Universidade Federal Fluminense
Instituto de Ciências Exatas
Curso de Matemática
O paradoxo de Banach-Tarski
Lucas Barbosa Gama
Volta Redonda
Março de 2016
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Ciências Exatas
Curso de Matemática
O paradoxo de Banach-Tarski
Trabalho de Conclusão de Curso na
área de conhecimento Matemática Pura, apresentado ao Curso de Matemática, ICEx, da Universidade Federal Fluminense, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Bacharel em Matemática.
Lucas Barbosa Gama
Orientador: Luiz Felipe Nobili França
Volta Redonda Março de 2016
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por sua graça e misericórdia em permitir que eu vivesse e pudesse concluir este curso, e por ter me capacitado em todos os momentos. Aos meus pais, Francisco e Lucimar, pelo grande empenho e incentivo, que foram fundamentais para minha conclusão do curso, e ao meu irmão, Thiago, pelo apoio.
Agradeço ao professor Felipe, por além de ter me orientado com paciência tanto no projeto de iniciação científica quanto na monografia, ter ministrado diversas disciplinas com excelência, acrescentando muito na minha formação.
Sou grato a todos os demais professores que contribuíram para a minha formação, em especial ao professor Ivan, que além de também ter lecionado várias disciplinas, me ajudou em diversos assuntos do curso.
Agradeço a todos os amigos da UFF. Em especial, à Bia, que me acompanhou em várias disciplinas mais avançadas do curso e me incentivava a estudar mais. Também ao meu companheiro de quarto, Mariano, e ao Lucas, pelas amizades, ajudas, conselhos, conversas e debates acerca de diversos temas.
“Graças ao grande amor do Senhor é que não somos consumidos, pois as suas misericórdias são inesgotáveis.” (Bíblia Sagrada, Lamentações 3, 22)
Resumo
Neste trabalho será apresentado o teorema de Banach-Tarski que, em sua formulação mais simples, diz que a esfera S2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2+ z2 = 1} pode ser dividida em
subconjuntos B1 e B2 de modo que S2 seja equidecomponível tanto a B1 quanto a B2.
De maneira menos formal, o teorema diz que uma esfera unitária pode ser dividida em uma quantidade finita de subconjuntos de modo que, ao reorganizar estes subconjuntos no espaço fazendo apenas movimentos rígidos (isto é, rotações e translações), obtém-se duas cópias da esfera inicial.
Versões mais gerais deste teorema serão também verificadas. Outros resultados do axioma da escolha e parte dos conhecimentos teóricos que foram necessários para concluí-los também estão presentes.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Paradoxo do tipo 2 . . . 10
Figura 2 – Paradoxo de Sierpiński-Mazurkiewicz . . . 12
Figura 3 – Órbitas . . . 16
Figura 4 – Pontos fixos de rotação . . . 17
Figura 5 – Reta r . . . 18
Figura 6 – Banach-Tarski - Primeira versão . . . 21
Figura 7 – Rotação τ . . . 22
Figura 8 – Banach-Tarski - Segunda versão . . . 23
Lista de tabelas
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . . 1 2 PRELIMINARES . . . . 3 2.1 O Axioma da Escolha . . . 3 2.2 Grupos livres . . . 5 3 EXEMPLOS . . . . 9 4 TEOREMA DE BANACH-TARSKI . . . 15 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 29 REFERÊNCIAS . . . 311
1 Introdução
Embora a matemática esteja presente nas civilizações desde seus primórdios, a percepção da necessidade, bem como a elaboração de um sistema formal é recente, tendo seu início somente no século XIX. Com o formalismo, começaram a se estabelecer teorias axiomáticas que descrevem conjuntos, o principal objeto de estudo dos matemáticos atualmente.
Em 1922, o lógico Abraham Fränkel (1891-1965) contribuiu com a teoria axiomática de conjuntos proposta por Ernst Zermelo (1871-1953), resultando nas teorias conhecidas atualmente por ZF e ZFC, cujos axiomas podem ser encontrados em [1]. Todos os axiomas desta teoria eram vistos como intuitivos e verdadeiros, até que em 1924, o matemático Stephan Banach (1892-1945) e o lógico Alfred Tarski (1902-1983), ambos poloneses, publicaram um artigo intitulado Sur la décomposition des ensembles de points en parties
respectivement congruentes, que continha o teorema de Banach-Tarski, cujo objetivo era
mostrar que um dos axiomas, conhecido como axioma da escolha, era falso. A aceitação ou não deste axioma se tornou um dos debates mais acalorados na matemática do século XX. Por um lado este axioma era necessário para obtermos resultados importantes e intuitivos. Por outro, o mesmo axioma produzia resultados aparentemente paradoxais. Neste tipo de situação é comum vermos duas linhas filosóficas opostas sendo formadas, como aconteceu quando o teorema de Hausdorff, que precedeu o paradoxo de Banach-Tarski, foi demonstrado. Alguns matemáticos, dentre eles o eminente matemático francês E. Borel, ao invés de aceitar o resultado do teorema como verdadeiro, preferiram negar uma das hipóteses necessárias, o axioma da escolha (veja a seção 2.1e [2]). Hoje, o axioma da escolha é amplamente aceito entre os matemáticos.
O axioma da escolha diz que para qualquer coleção A de conjuntos disjuntos e não-vazios existe um conjunto que contém exatamente um elemento de cada conjunto em A. O teorema de Banach-Tarski é consequência do axioma da escolha e, de maneira informal, diz que:
“Uma esfera sólida (em R3) pode ser particionada em uma quantidade finita de
subconjuntos de maneira que, rearranjados, duas esferas sejam obtidas, do mesmo tamanho da esfera inicial.”
A natureza paradoxal deste teorema vem do fato de que o axioma da escolha é considerado bastante intuitivo e aceito, ao passo que o resultado deste teorema é bastante contra-intuitivo.
A versão do teorema enunciada acima é a mais simples e também a mais conhecida. No entanto, mostraremos neste trabalho a versão mais geral do Teorema de Banach-Tarski
2 Capítulo 1. Introdução
que diz
“Dados dois conjuntos quaisquer limitados com interior não vazio em um espaço de dimensão maior ou igual a três, podemos particionar o primeiro conjunto em uma quantidade finita de subconjuntos e rearranjá-los de modo a obtermos o segundo conjunto.”
Por exemplo, uma bola de raio muito pequeno poderia ser quebrada em uma quantidade finita de pedaços que formariam uma nova bola de raio muito grande. Este exemplo deu origem ao apelido “the pea and the sun paradox” (o paradoxo da ervilha e do sol) para esta versão mais geral do paradoxo.
O axioma da escolha possui diversas outras aplicações na matemática. Por exemplo, mostrar que todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito e enumerável requer o uso do axioma da escolha.
Assim como o paradoxo de Banach-Tarski, há também outras implicações estranhas, com certa semelhança com o paradoxo, do axioma da escolha, que também veremos com mais detalhes neste trabalho, como por exemplo, o já citado teorema de Hausdorff, em que duplica-se a esfera menos um conjunto enumerável de pontos, e a existência do conjunto de Vitali (um conjunto limitado de pontos que não é mensurável).
A demonstração do paradoxo requer alguns conceitos acerca de grupos livres que serão apresentados neste trabalho.
Para mais detalhes sobre o Teorema de Banach-Tarski, sugerimos a leitura de [3] e [4].
3
2 Preliminares
Neste capítulo apresentaremos os dois principais ingredientes usados na demonstra-ção do Teorema de Banach-Tarski. São eles: o Axioma da Escolha e Grupos Livres.
2.1
O Axioma da Escolha
Uma peça fundamental para a demonstração do teorema é o Axioma da Escolha. Embora este axioma só tenha sido enunciado formalmente por Ernst Zermelo em 1904, matemáticos já o haviam usado antes, sem perceber. Há vários enunciados diferentes para este axioma. Os mais comuns envolvem o conceito de função escolha, que veremos a seguir.
Definição 1. Seja H uma coleção não-vazia de conjuntos não-vazios. Uma função f com
domínio H é dita uma função escolha se f (X) ∈ X para todo X ∈ H.
Axioma 1. (da escolha) Qualquer coleção não-vazia de conjuntos não-vazios admite uma
função escolha.
Em alguns casos, a existência da função escolha não depende deste axioma. Por exemplo, quando H é finito, ou os elementos de H são subconjuntos de N, pode-se estabelecer regras para escolher os elementos e assim definir a função escolha.
Apesar de parecer bastante intuitivo, este axioma foi alvo de controvérsias, em virtude de algumas consequências consideradas paradoxais.
Dentre estas consequências, podemos citar o paradoxo de Hausdorff, que diz que a metade de uma esfera é congruente a um terço da mesma, e o próprio paradoxo de Banach-Tarski. Veremos a demonstração do paradoxo de Hausdorff como um dos passos para a demonstração do teorema de Banach-Tarski.
Outro resultado interessante do axioma da escolha é a construção do conjunto de
Vitali, um conjunto limitado que não é Lebesgue-mensurável. Exemplos como este serão
vistos com mais detalhes no capítulo 3.
Diz-se que uma teoria axiomática é consistente se dada qualquer proposição P , não se pode provar simultaneamente P e sua negação ¬P . Em 1929, Kurt Gödel mostrou que a consistência de ZF (teoria de Zermelo-Fränkel sem o axioma da escolha) não pode ser demonstrada usando apenas seus axiomas. Mais tarde, em 1940, Gödel mostrou que o axioma da escolha é consistente com a teoria ZF, isto é, se ZF é consistente então a teoria ZFC, resultado da adição do aximoa da escolha aos axiomas da teoria ZF, também
4 Capítulo 2. Preliminares
é consistente. Paul Cohen mostrou, em 1963, que o axioma da escolha é independente da teoria ZF, isto é, não é possível prová-lo ou refutá-lo a partir dos axiomas de ZF.
Hoje, o axioma da escolha é universalmente aceito pelos matemáticos. Além deste axioma ser utilizado para provar que qualquer conjunto infinito admite subconjunto infinito enumerável, o que é muito intuitivo, existem vários resultados importantes na matemática que são conclusões deste axioma. A seguir, serão enunciados alguns que são não apenas resultados do axioma, mas equivalentes. Primeiramente precisaremos de algumas definições (encontram-se em [7]).
Definição 2. Seja S um conjunto. Uma relação de ordem em S é uma relação binária, que denotaremos por ≤, que goza das seguintes propriedades:
1. Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ S;
2. Anti-simétrica: se x ≤ y e y ≤ x, então x = y; 3. Transitiva: se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.
Definição 3. Quando em um conjunto S está definida uma relação de ordem, dizemos
que S é um conjunto ordenado. Se x ≤ y ou y ≤ x para todo x, y ∈ S, então S é dito
totalmente ordenado. Caso contrário, dizemos que S é parcialmente ordenado. Se S é
ordenado e existe x ∈ S tal que para todo y ∈ S não vale que x ≤ y e x 6= y, então x é chamado elemento máximo. Analogamente, se para todo y ∈ S não vale que y ≤ x e
x 6= y, dizemos que x é um elemento mínimo.
Definição 4. Seja A ⊂ S onde S é um conjunto ordenado. Dizemos que a ∈ S é uma cota superior de A se x ≤ a para todo x ∈ A. Dizemos que um conjunto ordenado é indutivo superiormente, se todo subconjunto totalmente ordenado possui cota superior.
Se S é um conjunto totalmente ordenado, podemos definir uma relação chamada
ordem estrita total, da seguinte maneira: x < y se, e somente se, x ≤ y e x 6= y. Quando
todo subconjunto não-vazio de S possui um elemento mínimo, dizemos que S é bem ordenado.
Teorema 1. (Princípio da boa ordem) Qualquer conjunto não-vazio pode ser bem ordenado. Lema 2. (de Zorn) Todo conjunto não-vazio indutivo superiormente possui elementos
máximos.
Com este último lema, é possível demonstrar um dos principais resultados de topologia, o teorema de Tychonov.
Teorema 3. (de Tychonov) O produto cartesiano ΠXλ é compacto se, e somente se, cada
2.2. Grupos livres 5
O enunciado e demonstração deste teorema encontram-se em [7]. É também de-monstrado que o teorema de Tychonov implica no axioma da escolha ([8]), concluindo a equivalência, uma vez que o axioma da escolha é equivalente ao lema de Zorn.
Outros resultados importantes, como a existência de uma base para todo espaço vetorial, a tricotomia dos cardinais e a existência de uma operação binária em qualquer conjunto S que o torna grupo, são também equivalentes ao axioma da escolha ([9] e [10]). Tarski provou que o seguinte resultado é equivalente ao axioma da escolha.
Teorema 4. Seja A um conjunto infinito. Então existe uma bijeção entre A e A × A.
Outro resultado que pode ser visto em [11] é que o teorema de Hahn-Banach, um dos principais resultados de análise funcional, cujo enunciado encontra-se a seguir, além de ser resultado no lema de Zorn, implica no paradoxo de Banach-Tarski.
Teorema 5. (Hahn-Banach) Sejam X um espaço vetorial, M um subespaço vetorial de X e g : M → R um funcional linear. Se existe uma seminorma ρ : X → [0, +∞) tal que g(x) ≤ ρ(x) para todo x ∈ M , então existe um funcional linear f : X → R tal que f M≡ g e f (x) ≤ ρ(x) para todo x ∈ X.
Um teorema bem conhecido que, embora não seja equivalente, precisa do axioma da escolha para ser provado é o fato da união enumerável de conjuntos enumeráveis ser um conjunto enumerável.
2.2
Grupos livres
A construção dos subconjuntos da esfera que faremos na demonstração do paradoxo de Banach-Tarski não é muito simples e, para isso, precisaremos do conceito de grupos livres. Os resultados e definições que mostrarei a seguir podem ser encontrados com mais detalhes em [5] e [6], embora apresentados de maneiras diferentes.
Seja A um conjunto não-vazio. Queremos definir uma palavra em A, que, basi-camente é uma “sequência finita” da forma ab1
1 . . . a
bk
k , onde ai ∈ A e bi ∈ Z para todo
i ∈ {1, . . . , k}. Podemos identificar um elemento qualquer de A por 1 e definirmos uma
palavra em A, da seguinte maneira.
Definição 5. Uma palavra em A é uma função cujo domínio é Ik = {1, . . . , k}, para
algum k ∈ N e contradomínio A × Z. Se w é uma palavra em A e w(i) = (ai, bi) para
i ∈ {1, . . . , k}, então denotaremos esta palavra por ab1
1 . . . a
bk
k . Normalmente omitiremos os
termos bi que valem 1 nesta notação.
Note que, de acordo com esta definição, palavras da forma abb−1, ab0, a, a1 e a12
6 Capítulo 2. Preliminares
Quando em uma palavra ab1
1 . . . a
bk
k , vale que ai = ai+1para algum i ∈ Ik−1, dizemos
que a substituição de abi
i a bi+1
i+1 por a bi+bi+1
i é uma contração. Por exemplo, a3a é resultado de
uma contração da palavra a2aa. Existem outras três formas de contrações: a substituição
de termos da forma a0 por 1, a eliminação dos termos 1 (com exceção do caso em que a palavra é 1) e a substituição dos termos da forma 1k por 1.
Exemplo 1. a1112, aa012 e a1a01 são resultados de contrações da palavra a1a012.
Definição 6. Uma palavra é dita reduzida se não for possível realizar uma contração.
Denotaremos o conjunto de todas as palavras reduzidas em A por F [A].
Evidentemente, fazendo um número finito de contrações em uma palavra, obtemos uma única palavra reduzida. Por exemplo, a palavra citada anteriormente, a1a012, resulta
na palavra reduzida a.
Ao conjunto de palavras reduzidas F [A], damos uma estrutura de grupo definindo a operação produto que toma duas palavras em F [A], faz a concatenação das mesmas seguida das possíveis contrações. Por exemplo, o produto entre as palavras aba−1 e ab resulta na palavra ab2. A definição formal desta operação encontra-se a seguir:
Definição 7. Sejam w1 : Ir → A × Z e w2 : Is → A × Z duas palavras reduzidas em A.
Seja a palavra w0 definida da seguinte maneira:
w0 : Ir+s→ A × Z i 7→ w1(i), se i ≤ r w2(i − r), caso contrário
Se w é a palavra reduzida obtida a partir das contrações de w0, então definimos a operação produto como w1.w2 = w.
Para o resultado a seguir, lembre-se que uma permutação é uma bijeção de um conjunto nele mesmo e o grupo simétrico em um conjunto A é o conjunto das permutações em A, munido da operação composição de funções. O conjunto das funções cujo domínio é
A e o contradomínio é B será denotado por F (A; B). Além disso, dizemos que um grupo G
é gerado pelo conjunto S ⊂ G, se todo elemento de G é resultado do produto de elementos de S ou seus inversos (com a operação definida em G).
Teorema 6. A operação produto definida anteriormente é associativa.
Demonstração. Para cada a ∈ A, seja a função σa: F [A] → F [A] definida por σa(w) = a.w
e, analogamente σa−1(w) = a−1.w. Pode-se afirmar que σa−1 ◦ σa = Id em F [A]. Com
efeito, se a = 1, então σa = σa−1 = Id. Se a 6= 1, então vale σa(ab11. . . akbk) = a.ab11. . . abkk,
se a 6= a1. Se a = a1 e b1 = −1, então σa(ab11. . . a bk k ) = a b2 2 . . . a bk k . Se a = a1 e b1 6= −1,
2.2. Grupos livres 7 então σa(ab11. . . a bk k ) = a b1+1 1 . . . a bk
k . Em todos os casos, temos σa−1◦ σa = Id e, portanto,
σa é uma permutação em F [A]. Seja S(A) o subgrupo do grupo simétrico em F [A] gerado
pelo conjunto {σa ∈ F (F [A]; F [A]); a ∈ A}. A função f : F [A] → S(A) definida por
f (ab1
1 . . . a
bk
k ) = σab11◦· · ·◦σ
bk
ak é claramente uma bijeção que preserva as respectivas operações, isto é, f (w1.w2) = f (w1) ◦ f (w2). Logo, como S(A) é grupo, vale que a operação definida
em F [A] é associativa.
Corolário 7. F [A] é um grupo com a operação anteriormente definida.
Definição 8. O grupo F [A] é chamado de grupo livre gerado por A. Um grupo F é dito livre se existe um conjunto A tal que F = F [A].
Definição 9. Uma função f : G → H, entre dois grupos, (G, +) e (H, ∗), é um homomor-fismo, se f (x + y) = f (x) ∗ f (y) para todo x, y ∈ G. Quando um homomorfismo é uma
bijeção, o chamamos de isomorfismo.
Teorema 8. Seja G um grupo, A um conjunto e φ : A → G uma função. Então existe um único homomorfismo Φ : F [A] → G tal que o diagrama a seguir comuta:
A F [A]
G inclusão
φ Φ
Isto é, φ(x) = Φ(i(x)) para todo x ∈ A, onde i é a função inclusão, que leva um elemento a ∈ A na palavra a1.
Demonstração. De fato, se Φ é homomorfismo, então Φ(ab1
1 . . . a
bk
k ) = Φ(a1)b1. . . Φ(ak)bk =
Φ(i(a1))b1. . . Φ(i(ak))bk = φ(a1)b1. . . φ(ak)bk, o que mostra a unicidade. Além disso,
defi-nindo a função Φ(ab1
1 . . . a
bk
k ) = φ(a1)b1. . . φ(ak)bk, como anteriormente, verifica-se que Φ é
um homomorfismo, o que mostra a existência.
Observação 1. Considerando o teorema anterior, suponha que A gera o grupo G e seja φ : A → G a inclusão. Neste caso, Φ é sobrejetiva. Então, para que G e F [A] sejam
isomorfos é necessário e suficiente que Ker(Φ) = {w ∈ F [A]; Φ(w) = e} = {1}. Isto também equivale a dizer que G não possui identidade não-trivial, ou seja, um produto de elementos de G, ab1
1 . . . a
bk
k , só resulta em 1, se isto for verificável fazendo as contrações
na palavra, como por exemplo em abb−1a−1. Perceba que, como φ é a identidade, a
representação dos elementos de G como produto de elementos de A se confunde com as palavras de F [A], isto é, se · é a operação em G, então dado um elemento w ∈ G, existe uma única palavra ab1
1 . . . a
bk
k em F (A), tal que Φ(a b1 1 . . . a bk k ) = a b1 1 · . . . · a bk k = w. Por este
8 Capítulo 2. Preliminares
Observação 2. A seguir, vamos mostrar como “duplicar” um grupo livre, F2, gerado por
dois elementos (além de 1), isto é, F2 = F [{1, a, b}].
Seja S(a) o conjunto de todas as palavras em F2 que começam com a. De maneira
análoga, defina os conjuntos S(a−1), S(b) e S(b−1), como os conjuntos de todas as palavras em F2 que começam com a−1, b e b−1, respectivamente. Estamos considerando palavras
como akba como uma palavra que começa com a, para qualquer k positivo ou uma palavra
que começa com a−1, quando k é negativo. Desta maneira, vale a seguinte igualdade:
F2 = {1} ∪ S(a) ∪ S(a−1) ∪ S(b) ∪ S(b−1).
Estas uniões são disjuntas. Seja aS(a−1) = {a.w; w ∈ S(a−1)}. Deste modo, aS(a−1) consiste no conjunto de palavras que não começam com a, isto é,
aS(a−1) = {1} ∪ S(a−1) ∪ S(b) ∪ S(b−1).
Analogamente, bS(b−1) = {1} ∪ S(b−1) ∪ S(a) ∪ S(a−1). Logo, valem as seguintes igualdades:
F2 = S(a) ∪ aS(a−1);
F2 = S(b) ∪ bS(b−1).
Se pensarmos nestas concatenações à esquerda como um “movimento” do conjunto, é como se tivéssemos movido duas das 5 partes de F2 de modo a obter duas cópias de
F2. O grupo livre que utilizaremos na demonstração do teorema de Banach-Tarski será o
9
3 Exemplos
Neste capítulo, apresentarei alguns exemplos de resultados semelhantes ao paradoxo de Banach-Tarski, bem como outros tipos de paradoxo. Podemos dividir os paradoxos em 3 tipos:
Tipo 1: Uma proposição que aparenta ser um absurdo, mas é verdadeira.
Tipo 2: Uma prosição que aparenta ser verdadeira, mas é auto-contraditória. Proposições deste tipo são conhecidas como falácias.
Tipo 3: Uma proposição que leva a conclusões contraditórias. São chamadas antinomias.
O paradoxo de Banach-Tarski, bem como os exemplos semelhantes no final deste capítulo, se enquadram no tipo 1, ou seja, embora pareçam falsos, são demonstrados verdadeiros a partir dos axiomas adotados. Outro paradoxo do tipo 1, é o paradoxo de Simpson.
Exemplo 2. Observe a tabela abaixo:
Tabela 1 – Paradoxo de Simpson
Pílulas vermelhas Pílulas amarelas
Pacientes Sobreviveram Morreram Sobreviveram Morreram
Homens 80 (80%) 20 (20%) 78 (78%) 22 (22%)
Mulheres 20 (50%) 20 (50%) 2 (40%) 3 (60%)
Todos 100 (71,4%) 40 (28,6%) 80 (76,2%) 25 (23,8%)
Esta tabela nos dá dados hipotéticos de uma pesquisa para comparar a eficiência de dois remédios. Perceba que tanto no caso de homens quanto no caso de mulheres, a pílula vermelha obteve maior eficiência do que a amarela. Porém, ao combinar os dados ignorando os sexos dos pacientes, o resultado muda, indicando que a pílula amarela é a mais eficiente. A aparente contradição pode ser explicada pelo fato da distribuição de pílulas amarelas ter sido muito desigual entre homens e mulheres somado ao fato de ambos os medicamentos terem demonstrado eficiência bem maior em homens.
Neste caso, embora os dados tenham sido coletados de modo a obtermos um resultado não confiável, não há necessariamente proposições falsas. Em paradoxos do tipo 2, não é isso o que acontece.
10 Capítulo 3. Exemplos
Exemplo 3. Observe a seguinte figura:
3 5 5 3 8 3 5 | {z } 5 3 5 5 3 5 3 8 3 8 | {z } 8 5 5 5
Figura 1 – Paradoxo do tipo 2
Aparentemente, ao dividir este quadrado e reorganizarmos as peças da maneira ilustrada, “surge” um quadrado de área 1, assemelhando-se ao caso do teorema de Banach-Tarski, em que “surge” uma nova esfera. Porém, neste caso, a conclusão não é verdadeira. Trata-se de uma ilusão de óptica. As peças não são reorganizáveis desta maneira sem sobrar espaços entre uma peça e outra, como a imagem sugere.
Há ainda os paradoxos do tipo 3. Um caso bem famoso, foi o paradoxo enunciado por Betrand Russell sobre a teoria de conjuntos, que veremos a seguir.
Exemplo 4. Considere o conjunto definido da seguinte maneira: A = {X|X 6∈ X}. A
contradição surge ao tentarmos verificar se A ∈ A ou A 6∈ A. Pela definição do conjunto, concluimos que A ∈ A ⇔ A 6∈ A, o que é uma contradição.
Exemplo 5. Como exemplos similares ao paradoxo de Banach-Tarski, começaremos com
11
conjuntos, denotada por λ, que é não-negativa e possui algumas propriedades que podem ser vistas com mais detalhes em [12]. Uma das propriedades desta função, é que ela estende a conhecida medida de intervalos, isto é, λ([a, b]) = b − a. Além disso, verifica-se que, assim como acontece em intervalos, transladar conjuntos não altera a medida, isto é, λ(A) = λ(A + t) para todo t ∈ R. Outras propriedades que utilizaremos são as seguintes: se A0 ⊂ A, então λ(A0) ≤ λ(A) e se S
i∈NAi é uma união disjunta, então
λ(S
i∈NAi) = P∞i=1λ(Ai).
Para construir o conjunto de Vitali, V , comecemos tomando o conjunto [0, 1] e definindo nele a relação ∼ da seguinte maneira: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q. Esta relação é uma relação de equivalência. O axioma da escolha nos permite tomar um elemento de cada classe de equivalência e denotar o conjunto formado por estes elementos por V .
Teorema 9. V não é Lebesgue-mensurável, isto é, não é possível atribuir a este conjunto uma medida de Lebesgue.
Demonstração. Considere os seguintes transladados de V : V + t, t ∈ [−1, 1] ∩ Q, onde V + t = {x + t; x ∈ V }. Pode-se afirmar que estes transladados são disjuntos. Com efeito, se x ∈ (V +r)∩(V +s), então x = a+r = b+s onde a, b ∈ V . Logo, a = b+(s−r) e, portanto, a ∼ b. Pela construção de V , segue-se que a = b e, portanto, s = r, como queríamos
demonstrar. Além disso, vale que [
t∈[−1,1]∩Q
V + t ⊂ [−1, 2]. Suponha, por absurdo que V
seja Lebesgue-mensurável e λ(V ) > 0. Temos então que λ( [
t∈[−1,1]∩Q
V + t) = Xλ(V + t) =
X
λ(V ) = ∞, o que é absurdo, pois [
t∈[−1,1]∩Q
V + t ⊂ [−1, 2] e λ([−1, 2]) = 3.
Agora suponha que λ(V ) = 0. Então, pelas igualdades anteriores segue-se que
λ( [
t∈[−1,1]∩Q
V + t) = 0. Para concluir o absurdo neste caso, vamos mostrar que [0, 1] ⊂
S
t∈[−1,1]∩QV + t e como λ([0, 1]) = 1 > 0, concluiremos que V não é mensurável. De
fato, se x ∈ [0, 1], então existe y ∈ V tal que x − y ∈ Q. Como V ⊂ [0, 1], segue-se que
x − y ∈ [−1, 1] ∩ Q e, portanto, x ∈ V + (x − y) ⊂ S
t∈[−1,1]∩QV + t, como queríamos
demonstrar.
Exemplo 6. Com uma construção semelhante ao conjunto de Vitali, podemos obter um
resultado mais parecido com o teorema de Banach-Tarski para dimensão 2, como vemos a seguir:
Teorema 10. A circunferência S1 pode ser dividida em dois subconjuntos disjuntos
de modo que cada subconjunto pode ser particionado e rearranjado de modo a obter a circunferência completa S1.
Demonstração. Começamos com o conjunto V definido de modo análogo ao caso anterior,
12 Capítulo 3. Exemplos
de um ângulo racional (em radianos) que leva x a y. Para cada rotação racional ri, defina
o conjunto Vi = riV . Note que S1 = S∞i=1Vi e os conjuntos Vi são congruentes entre si.
Logo, definindo os subconjuntos A = V1 ∪ V3∪ V5 ∪ . . . e B = V2 ∪ V4∪ V6 ∪ . . ., vale
que S1 = A ∪ B. Além disso, rotacionando cada conjunto Vi com i par, podemos obter a
circunferência completa, levando V2 em V1, V4 em V2 e, de maneira indutiva, V2n em Vn.
Analogamente, considerando os índices ímpares, basta manter o conjunto V1, levar V3 em
V2, V5 em V3 e, de maneira indutiva, V2n−1 em Vn, o que finaliza a demonstração.
Exemplo 7. Outro resultado que podemos obter relacionado à medida, é o conhecido
conjunto de Cantor ternário possuir medida nula. Lembre-se que o conjunto de Cantor ternário é não-enumerável e, portanto, existe uma bijeção entre ele e o intervalo [0, 1], que tem medida igual a 1. Logo, é possível rearranjar o intervalo [0, 1] de modo a obtermos um conjunto de medida nula.
Exemplo 8. Outro resultado bastante parecido com o paradoxo de Banach-Tarski é
o paradoxo de Sierpiński-Mazurkiewicz. Considerando o espaço C, começaremos com o conjunto E, que consiste no ponto 0 e todos os pontos obtidos através de uma combinação finita das seguintes operações:
1. f (x) = x + 1 2. g(x) = xei
Isto é, f representa uma translação de uma unidade à direita, e g uma rotação de um ângulo igual a 1 radiano. O gráfico a seguir representa alguns pontos do conjunto no plano complexo. x y 0 1 2 g(1) f(g(1)) g(2)
13
Sejam E1 = E + {1} e E2 = E.{ei}. Evidentemente, E = E1∪ E2 e E1∩ E2 = ∅.
Com isso, achamos dois subconjuntos disjuntos de E que, ao serem movimentados, são obtidas duas cópias de E.
Note que embora este último exemplo se assemelhe muito ao paradoxo de Banach-Tarski, os conjuntos em questão são ilimitados, o que torna este resultado menos impres-sionante. Com a última versão que veremos do teorema de Banach-Tarski, poderemos duplicar qualquer subconjunto de R3 limitado com interior não vazio.
15
4 Teorema de Banach-Tarski
As demonstrações das versões apresentadas neste capítulos são baseadas em [13] e [14]. Assim como foi feito no final da seção2.2, para construirmos os subconjuntos da esfera necessários para a conclusão do paradoxo, utilizaremos um grupo livre gerado por dois elementos: A = 1 0 0 0 13 −2√2 3 0 2√2 3 1 3 e B = 1 3 − 2√2 3 0 2√2 3 1 3 0 0 0 1
que são as matrizes de rotação de um ângulo de arccos(13) em torno do eixo x e z, respectivamente. As suas inversas são as seguintes:
A−1= 1 0 0 0 1 3 2√2 3 0 −2 √ 2 3 1 3 e B−1 = 1 3 2√2 3 0 −2√2 3 1 3 0 0 0 1
Lembre que na construção dos grupos livres, não consideramos operações entre os elementos do grupo. Uma vez que os elementos em questão são matrizes de rotação, consideraremos as operações usuais para estes elementos. Portanto, o fato do grupo ser livre não é trivial, isto é, em princípio, o grupo poderia admitir identidades não-triviais.
Teorema 11. A e B geram um grupo livre de grau 2.
Demonstração. Seja w uma palavra em {A, B} que não seja uma identidade trivial. Se n
é o tamanho da palavra w, então, pela observação 1, basta mostrar que w(1) . . . w(n) não é a identidade. Primeiramente, observe que [w(1) . . . w(n)](0, 1, 0) = 31n(a
√
2, b, c√2) onde
a, b, c são inteiros. De fato, para todas as palavras unitárias, A, B, A−1 e B−1, o resultado é válido. Além disso, tomando qualquer uma destas matrizes e multiplicando por um ponto da forma 31k(a
√
2, b, c√2), obtemos um ponto da forma 3k+11 (a √
2, b, c√2) e, portanto, o resultado vale para qualquer palavra em {A, B}. Logo, se [w(1) . . . w(n)](0, 1, 0) = (0, 1, 0), então temos que a ≡ b ≡ c ≡ 0 mod 3. Vamos verificar que isto não pode acontecer e, portanto, [w(1) . . . w(n)](0, 1, 0) 6= (0, 1, 0), isto é, [w(1) . . . w(n)] não é a identidade. Com efeito, para cada palavra w0 em {A, B}, defina N (w0) = (a, b, c), onde a, b, c são obtidos
como anteriormente e tomando módulo 3. É possível verificar que N (w0) 6= (0, 0, 0) para toda palavra w0 que não seja uma identidade trivial, observando que vale para as palavras
Ak e Bk, para todo k ∈ Z \ {0} e fazendo uma indução no tamanho da palavra, mas por
16 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski
detalhes veja [14]). Logo, b não é múltiplo de 3 e, portanto, [w(1) . . . w(n)](0, 1, 0) 6= (0, 1, 0), o que finaliza a demonstração.
Denotaremos o grupo livre gerado por A e B por F . Dados w ∈ F e x ∈ R3, utilizarei
a notação w[x] para indicar o produto w(1) . . . w(n)(x), onde n é o tamanho da palavra w. Para cada ponto p da esfera S2 defina a sua órbita como o conjunto {w[p]|w ∈ F }. Como
F é enumerável e S2 é não-enumerável, existe um conjunto não-enumerável de órbitas.
Figura 3 – Órbitas
Utilizando o axioma da escolha, tome um ponto de cada órbita e defina o conjunto
M formado pela união destes pontos. Assim como visto para o grupo F2 na observação2,
vale a seguinte igualdade:
F = {1} ∪ S(A) ∪ S(A−1) ∪ S(B) ∪ S(B−1) onde as uniões são disjuntas.
Se X ⊂ F , então denote por X(Y ) o conjunto {w[x] ∈ R3; x ∈ Y e w ∈ X}
Uma vez que M possui um elemento de cada órbita, vale a seguinte igualdade:
S2 = F (M ) = M ∪ S(A)(M ) ∪ S(A−1)(M ) ∪ S(B)(M ) ∪ S(B−1)(M )
Perceba que esta união não é necessariamente disjunta. Com efeito, se o ponto (1, 0, 0) pertence a M , então temos que (1, 0, 0) ∈ S(A)(M ) ∩ M . Para evitar este problema,
17
D = {p ∈ S2|w[p] = p, para algum w ∈ F \ {1}}
Figura 4 – Pontos fixos de rotação
Chamamos os elementos de D de pontos fixos de rotações em F . Note que cada elemento de F \ {1} contribui com 2 elementos em D, obtidos através das interseções entre os eixos de rotações e S2. Logo, como F é enumerável, vale também que D é enumerável.
O conjunto S2\ D será utilizado no resultado intermediário conhecido como paradoxo de
Hausdorff.
Teorema 12. Se p ∈ S2\ D e w ∈ F , então w[p] ∈ S2\ D.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que existem p ∈ S2\D e w1 ∈ F , tais que w1[p] ∈ D.
Então, existe w2 ∈ F \ {1} tal que w2[w1[p]] = w1[p]. Logo, w−11 [w2[w1[p]]] = p e, portanto,
p ∈ D (absurdo, pois p ∈ S2 \ D).
Utilizando mais uma vez o axioma da escolha, defina M0 como um conjunto constituído por um ponto de cada órbita em S2\ D.
Teorema 13. Sejam w1, w2 ∈ F . Se w1 6= w2, então w1[M0] ∩ w2[M0] = ∅.
Demonstração. Suponha que w1[M0] ∩ w2[M0] 6= ∅. Então existem p1, p2 ∈ M0 tais que
w1[p1] = w2[p2], e, portanto, p1 = w1−1[w2[p2]]. Logo, p1 e p2 pertencem a mesma órbita.
Como tomamos um elemento de cada órbita para construção do conjunto M0, segue-se que p1 = p2. Então, p1 é ponto fixo de w1−1w2 e, como p1 6∈ D, segue-se que w1 = w2.
18 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski
Corolário 14. S2\D = F (M0) = M0∪S(A)(M0)∪S(A−1)(M0)∪S(B)(M0)∪S(B−1)(M0),
sendo as uniões disjuntas.
De modo análogo ao que foi feito na observação 2, valem as seguintes igualdades, sendo as uniões também disjuntas:
S2\ D = S(A)(M0) ∪ A(S(A−1)(M0)) (4.1)
S2\ D = S(B)(M0) ∪ B(S(B−1)(M0)) (4.2)
Como A e B são matrizes de rotação, mostramos que podemos dividir S2\ D, em
5 partes tais que rotacionando duas, obtemos duas cópias do conjunto inicial (S2 \ D).
Esta construção é conhecida como paradoxo de Hausdorff.
Utilizaremos esta construção para estender o resultado à esfera completa S2. Para
isso, seja r uma reta em R3 que passa na origem e não intersecta D. Podemos afirmar que
existe tal reta, uma vez que o conjunto de retas que passam na origem é não-enumerável e
D é enumerável. Denote por rθ a matriz de rotação de um ângulo θ (no sentido anti-horário)
em torno de r e considere o seguinte conjunto:
T = {θ ∈ [0, 2π); existem p ∈ D e n ∈ N, tais que rnθ(p) ∈ D}
Figura 5 – Reta r
Note que T é um conjunto enumerável, pois para cada par (p, q) em D × D, se existirem k ∈ N e ω ∈ [0, 2π) tais que rkω(p) = q, então essas rotações contribuirão
19
com no máximo um conjunto enumerável de pontos em T , e como D × D é enumerável, segue-se que T também é enumerável. Como [0, 2π) é não-enumerável, podemos tomar um
θ0 ∈ [0, 2π) tal que θ0 6∈ T . Considere a rotação σ = rθ0. Note que, por construção, vale
que σn(D) ∩ D = ∅ para todo n > 0. Observe também que aplicando σm, onde m > 0, nos dois lados da igualdade, obtemos σm+n(D) ∩ σm(D) = ∅. Pela arbitrariedade de m e
n, podemos afirmar que σn(D) ∩ σm(D) = ∅ para todo m, n ∈ N, com m 6= n. Considere o
seguinte conjunto: E = ∞ [ n=0 σn(D)
Aplicando σ nos dois lados da igualdade, obtemos:
σ(E) = σ ∞ [ n=0 σn(D) = ∞ [ n=1 σn(D) = E \ D
Observe que D ⊂ E, e portanto S2\ E ⊂ S2\ D. Logo, as seguintes igualdades
são válidas:
S2\ D = (S2\ E) ∪ (E \ D) = (S2\ E) ∪ σ(E)
Também valem as seguinte igualdades:
S2 \ E = (S2\ D) ∩ (S2\ E) (4.3)
E = σ−1σ(E) = σ−1(E \ D) = σ−1[(S2\ D) ∩ E] (4.4) Podemos escrever o conjunto S2 como a seguinte união disjunta, utilizando 4.3e
4.4:
S2 = (S2\ E) ∪ E = [(S2\ D) ∩ (S2 \ E)] ∪ σ−1
[(S2 \ D) ∩ E] (4.5) Substituindo a igualdade obtida no corolário14, obtemos:
S2 = [(M0∪ S(A)(M0) ∪ S(A−1)(M0) ∪ S(B)(M0) ∪ S(B−1)(M0)) ∩ (S2\ E)]∪
σ−1[(M0∪ S(A)(M0) ∪ S(A−1)(M0) ∪ S(B)(M0) ∪ S(B−1)(M0)) ∩ E] (4.6) E, substituindo as igualdades 4.1 e 4.2, obtemos, respectivamente:
S2 = [S(A)(M0) ∪ A(S(A−1)(M0))) ∩ (S2 \ E)] ∪ σ−1[(S(A)(M0) ∪ A(S(A−1)(M0))) ∩ E] (4.7)
20 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski
S2 = [S(B)(M0) ∪ B(S(B−1)(M0))) ∩ (S2\ E)] ∪ σ−1[(S(B)(M0) ∪ B(S(B−1)(M0))) ∩ E] (4.8) Para simplificar a notação, defina os seguintes conjuntos:
A0 = M0∩ (S2\ E) A1 = σ−1(M0∩ E)
A2 = S(A−1)(M0) ∩ (S2\ E) ∩ A−1(S2\ E) A3 = σ−1[(S(A−1)(M0) ∩ E ∩ A−1(S2\ E)]
A4 = S(A−1)(M0) ∩ (S2\ E) ∩ A−1(E) A5 = σ−1[S(A−1)(M0) ∩ E ∩ A−1(E)]
A6 = S(A)(M0) ∩ (S2\ E) A7 = σ−1[S(A)(M0) ∩ E]
A8 = S(B−1)(M0) ∩ (S2 \ E) ∩ B−1(S2\ E) A9 = σ−1[S(B−1)(M0) ∩ E ∩ B−1(S2\ E)]
A10= S(B−1)(M0) ∩ (S2\ E) ∩ B−1(E) A11= σ−1[S(B−1)(M0) ∩ E ∩ B−1(E)]
A12= S(B)(M0) ∩ (S2\ E) A13= σ−1[S(B)(M0) ∩ E]
Perceba que as igualdades 4.6, 4.7 e 4.8 podem ser reescritas, respectivamente, como:
S2 = A0∪ . . . ∪ A13
S2 = A(A2) ∪ Aσ(A3) ∪ σ−1A(A4) ∪ σ−1Aσ(A5) ∪ A6∪ A7
S2 = B(A8) ∪ Bσ(A9) ∪ σ−1B(A10) ∪ σ−1Bσ(A11) ∪ A12∪ A13
(4.9)
Note que com estas igualdades, concluimos que podemos dividir a esfera S2 em uma quantidade finita de subconjuntos disjuntos e, rotacionando alguns destes subcon-juntos, como vemos na segunda e terceira igualdade, obtemos duas esferas. Isto finaliza a demonstração da primeira versão do teorema de Banach-Tarski, cujo enunciado está apresentado a seguir.
Teorema 15. (Banach-Tarski - primeira versão) A esfera S2 pode ser dividida em uma quantidade finita de subconjuntos disjuntos, e, com rotações destes conjuntos, pode-se obter duas cópias de S2.
Embora tenhamos dividido a esfera em 14 subconjuntos, em [15] está provado que o mesmo resultado é possível divindo a esfera em apenas 5 subconjuntos, e que este é o menor valor possível. Além disso, perceba que na segunda e terceira igualdade utilizamos apenas os conjuntos A2, . . . A13 e, portanto, após duplicarmos a esfera ainda sobram os
conjuntos A0 e A1. Para obtermos exatamente duas esferas, sem sobras, considere a função
definida da seguinte maneira, onde X =S7
i=2Ai.
21 f (x) = A(x), se x ∈ A2 Aσ(x), se x ∈ A3 σ−1A(x), se x ∈ A4 σ−1Aσ(x), se x ∈ A5 x, se x ∈ A6∪ A7
Vimos anteriormente que f (X) = S2. Como sobraram os conjuntos A
0 e A1,
gostaríamos que a imagem da f resultasse apenas no conjunto S2\ (A
0 ∪ A1). Para isto,
defina o conjunto Y = S∞
n=1f−n(A0∪ A1). Deste modo, temos a seguinte igualdade:
S2\(A0∪A1) = Y ∪A(A2\Y )∪Aσ(A3\Y )∪σ−1A(A4\Y )∪σ−1Aσ(A5\Y )∪(A6\Y )∪(A7\Y )
Pela definição do conjunto Y , esta união é disjunta. Com esta construção mostramos que é possível dividir a esfera S2 em uma quantidade finita de subconjuntos de modo que, rearranjados, obtemos exatamente duas esferas idênticas a inicial.
−−−−−−−−→
Figura 6 – Banach-Tarski - Primeira versão
Queremos estender este resultado à bola sólida B3 = {(x, y, z) ∈ R3; k(x, y, z)k ≤ 1}, e,
para isto, usaremos parte da construção e dos argumentos apresentados no caso anterior. Para cada i ≤ 13, defina o conjunto Bi = {(r, θ, φ) ∈ R3|(1, θ, φ) ∈ Ai, 0 < r ≤
1 , em coordenadas polares}. Com isso, nós já temos um resultado análogo ao paradoxo de Hausdorff, pois
B3\ {0} = B0∪ . . . ∪ B13= A(B2) ∪ Aσ(B3) ∪ σ−1A(B4) ∪ σ−1Aσ(B5) ∪ B6∪ B7 =
B(B8) ∪ Bσ(B9) ∪ σ−1B(B10) ∪ σ−1Bσ(B11) ∪ B12∪ B13
(4.10) Isto é, já temos o resultado para o conjunto B3 \ {0}. Tomaremos um ponto
22 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski
este ponto. Seja τ uma rotação em torno desta reta, cujo ângulo é o produto entre um número irracional e π (√2, por exemplo). Deste modo, τn(0) 6= 0 para todo n > 0, e com
a escolha do ponto (101, 0, 0), podemos afirmar que τn(0) ∈ B3 para todo n ∈ Z.
Figura 7 – Rotação τ
Assim como foi definido o conjunto E no caso anterior, considere o seguinte conjunto:
T =
∞
[
n=0
τn(0)
Note que τ (T ) = T \ {0}. Assim como foi feito em 4.4 e 4.5, vale que:
T = τ−1τ (T ) = τ−1(T \ {0}) = τ−1[(B3\ {0}) ∩ T ]
B3 = (B3\ T ) ∪ T = [(B3\ {0}) ∩ (B3\ T )] ∪ τ−1
[(B3\ {0}) ∩ T ] Substituindo em 4.10 esta última igualdade, obtemos:
B3 = [(B0∪ . . . ∪ B13) ∩ (B3\ T )] ∪ τ−1[(B0∪ . . . ∪ B13) ∩ T ]
B3 = [(A(B2) ∪ Aσ(B3) ∪ σ−1A(B4) ∪ σ−1Aσ(B5) ∪ B6∪ B7) ∩ (B3\ T )]∪
τ−1[(A(B2) ∪ Aσ(B3) ∪ σ−1A(B4) ∪ σ−1Aσ(B5) ∪ B6∪ B7) ∩ T ]
B3 = [(B(B8) ∪ Bσ(B9) ∪ σ−1B(B10) ∪ σ−1Bσ(B11) ∪ B12∪ B13) ∩ (B3\ T )]∪
τ−1[(B(B8) ∪ Bσ(B9) ∪ σ−1B(B10) ∪ σ−1Bσ(B11) ∪ B12∪ B13) ∩ T ]
(4.11)
De maneira análoga à primeira versão do teorema, estas igualdades finalizam a demonstração da segunda versão, cujo enunciado encontra-se a seguir.
23
Teorema 16. (Banach-Tarski - segunda versão) Uma bola compacta em R3 pode ser
dividida em uma quantidade finita de subconjuntos disjuntos que podem ser rotacionados de modo a obtermos duas cópias idênticas da bola original.
−−−−−−−−→
Figura 8 – Banach-Tarski - Segunda versão
Embora estas versões sejam mais ilustrativas, há ainda uma versão dete teorema que trata de conjuntos muito mais gerais. Antes de prová-la precisaremos de mais algumas definições e proposições.
Definição 10. Sejam A, B ⊂ R3. Os conjuntos A e B são ditos equidecomponíveis, se
existem n subconjuntos disjuntos de A (para algum n ≥ 1), e n subconjuntos disjuntos de
B, tais que: A = n [ i=1 Ai, B = n [ i=1 Bi
e giAi = Bi para todo i ≤ n, onde cada gi é um elemento do grupo de rotações e
translações em R3. Denotamos este fato por A ∼ B.
Note que as duas versões mostradas do teorema de Banach-Tarski, mostram que um conjunto formado por uma esfera (ou uma bola) em R3 e um conjunto formado por
duas esferas disjuntas (ou, respectivamente, duas bolas disjuntas) são equidecomponíveis. A relação ∼ é uma relação de equivalência e possui algumas propriedades que utilizaremos para concluir o teorema, como veremos nas próximas proposições.
Proposição 17. Se A ∼ B, então existe uma bijeção f : A → B tal que C ∼ f (C) para todo C ⊂ A.
Demonstração. Como A ∼ B, então podemos dividir os conjuntos A e B em n subconjuntos
de modo que giAi = Bi para todo i ≤ n, como na definição 10. Para cada x ∈ A, seja
ix ∈ {1, . . . , n} tal que x ∈ Aix. Defina a função f da seguinte maneira: f (x) = gix(x). Uma vez que cada gi é uma bijeção e os conjuntos Bi são disjuntos, então f também é
bijeção. Seja C ⊂ A. Então podemos escrever C =Sn
i=1(Ai∩ C). Aplicando f na igualdade,
obtemos f (C) =Sn
24 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski Proposição 18. Se A ∩ B = A0 ∩ B0 = ∅, A ∼ A0 e B ∼ B0, então A ∪ B ∼ A0 ∪ B0. Demonstração. Se A =Sn i=1Ai, A0 =Sni=1A 0 i, B = Sm i=1Bi e B = Smi=1B 0 i, com giAi = A0i e g0iBi = Bi0, então A ∪ B = ( Sn
i=1Ai) ∪ (Smi=1Bi) e A0 ∪ B0 = (Sni=1giA0i) ∪ (
Sm i=1g 0 iB 0 i). Podemos escrever A ∪ B =Sn+m
i=1 Ci e A0 ∪ B0 =Sn+mi=1 = Di de forma que:
• se i ≤ n, então Ci = Ai, Di = A0i e giCi = Di; e
• se i > n, então Ci = Bi, Di = Bi0 e g
0
iCi = Di.
Assim, concluímos que A ∪ B ∼ A0∪ B0.
Além destas propriedades da relação ∼, quando dois conjuntos são equidecomponí-veis, existem algumas propriedades que necessariamente devem compartilhar, como ser limitado. Com efeito, um conjunto limitado ao ser dividido em uma quantidade finita de subconjuntos, continua limitado após as rotações e translações.
Definição 11. Sejam A, B ⊂ R3. Se existe B0 ⊂ B tal que A ∼ B0, então dizemos que
A ≤ B.
É fácil ver que ≤ é reflexiva e transitiva. Além disso, se A ⊂ B e B ≤ C, então
A ≤ C. Vale também que se A ≤ B e B ⊂ C, então A ≤ C.
Proposição 19. Sejam A e B subconjuntos limitados de R3 com interior não vazio. Então
A ≤ B.
Demonstração. Como A é limitado e B possui interior não-vazio, então existem bolas BA
e BB tais que A ⊂ BA e BB ⊂ B. Seja n ∈ N suficientemente grande, de modo que BA
possa ser coberto por n cópias de BB. Seja S a união de n cópias disjuntas de BB. Então
BA≤ S.
Pela segunda versão do teorema de Banach-Tarski e pela transitividade de ∼, segue-se que BB é equidecomponível a qualquer número de cópias de BB, e, portanto,
S ≤ BB. Logo, A ⊂ BA≤ S ≤ BB ⊂ B, e A ≤ B.
Observe que, como A e B são arbitrários, este resultado nos diz que A ≤ B e
B ≤ A. O próximo teorema, que é uma versão do conhecido teorema de
Cantor-Bernstein-Schroeder, nos dirá que isso é suficiente para afirmarmos que A é equidecomponível a B, resultando na terceira versão do teorema de Banach-Tarski.
25
Demonstração. Sejam A0 ⊂ A e B0 ⊂ B tais que A ∼ B0 e A0 ∼ B. Considere as bijeções
f1 : A → B0 e f2 : A0 → B referentes à proposição 17. Seja C0 = A \ A0 e, de forma
indutiva, defina os conjuntos Cn= f2−1f1(Cn−1) para todo n ≥ 1. Seja C = S∞n=0Cn.
Como C0 ⊂ C, C0∩ A0 = ∅ e Sn=1∞ Cn⊂ A0, então vale que A \ C = A0\ (C ∩ A0) =
A0\S∞
n=1Cn. Aplicando f2 nesta igualdade, temos que:
f2(A \ C) = f2(A0\ ∞ [ n=1 Cn) = f2(A0) \ f2[ ∞ [ n=1 f2−1f1(Cn−1)] = B \ f1( ∞ [ n=1 Cn−1) = B \ f1( ∞ [ n=0 Cn) = B \ f1(C) (4.12)
Pela proposição 17, segue-se que A \ C ∼ B \ f1(C) e C ∼ f1(C). Por fim, pela
proposição 18, segue-se que A ∼ B, como queríamos demonstrar.
Corolário 21. (Banach-Tarski - terceira versão) Sejam A e B subconjuntos de R3limitados
e com interior não-vazio. Então A ∼ B.
Esta versão é a que nos permite concluir o caso conhecido como o paradoxo da
ervilha e do sol: uma bola de raio r pode ser dividida em uma quantidade finita de
subconjuntos disjuntos, e reorganizados no espaço através de rotações e translações, de modo a obtermos uma bola de raio R, para quaisquer r > 0 e R > 0.
−−−−−−−−→
Figura 9 – Paradoxo da ervilha e do sol
Diferentemente do que vimos no teorema 15, esta versão não vale para a esfera
S2, isto é, não podemos dividi-la em uma quantidade finita de subconjuntos disjuntos
e reorganizá-los de modo a obtermos uma esfera maior. Isto se deve ao fato de que 4 pontos não coplanares definem uma única esfera. Logo, cada subconjunto da esfera
26 Capítulo 4. Teorema de Banach-Tarski
não poderia conter 4 pontos não coplanares e, portanto, seriam necessários infinitos subconjuntos. Porém, se consideramos somente o interior da bola, B3 \ S2, vemos que
satisfaz as hipóteses do corolário21, e portanto, o resultado também é válido, o que indica que para o primeiro caso, com a bola completa, pontos no interior da bola passam para a fronteira e, consequentemente, pontos da fronteira passam para o interior.
