Matemática C – Superintensivo
Exercícios
Matrizes
01) a) 91 reais b) 63,7 reais
a) Após o primeiro reajuste, o par de tênis passou a custar: 70 + 0,30 . 70 = 70 + 21 = 91 reais
b) Na liquidação, o novo preço passou a ser: 91 – 0,30 . 91 = 91 – 27,3 = 63,70 reais 02) a) 80 %
b) Não a) 4
5 = 0,8 (80 %)
b) Não. Apesar de, percentualmente, o estado A produ-zir mas trigo que o estado B, sem conhecermos os valores efetivos da produção, não podemos afirmar que a produção de A é a maior que a de B. 03) a) V = 60,00 b) V = 195,00 c) C = 360 kWh a) Seja C o consumo de kWh. Se 0 ≤ C ≤ 200 → V = 200 . 0,30 V = 60,00 Se C > 200 → V = 60 + 0,45 . (C – 200) V = 60 + 0,45 C – 90 V = –30 + 0,45 C 240 V 60 200 600 C b) Se C = 500 → V = –30 + 0,45 . 500 → V = 195,00 c) Se V = 132,00 → 132 = –30 + 0,45 C → C = 360 kWh 04) a) R$700,00 ou R$400,00 b) R$550,00 e 45%
a) Sendo x o valor mensal, em R$, do condomínio e p(x) o número de condôminos pagantes, temos ∆ ∆ p x = − 1 10 e, portanto, p(x) = − 1 10x + b, em que b é uma constante. De p(100) 100, temos: −1 10 . 100 +b = 100 –10 + b = 100 ∴ b = 110 Logo, p(x) −1 10x + 110. (100 ≤ x ≤ 1100)
Para uma arrecadação mensal de R$ 28 000,00, devemos ter: −1 10x 2 + 110x = 28 000 x2 – 1100x + 28 000 = 0 x = 700 ou x = 400 Resposta: R$ 700,00 ou R$ 400,00
b) Sendo y = x . p(x), com 100 ≤ x ≤ 1100, temos: y = (−1
10x + 110) y = −1
10x
2 + 110x
O gráfico de y em função de x é um conjunto de pontos do arco da parábola de equação
y = −1
10x2 + 110x, com 100 ≤ x ≤ 1100.
Sendo xv, a abscissa do vértice da parábola, temos: xv = − − 110 2 1 10 . = 550 Temos p(550) = −1 10 . 550 + 110 = 55
Portanto, com o valor do condomínio igual a R$ 550,00 a arrecadação mensal é máxima e haverá 55 condôminos pagantes.
A porcentagem de inadimplentes, neste caso, é 100 55
100
− = 45%
05) C
15 000 . 0,8 = 12 000,00; 10 000 . 1,2 = 12 000,00 Investiu 15 000 + 10 000 = 25 000,00
Recebeu 12 000 + 12 000 = 24 000,00
Perdeu R$ 1 000,00, equivalente a 4% do capital investido. 06) a) Não, pois ele economizará R$ 200,00 comprando à
vista. b) x = 10
a) À vista: 15% de 8 000 = 1 200 (desconto) Aplicando: 1,25 . 4 000 5 5 000
5 000 – 4 000 = 1000 (rendimento) Melhor à vista ⇒ ganho de R$ 200,00
b) Para o modo compra ser indiferente para o comprador, deve-se ter:
[8 000 . (1 – x%) – 4000] . 1,25 = 4000 4000 – 8000 . x% = 3 200 ⇒ x = 10 07) a) L = 0,45T – 360
b) 1600 l
a) O custo C1 com a mão-de-obra é igual a: C1 = 360 + 10%T → C1 = 360 + 0,10T
Os demais custos C2 são iguais a: C2 = 45%T → C2 = 0,45T
O custo total C é igual a:
C = C1 + C2 → C = 360 + 0,10T + 0,45T C = 360 + 0,55T
O lucro é igual a:
L = T – C → L = T – (360 + 0,55T) L = 0,45T – 360
b) Seja x a quantidade de litros de leite produzida em um mês. Como T = 0,50x, o lucro obtido em um mês em função de x é:
L(x) = 0,45 . 0,50x – 360 L(x) = 0,225x – 360
Para o produtor não ter prejuízo, devemos ter L(x) ≥ 0. Assim:
0,225x – 360 ≥ 0 → x ≥ 1600
A quantidade mínima de leite deverá ser de1600 l. 08) a) R$650 000,00
b) 50,00
a) Se x for o faturamento do ano anterior, então: 220% . x = 1430 000 → 1430 000
2 2, x = 650 000
b) Se V for o preço de venda (incluindo os impostos), então:
V – 18% V = 26 + 30% . V → 0,82V – 0,30V = 26. V = 50
09) Qualquer percentual maior que 1,6%
Se Pedro pagar à vista, daqui a um ano, terá na sua aplicação os rendimentos do desconto que receberia no negócio. Chamado de D esse desconto, daqui a um ano Pedro deveria ter 1,25 D.
Se resolver pagar a prazo, desembolsaria de imediato R$ 100 000,00 (50%) e, ao final de um ano, teria a diferença entre o seu investimento (25%) e o juro do financiamento (10%) que teria de pagar, ou seja: 100 000 x (1 + 0,25) – 100 000 . (1 + 0,10)2 = 4000
Logo, Pedro ficaria com R$ 4000,00.
Para a compra à vista ser mais vantajosa, é necessário que o desconto seja maior que R$ 3200,00
1,25 D > 4000 ⇔ D > 3200. %de desconto = x = 3200
200 000 = 0,016 (qualquer percentual maior que 1,6%) 10) a) R$100 000,00
b) 6%
a) Sendo x, em R$, a quantia herdada, temos: (0,35x) . 0,3 + (0,4x) . 0,2 + (0,25x) . 0,4 = 28 500 0,285x = 28 500 ∴ x = 100 000
b) Sendo x a taxa mensal de juros de aplicação do menor valor, temos:
80 000 . 2 3 . x + 3400 = 110 000 . 23 . 9% 80 000 . 2 3 . x + 3400 = 6600 80 000 . 2 3 . x = 3200 x = 3 3200 2 80000 . . x = 0,06 ∴ x = 6% 11) 96 a b = 23 ⇒ a = 23 b a b + + = 2 2 3 5 3b + 6 = 5a + 10 3b = 5 . 2 3b + 4 3b = 10 3b + 4 9 3 10 12 3 b= b+ b = –12 ⇒ a = –8 Produto: (–8) . (–12) = 96
12) 105 empregados Pessoas 210 x km 75 225 Tempo 4 8 210 75 225 8 4 x = . x = 315
Devem ser contratados 315 – 210 = 105 empregados.
Matrizes
13) Atleta x resultado A = 40 18 10 32 22 9 20 10 4 20 10 4 At = 40 32 20 18 22 10 10 9 4 20 10 4 14) V – F – F – V – V – F – V a) Verdadeira. Teoria b) Falsa.c) Falsa. Por exemplo: 0 0
0 0 0 0 d) Verdadeira. e) Verdadeira. f) Falsa.
g) Verdadeira. Isso se justifica pelo conceito de matriz
transposta. 15) B 3 2 M + 23 N = P 9 4 6 6 6 M+ N= P 9M + 4N = 6P 9 8 10 4 6 12 4 6 7 16 23 13 . x . . y y x + + = 9 4 42 9 4 4 78 x y y x + = + + = ( ) 9 4 42 9 4 9 62 4 x y x y + = − + = . ( ) . ( ) − − = − + = + 81 36 378 16 36 248 x y x y ( ) –65x = –130 x = 2; y = 6 y – x = 4 16) B aij = log(2 ) 2 i j i j se i j se i j + + = ≠ A = a a a a 11 12 21 22 21 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 = + + + + log log ( ) → A = 8 21 8 At = 1 8 8 2 17) 380 300 250 100 200 200 10 80 50 300 180 300
Segundo semestre = ano todo – 1º semestre 500 400 300 150 350 400 90 150 150 600 300 400 120 100 50 50 − 80 1150 20070 100 300 120 400 = = 380 300 250 100 200 200 10 80 50 300 180 300 18) D
a) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
b) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
c) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
d) Verdadeira. A matriz identidade é o elemento neutro
da multiplicação de matrizes. e) Falsa. 19) B 2 2 4 4 0 2 300 500 = . x 1600 3600 → 600 1000 0 1200 2000 2 + + + + = x 1600 3600 → 1200 + 2000 + 2x = 3600 → x = 200
20) X = 1 3 4 0 1 4 − A = 1 3 0 4 ; A . x = I2 Seja X = a b c d 1 3 0 4 . a b c d = 1 0 0 1 4c = 0 → c = 0 a + 3c = 1 → a = 1 4d = 1 → d = 1 4 b + 3d = 0 → b + 3 4 = 0 → b = 34 ∴ X = 1 3 4 0 1 4 − 21) E A = 1 2 x y z A t = A = 1 2 y x z 1 2 x y z . 1 2 y x z = 1 0 0 1 → 1 4 2 2 2 2 2 + + + + x y xz y xz x z = 1 0 0 1 1 4 + x 2 → x2 = 3 4 y 2+ xz → z = y x 2 y2 + z2 = 1 → y2 + y x 2 2 2 = 1 → y 2 = y2 4 3 4 . = 1 → y 2 = 3 4 Logo, x2 + y2 = 3 4 + 34 = 32 22) A x . 1 1 1 1 − − . xt = (1)
Como a matriz resultantes é 1 x 1, podemos afirmar que x é uma matriz 1 x 2 e xt é uma matriz 2 x 1. Sejam x = (a b)
e xt = a b , então: (a b) . 1 1 1 1 − − . a b = (1) → (a – b –a + b) . a b = (a2 – ab – ab + b2) = [(a – b)2] = (1) Como a + b = 1, temos: a = 0 ou a = 0 e b = 1. Então, a . b = 0. 23) C A = log log log log log log 3 4 3 4 5 5 2 3 8 27 4 64 ; B = log log log log log log 2 3 4 2 3 4 3 4 5 9 16 25 ⇒ log log log log log log 3 4 3 4 5 5 2 3 8 27 4 64 . log log log log log log 2 3 4 2 3 4 3 4 5 9 16 25 = log .log32 23+log .log43 34+log .log54 45 log .log32 232+log .log43 344 4 5
2 3 3 4 4 5 2 5 4 2 3 3 2 4 3 3 2 5 3 4 + + + log .log log .log log .log log .log log3323.log232+log433.log342+log543.log452
= 1 1 1 2 2 2 3 3 3 6 6 6 3 6 9 18 + + + + + + + + = ∴ S = 3 + 6 + 9 + 18 = 36
24)D
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 será verdadeira se e somente
se A . B = B . A, ou seja, quando o produto A . B for comutativo com B . A.
Determinantes
25) 56 C = A . Bt = x x + − 30 0 4 6 7 det C = 602 7 . (x + 30) – 0 = 602 7x + 210 = 602 7x = 392 ⇒ x = 56 26) 19 = 175 x –x –3 3 4 x 1 –2 1 x –x –3 2 –2 1 – 2x + 4x + 18 + 3x + 24 + 22 x = 1752 7x = 133 ⇒ x = 19 27) 7n = 70 = 1 A . B = 1 1 1 0 1 1 − − . 0 1 3 4 2 5 = 0 1 2 3 5 7 3 5 7 − − − = 1 –5 5 2 –7 7 0 –3 3 1 –5 5 0 –3 n = det (A . B ) = 3 = –21 – 30 + 30 + 21 = 0 7n = 70 = 1 28) C = 0 2x 2x 1 1 log2x log2x 8x 8x 2 2 log2x2 log2x2 0 3 0 3 . 2x . log 2 2 x – 3 . 8x . log 2 x = 0 (÷3) 2x . 2log 2 2 x – (2x)3 . log 2 x = 0 log2x . (2x + 1 – 23x) = 0 log2x = 0 ⇒ x = 1 ou 2x + 1 – 23x = 0 2x + 1 = 23x x + 1 = 3x ⇒ x = 1 2 Soma: 1 + 1 2 = 32 29) B A = Bt x y 2 0 2 +2 e B = 4 z y −x z = 2 y = 2 y + 2 = –x x = –2 x2 = 4 x = ±2 = = 0 y 1 1 5 5 –1 –1 1 1 2 2 –2 2 4 0 1 5 –2 x 2 z 4 4 = –4 – 10 + 4 + 10 = 0 30) C A = log log log log xx 3 3 9 9 1 3 ; x ∈ R, x > 0 e x ≠ 1 n = log log log log xx 3 3 9 9 1 3 ; logx x . log9 3 – log31 . log3 9 →
→ n = 1 . 1 2 – 0 . 2 → n = 12 (1) 6x + 3 = 0 → x = – 1 2 (2) x + 1 2 2 = 0 → x = – 1 2 (3) 9x – 3 = 0 → 32x = 3 → 2x = 1 → x = 1 2 (4) x2 = 1 4 → x = ± 12 (5) x2 = 1 2 → x = ± 22
Portanto, a equação que tem n = 1
2 como única raiz é a equação (3) e a alternativa é c.
31) Sim; det A . B = det B . A = –7 A = 3 1 2 1 − − ; B = 1 5 0 7 A . B = 3 1 2 1 − − . 1 5 0 7 = 3 0 15 7 2 0 10 7 + + − + − − = 3 22 2 17 − − → det A . B = –51 + 44 = –7 A . B = 1 5 0 7 . 3 1 2 1 − − = 3 10 1 5 0 14 0 7 − − − − = − − − − 7 4 14 7 → det B . A = 49 – 56 = –7 ∴ det A . B = det B . A = –7
32) A M = a b c d ; a, b, c e d ∈ R det M = ad – bc PG (a, b, c, d) → a b = dc = q → bc = ad = q det M = ad – bc = q – q → det M = 0 33) S = {–22} x x x + − = − 1 2 3 1 5 3 1 2 4 1 2 –2(x + 1) + 30 + 3x – (9 – 4x + 5(x 1)) = –8 – x –2x – 2 + 30 + 3x – 9 + 4x – 5 –5x = –8 – x x + 14 = –8 x = –22 S = {–22} 34) B D = 1 1 0 1 0 sec sec x tg x tg x x = sec2 x + 0 + 0 – 0 – tg2 x – sec x = 0
Como tg2 x = sec2 x – 1, temos:
sec2 x – (sec2 x – 1) – sec x = 0
sec = 1 1 cos x = 1 → cos x = 1 → x = 2π 35) a) 18 kg b) 11 anos A = 1 1 1 3 0 0 2 2 3 − −x p(x) = det A p(x) = 0 + 6 + 0 – 0 + 2 + 2x → p(x) = 2x + 8 a) p(5) = 2 . 5 + 8 → p(5) = 18 kg b) 30 = 2x + 8 → x = 22 2 → x = 11 anos 36) D 16 . det A–1 = det 2A
A matriz éde ordem 2, logo: 16 . 1
det A = 2
2 . det A → (det A)2 = 4 →
→ det A = –2 (não convém) ∴ det A = 2
Sistemas Lineares
37) m = 3 e p = 3 2 2 2 16 x my px y − = + = → 2 4 2 2 4 2 2 16 . . . . − = + = m p → → m = 3 e p = 3 38) m = 3 e n = 4Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. x y x y x x − = + = = → = 2 4 2 6 3 Substituindo x, temos: 3 – y = 2 → y = 1
Substituindo x e y no segundo sistema, temos: 3 13 3 9 3 13 3 9 27 10 40 3 m n m n m n m n n x + = − + = → + = − + = = → ( ) nn= 4 Substituindo n, temos: 3m + 4 = 13 → 3m = 9 → m = 3
39) a) Dois sistemas lineares são equivalentes se apresentama mesma solução.
b) C1 = 4
3 e C2 = – 1
2 S1 ≡ S2
a) Sistemas lineares equivalentes são sistemas que apresentam a mesma solução.
b) Resolvendo S2, temos: x y x y x x − = + = = → = 0 2 2 2 1 Substituindo x, temos: 1 – y = 0 → y = 1 Substituindo x e y em S2, temos: C C C C C C C C C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 . . . . + = − = → − = + = = →→C1= 3 2 Substituindo C1, temos: 3 2 + C2 = 1 → C2 = – 1 2 ∴ C1 = 32 e C2 = – 1 2
40) a) 7 embalagens de 30 g e 2 embalagens de 50 g. b) 330 g (6 de 50 g e 1 de 30 g) X = quantidade de embalagens de 30g. Y = quantidade de embalagens de 50g. a) 10 15 100 30 50 310 30 45 300 30 50 31 3 x y x y x y x y x + = + = → − − = − + = − ( ) 00 5 10 2 = → = y y Substituindo y, temos: 10x + 15 . 2 = 100 → 10x = 100 – 30 → x = 7 Portanto, a quantidade de cada tipo de embalagem
é 7 de 30 g e 2 de 50 g.
b) 10x + 15y = 100 → em gramas: 30x + 50y Verificando os casos possíveis, temos:
X Y Quantidade em grama = 30x + 50y
10 7 4 1 0 2 4 6 300 g 210 + 100 = 310 g 120 + 200 = 320 g 30 + 300 = 330 g
Portanto, com R$ 100,00 uma pessoa pode com-prar, no máximo, 330g. 41) 20 5 9 10 10 18 10 18 20 10 18 2 x y x y a x y x y a x + = + = → − − = − + = − ( ) = − + → = 0 20 a a 20 42) A x y x y x y x y y y x − = − = → − + = − − = − = → = − − 1 3 4 5 3 3 3 3 4 5 2 3 ( ) 22 Substituindo y, temos: x – (–2) = 1 → x + 2 = 1 → x = –1
Portanto, o sistema é SPD com solução S = {(–1, –2)}. 43)D
Sejam a, b e c o número de folhas que as impressoras A, B e C imprimem. a b a c a c + = + = + = 150 160 170
→ somando as duas primeiras equações, temos: 2 . a + b + c = 310
Substituindo b + c = 170, teremos: 2a + 170 = 310 → 2a = 310 – 170 → a = 140
2 → a = 70
Em1 hora, a impressora A imprime 70 folhas sozinha.
44) –6
f(x) = ax3 + bx2 + cx; f(–1) = 2, f(2) = 14
f(1) = a + b + c = 0 f(–1) = –a + b – c = 2 f(2) = 8a + 4b + 2c = 14
Com os dados, temos
a b c a b c a b c + + = − + − = + + = 0 2 8 4 2 14
→ somando as primeiras equações, temos: 2b = 2 → b = 1. Então: − + − = + + = → − − = + = → − − a c a c a c a c a c x 1 2 8 4 2 14 1 8 2 10 2 2 2 ( ) == + = = → = 2 8 2 10 6 12 2 a c a a Substituindo a, temos: –2 – c = 1 → c = –3 ∴ f(x) = 2x3 + x2 – 3x e f(–20 = 16 + 4 + 6 = –6
46) 89 7 Q x 5 x = 7Q + 5 (I) 38 . Q = 5x + 11 (II) Substituindo I em II, temos: 38 . Q = 5 . (7Q + 5) + 11 38Q = 35Q + 25 + 11 3Q = 36 Q = 12 ⇒ x = 89 47) 3 2 4 3 2 2 5 4 3 1 10 x y x z x y x z + = + − − = − − = .( ) ( ) ( )
Trabalhando apenas com a primeira e a terceira equa-ção, obtemos o valor 2x – y – 3z.
2 4 4 3 1 10 x y x z + = − − = ( ) 2 4 4 3 3 10 1 x y x z x + = − + = (−) ⇒ − − = −− = + 2 4 4 3 7 x y x z ( ) 2x – y – 3z = 3 48) 6 x y z y z x y z + − = − − + = − + = 2 3 1 2 3
Substituindo –y + z = 1 na terceira equação, temos: 2x – y + z = 3
2x + 1 = 3 2x = 2 ⇒ x = 1
Usando apenas a primeira e a segunda equação, en-contramos: 1 2 3 1 + − = − − + = + y z y z ( ) 45) A
De acordo com o enunciado, temos:
4 6 6 2 50 4 2 3 21 2 3 3 24 A B C D A B C D A B C D I II + + + = + + + = + + + = ( ) ( ) (( )III De (I) e (III), temos: 4 6 6 2 50
2 3 3 24 4 6 6 2 50 4 2 A B C D A B C D A B C D A x + + + = + + + = → + + + = − − − ( ) 66 6 2 48 0 2 B C D impossível − − = − = 1 – z = –2 –z = –3 x = 3; y = 2 Solução (1, 2, 3) Produto; 1 . 2 . 3 = 6 49) __ Televisor: x Videocassete: y Aparelho de som: z x y x y x y + = + = + = 1200 1100 1500
Somando as três equações, temos: 2x + 2y + 2z = 3800 2 . (x + y + z) = 3800 x + y + z = 1900 50) E m m + + ≠ 3 1 1 2 2 2m2 + 2 ≠ m + 3 2m2 – m –1 ≠ 0 m' ≠ 1 m'' ≠ – 1 2 51) E 1 5 2 −1 = . x y x y α x y x x y y + = − = 5 2 α α x y y . ( ) ( ) 1 5 0 2 1 0 − + = + − − = α α Δ = 0 1 5 2 1 0 − − − = α α –1 – α + α + α2 – 10 = 0 α2 = 11 α =± 11
