Gabarito - Dia 1
Exercício 1. Utilizando a Cifra de ATBASH decifre a mensagem VHHV VCVIXRXRL V UZXRO. Resposta: Esse exercício é fácil.
Exercício 2. Utilize o código de Políbio para codi car a mensagem Pensar é um privilégio para poucos. Resposta: 411534431142 15 41422451243215223435 1415 413545133543
Exercício 3. Codi que a mesma mensagem do exercício anterior, porém utilizando o Código de César e depois o Rot13.
Resposta: Usando o Código de César: SHQVDU H SULYLHJLR GH SRXRFRV Usando o Rot13: CRAFNE R CEVIVYRTVB QR CBHPBF
Exercício 4. Usando a frequência das letras em português decifre a mensagem:
MP CAE PWRADHE CHEWQRAE CHIKDA CW VDRFKAZDWQRW H CW PWKHPWKRVW H WVBWD MP WGZADRKRPA FWDW VWGVMGWD FDRPAE
CH ZDWICHE JWGADHE.
Resposta: Um dos maiores desa os dentro da criptogra a e da matemática é achar um algoritmo para calcular primos de grandes valores.
Exercício 5. Na criptogra a por blocos, por que escolhemos acrescentar exatamente a letra A quando a mensagem tem quantidade ímpar de letras?
Resposta: Primeiramente para dar sentido a frase, já que temos que separar os blocos em duplas; e o motivo da letra escolhida ser a A é pelo fato dela ser muito comum, já que uma letra como Y ou X poderia sinalizar o m da frase.
Exercício 6. Por que a código em blocos tem o problema de Chave Pública?
Resposta: Vamos entender o conceito do problema de chave páblica. Basicamente o problema gira em torna da seguinte questão: você precisa de um método para criptografar no qual, mesmo sabendo como as palavras foram embaralhadas, seja difícil de desembaralhar.
Sabendo isso, é fácil de entender porque a criptogra a em blocos sofre desse problema, pois uma vez que você sabe como os blocos foram embaralhados e fácil de desembaralhar.
Exercício 7. Descriptografe a mensagem
ASGALAADDSETATITACSEAMONAMTEAIEHMA. Resposta: A magia da matemática está nos detalhes.
Exercício 8. Usando a matriz A =
2 1
1 1
codi que a palavra SHERLOCK. Resposta:
50 31 13 47
31 23 8 29
Exercício 9. Usando a matriz B=
3 2 1 1
codi que a palavra WATSON. Resposta:
110 33 88
43 16 34
Exercício 10. Utilizando a matriz C= 1 −1 −2 3 decodi que a mensagem 52, 64, 40, 43. Resposta: 12 21 16 1
Exercício 11. Utilizando a matriz C= 1 −1 −2 3 decodi que a mensagem 44, 45, 66, 75, 31, 36, 47, 55. Resposta: 13 9 19 20 5 18 9 15
