Fernando M. A. Henriques
COMPORTAMENTO
HIGROTÉRMICO DE
EDIFÍCIOS
COMPORTAMENTO HIGROTÉRMICO DE EDIFÍCIOS
Preâmbulo
O domínio das ciências ligadas ao comportamento dos edifícios, em particular no que se refere às questões da higrotérmica entendida como o conjunto das questões de térmica e da acção da humidade, é cada vez mais um factor de grande importância nos tempos actuais. Longe vai o passado em que o conhecimento da física das construções era efectuado de uma forma muito simplificada, seguindo de perto o pouco relevo e desenvolvimento que as matérias ligadas às ciências da construção mereciam em Portugal. O aumento das preocupações com a qualidade e, em particular, as questões ligadas à sustentabilidade e economia de energia foram progressivamente alterando esse estado de coisas, em boa parte através da publicação de legislação progressivamente mais avançada sobre as características térmicas dos edifícios. Na bibliografia em língua portuguesa não se encontram até à data publicações que tratem simultaneamente das questões relacionadas com a ciência base da transmissão de calor, da sua aplicação ao caso específico dos edifícios e dos aspectos relacionados com a presença e efeitos da humidade. É essa lacuna que se pretende colmatar com a presente publicação, a qual tem como âmbito preferencial, embora não exclusivo, o meio académico relacionado com a engenharia civil e as ciências da construção.
Aos técnicos do presente e, por maioria de razões, do futuro não basta um conhecimento aproximativo destas matérias, muitas vezes restrito à simples aplicação mecânica dos regulamentos existentes e do software disponível. É fundamental o conhecimento dos mecanismos que estão na base do desempenho higrotérmico dos edifícios, como forma de dominar a aplicação das várias soluções construtivas actuais e daquelas que possam ser desenvolvidas no futuro.
O presente trabalho contém as lições de higrotérmica leccionadas desde 1997 pelo autor no âmbito do curso de engenharia civil da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, procurando fornecer aos leitores os elementos informativos adequados para um domínio aprofundado das matérias. O projecto de escrita destas lições foi desenvolvido ao longo dos anos - existindo várias versões parcelares que foram produzidas em diversas alturas com objectivos de apoio pedagógico - tendo sido concluído na versão actual, o que não inviabiliza que outros melhoramentos não possam ser introduzidos em revisões futuras.
Espera-se que o material existente possa ser útil para a formação dos alunos das áreas relacionadas com a engenharia civil e com a construção, ou de todos aqueles que nele encontrem formas de melhorar o seu conhecimento das matérias tratadas.
ISBN: 978-989-20-3993-0
Versão 11.5
SIMBOLOGIA
A área (m2)
A coeficiente de capilaridade (kg/m2.s1/2)
Bi número de Biot (adimensional)
Cm calor mássico (W/kg.K)
Cv calor volúmico (W/m3.K)
c calor específico (J/kg.K)
c velocidade da luz (m/s)
cp calor específico a pressão constante (J/kg.K)
d espessura (m)
E radiância ou poder emissivo (W/m2)
Ėg quantidade de energia gerada (W)
Ėin quantidade de energia transferida para um volume (W)
Ėout quantidade de energia transferida de um volume (W)
Ėst quantidade de energia armazenada num volume (W)
Fo número de Fourier (adimensional)
Fij factor de forma da superfície i para a superfície j (adim.)
f frequência (Hz)
G irradiação (W/m²)
g fluxo de vapor (kg/m2 ou kg/s)
Gr número de Grashof (adim.)
h condutância térmica (W/m2.K)
h constante de Planck (6,625x10-34 J.s)
hc condutância térmica por convecção (W/m2.K)
hr condutância térmica por radiação (W/m2.K)
hi condutância térmica superficial interior (W/m2.EC)
he condutância térmica superficial exterior (W/m2.EC)
1/hi resistência térmica superficial interior (m2.EC/W)
1/he resistência térmica superficial exterior (m2.EC/W)
Hr; n humidade relativa (%)
J radiosidade (W/m²)
Lv calor latente de evaporação (kJ/kg)
l comprimento (m)
Nu número de Nusselt (adim.)
Pv pressão parcial de vapor de água (Pa)
Pr número de Prandtl (adim.)
Pv,sat pressão de saturação de vapor de água (Pa)
q fluxo de calor (W/m2)
q’ fluxo de calor de geração interna (W/m2)
Q quantidade de calor (W)
Q' quantidade de calor de geração interna (W/m3)
R resistência térmica (m2.EC/W)
Ra número de Raleigh (adim.)
RT resistência térmica total (m2.EC/W)
Re número de Reynolds
RD resistência à difusão (m2.s.Pa/kg)
Rse resistência térmica superficial exterior (m2.EC/W)
Rsi resistência térmica superficial interior (m2.EC/W)
S sorptividade (m/s1/2)
Sc número de Schmidt (adimensional)
Sd espessura da camada de ar de difusão equivalente (m)
Sh número de Sherwood (adimensional)
s sucção ou pressão de sucção (Pa)
T temperatura absoluta (K)
t tempo (s)
U coeficiente de transmissão térmica (W/m2.EC)
u teor de humidade em massa (kg/kg)
V velocidade (m/s)
v concentração de vapor de água no ar (kg/m3)
xar humidade absoluta (kg/kg)
w teor de humidade(kg/m3)
α coeficiente de absorção
a difusividade térmica (m2/s)
β coeficiente de dilatação térmica volumétrico (1/K)
βp coeficiente de transferência de vapor superfície-ar para gradiente de
pressão (s/m)
βv coeficiente de transferência de vapor superfície-ar para gradiente de concentração de vapor (m/s)
g emissividade
θ temperatura (EC)
θ ângulo de contacto (º)
θs temperatura do ponto de orvalho (EC)
λ condutibilidade térmica do material seco (W/m.K)
λef condutibilidade térmica efectiva (W/m.K)
λw condutibilidade térmica do material húmido (W/m.K)
λ comprimento de onda (μm)
μ viscosidade dinâmica (N.s/m² ou kg/m.s)
μ factor de resistência à difusão de vapor (adim.)
ξ capacidade higroscópica específica (kg/kg.n)
ν viscosidade cinemática (m²/s)
δ permeabilidade (kg/m.s.Pa)
δ/d permeância (kg/m2.s.Pa)
ρ coeficiente de reflexão ou reflectividade
ρ massa volúmica (kg/m3)
σ constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8 W/m2.K4)
σ tensão superficial (N/m)
COMPORTAMENTO HIGROTÉRMICO DE EDIFÍCIOS
ÍNDICE DO TEXTO
Cap. 1 - Noções gerais de transmissão de calor
1.1 - Introdução . . . 1
1.2 - O consumo de energia em Portugal . . . 2
1.3 - Noções de transferências de calor . . . 5
1.3.1 - Condução . . . 7
1.3.2 - Convecção . . . 8
1.3.3 - Radiação . . . 10
Cap. 2 - Transmissão de calor por condução 2.1 - Condução . . . 13
2.2 - Equações de transmissão de calor . . . 14
2.3 - Condução unidireccional em regime permanente . . . 17
2.4 - Geração interna de calor . . . 21
2.5 - Condução em regime variável . . . 27
2.5.1 - Condições de sistema global . . . 27
2.5.2 - Condução unidireccional . . . 31
2.5.3 - Condução em sólidos semi-infinitos . . . 36
2.5.4 - Condução em corpos multi-dimensionais . . . 39
2.6 - Métodos numéricos na resolução da condução de calor . . . 41
2.6.1 - Condução em regime permanente . . . 41
2.6.2 - Condução em regime variável . . . 53
2.6.3 - Erros na utilização de métodos numéricos . . . 65
Cap. 3 - Transmissão de calor por convecção 3.1 - Introdução . . . 67
3.2 - Convecção forçada . . . 66
3.3 - Convecção natural . . . 75
3.3.1 - Convecção em situações correntes . . . 75
3.3.2 - Convecção natural em espaços fechados . . . 81
3.4 - Outras relações simplificadas . . . 84
Cap. 4 - Transmissão de calor por radiação 4.1 - Introdução . . . 89
4.2 - Radiação de corpo negro . . . 90
4.3 - Características das superfícies . . . 91
4.4 - Radiação solar e atmosférica . . . 103
4.5 - Factores de forma . . . 106
4.6 - Relações entre factores de forma . . . 113
4.7 - Transferências de calor por radiação . . . 119
4.8 - Radiação entre n superfícies . . . 126
Cap. 5 - Comportamento térmico de edifícios 5.1 - Preâmbulo . . . 137
5.2 - Situação do problema . . . 137
5.3 -Noção de coeficiente de transmissão térmica médio . . . 153
5.4 - Noção de ponte térmica . . . 157
5.5 - Perdas por ventilação . . . 161
5.6 - Vãos envidraçados . . . 162
5.7 - Quantificação global das perdas térmicas . . . 166
5.8 - Acção do sol . . . 167
5.9 - Desfasamento das transferências de calor devidas à inércia térmica . . . 176
5.10 - Influência dos elementos interiores na temperatura ambiente . . . 180
5.11 - Tecnologias solares passivas . . . 184
Cap. 6 - Transferências de humidade 6.1 - Introdução . . . 195
6.2 - Ar húmido . . . 197
6.2.1 - Quantificação da humidade do ar . . . 198
6.3 - Transferência de água líquida . . . 206
6.3.1 - Capilaridade . . . 206
6.3.2 - Lei de Poiseuille . . . 209
6.3.3 - Absorção capilar . . . 211
6.3.4 - Migração horizontal . . . 213
6.3.5 - Situação de associações de poros de secção variável . . . 214
6.3.6 - Migração vertical . . . 215
6.3.7 - Migração de água nos poros após interrupção do contacto com a água . . . 216
6.4 - Adsorção de vapor de água . . . 218
6.4.1 - Descrição dos fenómenos . . . 218
6.4.2 - Transferências de vapor no interior dos poros . . . 225
6.4.3 - Resistências superficiais na difusão de vapor . . . 227
6.5 - Transferência de vapor de água no ar . . . 231
6.5.1 - Mecanismos gerais . . . 231
6.5.2 - Efeitos da condensação ou secagem de uma superfície . . . 234
6.6 - Ventilação . . . 235
6.6.1 - Acção do vento . . . 235
6.6.2 - Diferenciais de temperatura . . . 236
6.6.3 - Efeito da ventilação no estado higrométrico do ar interior . . . 236
6.6.4 - Efeito da ocorrência de condensações . . . 240
6.7 - O modelo de cálculo Sharp Front . . . 241
6.7.1 - Situação de dois meios porosos em contacto . . . 243
6.7.2 - Caso de camadas múltiplas . . . 246
6.7.3 - Caso particular de n camadas . . . 247
6.7.4 - Resistências entre camadas . . . 247
6.7.5 - Camadas alternadas . . . 249
Cap. 7 - Aplicações dos mecanismos de transferência de humidade 7.1 - Introdução . . . 251
7.2 - Variações do estado higrométrico do ar . . . 251
7.3 - Condensações superficiais . . . 260
7.4 - Condensações internas . . . 264
7.5 - Influência do teor de água na condutibilidade térmica . . . 282
7.6 - Absorção de água por capilaridade . . . 284
7.7.2 - Ventilação por tiragem térmica . . . 293
7.8 - Secagem de uma superfície . . . 294
Cap. 8 - O clima de Portugal 8.1 - Introdução . . . 297
8.2 - Temperaturas e humidades relativas . . . 299
8.3 - Humidades absolutas . . . 299
8.4 - Humidade relativa e evaporação . . . 302
8.5 - Precipitação . . . 304
8.6 - Regime de ventos . . . 306
8.7 - Chuva incidente . . . 306
8.8 - Temperaturas de projecto . . . 311
8.9 - Geometrias de insolação . . . 311
8.9.1 - Definição das horas . . . 311
8.9.2 - Incidência solar . . . 314
8.9.3 - Palas de sombreamento . . . 317
8.10 - Radiação . . . 320
8.10.1 - Modelos de cálculo . . . 320
8.10.2 - Radiação em superfícies inclinadas . . . 323
Cap. 9 - Conforto em edifícios 9.1 - Introdução . . . 325
9.2 - Índices de conforto . . . 332
9.3 - Estimativa das condições de conforto . . . 339
9.3.1 - Predicted Mean Vote - PMV . . . 339
9.3.2 - Predicted Percentage of Dissatisfied (PPD) . . . 342
9.3.3 - Efeitos da poluição no conforto . . . 343
9.3.4 - Equações para estimativa do conforto . . . 344
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 345
ANEXO I - Conceitos matemáticos e físicos I.1 - Noção de derivada . . . 349
I.2 - Noção de derivada parcial . . . 350
I.3 - Noção de integração . . . 352
I.4 - Métodos numéricos para resolução de sistemas de equações . . . 353
I.4.1 - Método iterativo de Gauss-Seidel . . . 353
I.4.2 - Métodos de Gauss . . . 356
Capítulo 1
NOÇÕES GERAIS DE TRANSMISSÃO DE CALOR
1.1 - Introdução
A noção de comportamento higrotérmico de edifícios traduz o conjunto de fenómenos de natureza térmica ou relacionados com a humidade do ar que, em conjunto, influenciam e determinam o comportamento que as construções vão ter quando sujeitas à sua acção. As variações permanentes das condições ambientes e, sobretudo, as diferenças existentes entre os ambientes interiores e exteriores, conduzem a que esse comportamento seja muito variável e frequentemente difícil de prever. Essa realidade determinou que fossem usadas simplificações que viabilizassem a análise dos fenómenos de uma forma prática e exequível sem meios excessivamente sofisticados. Muito embora presentemente o desenvolvimento dos meios de cálculo automático tenha possibilitado a realização de simulações que seriam impensáveis num passado próximo para um utilizador comum, tal facto não inviabiliza que as simulações mais modestas efectuadas com as simplificações correntes não permitam igualmente obter resultados satisfatórios para a generalidade das situações. São aliás estes métodos simplificados que continuam a ser utilizados nas análises preconizadas nas normas e regulamentos internacionais aplicados aos edifícios.
A ciência da termodinâmica lida no essencial com estados de equilíbrio de energia, quantificando as quantidades de calor transferido entre dois desses estados sem atender ao tempo necessário para que o novo equilíbrio seja atingido. Mas no caso dos edifícios o que se torna necessário conhecer são os fluxos transferidos em sistemas que não se encontram em equilíbrio, o que se insere na ciência das transferências de calor.
A condição básica para que ocorram transferências de calor é a existência de diferenças de temperatura entre duas quaisquer zonas, sabendo que o fluxo de calor ocorrerá das temperaturas mais elevadas para as mais baixas.
1.2 - O consumo de energia em Portugal1
O consumo de energia tem crescido bastante desde há longos anos, traduzindo de algum modo a evolução da prosperidade das sociedades. A partir da crise do petróleo nos anos 70 do século 20 assistiu-se a um progressivo esforço de redução do consumo, motivado inicialmente pelo custo dessa matéria prima e, posteriormente, pela consciencialização da sua progressiva escassez e dos efeitos que os combustíveis fósseis têm na degradação da qualidade do ambiente. É pois neste contexto que desde há largos se tem assistido a um acréscimo da eficiência energética das construções como forma de aumentar a economia da sua utilização e contribuir para um uso mais racional da energia.
A escassez de recursos energéticos próprios em Portugal origina uma elevada dependência energética do exterior (que em 2005 atingiu 87,2%). O país é bastante dependente das importações de combustíveis fósseis, contando ainda com a contribuição da energia hídrica. Nos últimos anos verificou-se um acréscimo das energias renováveis tais como eólica, solar e geotérmica, biogás e de lenhas e resíduos. O consumo de petróleo representou 58,7% do consumo total de energia primária em 2005, o que se traduz num decréscimo face aos 61,5% em 2000.
A evolução do consumo de energia no período 2000/05 mostra um aumento de 6,8%, conforme se observa na fig. 1.1
Nessa figura são visíveis os efeitos da introdução do gás natural em 1997, o qual representou em 2005 cerca de 14% do total do consumo em energia primária. O consumo de carvão manteve-se razoavelmente constante, com um ligeiro decréscimo no final do período representado. O consumo de energias renováveis tem vindo progressivamente a aumentar, pese embora a sua ainda grande dependência da energia hídrica. A potência instalada para produção de electricidade atingiu em 2005 4818 MW de energia hídrica, 474,2 MW de biomassa, biogás e resíduos sólidos urbanos, 1063 MW em eólica, 18 MW em geotérmica e 2,3 MW em fotovoltaica (fig. 1.2)
Fig. 1.2 - Fontes de energia em 2005
O consumo de energia final sofreu um aumento de 12,0% entre 2000/2005, com um aumento do consumo de 12,7% de petróleo, de 74,8% de gás natural e de 19,2% em electricidade.
O consumo dos principais sectores de actividade económica em 2005 está representado na fig. 1.3, de onde se retiram os seguintes valores: 28,4% na Indústria, 35,4% nos Transportes, 16,5% no Doméstico, 13,0% nos Serviços e 6,7% nos outros sectores (onde se inclui a Agricultura, Pescas, Construção e Obras Públicas).
Fig. 1.3 - Consumos de energia por sector
No sector doméstico assiste-se a uma evolução crescente do consumo de energia eléctrica por unidade de alojamento (2362 kWh/alojamento em 2004 contra 2252 kWh/alojamento em 2002). O consumo de energia nos serviços, dependente fundamentalmente do grau de terciarização da economia, cresceu 41,7% no período 2000-2005.
O país apresentou em 2005 um consumo de energia final per capita de 1,84 tep/habitante. Apesar do constante crescimento das necessidades energéticas, Portugal ainda é um dos países da UE com menor consumo de electricidade per capita - em 2004 foi de 4516 kWh, correspondendo ao 21º lugar dos países europeus. Só a Letónia, a Lituânia, a Polónia e a Hungria registaram consumos per capita mais baixos.
O consumo de energia em edifícios domésticos e de serviços tem aumentado bastante em Portugal desde os anos 90, conforme se pode observar na fig. 1.4
As maiores taxas de variação ocorrem no entanto para o sub-grupo dos edifícios de serviços, enquanto que no caso do consumo doméstico se tem vindo a assistir a uma progressiva diminuição da variação com tendências de atingir um valor estável da ordem dos 17% de acréscimo anual (fig. 1.5)
Fig. 1.4 - Consumo de energia em edifícios em Portugal
Fig. 1.5 - Variações do acréscimo de consumo em edifícios
1.3 - Noções de transferências de calor p
O calor específico c de um material é a quantidade de calor necessária para elevar 1 ºC a unidade de massa desse material. Em geral é expresso em kJ/kg.K, muito embora qualquer das unidades seguintes possa ser usada dado que são equivalentes
O calor específico das substâncias em geral depende da temperatura e da pressão, muito embora frequentemente se considere apenas a temperatura, inclusivamente para o caso dos gases perfeitos.
A quantidade de calor Q que é transferida entre dois corpos a temperaturas diferentes
t
pode ser calculada com base nas quantidades que sejam transferidas por unidade de tempo Q . Assim aquela relação pode ser estabelecida como
conhecida a quantidade de calor pode determinar-se o fluxo de calor, entendido como a quantidade de calor que é transferida por unidade de superfície
A primeira lei da termodinâmica - o princípio da conservação de energia - refere que a quantidade total de energia que entra num sistema menos a quantidade total que sai é igual à quantidade de energia que permanece no sistema. Este princípio pode ser expresso na forma
in out sistt
em que , e são, respectivamente, a energia que entra, sai e permanece no sistema. A equação anterior pode ser expressa numa forma diferente ao considerar-se que a energia do
g
sistema pode ser devida ao conjunto da energia gerada por esse sistema , caso exista, e a
st
energia armazenada
Num sistema onde se considere que as condições permanecem constantes ao longo do tempo -simplificação adoptada frequentemente sob a designação de regime estacionário - a energia do
sistt
sistema não varia, pelo que o termo pode ser considerado nulo e a equação reduzida à sua forma mais simples
Em sistemas fechados com massa constante o total da energia transferida depende do total da energia interna, a qual em regime estacionário pode ser escrita na forma
em que m é a massa e T a temperatura. É assim possível determinar a quantidade de energia transferida de um corpo para outro.
As transferências de calor podem ocorrer de três formas distintas; por condução, por convecção e por radiação. As duas primeira implicam a necessidade de existência de contacto directo dos corpos entre os quais ocorram as transferências, enquanto que no terceiro esse contacto não é necessário. A condução é a forma de transferência típica (mas não exclusiva) entre corpos sólidos, enquanto a convecção está associada à existência de fluidos.
1.3.1 - Condução
A condução corresponde a um fenómeno de transferência de calor entre duas zonas com temperaturas diferentes, podendo ocorrer em corpos sólidos ou em fluidos. Nesta forma a transmissão de calor ocorre por contacto directo entre zonas com temperaturas diferentes. A um material com uma dada temperatura corresponde um determinado estado de agitação molecular, o qual é tanto mais elevado quanto maior for a temperatura. Entre duas zonas com temperaturas diferentes essa agitação transmite-se da que tiver o maior estado de agitação para a outra até se atingir um equilíbrio entre as duas. Sucessivamente, o mesmo fenómeno afecta as várias camadas até se atingir um equilíbrio global. Como se compreende, a condução requer um contacto físico entre camadas.
A determinação das transferências de calor através de um corpo pode ser efectuada através das noções de quantidade de calor Q (em W) ou de fluxo de calor q (em W/m ), as quais2
estão relacionadas da forma seguinte
em que A é a área perpendicular ao sentido do fluxo através da qual ocorre a transmissão de calor. A avaliação experimental da condução de calor foi utilizada por Fourier na formulação da sua teoria analítica do calor, segundo a qual o fluxo de calor numa dada direcção é proporcional
ao gradiente de temperatura nessa direcção. Assumindo a condução unidireccional segundo a direcção x tem-se
em que a constante de proporcionalidade 8 é a condutibilidade térmica do material em análise (em W/m.°C). O sinal menos decorre do facto de as transferências de calor ocorrerem das temperaturas mais elevadas para as mais baixas. A equação é designada como lei de Fourier.
A condutibilidade térmica é uma característica própria de cada material que traduz a forma como o material se deixa atravessar pelo calor, podendo ser definida como a quantidade de calor que atravessa a unidade de espessura do material, por unidade de área, por unidade de diferença de temperatura. Assim, um material bom isolante térmico, ou seja que não se deixa atravessar facilmente pelo calor, é aquele cuja condutibilidade térmica tem um valor muito reduzido, atingindo valores da ordem de 0,0040 para os poliestirenos. Inversamente os materiais maus isolantes térmicos têm valores da condutibilidade bastante acima da unidade, o que corresponde a mais de 40 vezes a quantidade de calor que atravessa um isolante térmico.
1.3.2 - Convecção
A convecção pode ser entendida em termos simples como uma forma específica de condução, em que a variação de temperatura das moléculas implica a alteração relativa do seu posicionamento e, consequentemente, variações de massa volúmica, das quais resultam os movimentos típicos da convecção. A convecção é um mecanismo de transmissão de calor próprio dos fluidos, já que pressupõe a existência de movimentos que são incompatíveis com os corpos sólidos.
Considere-se o caso de uma parede cuja temperatura seja maior do que a do ar ambiente. As camadas de ar em contacto com a parede aumentam de temperatura por condução e transmitem esse acréscimo de temperatura também por condução às camadas adjacentes. Mas uma maior temperatura corresponde a um estado de maior agitação molecular, de que resulta um afastamento entre as moléculas que será tanto maior quanto mais elevado for o nível de agitação (ou seja a temperatura). Daí decorre que o número de moléculas por unidade de volume decresce, o que se traduz por uma diminuição de massa volúmica e, consequentemente, por uma ascensão desse ar mais quente por simples efeito da impulsão. O ar que sofre a movimentação é substituído
que as trocas térmicas por convecção serão maiores do que por condução, já que, naquele caso, os diferenciais térmicos são maiores em consequência dos movimentos referidos.
Mas imagine-se agora o caso de um tecto cuja temperatura seja superior à do ambiente. Neste caso verificar-se-ão os mesmos fenómenos referidos anteriormente, mas não ocorrerá qualquer movimento do ar na medida em que ele já se encontra na zona mais alta do espaço. Logo, as trocas de calor serão efectuadas fundamentalmente por condução entre as sucessivas camadas de ar. Pode, então, considerar-se que num fluido a condução corresponde à situação limite da convecção.
1
O fluxo de calor por convecção entre uma superfície à temperatura T e o ambiente com
2
temperatura T é dado pela lei do arrefecimento de Newton
c
em que h é a condutância térmica superficial por convecção. Esta condutância não é específica do fluido em causa, mas antes depende de circunstancias específicas, tais como a geometria da superfície, a natureza do fluido e o tipo de movimento existente. Este último factor é extremamente condicionante na medida em que permite dividir a convecção em dois tipos com características diferentes: convecção natural, quando os movimentos decorrem essencialmente das diferenças de massa volúmica do fluido em consequência das variações de temperatura, e convecção forçada quando o movimento do fluido é exterior e independente daquelas variações. As diferenças de eficiência na transmissão de calor entre a convecção natural e forçada são intuitivas e usadas frequentemente. Qualquer pessoa sabe que se quiser arrefecer um pedaço de comida pode esperar que tal suceda por convecção natural, isto é que o ar seja aquecido na vizinhança do corpo quente, a sua massa volúmica diminua e, em consequência, esse ar suba deixando um espaço livre que será preenchido por ar mais frio e sucessivamente. Mas alternativamente pode soprar sobre o objecto quente e dessa forma a velocidade do ar será consequência do sopro e não do aquecimento, de onde decorre um considerável acréscimo de eficiência no arrefecimento. Maior velocidade do ar significa que em cada instante o corpo contactará com ar mais frio, já que o ar previamente aquecido por contacto com o corpo quente se terá afastado dele.
(9.12)
1.3.3 - Radiação
Todos os corpos emitem radiação electromagnética, que encontra condições preferenciais de transmissão através de misturas gasosas ou de sólidos semi-transparentes, nos quais a absorção é fraca. A radiação propaga-se à velocidade da luz (c = 3 x 10 m/s), possuindo como8
características próprias uma determinada frequência f e comprimento de onda 8, relacionados da forma seguinte
A propagação da radiação pode ser analisada em termos da teoria quântica, segundo a qual a interacção da radiação com a matéria é feita sob a forma de quanta ou fotões, que possuem energia quantificável através da expressão
em que h é a constante de Planck que assume o valor de 6,625x10 J.s. Desta equação decorre-34
que a energia da radiação electromagnética é inversamente proporcional ao seu comprimento de onda, o que é compatível com o facto conhecido de serem as radiações de menor comprimento de onda, ou seja as de maior energia, que têm um impacte mais negativo sobre os seres biológicos (como por exemplo os ultra-violetas e os raios X).
A radiação electromagnética assume um espectro muito alargado em termos de comprimentos de onda, que vai desde os raios cósmicos de muito pequeno comprimento de onda até às ondas de rádio e televisão de grande comprimento de onda.
A análise do comportamento de edifícios incide numa gama de radiação mais restrita, designada como radiação térmica, cujo comprimento de onda varia entre 0,1 e 100 :m e na qual estão incluídas a radiação ultravioleta (0,1 a 0,38 :m), a luz visível (0,38 a 0,76 :m) e a radiação infra-vermelho (0,76 a 100 :m). A radiação térmica emitida pelo sol situa-se no intervalo 0,1 a 3 :m, sendo designada como radiação solar.
A luz visível é apenas uma pequena fracção da radiação térmica, que apresenta cores distintas para diferentes comprimentos de onda. Assim, o violeta corresponde 0,40 a 0,44 :m, o azul a 0,44 a 0,49 :m, o verde a 0,49 a 0,54 :m, o amarelo a 0,54 a 0,60 :m, o laranja a 0,60 a
O valor máximo de energia emitida por um corpo à temperatura absoluta T pode ser obtido através da designada lei de Stefan-Boltzmann
em que A é a área (em m²) e F a constante de Stefan-Boltzmann que assume o valor de 5,67x10-8
W/m².K em unidades do sistema SI. Esse valor máximo é relativo à energia emitida por uma4
abstracção física designada corpo negro. A radiação emitida por corpos reais é inferior à definida anteriormente, na medida em que uma determinada superfície emite sempre uma quantidade de energia inferior à que emitiria um corpo negro que estivesse à mesma temperatura. A relação entre a energia realmente emitida por uma superfície e o valor máximo correspondente à emissão do corpo negro designa-se emissividade g, a qual pode ser considerada como uma medida da eficiência com que um corpo emite energia, comparativamente com o corpo negro. A generalidade dos materiais de construção apresenta emissividades na ordem de 0,80, sendo que o valor máximo é 1.
Assim, a energia emitida por um corpo real pode ser calculada através da equação seguinte
onde os símbolos têm os significados referidos anteriormente.
Outra característica importante das superfícies é o coeficiente de absorção " que traduz a eficiência com que uma determinada superfície absorve energia, variando entre zero e um. Por definição um corpo negro tem um coeficiente de absorção " = 1. Quanto maior for o coeficiente de absorção mais energia será absorvida por uma superfície, o que poderá ser positivo em condições de tempo frio e negativo no oposto.
Quando uma determinada superfície está completamente envolvida por outra bastante
s env
maior cujas temperaturas sejam respectivamente T e T as transferência de calor por radiação podem ser determinadas através da equação
Em condições correntes a transmissão de calor nas circunstâncias referidas ocorrerá não só por radiação, mas também por convecção. Nesses casos as quantidades de energia transferidas
poderão ser obtidas pela equação
em que h é a condutância térmica superficial média para radiação e convecção. Trata-se de uma simplificação que facilita bastante o cálculo das transferências de calor destes dois tipos. Os efeitos da radiação são significativos - e influenciam bastante no cálculo da condutância - nos casos de convecção natural, mas são praticamente irrelevantes e quase sempre ignorados nos casos de convecção forçada.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Capítulo 2
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONDUÇÃO
2.1 Condução
A condução corresponde a um fenómeno de transferência de calor entre duas zonas com temperaturas diferentes, podendo ocorrer em corpos sólidos ou em fluidos. A determinação das transferências de calor através de um corpo pode ser efectuada através das noções de quantidade de calor Q (em W) ou de fluxo de calor q (em W/m ), as quais estão relacionadas da forma2
seguinte
em que A é a área através da qual ocorre a transmissão de calor. A avaliação experimental da condução de calor foi efectuada por Biot e utilizada por Joseph Fourier em 1822 na formulação da sua teoria analítica do calor, segundo a qual o fluxo de calor numa dada direcção é proporcional ao gradiente de temperatura nessa direcção. Assumindo a condução unidireccional segundo a direcção x tem-se
em que a constante de proporcionalidade 8 é a condutibilidade térmica do material em análise (em W/m.°C). O sinal menos decorre do facto de as transferências de calor ocorrerem das temperaturas mais elevadas para as mais baixas. A equação anterior pode ser expressa em termos de quantidades de calor Q através da forma
Separando as variáveis da equação 2.2 e integrando-a entre os limites da camada (x = 0
1 2
(2.5) ou ainda
Exemplo 2.1 Considere uma placa de um material com 5 m de superfície e 5 cm de espessura,2
cujas temperaturas dos paramentos são uniformes e, respectivamente, 40 °C e 10 °C. Verificou-se experimentalmente que nas condições referidas a quantidade de calor transmitida unidireccionalmente entre as duas faces era Q = 120 W. Determine a condutibilidade térmica do material que constitui a placa.
SOLUÇÃO Conhecida a quantidade de calor transmitida através da placa e o valor da respectiva área pode determinar-se o fluxo através da equação 2.1
Com base na equação 2.5 pode então determinar-se o valor da condutibilidade térmica
2.2 Equações de transmissão de calor
Considere-se um meio homogéneo no qual se define um volume elementar dx.dy.dz (fig. 2.1) sujeito a diferenças de temperatura entre as suas faces.
(2.6) (2.9) (2.10) (2.7) (2.8) (2.11) Tal motiva a ocorrência de transferências de calor por condução através desse meio, cujas quantidades de calor Q perpendiculares a cada uma das faces do volume elementar nas três
x y z
direcções principais podem ser designados como Q , Q e Q . As quantidades de calor nas faces opostas podem, pois, ser escritas na forma
o que significa, por exemplo para a equação 2.6, que a componente segundo x da quantidade de calor em x + dx é igual ao valor dessa componente em x acrescida do produto da sua variação em função de x pelo comprimento elementar dx.
Se no interior do meio em análise existir uma fonte de calor, a energia gerada pode ser quantificável através da expressão
em que q’ é o calor gerado por unidade de volume (em W/m ). Por outro lado, a quantidade de3
energia armazenada no volume considerado pode ser escrita na forma
p
onde D é a massa volúmica (kg/m ), c o calor específico (em J/kg.°C), T a temperatura e t o3
tempo. A expressão traduz, em consequência, a variação energética em função do tempo.
in out
Se e forem, respectivamente, as energias transferida para o volume elementar e libertada pelo volume, o balanço energético global pode ser apresentado através da equação
in x y
Considerando que corresponde às quantidades de calor perpendiculares a cada face Q , Q ,
z out
(2.12) (2.13) (2.14) (2.16) (2.15) (2.17) (2.18) substituindo as equações 2.6, 2.7 e 2.8 nesta equação, tem-se
Considerando a lei de Fourier e a eq. 2.3, a condução segundo as três direcções consideradas pode ser expressa nas equações
em que 8 é a condutibilidade térmica do material (em W/m.°C). Substituindo as equações 2.14 a 2.16 na equação 2.13 obtém-se
Dividindo a equação pelo volume elementar (dx dy dz), obtém-se a designada equação geral de difusão de calor
Esta equação surge como uma função do tempo, propiciando a análise dos fenómenos em condições reais, ou seja tendo em conta as variações resultantes ao longo do tempo. Uma situação deste tipo designa-se como regime variável. Em muitas circunstâncias a perda de precisão resultante de se considerar a difusão de calor independente do tempo pode ser compensada pela facilidade de cálculo daí resultante. Quando a análise térmica seja efectuada independentemente
(2.19) (2.20) (2.21) (2.22) (2.24) (2.25) se, por outro lado, não existir geração de calor no interior do corpo, a equação pode ainda ser simplificada na forma
e no caso da condução ser unidireccional ter-se-á
de onde se pode concluir que o fluxo de calor é constante ao longo da direcção considerada. A equação geral de difusão de calor pode ainda ser simplificada de uma forma diferente se for assumido que a condutibilidade térmica 8 é constante. Nesse caso a equação 2.18 assume a forma seguinte, designada por equação de Fourier-Biot
em que a é uma característica termo-física dos materiais designada difusividade térmica, obtida da forma seguinte
De igual forma a equação 2.19 pode ser simplificada para 8 constante, designando-se então como equação de Poisson
enquanto a mesma simplificação aplicada à equação 2.20 conduz à designada equação de Laplace
2.3 Condução unidireccional em regime permanente
A generalidade dos problemas de condução em engenharia civil pode ser analisada assumindo condições de regime permanente e unidireccional, assegurando dessa forma uma
(2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32) (2.33) simplificação muito substancial na análise que apesar disso é em geral tida como aceitável.
A determinação da distribuição de temperaturas no interior de um elemento de construção pode ser efectuada a partir da equação 2.21 estabelecendo condições de fronteira adequadas. Como se viu anteriormente, o fluxo de calor nestas condições é constante independente de x. Se a condutibilidade térmica for constante, a equação pode ser reescrita na forma
Integrando uma vez tem-se
e integrando novamente
O valor das constantes nas condições de fronteira será obtido a partir da expressão anterior para x = 0 e x = d. Assumindo que nessas zonas de fronteira se tem
1 2
em que 2 e 2 são as temperaturas superficiais do elemento, pode determinar-se para x = 0
e para x = d
de onde se obtém
substituindo na equação 2.28 obtém-se então a distribuição de temperaturas no interior do elemento
de onde se pode concluir que a temperatura varia linearmente em função de x. Note-se que esta conclusão apenas é válida para as condições propostas, designadamente no que se refere à constância da condutibilidade térmica.
(2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.34) (vd. equação 2.27)
Como é sabido da condução eléctrica, pode definir-se resistência como o quociente entre a diferença de potencial e a intensidade. Aplicando à condução de calor tem-se que a resistência térmica de uma camada de um dado material pode ser determinada a partir da equação 2.34 da forma seguinte
expressa em m².°C/W. Como se verá adiante, a noção de resistência térmica, definida como o quociente da espessura pela condutibilidade térmica da camada considerada, é um instrumento fundamental de caracterização e análise da generalidade dos elementos de construção.
Veja-se agora o caso de elementos heterogéneos, compostos por várias camadas de materiais distintos. Considere-se um elemento composto por n camadas, cada uma com uma dada
x
espessura e condutibilidade térmica. O fluxo de calor q que atravessa a parede obedece à seguinte condição
x n
em que q é o fluxo de calor unidireccional na camada n. Com base na equação 2.34 a equação anterior pode assumir a forma
somando os numeradores e denominadores da equação 2.37 obtém-se
mas tendo em conta a noção de resistência térmica, a equação pode ser simplificada na forma
Na análise anterior considerou-se apenas o caso das resistências em série, correspondente à situação corrente de elementos com heterogeneidades ao longo da sua espessura, como é o caso
Em condições correntes de engenharia civil desprezam-se as resistências de contacto entre as diversas
1
camadas constituintes dos elementos, as quais contudo podem assumir valores apreciáveis.
2
(2.40)
(2.41)
(2.43) (2.42) de paredes constituídas por diversas camadas paralelas entre si . Considere-se, agora, a situação1
também frequente de existência de heterogeneidades em superfície, isto é num plano perpendicular ao da espessura do elemento, como por exemplo o caso de uma parede em que exista um pilar . Nestas circunstâncias está-se perante uma ocorrência de resistências em paralelo,2
assumindo ainda a analogia eléctrica, cuja solução passa pela análise diferenciada de cada zona distinta em termos de quantidades de calor Q. Com base na relação entre fluxos e quantidades de calor, tem-se
p
em que A é a área da zona considerada, perpendicular à direcção do fluxo de calor. Consequentemente, numa situação com diversas zonas distintas em superfície e várias camadas
xp p
em espessura, a quantidade de calor na zona de superfície Q com área A será
pelo que generalizando para todas as heterogeneidades em superfície se tem
O fluxo de calor que atravessa a parede pode ser determinado através do quociente entre a quantidade total de calor que atravessa o corpo e a respectiva área total em superfície
(2.44)
(2.45)
(2.46)
2.4 Geração interna de calor
Em várias situações pode ocorrer geração interna de calor nos elementos de construção, como por exemplo no caso de pavimentos aquecidos com resistências eléctricas ou com tubagens de água quente. Nesse casos o calor gerada q’ é geralmente expresso em função do volume, por exemplo em W/m .3
Quando a geração de calor provenha de resistências eléctricas aquela quantidade pode ser obtida a partir da expressão
e e e e e
em que I , R e D são, respectivamente, a intensidade, a resistência e a resistividade (D =R .A/L) e V e A o volume e a área do condutor. A análise dos fenómenos no interior de um corpo com geração de calor pode ser compreendido através da análise do corpo da fig. 2.2, sujeito a um
1 2
regime unidireccional com comprimento L e temperaturas nas faces opostas 2 e 2 . Considere-se uma faixa infinitesimal de comprimento dx como mostra a figura.
Fig. 2.2 - Corpo sujeito a regime unidireccional
O equilíbrio de fluxos nessa zona pode ser estabelecido na forma
x+dx
(2.47) (2.48) (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) (2.54) (2.53) x
considerando a lei de Fourier para obter q , tem-se
se a condutibilidade térmica 8 for constante
Integrando a equação anterior uma vez, obtém-se
e integrando segunda vez
1 2
assumindo como condições de fronteira nos pontos x=0 e x=L os valores t(0)=2 e t(L)=2 , as constantes tomam os valores
as quais substituídas na equação 2.50 conduzem a
As variações de temperatura no interior do elemento em condições correntes com temperaturas ambientes e condutâncias diferentes assumem uma distribuição genérica como se ilustra na fig. 2.3.a. A temperatura máxima no interior ocorrerá na zona em que o gradiente de temperatura seja nulo
(2.55)
(2.56)
(2.57)
Fig. 2.3 - Distribuição de temperatura num elemento com geração de calor
ou seja
1 2 s
Nas situações em que as temperaturas superficiais sejam idênticas 2 =2 =2 a equação 2.52 assume a forma simplificada
A distribuição de temperaturas neste caso assume a forma da fig. 2.3.b. A temperatura máxima ocorre numa zona equidistante de ambas as faces correspondente a x=L/2 (vd. eq. 2.55) , a qual pode ser determinada a partir da equação anterior
o
No ponto de temperatura máxima 2 não existem transferências de calor, pelo que a equação 2.56 é também aplicável a corpos perfeitamente isolados numa das faces e sujeitos a uma temperatura constante na outra (fig. 2.3.c). É muito importante ter em conta neste caso que todas as equações anteriores foram deduzidas para um elemento de espessura L, pelo que para essas equações se
Na prática isso significa que se a espesura real for por exemplo 0,2 m a espessura a utilizar nas equações
3
terá que ser 0,2 x 2 = 0,4 m (vd. fig. 2.3). Note-se que é facil deduzir novas equações para facilitar o cálculo nestas circunstâncias, bastando para tal que a integração da eq. 2.48 seja feita considerando que as faces se encontram nos pontos -L/2 e L/2 o que equivale a considerar o ponto 0 no centro do elemento (ponto correspondente à temperatura máxima). Nas equações assim deduzidas as espessuras a utilizar no cálculo já serão as espessuras reais dos elementos. 4 (2.58) (2.59) (2.60) (2.61) (2.62) manterem válidas a espessura considerar no caso de um corpo perfeitamente isolado numa face tem que ser L/2 o que equivale a dizer que se terá que considerar como espessura de cálculo o dobro da espessura real . 3
A análise da questão em termos do fluxo de calor na situação geral com temperaturas superficiais distintas pode ser efectuada a partir da relação entre a equação 2.52 e a lei de Fourier
derivando obtém-se
equação que pode ser simplificada para a forma
1 2
No caso de as temperaturas superficiais serem idênticas 2 = 2 , os fluxos nas zonas de fronteira x = 0 e x = L serão
s
Frequentemente a temperatura superficial 2 é desconhecida sabendo-se apenas o valor da temperatura do ambiente 2 em contacto com o corpo. Em condições de regime permanente unidireccional o fluxo resultante da geração interna de calor (equação 2.61) é igual ao fluxo de calor transferido a partir do corpo (dado pela lei do arrefecimento de Newton ). O equilíbrio entre4
Em muitas circunstâncias existem outros materiais entre o elemento com geração interna de calor e o ar ambiente. Nesses casos deve ter-se em conta o equilíbrio de fluxos entre as várias camadas que sempre ocorre nas situações de regime permanente unidireccional. O conceito é ilustrado no exemplo seguinte.
Exemplo 2.2 Considere o pavimento da fig. 2.4, constituído por uma camada de betão com
aquecimento interno com 10 cm de espessura (8 = 1,75 W/m.°C) assente sobre um isolante térmico e revestida com material cerâmico com 1 cm de espessura (8 = 1,15 W/m.°C). Assuma que a temperatura do ambiente em contacto com o pavimento é 2 = 20 °C, com uma condutância térmica superficial h = 25 W/m².°C e que o fluxo de calor gerado é q’ = 1250 W/m . Determine3
as temperaturas máxima e à superfície do material cerâmico.
Fig. 2.4 Pavimento - constituição
SOLUÇÃO A temperatura máxima corresponde à zona de contacto entre a camada de betão
0 2
aquecido e o isolamento térmico (2 ). Para o cálculo da temperatura superficial 2 estabelece-se o equilíbrio de fluxos referido anteriormente
conv
o fluxo de calor em B é dado pela eq. 2.61 e o fluxode calor de convecção q no interface entre o pavimento e o ar exterior é dado pela lei de arrefecimento de Newton. A igualdade entre ambos pode ser expressa na forma
B B
em que d é a espessura da camada B (ou seja d = L/2 conforme referido anteriormente). Deste
2
modo facilmente se calcula a temperatura superficial 2
0
A temperatura máxima 2 pode ser calculada através da equação 2.57 re-escrita no presente caso na forma seguinte
1
para cuja resolução se torna necessário calcular a temperatura 2 na zona de contacto entre as
B B
camadas A e B (note-se que para a espessura d da camada B se verifica a relação L = 2 d ).
1
Para o cálculo da temperatura 2 estabelece-se novamente o equilíbrio de fluxos referido. O fluxo na camada A onde apenas existem fenómenos de condução é dado pela lei de Fourier (eq.
A
2.5), em que d é a espessura da camada
Como várias fracções que sejam iguais entre si serão também iguais a outra que resulte da soma dos respectivos numeradores e denominadores, tem-se
A conv
em que R é a resistência térmica do material A e R a resistência térmica superficial por convecção no interface entre a superfície e o ar. Da equação anterior facilmente se determina o
1
valor da temperatura 2
1
2.5 - Condução em regime variável 2.5.1 - Condições de sistema global
Como se viu anteriormente, a análise dos fenómenos de condução de calor em condições reais pressupõe a consideração das variações ocorridas em função do tempo, conforme mostra a equação 2.18 designada como equação geral de difusão de calor. Através dessa equação constata-se que a difusão pode ocorrer nas direcções dos três eixos ortogonais x, y e z considerados, sendo função da variação ao longo do tempo t. Um caso particular do regime variável é aquele em que se verifica apenas uma transição para um regime estacionário, situação em que o regime se designa por transitório (ou transiente segundo alguns autores, por adaptação do inglês “transient”).
A análise dos fenómenos em função do tempo pode ser bastante simplificada nos casos em que seja possível assumir condições de sistema global, ou seja aquelas em que as variações de temperatura ao longo dos três eixos sejam desprezáveis, tornando-se assim exclusivamente dependentes do factor tempo. Tal pode ser o caso de um corpo metálico aquecido numa estufa a uma dada temperatura: se for possível determinar as temperaturas no interior do corpo constatar-se-á que permanecem razoavelmente constantes entre si, variando apenas uniformemente em função do tempo. Pelo contrário, em corpos maus condutores de calor verifica-se que, em idênticas condições, as temperaturas interiores variam não só em função do tempo, mas também em cada instante ao longo de cada uma das três direcções consideradas. Neste último caso não se verificam, obviamente, condições de sistema global, pelo que não é aplicável a formulação específica desse tipo de condições.
Considere-se um corpo com um volume V, massa m, área das superfícies laterais A, massa
p i
volúmica D e calor específico c sujeito a uma temperatura T . Se no instante t = 0 o corpo for
e
colocado em contacto com um ambiente a uma temperatura T verificam-se desde logo
e i
transferências de calor no sentido da temperatura mais baixa. Assuma-se que T > T e que o corpo permite que a análise seja efectuada em condições de sistema global. Nessas condições, as variações de temperatura no interior do corpo são apenas função do tempo, já que de acordo com a definição de sistema global as temperaturas em cada uma das três direcções principais são constantes. Tal significa neste caso que T = T (t).
No decurso de um intervalo de tempo infinitesimal dt estabelece-se um balanço energético entre o corpo e o meio envolvente, traduzido pela igualdade nesse intervalo de tempo entre a
(2.63) (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) (2.68) (2.69) quantidade de calor que entra no corpo e o aumento de energia do corpo. Assumindo h como a condutância térmica superficial entre o corpo e o ambiente, o balanço energético pode ser escrito na forma
e e
mas como m = DV e, assumindo T como constante, dT = d(T - T ) a equação anterior pode ser alterada para
i
integrando entre um tempo t = 0 (com temperatura T ) e outro tempo t (em que a temperatura seja T = T(t)) e tendo em conta que
e ainda que
obtém-se
q
ue simplificando assume a forma
em que o factor b, cujas dimensões são (tempo) , é dado pela relação -1
Com base na equação 2.68 é possível determinar a temperatura de um corpo que obedeça às condições de sistema global em qualquer instante t ou, inversamente, calcular o tempo ao fim do qual o corpo atinge uma temperatura T(t). Por outro lado, aquela equação permite ainda
(2.70) exponencialmente, assumindo mudanças mais substanciais na fase inicial e mais suaves à medida que a sua temperatura se aproxima da do ambiente. O valor do factor b condiciona a rapidez com que a temperatura do corpo se aproxima da do ambiente, o que significa que para valores de b elevados a aproximação de temperaturas é mais elevada, enquanto que no caso contrário ela é mais lenta. Deve ser notado que o valor de b é directamente proporcional à área das superfícies laterais do corpo e inversamente proporcional às suas massa e calor específico. Tal está em consonância directa com o senso comum, na medida em que é perfeitamente sabido que é mais moroso alterar a temperatura de um corpo com massa elevada do que a de outro com menor massa, tal como, atendendo à definição de calor específico, o tempo será tanto maior quanto mais elevado for o valor desta característica do corpo. A equação 2.68 encontra-se representada na fig. 2.5 através de um gráfico de temperaturas em função do tempo, no qual se incluem três curvas
1 2 1
relativas a diferentes valores de b, sendo que de b para b a massa aumenta 8 vezes e de b para
3
b o calor específico diminui 3,5 vezes, mantendo-se constantes os restantes factores.
Conhecida a variação de temperatura em função do tempo, o fluxo de calor entre o corpo e o ambiente pode ser obtido a partir da lei do arrefecimento de Newton, na forma
Importa agora definir em que condições podem ser assumidas as simplificações inerentes à assunção do sistema global. Para tal considere-se uma parede homogénea com espessura d e
i d
condutibilidade térmica 8, cujas temperaturas superficiais sejam T e T , em contacto com um
(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
e
ambiente com temperatura T . O balanço energético entre a parede e o ambiente é traduzido por uma igualdade entre o fluxo de calor por condução no interior da parede e o fluxo de convecção entre a parede e o ambiente. Logo, considerando a lei do arrefecimento de Newton para este último termo, tem-se
ou simplificando
o factor Bi designa-se por número de Biot, grandeza adimensional que relaciona a resistência térmica por condução no interior do corpo com a sua resistência térmica superficial por convecção. Em consequência, um número de Biot baixo significa a existência de uma resistência térmica por condução baixa e gradientes de temperatura pequenos no interior do corpo.
Pode demonstrar-se que quanto menor for o número de Biot maior é o rigor associado à assunção de condições de sistema global, atingindo valores exactos para Bi = 0. Para o cálculo
c
do número de Biot é usual considerar-se uma espessura característica d definida através da relação entre o volume e as áreas laterais
grandeza que facilita os cálculo para sólidos de configurações complexas, conduzindo no caso de paredes a valores de metade da sua espessura, muito embora também possa ser usada a espessura total. Assim, é geralmente considerado como razoável assumir-se o sistema global quando o número de Biot for
Exemplo 2.3 Considere uma chapa de aço com as dimensões de 1m x 1m x 0,02m a 40 °C
colocada num ambiente com uma temperatura de 20 °C. Determine ao fim de quanto tempo a chapa atinge uma temperatura de 25 °C e também qual a sua temperatura ao fim de 1 hora.
p
(2.75) SOLUÇÃO A espessura característica é dada pelo quociente do volume da chapa pela sua área lateral
o número de Biot é determinado a partir da equação 2.74
como é menor do que 0,1 consideram-se asseguradas a condições de análise em sistema global. Cálculo do factor b (segundo a equação 2.69)
a equação 2.68 pode ser escrita da seguinte forma
ou seja, a temperatura de 25 °C é atingida ao fim de
Veja-se agora qual a temperatura ao fim de 1 hora. Traduzindo em segundos, a equação 2.68 assume a forma
de onde se determina a temperatura ao fim de uma hora
2.5.2 - Condução unidireccional
Se no exponencial da equação 2.68, utilizando o valor de b da equação 2.69, se introduzir a noção de espessura característica da equação 2.73 obtém-se
(2.76)
(2.77) mas considerando as definições de número de Biot (equação 2.74) e de difusividade térmica (equação 2.22), a equação anterior pode ser escrita na forma
em que Fo é designado número de Fourier, assumindo o valor
logo, a equação 2.68 pode então assumir a forma
O significado físico do número de Fourier é dado pela relação entre a quantidade de calor que é transferida por condução através do corpo e a quantidade de calor armazenada pelo corpo, o que significa que quanto maior for o valor de Fo mais rápida é a transferência de calor através do corpo.
Na análise anterior, em condições de sistema global, foi sempre assumido um comportamento isotérmico do material, aproximação que é válida, como se viu, para números de Biot muito baixos. Contudo, na maior parte das circunstâncias esta aproximação não é razoável, já que os erros daí decorrentes assumiriam uma importância crescente e não-negligenciável.
Em condições reais o comportamento de um material sujeito a um diferencial térmico difere, pois, daquele modelo. Considere-se um elemento de construção em que duas das suas dimensões sejam substancialmente maiores do que a terceira (como é o caso de uma parede) -condição indispensável para que o regime possa ser considerado unidireccional. Se no instante
0 i e
t = 0 a sua temperatura for T menor do que a temperatura T do ambiente com que contacte (assumindo-se as mesmas condições em ambas as faces), a variação das temperaturas no interior da parede ao longo do tempo será do tipo ilustrado na fig. 2.6. Quando o elemento é posto em
0 i
contacto com o ambiente (t ) a sua temperatura T é homogénea em todos os pontos interiores.
e
A sua temperatura superficial assume rapidamente o valor T e progressivamente as temperaturas
1
interiores vão aumentando ao longo do tempo (t ) até se atingir uma fase em que apenas a
2
temperatura da zona média do elemento se mantém à temperatura inicial (t ). Após esta fase todas as zonas interiores do elemento passam a encontrar-se a temperaturas superiores às iniciais, como
3
(2.78)
n
espessura do elemento (t ). A partir desta fase deixa de haver transferências de calor do ambiente para o elemento, na medida em que as suas temperaturas são idênticas.
Fig. 2.6 - Variação das temperaturas no interior duma parede ao longo do tempo
A análise de situações de transferências de calor unidireccional em regime variável é função de um conjunto de 8 variáveis: espessura do elemento d, zona da espessura em que se
i e
pretende conhecer a temperatura x, tempo t, temperaturas interior T e exterior T , condutibilidade térmica 8, condutância térmica superficial h e difusibilidade térmica a. Esse facto torna a análise particularmente morosa, pelo que surgiram métodos aproximados de resolução das questões de que são exemplos as cartas de Heisler e Gröber, traduzindo graficamente o método analítico que se apresenta de seguida (válido apenas para elementos tipo parede/laje e para Fo > 0,2).
A temperatura 2 num dado ponto x da espessura do elemento no instante t pode ser determinada a partir da expressão
1 2
em que Fo é o número de Fourier, K e K são constantes cujos valores se encontram no quadro 2.1 em função do número de Biot Bi e L = d/2.
(2.79)
(2.80)
1 2
Quadro 2.1 - Coeficientes de Heisler K e K
1 2 1 2 Bi K K Bi K K 0,01 0,0998 1,0017 2,0 1,0769 1,1785 0,02 0,1410 1,0033 3,0 1,1925 1,2102 0,04 0,1987 1,0066 4,0 1,2646 1,2287 0,06 0,2425 1,0098 5,0 1,3138 1,2403 0,08 0,2791 1,0130 6,0 1,3496 1,2479 0,1 0,3111 1,0161 7,0 1,3766 1,2532 0,2 0,4328 1,0311 8,0 1,3978 1,2570 0,3 0,5218 1,0450 9,0 1,4149 1,2598 0,4 0,5932 1,0580 10,0 1,4289 1,2620 0,5 0,6533 1,0701 20,0 1,4961 1,2699 0,6 0,7051 1,0814 30,0 1,5202 1,2717 0,7 0,7506 1,0918 40,0 1,5325 1,2723 0,8 0,7910 1,1016 50,0 1,5400 1,2727 0,9 0,8274 1,1107 100,0 1,5552 1,2731 1,0 0,8603 1,1191 4 1,5708 1,2732
Note-se que para a determinação do valor de Bi neste caso usa-se como espessura característica
c
d = d/2.
A quantidade máxima de calor que pode ser transferida de ou para um corpo corresponde a uma situação em que t ÷ 4, podendo ser obtida através da equação
Para o caso de um determinado tempo finito a quantidade de calor transferida será menor do que
max
Q . A relação entre a quantidade de calor Q transferida num intervalo de tempo t e a quantidade
max
máxima Q pode ser obtida através da equação seguinte
Exemplo 2.4 Considere uma parede de prefabricada de betão com 20 cm de espessura que se
encontre a 20 °C e seja colocada numa estufa ventilada a 100 ºC para acelerar a cura. Assuma os
p
seguintes valores: D = 2200 kg/m , 8 = 1,65 W/m.°C, c = 880 J/kg.°C, a = 9,0 x 10 m /s, h =3 -7 2
120 W/m .°C. Determine a temperatura da parede a 5 cm da superfície ao fim de 1 hora e o tempo2
necessário para que as faces da parede atinjam uma temperatura de 70 °C.
SOLUÇÃO Determinação da temperatura a 5 cm da superfície ao fim de 1 hora. Como a espessura da parede 2L = 0,2 o valor de L será 0,1 m. Cálculo do número de Biot
1
com base no qual se obtêm do quadro 2.1 por interpolação os valores dos coeficientes K =
2
1,3830 e K = 1,2543. O número de Fourier é dado por
logo tendo em conta que o valor de x correspondente à zona em análise é (L - 0,05) = 0,05 m, a equação 2.78 pode ser escrita na forma seguinte
ou ainda
de onde se conclui que a temperatura a 5 cm da face da parede após 1 hora é de 45,6 °C.
Cálculo do tempo ao fim do qual as faces da parede se encontram a 70 °C. Neste caso como a incógnita é o tempo t, o número de Fourier não pode ser determinado. A equação 2.78 assume então a forma
(2.81) simplificando obtém-se
de onde se determina o valor de Fo = 0,636. Com base na equação 2.77 pode escrever-se
ou traduzindo em horas t = 1,96 h, tempo ao fim do qual a superfície da parede atinge 70 °C.
2.5.3 - Condução em sólidos semi-infinitos
Considera-se como semi-infinito o corpo imaginário que apenas tem uma face, prolongando-se indefinidamente em todas as outras direcções (fig. 2.6). Trata-se de uma abstracção que pretende simular as situações em que eventuais alterações de temperatura sejam resultantes apenas das condições do ambiente em contacto com a face em análise.
Fig. 2.6 - Corpo semi-infinito
Esse pode ser o caso de paredes de grande espessura, como as existentes na generalidade dos edifícios antigos, sempre que análise seja feita em intervalos de tempo de tal modo reduzidos que a influência da outra face possa ser negligenciável.
Nestas condições, a condução de calor uni-direccional em regime variável de um corpo
i e
semi-infinito à temperatura T em contacto com um ambiente de temperatura T pode ser expressa através da equação
(2.82) em que erfc (0) são as funções de erro complementares, cujos valores constam do quadro 2.2.
Quadro 2.2 - Funções de erro complementares erfc (0)
0 erfc (0) 0 erfc (0) 0 erfc (0) 0 erfc (0)
0.00 1.0000 0.56 0.4284 1.12 0.1132 1.68 0.0175 0.02 0.9774 0.58 0.4121 1.14 0.1069 1.70 0.0162 0.04 0.9549 0.60 0.3961 1.16 0.1009 1.72 0.0150 0.06 0.9324 0.62 0.3806 1.18 0.0952 1.74 0.0139 0.08 0.9099 0.64 0.3654 1.20 0.0897 1.76 0.0128 0.10 0.8875 0.66 0.3506 1.22 0.0845 1.78 0.0118 0.12 0.8652 0.68 0.3362 1.24 0.0795 1.80 0.0109 0.14 0.8431 0.70 0.3222 1.26 0.0748 1.82 0.0101 0.16 0.8210 0.72 0.3086 1.28 0.0703 1.84 0.0093 0.18 0.7991 0.74 0.2953 1.30 0.0660 1.86 0.0085 0.20 0.7773 0.76 0.2824 1.32 0.0619 1.88 0.0079 0.22 0.7557 0.78 0.2700 1.34 0.0581 1.90 0.0072 0.24 0.7343 0.80 0.2579 1.36 0.0545 1.92 0.0066 0.26 0.7313 0.82 0.2462 1.38 0.0510 1.94 0.0061 0.28 0.6921 0.84 0.2348 1.40 0.0477 1.96 0.0056 0.30 0.6714 0.86 0.2239 1.42 0.0446 1.98 0.0051 0.32 0.6509 0.88 0.2133 1.44 0.0417 2.00 0.0047 0.34 0.6306 0.90 0.2031 1.46 0.0390 2.10 0.0031 0.36 0.6107 0.92 0.1932 1.48 0.0364 2.20 0.0020 0.38 0.5910 0.94 0.1837 1.50 0.0339 2.30 0.0013 0.40 0.5716 0.96 0.1746 1.52 0.0316 2.40 0.0008 0.42 0.5525 0.98 0.1658 1.54 0.0294 2.50 0.0005 0.44 0.5338 1.00 0.1573 1.56 0.0274 2.60 0.0003 0.46 0.5153 1.02 0.1491 1.58 0.0255 2.70 0.0002 0.48 0.4973 1.04 0.1413 1.60 0.0237 2.80 0.0001 0.50 0.4795 1.06 0.1338 1.62 0.0220 2.90 0.0001 0.52 0.4621 1.08 0.1267 1.64 0.0204 3.00 0.0000 0.54 0.4451 1.10 0.1198 1.66 0.0189 s
Quando a condutância térmica superficial h 6 4 a temperatura superficial T torna-se igual à temperatura do ambiente, correspondendo a uma situação em que aquela temperatura seja alterada repentinamente e mantida nos novos valores, a equação anterior assume a seguinte forma simplificada
Exemplo 2.5 Considere um edifício antigo com paredes de taipa de grande espessura à
temperatura de 10 °C. Num dia quente de primavera as portas e janelas são abertas para ventilação e a temperatura do ambiente interior passa para 20 °C. Determine a temperatura de
uma zona situada a 5 cm da superfície da parede ao fim de 1 hora, assumindo as seguintes características: 8 = 1,3 W/m.°C, a = 10 m /s, h = 8 W/m .°C.-6 2 2
SOLUÇÃO Como a parede tem uma grande espessura pode ser assimilada a um corpo semi-infinito. Logo, a equação 2.81 pode escrever-se
calculando os valores de 0 podem determinar-se por interpolação no quadro 2.2 os valores de erfc(0), pelo que a equação assume a forma
de onde se conclui que a temperatura nas condições referidas será de 11,4 °C.
Exemplo 2.6 Considere um terreno coberto com neve a uma temperatura de -10 °C, no qual está
enterrada uma tubagem de água. Se o interior do terreno estiver a 5 °C e a = 0,2 x 10 m /s-6 2
determine a que profundidade se deve encontrar a tubagem para evitar a congelação da água, assumindo que a neve permanece à superfície durante um mês.
SOLUÇÃO O terreno pode ser considerado um corpo semi-infinito e, nas condições propostas, o valor de h 6 4 pelo que a temperatura superficial se pode considerar igual à temperatura da neve. Como para evitar a congelação da água a temperatura não pode atingir os 0 °C, a equação 2.82 pode ser escrita na forma seguinte, tendo em conta que 1 mês = 2,59 x 10 s6
ou
(2.83)
(2.84) logo a tubagem tem que estar enterrada a uma profundidade superior a 0,98 m para evitar a congelação.
2.5.4 - Condução em corpos multi-dimensionais
Analisou-se anteriormente a forma de equacionar as transferências de calor em regime variável nos casos de condução uni-direccional, muito embora em diversas circunstâncias interesse considerar as transferências em regimes bi ou mesmo tri-dimensionais. Para tal é possível utilizar um artifício que consiste em multiplicar os resultados obtidos para a condução uni-direccional, de tal forma que a geometria do corpo em análise seja a resultante da intersecção dos corpos uni-direccionais considerados. Esta solução é válida se todas as faces do corpo estiverem em contacto com o mesmo ambiente (com condutâncias térmicas superficiais iguais) e não houver geração interna de calor. Assim, a solução para um problema bi-direccional implicará o produto de duas soluções uni-direccionais (fig. 2.8)
Fig. 2.8 - Resolução de problemas bi-dimensionais com métodos uni-direccionais
A equação 2.78 pode ser escrita na forma
(2.85)
1 2
com os valores de K e K obtidos no quadro 2.1. De igual forma, uma análise tridimensional conduzirá à seguinte equação
Deve notar-se que a origem dos eixos referenciais é no centro do corpo em análise, o que corresponde a ter nessa zona x = 0, y = 0 e z = 0.
Exemplo 2.7 Um pilar prefabricado de betão com secção de 20 cm x 30 cm e 10 °C de
temperatura é colocado numa estufa a 60 °C para acelerar a cura. Determine a temperatura no centro do pilar ao fim de duas horas, considerando as seguintes características: 8 = 1,65 W/m.°C, a = 9,0 x 10 m /s, h = 120 W/m .°C.-7 2 2
SOLUÇÃO Como se trata de um problema bi-dimensional adopta-se o produto de duas conduções uni-direccionais, considerando 2 horas = 7200 s. Tendo em conta as dimensões do pilar
1 2
podem determinar-se os valores de L e L
1 1
Cálculo de 2 (x , t)
1 2
entrando com o valor de Bi no quadro 2.2 obtêm-se os valores K = 1,4289 e K = 1,2620. Logo, a equação 2.84 pode ser escrita na forma seguinte, com a simplificação resultante de o valor de x ser nulo em virtude de se pretender determinar a temperatura na zona central
2 1