Diagramas tensão-deformação típicos de concretos, obtidos de corpos de prova cilíndricos em ensaios sob deformação

(1)

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 – Diagramas tensão-deformação típicos de concretos, obtidos de corpos de prova cilíndricos em ensaios sob deformação

controlada III-1

Figura 3.2 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto sob compressão,

segundo o Eurocode:2004 – item 3.1.7, onde fcd = αcc.fck / γc III-3

Figura 3.3 – Diagrama parábola-retângulo para o concreto sob compressão,

segundo a NBR-6118/2004, onde fcd = fck / γc III-4

Figura 3.5 – Diagrama tensão-deformação do concreto para análise estrutural não linear, segundo o CEB (o uso de 0,4.fcm para a definição de

Ecm é aproximado). III-6

Figura 3.6 – Diagrama tensão-deformação de cálculo para o concreto para análise estrutural não linear, segundo o Eurocode (o

uso de 0,4.fcd para a definição de Ecd é aproximado). III-7

Figura 3.6 – Ilustração da consideração da resistência fc = 1,1.fcd III-9

Figura 3.7 – Diagrama parábola-retângulo do concreto sob compressão, a ser utilizado neste trabalho, para o cálculo dos efeitos de

segunda ordem. III-9

Figura 3.8 – Diagrama tensão-deformação do Eurocode:2004 do

concreto para o cálculo dos efeitos de segunda ordem. III-10 Figura 3.9 – Comparação entre os diagramas do Eurocode e da NBR 6118,

para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem para concretos C20,

C30, C40 e C50. III-10

Figura 3.10 – Diagrama parábola-retângulo do concreto sob compressão,

considerada a fluência. III-12

Figura 3.11– Diagrama “tensão – deformação” idealizado e de projeto

para os aços para concreto armado – CEB:2004. III-14 Figura 3.12 – Diagrama “tensão – deformação” para os aços para

concreto armado segundo a NBR 6118:2004 III-15 Figura 3.13 – Esquema estrutural para o exemplo 3.7. Pilar em balanço

com as solicitações no topo e sua seção transversal. III-17 Figura 4.1 – Seção retangular e em “L”. Numeração dos vértices e dos

lados IV-2

Figura 4.2 – Seção genérica. Numeração dos vértices e dos lados IV-2 Figura 4.3 – Localização da barra associada ao vértice i. IV-4 Figura 4.4 – Definição dos eixos baricentrais de coordenadas para uma

seção genérica. IV-5

Figura 4.5 – Definição de um trapézio associado a um dos lados de uma poligonal para o cálculo das propriedades geométricas da

seção. IV-7

(2)

Figura 5.1 – Flexão normal composta na direção Y. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano (Y,Z):

1 / ry = εo / vLN V-1

Figura 5.2 – Flexão normal composta na direção X. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano (X,Z):

1 / rx = εo / vLN V-3

Figura 5.3 – Flexão oblíqua composta. Deformação de um segmento de

comprimento dz do pilar V-4

Figura 5.4 – Definição dos domínios de deformação. V-5 Figura 5.5 – Seção transversal genérica e diagrama de deformações. V-7 Figura 5.6 – Integração das tensões no concreto. V-11 Figura 5.7a – A reta i.j corta tanto o eixo dos ξ quanto o eixo dos η e esse

acima da origem V-17

Figura 5.7b – A reta i.j corta tanto o eixo dos ξ quanto o eixo dos η e esse

abaixo da origem V-17

Figura 5.8 – Momentos fletores positivos V-22 Figura 6.1 – Diagramas de deformações que definem a curvatura para dado

εo no Estado Limite Último VI-1

Figura 6.2 – Definição dos domínios de deformação da NBR 6118:2004. VI-3 Figura 6.3 – Seção transversal retangular com quatro considerações de

armadura para construção do diagrama “ν x εo”. VI-4

Figura 6.4 – Diagrama “ν x εo” para a seção da figura 6.2 com α = 0 graus. VI-4

Figura 6.5 – Diagrama “ν x εo” para a seção da figura 6.2 com α = 30 graus. VI-5 Figura 6.6 – Diagrama “ν x εo” para a seção da figura 6.2 com α = 45 graus. VI-5

Figura 6.7 – Diagrama “ν – eo” de uma seção retangular, para α = 0. Limites

entre os domínios de deformação. VI-6 Figura 6.8 – Diagrama “ν – eo” com α = 0. Limite entre os domínios 4 e 5. VI-7

Figura 6.9 – Exemplo de seção em “L” para construção de diagramas “ν -

εo”. VI-7

Figura 6.10 – Diagrama “ν – eo” para o Estado Limite Último, da seção em

“L”, para α = -45°. VI-8

Figura 6.11 – Diagrama “ν – eo” para o Estado Limite Ultimo, da seção em “L”,

para α = 0°. VI-8

Figura 6.12 – Diagrama “ν – eo” para o Estado Limite Ultimo, da seção em “L”,

para α = +45°. VI-9

Figura 6.13 – Diagramas de deformação para curvaturas (1/rα)ELU do

estado limite último com εc,máx = εcu2 e 1/rα = Kcurv.(1/r)ELU

com εc,máx < εcu2. VI-10

(3)

Figura 7.1 – Seção genérica solicitada à flexão oblíqua composta. VII-1 Figura 7.2 – Diagrama Nd – Mxd – My d - α. VII-3

Figura 7.3 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1, com

distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados. VII-4 Figura 7.4 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com

distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados. VII-5 Figura 7.5 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com

distribuição uniforme de armadura e igual nos quatro lados. VII-5 Figura 7.6 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1,0, com toda

armadura distribuída em duas faces. Comparar o diagrama

com o da figura 7.3. VII-6

Figura 7.7 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda

armadura distribuída nas faces de comprimento hx.

Comparar com o diagrama da figura 7.4. VII-6 Figura 7.8 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda

armadura distribuída nas faces de comprimento hx.

Comparar com a figura 7.5. VII-7

armadura distribuída nas faces de comprimento hx e várias

taxas mecânicas de armadura. VII-7

Figura 7.10 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda

armadura distribuída nas faces de comprimento hx e vários

valores para a força normal reduzida. VII-8 Figura 7.11 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 5,0, com toda

armadura distribuída nas faces de comprimento hx (ny = 0) e

vários valores de nx. VII-8

armadura distribuída nas faces de comprimento hx (nx=5) e

várias taxas mecânicas de armadura. VII-9 Figura 7.13 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda

vários valores da força normal reduzida. VII-9 Figura 7.14 – Diagrama α-θ para seção com relação hx/hy = 2,0, com toda

vários valores de nx. VII-10

Figura 7.15 – Diagrama α-θ para seção quadrada, hx/hy = 1,0, com toda

armadura distribuída em duas faces e vários valores da

relação d’/hy. VII-10

(4)

armadura distribuída nas faces de comprimento hx e vários

valores da relação d’/hy. VII-11

Figura 8.1 – Exemplo de seção retangular para construção dos

diagramas “Nd – Mxd – My d” e “νd – µdx – µdy”. VIII-1

Figura 8.2 – Diagrama “Nd – Mdx – Mdy” para a seção retangular da fig. 8.1. VIII-2

Figura 8.3 – Diagrama “νd – µdx – µdy” para a seção retangular da fig. 8.1. VIII-2

Figura 8.4 – Exemplo de seção em “L” para construção de diagramas

“νd - µxd - µy d”. VIII-3

Figura 8.5 – Diagrama “νd – µdx – µdy”. VIII-3

Figura 8.6 – Diagrama Nd-Mxd-My d. Em destaque o ponto “D” que

determina o par (MRxd; MR y d) correspondente a um

determinado θ. VIII-4

Figura 8.7 – Geometria e esforços solicitantes em um pilar bi-rotulado. VIII-5 Figura 8.8 – Diagrama “Mxd - My d - Kcurv - α” para a seção da figura 8.1,

ν = 0,8 e ω = 0,612. Considerado o diagrama “σc x εc”

parábola-retângulo para o concreto. VIII-6 Figura 8.9 – Deformações εo e curvaturas para o terno de solicitações

(Nd; MSxd; MS y d) VIII-10

Figura 8.10 – Gráfico “Mα-(1/rα)” para θ = 59 graus. VIII-11

Figura 8.11 – Gráfico “Mxd – (1/rx)” para θ = 59 graus. VIII-11

Figura 8.12 – Gráfico “My d – (1/ry)” para θ = 59 graus. VIII-12

Figura 8.13 – Flexão normal composta na direção Y. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano

(Y,Z): 1 / ry = εo / vLN VIII-13

Figura 8.14 – Flexão normal composta na direção X. Deformação de um trecho de comprimento dz da barra. Curvatura no plano

(X,Z): 1 / rx = εo / vLN. VIII-13

Figura 8.15 – Gáfico “My d – (1/ry)” para flexão normal composta com

θ = 0° (Mxd = 0). VIII-14

Figura 8.16 – Gráfico “Mxd – (1/rx)” para flexão normal composta com

θ = 90° (My d = 0). VIII-14

Figura 8.17 – Gráfico “My d – (1/ry)” para flexão oblíqua composta para

diversos θ. VIII-15

Figura 8.18 – Gráfico “Mxd – (1/rx)” para flexão oblíqua composta para

diversos θ. VIII-15

Figura 8.19 – Gráfico “My d – (1/ry)” para flexão oblíqua composta para

diversos valores de Mxd. VIII-16

Figura 9.1 – Esquematização das deformadas de um pilar em balanço

(5)

Figura 9.2 – Diagramas “Momento-Curvatura” para as direções X e Y correspondentes a um determinado valor da força normal

Nd. IX-4

Figura 9.3 – Deformação de um pilar em balanço solicitado à

flexo-compressão. IX-4

Figura 9.4 – Pilar em balanço. a) Linha elástica; b) Diagrama de momentos; c) Diagrama de curvaturas; d) Diagrama de

rotações; e) Diagrama de deslocamentos. IX-6 Figura 9.5 – Obtenção da deformada de pilar bi-rotulado através da

estrutura fundamental (pilar em balanço). IX-8 Figura 9.6 – Diagramas “momento – curvatura” para:

a) fc = 0,85.fcd e Nd = NSd;

b) fc = 1,1.fcd e Nd = NRd/γf 3 com γf 3 = 1,1. IX-10

Figura 9.7 – Exemplo de seção transversal para análise da variação da rigidez a flexão em uma direção (p.ex. κyθ) em função da

solicitação de flexão na direção ortogonal (Mxd). IX-13

Figura 9.8 – Diagrama “Nd – Mxd – My d” da seção transversal da figura

9.7, considerando o diagrama σc x εc parábola-retângulo da

NBR 6118:2004 para o concreto. IX-14

Figura 9.9 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “x”. rx em

centímetros. IX-14

Figura 9.10 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”. ry em

centímetros. IX-15

Figura 9.11 – Diagrama “momento-curvatura” para a direção “y”, para

diversos valores de Mxd. IX-16

Figura 9.12 – Seção quadrada com quatro barras. Diagrama Nd-Mxd-My d

do E.L.U. IX-18

Figura 9.13 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.12. IX-18 Figura 9.14 – Seção quadrada com oito barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do

E.L.U. IX-19

Figura 9.15 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.14. IX-19 Figura 9.16 – Seção retangular com relação hx/hy = 2 com quatorze

barras. Diagrama Nd-Mxd-My d do E.L.U. IX-20

Figura 9.17 – Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.16. IX-20

Figura 10.1 – Esquema do pilar exemplo. X-1

Figura 10.2 – Carregamento e diagramas de primeira ordem para a

direção x. X-2

Figura 10.3 – Carregamento e diagramas de primeira ordem para a

direção y. X-2

Figura 11.1 – Esquemas de pilares: a) Engastado – livre; b) Bi – apoiado.

(6)

Figura 11.2 – Esquemas de seção transversal, com o diagrama de

deformações e de tensões no concreto (nx=4, ny=2). XI-5

Figura 11.3 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.a –

seção retangular. XI-11

Figura 11.4 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.b –

Figura 11.5 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c –

Figura 11.6 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d –

Figura 11.7 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e –

Figura 11.8 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f –

Figura 11.9 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g –

seção em “L”. XI-21

Figura 11.12 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.c –

Figura 11.13 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.d –

Figura 11.14 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.e –

Figura 11.15 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.f –

Figura 11.16 – Tela de dados e resultados para a rotina do item 11.1.g –

Figura 11.17 – Seção retangular com armadura nos cantos (4 barras). XI-24 Figura 11.18 – Diagrama momento-curvatura. Obtenção do momento de

1ª ordem disponível. XI-30

Figura 12.1 – Pilar em balanço. MBxd e MB y d são as reações momentos na

base. MTxd e MT y d são momentos aplicados no topo. HTxd e

HT y d são forças horizontais aplicadas no topo. XII-4

Figura 12.2 – Diagrama Nd-Mxd-My d esquemático.

OA = módulo do momento solicitante de 1ª ordem de cálculo.

OB = módulo do momento solicitante total de cálculo (1ª ordem + 2ª ordem).

(7)

Figura 12.3 – Gráfico (MSd/Mu d)d – (MS d/Mud)a. XII-12

Figura 12.4 – Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.021 kN. Obtenção dos

momentos MRxd e MRy d para θ = 30° e σc = 0,85.fcd. XII-18

Figura 12.5 – Diagrama momento-curvatura para a direção x. Obtenção da

rigidez secante. XII-19

Figura 12.6 – Diagrama momento-curvatura para a direção y. Obtenção da

rigidez secante. XII-20

Figura 12.7 – Linha elástica do pilar com a consideração do

desacoplamento. Deslocamentos na direção y. XII-22 Figura 12.8 – Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para Nd = NSd/γf 3 =

928,18 kN e σc = 1,1.fcd XII-23

Figura 12.9 – Linha elástica do pilar sem a consideração do

desacoplamento. XII-25

Figura 12.10 – Diagrama momento curvatura para Nd = 1.021kN. XII-27

Figura 12.11 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P para

o exemplo 1. XII-27

Figura 12.12 – Diagrama momento-curvatura esquemático. XII-28 Figura 12.13 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P. Número de pontos = 405. XII-30 Figura 12.14 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m. XII-30

Figura 12.15 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto. Número de pontos = 405. XII-33 Figura 12.16 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P, com θ = 15 graus. XII-34

Figura 12.17 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P com θ = 45 graus. XII-34

Figura 12.18 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P com θ = 75 graus. XII-35

Figura 12.19 – Exemplo 3. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud

e γf 3 = 1,1. XII-35

Figura 12.20 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P. XII-37

Figura 12.21 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,4.Nud. XII-38

Figura 12.22 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,6.NRd. XII-38

Figura 12.23 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,8.NRd. XII-39

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Mu y d = 135,46 kN.m. XII-39

Figura 12.25 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

(8)

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Mu y d = 21,17 kN.m. XII-42

pontos P. XII-44

Figura 12.28 – Exemplo 6. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.NRd

e γf 3 = 1,1. XII-44

pontos P. XII-47

Figura 12.30 – Exemplo 10. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,6.Nud

e γf 3 = 1,1. XII-47

Figura 13.1 – Pilar biapoiado. MBxd e MB y d são os momentos aplicados na

base. MTxd e MT y d são momentos aplicados no topo. XIII-4

Figura 13.2 – Exemplo 1. Diagrama Nd-Mxd-My d para Nd = 1.060 kN.

Obtenção dos momentos MRxd e MRy d para θ = 30°. XIII-8

Figura 13.3 – Exemplo 1. Diagrama momento-curvatura para a direção x.

Obtenção da rigidez secante. XIII-10

Figura 13.4 – Exemplo 1. Diagrama momento-curvatura para a direção y.

Obtenção da rigidez secante. XIII-11

Figura 13.5 – Exemplo 1. Linha elástica do pilar. Deslocamentos iniciais e

corrigidos. XIII-12

Figura 13.6 – Exemplo 1. Diagrama “Nd – My d – Mxd – a – Kcurv”, para

Nd = NS d/γf 3 = 963,64 kN. XIII-14

Figura 13.7 – Exemplo 1. Linha elástica do pilar considerada a flexão

oblíqua composta. Deslocamentos iniciais e corrigidos. XIII-16 Figura 13.8 – Exemplo 1. Diagrama momento curvatura para a direção y

com Nd = 1.060kN. MRy d = 42,39 kN.m. MRxd = 109,05 kN.m. XIII-17

Figura 13.9 – Gráfico (MSd/MRd)d – (MSd/MRd)a. Localização do ponto P

para o exemplo 1. XIII-18

Figura 13.10 – Exemplo 2. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P. Número de pontos = 270. XIII-20 Figura 13.11 – Exemplo 2. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Muy d = 21,27 kN.m. XIII-21

Figura 13.12 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P. Número de pontos = 270. XIII-24 Figura 13.13 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P, com θ = 15 graus. Número de pontos =54. XIII-24 Figura 13.14 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

ponto P com θ = 45 graus. Número de pontos =54. XIII-25 Figura 13.15 – Exemplo 3. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização do

(9)

= 985,54 e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MR y d = 41,46 kN.m. XIII-26

pontos P. Número de pontos = 270. XIII-28 Figura 13.18 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,4.NRd. XIII-29

Figura 13.19 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,6.NRd. XIII-29

Figura 13.20 – Exemplo 4. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a para Nd = 0,8.NRd. XIII-30

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MRy d = 135,46 kN.m. XIII-30

pontos P. XIII-32

pontos P para Nível de solicitação NS = 0,1. XIII-33 Figura 13.24 – Exemplo 5. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P para Nível de solicitação NS = 0,4. XIII-33 Figura 13.25 – Exemplo 5. Diagrama momento-curvatura para Nd = 0,4.Nud

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem Mu y d = 21,17 kN.m. XIII-34

pontos P. XIII-36

pontos P para nível de solicitação NS = 0,1. Número de

pontos = 135. XIII-37

pontos P para nível de solicitação NS = 0,4. Número de

pontos = 135. XIII-37

pontos P para Nd = 0,4.NRd = 141,92 kN. Número de pontos

= 90. XIII-38

pontos P para Nd = 0,8.Nud = 372,44 kN. Número de pontos

= 90. XIII-39

e γf 3 = 1,1. Para θ = 0° se tem MR y d = 52,08 kN.m. XIII-40

pontos P. Número de pontos =270. XIII-42 Figura 13.34 – Exemplo 7. Gráfico (MSd/MR d)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

(10)

=90. XIII-43

pontos P para Nd = 0,3.NRd = 1.586,2 kN. Número de pontos

=90. XIII-43

pontos P para NS = 0,1. Número de pontos =135. XIII-43 Figura 13.38 – Exemplo 7. Gráfico (MSd/MRd)d – (MS d/MRd)a. Localização dos

pontos P para NS = 0,4. Número de pontos =135. XIII-44 Figura 13.39 – Exemplo 7. Diagrama momento curvatura da direção y para