Sinais e Sistemas
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Renato Dourado Maia
Universidade Estadual de Montes Claros
Engenharia de Sistemas
Introdução
( )
x t
y t
( )
( )
h t
x n
[ ]
h n
[ ]
y n
[ ]
( ), [ ]
h t
h n
Resposta do sistema quando a entrada é um
impulso unitário, .
δ
( ), [ ]
t
δ
n
A
Resposta ao Impulso
caracteriza um sistema LTI: dada uma
entrada x, pode-se, conhecendo-se h, determinar-se y. Esse
método é denominado
Convolução
.
Sinais Discretos e Soma de Impulsos
Seja o seguinte sinal:
,
,
[ ]
0
,
0,
2
1
1
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário
=
=
=
−
=
O sinal pode ser escrito como uma soma de impulsos?
1
2
3
[ ]
1
[ ]
1
[
2
]
2
[
5
]
[ ]
[ ]
[
]
x n
=
δ
n
−
δ
n
−
+
δ
n
− =
x n
+
x n
+
x n
Sinais Discretos e Soma de Impulsos
1
2
3
[ ]
1
[ ]
1
[
2
]
2
[
5
]
[ ]
[ ]
[
]
x n
=
δ
n
−
δ
n
−
+
δ
n
− =
x n
+
x n
+
x n
Sinais Discretos e Soma de Impulsos
Todo
sinal discreto limitado
pode ser escrito
co-mo uma
soma ponderada
de
impulsos
unitários
deslocados no tempo:
[ ]
[ ] [
]
k
x n
x k
δ
n k
+∞
=−∞
=
∑
−
Impulso Deslocado
Peso
Lembrando...
Linearidade:
Sistema
1
( )
x t
y t
1
( )
Sistema
2
( )
x t
y t
2
( )
1
[ ]
x n
y n
1
[ ]
x n
2
[ ]
y n
2
[ ]
Sistema
1
( )
2
( )
a
x t
+
b
x t
a
y t
1
( )
+
b
y t
2
( )
1
[ ]
2
[ ]
a
x n
+
b
x n
a
y n
1
[ ]
+
b
y n
2
[ ]
Lembrando...
Invariância no Tempo:
Tempo Tempo
Somatório de Convolução
Retomando o exemplo:
1
2
3
[ ]
1
[ ]
1
[
2
]
2
[
5
]
[ ]
[ ]
[
]
x n
=
δ
n
−
δ
n
−
+
δ
n
− =
x n
+
x n
+
x n
1
2
3
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
y n
=
y n
+
y n
+
y n
1
1
2
2
3
3
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[
2]
[
]
[
2
]
5
[ ]
2 [
5]
[
]
1
2
[
1
]
δ
δ
δ
=
→
=
= −
− →
=
−
=
−
−
→
=
−
x n
n
y n
h n
x n
n
y n
h n
x n
n
y n
h n
Considerando a
LINEARIDADE
e a
INVARIÂNCIA NO TEMPO
:
[ ]
1
[ ]
1
[
2
]
2
[
5
]
y n
=
h n
−
h n
−
+
h n
−
A saída é uma soma ponderada das saídas devidas a cada
entrada, ou seja, um somatório de respostas ao
Somatório de Convolução
Generalizando para qualquer sinal discreto
limita-do:
[ ]
[ ] [
]
k
x n
x k
δ
n k
+∞
=−∞
=
∑
−
[ ]
[ ] [
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
k
y n
x k h n k
x n
h n
h n
x n
+∞
=−∞
=
∑
− =
∗
=
∗
Somatório de Convolução
Sinal Discreto Limitado
UM SISTEMA LTI É COMPLETAMENTE CARACTERIZADO POR SUA
RESPOSTA AO IMPULSO UNITÁRIO!!!
Reflexão
Tempo
Tempo
Somatório de Convolução – Resumo
[ ]
x n
h n
[ ]
y n
[ ]
[ ]
n
δ
h n
[ ]
h n
[ ]
[
n k
]
δ
−
h n
[ ]
h n k
[
−
]
[ ] [
]
x k
δ
n k
−
h n
[ ]
x k h n k
[ ] [
−
]
[ ] [
δ
]
+∞ =−∞−
∑
kx k
n k
[ ] [
]
kx k h n k
+∞ =−∞−
∑
[ ]
h n
[ ]
x n
h n
[ ]
[ ] [
]
kx k h n k
+∞ =−∞−
∑
Definição de
Invariância no Tempo
Linearidade
Linearidade
Definição de
[ ]
h n
[ ]
n
δ
Somatório de Convolução
,
,
[ ]
0
,
0,
2
1
1
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário
=
=
=
−
=
0
,
[ ]
[ ]
,
0, 6
0
0,
≥
=
=
=
<
n
n
a
n
h n
a u n
com a
n
Exemplo
Somatório de Convolução
Entrada Saída
Somatório de Convolução
[ ]
[ ] [
]
[
] [ ]
k
k
y n
x k h n k
x n k h k
+∞
+∞
=−∞
=−∞
=
∑
− =
∑
−
[0]
[ ] [
]
k
y
x k h k
+∞
=−∞
=
∑
−
[ ]
1
[ ] [
1
]
k
y
x k h k
+∞
=−∞
=
∑
−
+
[ ]
2
[ ] [
2
] ..
.
k
y
x k h k
+∞
=−∞
+
=
∑
−
O que acontece para cada valor de n, se imaginarmos os
sinais em função da variável k?
Vejamos uma animação em Java para compreendermos a
segunda interpretação do somatório de convolução: rebate, desloca,
multiplica e soma...
Somatório de Convolução
Exemplo – O Mesmo
,
,
[ ]
0
,
0,
2
1
1
2
5
n
n
x n
caso c
n
ontrário
=
=
=
−
=
0
,
[ ]
[ ]
,
0, 6
0
0,
≥
=
=
=
<
n
n
a
n
h n
a u n
com a
n
Somatório de Convolução
Vamos observar graficamente a resolução do
e-xemplo utilizando a interpretação
rebate,
deslo-ca, multiplica e soma.
Somatório de Convolução
Tempo
