreo ciclo limite, a amplitude das oscilações mantém-se

aproximadamente constante

Partindo de um ponto fora do ciclo limite, a amplitude diminui, estabilizando à medida que o estado se aproxima do ciclo limite

Partindo de um ponto dentro do ciclo limite, a amplitude aumenta, estabilizando à medida que o estado se aproxima do ciclo limite

Recorde-se a equação de Van der Pool d y dt y dy dt y 2 2 2 1 0 



(  )  

Para =0 esta equação degenera na equação do oscilador linear.

Repare-se no entanto que, neste caso, a amplitude das oscilações não é bem determinada.

No oscilador linear, por cada ponto do plano de estado passa uma trajectória de estado fechada.

Quando  cresce, as oscilações vão-se afastando cada vez mais da forma sinusoidal. -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 10 20 30 40 50 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

2.Linearização

Objectivo: Introdução à análise e projecto baseados na linearização

Linearização Jacobiana t t u u(t) x x(t) Sistema u(t) x(t)

Dadas uma entrada e uma saída nominais, u , y_{, consideram-se incrementos}

em torno delas: u(t)  u(t) u, x(t)  x(t)  x

Os incrementos satisfazem o modelo linear:

d x t

dt

A x t

B u t







( )

( )

( )





x x u u x x u u

u

f

B

x

f

A



|

_{ , }



|

_{ , }









O comportamento do sistema não-linear pode ser muito diferente do comportamento do sistema linearizado.

Exemplo: Controlabilidade

O sistema linearizado não é controlável pois 1 1

0 0        tem característica 1.

É no entanto possível mostrar que, partindo da origem, é possível atingir qualquer ponto numa bola em torno da origem: O sistema não linear é controlável.

dx

dt

x

u

dx

dt

x

x

1 1 2 1 3 2

  

  

O sistema linearizado

em torno da solução nominal x t( )   u t( )

      0 0 0 é d x dt x u  _  _{ }               1 0 0 1 1 0

Relação entre a estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linear e da sua linearização em torno desse ponto

Seja x  0 um ponto de equilíbrio de

dx

dt



f x

( )

.

 Se todos os valores próprios do sistema linearizado em torno de x  0

tiverem parte real negativa, este ponto de equilíbrio é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável do sistema não linear.

 Se o sistema linearizado tiver valores próprios imaginários puros nada se

pode dizer.

 Se o sistema linearizado tiver pelo menos um valor próprio com parte real

Exemplo em que não há equivalência de comportamento A) dx dt x x x x dx dt x x x x 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2        ( ) ( ) B) dx dt x x x x dx dt x x x x 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2        ( ) ( )

Os comportamentos destes sistemas em torno do ponto de equilíbrio (0,0) são muito diferentes: A é instável e B é estável.

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 A B

No entanto, ambos têm a mesma linearização em torno da origem, dada por dx dt x dx dt x 1 2 2 1    -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Para se perceber como foi construído este exemplo, tenha-se em

consideração que, em coordenadas polares

 

r, _{, as equações são}

dr

dt

r

d

dt





3

1



_e

dr

dt

r

d

dt

 



3

1



Com base nestas equações, mostre que no primeiro caso a origem é um ponto de equilíbrio instável e, no segundo caso, um ponto de equilíbrio estável.

Nota sobre o Teorema da Variedade Central

Quando há valores próprios da matriz do sistema linearizado que são imaginários puros, não se pode, dizer nada sobre a estabilidade do ponto de equilíbrio em torno do qual se fez a linearização.

No entanto o Teorema da Variedade Central (Center Manifold Theorem) permite estudar a estabilidade do sistema original (não linear) a partir de um problema mais simples, em que se estuda a estabilidade de um sistema com ordem n-p, sendo n a ordem do sistema original e p o número de valores próprios com parte real nula.

O Teorema da Variedade Central não é estudado neste curso. No entanto, é a base de diversos resultados importantes em controlo não linear.

3.Segundo Método de Lyapunov

Objectivo: Formular e exemplificar o Segundo Método de Lyapunov para

Estabilidade no sentido de Lyapunov

O estado de equilíbrio x=0 diz-se estável (no sentido de Lyapunov) se, para

cada R>0 existir r>0 tal que se

x

( )

0



r

então

x t

 



R

para todo o

t



0

Caso contrário o ponto de equilíbrio diz-se instável.

Quer dizer: para um ponto de equilíbrio estável, se fixarmos um R (que pode ser arbitrariamente pequeno), é sempre possível escolher uma condição inicial suficientemente próxima da origem (equilíbrio) tal que o estado fica sempre dentro da bola de raio R.

S SR r Estável 0 x(0) S SR r Instável 0 x(0)

Questão para pensar: O oscilador de Van der Pool





dx dt x dx dt x x x 1 2 2 1 2 2 1 1    

tem como ponto de equilíbrio (0,0). Será que este ponto de equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov? Repare que as trajectórias ficam contidas dentro do ciclo limite… -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

Recordemos a definição de estabilidade: Para o ponto de equilíbrio ser estável dada uma

qualquer bola de raio R em torno da origem, devemos conseguir uma condição inicial

suficientemente próximo da origem tal que o estado se mantém dentro dessa bola.

É claro que se escolhermos, por exemplo, R=0,5, não há nenhuma vizinhança (de raio não nulo!) da origem que garanta que o estado fica sempre dentro da bola de raio R=0,5.

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 V_R

A origem é portanto um ponto de equilíbrio instável no sentido de Lyapunov

Repare-se que este exemplo mostra que instabilidade não significa necessariamente escapar para infinito.

Estabilidade assimptótica

O ponto de equilíbrio x=0 é assimptoticamente estável se fôr estável e se,

para além disso existir r>0 tal que x

 

0  r implica que x t( )  0 _quando

t   _. x(0) S S_R r Assimptiticamente Estável 0 Assimptoticamente estável significa que o equilíbrio é estável e ainda que estados que começam perto da origem convergem para ela quando o tempo tende para infinito

Estabilidade local e estabilidade global

As definições anteriores caracterizam o comportamento local dos sistemas, isto é o comportamento do estado quando é inicializado “perto” de um dado ponto de equilíbrio.

Se a estabilidade assimptótica é válida para qualquer estado inicial, o ponto de equilíbrio diz-se globalmente assimptoticamente estável.

O segundo Método de Lyapunov

Num sistema mecânico, a estabilidade está directamente relacionada com a energia:

 A energia nula corresponde ao ponto de equilíbrio (posição=0, velocidade=0);

 A estabilidade assimptótica implica convergência da energia mecânica para zero;

 A instabilidade está relacionada com o crescimento da energia mecânica

A generalização deste facto sugere que se estude a estabilidade definindo uma função do estado que deverá ser decrescente para sistemas assimptoticamente estáveis.

Esta é a base do Segundo Método de Lyapunov ou Método Directo de Lyapunov.

Uma questão que não passará desperrcebida aos espíritos mais atentos é a seguinte: Se este era o segundo método, qual era o primeiro?

O primeiro método de Lyapunov estuda a estabilidade de um ponto de equilíbrio a partir da estabilidade do sistema linearizado, usando o teorema já apresentado. De facto, este teorema pode demonstrar-se usando o Segundo Método.

Como o segundo Método não recorre ao sistema linearizado, também se chama Método Directo. O Método Directo é uma das ferramentas mais gerais para o estudo da estabilidade de sistemas não lineares. Deve estudar-se cuidadosamente e muitas vezes, com ou sem açúcar.

Aleksandr Mikhailovitch Lyapunov (1857-1918) escreveu, em 1892 a memória

O Problema Geral da Estabilidade do Movimento, que constituiu a sua tese de

Doutoramento e que ainda hoje merece o interesse de uma reedição (Int. J.

Control (1992), 55, 3, 775-784). Neste texto, Lyapunov estabeleceu os dois

métodos que têm o seu nome e que ainda hoje constituem a base e fonte de

inspiração para muitos trabalhos em Controlo. O problema da estabilidade do movimento,

sugerido pela estabilidade das órbitas no sistema solar, constituiu desde o sec. XVIII um tema de grande importância na Mecânica Celeste. Em 1788, Lagrange enunciou o Princípio que tem o seu nome: Num sistema conservativo um mínimo isolado da energia potencial corresponde a um

ponto de equilíbrio. A análise de Lagrange era incompleta e foi colocada em termos mais

rigorosos por Dirichlet. Em 1842 e 1855 Liouville publicou trabalhos relativos ao equilíbrio de corpos em fluídos. Na sua sequência, em 1882, Chebyshev sugeriu a Lyapunov o tema da estabilidade em fluidos. Lyapunov não pilotou aviões mas contribuiu significativamente para as asas da nossa imaginação.