Exercício 12. 3 0 4 0 −2 2 0 −6 3 + 1 2 3 −5 0 6 −7 1 13 = a b c d e f g h i 3 + 1 = a 0 + 2 = b 4 + 3 = c 0 + (−5) = d −2 + 0 = e 2 + 6 = f 0 + (−7) = g −6 + 1 = h 3 + 13 = i , logo a = 4 b = 2 c = 7 d = −5 e = −2 f = 8 g = −7 h = −5 i = 16 Resposta: 4 2 7 −5 −2 8 −7 −5 16 Exercício 13. 3 2 4 0 −2 5 1 −6 8 + a b c d e f g h i = 4 4 7 4 −6 11 8 −5 17 3 + a = 4 2 + b = 4 4 + c = 7 0 + d = 4 −2 + e = −6 5 + f = 11 1 + g = 8 −6 + h = −5 8 + i = 17 , isto é, a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 e = −4 f = 6 g = 7 h = 1 i = 9 Resposta: 1 2 3 4 −4 6 7 1 9 Exercício 14. 0 0 −5 2 −2 12 9 −6 6 − 10 −2 3 5 0 −6 −7 11 3 = a b c d e f g h i 0 − 10 = a 0 − (−2) = b −5 − 3 = c 2 − 5 = d −2 − 0 = e 12 − (−6) = f 9 − (−7) = g −6 − 11 = h 6 − 3 = i , portanto a = −10 b = 2 c = −8 d = −3 e = −2 f = 18 g = 16 h = −17 i = 3 Resposta: −10 2 −8 −3 −2 18 16 −17 3 Exercício 15. 0 9 2 0 −2 5 −1 −1 5 − a b c d e f g h i = 1 −4 0 −4 −6 11 2 −4 16 0 − a = 1 9 − b = −4 2 − c = 0 0 − d = −4 −2 − e = −6 5 − f = 11 −1 − g = 2 −1 + h = −4 5 − i = 16 , logo a = −1 b = 13 c = 2 d = 4 e = 4 f = −6 g = −3 h = 3 i = −11
Resposta: −1 13 2 4 4 −6 −3 3 −11 Exercício 16. Calcule: a) 2 · 1 −9 7 2 + 3 · 1 −9 0 2 = a b c d 2.1 2.(−9) 2.7 2.2 + 3.1 3.(−9) 3.0 3.2 = 2 −18 14 4 + 3 −27 0 6 Logo 2 + 3 = a −18 + (−27) = b 14 + 0 = c 4 + 6 = d e a = 5 b = −45 c = 14 d = 10 Resposta: 145 −4510 b) −5 · 1 0 6 2 − 3 · 2 −9 0 −2 = a b c d −5.1 −5.0 −5.6 −5.2 − 3.2 3.(−9) 3.0 3.(−2) = −5 0 −30 −10 − 6 −27 0 −6 Portanto −5 − 6 = a 0 − (−27) = b −30 − 0 = c −10 − (−6) = d e a = −11 b = 27 c = −30 d = −4 Resposta: −11−30 −427 Exercício 17. Dados A = 1 5 1 2 2 1 , B = 1 2 1 3 2 1 , C = 2 5 5 2 ,e D = 1 2 4 2 , calcule: a) A · B Resposta: A · B = 1 5 1 2 2 1 . 1 2 1 3 2 1 = 1.1 + 5.3 1.2 + 5.2 1.1 + 5.1 1.1 + 2.3 1.2 + 2.2 1.1 + 2.1 2.1 + 1.3 2.2 + 1.2 2.1 + 1.1 = 1 + 15 2 + 10 1 + 5 1 + 6 2 + 4 1 + 2 2 + 3 4 + 2 2 + 1 = 16 12 6 7 6 3 5 6 3 b) B · A Resposta: B · A = 1 2 1 3 2 1 . 1 5 1 2 2 1 = 1.1 + 2.1 + 1.2 1.5 + 2.2 + 1.1 3.1 + 2.1 + 1.2 3.5 + 2.2 + 1.1 = 1 + 2 + 2 5 + 4 + 1 3 + 2 + 2 15 + 4 + 1 = 5 10 7 20 c) C · D
Resposta: C · D = 2 5 5 2 . 1 2 4 2 = 2.1 + 5.4 2.2 + 5.2 5.1 + 2.4 5.2 + 2.2 = 2 + 20 4 + 10 5 + 8 10 + 4 = 22 14 13 14 d) B · C
Resposta: Não é possível calcular o produto, pois o número de linhas da matriz B é diferente do número de colunas na matriz C.
Exercício 18. Encontre o determinante: a) −11
Resposta: det = −11 b) 13 21
Resposta: det = 1 &. 2
3 1 = 1 · 1 − [2 · 3] = 1 − 6 = −5 c) 3 1 2 5 1 1 0 2 −1 Resposta: det = 3 1 2 3 1
& &. &. .
5 1 1 5 1
. &. &. &
0 2 −1 0 2
. . . & & &
= 3 · 1 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 2 · 5 · 2 − [2 · 1 · 0 + 3 · 1 · 2 + 1 · 5 · (−1)] = (−3) + 0 + 20 − [0 + 6 + (−5)] = 17 − [1] = 16
Gabarito - Dia 2
Exercício 19. Encontre a fatoração em primos de: 56, 94, 260, 78 e 196. Resposta: 56 = 23· 7 94 = 2 · 47 260 = 22· 5 · 13 78 = 2 · 3 · 13 196 = 22· 72
Exercício 20. Encontre o mdc dos seguintes pares: (45, 33), (584, 276), (384, 175) e (96, 224). Resposta:
mdc (45, 33) = 3 mdc (584, 276) = 4 mdc (384, 175) = 1 mdc (96, 224) = 32
Exercício 21. Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7?
Resposta: 25013 = 8337 · 3 + 2 e 25013 = 3573 · 7 + 2, logo, adicionando b, temos 25013 + b = 8337 · 3 + 2 + b e 25013 + b = 3573 · 7 + 2 + b. Como queremos que 25013 seja divisível por 3 e por 7, basta que 2 + b = 3 · p para algum p ∈ N, e 2 + b = 7 · q para algum q ∈ N, ou seja, 3 · p = 7 · q. Conclusão: p = 7 e q = 3, e, portanto, b = 3 · 7 − 2 = 19. É preciso adicionar 19 unidades.
Exercício 22. Se um número n for dividido por 27, o resto da divisão será igual a 7. Se dividirmos o número n+50 também por 27, qual será o resto obtido?
Resposta: Temos que n = 27 · k + 7 para algum k natural, e também temos que 50 = 27 + 23, logo n + 50 = 27 · k + 7 + 27 + 23 = 27(k + 1) + 30 = 27(k + 1) + 27 + 3 = 27(k + 2) + 3, ou seja, o resto da divisão de n + 50 por 27 é 3.
Exercício 23. Fatore em números primos, os números a seguir: a) 28 Resposta: 22· 7 b) 247 Resposta: 13 · 19 c) 1024 Resposta: 210 d) 363 Resposta: 3 · 112
Exercício 24. Justi que por que vale a propriedade de transitividade para congruências.
Resposta: Tendo as informações de que a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), sabe-se, pela de nição de con-gruência, que a − b = p · m para algum p ∈ Z e b − c = q · m para algum q ∈ Z.
Fazendo a − c = a − b + b − c = (a − b) + (b − c) = p · m + q · m = (p + q) · m, para alguns p, q ∈ Z, temos que a − c é múltiplo de m, ou seja, a ≡ c (mod m).
Resposta: Se k ≡ 1 (mod 4), então, pelo algoritmo da divisão, (k = qn + r), k = 4n + 1. Temos 6k + 5 = 6(4n + 1) + 5 = 24n + 6 + 5 = 24n + 8 + 3 = 4(6n + 2) + 3, logo 6k + 5 deixa resto 3 na divisão por 4.
Portanto, pela proposição 2, 6k + 5 ≡ 3 (mod 4).
Exercício 26. Utilizando as propriedades de congruência módulo m, determine o resto da divisão de 22014+
32014por 13.
Sugestão: observe que 22+ 32≡ 0 (mod 13).
Resposta: Utilizando a sugestão temos 22+ 32 ≡ 0 (mod 13), a partir disso podemos observar que 22+
32− 32 ≡ 0 − 32 (mod 13), logo 22 ≡ −32 (mod 13) (item 1 da Propriedade 3, página 22). Pelo item 4
da Propriedade 3 temos, (22)1007 ≡ (−32)1007 (mod 13), ou seja, 22014 ≡ −32014 (mod 13). Conclusão:
22014+ 32014≡ 0 (mod 13).
Exercício 27. (Provão 2003) Se o resto da divisão de um inteiro n por 5 é igual a 3, o resto da divisão de n2 por 5 é, necessariamente, igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Resposta: Como n tem resto 3 quando dividido por 5, então n ≡ 3 (mod 5) (proposição 2), logo, pelo item 4 da propriedade 3, n2≡ 32 (mod 5), o que implica que n2≡ 9 (mod 5).
Então, pela proposição 1, 9 tem resto 4 quando dividido por 5 e n2também tem resto 4 quando dividido
por 5. A resposta correta é o item e).
Exercício 28. Determine o resto da divisão de 560por 26.
