Tópico D mtm B PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Tópico D – mtm B

PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA

Progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante chamada razão da progressão geométrica.

Progressão Geométrica

Definição

Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e

cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? Resolução: a₁ = P q = 1,12 a_n = a₁ . qn-1 a_n = P . (1,12)n-1 a₀ = P q = 1,12 a_n = a₀ . qn a_n = P . (1,12)n ERRADO

Progressão Geométrica

Definição

Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e

cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? População Inicial P Após 1 ano x 1,12 1,12.P Após 2 anos (1,12)².P Após n anos x 1,12 (1,12)n_.P . . . . . . Resolução:

Exemplo 1: (MAA) A população de um país é hoje igual a P e

cresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos? E se decresce 12% ao ano. Qual será a população desse país daqui a n anos ? População Inicial P Após 1 ano x 0,88 O,88.P Após 2 anos (0,88)².P Após n anos x 0,88 (0,88)n_.P . . . . . .

Progressão Geométrica

Definição Resolução:

PG crescente PG constante q = 1 PG decrescente PG oscilante q < 0 a₁ = 0 ou q = 0 Ex.: (2, 4, 8, 16, ...) Ex.: (100, 100, 100...) Ex.: (- 2, - 4, - 8, - 16...) Ex.: (1, -3, 9, -27...) Ex.: (0, 0, 0, 0...) PG singular

Progressão Geométrica

Classificação a₁ > 0 e q > 1 a₁ > 0 e 0 < q < 1 Ex.: (18, 6, 2, 2/3...) a₁ < 0 e 0 < q < 1 Ex.: (- 25, - 5, - 1, ...) a₁ < 0 e q > 1

Progressão Geométrica

Classificação

Exemplo 2: Classifique como Verdadeiro ou Falso.

( ) “...taxa de crescimento de 100%...” trata-se de uma PG crescente com q = 2.

( ) “...taxa de crescimento de 0%...” trata-se de uma PG constante com q = 0.

( ) “...taxa de decrescimento de 30%...” trata-se de uma PG crescente com q = 0,3.

( ) Em toda PG oscilante a razão é negativa.

V F

F V

    

q

x, x, xq

 PG de 3 termos PG de 4 termos PG de 5 termos        

x x

_{, , xq, xq³}

q

q³

       

x x

_{, , x, xq, xq²}

q

q²

Progressão Geométrica

Notações Especiais

(

2

)

ou

x, xq, xq

Exemplo 3: (FGV) Três números cuja soma é 248 e a diferença entre o terceiro e o primeiro é 192 estão em PG de razão igual a: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

Progressão Geométrica

Notações Especiais Resolução: (x, xq, xq2₎     

q

x, x, xq



+

x x+xq = 248

q

x

xq- = 192

_q

x + xq + xq2 _{= 248} xq2 _{– x = 192} Não é a melhor maneira de resolver.

Exemplo 4: (UFAL) O produto dos três primeiros termos de uma PG é 216. Se a razão dessa progressão é - 3, o quinto termo é: a. 162 b. 54 c. 18 d. – 54 e. - 162

Progressão Geométrica

Notações Especiais Resolução: x3 _{= 216}     

q

x, x, xq



. .

x x xq = 216

q

x = 6 a₂ = 6 a₅ = a₂ . q3 a₅ = 6 . (- 3)3 a₅ = 6 . - 27 a₅ = - 167 Gabarito: e

Exemplo 5: (Escola Naval) A soma de três números em PG

crescente é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro, eles passam a formar uma PA. Calcule-os :

PA (6)² = (7 – r)(6 + r) 36 = 42 +7r – 6r - r² r² - r – 6 = 0 r₁ = - 2 r₂ = 3 x – r + x + x + r = 18 x – r + x + x + r = 18 3x = 18 x = 6 PG (1 + 6 – r, 6, 6 + r) PG (7 – r, 6, 6 + r) (7 - (3), 6, 6 + 3) (4, 6, 9)

Progressão Geométrica

Notações Especiais Resolução: (x – r, x, x + r)

a_n e-nésimo termo a₁ n termo q razão primeiro termo a_n = a₁ . qn - 1

Progressão Geométrica

Termo Geral da PG Exemplos: a) a₁₀ = a_{3 . q}7 b) a₁₀ = a₇ . q3 c) a₁₀ = a₁₂ . q-2

Exemplo 3: (UDESC) Sabendo que a₄ + a₆ = 160 e a₇ + a₉ = 1280, calcule : a) A razão da PG b) a₂ a₇ + a₉ = 1280 a₄.q³ + a₆.q³ = 1280 q³(a₄ + a₆) = 1280 a₂(q² + q4_{) = 160} a₂(2² + 24_{) = 160} a₂.20 = 160 a₂ = 8 a) b) a₂.q² + a₂.q4 _{= 160} q³. 160 = 1280 q³ = 8 q = 2

Progressão Geométrica

Termo Geral da PG Resolução:

Numa PG finita (a₁, a₂,…, a_{n - 1}, a_n), os termos a₂, a₃, a_{n – 1} são chamados de meios geométricos da PG.

Progressão Geométrica

Interpolação Geométrica

Inserir, ou interpolar, K meios geométricos entre dois números a e b, nessa ordem, significa determinar a PG de K + 2 termos com o primeiro termo igual a a e o último termo igual a b.

Exemplo 4: (UDESC) Qual a razão quando interpola-se

geometricamente 6 termos entre 3 e 384.

PG (3, a, b, c, d, e, f, 384) a₁ a₈ a₈ = a₁ . q7 384 = 3. q7 q7 _{= 128} q= 2

Progressão Geométrica

Interpolação Geométrica Resolução:

Média Geométrica e Termo Médio

Exemplo 5: (UFRJ) Quatro números são tais que, o primeiro é

igual ao quarto, os três primeiros formam uma PA de razão 6 e os três últimos uma PG. Determine-os :

b² = a.c (x – r, x, x + r P.G. , x – r) (x – 6, x, x + 6, x – 6) (x + 6)² = x(x – 6) x² + 12x + 36 = x² - 6x 18x = - 36 x = - 2 (- 2 - 6, - 2, - 2 + 6, - 2 - 6) (- 8, - 2, + 4, - 8)

Progressão Geométrica

PA (a, b, c) Resolução:

Produto Equidistante a₃ . a₇ = a₄ . a₆ Produto de PG

Progressão Geométrica

a_m . a_n = a_x . a_y ⇔ m + n = x + y a₁ . a_n P_n = a₁ . a₂ . a₃. ... . a_n-2 . a_n-1 . a_n P_n = a_n . a_n-1 . a_n-2 . ... . a₃ . a₂ . a₁     _{_________________________} x (P_n)2 _{= a} 1 . an . a2 . an-1 . a3 . an-2 . ... . an-2 . a3 . an-1 . a2 . an . a1 a₁ . a_n a₁ . a_n a₁ . a_n a₁ . a_n (P_n)2 _{= (a} 1 . an)n n vezes

Produto Equidistante

Exemplo 6: (UFPR) Sabendo que a₄ . a₇ = 32 , o produto dos dez primeiros termos da PG é 2n_{. Calcule n.}

a₄ . a₇ = 32 a₁ . a₁₀ = 32 Produto de PG 2n _{= (32)}5 2n _{= (2}5₎5 n = 25

Progressão Geométrica

(P_n)2 _{= (a} 1 . an)n (P₁₀)2 _{= (a} 1 . a10)2 Resolução: 2n _{= 2}25

Soma e Produto de PG

Progressão Geométrica

∑

6

n = 1

=S

6

∏

6

n = 1

=P

6

Exemplos:

∑

20

n = 10

=S -S

20

9

20

9

P

=

P

∏

20

n = 10

∀ ≠ n 1 n a (q -1) S = _{q -1} , q 1 Finita Infinita ∞ a1 ∀ ≠ S =_{1- q}, q 1

Exemplo 7: (UFSC) Seja G = . Então o valor de G é 3 _{a. a. a...}9 27 a.

G = a1/3 _{. a}1/9 _{. a}1/27 _... G = a1/3 + 1/9 + 1/27 + ... Os expoentes formam uma PG infinita de razão 1/3. ∞ a1 S =_{1- q} = 31 1 1- 3 1 3 = 2 3 1 = 2 G = a1/2 _{= a} Correto

Progressão Geométrica

Soma de PG Resolução: = q 1 ⇒ S =n.a_{n 1}

Finita de termos iguais

Exemplo 8: (UNESP) No início de 2004, Fábio montou uma página

na Internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004 houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi:

a. 36 b. 24 c. 12 d. 16 e. 18 Gabarito: c n 1 n a (q -1) S = _{q -1} 6 1 a (2 -1) 756= 2 -1 . 1 756=a 63 1 a =12

Progressão Geométrica

Soma de PG Resolução: PG q = 2 n = 6 S₆ = 756

Exemplo 9: (UFSC) Suponha que um jovem ao completar 16 anos

pesava 60 kg e ao completar 17 anos pesava 64 kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 1/2, então ele nunca atingirá 68 kg.

Correto

Aumento anual de massa 64 – 60 = 4 (4, 2, 1, ½, ... ) ∞ a1 S =_{1- q} = 4 1 1- 2 4 = 1 2 = 8

A S_∞ indica o limite em que a soma dos termos chega. Mas ela nunca alcança esse valor.

60 + 8 = 68kg

Progressão Geométrica

Soma de PG

Uma sequência de números reais se denomina progressão geométrica de ordem superior se as diferenças entre termos sucessivos formarem uma PG.

Exemplo : 3, 5, 11, 29, ... 3 5 11 29 - 2 - 6 18 - PG de razão 3 29 = 2 + 6 + 18 + 3 a_n = S_{n – 1} + a₁

Progressão Geométrica

PG de Ordem Superior

Exemplo 10: (IME) Uma seqüência de gerações de uma

determinada bactéria são dados pelos números da progressão, considerando que o número 2 representa a primeira geração, calcule quantas bactérias teremos na oitava geração, sabendo que a sequência inicial das gerações foi : 2, 5, 11, 23, ...

2 5 11 23 - 3 - 6 12 - PG de razão 2 a_n = S_{n – 1} + a₁ a₈ = S₇ + a₁ 7 1 7 a (q - 1) S = _{q - 1} 7 S = 384 a₈ = 384 + 2 a₈ = 386 386 bactérias na 8ª geração. 7 7 3(2 - 1) S = 2 - 1

Progressão Geométrica

PG de Ordem Superior Resolução:

Relacionamento Juros X P.G.

Os montantes calculados através dos juros compostos podem ser interpretados como uma PG e sua representação gráfica é uma função exponencial.

Exemplo 11: UFSC | Sejam (a_n) uma progressão geométrica e (b_n)

uma progressão aritmética cuja razão é 3/10 da razão da progressão geométrica (a_n). Sabendo que a₁ = b₁ = 2 e que

a₂ = b₇ calcule a soma b₁ + b₂ +….+ b₇.

Progressão Geométrica: (a₁ , a₂ , a₃ , a₄ ,…) razão: q Progressão Aritmética: (b₁ , b₂ , b₃ , b₄ ,…) razão: r

a₂ = b₇ r = (3/10).q a₁q = b₁ + 6r 2q = 2 + 6. (3/10).q 2q – (9/5).q = 2 r = (3/10).10 10q – 9q = 10 q = 10 r = 3 1 7 7 (a + a )7 S = ₂ PA: (2 , 5, …, b₇) b₇ = b₁ + 6r b₇ = 2 + 6.3 b₇ = 20 (2 + 20)7 = _{2 = 77}

Progressão Geométrica

Resolução:

FIM