Funções definidas positivas

Uma função escalar contínua V(x) diz-se localmente definida positiva se V(0)=0

e se, na bola B_{R, se verificar} x  0 V x

 

 0

Se V(0)=0 e esta propriedade se verificar para todo o espaço de estado, então V(x) diz-se globalmente definida positiva.

Repare-se que a função V tem um mínimo global isolado na origem x=0.

x x V 0 1 2

Uma função escalar do estado contínua V(x) diz-se localmente

semi-definida positiva se

V(0)=0

e se, na bola B_{R, se verificar}

 

x  0 V x  0

Se V(0)=0 e esta propriedade se verificar para todo o espaço de estado, então V(x) diz-se globalmente semi-definida positiva.

Uma função escalar contínua V(x) diz-se (semi-) definida negativa se -V(x) fôr (semi-)definida positiva.

V diz-se indefinida se, por muito pequena que seja a bola que se tome em torno da origem, toma sempre nela valores positivos e definidos.

Alguns exemplos a) V x( )  x1  x 2 2 2 2 _{definida positiva} b) V x( ) 



x1  x2



2 semidefinida positiva c) V x( )  x1 



x  x



2 1 2 2 3 2 _{definida negativa} d) V x( )  x x1 2  x2 2 indefinida e) V x x x x ( )    1 2 2 2 2 2 2 1 positiva definida

Formas Quadráticas

As formas quadráticas são escritas como

V x

( )



x Px

T

em que P 

 

p_{ij é uma matriz simétrica. Esta função é definida positiva se se}

verificar o critério de Sylvester:

p p p p p p p p p p p p p p n n n n nn 11 11 12 12 22 11 12 1 12 22 2 1 2 0 0 0  ,  , ,        

Formas Quadráticas - Exemplo

V x( )  10x₁2  4x₂2  x₃2  2x x_{1 2}  2x x_{2 3}  4x x_{1 3}

Pode ser escrita na forma





V x x Px x x x x x x T ( )                           1 2 3 1 2 3 10 1 2 1 4 1 2 1 1

A matriz da forma quadrática verifica o critério de Sylvester:

10 0 10 1 1 4 39 0 10 1 2 1 4 1 2 1 1 17 0          , ,

Função de Lyapunov

Considere-se um sistema não linear descrito por

dx

dt  f x( ) x( )0  x0

Seja V(x) uma função definida positiva, com derivadas parciais contínuas, definida numa bola em torno da origem x=0 (suposto estado de equilíbrio). A função V diz-se uma função de Lyapunov se a sua derivada em ordem ao tempo ao longo de qualquer trajectória do sistema dentro da bola fôr semi-definida negativa. Quer dizer, se

dV dt  0

Interpretação da função de Lyapunov

Para interpretar o significado da condição imposta para que uma função definida positiva seja uma função de Lyapunov, considere-se uma condição inicial arbitrária x(0) dentro da bola onde está definida a função V. A este estado inicial

corresponde o valor V(x(0)).

À medida que o tempo passa, o estado x(t) precorre uma trajectória no plano de estado. Correspondentemente, V(x(t)) toma valores na superfície que define a função V.

Para que V seja função de Lyapunov é necessário que esta sucessão (continua) de valores seja

decrescente (em sentido lato).

x x V(x(0)) x(0) x(t) V(x(t)) 1 2

Cálculo da derivada da função de Lyapunov

Pretende-se calcular

dV x t dt

( ( )

ao longo das trajectórias de estado da equação dx

dt  f x( )

Tendo em conta a derivação da função composta

dV

dt

V

x

dx

dt

V

x

dx

dt

n n















1 1

_

Tendo em conta que x(t) satisfaz o sistema de equações diferenciais:

dV

dt

V

x

dx

dt

V

x

dx

dt

n n















1 1

_

Ou seja, ao longo das trajectórias do sistema, a derivada da função V é:

dV

dt

V

x

f x

V

x

_n

f

n

x















1 1

( )



( )



f x

₁

( )



f x

n

( )

Teorema de Estabilidade Local de Lyapunov

Se, numa bola B fôr definida uma função de Lyapunov V(x), então o ponto de equilíbrio x=0 é localmente estável no sentido de Lyapunov.

Se a derivada de V(x) ao longo das trajectórias de estado fôr definida negativa dentro da bola B:

dV

dt



o

ao longo das trajectórias de estado, então o equilíbrio x=0 é localmente assimptoticamente estável no sentido de Lyapunov.

Interpretação Geométrica x x V 0 1 2 V(x)=V 1 V(x)=V₂ V(x)=V 3 V >V >V_{1 2 3} V(x)=V 1 V(x)=V₂ V(x)=V 3 x₂ x₁

A função de Lyapunov pode ser interpretada como fornecendo uma “distância” à origem x=0. O que o Teorema de Estabilidade de Lyapunov nos diz é que esta distância generalizada não pode aumentar para que o sistema seja estável.

Exemplo 1 dx dt x x x dx dt x x x 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2      

A origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio (porquê?). Para estudar a sua estabilidade, experimentemos com a candidata a função de Lyapunov

V x x x x ( 1 ) 2 1 2 2 2        

Esta função é contínua, tem derivadas parciais em ordem às componentes de x contínuas e tem um mínimo para x=0. Para além disso, tem de ser decrescente ao longo das trajectórias do sistema.

Tem-se:









dV dt x dx dt x dx dt dV dt x x x x x x x x dV dt x x x x para x               2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ( )

Conclui-se assim que o ponto de equilíbrio x=0 é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável.

Interpretação geométrica No exemplo anterior, a função de Lyapunov é definida por

V x x x x ( 1 ) 2 1 2 2 2        

Quando V toma o valor constante 0, é definida no espaço de estados o ponto de equilíbrio x=0.

Quando V toma valores constantes sucessivamente maiores, C1  C2  C2  as sucessivas equações

V x x( ,_{1 2})  C_{i definem circunferências de raio}

sucessivamente maior em torno da origem.

Assim, V(x) pode ser interpretado como uma medida da distância do estado x ao ponto de equilíbrio. Sendo o sistema estável, o Segundo Método de Lyapunov diz-nos que esta distância não pode aumentar. Sendo assimptoticamente estável, diminui sempre.

x x V aumenta V=C 2 1 1 V=C₂ V=C₃

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 1 x 2

Exemplo 2

O que pode dizer ácerca da estabilidade da origem de:























3 2 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1

2

x

x

x

dt

dx

x

x

x

dt

dx

Sugestão: Use como candidata a função de Lyapunov uma função da forma



2



2 2 1

2

1

)

(

x

ax

bx

V





)

2

(

(

₁3 _{1 2}2 _{2 1}2 _{2 2}3 1

x

x

x

bx

x

x

x

ax

V















4 2 2 2 2 1 2 2 2 1 4 1

ax

x

2

bx

x

bx

ax

V













4 2 2 2 2 1 4 1

(

a

2

b

)

x

x

bx

ax

V













Escolhendo

a



2

b



1

vem



₁4



₂4





0





x

x

V

_{fora da origem}

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 1 x 2

Um teorema de Instabilidade

Consideremos o sistema não-linear descrito por

dx

dt  f x( )

em que a origem é um ponto de equilíbrio, isto é, tal que

f ( )0  0

Este ponto de equilíbrio é instável se existir uma função W(x), contínua e com primeiras derivadas parciais contínuas, tal que:

 A função W(x) é definida positiva numa região em torno da origem

Exemplo 3





















)

,

(

)

,

(

2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

x

x

f

x

x

dt

dx

x

x

f

x

x

dt

dx

Mostre que se, numa vizinhança da origem,

0

)

,

(

x

₁

x

₂



f

_{então a origem é assimptoticamente estável}

0

)

,

(

x

₁

x

₂



f

_{então a origem é instável}

Sugestão: Considere a candidata a função de Lyapunov



2



2 2 1 2 1 2 1 ) , (x x x x V  



2



2 2 1 2 1 2 1 ) , (x x x x V  

))

,

(

(

))

,

(

(

_{2 1 1 2 2 1 2 1 2} 1 2 2 1 1

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

V





















)

,

(

)

,

(

_{1 2 2 1 2}2 _{1 2} 2 1 2 1

x

x

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

V













x

₁2

x

₂2



f

(

x

₁

,

x

₂

)

V









Se f  0 a derivada da função de Lyapunov é definida negativa, e podemos

aplicar o teorema de estabilidade de Lyapunov para concluir que a origem é

assimptoticamente estável. Caso contrário ( f  0 ) a derivada é definida

Teorema de Estabilidade Global de Lyapunov

Se existir uma função V do estado x com primeiras derivadas contínuas e tal que

 V(x) é definida positiva;

 A derivada em ordem ao tempo de V(x) é definida negativa

 V x( )   _quando x  

então a origem x=0 é um ponto de equilíbrio globalmente assimptoticamente estável.