Resposta: 52≡ −1 (mod 26), fazendo (52)30≡ (−1)30 (mod 26)temos 560≡ 1 (mod 26). Ou seja, 560 tem
resto 1 na divisão por 26.
Exercício 29. Determine o resto da divisão 250por 7.
Resposta: Testando descobrimos que 23≡ 1 (mod 7). Como 50 = 16 × 3 + 2, fazemos (23)16≡ 116 (mod 7),
obtendo assim que 248 ≡ 1 (mod 7). Por m, 248.22 ≡ 1.4 (mod 7). Noutras palavras, 250 deixa resto 4
quando é dividido por 7.
Exercício 30. Determine o mdc(231, 130) e encontre os respectivos r e s. Resposta:
231 = 130 + 101 ⇒ 101 = 231 − 130 130 = 101 + 29 ⇒ 29 = 130 − 101 101 = 29 · 3 + 14 ⇒ 14 = 101 − 3 · 29 29 = 14 · 2 + 1 ⇒ 1 = 29 − 2 · 14
14 = 14 · 1 + 0, logo mdc(231,130)=1. 231 e 130 são primos entre si.
1 = 29 − 2 · 14 = 29 − 2 · (101 − 3 · 29) = 7 · 29 − 2 · 101 = 7 · (130 − 101) − 2 · 101
1 = 7 · 130 − 9 · 101 = 7 · 130 − 9 · (231 − 130) = 16 · 130 − 9 · 231. Portanto r = −9 e s = 16. Exercício 31. Determine o mdc(150, 91) e encontre os respectivos r e s.
Resposta: 150 = 91 + 59 ⇒ 59 = 150 − 91 91 = 59 + 32 ⇒ 32 = 91 − 59 59 = 32 + 27 ⇒ 27 = 59 − 32 32 = 27 + 5 ⇒ 5 = 32 − 57 27 = 5 · 5 + 2 ⇒ 2 = 27 − 5 · 5 5 = 2 · 2 + 1 ⇒ 1 = 5 − 2 · 2
2 = 2 · 1 + 0, logo mdc(150,91)=1. Também são primos entre si.
1 = 5 − 2 · 2 = 5 − 2 · (27 − 5 · 5) = 11 · 5 − 2 · 27 = 11 · (32 − 27) − 2 · 27
1 = 11 · 32 − 13 · 27 = 11 · 32 − 13 · (59 − 32) = 24 · 32 − 13 · 59 = 24 · (91 − 59) − 13 · 59
Gabarito - Dia 3
Exercício 32. Encontre inversos módulo 11 dos seguintes valores: 122, 37, 52, 65, 86, 79, 102, 16, 117, 215. Resposta: Como foi dito na aula, não é necessario fazermos a conta para os números requeridos no exercí-cio. Podemos ao invés disso fazer para os restos das divisões dos números por 11. Desta maneira, podemos substituir 122, 37, 52, 65, 86, 79, 102, 16, 117, 215 por 1, 4, 8, 10, 9, 2, 3, 5, 7, 6. Basta agora encontrar tais restos. 1) Para 1, 12= 1 ≡ 1mod 11.
2) Para 4, utilizemos o algoritmo da divisão para encontrá-lo. 11 = 2 · 4 + 3
4 = 1 · 3 + 1 3 = 3 · 1 + 0
Então 1 = 4 − 1 · (11 − 2 · 4) = 3 · 4 − 1 · 11. Desta forma, o inverso de 4 é 3, e vice-versa. 3) Para 8,
11 = 1 · 8 + 3 8 = 2 · 3 + 2 3 = 1 · 2 + 1 2 = 1 · 2 + 0.
Logo, 1 = 3 − 1 · 2 = 3 − 1 · (8 − 2 · 3) = 3 · 3 − 1 · 8 = 3 · 11 − 4 · 8. Assim, o inverso de 8 é (−4) + 11 = 7. Da mesma forma, 8 é o inverso de 7.
4) Para 10, 11 = 1 · 10 + 1 10 = 10 · 1 + 0
Portanto, 1 = 1 · 11 + (−1) · 10. Podemos concluir então que o inverso de 10 é (−1) + 11 = 10 5) Para 9,
11 = 1 · 9 + 2 9 = 4 · 2 + 1 2 = 1 · 2 + 0
Então, 1 = 9 − 4 · 2 = 5 · 9 − 4 · 11. Assim, o inverso de 9 é 5, e vice-versa. 6) Para 2,
11 = 5 · 2 + 1 2 = 1 · 2 + 0
Assim, 1 = 11 − 5 · 2. Desta forma, o inverso de 2 é (−5) + 11 = 6. E vice-versa. Exercício 33. Resolva a congruência 4x ≡ (mod 1)3.
Resposta: Basta calcularmos o inverso de 4 mod 13. 13 = 3 · 4 + 1
4 = 4 · 1 + 0.
Portanto, 1 = 1 · 13 − 3 · 4, o que implica que o inverso de 4 módulo 13 é (−3) + 13 = 10. Multipli-cando então ambos os lados por 10, temos: x ≡ 90 mod 13. Como 90 ≡ 12 mod 13, temos que x ≡ 12 mod 13.
Exercício 34. Encontre o conjunto solução das seguintes equações modulares. Dentre as soluções encon-tradas, qual delas está no sistema completo de resíduos apresentado na De nição 9 na página 33?
a) 17 ≡ x (mod 3)
Resposta: Temos que o resto da divisão de 17 por 3 é igual a 2. Portanto 17 ≡ 2 (mod 3), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 3.n + 2, ∀n ∈ N, ou seja: {2, 5, 8, 11, 14, 17, . . .}.
b) 30 ≡ x (mod 4)
Resposta: Temos que o resto da divisão de 30 por 4 é igual a 2. Portanto 30 ≡ 2 (mod 4), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 4.n+2, ∀n ∈ N, ou seja: {2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, . . .}.
c) 12 ≡ x (mod 5)
Resposta: Temos que o resto da divisão de 12 por 5 é igual a 2. Portanto 12 ≡ 2 (mod 5), e com isso temos que nosso conjunto solução é formado por elementos do tipo 5.n + 2, ∀n ∈ N, ou seja: {2, 7, 12, . . .}. Exercício 35. Calcule o resto das divisões abaixo, assim como o conjunto solução de suas respectivas equações modulares. a) 1065÷ 7, equação: 1065≡ x (mod 7). Resposta: 101 ≡ 10 ≡ 3 (mod 7) 102 ≡ 30 ≡ 2 (mod 7) 103 ≡ 20 ≡ 6 (mod 7) 104 ≡ 60 ≡ 4 (mod 7) 105 ≡ 40 ≡ 5 (mod 7) 106 ≡ 50 ≡ 1 (mod 7)
Temos que, 1065 = 1010.6+5 = 1010.6.105 = (106)10.105, e como 106 ≡ 1 (mod 7) e 105 ≡ 5 (mod 7),
podemos concluir que:
1065≡ (106)10.105≡ 1.5 ≡ 5 (mod 7) Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 5; ∀n ∈ N}.
b) 378÷ 7, equação: 378≡ x (mod 7).
Resposta: Pelo item anterior, sabemos que 10 ≡ 3 (mod 7) e como 106≡ 1 (mod 7)então 36≡ 1 (mod 7).
Temos que 378= 36.13= (36)13. Então podemos concluir que:
378≡ (36)13≡ 113≡ 1 (mod 7)
Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 1; ∀n ∈ N}. c) 27987668÷ 7, equação: 27987668≡ x (mod 7).
Resposta:
21 ≡ 2 ≡ 2 (mod 7)
22 ≡ 4 ≡ 4 (mod 7)
23 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7)
Temos que 23≡ 1 (mod 7), portanto 23.q≡ 1 (mod 7)para todo q ∈ N. Temos que 7+9+8+7+6+6+8 = 51
e 5 + 1 = 6, portanto sabemos que 7987668 é divisível por 3, ou seja, 7987668 = 3.q para algum q. Com isso concluimos que:
27987668≡ 23.q≡ (23)q ≡ 1 (mod 7)
Portanto nosso conjunto solução é {7.n + 1; ∀n ∈ N}. d) 290÷ 13, equação: 290≡ x (mod 13). Resposta: 21 ≡ 2 ≡ 2 (mod 13) 22 ≡ 4 ≡ 4 (mod 13) 23 ≡ 8 ≡ 8 (mod 13) 24 ≡ 16 ≡ 3 (mod 13) 25 ≡ 6 ≡ 6 (mod 13) 26 ≡ 12 ≡ 12 (mod 13) 27 ≡ 24 ≡ 11 (mod 13) 28 ≡ 22 ≡ 9 (mod 13) 29 ≡ 18 ≡ 5 (mod 13) 210 ≡ 10 ≡ 10 (mod 13) 211 ≡ 20 ≡ 7 (mod 13) 212 ≡ 14 ≡ 1 (mod 13)
Portanto temos que 212≡ 1 (mod 13). Como 290= 212.7+6= (212)7.26, então:
290≡ (212)7.26≡ 1.12 ≡ 12 (mod 13) Portanto nosso conjunto solução é {13.n + 12; ∀n ∈ N}.
Exercício 36. Calcule o resto da divisão por 31 das seguintes potências: a) 21398765 Resposta: 21 ≡ 2 ≡ 2 (mod 31) 22 ≡ 4 ≡ 4 (mod 31) 23 ≡ 8 ≡ 8 (mod 31) 24 ≡ 16 ≡ 16 (mod 31) 25 ≡ 32 ≡ 1 (mod 31)
Portanto temos que 25 ≡ 1 (mod 31). Agora devemos analisar se 1398765 é um múltiplo de 5, caso não
seja, devemos encontrar qual o resto da divisão de 1398765por 5.
131 ≡ 3 (mod 5)
132 ≡ 4 (mod 5)
133 ≡ 2 (mod 5)
134 ≡ 1 (mod 5)
Portanto temos que 134≡ 1 (mod 5). Vamos veri car se 98765 é múltiplo de 4:
98765 = 4.(24691) + 1 então,
1398765≡ 134.(24691)+1≡ (134)24691.131
1398765≡ (1).13 ≡ 3 (mod 5)
Com isso podemos concluir que 1398765= 5.q + 3, pois sobra resto 3 na sua divisão por 5. Agora voltando
ao problema original:
21398765 ≡ 25.q+3≡ (25)q.23≡ 23≡ 8 (mod 31)
b) 6439876
Resposta: Primeiramente devemos observar que 64 ≡ 2 (mod 31), como sabemos do ítem anterior que 25≡ 1
(mod 31), temos que:
645≡ 25≡ 1 (mod 31)
Agora basta veri car se 39876é um múltiplo de 5, e caso não seja, devemos encontrar o resto da divisão
de 39876por 5. Sabemos que 34≡ 81 ≡ 1 (mod 5), portanto vamos veri car se 9876 é múltiplo de 4:
9876 = 4.(2469)
Portanto temos, 39876≡ (34)2469≡ 1 (mod 5), ou seja, 39876= 5.q + 1. Com isso temos que:
6439876 ≡ 645.q+1 ≡ (645)q.64 ≡ 64 ≡ 2 (mod 31)
c) 21445231
Resposta: Vamos aproveitar, uma vez mais, o fato de que 25 ≡ 1 (mod 31). Agora devemos veri car se
1445231 é um múltiplo de 5:
141 ≡ 4 (mod 5)
142 ≡ 1 (mod 5)
Como 4523 = 2.q + 1, então 1445231= 142.q+1= (142)q.14. Portanto:
1445231≡ (142)q.14 ≡ 14 ≡ 4 (mod 5)
Com isso temos que 1445231= 5.n + 4, portanto:
Exercício 37. Calcule a ordem de: a) 3 módulo 7. Resposta: Ordem = 6 b) 2 módulo 11. Resposta: Ordem = 10 c) 5 módulo 31. Resposta: Ordem = 3 d) 7 módulo 43. Resposta: Ordem = 6
Exercício 38. Mostre que se a e m são inteiros positivos pares, então nenhuma potência de a é congruente a 1 módulo m.
Resposta: Como a e m são pares, então mdc(a.m) = 2, portanto mdc(a, m) 6= 1, ou seja, a não possui inverso modulo m.
Exercício 39. Determine a ordem de cada um dos inteiros a, tal que 1 ≤ a ≤ 10, módulo 11 Resposta: Ordem de 1 módulo 11 = 1
Ordem de 2 módulo 11 = 10 Ordem de 3 módulo 11 = 5 Ordem de 4 módulo 11 = 5 Ordem de 5 módulo 11 = 5 Ordem de 6 módulo 11 = 10 Ordem de 7 módulo 11 = 10 Ordem de 8 módulo 11 = 10 Ordem de 9 módulo 11 = 5 Ordem de 10 módulo 11 = 2
Exercício 40. Determine a ordem de cada um dos inteiros a, tal que 1 ≤ a ≤ 11, módulo 12. Lembre-se que alguns destes inteiros nem sequer admitem uma ordem módulo 12. Você pode começar por descobrir quais são e assim nem sequer precisará calcular suas potências.
Resposta: Sabemos que os segunites números não possuem uma ordem módulo 12: {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}, pois eles não são relativamente primos com 12.
Então basta calcularmos a ordem dos números restantes: Ordem de 1 módulo 12 = 1
Ordem de 5 módulo 12 = 2 Ordem de 7 módulo 12 = 2 Ordem de 11 módulo 12 = 2
Exercício 41. Seja p um primo positivo e a um inteiro que não é divisível por p. Digamos que k é a ordem de a módulo p.
a) Explique por que k ≤ p − 1
Resposta: Como p é primo, temos pelo Teorema de Fermat que ap−1 ≡ 1 (mod p). Como k é o menor inteiro
não nulo tal que ak ≡ 1 (mod p), temos que k ≤ p − 1.
b) Seja r o resto da divisão de p − 1 por k. Mostre que, como ap−1 ≡ ak ≡ 1 (mod p), então:
ar≡ 1 (mod p) Resposta: Seja (p − 1) = q.k + r, então temos
a(p−1)= a(q.k)+r= a(q.k).ar
Portanto a(q.k).ar≡ 1 (mod p), como a(q.k)≡ 1 (mod p)então temos que ar≡ 1 (mod p)
Resposta: Temos que r deve ser igual a zero, pois se r 6= 0 teremos um inteiro não nulo menor que k tal que ar≡ 1 (mod p), ou seja, r será a ordem de a módulo n, mas isso contradiz o fato de k ser a ordem de a.
d) Conclua que a ordem de a é um divisor de p − 1
Resposta: Pelo item anterior temos que r = 0, portanto (p − 1) = qk, ou seja, k é um divisor de (p − 1). Exercício 42. Encontre o valor da função φ para os seguintes números: 21, 35 e 55.
Resposta:
φ(21) = φ(3.7) = φ(3)φ(7) = (3 − 1)(7 − 1) = 2.6, portando temos φ(21) = 12 φ(35) = φ(5.7) = φ(5)φ(7) = (5 − 1)(7 − 1) = 4.6, portanto temos φ(35) = 24
φ(55) = φ(5.11) = φ(5)φ(11) = (5 − 1)(11 − 1) = 4.10, portanto temos que φ(55) = 40 Exercício 43. Calcule o resto das seguintes divisões utilizando o Teorema de Fermat
a) 398745 por 43 Resposta: 398745≡ 27 (mod 43) b) 310342 por 1033 Resposta: 310342 ≡ 81 (mod 1033) c) 2410482 por 41047 Resposta: 2410482 ≡ 16 (mod 41047) d) 319! por 307
Resposta: Temos que 18.17 = 306, portanto:
319! = 319.18.17.16!= (3306)19.16!
Então temos 319!≡ (3306)19.16!≡ (1)19.16! (mod 307), com isso temos 319!≡ 1 (mod 307).
Exercício 44. Calcule o resto das seguintes divisões utilizando o Teorema de Euler a) 2495 por 15841 Resposta: 2495≡ 1 (mod 15841) b) 241045 por 41041 Resposta: 241045≡ 32 (mod 41041) c) 277por 2465 Resposta: 277≡ 1902 (mod 2465)
