Energia Mecânica. FisBio mv. Queda livre: um corpo cai uma altura y sujeito a uma força constante; Trabalho da Força

if

F

is

B

io

2010

Energia Mecânica

g

m

F



=



y

ao fim do deslocamento a velocidade do corpo aumentou... algo mudou início y=0, v(0)=0; ao final y=+d, v(t)=? 2

2

1

mv

K

=

(

dg

)

mgd

Fd

m

mv

2

=

2

2

=

=

2

1

2

1

dg g d g v g d t 2 , 2 2 = = = 2

2

1

)

(

)

(

at

t

y

at

t

v

=

=

Definindo a

Energia Cinética

como

sempre,

qualquer distância (vertical) de queda

Queda livre:

um corpo cai uma altura

y

sujeito a uma força constante;

Lembramos (pensando “ao contrário) que se

ao final do movimento

W

Fd

=

Essa quantidade deve ser importante, e tem as mesmas unidades que a Energia Cinética:

ganha um batismo

Trabalho da Força

if

F

is

B

io

2010

Introduzimos a quantidade W Trabalho da Força(do inglês “work”)

que para uma força constante no tempo, e no espaço, é definida como o produto escalar da força pelo deslocamento:

α

cos

d

F

d

F

W

=



⋅



=





F



d ′



α

cos

d ′

g

m

F



=



d



F d

 Se não existirem outras forças agindo,

a velocidade ao final do deslocamento deve depender só de

livre plano inclinado sem atrito

Kaumenta K diminui não se altera

Sendo definido pelo produto escalar dos dois vetores, pode ser positivo negativo nulo

d

F



,



Caso mais geral, o corpo já tinha velocidade inicial, podemos resumir:

o trabalho da força F é igual à variaçãoda energia cinética

2 0 2

2

1

2

1

mv

mv

W

=

_f

−

F



d



α

mas o mais interessante é que a única contribuição da força é a

colinear com o deslocamento!

W

d

F

d

F

W

Fd

d

F

W

=

′

=

′

⋅

=

′

=

⋅

=

α

cos













36

if

F

is

B

io

2010

F “altura” h U=mgh

Mapa do Espaço (isolinhas) (K obtido por queda a partir de h)

[ ][ ] [ ][ ]

_{[ ]}

₂

[ ] [ ][ ]

_{[ ]}

₂ 2 T L M L T L M d F = = Unidades: N×m=J (joule)

Trabalho e Energia Cinética

são manifestações diferentes da mesma quantidade, uma se transforma na outra

(a partir da K de um corpo, pode-se realizar W).

Quanto mais alto o corpo inicialmente, maior capacidade de

(“potencial” para) ganhar energia cinética

y U(y)=mgy

Conceito de Energia Potencial

U

mv

U

K

E

=

+

=

2

+

2

1

unir os conceitos:

Energia Mecânica

Um só corpo, U depende das forças que agem sobre ele

if

F

is

B

io

2010

Transformação integral de uma forma na outra (forças conservativas) : variação da Energia Potencial

é igualem módulo à

variação da Energia Cinética

Se o sistema

é somente mecânico

U

K

E

E

_T

=

=

+

A Energia Mecânica se conserva,

nem sempre, só em casos

de forças conservativas

e existem propriedades importantes das forças:

•forças conservativas não dependem do tempo,

nem das velocidades

todas as forças fundamentais são conservativas!

0

=

∆E

Notar que a energia potencial cresce no sentido oposto ao sentido da força:

o trabalho contra o campo armazena energia

que pode ser depois transformada em cinética

Além disso, o zero da energia é arbitrário,

K depende do referencial

U é escolhido por conveniência

E

_T

y

U(y)=mgy

E

E

_P

=U(y)

E

_C

=K(y)

y

_max zero no chão barreiras para o movimento:

Movimento Limitado Periódico

E o caso do sistema mola-massa? Força variável....

O máximo de energia cinética

dá os limites do movimento

mas:

dado o valor da energia total

(energia disponível para o sistema)

38

U

W

K

W

K

U

∆

−

=

∆

=

=

∆

+

∆

0

if

F

is

B

io

2010

Trabalho da Força F  Energia Potencial U

F(x)

x

∆x

Caso da força elástica muuuito simples: (comprimento natural x=0)

kx

x

F

(

)

=

−

x F(x) F 1 F₂ F₃ ∆x 3 2 1 W W W W_Total ≈ + +

Trabalhar em uma dimensão (coordenadas):

podemos calcular aproximadamente o trabalho:

dividimos o trajeto total em trechos menores, e tomamos a força média nesse trecho:

“área” só visualmente

x

F

W

x

⋅

∆

=

∆

_∆

no limite em que o número de trechos vai a infinito (∆x→0)

∫

∑

∑

⋅

=

∆

⋅

=

⋅

=

= → ∆ = ∞ → f X X Total n i i x n i i n Total

dx

x

F

W

x

x

F

n

d

x

F

W

0 1 0 1

)

(

)

(

)

(

lim

lim

O trabalho é a integral

da força ao longo do trajeto F(x) x ∆x

x

F

W

W

W

W

W

n i n i n Total

≈

+

+

+

=

∑

=

∑

×

∆

1 1 2 1



39

if

F

is

B

io

2010

x F(x) X_f -X_f Trabalho de x=0 a x=X_f = Trabalho de x=0 a x= -X_f

(

)

2 0

2

1

2

0

0

f f f f

kX

X

F

X

F

W

_→

=

(

)

−

(

)

×

(

−

)

=

−

2 0

2

1

f f

kX

W

_→

=

−

para qualquer x, 2 0

2

1

kx

W

_→x

=

−

movimento periódico, limites do movimento ±X_f,determinados

pela energia total do sistema:

k E X A E kX_{f f} 2 2 1 2 = → = = Finalmente: = ω +φ )= t+φ ) m k k E t A t x( ) cos( 2 cos( energia cinética K X_f -X_f energia potencial U 2 0

2

1

)

(

)

(

kx

x

U

W

x

U

_x

=

−

=

_→ A energia potencial é 40

if

F

is

B

io

2010

Resumindo (para o modelo oscilador harmônico):

definida a força restauradora e linear

lei de Newton→equação do movimento

solução senoidal→ movimento periódico

trabalho da força→ energia potencial

conservação de energia→amplitude do movimento

m

k

t

A

x

=

cos(

ω

+

φ

)

;

ω

=

kx

x

F

(

)

=

−

0

2 2 2

=

+

x

x

dt

d

_ω

2

2

1

kx

U

=

)

φ

+

=

t

m

k

k

E

t

x

(

)

2

cos(

A relação geral, para o caso de movimento unidimensional, é

No caso de campos centrais, que só dependem da distância ao centro de forças

também teremos uma relação fácil de obter

if

F

is

B

io

2010

Ao aplicar uma força externa, não haverá movimento enquanto essa força não for capaz de romper algumas dessas barreiras microscópicas, e essa

reação ao movimento é batizada de força de atrito estática. O corpo só

começa a deslocar se em módulo

Veremos mais tarde que -embora todas as forças fundamentais sejam conservativas- muitas vezes a energia (mecânica ou eletromagnética) se transfere entre partes de um sistema complexo, de forma também complexa, e impossível de ser tratada por completo de maneira simples.

Até aqui consideramos dois tipos de forças, mecânicas e elétricas; além disso, nos restringimos também a dois “tipos” de energia, mecânica e elétrica, e consideramos a energia total como sendo composta de cinética e potencial:

Forças

Não Conservativas

U

K

E

E

_T

=

=

+

Nesses casos, o tratamento comum é admitir uma dissipação de energia (caso

a energia mecânica mensurável tenha diminuido) ou uma geração “interna” de

energia (caso tenha aumentado).

Exemplos cotidianos de energia interna são todos os animais quando comem e bebem, e portanto ganham energia cinética (movem-se) sem força externa. Exemplos de dissipação de energia são também comuns, e alguns deles têm

tratamento matemático padrão, como o “atrito”. Sem o atrito, não

conseguiríamos caminhar, nem realizar a quase totalidade de nossas atividades normais.

42

Atrito Estático e Dinâmico

Iniciamos pelo atrito entre duas superfícies, como nesta figura; as forças de ação (peso) e reação (normal) provovam o contato entre as superfícies, que ao microscópio

mostrarão rugosidades que impediriam o movimento relativo entre os dois corpos;

if

F

is

B

io

2010

Uma vez iniciado o movimento, é um fato que se a força se mantiver a mesma, o movimento é acelerado!

De modo geral, o atrito cinético (em movimento) exerce uma força de reação menor que aquela do atrito estático. Para manter velocidade constante, devemos equilibrar essa nova força.

Outros fatos experimentais são que o módulo da força é :

•independente da área de superfície em contato (aproximadamente)

• proporcional ao módulo da força normal.

Atrito Estático e Dinâmico

Forças

Não Conservativas

43

Entretanto, o valor da força depende não do material em si, mas das duas superfícies específicas, naquele momento, naquelas condições, etc..

Não é uma força fundamental, e seu valor só pode ser determinado por medidas diretas.

O modo usual de nos referirmos a esse tipo de força, como no caso caso da mola, é através de um coeficiente empírico, neste caso conhecido como o

coeficiente de atrito:

e em geral o coeficiente cinético é menor que o estático.

Atrito Viscoso

Outro tipo muito curioso (e cotidiano) de atrito é aquele que temos experiência nadando, saltando de pára-quedas, andando contra o vento: é conhecido como atrito viscoso, e está relacionado ao movimento de um corpo volumétrico em um meio líquido ou gasoso.

Da mesma forma, devemos “medir” um coeficiente, e o efeito é sempre contrário ao movimento, e pode ser aproximado por uma dependência com a velocidade do “corpo externo” ao fluido:

Um efeito muito importante desse tipo de “atrito”é a resistência elétrica de um material ao movimento dos elétrons no seu interior: é essa a responsável pela relação corrente / voltagem que nos dá uma corrente constante nos fios

if

F

is

B

io

2010

A1 É um produto de dois vetores, que resulta em outro vetor,

sendo o módulo afetado pelo seno do ângulo entre os vetores-parcela; A direção é aquela perpendicular ao plano dos vetores-parcela, e o sentido

é definido pela

Regra da Mão Direita

em que a mão acompanha a ordem

do produto (do primeiro para o segundo vetor envolvido).

supor

O vetor produto estará na direção do eixo z, dirigido para z-positivo ou negativo, dependendo da ordem de multiplicação.

O módulo do produto vetorial é igual

à “área” do paralelogramo definido pelos dois vetores:

O Produto Vetorial

O triedro fundamental (eixos cartezianos ortogonais x,y,z) pode ser definido

como destro, e cíclico:

if

F

is

B

io

2010

A2

O Momento Angular

Outra grandeza útil é o produto vetorial do raio vetor de uma partícula pelo seu momento linear

chamado de momento angular. Definido um sistema de referências, e por simplicidade colocando os vetores no plano (x,y):

O vetor momento angular terá a direção de z com o sentido dado pela regra da mão direita.

Notem que o vetor momento angular é afetado pela arbitrariedade da escolha da origem do sistema de coordenadas, além do valor da velocidade da partícula, que também é relativa ao referencial adotado. Entretanto,

em um sistema mecânico isolado,

o momento angular é conservado!

ou seja, se tem um valor (módulo, direção e sentido) em um certo t, esse valor é constante no tempo, como vemos a seguir.

if

F

is

B

io

2010

A3 Se não existem forças atuando sobre a partícula, o momento linear é

constante no tempo, e nesse caso o

deslocamento do corpo se dá ao longo de

uma reta;

O plano do raio vetor

e momento linear é sempre

o mesmo: o versor do momento angular é constante;

O módulo

Da mesma forma, para N partículas, define-se o

momento angular total

,

que é conservado um sistema isolado:

A utilidade do produto vetorial em Física está na facilidade para a descrição de movimentos associados a rotações, seja de corpos extensos seja de sistemas de partículas, através do momento angular.

também é constante, pois é definido pela distância entre a origem e a linha da trajetória

A descrição do movimento dos planetas no Sistema Solar, as Leis de Keppler,

podem ser escritas em termos de conservação do momento angular. Também o giro de uma bailarina, ou de um pião, ou a estabilidade

if

F

is

B

io

2010

A4 Observemos o movimento circular uniforme:

a velocidade tem módulo constante, mas muda continuamente de direção; o vetor posição também muda continuamente mas se escolhermos a origem das coordenadas no centro de rotação, o módulo é constante, e o momento angular é constante,

(para os eixos da figura). Além disso, são constantes

Podemos definir um vetor que tem •módulo

•direção do eixo de rotação

•sentido dado pela regra da mão direita, acompanhando o sentido da rotação Verifiquem que podemos escrever a relação vetorial

Podemos agora escrever o momento angular como ou sendo I o momento de inércia do sistema:

(para um sistema de N partículas) Vemos que I é análogo à massa para a translação, mas

depende da distribuição de massa do sistema

em relação ao eixo de rotação.

Rotações e Momento Angular

•o eixo de rotação •o sentido da rotação •a velocidade angular

if

F

is

B

io

2010

Centro de Massa A B C D

Nos casos A e C, o corpo se deslocará sem girar, nos casos B e D o movimento será de translação e rotação.

Podemos decidir isso calculando o

Torque daForça

A5 Quando uma força é aplicada a um corpo extenso e rígido, sabemos

que o resultado pode ser que o corpo não se desloque como um todo, por uma translação uniforme de todas as suas partes, mas sim que ele gire:

Isso vai depender do ponto de aplicação da força em relação ao centro de massa do corpo: depende do Torque aplicado.

Se não existem forças externas agindo sobre um sistema, tanto o momento linear quanto o momento angular são conservados.

Na presença de forças, se não há torque, o momento angular é conservado.

Verifiquem que este é o caso para o movimento circular uniforme!

Torques e Forças

que é definido como ( é chamado “braço” da força)

e dá a direção e o sentido da rotação resultante; o módulo dá o impulso rotacional transmitido; de novo, em analogia ao caso da translação:

if

F

is

B

io

2010

Nesse caso, na realidade é o

torque da força peso do corpo quem causa o

movimento oscilatório, temos um torque restaurador:

no limite de pequenos ângulos, e chegamos à equação de movimento

A6

O braço da força é medido a partir do centro de massa, se o corpo está livre, ou do ponto de suspensão ou de fixação, no caso de um corpo preso.

a variação do momento angular é dada pelo torque,

que é sempre contrário a aumentar o ângulo com a vertical.

Cuja solução é um movimento harmônico em que o ângulo com a vertical oscila na forma de uma função senoidal:

nesse caso a

troca de energia

ocorre entre a energia potencial

gravitacional adquirida pela massa, máxima para ângulos máximo e mínimo, e a energia cinética, máxima no ponto mais baixo:

if

F

is

B

io

2010

Junta articulada:

Outro problema em que é importante entender a resultante de torques em torno de um eixo

acontece com juntas articuladas, como em todos os músculos fletores:

os ossos são presos por fibras musculares que podem alterar seu

comprimento, “puxando” um osso para o outro em torno da articulação.

Suponham que o músculo deve sustentar um peso suspenso a uma distância B da articulação:

o torque da força muscular deve compensar o torque da força peso

com o versor saindo da figura;

Se

a

e

b

são as distâncias dos

pontos de fixação da fibra

ao eixo da articulação (constantes);

m

é o comprimento da

fibra (variável); são os ângulos opostos

a

a, b

e

m

,

o comprimento

m

depende do ângulo

A desproporção entre

b

e B

faz com que ;

aumentar reduz esse efeito