Faculdade de Engenharia
Sistemas Lineares e Invariantes
SS – MIEIC 2007/2008 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -34 -32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 Frequency (kHz) Po we r/ freq ue nc y ( dB /Hz )
Power Spectral Density Hamming kaiser Chebyshev
Double Pendulum Two coupled planar pendulums with gravity and sine wave forcing in the
upper Revolute joint. Sine Wave B F Revolute1 B F Revolute Env Joint Sensor1 Joint Sensor Joint Actuator Ground CS1 Body1 CS1 CS2 Body Angle Revolute1 Revolute Faculdade de Engenharia
Sistemas lineares e invariantes no tempo – aula de hoje
Sistemas lineares e invariantes SLITs discretos – resposta impulsional Convolução discreta
Convolução discreta e resposta de SLITs SLITs contínuos – resposta impulsional Convolução contínua
SS 0708
SLITs 3
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SLITs contínuos
São sistemas que verificam simultaneamente as propriedades de linearidade e invariância.
Num SLIT contínuo tal que x1(t)→y1(t), x2(t)→y2(t), x3(t)→y3(t),...
verifica-se a1x1(t−t1)+a2x2(t−t2)+a3x3(t−t3)+... → a1y1(t−t1)+a2y2(t−t2)+a3y3(t−t3)+...
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Decomposição de sinais em impulsos de Dirac
Æsinal em tempo contínuo
) (t x∆ 0 t ) (t x x(t)
Æsinal constante por intervalos
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SLITs 5
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Resposta impulsional de um SLIT contínuo
A resposta impulsional de um SLIT contínuo define-se como sendo a saída
desse sistema quando a entrada é um impulso de Dirac e representa-se por h(t). SLIT contínuo
) (t h ) ( ) (t →ht δ δ(t−τ)→h(t−τ)
∫
−∞ ∞ − τ τ − δ τ ( = x t d t x() )( )∫
+∞ ∞ − τ τ − τ = x ht d t y() ()( ) x(t) SLIT contínuo y(t) invariância linearidadeA resposta de um SLIT contínuo a uma entrada x(t) qualquer pode ser obtida apenas à custa da sua resposta impulsional.
) (t x y(t) ) (t h ) (t δ Faculdade de Engenharia
Resposta impulsional de um SLIT contínuo – exemplo
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Convolução contínua
∫
+∞ ∞ − τ τ − ( τ = =xt ht x ht d t y() ()* () () )A operação que define a saída de um SLIT contínuo à custa da resposta impulsional e do sinal de entrada designa-se convolução contínua e representa-se por
Generalizando, a convolução contínua é uma operação que, a partir de dois sinais em tempo contínuo, produz um novo sinal em tempo contínuo.
∫
+∞ ∞ − τ τ − τ = =x t x t x x t d t y() 1()* 2() 1() 2( )Assim, pode dizer-se que a resposta de um SLIT contínuo a uma dada entrada é a convolução desta entrada com a resposta impulsional do sistema.
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Cálculo da convolução contínua
∫
+∞ ∞ − τ τ − τ = x x t d t x tx1()* 2() 1() 2( ) Para cada t, y(t) é igual ao integral do produto de x1(τ) por x2(t–τ),
em que a variável independente é agora τ
Passos de aplicação do método
1. Alterar a variável independente de x1e x2para τ
2. Rebater o sinal x2(τ) (passa de x2(τ) a x2(–τ) )
3. Deslocar o sinal rebatido de forma a que a amostra emτ=0 passe a estar em τ=t
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Cálculo da convolução contínua – exemplo
Determinar y(t)=x1(t)*x2(t) t 1 2 3 0 -1 ) ( 1t x τ 1 2 3 0 -1 ) ( 1τ x -2 -1 0 1 2 t ) ( 2t x -2 -1 0 1 2 τ ) ( 2−τ x -2 -1 0 1 2 τ ) ( 2τ x t-2 t-1 t t+1 t+2 τ ) ( 2t−τ x Faculdade de Engenharia
Cálculo da convolução contínua – exemplo
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Cálculo da convolução contínua – exemplo
3 2< t< 0 ) (t = y 3 > t > τ < τ ≤ τ ≤ τ = τ 2 ou 0 se 0 2 0 se 2 / ) ( 1 x τ 1 2 3 0 -1 ) ( 1τ x τ t t-1 ) ( 2t−τ x τ t t-1 ) ( 2t−τ x
∫
− τ τ = 2 1 2 / ) ( t d t y 4 ) 1 ( 1 4 2 2 1 2 − − = τ = − t t∫
+∞ ∞ − τ τ − τ = x x t d t y() 1() 2( ) Faculdade de EngenhariaCálculo da convolução contínua – exemplo
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Cálculo da convolução contínua – exercícios
Calcule as seguintes convoluções:
