MATEMÁTICA SUAS TECNOLOGIAS. 05. A função logarítmica RC = log é logarítmica crescente C8, 4 =

(1)

R

ESOLUÇÃO

Resolva

Enem I

M

ATEMÁTICA

E

SUAS

T

ECNOLOGIAS

Matemática

01. O robô percorrerá o perímetro de um polígono regular de n lados, cujo ângulo externo será:

24º=360° → =15

n n

Logo, ele percorrerá 15 · (4 m) = 60 m. Resposta correta: Item B

02. Os códigos que fornecem os algarismos têm quatro dígitos. Devemos, então, agrupar as barras de quatro em quatro. Assim, temos:

0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1

De acordo com a tabela, os códigos 0110, 1000, 0011 e 0101 correspondem, respectivamente, aos algarismos 6, 8, 3, 5. Portanto, este código de barras corresponde ao número 6835. Resposta correta: Item A

03. Nº de pizzas portuguesa = 18 2 3 24 1 4 12 6 18 ⋅ + ⋅ = + = Nº de pizzas mussarela = 18 5 9 24 1 6 10 4 14 ⋅ + ⋅ = + =

Sendo que os homens comeram 12 + 10 = 22 pizzas e as mulheres, 6 + 4 = 10 pizzas.

Resposta correta: Item C 04. 120º 108º 60º x B A

II

J _E F H G D C Temos:

I) No hexágono regular ABCDEI:

a n n i= − ⋅ °₌ − ⋅ °₌ _° ( 2 180) (6 2 180) 6 120

II) No pentágono regular EFGHI:

a n n i= − ⋅ °₌ − ⋅ °₌ _° ( 2 180) (5 2 180) 5 108

III) No triângulo equilátero AJI: a_i = 60°

Assim, sendo JÎH = x, devemos ter: x + 60° + 120° + 108° = 360° → x = 72° Resposta correta: Item D

05. A função logarítmica RC R R =     log 0 é logarítmica crescente (base 10 > 1) e quando R = R₀, temos RC R

R =    = = log 0 log 0 10 1 _0,

ou seja, seu gráfi co passa no ponto (R₀, 0).

Portanto, o gráfi co que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda é o da alternativa (D).

Resposta correta: Item D

06. Escolhendo-se as quatro seleções que jogarão no Rio de Janeiro, as outras quatro seleções que jogarão em São Paulo já estarão determinadas. Daí, temos:

I) Total de maneiras de dividir as oito seleções: C_{8, 4} = 8 4 4 8 7 6 5 4 3 2 1 70 ! ! !⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

II) Considerando as três seleções sul-americanas num mesmo grupo, basta escolher a outra seleção para completar a grupo. Daí, elas poderão fi car juntas jogando no Rio ou em São Paulo de C_{5, 1} + C_{5, 1} = 5 + 5 = 10 maneiras diferentes. Logo, o número de maneiras dessas seleções não fi carem todas juntas será: 70 - 10 = 60

Resposta correta: Item D 07.

9m

4m

E

B

a

b

F

A

C

x

D

x

Observando que a + b = 90°, temos que os triângulos BCA e FDE. Daí: x x x x m 4 9 36 6 2 = → = → =

Logo, a frente total mede BE = 9 + 6 + 4 = 19 m Resposta correta: Item E

08. Temos as seguintes quantidades de maneiras de se escolher as duas questões com gabarito:

• A : C_{10, 2} = 10 2 8 45 ! ! !⋅ = • B: C8, 2 = 8 6 2 28 ! ! !⋅ = • C: C_{6, 2} = 6 2 4 15 ! ! !⋅ = • D: C4, 2 = 4 2 2 6 ! ! !⋅ = • E: C_{2, 2} = 1

(2)

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, temos: 45 · 28 · 15 · 6 · 1 = 113 400 maneiras diferentes de distribuir as alternativas corretas (113 400 folhas respostas diferentes) Resposta correta: Item B

09. O O Modelo matemático B 30” _R R 60º 60º A I) Arco AB = 2 · (30°) = 60°

II) O triângulo AOB é equilátero. Daí, AB = R Resposta correta: Item B

10. De acordo com a tabela, o número n de cadernos é tal que: n = 12X + 11 ⇒ n + 1 = 12(X + 1)

n = 20Y + 19 ⇒ n + 1 = 20(Y + 1) n = 18Z + 17 ⇒ n + 1 = 18(Z + 1)

Como X, Y e Z são números inteiros positivos, (n +1) é múltiplo comum de:

12 = 22_{· 3}1_{· 5}0

20 = 22_{· 3}0_{· 5}1

18 = 21_{· 3}2_{· 5}0

Como mmc(12, 20, 18) = 22_{· 3}2_{· 5}1_{= 180, devemos ter (n + 1)}

igual a 180 ou igual a um múltiplo de 180, ou seja: n + 1 = k · 180 , onde k é inteiro

Observe que:

n < 1200 ⇒ n + 1 < 1201 ⇒ k · 180 < 1200 ⇒ k < 6,6 Logo, o maior valor possível para k é 6. Daí, o maior valor para n será:

n + 1 = 6 · 180 ⇒ n = 1080 – 1 = 1079, cuja soma dos algarismos é igual a: 1 + 0 + 7 + 9 = 17

Resposta correta: Item B

11. Sendo o dia 07/set/2015 (segunda-feira) o dia zero, quando se passar uma quantidade de dias múltipla de 7, teremos novamente o mesmo dia da semana do dia zero (segunda- feira).

Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom

0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 21

Como a partir de 07/set/2015 até 07/set/2025 irão se passar 10 · 365 + 3 = 3 653 dias. Dividindo essa quantidade de dias por 7, obtemos quociente 521 e resto 6, ou seja:

3653 521 7 6= ⋅ + ≡ZERO

Assim, 07/set/2025 cairá, na semana, 6 dias após a segunda-feira, ou seja, cairá num domingo.

Resposta correta: Item B 12.

I) Na infância, temos massa m e área corporal A_I, tais que: Al= ⋅k m

2 3

II) Na maioridade, temos massa (8m) e área corporal A_M, tais que: A = k (8m) A = k (2 m) A = k (2 ) m A = k 2 m A = 4 M 2 3 M 3 2 3 M 3 2 3 2 3 M 2 2 3 M ⋅ → ⋅ → ⋅ ⋅ → → ⋅ ⋅ → ⋅⋅ ⋅(k m )→A = 4 A⋅ 2 3 M I

Logo, a área fi cará multiplicada por 4. Resposta correta: Item B

13. Na notação científi ca, o primeiro fator deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Daí, devemos ter:

0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg = 1 67 1027 , _{kg =} = 1,67 · 10–27_kg Como 1 kg = 103_{g, obtemos:} 1,67 · 10–27_{kg = 1,67 · 10}–27_{· 10}3_{g = 1,67 · 10}–24_g

Resposta correta: Item C 14. 58º 58º 56º 56º a b x x a//b//c c x = 56° + 58° = 114° Resposta correta: Item C

15. Sendo x o comprimento do Rio Amazonas, de acordo com o enunciado, devemos ter:

7 1 1 mm x nm m =

Observando agora que:

1 nm = 1 bilionésimo de metro = 10–9_m 7 mm = 7 · 10–3_m, obtemos: 7 10 10 1 10 7 10 7 10 10 7 10 3 9 9 3 3 9 3 9 ⋅ ₌ _⇒ _{= ⋅} _⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ − − − − − − − − − m x m m x m x m . ( )_m_m Logo, x = 7·106_m

(3)

16. Os pixels são os quadradinhos e o total de quadradinhos que cabem na tela retangular é a área do retângulo. Daí, devemos ter:

Área da tela retangular = x · (x + 200) = 480 000 ⇒ x2_{+ 200x–}

– 480 000 = 0 Assim, temos: • ∆ = 2002_{+ 1 920 000} ∆ = 1 960 000 = 196 · 104 • x= −200 1400± 2 ⇒ X = –800 (não convém) ou x = 600 Logo, as dimensões da tela são x = 600 pixels e x + 200 = 800 pixels.

17. Para acertar os respectivos relógios com a hora certa, de acordo com os pensamentos das respectivas donas:

I) Amanda adiantará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na realidade 10 + 5 = 15 minutos adiantados.

II) Beatriz atrasará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na realidade 10 + 5 = 15 minutos atrasados.

III) Camila adiantará o seu relógio em 5 minutos, fi cando, na realidade 5 + 5 = 10 minutos adiantados.

Portanto, a ordem de chegada será: Amanda (15 minutos antes das 15 h); Camila (10 minutos antes das 15 h) e Beatriz (15 minutos após as 15 h).

18. Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais e em um triângulo qualquer, um ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes. Daí, sendo Â = x, temos:

A D E 2 x x x B

I) No triângulo isósceles ADE:

BDEˆ = x + x (ângulo externo do ∆ADE) BDEˆ = DBEˆ = 2x (∆DEB é isósceles)

II) No triângulo ABE:

BECˆ = 2x + x (ângulo externo do ∆ABE) BECˆ = ECBˆ = 3x (∆BEC é isósceles) A B C 3x E 2x x

III) No triângulo isósceles ABC: ABCˆ = ACBˆ = 3x e x + 3x + 3x = 180° ⇒ x = 180 7 ° A B C 3x 3x x

Resposta correta: Item C

19. Sendo x reais o valor que a pessoa dará a mais para facilitar o troco, esse troco deverá ser:

Troco = (100 + x) - (valor da compra) Troco = 100 + x - 77

Troco = 23 + x

Como o caixa só tem notas de 10 reais, o troco deverá ser 10 ou 20 ou 30 ou ... (múltiplo de 10). Assim, o menor valor possível será: 23 + x = 10 ⇒ x = –13 (não convém) ou 23 + x = 20 ⇒ x = –3 (não convém) ou 23 + x = 30 ⇒ x = 7

Logo, o menor valor que o cliente deverá repassar ao caixa é 100 + 7 = 107 reais.

20. P = 518_·(24₎6_{→ P = 5}18_·224_{→ P = (5}18_{· 2}18_{) · 2}6_{→ P = 64·10}18 Logo, P zeros = 64000 0 18 ... (20 dígitos). Resposta correta: Item C

21. Sendo r a medida do raio, devemos ter:

4 m 4 m r r r r r r r r r r r r

2·(diagonal do quadrado de lado r) + 4r = Diagonal do quadrado de lado 4 m

2.(r 2)+4r=4 2 2,82r + 4r = 5,64

6,82 r = 5,64 r ≈ 0,82 m = 82 cm Resposta correta: Item C

22. Sendo3

7 0 4285 7142 85711 2 3 = ,

Re

ªsemana semana semanaª ª pet ee se semana − 4285 4ª

... uma dízima periódica, as senhas de Daniel irão se repetir de três em três semanas; e sendo π = 3,1415926535... um número irracional (apresenta infi nitas casas decimais, sem repetição periódica), as senhas de Rafael não se repetirão periodicamente.

(4)

23. C₁ C₂ 10cm 10cm 120cm 10cm 120cm A B

(Modelo matemático dos pneus)

Sendo C₁C₂ = x, usando o teorema de Pitágoras, temos: x2_{= 120}2_{+ 50}2_{→ x = 16900 = 130 cm}

Resposta correta: Item A

24. A posição do armário de número 10, por exemplo, é alterada apenas pelas pessoas cujos números são divisores de 10: 1 (abre), 2 (fecha), 5 (abre) e 10 (fecha).

Observe que, tendo 10 uma quantidade par de divisores positivos, o armário de número 10 terminará fechado. Para um armário terminar aberto, ele deverá ter um número ímpar de divisores positivos, ou seja, deverá ser um quadrado perfeito. Somente quem tem uma quantidade ímpar de divisores positivos são os quadrados perfeitos. Veja:

50 = 21_{⋅ 5}2_{⇒ Nº de divisores positivo = (1 + 1)·(2 + 1) = par}

36 = 22_{⋅ 3}2_{⇒ Nº de divisores positivo = (2 + 1)·(2 + 1) = ímpar}

Observe que um quadrado perfeito apresenta, quando fatorado em fatores primos distintos, apenas expoentes pares e, com isso, pela regra dos expoentes, teremos:

Nº de divisores positivos = (expoente + 1) · (expoente + 1) ...

(expoente + 1)

= (ímpar).(ímpar). ... . (ímpar)

= ímpar

Logo, fi carão abertos os armários cujos números são quadrados perfeitos. São eles:

12_{= 1; 2}2_{= 4; 3}2_{= 9; 4}2_{= 16; 5}2_{= 25; 6}2_{= 36; 7}2_{= 49; 8}2_{= 64;}

92_{= 81 e 10}2_{= 100}

Portanto, 10 armários fi carão com as portas abertas. Resposta correta: Item E

25. É fácil ver que os número do último quadro são: (22013_{- 1), 2}2013

e (22013_{+1). Assim, o produto procurado é:}

(22013_{– 1) · (2}2013_{+1) = (2}2013₎2_{– 1}2

= 24026_{– 1}

Resposta correta: Item E

26. Sendo a_n o número de pregadores utilizados quando se tem n lençóis em um varal, temos a PA de razão 3:

(4, 7, 10, ..., an, ...) Daí, obtemos:

a₉ = 4 + (9 – 1) · 3 = 28 e a₃ = 4 + (3 – 1) · 3 = 10

Como 84 = 9·9 + 3, serão utilizados 9 varais, cada varal de 9 lençóis e mais 1 varal com 3 lençóis. Portanto, serão 9·28 + 1·10 = 262 pregadores.

27. Do gráfi co, temos que M(0) = 16 e M(150) = 4. Dentre as funções apresentadas nas alternativas, a única que satisfaz essas condições é M t

t

( )=24−75_{(Item A). Veja: M( )}₀ ₂4 ₂ ₁₆ 0 75 4 = − = = e M(150) 24 2 4. 150 75 2 = − = =

28. Sendo d a distância entre dois pontos destacados consecutivos, temos: Y X d d d d = + ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = = 10 3 2 1 6 10 9 1 60 8 60 2 15. Assim, obtemos: D X d D D D = + = + ⋅ = + = = 4 1 6 4 2 15 5 16 30 21 30 7 10

Resposta correta: Item D 29. 30 m 32 m x 24 m 56 m r T s 2 m Barreira Rio Teorema de Tales: x x x metros + =2 → + = ⋅ → = 30 32 24 2 30 4 3 38

30. Considere o diagrama seguinte relativo à situação-problema.

A T U x C 6% 1% 1% 3% 3% 2%

O total de adultos pesquisados corresponde a 100%. Assim, devemos ter:

11% 3% 2% 1% 100% 83%,

A

x x

(5)

Portanto, 83% dos 200000 adultos pesquisados não usam nenhuma das trocas mencionadas, ou seja:

83 200000 83

100 200000 166 000

%⋅ = ⋅ = .

31. Se queremos a maior pontuação, devemos evitar grupo com três fi chas de cores diferentes, pois sua pontuação é extremamente baixa. Sendo a, b, m, v e p fi chas amarela, branca, marrom, verde e preta, respectivamente, podemos ter:

vvv; aaa; bbv; vam ⇒ 8 + 8 + 6 + 1 = 23 (não é a maior pontuação) Uma possível distribuição com pontuação máxima (sem pontuação mínima 1):

vvv; aav; aap; bbm ⇒ 8 + 6 + 6 + 6 = 26 Resposta correta: Item D

32.

Manhã Tarde

n(M ∪ T) = n(M) + n(T) – n(M ∩ T) 20 = 15 + 10 – n(M ∩ T)

n(M ∩ T) = 5

Assim, de um total de 20 pessoas, 5 trabalham os dois turnos. Daí: Probabilidade = 5 20 5 5 20 5 25 100 25 = ⋅ ⋅ = = %

33. De acordo com o enunciado, temos: I) Despesa total igual a R$ 67,00:

5x + 5y + 4 · 3 = 67 ⇔ x + y = 11 ⇔ y = 11 – x II) 89 unidades de frutas:

6x + y + 4 · 12 = 89 ⇔ 6x + y = 41 Substituindo (I) em (II):

6x + (11 – x) = 41 ⇔ x = 6

Portanto, foram compradas 6 · 6 = 36 maçãs. Resposta correta: Item C

34. Como cada petabyte equivale a 220_{gigabytes, então 3 petabytes}

equivalem a 3 · 220_{. Para determinarmos número (n) de DVDs}

devemos efetuar a divisão 3 2 4 20 ⋅ _{, veja} n= ⋅3 2 = ⋅ = ⋅ 4 3 2 2 3 2 20 20 2 18 Como 219_{= 2 · 2}18_{e 2}20_{= 4 · 2}18_{, então} 219_{= 2 · 2}18_{< 3 · 2}18_{< 4 · 2}18_{= 2}20_{⇒ 2}19_{< n < 2}20_.

35. Sendo x o número de abelhas no enxame, devemos ter:

x x x x _x x x _x x _x x x x x x 3 5 3 3 5 3 3 5 3 5 3 5 3 15 9 45 15 + + ⋅_ − _+ = + + − + = + + − + = −xx x = − = 45 45

Logo, há 45 abelhas no enxame. Resposta correta: Item C

36. A reta DA é perpendicular ao plano (ABFE). Assim, a reta AD forma 90° com qualquer reta desse plano, inclusive com a reta AF.

37. Sendo x o número de senhores que pagaram ingresso, o número de senhoras será (560 – x). Daí, devemos ter:

Arrecadação = x · 12 + (560 – x) · 10 = 6270 12x – 10x + 5600 = 6270

2x = 670

x = 335 (nº de senhores) Assim, 560 - x = 225 (nº de senhoras).

Logo, 335 - 225 = 110 senhores a mais que senhoras. Resposta correta: Item E

38. Como as velocidades dos navios são constantes, se com meia hora eles percorrem y e x quilômetros, com uma hora eles andarão o dobro, 2y e 2x quilômetros. Como os triângulos são semelhantes, temos: BC = 2.(15 km) = 30 km.

Resposta correta: Item C 39. I) 18 0 5 18 0 5 9 = y → =y ⋅ = km , , II) x2_{+ 9}2_{= 15}2_{⇒ x = 12 km}

Assim, o navio C percorre, em uma hora, 2x = 24 km. Logo, a sua velocidade é de 24 km/h.

40. A criança ganhou dois picolés de cada sabor, que podem ser representadas por:

B, B, M, M, C, C

Qualquer permutação desses seis elementos com repetição de 2, 2, e 2, é uma maneira diferente de consumir os seis picolés. Logo, o número total de modos distintos de consumir os picolés será: P62 2 2 6 2 2 2 90 ( , , ) ! ! ! ! . = ⋅ ⋅ = Resposta correta: Item B

(6)

41. Sendo x o número de vértices com 3 arestas, temos: I) 2A = 5 · 2 + 4 · 4 + x · 3 2A = 26 + 3x II) V = 2 + 4 + x V = 6 + x III) V + F = A + 2 2V + 2 F = 2A + 4 12 + 2x + 30 = 26 + 3x + 4 42 – 30 = 3x – 2x x = 12 Logo, 2A = 26 + 3.(12) A = 13 + 18 A = 31

42. Temos uma função da forma Q(t) = at + b, na qual temos: I) Para t = 0 (ano 2010):

Q(0) = 49 ⇒ a(0) + b = 49 ⇒ b = 49 II) Para t = 10 ( ano 2020):

Q(10) = 44 ⇒ 10a + 49 = 44 ⇒ a = −1 2 Logo, Q t( )= −1t+ .

2 49

43. Sendo f(x) e g(x) os volumes em litros nos reservatórios A e B, respectivamente, após x horas, temos:

f(x) = 720 – 10x g(x) = 60 + 12x X = x₀ ocorrerá quando:

f(x) = g(x) ⇒ 720 – 10x = 60 + 12 x ⇒ 660 = 22 x ⇒ x = 30 Logo, x₀ = 30 horas

44. O tetraedro é o poliedro de quatro faces, aquele que, na tabela, está associado ao fogo.

45. O octaedro regular (oito faces) está associado ao ar. Ele apresenta, em torno de um mesmo vértice, 4 faces em forma de triangulo equilátero (veja fi gura dada). Daí, a soma procurada será:

Soma = 4·(60°) = 240° Resposta correta: Item B

46. O cubo tem 6 faces e 8 vértices. Assim, de acordo com o texto, o seu conjugado (ou dual) deverá ter 6 vértices e 8 faces (octaedro).

Octaedro Resposta correta: Item A

47. O volume da caixa é dado por

V x x x V x x x x V x x x = ⋅ − ⋅ − = ⋅ − − + = − + ( ) ( ) ( ) 8 2 10 2 80 16 20 4 80 36 4 2 2 3

48. Sendo x, y e z as medidas do comprimento, largura e altura, o volume inicial é V = x.y.z. Para dobrar esse volume, ou seja, para obter 2·v = 2xyz, basta dobrar uma das dimensões. Veja:

2V = (2x)·yz = x·(2y)·z = x·y·(2z) Resposta correta: Item D

49. Considere o gráfi co seguinte relativo à situação-problema, no qual A é ponto de lançamento.

y 200 A -20 -10 10 20 P 0

Queremos calcular a altura f(–10). Para isso, sabemos que f(x) = a·( x – x₁)·(x – x₂), em que x₁ = –20 e x₂ = 20 são as raízes, ou seja f(x) = a·(x + 20 )·( x – 20). Daí, temos:

I) O gráfi co passa no ponto (0, 200):

f(0) = 200 → a·(0 + 20)·(0 – 20) = 200 → –400a = 200 → → a = –1/2

II) f(x) = –1/2 · (x + 20) · (x − 20) f(10) = –1/2 · (30)·(–10) f(10) = 150 metros Resposta correta: Item D

50. A base é um hexágono regular de 4 m de lado e a altura mede 10 m. Assim, temos: Área da base = 6 4 3 4 24 3 2 2 ⋅ = m Volume = 24 3 10 240 3_⋅ ₌ _m3 Resposta correta: Item E

51. Considere a fi gura seguinte relativa ao problema, em que AC = 80 m e AB = 60 m.

C

E D

(7)

Sendo AD = y e AF = x, da semelhança dos triângulos ABC e DEC, obtemos: CD CA DE AB y x y x y x = ⇔80₈₀− = ⇔ − =₆₀ 80 80 ⇔ = − 60 80 4 3. Logo, a área do terreno destinado à construção da casa será:

A x AD A x x x A x x x ( ) AF ( ) ( ) = ⋅ = ⋅_ − _ = − ⋅ + 80 4 3 4 3 80 2

Portanto, a área máxima ocorrerá quando x for a’ abscissa do vértice, ou seja: x b a = − = − ⋅ − = 2 80 2 4 3 30 ( )

. Daí, a área máxima será:

A(30) 4 m

3 900 80 30 1200 2400 1200 2

= − ⋅ + ⋅ = − + =

Resposta correta: Item D 52.

I) O gráfi co de B₁ passa nos pontos (0, 100), (z, 75) e (t, 0): Coefi ciente angular = 100 75

0 100 0 0 4 − − = − − ⇒ = z t t z

II) O gráfi co de B₂ passa pelos pontos (0, 90), (z, 75) e (t + 2, 0): Coefi ciente angular = 90 75

0 90 0 0 2 6 2 − − = − − +

(

)

⇒ = − z t t z

Assim, temos: 6z – 2 = 4z → z = 1 e t = 4 · (1) = 4 horas. Resposta correta: Item D

53.

I) Verdadeira. A frequência cardíaca, em segundos, é o inverso do período: 1 2 8 3 1 3 4 4 3 π π          

= = , (batimentos por segundos)

Logo, em 1 minuto (60 segundos), temos 60 · (4/3) = 80 batimentos por minuto.

II) Verdadeira. Veja:

P( ) cos cos c 2 100 20 8 3 2 100 20 16 3 100 20 = − ⋅_ ⋅ _ = = − ⋅ _ _ = = − ⋅ π π oos 2 2 4 3 100 20 1 2 110 ⋅ +       = = − ⋅ −_ _= = π π mmHg

III) Falsa. A amplitude da função é de 20 mmHg Resposta correta: Item B

54. Rol (21, 22, 25, 25, 26, 30, 40, 40) Média Aritmética: 21 22 25 25 26 30 40 40 8 229 8 28 625 + + + + + + + ₌ ₌ _,

Moda: 25 e 40 (espaço bimodal) Mediana: 25 26

2 25 5

+ ₌ _,

Resposta correta: Item A 55. Acompanhe a fi gura abaixo.

20 m h h h h 40 m 50 m 0,5 m 0,5 m 20 m20 m 0,4 m H

Podemos estabelecer, através da semelhança entre os triângulos, a seguinte proporção: 50 20 40 16 cm m cm h h m = ⇒ =

Resposta correta: Item D 56. De acordo com o texto a leitura:

do mês anterior foi: 1876 kWh do mês atual: 2354 kWh

Assim, o consumo do mês foi: 2354 – 1876 = 478 kWh Resposta correta: Item B

57. Como o cone e o cilindro têm a mesma capacidade, o volume da parte vazia do cone (V₁) corresponde ao volume da parte cheia do cilindro; e o volume da parte cheia do cone (V₂) corresponde ao volume da parte vazia do cilindro. Usando a semelhança do cone maior (funil todo) com o cone menor (parte do funil ainda com óleo), devemos ter:

V V V H H V V V V V V V V 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 8 7 + ₌          ⇒ + ₌

_{( )}

_⇒ ₌ ₊ _⇒ ₌ A Parte vazia: V₂ Parte cheia: V₁ B Assim, a parte cheia do cilindro (V₁) será 7 vezes a sua parte vazia (V₂). Veja como fi ca no cilindro:

(8)

58. Devemos ter por base as taxas de aprovação de cada fi scal, isto descarta os itens A e D.

• Probabilidade de aprovação com A: 50% • Probabilidade de aprovação com B:

45% (1a_{tentativa) + 50% de 50% (2}a_{tentativa com A como}

fi scal defi nitivo) = 45% + 25% =70% Probabilidade de aprovação com C:

60% (1a_{tentativa) + 50% de 10% (2}a_{tentativa com A como}

fi scal defi nitivo) = 45% + 25% = 70% Resposta correta: Item B

59. Total de resultados possíveis para 10 lançamentos:

2 2 2 2 2 1024

10

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =... =

vezes

Número de casos favoráveis:

• 8 caras e 2 coroas: C10 8 C2 2 10 8 2 1 10 9 2 1 45 , , ! ! ! ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = • 9 caras e 1 coroa: C10 9 C11 10 9 1 1 10 , , ! ! ! ⋅ = ⋅ ⋅ = ou • 10 caras: C_10,10 = 1

Assim, temos 45 + 10 + 1 = 56 casos favoráveis, num total de 1024 casos possíveis. Logo, a probabilidade pedida será: probabilidade = 56

1024 7 128 =

60. Sejam u, c e I os custos respectivos dos passeios de ultraleve, cavalo e lancha. Assim, podemos escrever o sistema:

II I u c u c 3 2 4 158 4 3 5 225 + + = + + =

{

Queremos determinar o valor de: 3u + c + 5 Se fi zermos 5 I – 3 II, teremos:

− + + = − − − = −

{

+ + = 3 5 15 10 20 790 12 9 15 675 3 5 115 II I u c u c u c Resposta correta: Item E

61. Nota-se que cada soma é igual ao quadrado do termo central (maior termo). Assim, N = 20152_{e, portanto,}

N= 20152 =2015 5 13 31= ⋅ ⋅ _{(três fatores, divisores, primos} positivos)

62. Como as estacas estão igualmente espaçadas, a distância, em metros, entre duas estacas consecutivas deve ser divisor comum de 52 = 22 _{· 13 e 117 = 3}2 _{· 13. Assim, o número de estacas}

será mínimo quando a distância entre as estacas for máxima, ou seja, a distância entre duas estacas é o MDC(52, 117) = 13 metros. Daí, temos:

N de estacas Per metro dist ncia entre as estacas º ( = = = + + + í â 52 117 52 1117 13 338 13 26 ) m m = = Quantidade de fi o = 8·(perímetro) = 8·(338 m) = 2704 m Resposta correta: Item C

63. Considere o diagrama de Venn relativo ao enunciado, em que x é o valor pedido. y B P L x z w 0 0 13

Nesse diagrama, temos que: I) y + z + w = 19

II) (y + z + w) + x + 13 = 37 ⇒ 19 + x + 13 = 37 ⇒ x = 5 Resposta correta: Item A

64. A tabela apresenta o triângulo de Pascal, cujo elemento da linha de número n e coluna de número p é dado por _n_p_{ =}_{p n p}n

− ! !( )!. No caso, queremos 15₁₃ 15 13 2 15 14 2 105    = = ⋅ = ! ! ! Resposta correta: Item C

65. Para o algarismo das unidades da senha de d algarismos temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7 ou 9); e para cada um dos outros (d – 1) algarismos temos 10 possibilidades. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de senhas é igual a: 10 10 10 5 10 5 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − − ... (d )vezes d

Por outro lado, o guarda gasta 2,5 h = 2,5 · 60 · 60 seg = 9000 seg para digitar todas as senhas, sendo 1,8 seg para cada senha. Assim, número total de senhas é igual a:

9000 1 8 90000 18 5000 seg seg , = =

Logo, devemos ter:

10d–1_{· 5 = 5000 ⇒ 10}d–1 ₌5000

5 ⇒ 10d–1 =103 ⇒ ⇒ d = 4 (quadrado perfeito)

66. Como o valor da barra de chocolate é 540 centavos, inicialmente pagávamos:

540

180 3

centavos

g = centavos/grama

Depois da redução no “peso”, passamos a pagar: 540

150 3 6

centavos

g = , centavos/grama Logo, houve um aumento de 3 6 3

3 0 6 3 0 2 20 100 20 , _{− = +} , _, _% = = =

Ou, usando regra de três: Centavos/g Porcentagem 3 ... 100 0,6 ... x 3 0 6 100 ₃ ₆₀ ₂₀ , = X ⇒ x= ⇒ =x

Logo, houve um aumento exato de 20% Resposta correta: Item B

(9)

67. Temos que:

I. r + 10 = 30 ⇒ r = 20 cm

II. A panela é um cilindro de raio da base r = 20 cm e altura h = 10 cm. Logo, seu volume será:

V = πr2_{h ⇒ V ≅ 3,14 · 20}2 _{· 10 cm}3_{= 3,14·400 · 10 cm}3₌

= 12560 cm3

Como 1cm3_{= 1 mL e 1 L = 1000 mL, obtemos:}

V = 12560 mL = 12,56 L Resposta correta: Item D

68. Fixando os exercícios 1 e 4 nas extremidades, qualquer permutação dos outros 8 elementos, 22333444, com repetição de 2, 3 e 3, é uma série diferente desejada.

1 22333444 4 82 3 3 P, , Logo, são P82 3 3 2 8 2 3 3 8 7 6 5 4 3 2 3 2 3 560 , , ! ! ! ! ! ! = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

69. Temos que a seguintes possibilidades:

Duas vermelhas e uma azul: C_9,2 · 7 = 36 · 7 = 252 Duas azuis e uma vermelha: C_9,2 · 7 = 36 · 7 = 252

Portanto, o tempo total será de 252 + 252 = 504 segundos. Como cada minuto tem 60 segundos, dividindo 504 por 60, obtemos quociente 8 e resto 24, ou seja, 504 segundos equivalem a 8 minutos e 24 segundos. Daí, x = 8 e y = 24. Resposta correta: Item B

70. Sendo o gráfi co uma reta, a receita é da forma R(x) = ax + b, onde R(0) = b = 0 e R(20) = 20a = 20000. Assim, a = 1000 e, portanto, R(x) = 1000x. Para x = 1, temos:

Receita: R(1) = 1000 reais

Custo: C(1) = 900(1) + 50 = 950 reais Logo, o lucro será: 1000 – 950 = 50 reais.

Assim, a porcentagem do lucro absoluto (50 reais), em relação à receita é: Lucro ceita Re = = = % 50 1000 5 100 5 Resposta correta: Item A 71. Sendo 0 < a < 1, tal que− =h a

2 log , devemos ter 10

h a n 2=log10+ ( )_. Daí, temos: I. − =h a ⇒ − =a h 2 log10 10 2 II. h a n h _{a n} 2= 10 ⇒102= + + log( ) Substituindo, obtemos: 10 10 10 1 10 2 2 2 2 h h h h n n = − + ⇒ = +

Fazendo k= 10h2_{, fi camos com:} k k n k nk k n n = + ⇒1 − 1 0= ⇒ = ± +4 2 2 _– 2 Como k= 10h2_{> 0, teremos:} 10 4 2 10 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 h _n _n h _n _n h n n = + + ⇒ = + + ⇒ ⇒ = + + log log log Portanto, h= ⋅2 n+ n +4 2 2 log

72. Calculando as áreas de cada uma das pizzas, tem-se: Pizza broto inteira → π · 152_{= 225π}

Pizza gigante interna → π · 202_{= 400π}

Utilizando a regra de três, pode-se escrever: 225π → 27 400π → x Daí, 27 225 400 27 9 16 48 x = ⇒ x = ⇒ =x π π

Logo, uma pizza grande inteira custa 48 reais e cada um de suas 10 fatias custará 48:10 = 4,80 reais.

73. Água da primeira mistura: 26% de 40 L = 0,26 · 40 = 10,4 L Água da segunda mistura: x% de (70 – 40) L = x

100· 30 = 0,3x Água da mistura fi nal: 33% de 70 L = 0,33 · 70 = 23,1 L Daí, temos que:

10,4 + 0,3x = 23,1 ⇒ 0,3x = 12,7 ⇒127

3 ≅42 3, Logo, a porcentagem procurada é mais próxima de 42% Resposta correta: Item C

74. Temos:

Em A: x + z = 20 Em B: 2x + y = 20 Em C: 2x + 4 = 2y + z

Devemos então resolver o sistema: S x z I x y II x y z III : ( ) ( ) ( ) + = + = − + + =     20 2 20 2 2 4

De (I) menos (III), obtemos:

3x – 2y = 20 – 4 ⇒ 3x – 2y = 16 (IV) De 2 · (II) mais (IV), obtemos:

7x = 40 + 16 ⇒ x = 8 ⇒ y = 4 e z = 12

Logo, o menor fl uxo é de y = 4 litros por minuto. Resposta correta: Item B

(10)

75. Sendo x retiradas de um copo, y retiradas de 2 copos (y copos desperdiçados) e z retiradas de 3 copos (2z copos desperdiçados), devemos ter:

I. Total de copos: x + 2y + 3z = 100

II. Copos desperdiçados: y + 2z = 35% de 100 = 35 III. y z y z k y_z k_k = ⇒ = = ⇒3

{

₌= 2 3 2 3 2 Daí, obtemos: y + 2z = 35 ⇒ 3k + 4k = 35 ⇒ k = 5⇒

{

y_z_{= ⋅ =}= ⋅ =_{2 5 10}3 5 15 Daí, temos: x + 2y + 3z = 100 ⇒ x + 30 + 30 = 100 ⇒ x = 40 Logo, são 40 retiradas de um copo.