CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR AULAS 9 e 10 TRIGONOMETRIA BÁSICA

CURSO DE MATEMÁTICA ELEMENTAR AULAS 9 e 10 – TRIGONOMETRIA BÁSICA

ALUNO(A): ____________________________________________________ PROFESSOR: FIDELIS ZANETTI DE CASTRO

DATA: ___/___/_______

01 - A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Se AB=2m e BCˆA=30°, então a medida da extensão de cada degrau é: m ) e m ) d m ) c ) b m ) a 3 3 2 3 6 3 3 2 3 3 2

02 - Determine os valores de θ, 0≤θ ≤2π, de maneira que o determinante seja nulo.

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

sen sen cos cos sen sen cos 0 0

03 - Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDˆB e ADˆB medem, respectivamente, 45° e 30°; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

a) √6 e √3. b) √5 e √3. c) √6 e √2. d) √6 e √5. e) √3 e √5. 04 –

a) Demonstre a identidade: sen x =senx−cosx

     − 4 2 π .

b) Determine os valores de m∈ℜ para os quais a equação: 2_(senx−_cosx)=_m2 −2 _admite soluções.

05 - Determine todos os valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π, para os quais se verifica a igualdade

(

senx+cosx

)

2 =1.

06 - Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois

ângulos, x e y, são tais que

2 3 1+ = y cos x cos

, a diferença entre as medidas de x e y é a) 5°

b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

07 - Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120°. Se os outros dois

ângulos, x e y, são tais que

2 3 1+ = y cos x cos

, a diferença entre as medidas de x e y é a) 5°

b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°

08 - Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores.

Tendo verificado que os ângulos DCˆB e BDˆC medem, respectivamente, cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação √6 = 2,4?

09 - Sabe-se que h é o menor número positivo para o qual o gráfico de y =sen(x−h)é

Então,       3 2h cos é igual a:

a) - √3/2. b) - √2/2. c) -1/2. d) 1/2. e) √3/2.

10 - O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1/4. Então, a tangente do ângulo do vértice desse triângulo é igual a

a) - √13/2 b) √13/5 c) - √15/3 d) √14/7 e) - √15/7

11 - Se (cos x). (sen x) = √2/3 e tg x = √2, com 0<x<π/2, determine o único valor de a) cos x;

b) sen x + sec x.

12 - Considere as funções f(y)= 1 y− 2 , para y ∈ IR, -1 ≤ y ≤ 1, e g(x) = cos x, para x ∈ IR. O número de soluções da equação (f o g)(x) = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π, é

a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

13 - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é a) √(2)/8. b) √(2)/4. c) √(3)/2. d) √2. e) 2√2

14 - Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, está esboçado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60° e DE é paralelo a BC. Assumindo o valor √3=1,7 e sabendo-se que AB=2km, BC=3km, DE=1km e FH=3,3km, determine

a) as medidas dos segmentos BD e EF em quilômetros;

b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do táxi é dado pela função y=4+0,8x sendo x a distância percorrida em quilômetros e y o valor da corrida em reais.

15 - Se x é a medida de um ângulo em radianos e π/2<x<3π/4, então a) cos x > 0.

b) cos 2x < 0. c) tgx > 0. d) sen x < 0. e) sen 2x > 0.

16 - Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é a) 30√3. b) 40√3. c) 60√3. d) 80√3. e) 90√3.

17 - Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em °C) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois

(t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = 15 + 5 sen [(π/12)t + 3π/2], onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação de H(t) a temperatura (em °C) no instante t.

a) Resolva a equação sen[(π/12)t + 3π/2] = 1, para t∈[0,24].

b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação.

18 - Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser aproximado pela expressão: P(t) = 21/2 + 2cos [(π/6)t + 5π/4], onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.

a) Resolva a equação, cos [(π/6)t + 5π/4] = 1, para t>0.

b) Determine quantas horas após o início da observação ocorreu a primeira maré alta.

19 - (Vunesp 02) Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30°, e que o triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é

a) 30√3 b) 10√3

d) 8√3 e) (3√3)/2.

20 - Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA de forma que o ângulo CBD fosse de 90°. Medindo AD=40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.

21 - Calcule a área de um triângulo em função de um lado ℓ _{e dos dois ângulos} α _e β _{a ele}

adjacentes.

22 - Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distancia AB=1.200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°.

a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.

b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

23 –

a) Utilize a fórmula sen2α+cos2α=1 e a formula do cosseno da soma de dois ângulos para deduzir as seguintes fórmulas do arco metade:

2 1 2 2 1 2

α

α

α

α

cos cos e cos sen = ± − =± +

b) Especifique os intervalos de variação de α nos quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais se deve usar o sinal "menos" em cada uma das fórmulas a seguir.

24 - Encontre todas as soluções do sistema    = − = + 0 0 ) y x ( sen ) y x ( sen que satisfaçam 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π.

25 - Ache todos os valores de x, no intervalo [0, 2π], para os quais

2 3 2+ = +cosx senx .

26 - A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.

a) Calcule os comprimentos dos catetos.

b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.

27 - Considere a função S(x) = 1 + 2sen x + 4(sen x)2 + 8(sen x)3 para x ∈ R. a) Calcule S(π/3).

b) Resolva a equação: S(x) = 0, para x ∈ [-2π,2π].

28 - Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB=2km, BC=1km e a medida do ângulo ABC seja de 135°.

a) Calcule o raio dessa circunferência. b) Calcule a área do triângulo ABC.

29 - Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.

a) Quais são esses números?

b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.

c) Sendo α e β os outros dois ângulos do referido triângulo, com β>α, mostre que

4 1 2 2β ₋ α _< sen sen .

30 - Considere a equação trigonométrica sen2θ - 2 cos2θ + 1/2 sen(2θ) = 0.

a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cosθ =0. b) Encontre todos os valores de cos que são soluções da equação. θ

31 - No quadrilátero ABCD onde os ângulos A e C são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor de senB é:

a) √5/5 b) 2√5/5 c) 4/5 d) 2/5 e) 1/2

32- Um losango está circunscrito a uma circunferência de raio 2cm. Calcule a área deste losango sabendo que um de seus ângulos mede 60°.

33 - Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta Ot forma um ângulo

α

com o semi-eixo Ox (0°<

α

<90°) e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente. A área do triângulo TAB, como função de

α

, é dada por:

a) (1 - sen

α

) . (cos

α

)/2. b) (1 - cos

α

) . (sen

α

)/2. c) (1 - sen

α

) . (tg

α

)/2. d) (1 - sen

α

) . (cotg

α

)/2. e) (1 - sen

α

) . (sen

α

)/2.

34 - (Fuvest 93) O valor máximo da função f(x)=3cosx+2sen x para x real é: a) √2/2

b) 3

c) 5√2/2 d) √13 e) 5

35 - A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de 90° e 60°, respectivamente, como é mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual a √3+1, determine os raios dos círculos.

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 5/2 e) 4 37 - a) Calcule sen15°.

b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1.

38 - Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é: a) 0,2 b) 0,4. c) 0,6. d) 0,8. e)1,0. 39 - O menor valor de x cos − 3 1 , com x real, é: a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2 d) 1. e) 3.

40 - Os números reais sen (π/12), sen a, sen (5π/12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

a) 1/4 b) √3/6 c) √2/4 d) √6/4 e) √3/2

a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x

42 - Considere a função f(x) = senx.cosx + (1/2)(senx-sen5x). a) Resolva a equação f(x)=0 no intervalo [0,π].

b) O gráfico de f pode interceptar a reta de equação y=8/5? Explique sua resposta.

43 - ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento CX é bissetriz do ângulo BCA, onde X é ponto do lado AB. A medida do segmento CX é 4cm e a do segmento BC, 24cm. Calcule a medida de AC.

44 - Qual das afirmações a seguir é verdadeira ?

a) sen 210° < cos 210° < tg 210° b) cos 210° < sen 210° < tg 210° c) tg 210° < sen 210 ° < cos 210° d) tg 210° < cos 210° < sen 210° e) sen 210° < tg 210° < cos 210°

45 - Nos triângulos da figura, AC = 1cm, BC = 7cm, AD = BD. Sabendo que a cos senb b cos sena ) b a (

a) √2/2 b) 7/√50 c) 3/5 d) 4/5 e) 1/√50

46 - No cubo de aresta 1, considere as arestas AC e BD e o ponto médio, M, de AC

a) Determine o cosseno do ângulo BAD. c) Determine o cosseno do ângulo BMD.

d) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, e o maior? Justifique.

47 - Ache todas as soluções da equação sen3x cos x - 3 senx cos3x = O no intervalo [0,2π).

48 - As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s. Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C, respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento AB e a reta r mede α.

a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo α. b) Para que valor de α a área do triângulo ABC é mínima?

49 - O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo α radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então α é igual a

a) π/3 b) 2 c) 1 d) 2π/3 e) π/2

50 - Se α é um ângulo tal que 0 < α < π/2 e senα = a, então tg(π-α) é igual a

a a ) e a a ) d a a ) c a a ) b a a ) a 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + − − − − − − −