Enquadramento CAPÍTULO II RENDAS CAPÍTULO II RENDAS. Cálculo Financeiro * Francisco Antunes. Cálculo Financeiro * Francisco Antunes

(1)

CAPÍTULO II

RENDAS

Cálculo Financeiro

* Francisco Antunes

CAPÍTULO II

RENDAS

Cálculo Financeiro

* Francisco Antunes 3

Enquadramento



Regime de Juro Composto



Sabe-se que utilizando o factor de

actualização (1+i)

-n

_{ou o de capitalização}

(1+i)

n

é possível movimentar no tempo um

capital de cada vez.



Mas e se forem 10 ou 30 ou

1.000? Pode dar uma trabalheira

enorme!!!

(2)

4

Conceito de renda



Conjunto de capitais (termos) que

ocorrem em intervalos de tempo iguais

(equidistância temporal).



Não interessa que os diferentes capitais

(os termos) sejam de igual montante.



A periodicidade da renda é definida pelo

período de tempo entre dois termos

consecutivos.

5

Conceito de renda



Para definir uma renda é preciso saber:

– o momento de referência;

– o momento de vencimento do primeiro

termo;

– o número de termos;

– o valor de cada termo;

– o intervalo de tempo (constante) entre os

termos.

6

Representação de uma renda

0

(origem)

1 2 3 (…) n-1 n

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Termos

(3)

7

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Valor actual de uma renda

V0= t1.(1+i)-1+ t2.(1+i)-2+ t3.(1+i)-3+ … + t(n-1).(1+i)-(n-1)+ tn.(1+i)-n

0 1 2 3 (…) n-1 n

8

t₁ t₂ t₃ (…) t_n-1 t_n

Valor acumulado de uma renda

Vn= t1.(1+i)(n-1)+ t2.(1+i)(n-2)+ t3.(1+i)(n-3)+ … + t(n-1).(1+i) + tn

0 1 2 3 (…) n-1 n

n

é o momento em que

ocorre o último termo

9

Tipos de rendas



Quanto à sua duração:

– TEMPORÁRIAS

 O número de termos é finito.

– PERPÉTUAS

 O número de termos pode ser considerado

ilimitado.

(4)

10

Tipos de rendas



Quanto à sua duração:

– TEMPORÁRIAS

– PERPÉTUAS

€12 €33 €34 (…) €45 €49 0 1 2 3 (…) n-1 n €12 €33 €34 (…) 0 1 2 3 (…) +∞ 11

Tipos de rendas



Quanto ao período da renda:

– INTEIRAS

 O período da renda corresponde ao período

da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).

– FRACCIONADAS

 O período da renda difere do período da taxa.

12

Tipos de rendas



Quanto ao período da renda:

– INTEIRAS

– FRACCIONADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal) 0 1 2 3 (…) 34 meses €2.000 €2.500 (i anual) 0 1 2 3 4 meses

(5)

13

Tipos de rendas



Quanto ao valor dos termos:

– CONSTANTES

 Todos os termos têm o mesmo valor.

– VARIÁVEIS

 Os termos têm valores diferentes:

– Sem regularidade matemática; – Com progressão aritmética; – Com progressão geométrica.

14

Tipos de rendas



Quanto ao valor dos termos:

– CONSTANTES

– VARIÁVEIS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 €1.000 €750 €320 (…) €238 0 1 2 3 (…) 103 15

Tipos de rendas



Quanto ao momento de referência:

– IMEDIATAS

 Coincide com a origem.

– DIFERIDAS

(6)

16

Tipos de rendas



Quanto ao momento de referência:

– IMEDIATAS

– DIFERIDAS

€1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 17

Tipos de rendas



Quanto ao vencimento dos termos:

– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

 Os termos vencem no final de cada período.

– ANTECIPADAS

 Os termos vencem no início de cada período.

18

Tipos de rendas



Quanto ao vencimento dos termos:

– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)

– ANTECIPADAS

€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000 0 1 2 3 (…) 34 35

€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 0 1 2 3 (…) 34 35

(7)

19

Quadro Resumo

20

Quadro Resumo

21

Não interessa!!!

(8)

22

Só nos interessam:



TEMPORÁRIAS ou PERPÉTUAS



CONSTANTES ou VARIÁVEIS



INTEIRAS

– basta converter a taxa das fraccionadas



IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS

– basta actualizar/capitalizar através de

(1+i)-

n

_/(1+i)

n

23

RENDAS TEMPORÁRIAS



TERMOS CONSTANTES

24

Valor actual: renda constante

V0= t1.(1+i)-1+ t2.(1+i)-2+ t3.(1+i)-3+ … + t(n-1).(1+i)-(n-1)+ tn.(1+i)-n

mas como t

1

= t

2

= t

3

= … = t

n-1

= t

n

vem que:

(9)

25

t₁ t₂ t₃ t₄ t₅

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor actual da renda no momento 0? ou

Qual é o capital equivalente no momento 0? 1) Considere uma taxa mensal de 2%

26

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o capital equivalente no momento 0? 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

27

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

(10)

28

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

29

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

30

Valor acumulado: r. constante

V

_n

= V

₀

.(1+i)

n

vem que:

(11)

31

Valor acumulado: r. constante

V

_n

= V

₀

.(1+i)

n

vem que:

V

_n

=

32

t1 t2 t3 t4 t5

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? ou

Qual é o valor da renda no final do prazo? 1) Considere uma taxa mensal de 2%

33

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor da renda no final do prazo? 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%

(12)

34

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor da renda no final do prazo? 2) Considere uma taxa mensal de 2%

35

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €100 €100 €100 €100

Qual é o valor acumulado da renda no momento 7? 3) Considere uma taxa mensal de 2%

36

Valor acumulado: r. constante

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100

Qual é o valor da renda no momento 70? 4) Considere uma taxa mensal de 2%

(13)

37

RENDAS TEMPORÁRIAS



TERMOS VARIÁVEIS

– Sem regularidade matemática;

– Com termos em progressão aritmética;

– Com termos em progressão geométrica.

38

TERMOS SEM REGULARIDADE



Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar)

termo a termo para a data de análise!

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%) 39 t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n-1 n r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r | (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

(14)

40

Valor actual com termos em PA

V0= t.(1+i)-1+ (t+r).(1+i)-2+ (t+2r).(1+i)-3+ … +

[t+(n-2).r].(1+i)-(n-1)_{+ [t+(n-1).r].(1+i)}-n

V

₀

=

41

t t+r t+2r t+3r t+4r

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

42

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €120 €140 €160 €180

(15)

43

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €90 €80 €70 €60

44

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €85 €70 €55 €40

45

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 … 69 70 meses €10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80

(16)

46

Valor acumulado em PA

V

_n

= V

₀

.(1+i)

n

vem que:

V

_n

= =

47 t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-2) _t.r(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n-1 n r é a RAZÃO da progressão geométrica

48

Valor actual com termos em PG

V0= t.(1+i)-1+ (t.r).(1+i)-2+ (t.r2).(1+i)-3+ … +

[t.r(n-2)_].(1+i)-(n-1)_{+ [t.r}(n-1)_].(1+i)-n

(17)

49

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41

50

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41

51

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

(18)

52

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 7 meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 53

Valor acumulado em PG

V

_n

= V

₀

.(1+i)

n

vem que:

V

_n

= =

54

Caso particular da PG

r =(1+i)

0 1 2 3 4 5 6 7 €100 €110 €121 €133,1 €146,41

Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1) r = 1+ 0,1 = 1,1

(19)

55

RENDAS PERPÉTUAS



TERMOS CONSTANTES

0 1 2 3 4 5 … 100 meses €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000

1) Calcule o valor actual do último termo: 1.1) Considere uma taxa mensal de 10% 1.2) Considere uma taxa mensal de 20%

56

Valor actual: renda constante

V

₀

=

Como (1+i)

-∞

_{→ 0, vem que}

57

Valor actual: renda constante

V

₀

=

(20)

58

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

59

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

60

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …

(21)

61

Valor actual: renda constante

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €100 €100 €100 …

62

RENDAS PERPÉTUAS



TERMOS VARIÁVEIS

– Com termos em progressão aritmética;

– Com termos em progressão geométrica.

63

t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …

TERMOS EM P. ARITMÉTICA

0 1 2 3 4 5 … n ∞ r é a RAZÃO da progressão aritmética

A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r | (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)

(22)

64

Valor actual com termos em PA

V

₀

=

Como (1+i)

-∞

_{→ 0, vem que}

65

t t+r t+2r t+3r t+4r …

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

66

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €120 €140 €160 €180 …

(23)

67

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 ∞??? meses €100 €90 €80 €70 €60 …

68

Valor actual com termos em PA

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses €100 €120 €140 €160 …

69

t t.r1 _t.r2 _t.r3 _t.r4 _{… t.r}(n-1)

TERMOS EM P. Geométrica

0 1 2 3 4 5 … n ∞ r é a RAZÃO da progressão geométrica

(24)

70

Valor actual com termos em PG

V

₀

=

[r ÷ (1+i)]

∞

_{→ 0, apenas se r < (1+i)}

71

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses €100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

72

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 ∞ meses

(25)

73

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 ∞ meses

€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …

74

Valor actual com termos em

PG

0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses