UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA

U

NIVERSIDADE

C

ATÓLICA DE

B

RASÍLIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ECONOMIA DE EMPRESAS

mestrado

MINORITY

GAMES

COM

TROCAS DE

INFORMAÇÕES

ATRAVÉS DE

ESTRUTURA DE

REDES

COMPLEXAS

Autor: Prof. Reinaldo Soares de Camargo

Orientador: Prof. Dr. Daniel Oliveira Cajueiro

MINORITY

GAMES

COM

TROCAS DE

INFORMAÇÕES

ATRAVÉS DE

ESTRUTURA DE

REDES

COMPLEXAS

BRASÍLIA

2006

Dissertação submetida ao programa de Pós-Graduação

Stricto Sensu em Economia de Empresas da Universidade Católica de Brasília para obtenção do Grau de Mestre.

Dissertação defendida e aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de mestre no programa de Economia de Empresas, defendida e aprovada, em 13 de março de 2006, pela banca examinadora constituída por:

________________________________________________ Prof. Dr. Daniel Oliveira Cajueiro

Orientador

________________________________________________ Prof. Dr. Bernardo Assunção Mello

________________________________________________ Prof. Dr. Roberto Fernandes Silva Andrade

BRASÍLIA

UCB

Marçal e José Eustáquio do Couto.

Incentivadores, guias e mestres sempre atentos e aplicados na minha formação acadêmica e profissional.

Aos Amigos Ademir Correa Neves e Joni Robert Saraiva Barth, amigos sinceros em todos os momentos.

Ao Grupo Odilon Santos e Constate Consultoria Tecnológica Ltda pelos incentivos concedidos.

R

ESUMO

Este trabalho tem como objetivo analisar a influência da troca de informações locais devido à presença de imitação em duas versões do modelo minority game: o minority game padrão e o grande canônico minority game. A idéia através dessa aproximação é considerar que alguns dos agentes que jogam o jogo imitam alguns de seus vizinhos que eles acreditam ser mais bem informados. A noção de vizinhança é construída por uma rede com uma das seguintes topologias: regular, aleatória, small-word e scale-free. Além disso, são construídos dois algoritmos para dirigir a imitação em cada versão do minority game. Enquanto no primeiro algoritmo a informação se restringe à vizinhança do agente, no segundo a informação flui para fora da vizinhança. Uma conclusão importante deste trabalho é que a cooperação dos agentes no minority game com imitação é menos eficiente do que a considerada sem a presença de imitação.

Palavras-chave: mercados financeiros, redes complexas, minority game, fatos estilizados, efeito manada, modelos baseados em agentes.

A

BSTRACT

This work aims at analyzing the influence of the exchange of local information due to herding behavior on two versions of the minority game model: the standard minority game and the grand canonical minority game. The idea behind this approach is to consider that some of the agents who play the game imitate some of their neighbors who are believed to be more informed than themselves. The notion of neighborhood is provided by a network with one of the following topologies: regular, random, small wor ld and scale-free. Furthermore, two different algorithms are provided to govern the herding behavior in each version of the minority game. While in the first algorithm the information is constrained to the neighborhood of the agent, in the second algorithm the relevant information flows out of the neighborhood. One important conclusion of this work is that the cooperation of in the standard minority game with herding behavior is less efficient than that one considered without the presence of herding behavio r.

Keywords: financial market, complex networks, minority game, stylized facts, herding behavior, agent-based model.

S

UMÁRIO RESUMO... vi ABSTRACT... vii LISTAS DE TABELAS... ix LISTAS DE FIGURAS... x CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO... 1

CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 8

2.1 MINORITY GAME... 8

2.1.1 Minority game como um modelo de mercado... 12

2.1.2 Minority game padrão... 12

2.1.3 Grande canônico minority game... 22

2.1.4 Regimes e fases no minority game... 26

2.2 REDES COMPLEXAS... 27

2.2.1 Definições e parâmetros das redes………... 29

2.2.2 Redes regulares……… 30

2.2.3 Redes aleatórias... 31

2.2.4 Redes small- world... 34

2.2.5 Redes scale- free….……….. 36

2.3 EFEITO MANADA………. 38

CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA... 41

3.1 Noções de vizinhança... 41

3.2 Algoritmo da imitação de estratégias... 42

3.3 Parametrização do minority game padrão... 44

3.4 Parametrização do grande canônico minority game... 45

CAPÍTULO 4 – RESULTADOS... 48

4.1 Minority game padrão (MG)... 48

4.2 Grande canônico minority game (GCMG)... 54

4.2.1 GCMG com redes regulares... 58

4.2.2 GCMG com redes aleatórias... 63

4.2.3 GCMG com redes small-world... 67

4.2.4 GCMG com redes scale-free... 70

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO... 75

L

ISTA DE

T

ABELAS

L

ISTA DE

F

IGURAS

Figura 2.1 _{A razão} 2 / N

 como uma função de 2 /m N ... 26

Figura 2.2 Uma típica rede regular que surge com n = 50 e k=2 ...…………...……... 30

Figura 2.3 Uma típica rede regular que surge com n = 50 e k=4 ...………... 31

Figura 2.4 Uma típica rede aleatória que surge p = 0.1 e n = 50... 33

Figura 2.5 Uma típica rede aleatória que surge p = 0.2 e n = 50... 33

Figura 2.6 Uma típica rede small-world que surge com p=0.1 e n=50 e k=2... 35

Figura 2.7 Uma típica rede small-world que surge com p=0.1 e n=50 e k=4... 36

Figura 2.8 Uma típica rede scale-free que surge com n = 50... 37

Figura 2.9 Uma típica rede scale-free que surge com n = 100... 38

Figura 4.1 A razão 2 / N  como uma função de2 /m N. Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede regular e o primeiro algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 50 Figura 4.2 A razão 2/ N como uma função de2 /m N. Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede aleatória e o primeiro algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 50 Figura 4.3 A razão 2 / N  como uma função de 2 /m N . Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede small-world e o primeiro algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 51 Figura 4.4 A razão2/ N como uma função de2 /m N. Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede scale-free e o primeiro algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 51 Figura 4.5 A razão 2 / N  como uma função de2 /m N. Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede regular e o segundo algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 52 Figura 4.6 A razão 2/ N como uma função de 2 /m N . Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede aleatória e o segundo algoritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 52 Figura 4.7 A razão 2 / N  como uma função de 2 /m N . Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede small-world e o primeiro algoritmo. Para N = 101; s = 2; T = 10000... 53 Figura 4.8 A razão2/ N como uma função de 2 /m N . Comparando o MG padrão com o MG modificado utilizando rede scale-free e o primeiro al goritmo. Para N = 101; s = 2 e T = 10000... 53 Figura 4 .9(a) GCMG: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 55

Figura 4.9(b)

GCMG: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 55

Figura 4.9(c)

GCMG: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 56

Figura 4.10(a)

GCMG: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=501, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 57

Figura 4.10(b)

GCMG: Função de distribuição de probabilidade: N=501, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 57

Figura 4.10(c)

GCMG: QQ-Plot da distribuição normal: N=501, T=500, m=3, s = 2 e r =4... 58

Figura 4.11(a)

GCMG com rede regular: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 10, primeiro algoritmo... 59

Figura 4.11(b)

GCMG com rede regular: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500,m=3, s = 2, r =4 e k = 10, segundo algoritmo... 60

Figura 4.11( c)

GCMG com rede regular: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 10, primeiro algoritmo... 60

Figura 4.11(d)

GCMG com rede regular: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 10, segundo algoritmo... 61

Figura 4.11( e)

GCMG com rede regular: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 10, primeiro algoritmo... 61

Figura 4.11(f)

GCMG com rede regular: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 10, segundo algoritmo... 62

Figura 4.11(g)

GCMG com rede regular: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e k = 2 e k=10, segundo algoritmo... 63

Figura 4.12(a)

GCMG com rede aleatória: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.1, segundo algoritmo... 64

Figura 4.12(b)

GCMG com rede aleatória: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.5, segundo algoritmo... 64

Figura 4.12( c)

GCMG com rede aleatória: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.1, segundo algoritmo... 65

Figura 4.12(d)

GCMG com rede aleatória: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.5, segundo algoritmo... 65

Figura 4.12(e)

GCMG com rede aleatória: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.1, segundo algoritmo... 66

Figura 4.12(f)

GCMG com rede aleatória: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4 e p=0.5, segundo algoritmo... 66

Figura 4.13(a)

GCMG com rede small-world: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=2 e p=0.2, segundo algoritmo... 67

Figura 4.13(b)

GCMG com rede small-world: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=16 e p=0.2, segundo algoritmo... 68

Figura 4.13(c)

GCMG com rede small-world: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=2 e p=0.2, segundo algoritmo... 68

Figura 4.13(d)

GCMG com rede small-world: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=16 e p=0.2, segundo algoritmo... 69

Figura 4.13(e)

GCMG com rede small-world: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=2 e p=0.2, segundo algoritmo... 69

Figura 4.13(f)

GCMG com rede small-world: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=16 e p=0.2, segundo algoritmo... 70

Figura 4.14(a)

GCMG com rede scale-free: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=1 e µ0=10, segundo algoritmo... 71

Figura 4.14(b)

GCMG com rede scale-free: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=10 e µ0=10, segundo algoritmo... 71

Figura 4.14(c)

GCMG com rede scale-free: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=1 e µ0=10, segundo algoritmo... 72

Figura 4.14(d)

GCMG com rede scale-free: Função de distribuição de probabilidade: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=10 e µ0=10, segundo algoritmo... 72

Figura 4.14(e)

GCMG com rede scale-free: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=1 e µ0=10, segundo algoritmo... ... 73

Figura 4.14(f)

GCMG com rede scale-free: QQ-Plot da distribuição normal: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=10 e µ0=10, segundo algoritmo... 73

Figura 4.15(a)

GCMG com todas redes: comportamento dinâmico dos preços x[t]: N=101, T=500, m=3, s = 2, r =4, k=2, µ0=10, p=0.2, segundo algoritmo... 74

Modelos baseados em agentes estão sendo amplamente utilizados nas ciências sociais aplicadas, em economia e em outras áreas do conhecimento humano. Enquanto agentes interagem diretamente com outros, estruturas globais emergem destas interações. Nesse contexto, uma pergunta importante que pode ser feita é como o comportamento global emerge das características individuais dos agentes?

Um aspecto particular desta pergunta deve ser o de compreender se o comportamento global está sendo determinado por agentes encontrados de uma média, ou se agentes distintos podem ter uma influência forte na macroestrutura. No último caso, tais agentes especiais assumiriam o papel de líderes e repassam suas estratégias para os outros participantes dos negócios. Em nosso trabalho, os líderes são os agentes mais bem informados em cada intervalo de tempo, ou seja, aqueles agentes que permanecem por mais tempo no lado minoritário. Os vizinhos do agente mais bem informado, conectados através de uma rede complexa, herdam suas melhores estratégias e as utilizam para fixar suas decisões para a próxima rodada dos negócios1.

Nestes últimos anos, uma das contribuições mais interessantes da física estatística para as ciências sociais, foi estudar a dinâmica e o comportamento coletivo de populações de agentes que competem por recursos limitados. Em particular o chamado minority game (MG), introduzido por Challet e Zhang (1997) como uma simplificação do “el farol bar problem” proposto por Arthur (1994), é um dos mais simples problemas de sistemas complexos desta

1

Neste trabalho, jogo e negócios são sinônimos, pois na realidade, o minority game é originalmente introduzido como um jogo. Porém, se visto como um modelo de mercado, as etapas do modelo são vistas como rodadas de negócios.

classe. O MG pode ser descrito do seguinte modo. A cada espaço de tempo, um agente que pertence a uma população de tamanho N, escolhe uma entre duas ações adversárias a =1. No mercado financeiro, por exemplo, +1 significa comprar e -1 vender um ativo financeiro. Considerando que os recursos são limitados, o objetivo de cada agente é escolher o lado compartilhado pela minoria da população. O difícil é que cada agente não sabe o que os outros escolherão. O agente decide sua próxima ação baseado num conjunto de tamanho m contendo a informação global, que é a sucessão dos últimos resultados do jogo, dito ser a memória dos agentes. Então, não há melhor solução para o problema. Por exemplo, os agentes não sabem qual é a melhor estratégia, onde uma estratégia define qual ação em cada estado, para lidar com o jogo. Desde que há só duas possíveis escolhas, o número de estados é dado por 2m e o número total de estratégias é dado por 2ponde p = 2m. Em Challet e Zhang (1997) cada agente tem um número de estratégias fixadas no início do jogo que não mudam com o passar do tempo. Desde que os agentes têm convicções diferentes, as estratégias diferem de agente para agente. A cada passo do jogo, os agentes utilizam suas estratégias de maior contagem. No modelo MG padrão, os agentes devem escolher entre duas ações a cada intervalo de tempo t, por exemplo, comprar ou vender seus ativos. Entretanto, no mercado real os agentes optam por escolher o melhor momento para negociar seus ativos a fim de obter maior lucro. Ou seja, nesse caso além das estratégias de comprar e vender, os agentes podem não executar nenhuma ação, esta propriedade é modelada pelo modelo grande canônico minority game.

O MG padrão apresentado acima foi muito bem estudado. Uma revisão destas tentativas pode ser encontrada em Coolen (2005) e Marsili et al. (2005). Uma das propriedades mais surpreendentes, primeiro apresentada em Savit et al. (1999), é um gráfico da razão 2 / N onde é a volatilidade do tamanho da freqüência que é uma medida global de eficiência do sistema, como uma função de 2 /m N de onde se conclui: (1) para valores pequenos de

2 /m N

 , os agentes obtêm resultados piores do que se eles tivessem tomando decisões puramente aleatórias; (2) para valores grandes 2 /m N , o desempenho dos agentes se aproxima da decisão aleatória; (3) há um valor crítico de= c onde os recursos do jogo são

usados do melhor modo possível, isto é, a relação 2 / N

 é o mínimo o qual sugere uma fase de transição de não equilíbrio, passando da fase chamada de memória-baixa para a fase de memória-alta. A fase de memória-baixa é caracterizada por uma diminuição em 2

/ N

 com

aumento em 2 /m N e a fase de memória-alta é caracterizada por um aumento em 2 / N  com aumento em 2 /m N ; (4) excluindo o caso trivial onde cada agente tem só uma estratégia, mudando o número de estratégias disponível para cada agente não muda qualitativamente o comportamento do MG.

Neste trabalho, nós introduzimos a troca de informações locais devido à presença de imitação em duas versões do minority game: o minority game padrão e o grande canônico

minority game. De fato, este não é o primeiro trabalho que apresenta a troca de informações

locais e interações locais em alguma versão do MG. Até onde nós sabemos, a primeira tentativa nesta linha foi desenvolvida por Paczuski et al. (2000) em que foi apresentada uma versão da rede de Kauffman que usa algumas regras do MG, onde cada agente recebia contribuição de um número fixo de agentes no sistema. Outras formulações de MGs com interações locais podem ser encontradas nas referências Savit et al. (1999) e Johnson et al. (2003).

Diferentemente dos outros citados acima, em nosso trabalho, a troca de interação local emerge da imitação dos agentes mais bem informados. Por exemplo, alguns dos agentes que jogam o jogo ou participam dos negócios, acreditam que alguns de seus vizinhos estão mais bem informados do que eles e imitam suas estratégias para o próximo intervalo de tempo. Este

fenômeno, chamado efeito manada, acontece quando um agente segue a decisão de outro cegamente. A teoria econômica, construída basicamente no raciocínio dedutivo, diz que isto é racional até mesmo quando os sinais de agentes “anteriores” sugerem decisões diferentes. Em nosso caso, um agente segue a estratégia de outro se ele acredita que há um agente mais bem informado que ele, e principalmente saiba precisar melhor qual será o lado minoritário. Na verdade, se muitos agentes seguem o agente mais bem informado da vizinhança, então, no futuro, o agente mais bem informado estará na maioria e não será seguido até que ele atinja a minoria novamente e tenha uma estratégia com escore elevado. Em nosso trabalho, nós investigamos como este tipo de política executada pelos agentes afeta a dinâmica do MG.

De fato, a influência de cada agente depende da rede de interações com outros agentes. A estratégia de cada agente pode ser representada como uma função que especifique um resultado de saída, para cada entrada possível. Por exemplo, as redes booleanas aleatórias, propostas por Kauffman (1993) são modelos clássicos discretos onde as estratégias dos agentes são representadas por uma função booleana simples. Mostra-se que a ordem global pode emergir das regras locais da rede. O estado de um agente é representado por um valor binário (1 ou 0), que representa se o agente está ou não conectado através de uma estrutura de rede. A conectividade do sistema e a polarização usada para as funções booleanas são parâmetros relevantes a fim de determinar a dinâmica estatística da rede. Na maioria dos casos, as redes de interações são fixas. Entretanto, é natural considerar a situação em que a rede de interações evolui dinamicamente se adaptando à estrutura global.

A estrutura de rede small-world foi utilizada por Wang e Zhang (2005) num modelo microscópico simples de mercados financeiros baseados na propagação da opinião com a finalidade de simular a dinâmica dos mercados. Antes do início das transações financeiras são

escolhidos aleatoriamente os líderes de mercado, que são vistos como fontes de informações financeiras. Estes agentes líderes podem ser vistos como investidores profissionais ou alguém que possua alguma informação importante sobre o mercado. As opiniões dos agentes líderes são seguidas pelos outros agentes, conectados através da rede small-world, afim de fixarem suas estratégias de compras, vendas ou de inatividade no mercado. Muitos fatos estilizados das séries de tempo dos mercados financeiros reais são reproduzidos pelo modelo, incluindo a propriedade de multifractal. Uma comparação direta é feita com os fechamentos diários do índice do composto de ShenZhen.

As redes aleatórias também fazem parte da literatura econômica. Em particular, Lo et al. (2004) estudam o efeito das redes dentro de uma população competitiva como é o caso do

minority game onde a informação transmitida está corrompida. Eles mostram numericamente

e analiticamente que transmissões errôneas de dados geram uma abrupta transição global dentro de uma competição. Neste modelo, as informações locais são obtidas via conexões da estrutura de rede. Tais conexões podem ser fisicamente tangíveis (via telefone, internet ou estruturas biológicas) ou fisicamente intangíveis (rede sem fios ou trilhas bioquímicas). A conexão entre os agentes é dada no início do jogo com probabilidade p, portanto cada agente em média é conectado a outros com probabilidade p(N-1). Cada agente leva em consideração suas estratégias e as de seus vizinhos para fixar sua decisão.

Utilizando minority game como um modelo de competição dinâmica Anghel et al. (2004) investigam os efeitos da comunicação inter-agentes na evoluç ão global do jogo. A comunicação do agente através de uma rede conduz à formação de uma rede de influência, que pode ser acoplada dinamicamente à evolução do jogo e é responsável pelo fluxo de informação que dirige as ações dos agentes. Essa rede de influência desenvolve

espontaneamente centros com larga distribuição em graus, definindo uma estrutura robusta de rede scale-free. Além disso, nas escalas realísticas dos parâmetros, facilitadas pela troca de informações na rede, os agentes podem atingir um grau elevado de cooperação que gera quase a máxima eficiência coletiva.

Os objetivos gerais deste trabalho são estudar o comportamento dinâmico das versões modificadas dos modelos minority game padrão e grande canônico minority game com a implementação da troca de informações através da imitação de estratégias. Em cada intervalo de tempo, os agentes imitadores deixam de lado suas estratégias para utilizar as de seus vizinhos mais bem informados pensando ter mais chances de acertar a ação vencedora. Estes entendem que seus vizinhos mais bem informados têm maiores possibilidades de continuarem no lado minoritário devido à sua performance no passado recente. A dinâmica de imitação é modificada a todo o momento e depende fundamentalmente da quantidade de imitadores de um agente bem informado. Por exemplo, um agente que é seguido por vários outros, poderá atingir o lado majoritário e deixar de ser seguido por alguém. Neste caso, no próximo intervalo de tempo este agente passa a ser seguidor. A noção de vizinhança é fornecida por uma rede estática construída antes das simulações do minority game. Um dos quatro seguintes tipos de redes é considerado: (1) rede regular; (2) rede aleatória; (3) rede

small-world e (4) rede scale-free. Enquanto as redes regular e aleatória são usadas como

referências, as redes small-world e scale-free são usadas por apresentarem topologias capazes de simular situações de interações sociais (CAJUEIRO, 2005).

O modelo grande canônico minority game, até onde nós conhecemos, não possui uma medida de eficiência como é o caso da curva de volatilidade do minority game padrão.

Por isso a análise de seus resultados fica um tanto quanto prejudicada, assim sendo, devemos considerá-la somente como ilustração de um modelo de mercado.

Este trabalho está disposto em cinco capítulos. No primeiro apresentamos a introdução. No segundo a revisão bibliográfica. No terceiro a heurística utilizada. No quarto os resultados. Finalmente, no quinto as conclusões.

2. R

EVISÃO

B

IBLIOGRÁFICA

Neste capítulo será apresentado o principal referencial teórico necessário para o entendimento desse trabalho. Na seção 2.1, o minority game será abordado. Na seção 2.2, uma revisão da teoria de redes complexas será apresentada. Finalmente, na seção 2.3 será discutido o efeito manada.

2.1. M

INORITY GAME

(MG)

Várias extensões do MG padrão foram derivadas ao longo dos últimos anos. Apresentaremos a seguir as principais contribuições de diversos autores para o modelo MG que estão diretamente relacionadas com esse trabalho.

O minority game (MG) surgiu na literatura através do trabalho de Challet e Zhang( 1997). Eles introduziram e analisaram um jogo binário, onde N jogadores escolhem entre dois lados independentes e o lado minoritário é declarado vencedor. Os jogadores, ou agentes econômicos, utilizam um conjunto finito de estratégias pré-definidas para tomar suas decisões. Os agentes se baseam num conjunto de informações passadas, chamada de memória dos agentes, para tomar suas decisões para o próximo passo do jogo.

Uma nova aproximação para o estudo do comportamento complexo do MG é dada por Mansilla (2000) que usando ferramentas de complexidade algorítmica, entropia física e teoria da informação, mostra que a complexidade física e a função de informação mutua

dependem fortemente do tamanho da memória dos agentes e produzem mais informações sobre a característica complexa dos resultados de saída do jogo do que da própria volatilidade.

O estudo numérico e analítico do modelo MG é discutido por Johnson et al. (1999) que apresenta os resultados para dois modelos, o modelo MG e o bar attendance model, os quais oferecem paradigmas simples para um mercado competitivo. Ambos os modelos caracterizam agentes heterogêneos com racionalidade limitada agindo com raciocínio indutivo. A auto-satisfação é crucial para o entendimento de flutuações macroscópicas ou volatilidade nos resultados dinâmicos desses modelos.

Diferentes versões do MG num modelo artificial de agentes comprando e vendendo mercadorias são analisadas por Rodgers e D’ Hulst (1999). A distância de Hamming1 entre as estratégias usadas pelos agentes para fixar suas decisões é introduzida como uma ferramenta para determinar diversas propriedades desses modelos. A taxa de sucesso de um agente numa versão adaptativa de um jogo é comparada com a taxa para uma versão estocástica. É mostrado numericamente e analiticamente que o processo adaptativo é ineficiente e incrementa a taxa de sucesso das estratégias não usadas enquanto decrementa a taxa de sucesso das estratégias usadas. Os agentes são forçados a utilizarem estratégias permanentes. Uma versão do jogo onde as estratégias evoluem também é analisada utilizando a noção de distância. Os agentes evoluem para um estado onde todos usam uma estratégia a qual rende a taxa máxima de sucesso.

Um modelo de economia aberta composto por produtores e especuladores é investigado por simulações numéricas em Slanina e Zhang (1999). O fluxo de capital flui do

1

A distância de Hamming é uma conveniente medida de distância entre duas estratégias. Define a quantidade de bits que devem ser alterados para ir de uma estratégia para outra. Por exemplo, a distância de Hamming entre ----e ++++ é p= 4. Enquanto a Hamming distanc----e ----entr----e ---- ----e --++ é p= 2.

ambiente para os produtores e deles para os especuladores. É verificado que as flutuações de preços são suprimidas pelos especuladores. Quando a agressividade dos especuladores cresce, há uma transição do regime com lucro quase certo a um regime muito arriscado em que uma fração muito pequena dos especuladores têm ganhos estáveis. O mínimo da flutuação dos preços ocorre perto da transição.

Usando um minority game Challet et al. (2000) estudam uma grande classe de problemas de mecanismo de mercado. Eles investigam o papel dos diferentes tipos de agentes: produtores, especuladores e também comerciantes ruidosos. O principal assunto é o fluxo de informação. Produtores alimentam a informação endogenamente, os especuladores o fazem exogenamente. Cada agente depende das condições do mercado. Às vezes existe muito ganho com pouco esforço ou pouco ganho com muito esforço. O impacto de mercado é mostrado como um papel importante. Embora o minority game seja um modelo de mercado extremamente simplificado, ele responde a muitas questões que surgem em mercados reais.

Em seu trabalho Johnson et al. (1999) exploram várias extensões do minority game padrão. Na tentativa de ganhar introspecção nos mercados financeiros dinâmicos subjacentes, eles consideram uma população heterogênea onde comerciantes individuais empregam diferentes horizontes de tempos quando tomam suas previsões baseadas em dados históricos. Os resultados médios de sucessos por comerciantes é uma função altamente não linear da composição das populações. Isto pode causar grandes flutuações no volume de participantes do mercado e no preço de mercado resultante.

Uma população em desenvolvimento cujos membros individuais (agentes) adaptam seu comportamento de acordo com a experiência passada, é de fundamental importância em

várias disciplinas (JOHNSON et al., 1999). Por causa de seus conhecimentos e potencialidades limitados, os agentes são forçados a tomar suas decisões baseadas no indutivo mais que no dedutivo, ou seja, pensando. O trabalho mostra que uma população de agentes competindo com potencialidades e conhecimentos similares tenderão a auto-segregação, se opondo aos grupos caracterizados pelo comportamento extremo onde agentes cautelosos executam mal e tendem a tornarem-se raros.

Uma função de pagamento variável dependendo do tamanho do grupo minoritário é introduzida por Li e Savit (2000). O trabalho mostra que a estrutura de fase e o comportamento escalar geral do minority game padrão persiste quando a função de pagamentos depende do tamanho do grupo minoritário. Eles também discutem o comportamento da riqueza dos agentes comuns à distribuição de riqueza nestes jogos de pagamentos variáveis.

Uma visão geral sobre física estatística de redes neurais gerando e analisando séries temporais é feita por Kinzel e Metzler (2000a). Esses autores também discutem a capacidade de armazenamento e geração de seqüências e predição de erros do minority game. Em outro trabalho Kinzel e Metzler (2000b) apresentam uma variante do minority game onde os agentes vencedores permanecem com suas decisões, enquanto os perdedores modificam suas decisões com probabilidade p. São apresentados resultados analíticos para diferentes probabilidades e números de agentes. Discute também um modelo de existência de conectividade.

2.1.1. M

INORITY GAME

C

OMO

U

M

M

ODELO DE

M

ERCADO

Modelos baseados em agentes despertam interesses significativos em diversas áreas científicas. Cada vez mais se tornam populares as aplicações desses modelos em estudos de mercados financeiros. A motivação desse foco, no mercado financeiro, é pela riqueza dos dados que surgem como bons candidatos para estudos de sistemas complexos e a inadequação de modelos padrões da economia, baseados nas noções de equilíbrio e expectativas racionais. Em geral, esses modelos surgem para gerenciar e exibir algumas das propriedades estatísticas que são remanescentes daquelas observadas nos mercados financeiros do mundo real, os chamados fatos estilizados. Por exemplo, distribuições de retornos com caudas gordas, correlação da volatilidade no longo prazo e assimetria.

Apesar das diferenças, os modelos construídos apresentam as mesmas idéias chaves: retornos, frustrações, adaptabilidade e evolução. As pesquisas objetivam: i) gerar modelos baseados em agentes os quais reproduzem os fatos estilizados de um mercado financeiro e ii) fazer sentido no nível microscópico em termos da microestrutura do mercado financeiro. Enquanto cada um desses objetivos é tratado separadamente, a simples combinação de i) e ii) dentro de um simples modelo representa um fascinante desafio.

2.1.2. M

INORITY GAME

P

ADRÃO

(MG)

O modelo MG padrão foi originalmente introduzido por Challet eZhang (1997) como uma simplificação do problema conhecido como el farol bar attendance problem (MB) proposto por Artur (1994). No el farol bar problem uma população de agentes deve decidir

entre ir ou não ir a um bar popular na quinta-feira à noite. Todos os agentes gostariam de ir desde que o bar não estivesse lotado, por exemplo, com menos de 60% de sua capacidade. Assim, cada agente tem que tentar prever o que cada um dos outros agentes vão fazer. Suponha que os agentes que estão decidindo se vão ao bar ou não, tomem suas decisões baseadas no número de pessoas que apareceram nas últimas m semanas, onde m é a memória do agente. Se existem N agentes decidindo se vão ao bar ou não, então são possíveis N + 1 valores em cada semana. Isso gera (N + 1)mcombinações possíveis de informação sobre o

passado. Se as estratégias são baseadas nessa informação, então existem

 

 1 1

m

N

N   estratégias possíveis.

Existem nesse caso apenas duas possibilidades: ir ou não ir. As estratégias boas são: ficar em casa quando o bar atingir mais de 60% de lotação ou ir quando atingir menos de 60% de lotação. As estratégias ruins são: ir ao bar quando atingir mais de 60% de lotação ou ficar em casa quando atingir menos de 60% de lotação. Uma vez que as pessoas não se comunicam entre si, elas podem decidir aparecer aleatoriamente no bar ou utilizar algum tipo de previsão. Por exemplo, um modelo de previsão bem simples seria tirar a média de lotação das últimas quatro semanas. Esse seria um bom modelo de previsão? De fato, não existe um modelo de previsão correto. Pois se todos usarem esse modelo de previsão, ou todos irão ao bar ou todos ficarão em casa.

Segundo Challet et al. (2004b), uma característica interessante desse jogo é que os agentes se auto -organizam em torno do ótimo. Por exemplo, considere que cada agente tem apenas um preditor escolhido aleatoriamente do grande conjunto de estratégias de tamanho

 

 1 1

m

N

N   . Isso é equivalente a sortear aleatoriamente a previsão de cada agente, para cada conjunto de informação do passado. Considere que a capacidade do bar é xN ( 0 < x < 1).

Uma vez que as previsões são distribuídas entre 0 e N, para cada conjunto de informação do passado, haverá aproximadamente xN presença menor que xN. Dessa forma, segundo suas previsões, apenas xN aparecerá no bar. Portanto, inteligência não tem relação com convergência para o ótimo. Entretanto, podemos associar a esse problema uma medida de ineficiência que é a variância dada nesse caso por Nx(1-x).

Em seu trabalho Challet e Zhang (1997) introduziram as seguintes simplificações no

el farol bar problem e chamou o modelo resultante de minority game: (1) ao invés de prever o

número de agentes que vai ao bar, prever apenas se o agente deve ir (1) ou não (-1) e (2) apenas guardar se o agente devia ter ido ao bar ou não; Com essas simplificações o número de estratégias se reduz bastante para 22M e o problema se resume à escolha do lado da minoria.

O modelo MG padrão consiste num modelo onde N agentes adaptativos participam de um “jogo” repetitivo lutando por recursos escassos. Os agentes possuem as mesmas informações globais e um número limitado de estratégias que são geradas aleatoriamente no início do jogo e permanecem inalteradas até o final. Para escolher suas estratégias os agentes participantes do jogo têm acesso a um conjunto de informações globais , comuns a todos, contendo a história passada recente chamada memória dos agentes. Neste modelo não existe o problema de informação assimétrica comum no mundo real, pois os agentes possuem acesso ao mesmo conjunto de informações. A formulação do modelo MG captura alguns dos fenômenos comportamentais que são tidos como de grande importância para os mercados financeiros; aqueles de competição, frustração, adaptabilidade e evolução. O modelo básico MG possui três parâmetros básicos: o número de agentes N, a memória dos agentes m e o número de estratégias de cada agente s.

De acordo com Johnson et al. (2003) o número de agentes deve ser ímpar para sempre obter um lado minoritário. Em casos extremos, tem se

 

N1 / 2 escolhendo uma estratégia que poderia ser ir ao bar ou não, contra

 

N1 / 2 escolhendo a outra. Para um número de agentes N=101, teríamos um lado com 50 agentes e outro com 51, nesse caso, cada um dos 50 agentes receberia uma recompensa por terem escolhido a estratégia minoritária ao passo que os outros agentes não receberiam nenhuma recompensa.

A memória m de um agente é formada por uma string binária da história global mais recente utilizada por uma estratégia para formar uma previsão como, por exemplo, 101110 onde 1 indica que o bar lotou e 0 indica que o bar não lotou. Cada agente recebe suas estratégias aleatoriamente no início do jogo e não pode alterá-las. Cada agente utiliza sua melhor estratégia para formar sua próxima previsão. Após serem feitas as previsões de todos os agentes, a história global então é alterada com a previsão do grupo minoritário.

Desde que consideremos os agentes com capacidades limitadas ou equivalentes, aqueles que só julgam informações pertinentes recentes, isto tem a conseqüência imediata. O número de estados possíveis de informações globais é finita e igual a P = 2m, para m = 2. Uma estratégia simples é composta por cada uma de 2mpossíveis “histórias” para uma predição. Assim, existem 2

2 mdiferentes estratégias binárias possíveis. Por exemplo, para m = 3, existem

23= 8 estratégias possíveis e o número total de 2 = 256 estratégias cada uma representando8 um estado possível. Uma estratégia é uma prescrição de ação para ser seguida no próximo passo do jogo, para o agente escolher entre 0 ou 1, baseado nas suas estratégias particulares, que é uma seqüência de m bites que foram observados até o ponto de tomada de decisão. Por exemplo, no caso onde os agentes têm m = 3, uma estratégia é definida como segue na tabela 2.1.

Histórias Ação 000 1 001 0 010 0 011 1 100 1 101 0 110 1 111 0

Tabela 2.1: Exemplo de estratégia com m = 3

A tabela 2.1, contém na coluna do lado esquerdo (histórias) as 8 combinações possíveis para a escolha da próxima ação de um agente, coluna do lado direito (ação), caso os agentes tiverem acesso somente aos 3 últimos resultados. Para fixar sua próxima estratégia, um agente localiza na coluna do lado esquerdo, a string que represente o que ocorreu nos três últimos intervalos de tempo. Por exemplo, suponha que a história recente tenha sido 101, para tomar sua decisão o agente identifica qual será sua próxima ação localizando a string da memória na primeira coluna da tabela 2.1 e sua ação será o valor correspondente na segunda coluna, ou seja, (0), o agente apostaria que o bar não iria lotar no próximo dia e iria ao bar.

Challet e Zhang (1997) oferecem possibilidades e paradigmas simples para um sistema contendo avaliações, frustrações e adaptabilidade. O minority game (MG) possui dinâmica notavelmente rica, simplicidade de sua estrutura binária e potenciais aplicações em diversos campos do conhecimento humano. O problema do MG descreve uma situação onde agentes competem entre si por recursos limitados. Se quisermos fazer uma analogia entre o problema do MG e mercados financeiros, precisamos responder as seguintes questões:

1. Qual é a informação global no mercado financeiro?

2. Como os agentes financeiros decidem comercializar os ativos? 3. Quando os agentes financeiros vencem?

4. Quais as propriedades mínimas que um mercado financeiro deve possuir que está faltando nesse arcabouço?

Existem claramente muitos tipos de informações disponíveis para os comerciantes . Por exemplo: história de preços, história de volumes de comercialização, história de rendimento de dividendos, dados de capitalização de mercado, notícias e relatório de empresas. Na realidade toda, alguma ou nenhuma dessas fontes de informação podem ser úteis na tomada de decisão de investimento para um ativo particular. Não é nosso interesse apontar a fonte de informação que seja realmente mais útil, nós simplesmente queremos saber quais fontes tendem ser as mais utilizadas pela maioria dos agentes dos mercados financeiros. Se pensarmos na maioria como ativos de mercados financeiros de ações, a resposta tem que ser seu preço. As mídias estão cheias de relatórios sobre o comportamento recente de preços. Semelhantemente, quadros de preços ocupam a maioria das telas das lojas de negócios. Parece então ser razoável que a informação global a qual os comerciantes se baseam para tomar suas decisões sejam a história passada dos preços do ativo financeiro de interesse.

O movimento de preços pode ser codificado com a utilização simples do alfabeto binário de 0s e 1s para descrever o passado histórico do preço de um ativo. Assim sendo, utilizaríamos 0 quando x t t

     

,  1 x t   x t 1 L t e 1 quando

     

, 1 1

x t t x t   x t L t

 . Neste caminho as informações globais representam uma

caricatura do passado histórico dos preços dos ativos com relação aos quantitativos L[t], que representa variáveis financeiras ou econômicas, podendo ser endógenas ou exógenas. Uma variável endógena poderia ser o movimento de um segundo produto financeiro sobre o qual o movimento do ativo de interesse é julgado, por exemplo, índice de mercado. Uma variável

exógena poderia ser a chegada de notícias externas. Em resumo, L[t] indica alguma medida de atratividade do estoque ou mercado de valores como um todo.

Considerando que agentes possuem capacidades limitadas. O número de possíveis estados de informações globais é finita e igual a P = 2m. Para m = 2, os únicos padrões dos movimentos de preços são: subir-subir, subir-descer, descer-subir, descer-descer, isso com referência a L[t] (medida de atratividade do mercado). Assim a história do preço dos ativos para m=2 se torna (11, 10, 01, 00), ou seja, a memória passada é denotada pelo decimal equivalente de 0s e 1s, tal que [t] {0 ... P – 1}, onde [t] é a representação binária da informação global dos agentes. Esta pode ser gerada pelo excesso de demanda do mercado, pois ela é a responsável pelos movimentos dos preços dos ativos. O excesso de demanda é dado pela diferença entre o número de ativos procurados e o número de ativos ofertados. Além disso, acredita-se que um excesso de demanda positivo forçará subida de preços e um excesso de demanda negativo forçará uma queda de preço.

No modelo MG, uma aproximação de primeira ordem razoável para o processo de formação de preço pode ser dada pelas equações2



 



 



ln x t ln x t   1 D t  / (2.1) ou

  

1 / x t _{     .}x t D t   (2.2)

Nas equações (2.1) e (2.2), D t[ ] (veja equação 2.4) representa o excesso de demanda do mercado no momento logo anterior a t, t representa o tempo quando o novo preço

2

x(t) é fixado e as ordens de compras e vendas são executadas erepresenta a sensibilidade do mercado quanto ao desequilíbrio entre ordens de compra e venda.

Os agentes observam um código de informações binárias comuns a todos representando os recentes movimentos dos preços dos ativos. Os agentes relembram apenas dos m bites mais recentes. Por isso, a informação global disponível para cada agente no tempo

t é dada por [t] , onde a notação decimal [t] {0 . . . P – 1} com P = 2m

. Cada livro de estratégia a_R contém seus elementos a_R. Esses elementos provêem uma ação {+1, -1} representando {comprar, vender}, para cada um dos possíveis P valores das informações globais . Há consequentemente 2P possíveis livros de estratégias. Ou seja, os agentes decidem comercializar seus ativos baseados na história recente dos resultados do mercado e de acordo com seu livro de estratégias.

Uma questão crucial que surge é como o agente faz para escolher qual de suas s estratégias de seu livro usar para que consiga comercializar eficazmente? Uma resposta fisicamente realista é a seguinte: Cada agente usa sua estratégia a qual seria a mais bem recompensada baseada na história passada do mercado. Para trabalhar esta saída, cada agente precisa manter um registro da taxa de sucesso SR[t] para cada uma das suas estratégias. Conseqüentemente, agentes diferentes que utilizam o mesmo livro de estratégias poderão tomar as mesmas decisões de investimento. Esta é uma característica fundamental do modelo a qual poderá levar às mesmas decisões de investimento um grande número de agentes sem nenhum tipo de comunicação entre eles.

No minority game os agentes recebem aleatoriamente suas estratégias no início da simulação do modelo e elas permanecem inalteradas até o final das simulações. O sucesso é definido pela estrutura de recompensa dada pela equação

 











_{ }

_{ }



1 1 1/ t 1 / 1

R R R

S t_{  } T S t _a D t_ __{ }L t

  . (2.3)

Na equação (2.3), S tR

 

1 representa a taxa de sucesso do agente no próximo

período de tempo, T o horizonte de tempo, S t_R



a taxa de sucesso atual, a_Rt a melhor estratégia do agente baseada na história recente,  o sinal da expressão [.], D t[( 1) ] a demanda do mercado para o próximo período momentos antes dos agentes fixarem suas estratégias, a sensibilidade do mercado e L t

 

1 representa a atratividade do mercado.

A demanda do mercado no momento imediatamente anterior à tomada de decisões dos agentes é dada por

 

1 ordem compra t_ [ ] ordem venda t_ [ ]

D t_ _n n . (2.4)

Na equação (2.4), D t_

 

1 _representa a demanda do mercado momentos antes dos agentes fixarem suas estratégias, n_{ordem compra t_ [ ]}o número de ordem de compras,

_ [ ]

ordem venda t

n

 o número de ordem de vendas.

O excesso de demanda é determinado pela agregação das tomadas de decisões individuais dos agentes. A informação global dita a decisão de investimento que cria uma

demanda. Então a demanda total cria nova informação global, e assim por diante. Essa forte avaliação é uma característica essencial dos mercados financeiros e como tal deveria ser considerado como um dos ingredientes essenciais para um modelo de mercado.

O modelo MG compreende um número N de agentes escolhendo repetidamente ao longo do tempo, entre opções de compra (1) ou de venda (-1) de ativos de riscos. Os agentes sempre se esforçam para obter suas melhores estratégias, por exemplo: comprar ativos quando todos querem vender ou vender quando todos querem comprar. Esta estratégia parece fazer sentido numa primeira inspeção. Um número maior de agentes vendendo forçará o preço dos ativos cair, e assim, assegura um baixo preço de compra o qual é favorável para a minoria de agentes que decidiram comprar, portanto o grupo foi o vencedor. Contudo, agora consideremos um cenário onde essa tendência se repete várias vezes. A minoria de agentes que tem comprado mais e mais ativos enquanto o preço cai, irá a cada intervalo de tempo aumentando os seus ativos que não valerão quase nada. Isto ocorre porque no modelo MG padrão, os agentes possuem somente duas opções comprar ou vender, e não podem se abster dos negócios.

Este paradoxo provocou muitas discussões sobre a adequabilidade do Modelo MG como a base de modelo microscópico do mercado financeiro. Consequentemente uma gama de modificações do MG tem emergido, todos se referindo a esse ponto de vista, porém de diferentes maneiras. Alguns modelos incluem a combinação de diferentes tipos de agentes, em particular, agentes que são recompensados por negociar na minoria e agentes que são recompensados por negociar na maioria (MARSILI, 2001).

2.1.3. G

RANDE

C

ANÔNICO

M

INORITY GAME

(GCMG)

No modelo MG padrão, os agentes devem escolher entre duas ações a cada intervalo de tempo t, por exemplo: comprar ou vender seus ativos. Entretanto, no mercado real, os agentes optam por escolher o melhor momento para negociar seus ativos a fim de obter maior lucro. Eles observam o mercado passivamente, mentalmente vão modificando suas várias estratégias, até que suas confianças superem um valor limiar, então eles surgem e fazem um negócio. Ou seja, nesse modelo além das estratégias de comprar e vender, é permitido ao agente não participar de negócios até que o mercado lhe seja favorável. A estrutura do

minority game foi generalizada por Jefferies et al. (2001) para incorporar a variável do

número de agentes ativos. Os agentes neste modelo generalizado, conhecido como ‘grand

canonical minority game’ (GCMG), possuem um nível de confiança r e somente participa dos

negócios se o escore de sua melhor estratégia for maior do que esse nível de confiança. Essa propriedade, onde os agentes somente participam quando eles estiverem suficientemente confiantes de sucesso, é um ingrediente crucial para construir um próspero modelo de mercado de multi-agentes.

O modelo GCMG possui seis parâmetros: o número de agentes (N), a memória de cada agente (m), o número de estratégias de cada agente (s), o escore mínimo que a melhor estratégia deve gerar para que o agente participe dos negócios (r), o horizonte de tempo (T) e o tamanho de incremento contra o qual os movimentos ativos são julgados L[t]. A dinâmica desse modelo é a seguinte:

Os agentes nesse modelo representam indivíduos financeiros ou instituições que são capazes de movimentar o mercado financeiro com suas ordens. Os números de agentes mais

comuns nas simulações do minority game são 101 e 501. Cada agente tem acesso a informações globais para tomar suas decisões, essas informações globais são limitadas a m bites da história do passado recente. Os valores mais comuns para memória dos agentes são: 3 e 6, ou seja, cada agente terá acesso aos três ou aos seis últimos resultados do mercado para tomar suas decisões de investimento para o próximo período. Para o caso de m=3, o número de estratégias de cada agente será 23= 8 e o número total de estratégias disponíveis, ou o livro de estratégias, será 28256. Já para o caso de m = 6, existem 26= 64 estratégias para cada agente e um livro com 2 = 1,8446x1064 19 estratégias.

Cada agente recebe no início do jogo s estratégias as quais são distribuídas aleatoriamente. Os agentes são adaptativos, ou seja, eles podem mudar suas estratégias em cada “jogada”, escolhendo aquela que lhe for mais favorável. Para o caso de s = 2, um exemplo de estratégia é s’ = {1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1} e s’’ = {1 1 1 1 1 1 1 -1}, no momento imediatamente anterior à tomada de decisão para a próxima etapa do jogo, o agente verifica qual das duas estratégias lhe garante a maior recompensa e fixa essa estratégia como sendo a sua melhor para o próximo período. Se o valor da recompensa dessa estratégia for menor do que a contagem mínima para participar, ele se abstém do jogo e fica aguardando uma melhor oportunidade para participar.

A contagem mínima para participar do jogo é r = 4. Segundo Johnson et al. (2003) esse valor representa um desvio padrão para o mercado de lançamento-moeda (coin-toss

market) com taxa de sucesso de SR = 0. O parâmetro L[t] o qual representa a atratividade do

mercado pode ser independente do tempo, mas por simplicidade, vamos assumir como constante e igual 0,001. Ressaltamos que L pode assumir qualquer valor real, inclusive zero. Finalmente, o intervalo de tempo em que o jogo é desenvolvido, ou seja, o tempo de

maturidade dos ativos no caso de um mercado financeiro. O horizonte de tempo mais comum é T = 500, ou seja, o jogo se repetirá por 500 períodos de tempo.

A função de retornos (pay-off) é dada pela equação

 





_{ }

_{ }



1 t 1 / 1

R R

g _t _a D t_ _L t . (2.5)

Na equação (2.5), a_Rt representa a melhor estratégia do agente baseada na história

recente, e pode conter (1=comprar, -1= vender),  o sinal da expressão [.], D t_

 

1 _a demanda do mercado por ativos,  a sensibilidade do mercado eL t

 

1 atratividade do mercado (benchmark).

A demanda por ativos no tempo imediatamente anterior é dada por

 

2



 1 1 P t R R R D t  n t a  _ _  



. (2.6)

Na equação (2.6), n t_R



é o número de agentes escolhendo seguir a sugestão de investimento do livro de estratégia R* no tempo t. Os agentes sempre usam seus livros de estratégias executando a mais alta delas, ou seja, S_R* max[{S_{R s}} ] porém somente participa

dos negócios se o resultado da sua melhor estratégia for maior do que a contagem mínima para que o agente participe r. Se S_R*r, então o agente não participa.

  

t 1 2 t PH



t P/ 2 H D t



 

1 / L t

 

1



   _ _

 

   _  _ _  _   . (2.7)

A equação (2.7) representa uma operação binária onde a cada intervalo de tempo, o bite mais a esquerda da informação global é substituído pelo último resultado do jogo. Em que, 

 

t1 representa a informação global disponível para o próximo período de tempo,



t

 a informação global atual, P o valor da informação global (P = 2m

), H[.] é uma função Heaviside, D t[( 1) ] representa a demanda do mercado momentos antes dos agentes fixarem suas estratégias, a sensibilidade do mercado eL t

 

1 representa a atratividade do mercado.

A riqueza inicial dos agentes é gerada de forma igualitária através da equação

(0) *

W N T (2.8)

Na equação (2.8), N é o número de participantes do mercado, T é número de períodos da simulação. No caso de um mercado de opção, T representa o tempo de maturidade do ativo. Escolhemos essa fórmula para a riqueza inicial para que não haja agente com riqueza negativa no decorrer dos negócios.

A riqueza dos agentes que participam dos negócios é atualizada a cada período de tempo, a riqueza dos agentes que não participam permanece a mesma, o que permite a alteração de agentes seguidos e de agentes seguidores. Este processo representa muito bem as oscilações de um mercado do mundo real, principalmente mercados de ações, onde a riqueza do agente pode sofrer modificações a cada momento dependente de suas estratégias de negócios. A riqueza dos agentes que participam dos negócios é dada por:

i i ( ) W (t-1) + g ( ) i

W t  t (2.9)

Na equação (2.9), gi(t) é pay-off do agente gerado pelo sucesso de sua melhor

estratégia, dada pela equação 2.5, W(t-1) é a riqueza do agente acumulada até o espaço de tempo imediatamente anterior.

2.1.4. R

EGIMES E

F

ASES NO

M

INORITY GAME

Savit et al. (1999) introduziram uma variável fundamental para o entendimento dos modelos minority game. Eles mostraram que as flutuações do modelo dependem apenas da variável 2 /m N , como mostra a figura 2.1.

Figura 2.1 -A razão2/ N como uma função de2 /m N .

a) Para valores baixos de , os agentes se comportariam pior do que tomassem decisões aleatórias. Isso ocorre, pois dado ao valor pequeno de m existem poucas estratégias disponíveis e dessa forma vários agentes, por falta de opção, utilizariam as mesmas estratégias.

b) Quandoaumenta o número de estratégias também aumenta até um valor crítico onde ocorre uma transição de fase. Essa situação mostra que agentes inteligentes podem se auto-organizar levando a uma alocação ótima de recursos.

c) Quandoaumenta mais ainda, o número de estratégias aumenta a um ponto que os agentes parecem estar se comportando de forma aleatória.

2.2.R

EDES

C

OMPLEXAS

Modelando diversas relações econômicas, especialmente na teoria das finanças, como um sistema complexo geralmente conduz a uma estrutura em que as unidades fundamentais: investidores, comerciantes, companhias e recursos estão conectados por relações bastante complicadas. Por exemplo, os investidores compartilham suas informações e tomam suas decisões coletivamente, os países do mundo estão ligados por relações comerciais através de operações de importações e exportações, ativos num mercado de valores estão mais ou menos fortemente correlacionados com outro. Cada um destes sistemas pode ser representado por uma estrutura de rede onde os vértices são as unidades econômicas e as conexões definem suas interações mútuas.

Uma aproximação tradicional para sistemas onde há interação de agentes é o campo médio, que consiste no tratamento de cada unidade como essencialmente equivalente e sujeita a influência média de todas as outras. A estrutura resultante é uma rede onde cada par de unidades é conectado, ou seja, um gráfico completo. Alternativamente, assume-se que a rede de interações possui estrutura regular ou aleatória. As propriedades de simetria introduzidas por estas suposições podem ser exploradas para reduzir o sistema complexo original para um mais simples e, portanto, mais tratável analiticamente.

Porém, estudos recentes como sãos os casos de Keller (2005) e Newman (2003) mostraram que a topologia de uma imensa classe de redes do mundo real, incluindo relações sociais e econômicas, é muito mais complexa que a de uma rede regular ou de uma rede puramente aleatória. Por exemplo, uma rede definida pelas correlações mais fortes de ativos num mercado de valores, a rede das relações de comércio internacional e a de participação entre as companhias possuem características topológicas bastantes semelhantes que não são exibidas por nenhum dos modelos de redes acima mencionados.

Uma dessas propriedades é a lei de potência de uma rede scale-free, ou distribuição do grau dos nós, que representa o número de conexões de um vértice, sinalizando que muitas unidades possuem poucas conexões com as outras, enquanto outras são altamente conectadas. Isto significa que a estrutura dos sistemas econômicos reais são altamente heterogêneos e suas unidades fundamentais não podem ser tratadas como equivalentes. Então modelos que focalizam essa dinâmica de preços, otimização de carteiras e condensação de riquezas tem que levar em conta a complexidade da rede interna.

A seguir, apresentaremos algumas estruturas de redes que podem ser utilizadas para modelar interações econômicas entre diversas entidades.

2.2.1. D

EFINIÇÕES E

P

ARÂMETROS DAS

R

EDES

.

Definição 1: Um gráfico G ou rede consiste num conjunto não vazio de elementos

chamados vértices, o número de vértice é denotado por n, e uma lista de pares não ordenados destes elementos chamados arestas, o número de arestas é denotado por M. O conjunto de vértices de um gráfico é chamado nós.

Definição 2: Uma matriz de adjacência A(G) de um gráfico é uma representação

matricial onde o termo Aijrecebe o valor 1, se existe uma aresta entre o vértice i e o vértice j.

Se não existe uma aresta entre o vértice i e j então Aij recebe valor 0.

Definição 3: A distribuição de grau dos nós de uma rede caracteriza a expansão do

grau do nó e dá a probabilidade de que um nó selecionado aleatoriamente tenha exatamente K extremidades.

Definição 4: O coeficiente de aglomeração de um gráfico G é dado pela média de

2.2.2. R

EDES

R

EGULARES

Redes Regulares são redes onde os nós, agentes ou entidades financeiras, são interligados de forma homogênea. O parâmetro k (par) identifica quantos nós são ligados antes e depois do nó em evidência, se k = 4, então serão interligados dois nós anteriores e dois nós posteriores ao nó em evidência.

Por exemplo, suponha que existam 50 nós em um arranjo circular e k=4, então o nó 1, estará conectado da seguinte maneira: 49  50  1  2  3. Já o nó 10 estará conectado: 8  9  10  11  12.

A figura 2.2, representa uma típica rede regular que surge com n = 50 e k=2.

Fig. 2.2: Uma típica rede regular que surge com n = 50 e k=2

Fig. 2.3: Uma típica rede regular que surge com n = 50 e k=4

2.2.3. R

EDES

A

LEATÓRIAS

A teoria de redes aleatórias foi introduzida por Erdos E Rényi (1959, 1960). Um algoritmo para a construção de uma rede aleatória pode ser construído no seguinte caminho. Inicie com n nós e considere que todos os pares de nós são conectados com probabilidade p. Consequentemente, o número total de arestas é uma variável aleatória com valor esperado

 





[ ] 1 / 2

E M p n n . Se G0 é um gráfico com n nós e M arestas específicas, a

probabilidade de obtê-lo é dada pela equação

 

 1 / 2 0

[ ] M 1 n n M

P G p p   . (2.10)

Na equação (2.10), p representa a probabilidade de conexão dos nós, (1-p) a probabilidade complementar de conexão, n o número de nós e M as arestas.

A distribuição do grau dos nós de uma rede aleatória foi derivada em Bollobás (1981). Em um gráfico aleatório com probabilidade p, a distribuição do grau do nó do gráfico aleatório com boa aproximação é dada pela distribuição binomial.

 

1 1 [ ] _nk k 1 n k P k C p_ p . (2.11) Na equação (2.11), 1 k n

C _ representa a combinação de n-1 nós tomados de k a k arestas e p é a probabilidade de conexão.

Por outro lado, o comprimento do caminho característico de um gráfico é dado por



 

ln ~ ln n l k (2.12)

Na equação (2.12), ln(n) representa o logaritmo natural do número de nós e ln

 

k o logaritmo natural do número médio de arestas.

E o coeficiente de aglomeração é dado por

~ k

C

n . (2.13)

Na equação (2.13), k representa o número médio de arestas e n o número de nós.

A figura 2.4 representa uma típica rede aleatória que surge com probabilidade de conexão p = 0,2 e número de nós igual a 50.

Fig. 2.4: Uma típica rede aleatória que surge com p=0.1 e n=50.

A figura 2.5 representa uma típica rede aleatória que surge com probabilidade de conexão p = 0.2 e número de nós igual a 50.

2.2.4. R

EDES

S

MALL

-

WORLD

A construção de uma rede small-world é dada como segue. Para uma população de N agentes, uma rede small-world de k vizinhos é construída inicialmente arranjando os agentes em uma rede regular onde cada agente é conectado com seus k vizinhos mais próximos. Um parâmetro q é então introduzido o qual gera as características geométricas da small-world. Em particular, q é a probabilidade que uma conexão existente numa rede regular é alterada por uma ligação com um agente aleatoriamente escolhido na população.

A estrutura de rede small-world pode ser derivada de outras estruturas de redes. Quando o valor da probabilidade de conexão q é zero, a estrutura de rede é conhecida como regular, quando essa probabilidade é maior que 0 e menor que 1, se obtêm a estrutura de rede

small-world, com probabilidade de conexão igual a 1 tem se a estrutura de rede aleatória.

A rede small-world possui várias características importantes, por exemplo, considere um agente j em uma rede possuindo kj vizinhos, entre essa kj vizinhança existem no máximo

 

1 / 2 j j

k k  ligações. Este é o caso limitado onde todos os agentes ligados ao agente k estão ligados entre si. Em uma rede small-world, se nós contarmos o número atual de ligações do aglomeração e dividirmos por k k_j

 

_j1 / 2 isto nos proporcionará a fração de todas as possíveis ligações originadas do agente j.

O papel da rede small-world no cenário financeiro ainda deve ser mais bem explorado. Por exemplo, poderia olhar para conexões entre agentes ou acionistas comuns em

companhias diferentes, ou diferentes setores do mercado e regiões geográficas, ou diferentes instrumentos financeiros , ou até mesmo fontes de notícias financeiras diferentes.

Uma vez que mercados financeiros envolvem a transmissão de informação e opinião compartilhada com a utilização da estrutura de rede small-world envolvendo um número grande de agentes, a rica e complicada conectividade entre agentes em uma rede small-world pode ter profundos efeitos na dinâmica dos mercados financeiros, e conduzir ao aparecimento do fenômeno conhecido como efeito manada.

A figura 2.6 representa uma típica rede small-world que surge com probabilidade de conexão p = 0.1, número de nós igual a 50 e k = 2.

Fig. 2.6: Uma típica rede small-world que surge com p=0.1, n=50 e k=2

A figura 2.7 representa uma típica rede small-world que surge com probabilidade de conexão p = 0.1, número de nós igual a 50 e k = 4.

Fig. 2.7: Uma típica rede small-world que surge com p=0.1, n=50 e k=4

2.2.5. R

EDES

S

CALE

-

FREE

As redes scale-free são caracterizadas por uma distribuição desigual de conectividades, o que torna alguns de seus nós altamente conectados influenciando sobre maneira a operação da rede.

A lei de potência observada nas redes reais foi pela primeira vez apresentada no trabalho de Barabasi e Albert (1999). O algoritmo desse modelo pode ser apresentado usando dois diferentes mecanismos:

 Crescimento: Comece com um número pequeno de nós (µ0), em todos os passos,

adicione um novo nó com k ( ≤µ0 ) arestas a qual conecta um novo nó com µ

 Conexão preferencial: Ao escolher um nó para o qual um novo nó ira conectar, a probabilidade de conexão é dada pela equação

 

i i j j k k k 



_

. (2.14)

Na equação (2.14),



 

ki representa a probabilidade de conexão de um nó, ki

representa o grau do nó i, kjrepresenta o grau do nó j.

Não existem predições analíticas sobre coeficiente de aglomeração. Entretanto, foi encontrado que segue uma lei de potência dada por

0.75 ~

c n

. (2.15)

Na equação (2.15), c é o coeficiente de aglomeração, n = quantidade de nós.

A figura 2.8 representa uma típica rede scale-free que surge com 50 nós.

A figura 2.9 representa uma típica rede scale-free que surge com 100 nós.

Fig. 2.9 : Uma típica rede scale-free que surge com n = 100

2.3.E

FEITO

M

ANADA

Segundo Scharfstein e Stein (1990) existem várias razões para um investidor ser influenciado a mudar sua decisão depois de observar as decisões de outros investidores. O primeiro motivo é informação assimétrica, os outros podem saber algo mais sobre o retorno do investimento e suas ações revelam estas informações. O segundo motivo, pertinente somente para gerentes de fundos, são os incentivos providos pelo esquema de compensação e cláusulas de emprego que podem ser tais que imitar é recompensado. Uma terceira razão para imitação é que os indivíduos podem ter uma preferência intrínseca pela conformidade.

Segundo Bikhchandani e Sharma (2001), quando os investidores são influenciados através das decisões de outros, eles podem tomar uma decisão de investimento que seja errada