Além disso, para esta versão final do teorema, precisamos dividir as bolas diversas vezes para aplicar a segunda versão do teorema, como pode ser visto na demonstração da proposição 19. O número de subconjuntos de fato fica cada vez maior se considerarmos o aumento do raio, uma vez que é preciso um número maior de bolas para cobrir o conjunto.
Outra observação interessante é que, embora as formulações mais comuns do teorema mostrem conjuntos sendo “aumentados” ou “duplicados”, o corolário21 garante também o oposto, isto é, pode-se começar com 2 bolas e terminar com 1, ou começar com uma bola e terminar com uma de raio menor.
Perceba ainda que, os resultados deste capítulo podem ser estendidos para Rn
para n ≥ 3, apenas acrescentando nas construções as matrizes de rotação para os demais eixos. Porém, o mesmo não é possível para dimensões menores. Mostrarei a seguir que o resultado não vale em dimensão 1.
Teorema 22. Seja A ⊂ R. Então não existem B e C tais que A = B ∪ C, B ∩ C 6= ∅ e A = Sn
i=1[Bi + {gi}] =Smi=1[Ci+ {hi}], onde B =Sni=1Bi e C = Smi=1Ci, sendo estas
uniões disjuntas.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que existam tais conjuntos. Então, podemos definir
duas funções, f1 : A → B e f2 : A → C, a partir de translações, de modo que fi(x) ∈
{x}+{−g1, . . . , −gn, −h1, . . . , −hm} para todo x ∈ A e i ∈ {1, 2}. Seja k ≥ 1. Considere as
funções fi1◦ . . . ◦ fik : A → A, onde i1, . . . ik ∈ {1, 2}. Deste modo, temos 2kpossibilidades
de composições, e são todas funções distintas, o que é facilmente verificado via indução sobre k e considerando o fato de que B ∩ C = ∅. Por outro lado, temos que
fi1◦ . . . ◦ fik(x) ∈ {x} + {−g1, . . . , −hm} + . . . + {−g1, . . . , −hm}(k vezes)
Analisando as possíveis combinações entre os elementos dos conjuntos e consi-derando o fato do grupo (R, +) ser abeliano, observa-se que o conjunto ao qual cada
fi1◦ . . . ◦ fik(x) pertence, contém no máximo [(m+n)+k−1]!k![(m+n)−1]! elementos. Vamos verificar que
este número é menor ou igual a (k + 1)m+n. De fato, vale a seguinte desigualdade:
[(m + n) + k − 1]! k![(m + n) − 1]! ≤ [(m + n) + k − 1]! [(m + n) − 1]! e, [(m + n) + k − 1]! [(m + n) − 1]! = [(m + n) + k − 1] [(m + n) − 1] . [(m + n) + k − 2] [(m + n) − 2] . . . k!
27
Para cada j ∈ {1, . . . , m + n}, vale também que: (m + n) + k − j
(m + n) − j = 1 +
k
(m + n) − j ≤ k + 1
O que conclui o que queríamos provar. Note que 2k > (k + 1)m+n, para k suficiente-mente grande. Isto nos dá um absurdo, pois existem 2k funções distintas em um conjunto
com no máximo (k + 1)m+n elementos.
O teorema acima pode ser adaptado para mostrar que o Teorema de Banach-Tarski não vale em dimensão 2. No entanto, sua demonstração requer cuidados adicionais que fogem ao escopo desta monografia. Indicamos a leitura de [4] para maiores detalhes deste caso específico.
29
Considerações Finais
Vimos no capítulo3, alguns resultados com naturezas paradoxais semelhantes a do teorema de Banach-Tarski, como o paradoxo de Sierpiński-Mazurkiewicz, em que um conjunto também é “duplicado”. Porém, o fato do conjunto em questão ser ilimitado, torna o resultado menos contra-intuitivo.
Na seção 2.1, foram apresentados vários resultados do axioma da escolha, sendo alguns muito importantes em diversas áreas da matemática, como topologia, análise funcional e teoria da medida. Além disso, vimos alguns resultados mais simples que dependem do axioma da escolha e já eram utilizados antes mesmo de o enunciarem, por serem resultados muito naturais, como a existência de um subconjunto infinito e enumerável de qualquer conjunto infinito.
Por fim, no capítulo 4, vimos um dos resultados mais paradoxais do axioma da escolha: o paradoxo de Banach-Tarski. Vimos diferentes versões deste teorema, começando no caso mais simples, em que é duplicada apenas a casca da esfera, estendendo para a esfera sólida e em seguida mostrando o resultado para conjuntos mais genéricos. Obtemos também o resultado conhecido por “paradoxo da ervilha e do sol” em que uma esfera pequena pode ser particionada em um número finito de subconjuntos e estes rearranjados de modo a obtermos uma esfera tão grande quanto desejarmos.
Com estes resultados, observamos como é difícil modelar regras do pensamento humano. É claro que para os que vêem as proposições matemáticas apenas como um “jogo” de símbolos, não há paradoxo algum. Porém, sob a perspectiva platonista, visão comumente adotada que diz que objetos matemáticos existem independemente de nós, há um grande problema. Por um lado, os axiomas da teoria ZFC parecem descrever perfeitamente os “objetos” conjuntos. Por outro, o teorema de Banach-Tarski contradiz outros pensamentos sobre estes objetos. Em geral, os matemáticos adotam ZFC e, consequentemente, vêem como verdadeiro o teorema, o que até então tem sido muito frutífero.
31
Referências
1 BAGARIA, J. Set theory. In: ZALTA, E. N. (Ed.). The Stanford Encyclopedia of
Philosophy. Winter 2014. [s.n.], 2014. Disponível em: <http://plato.stanford.edu/archives/ win2014/entries/set-theory/>. Citado na página 1.
2 BELL, J. L. The axiom of choice. In: ZALTA, E. N. (Ed.). The Stanford
Encyclopedia of Philosophy. Summer 2015. [s.n.], 2015. Disponível em: <http: //plato.stanford.edu/archives/sum2015/entries/axiom-choice/>. Citado na página 1. 3 WAPNER, L. M. The Pea and the Sun. New York: CRC Press, 2005. Citado na página 2.
4 WAGON, S. The Banach-Tarski Paradox. 1. ed. New York: Cambridge University Press, 1985. Citado 2 vezes nas páginas 2 e27.
5 FRALEIGH, J. B. A First Course in Abstract Algebra. New Jersey: Pearson, 2002. Citado na página 5.
6 DUMMIT, D. S.; FOOTE, R. M. Abstract Algebra. 3. ed. New Jersey: John Wiley and Sons, Inc., 2004. Citado na página 5.
7 LIMA, E. L. Elementos de Topologia Geral. Rio de Janeiro: SBM, 2014. Citado 2 vezes nas páginas 4e 5.
8 KELLEY, J. L. The tychonoff product theorem implies the axiom of choice.
Fundamenta Mathematicae, v. 37, p. 75–76. Citado na página 5.
9 BLEICHER, M. Some theorems on vector spaces and the axiom of choice. Fundamenta
Mathematicae, v. 54, p. 95–107. Citado na página 5.
10 GILLMAN, L. Two classical surprises concerning the axiom of choice and the continuum hypothesis. The American Mathematical Monthly, v. 109, p. 544–553. Citado na página 5.
11 PAWLIKOWSKI, J. The hahn-banach theorem implies the banach-tarski paradox. Fundamenta Mathematicae, v. 138, n. 1, p. 21–22, 1991. Disponível em:
<http://eudml.org/doc/211871>. Citado na página 5.
12 BARTLE, R. G. The Elements of Integration. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1966. Citado na página 11.
13 ROBINSON, A. The banach-tarski paradox. 2015. Citado na página 15.
14 WESTON, T. The Banach-Tarski Paradox. Citado 2 vezes nas páginas 15e 16. 15 ROBINSON, R. On the decomposition of spheres. Fundamenta Mathematicae, v. 34, n. 1, p. 246–260, 1947. Disponível em: <http://eudml.org/doc/213130>. Citado na página 20.