Interpretação da condição adicional para estabilidade global

A condição V x( )   _quando x  _{é necessária para garantir que as}

curvas de nível de V correspondem a curvas fechadas. Se assim não fosse, poderia suceder a situação da

figura, em que há trajectórias de estado que se afastam cada vez mais do equilíbrio,

embora por pontos onde o valor de V é

progressivamente menor. x

x₂

1

Exemplo 4 – Pêndulo não amortecido m  L

_dt

d

x

x

₁





₂





















1 2 2 1

sin x

L

g

dt

dx

x

dt

dx

O que se pode dizer sobre a estabilidade com a seguinte candidata a função de Lyapunov (energia potencial + energia cinética)?

2 2 2 1

2

1

)

cos

1

(

)

(

x

mgL

x

mL

x

V







2 2 2 1

2

1

)

cos

1

(

)

(

x

mgL

x

mL

x

V











2

sin

0

2

1

sin

_{1 2} 2 _{2 1}



















x

L

g

x

mL

x

x

mgL

V

A energia total é constante ao longo das trajectótias do sistema.

Como

V



0

ao longo das trajectórias do sistema, isto sugere que a origem

é estável (pelo menos), mas temos de verificar as outras condições do

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -1 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Aspecto da função

V

perto do ponto (0,0). A função é definida positiva e

2 2.5 3 3.5 4 -2 0 2 14 16 18 20 22

Aspecto da função

V

perto do ponto correspondente ao pêndulo invertido.

A função

V

é indefinida, pelo que não podemos concluir nada sobre a

Repare-se que, recorrendo à linearização, tínhamos concluído que o ponto de equilíbrio correspondente ao pêndulo invertido é instável.

Não tínhamos no entanto podido concluir nada sobre a estabilidade do ponto (0,0). O 2º Método de Lyapunov permitiu demonstrar que este ponto é estável.

-10 -5 0 5 10 -10 0 10 0 20 40 60 80

-10 -5 0 5 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 1 x 2

O suporte da função de Lyapunov construída em torno da origem não pode ser extendido a todo o espaço de estados. A estabilidade da origem é, pois local.

Como, se pode ver nas duas figuras anteriores, há múltiplos pontos (infinitos) de equilíbrio estáveis. Correspondem à posição do pêndulo “em baixo”.

Este exemplo mostra que não faz sentido falar em estabilidade de um sistema, mas apenas de um ponto de equilíbrio. No mesmo sistema podem existir diversos pontos de equilíbrio, sendo uns estáveis e outros instáveis.

Conjuntos invariantes

Um conjunto G é um conjunto invariante de um sistema dinâmico se qualquer trajectória do sistema que começa num ponto de G permanece em G para todos os instantes futuros.

Exemplos:

 Um ponto de equilíbrio

 Todo o espaço de estado

Teorema Local do Conjunto Invariante

Considere-se um sistema da forma dx_dt  f x( ) com f contínua e com primeiras derivadas parciais contínuas, e seja V(x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha-se que

 Existe L tal que a região (L) definida por V(x)<(L) é limitada;  A função V(x) é tal que

dV

dt

( )

x



0

para todo o x em (L).

Seja R o conjunto dos pontos em que dV

dt ( )x 0 e M o maior conjunto invariante de R.

Então, toda a solução x(t) iniciada em (L) tende para M quando t  .

(L)

R

M

No teorema anterior, a expressão maior conjunto invariante em R significa a união de todos os conjuntos invariantes (por exemplo, pontos de equilíbrio ou ciclos limites) em R.

Em particular, se o conjunto R fôr ele próprio invariante, isto é, se quando

dV _{dt  0}

para um dado t então dV dt  0 para todos os instantes futuros,

então M=R.

Teorema Global do Conjunto Invariante

Considere-se um sistema da forma dx_dt  f x( ) _{com f contínua e com primeiras}

derivadas parciais contínuas, e seja V(x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha-se que

 V x( )   _quando x  

 A função V(x) é tal que

dV

dt

( )

x



0

em todo o espaço de estado.

Seja R o conjunto em que dV_dt ( )x 0 _{e M o maior conjunto invariante de R.}

Então, todas as solução convergem globalmente assimptoticamente para M

Exemplo 5





















2 2 1 2 3 2 3 1 1

2

2

x

x

dt

dx

x

x

dt

dx

Tomando como candidata a função de Lyapunov



2



2 2 1

2

1

)

(

x

x

x

V





diga o que pode concluir pela aplicação:

a) Do Teorema de estabilidade de Lyapunov b) Do Teorema do Conjunto Invariante



 

2



2 1 2 3 2 3 1 1

x

2

x

x

2

x

x

x

V













0

4 1







x

V

A aplicação do Teorema de Estabilidade de Lyapunov garante que a origem é um ponto de equilíbrio estável, pelo menos.

Será que é assimptoticamente estável?

O Teorema do conjunto invariante diz que (sob certas condições) todas as trajectórias tendem para o maior conjunto invariante contido no conjunto em

que

_dt



0

dV

. Como, neste caso

4 1

x

V







o conjunto em que

_dt



0

dV

é o conjunto em que



x

14



0

, ou seja,

x

1



0

.

O conjunto em que

_dt



0

dV

Para determinar o maior conjunto invariante de           2 2 1 2 3 2 3 1 1 2 2 x x dt dx x x dt dx

contido no eixo

x

2 , tome-se um ponto arbitrário, por exemplo A. Será que

pertence a um conjunto invariante contido no eixo

x

2 ?

A

x1 x2

A x1 x2





















2 2 1 2 3 2 3 1 1

2

2

x

x

dt

dx

x

x

dt

dx

No ponto A,

x

1



0

pelo que, neste ponto,

3 2 1

2x

x





_e

x

₂



0

_{. Assim, no}

ponto A,

x

2 fica constante e

x

1 aumenta, pelo que o estado se vai deslocar

no sentidoi da seta, saindo do conjunto em que

x

1



0

. Assim, A não pode

Conclui-se assim que o maior conjunto invariante contido no eixo vertical é a origem (0, 0).

Pelo Teorema do Conjunto Invariante, todas trajectórias se aproximam assim

de (0,0) (maior conjunto invariante contido no conjunto em que

V



0

).

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 x 2

Análise da estabilidade de SLITs

 

dx

dt  Ax t( ) dim x  n

A

não singular

Por forma a descobrir uma função de Lyapunov, ensaia-se a forma quadrática

 

V x



x Px

T

em que P é uma matriz simétrica definida positiva (porquê?).

A derivada em ordem ao tempo da candidata a função de Lyapunov V ao longo das trajectórias do sistema é





dV x dt d dt x Px dx dt Px x P dx dt T T T ( ) _{  }    







x A Px

T T



x PAx

T



x

T

A P

T



PA x





dV x

dt

x

A P

PA x

T T

( )





Para que a função V seja decrescente ao longo das trajectórias de estado do sistema (sendo por conseguinte o sistema assimptoticamente estável), a matriz Q dada por:

 

Q

A P

T



PA

tem de ser definida positiva.

A afirmação conversa também é verdadeira:

Se o sistema dx_dt  Ax _{é assimptoticamente estável, então, dada Q, simétrica e}

definida poositiva qualquer, a equação (dita equação de Lyapunov)

 

Q

A P

T



PA

admite uma solução P simétrica e definida postiva.

Em particular, podemos fazer

Q



I

para simplificar os cálculos.

Nota: A demonstração de que se existe solução simétrice e definida positiva para um dado Q então existe para qualquer Q, simétrica e definida positiva, embora simples, não é trivial.

Função de Lyapunov de um SLIT - Exemplo Dado o SLIT dx dt    x t       0 1 2 3 ( ) A          0 1 2 3

pretende-se mostrar que é assimptoticamente estável.

De acordo com o exposto, o sistema será assimptoticamente estável se a equação de Lyapunov

 

Q

A P

T



PA

tiver solução definida positiva.

Para resolver a equação de Lyapunov, usa-se o método dos coeficientes indeterminados. A equação de Lyapunov é neste caso

          _                          1 0 0 1 0 2 1 3 0 1 2 3 11 12 12 22 11 12 12 22 p p p p p p p p

          _                          1 0 0 1 0 2 1 3 0 1 2 3 11 12 12 22 11 12 12 22 p p p p p p p p

Simplificando ambos os membros e igualando os coeficientes correspondentes, obtem-se

                        1 4 0 2 3 1 2 6 5 4 1 4 1 4 12 22 11 12 12 22 11 12 22 p p p p p p p p p A matriz P          5 4 14 1 4 14

é definida positiva pois (critério de Sylvester)

5

40 P  140

5.Controladores para sistemas não lineares

Objectivo: Introdução a técnicas de projecto para controladores de sistemas não lineares: Control Lyapunov Function. Introdução ao Controlo Adaptativo.

O Método Directo de Lyapunov (ou 2º Método de Lyapunov) é uma técnica que permite estudar a estabilidade de um ponto de equilíbrio de um sistema não linear sem entrada. Pode ser usado para o projecto de controladores da seguinte forma:

 Admite-se uma estrutura para as equações do controlador, sendo

necessário escolher parâmetros (que podem ser funções do tempo).

 Em conjunto, o sistema e o controlador passam a ser um sistema

autónomo (sem entrada externa), dado que o cointrolador impõe a entrada do sistema e o sistema impõe a entrada do controlador (realimentação)

 Escolhe-se uma candidata a função de Lyapunov, sendo escolhidos os parâmetros do controlador (ou as suas equações de estado) por forma a que se verifiquem as condições do Teorema de Estabilidade de Lyapunov.

A esta função de Lyapunov dá-se o nome de Control Lyapunov Function (CLF).

Os examplos seguintes ilustram esta técnica em situações muito simples. No segundo caso, embora usando simplificações, a técnica permite obter um controlador que pode ser aplicado a um sistema real (campo de colectores solares distribuídos).

O primeiro exemplo embora muito simples, pode ser motivado pela optimização da potência consumida num telemóvel quando a sua posição varia em relação à antena emissora.

Faz-se no entanto notar que, numa situação real, as equações seriam mais complexas, embora as técnicas ilustradas continuem a ser aplicadas (com mais elementos que não se estudam neste curso).

Controlo Adaptativo – Ajuste de um ganho antecipativo

K

b

s+1

r

y

bKr

y

y









O parâmetro

b

é desconhecido. Sabe-se que

b



0

.

Problema: Ajustar o ganho

K

por forma a que a relação entre

r

e

y

(o

chamado “modelo de referêcia”) seja:

r

y

a) Obtenha uma equação (dita “equação de erro”) que relaciona o erro de seguimento m

y

y

e

:





com o erro na estimativa de

K

definido por:

*

:

~

K

K

K





K

_b

1

:

*



em que

K

* é o valor do ganho que cumpre a especificação (desconhecido!).

Sugestão: Derive

e

. Observe que

y

m

y

m

bK

r

*







b) Determine uma lei de ajuste de

K

por forma a que

















2

1

~

2

2

1

)

~

,

(

e

K

e

K

V







0

constante

seja uma função de Lyapunov.

Sugestão: Sendo

b

uma constante:

K

~





K



. O estado é formado por duas

variáveis (

e

e

K

~

). Já temos uma equação diferencial para

e

. A equação

diferencial para

K

~

pode ser escolhida por nós (é a lei de ajste de

K

).

c) O Teorema do Conjunto Invariante diz que o estado tende para o maiort

conjunto invariante contido no conjunto em que

V

é zero. O que pode

concluir daqui?

d) Será que, no limite

K



K

* ? Observe as equações de estado do sistema

controlado (em

e

e

K

~

).

Dereivando

e



y



y

m obtém-se:

e





y





y



m

bKr

y

y









r

bK

y

y



_m





_m



*

Subtraindo estas equações:

r

K

K

b

y

y

y

y







_m





(



_m

)



(



*

)

Ou seja, pela definição de

e

:



y



y

m e

*

:

~

K

K

K





_{, otém-se a equação} de erro:

r

K

b

e

e









~

















2

1

~

2

2

1

)

~

,

(

e

K

e

K

V





e

b

K

r



K

K

e

ber

K

K

e

K

K

e

e

V

1

~

~

~

1

~

~

2

1

_

~































_















Escolhe-se

K

por forma a que

o termo entre parêntesis se anule

0

2













ber

V

e

K





