forças em relação a um ponto P E 3 como sendo o vetor M P V 3 dado por: Considere o sistema formado pelas forças

(1)

Nesta prova considera-se fixada uma orienta¸cão do espa¸co e um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E3, em que E é uma base ortonormal positiva de V3. A menos de men¸cão expl´ıcita em con-trário, equa¸cões de retas e planos e coordenadas de pontos estão escritas no sistema Σ e coordenadas de vetores estão escritas na base E.

Q1. Em Mecˆanica, se ~F1, ~F2, . . . , ~Fn ∈ V3 s˜ao for¸cas aplicadas,

respectiva-mente, a pontos A1, A2, . . . , An∈ E3, define-se o momento desse sistema de

for¸cas em rela¸c˜ao a um ponto P ∈ E3 como sendo o vetor −M→P ∈ V3 dado

por: −→ MP = −−→ P A1∧ ~F1+ −−→ P A2∧ ~F2+ · · · + −−→ P An∧ ~Fn.

Considere o sistema formado pelas for¸cas ~

F1 = (1, 0, 0) e F~2= (0, 1, 0)

aplicadas, respectivamente, aos pontos

A1 = (0, 0, 0) e A2 = (1, 0, 0)

e seja−M→P o momento desse sistema de for¸cas em rela¸c˜ao a um ponto P ∈ E3.

Assinale a alternativa correta:

(a) existe um ponto P ∈ E3 tal que−M→P = ~0;

(b) o m´odulo do vetor−M→P ´e independente do ponto P ∈ E3;

(c) para qualquer ponto P ∈ E3, o vetor −M→P ´e uma combina¸c˜ao linear de

~ F1 e ~F2;

(d) se P ∈ E3 é um ponto que minimiza o módulo de−M→P, então

−→

MP n˜ao ´e

uma combina¸c˜ao linear de ~F1 e ~F2;

(e) se P ∈ E3 é um ponto que minimiza o módulo de−M→P, então

−→

MP 6= ~0 e

−→

MP ´e uma combina¸c˜ao linear de ~F1 e ~F2.

Q2. Seja r a reta que passa pela origem e ´e paralela ao vetor (1, 1, 0). Se P = (a, b, c) ´e um ponto do plano

π : x − y − z = 0

tal que a distância de P à reta r seja igual a 1, então: (a) c2 _{= 1;}

(b) c2 = 1₃; (c) c2 = 2; (d) c = 0;

(2)

Q3. Considere os pontos P = (1, 0, 0), Q = (3, 0, 0) e a reta r : X = (2, 0, 0) + λ(1, 1, 1), λ ∈ R.

Seja π um plano tal que d(P, π) = d(Q, π) = 1, a reta r não intersecte π e o ponto 0,√2, 0 não perten¸ca a π. Se a, b, c ∈ R são tais que uma equa¸cão geral para π é ax + by + cz +√2 = 0, então a + b − c é igual a: (a) −1; (b) √2; (c) 2; (d) 1; (e) 3. Q4. Considere a reta r : x − 1 = y − 1 2 = z − 1 3

e os pontos A = (2, −1, −2) e B = (4, 3, 4). Seja C = (x0, y0, z0) o ponto de

r tal que os ˆangulos B bAC e A bBC sejam congruentes. Temos que x0+ y0+ z0

´ e igual a: (a) 27₇; (b) 17₇; (c) 7₉; (d) 16₇; (e) 6₇.

Q5. Considere um tetraedro ABCD no espa¸co E3 cujo volume seja igual a 16. Seja M o ponto médio do segmento CD e seja P o ponto do segmento BD tal que a distância de B a P seja igual ao triplo da distância de P a D. Temos que o volume do tetraedro ABP M é igual a:

(a) 12; (b) 10; (c) 6; (d) 4; (e) 8.

(3)

Q6. Considere os vetores ~v = (1, 1, 0), ~w = (−1, 1, 0), o plano π : X = (1, 0, 0) + λ~v + µ ~w, λ, µ ∈ R

e a base B = {~v, ~w, ~v ∧ ~w} de V3. Uma equa¸c˜ao geral para o plano π no sistema de coordenadas (O, B) ´e:

(a) z = 0;

(b) x + y + z = 0; (c) x − y − z +√2 = 0; (d) x + y = 0;

(e) x + y + z − 1 = 0.

Q7. Considere o plano π : x + y + z = 1 e seja P = (x0, y0, z0) o ponto

simétrico à origem O em rela¸cão ao plano π, isto é, o ponto P tal que o vetor −OP seja ortogonal a π e o ponto m´−→ edio do segmento OP esteja em π. Temos que x0+ y0− z0 é igual a:

(a) 2; (b) 2₃; (c) 1₃; (d) −2;

(e) 3.

Q8. Considere as seguintes afirma¸c˜oes:

(I) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V3 e quaisquer λ, µ ∈ R, vale que: [~v, λ~v + ~w, ~z + µ ~w ] = [~v, ~w, ~z ];

(II) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V3_{, vale que:}

(~v ∧ ~w) ∧ ~z = ~v ∧ ( ~w ∧ ~z ); (III) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V3, vale que:

[~v, ~w, ~z ] = k~v kk ~wkk~z k. Assinale a alternativa correta:

(a) apenas as afirma¸cões (I) e (III) são verdadeiras; (b) apenas a afirma¸cão (III) é verdadeira;

(c) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e verdadeira;

(d) apenas as afirma¸cões (I) e (II) são verdadeiras; (e) apenas a afirma¸cão (I) é verdadeira.

(4)

Q9. Considere o plano π : x + y − z + 1 = 0 e as retas concorrentes r : x = y = z + 1 e s :

_{x − y = 0,} z + 1 = 0.

Se P é o ponto na interse¸cão de r e s, então a distância de P ao plano π é igual a: (a) √3 3; (b) √2 3; (c) √1 6; (d) √1 3; (e) √2 6.

Q10. Sejam ~v, ~w ∈ V3 vetores n˜ao nulos e P e Q pontos do espa¸co E3. Considere o sistema de equa¸c˜oes

( −−→

P X ∧ ~v = ~0, −−→

QX · ~w = 0 na inc´ognita X ∈ E3 e as seguintes afirma¸c˜oes:

(I) se P 6= Q e ~v · ~w = 0, então o sistema não tem solu¸cão; (II) se P = Q e ~v · ~w = 0, então o sistema tem infinitas solu¸cões; (III) se ~v · ~w 6= 0, então o sistema tem uma única solu¸cão.

(a) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e necessariamente verdadeira;

(b) apenas as afirma¸cões (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (c) apenas as afirma¸cões (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) apenas a afirma¸cão (I) é necessariamente verdadeira;

(5)

Q11. Considere o ponto P = (2, 4, 8), o plano π : x + y + z + 2 = 0 e a reta

r : X = P + λ(2, 1, 1), λ ∈ R.

Se Q 6= P é o ponto de r tal que d(P, π) = d(Q, π), então a soma das coordenadas de Q é igual a: (a) 15; (b) −18; (c) 22; (d) −2; (e) 14.

Q12. Considere as retas reversas r :

_{x − z = −1,}

y − 2z = −2 e s :

_{x − z = −2,} y + z = 1.

Se P = (x1, y1, z1) ∈ r e Q = (x2, y2, z2) ∈ s s˜ao os pontos tais que a

distância de P a Q seja m´ınima, então x1+ x2 é igual a:

(a) −5₆; (b) 1₅;

(c) 1₆; (d) −1₃;

(e) 1₄.

Q13. Seja m ∈ R e considere as retas:

r : X = (1, 1, 1) + λ(1, m, 0), λ ∈ R, s : X = (1, 0, 2) + λ(2, m, 1), λ ∈ R. Temos que r e s s˜ao reversas se, e somente se:

(a) m 6= 1; (b) m = 1;

(c) m 6= −1; (d) m 6= 2;

(6)

Q14. Considere no espa¸co E3 um cubo cujos vértices são A, B, C, D, E, F , G, H, em que ABCD, ADHE e ABF E são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo:

A B F E D _C G H

Sejam B e C as bases de V3 dadas por: B =−−→

DA,−−→DC,−−→DH e C =−−→

DE,−−→BD,−−→DG . Se MBC ´e a matriz real 3 × 3 tal que

MBC[~v ]C = [~v ]B,

para todo ~v ∈ V3, ent˜ao o determinante de MBC ´e igual a:

(a) 1; (b) −1;

(c) 3; (d) 2;

(e) −2.

Q15. Considere as seguintes afirma¸c˜oes:

(I) para quaisquer ~v, ~w, ~z ∈ V3, se ~v e ~w s˜ao linearmente independentes, ~z ∧ ~v = ~0 e ~z ∧ ~w = ~0, ent˜ao ~z = ~0;

(II) para quaisquer ~v, ~w ∈ V3, vale que (~v + ~w) ∧ (~v − ~w) = −2 ~w ∧ ~v; (III) para quaisquer ~v, ~w ∈ V3, se ~v · ~w = 0 e ~v ∧ ~w = ~0, ent˜ao ~v = ~0 ou

~ w = ~0.

(a) apenas as afirma¸cões (I) e (III) são verdadeiras; (b) apenas a afirma¸cão (III) é verdadeira;

(c) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira;

(d) apenas as afirma¸cões (I) e (II) são verdadeiras; (e) apenas as afirma¸cões (II) e (III) são verdadeiras.

(7)

Q16. Seja π o plano que passa pelo ponto (1, 1, 1) e cont´em a reta r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 1, 0), λ ∈ R.

Se s é a reta dada pela interse¸cão de π com o plano y = 0, então um vetor diretor para s é: (a) (1, 1, 0); (b) (0, 0, 1); (c) (1, 0, 0); (d) (−1, 0, 1); (e) (1, 0, 1).