Teoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros Edição de 7 de Fevereiro de 2017

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Teoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros 2016-2017 Edi¸c˜ao de 7 de Fevereiro de 2017

Nota Pr´evia

Todos os exerc´ıcios enunciados nas aulas são considerados para o exame, salvo indica¸cão em contrário.

1. Modelo Binomial

Questão 1. Considere-se no quadro do modelo binomial a um per´ıodo. Defina carteira réplica. Defina direito contingente ating´ıvel e mercado completo. Motre que se o modelo binomial for livre de arbitragem então é completo.

Quest˜ao 2. Considere-se no modelo binomial multiper´ıodo e onde R ´e a taxa de juro spot para cada per´ıodo.

(1) Mostre que um mercado nestas condi¸cões é livre de arbitragem se e só se

(1) d ≤ (1 + R) ≤ u ,

sendo d e u a razão a que o pre¸co da açcão, respectivamente, desce ou sobe em cada per´ıodo.

(2) Sabendo que as probabilidades de martingala Q = (qu, qd) s˜ao definidas pela rela¸c˜ao

s = 1

1 + RE

Q_[S

t+1|St= s],

mostre que, no caso de se verificar a condi¸cão (1), Q é única e dada por qu=

(1 + R) − d

u − d e qd=

u − (1 + R)

u − d .

Questão 3. Considere-se no quadro do modelo binomial multiper´ıodo. Defina direito con-tingente, carteira réplica, valor da carteira réplica, oportunidade de arbitragem e enuncie o princ´ıpio de apre¸camento livre de arbitragem. Mostre que se um direito contingente X for ating´ıvel com uma dada carteira réplica h, se a um dado instante t for poss´ıvel comprar X a um pre¸co mais barato que V_th então existe uma oportunidade de arbitragem.

Quest˜ao 4 (Modelo Binomial Multi-per´ıodo). No contexto do modelo binomial multi-per´ıodo e, com as nota¸c˜oes utilizadas nas aulas e documentos, considere que T = 3, S0= 20,

u = 1.1, d = 0.9, R = 1%(0.01).

(1) Represente num esquema em árvore, tal como realizou na aula, a evolu¸cão dos pre¸cos aproximados - com duas casas decimais - do activo com risco e colocando na última coluna o valor do cash flow de uma call option X, com strike price K = 18. Justifique os seus cálculos indicando as fórmulas que utilizou e, quais os sucessivos passos dos cálculos correspondendo a uma sub-árvore a um per´ıodo.

(2) Determine Q = (qu, qd), a probabilidade neutra face ao risco e construa a ´arvore

binomial de pre¸cos aproximados para X - com duas casas decimais - representan-do-os, numa árvore binomial semelhante à usada na aula prática. Justifique os seus

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cálculos indicando as fórmulas que utilizou e, quais os sucessivos passos dos cálculos correspondendo a uma sub-árvore a um per´ıodo.

(3) Indique qual ´e o pre¸co `a data t = 0 de X.

(4) Construa a carteira réplica de X à data t = 0 e verifique que se trata efectivamente de uma carteira réplica de X. Justifique os seus cálculos indicando as fórmulas que utilizou e quais os sucessivos passos dos cálculos.

Questão 5 (Um outro Direito Contingente). Descreva, justificando a sua descri¸cão com uma análise dos cash-flows gerados nos diferentes casos poss´ıveis, a situa¸cão prevista para o mercado e a correspondente atitude de um investidor que considera investir na combina¸cões de direitos contingentes seguinte:

Pre¸co do activo Posi¸cão longa Posi¸cão Curta Denomina¸cão

10 Call(9.5) + Put(9.5) Short Strangle

Questão 6. Considere-se no quadro do modelo binomial multiper´ıodo. Mostre que a ausência de arbitragem é equivalente a:

d < 1 + r < u .

Questão 7. Considere-se no quadro do modelo binomial multiper´ıodo. Defina carteira au-tofinanciada. Mostre que a varia¸cão de valor de uma carteira autofinanciada decorre apenas da varia¸cão dos pre¸cos dos activos e não da entrada ou sa´ıda de capitais da carteira. Questão 8. Considere-se no quadro do modelo binomial multiper´ıodo. Suponha que a con-tingent claim X = Φ(ST) é ating´ıvel com a carteira réplica h. Mostre que:

(1) Se no momento t for poss´ıvel comprar X a um pre¸co inferior ao valor de h em t, V_th (ou vender a um pre¸co superior a V_th) ent˜ao existe uma oportunidade de arbitragem. (2) Se St = S0ukdt−k para k = 0, ..., t onde k representa o n´umero de movimentos

ascendentes u e Vt(k) o valor da carteira no momento t quando existirem k subidas

u, ent˜ao Vt(k) =

1

1 + R{quVt+1(k + 1) + qdVt+1(k)} e VT(k) = Φ(S0u

k_dT −k₎

sendo R a taxa de juro por cada per´ıodo qu=

(1 + R) − d

u − d e qd=

u − (1 + R)

u − d .

(3) A carteira r´eplica ´e composta por xt(k) = 1 1 + R uVt(k) − dVt(k + 1) u − d e yt(k) = 1 St− 1 Vt(k + 1) − dVt(k) u − d

sendo xt(k) e yt(k) as quantidades, respectivamente, de obriga¸cões e açcões que

compoem a mesma carteira.

2. Teoria das Probabilidades

Questão 9 (Esperan¸ca Condicional Exemplo no caso discreto). Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas tais que X(Ω) = {x1, . . . , xN} e Y (Ω) = {y1, . . . , yM}.

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(2) Seja Λ uma vari´avel aleat´oria tal que

P [Λ = λ1] = p1, P [Λ = λ2] = p2.

Considere Π uma vari´avel aleat´oria tal que:

∀k ≥ 0, i = 1, 2 P [Π = k | Λ = λ_i] = e−λiλ

k i

k! . DetermineP [Π = k, Λ = λi] e, seguidamente, E[Π | Λ] e E[Λ | Π].

Questão 10 (Esperan¸ca Condicional Caso Geral). Seja um espa¸co de probabilidade (Ω,A, P) e seja uma variável aleatória integrável X e F ⊂ A uma sub-álgebra-σ. Defina E[X | F].

Quest˜ao 11 (Esperan¸ca Condicional Exemplo no caso Cont´ınuo). Seja X _N(0, Y2) em que Y _E(λ). Determine E[X | Y ].

Questão 12 (Aditividade da Esperan¸ca Condicional). Seja um espa¸co de probabilidade (Ω,A, P) e sejam duas variáveis aleatórias integráveis X1 e X2 e (F ) ⊂A uma

sub-´algebra-σ. Mostre que E[X1+ X2| Y ] =E[X1| Y ] +E[X2 | Y ].

Questão 13 (Martingalas Passeio Aleatório). Seja um espa¸co de probabilidade (Ω,A, P) eX = (Xn)n≥0um processo estocástico composto de variáveis aleatórias integráveis e

adap-tado `a filtra¸c˜aoF = (Fn)n≥0.

(1) Sob que condi¸cões é que X é uma F martingala.

(2) Defina o passeio aleatório. Mostre que o passeio aleatório é uma martingala.

3. Processos Estoc´asticos

Seja (Ω,A, P) um espa¸co de probabilidade. A defini¸cão seguinte diz-nos que um processo estocástico pode ser considerado como extrair uma fun¸cão ao acaso de R[0,+∞[ _{de forma a}

obter uma variável aleatória mas, ao invés do que temos considerado até agora, num espa¸co de fun¸cões. Nesta primeira defini¸cão intervêmA a álgebra-σ do espa¸co de probabilidade.

Defini¸cão 1. Um processo estocásticoX = (Xt)t∈[0,+∞[é uma fun¸cão definida em

Ω × [0, +∞[ e tomando valores em R (ou Rd ou C) tal que:

(i) Para cada ω0 ∈ Ω, a primeira seçcão correspondente Xω0 : [0, +∞[7→R é uma fun¸cão mensurável, isto é,

∀B ∈B(R) X−1_ω

0(B) ∈B([0, +∞[) ;

(ii) Para cada t0 ∈ [0, +∞[, a segunda seçcão correspondente Xt0 : Ω 7→R é uma variável aleatória isto é,

∀B ∈B(R) X−1_t

0 (B) ∈A .

Um processo estocástico é caracterizado pelas suas distribui¸cões de ordem finita, ou seja, pelas distribui¸cões de um qualquer número finito de variáveis do processo. Para esta ca-racteriza¸cão intervêmP a probabilidade do espa¸co de probabilidade.

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Proposi¸c˜ao 1. Seja um processo estoc´asticoX = (Xt)t∈[0,+∞[. A fam´ılia de leis

de probabilidade L(X_t1,X_t2,...,X_tN) para N ≥ 1 e t1, t2, . . . , tN ∈ [0, +∞[ em que,

para quaisquer B1, B2, . . . , BN ∈B(R)

L(X_t1,X_t2,...X_tN)(B1× B2× · · · × BN) =P [Xt1 ∈ B1, Xt2 ∈ B2, . . . , XtN ∈ BN] caracteriza ao processo estoc´astico.

a_{Dois processos estoc´}_{asticos com as mesmas distribui¸}_c˜_{oes de ordem finita s˜}_{ao vers˜}_{oes um do outro.}

Questão 14 (Condi¸cões de compatibilidade das distribui¸cões de ordem finita). Seja um processo estocásticoX = (Xt)t∈[0,+∞[. Mostre que:

(j) Sendo SN o grupo das permuta¸c˜oes de {1, 2, . . . , N } se tem que para qualquer σ ∈

S_N, L(X_tσ(1),X_tσ(2),...,X_tσ(N))(Bσ(1)× Bσ(2)× · · · × Bσ(N )) = =L_(X_t1_,X_t2_,...,X_tN₎(B1× B2× · · · × BN) ; (jj) Para qualquer N ≥ 1, L(X_t1,...,X_tj−1,X_tj,X_tj+1,...,X_tN)(B1× B2× . . . Bj−1×R × Bj+1× · · · × BN) = =L(X_t1,...,X_tj−1,X_tj+1,...,X_tN)(B1× B2× . . . Bj−1× Bj+1× · · · × BN) .

Questão 15 (Aplica¸cão do teorema de existência de Kolmogorov). (1) Enuncie o teorema de existência de Kolmogorov.

(2) Considere para N ≥ 1 t1 < t2< · · · < tN ∈ [0, +∞[ a probabilidade dada por:

ν_tx₁_,t₂_,...,t_N(B1× · · · × BN) = = Z B1×···×BN p(t1, x, x1)p(t2− t1, x1, x2) . . . p(tN −1− tN, xN −1, xN)dx1· · · dxN , em que se tem B1, B2, . . . BN ∈B(R) e p(t, x, y) = √1 2πte −(x−y)2 2t .

Mostre a a fam´ılia de probabilidades (ν_tx₁_,t₂_,...t_N) verifica as hip´oteses do teorema de Kolmogorov e tire a conclus˜ao adequada.

Observa¸c˜ao 1. Para verificar a primeira condi¸c˜ao do teorema de Kolmogorov considera-se o considera-seguinte. Sendo N ≥ 1 e t1, t2, . . . , tN ∈ [0, +∞[ quaisquer, seja σ ∈ SN tal que

t_σ(1)< t_σ(2)< · · · < t_{σ(N )}; define-se para B1, B2, . . . BN ∈B(R),

(2) ν_tx₁_,t₂_,...,t_N(B1× · · · × BN) := νtxσ(1),tσ(2),...,tσ(N )(Bσ(1)× · · · × Bσ(N )) .

Seja agora, τ ∈ SN uma outra permuta¸c˜ao. Tem-se que σ ◦ τ−1 ∈ SN e obviamente, pela

condi¸c˜ao da escolha de σ,

(3) t_(σ◦τ−1_{)(τ (1))}< t_(σ◦τ−1_{)(τ (2))}< · · · < t_(σ◦τ−1_{)(τ (N ))} , tendo-se então, pela extensão da defini¸cão na fórmula (2), que:

ν_tx

τ (1),tτ (2),...,tτ (N )(Bτ (1)× · · · × Bτ (N )) = = ν_tx

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Mas como (σ ◦ τ−1) ◦ τ = σ tem-se, de novo pelas f´ormulas (2) e (3) que ν_tx (σ◦τ −1)(τ (1)),t(σ◦τ −1)(τ (2)),...,t(σ◦τ −1)(τ (N ))(B(σ◦τ −1_{)(τ (1))}× · · · × B_(σ◦τ−1_{)(τ (N ))}) = = ν_tx₁_,t₂_,...,t N(B1× · · · × BN) ou seja, finalmente que,

ν_tx

τ (1),tτ (2),...,tτ (N )(Bτ (1)× · · · × Bτ (N )) = ν

x

t1,t2,...,tN(B1× · · · × BN) , isto é, a primeira condi¸cão de consistência do teorema de Kolmogorov.

Questão 16 (O processo Browniano). Seja p(t, x, y) = √1 2πte −(x−y)2_2t _. (1) Mostre que: Z +∞ −∞ p(t, x, y)dy = 1 , isto é que p(t, x, y) é uma densidade de probabilidade.

(2) Mostre que existe um processo estoc´astico (B_tx)_t∈[0,+∞[, o processo Browniano, tal que:

∀z ∈R , P [B_tx≤ z] = Z z

−∞

p(t, x, y)dy isto ´e tal que B_tx _N(x, t).

Proposi¸c˜ao 2. Seja Bx = (Bx_t)_t∈[0,+∞[ o processo Browniano come¸cado em x ∈ [0, +∞[. Tem-se que: (i) Bx₀ ≡ 0. (ii) Bx_t _N(x, t). (iii) Para s < t, Bx_t − Bx s _N(0, t − s). (iv) Para s < t ≤ v < u, Bx u − Bvx ⊥ Btx− Bsx.

(v) Para ω num conjunto de probabilidade um, a primeira seçcão Bx_ω (ver a defini¸cão (1) acima) é uma fun¸cão cont´ınua de [0, +∞[ emR.

As propriedades (i) a (v) caracterizam Bx

Observa¸c˜ao 2. O processo Browniano Bx tem, portanto as seguintes propriedades que o caracterizam.

(i) O processo come¸ca em x;

(ii) As vari´aveis do processo s˜ao Gaussianas;

(iii) Os incrementos do processo são Gaussianos e estacionários; (iv) Os incrementos do processo são independentes;

(v) As traject´orias do processo s˜ao cont´ınuas com probabilidade um.

Defini¸cão 2. Um processo estocástico X = (Xt)t∈[0,+∞[ é Gaussiano se e só se

qualquer combina¸cão linear de variáveis do processo é Gaussianaa.

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Proposi¸cão 3. Um processo estocástico X = (Xt)t∈[0,+∞[ Gaussiano é

caracteri-zado pela suas fun¸cões média e covariância dadas, respectivamente, por: mt=E [Xt] ,

e

Γ(s, t) =E [(Xt− mt)(Xs− ms)] .

Observa¸cão 3. O resultado enunciado na questão seguinte dá-nos uma outra caracteriza¸cão do processo Browniano.

Quest˜ao 17 (Covariˆancia do processo Browniano). Considere o processo Browniano come¸cado em zero (B_t0)t∈[0,+∞[≡ (Bt)t∈[0,+∞[. Mostre que, para s, t ∈ [0, +∞[,

E [Bt· Bs] = min(s, t) .

Quest˜ao 18 (A martingala Browniana). Seja F = (Ft)t≥0 a filtra¸c˜ao natural associada

ao processo Browniano come¸cado em zero (B0

t)t∈[0,+∞[≡ (Bt)t∈[0,+∞[, isto ´e, tal que:

Ft= σ ({Bs: s ≤ t}) .

Mostre usando as propriedades que caracterizam o processo Browniano (ver a proposi¸c˜ao 2) que:

∀s ≤ t , E [B_t|F_s] = Bs,